הצעה לפתרון מלא — חשמל 845381

הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל

בגרות · 2018 · שאלון 845381 · שאלות 1–10

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦

💡

על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, מועד 2018. בשאלון עשר שאלות בשלושה פרקים, ועל הנבחן לענות על שתי שאלות מהפרק הראשון, שתיים מהפרק השני ואחת מהפרק השלישי. שאלות 1–4 בזרם ישר, 5–8 בזרם חילופין ובמגנטיות, 9–10 במערכות ספרתיות.

שאלה 1 — מעגל זרם ישר עם חמישה נגדים וארבעה מדי-זרם

נתונים: U = 72V · I_A1 = 20 mA · I_A2 = 10 mA · I_A4 = 50 mA · U_R4 = 20V · U_R5 = 60V

💡

מבנה המדידה: מד-הזרם A₄ מודד את זרם המקור, A₁ את הזרם בענף של R₅, A₂ את הזרם דרך R₄, ו-A₃ את הזרם המתאחד החוזר דרך R₃.

סעיף א — הזרמים לפי חוק הזרמים של קירכהוף

בצומת העליון זרם המקור מתפצל לענף של R₅ (הנמדד ב-A₁) ולענף של R₁, ולכן הזרם דרך R₁ הוא הפרש הקריאות:

I_R1 = I_A4 - I_A1 = 50 - 20 = 30 mA

בצומת שמתחת ל-R₁ הזרם מתפצל לענף של R₄ (הנמדד ב-A₂) ולנגד R₂:

I_R2 = I_R1 - I_A2 = 30 - 10 = 20 mA

דרך A₃ עוברים הזרמים החוזרים מ-R₄ ומ-R₅ המתאחדים בצומת התחתון:

I_A3 = I_A2 + I_A1 = 10 + 20 = 30 mA

I_R1 = 30 mA ; I_R2 = 20 mA ; I_A3 = 30 mA

סעיף ב — מפלי המתח לפי חוק המתחים של קירכהוף

הענף הטורי R₁+R₄ מחובר במקביל לנגד R₅ (מדי-הזרם אידיאליים ואינם מפילים מתח), ולכן:

U_R1 = U_R5 - U_R4 = 60 - 20 = 40 V

הנגד R₂ מחובר במקביל לנגד R₄ דרך מדי-הזרם האידיאליים A₂ ו-A₃:

U_R2 = U_R4 = 20 V

בחוגה החיצונית מתח המקור שווה לסכום המתח על R₅ והמתח על R₃:

U_R3 = U - U_R5 = 72 - 60 = 12 V

U_R1 = 40 V ; U_R2 = 20 V ; U_R3 = 12 V

סעיף ג — ההתנגדויות לפי חוק אוהם

דרך R₃ עובר כל זרם המקור, שכן הוא נמצא בענף המשותף החוזר אל המקור, ולכן מחשבים אותו לפי הזרם I_{A4}:

R₁ = U_R1I_R1 = 4030 mA = 1333.3 Ω ≈ 1.33 kΩ

R₂ = U_R2I_R2 = 2020 mA = 1 kΩ

R₃ = U_R3I_A4 = 1250 mA = 240 Ω

R₄ = U_R4I_A2 = 2010 mA = 2 kΩ

R₅ = U_R5I_A1 = 6020 mA = 3 kΩ

R₁ ≈ 1.33 kΩ ; R₂ = 1 kΩ ; R₃ = 240 Ω ; R₄ = 2 kΩ ; R₅ = 3 kΩ

🧪סימולציה בתוך הדף— מקריאות המכשירים אל ההתנגדויות

שנו כל קריאה של מד-זרם או מד-מתח וראו את חמש ההתנגדויות מחושבות מחדש מחוקי קירכהוף.▶ פתח את מעבדת חוקי קירכהוף

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מקריאות המכשירים אל ההתנגדויות.

שאלה 2 — מוליך נחושת והשפעת הטמפרטורה

נתונים: α = 0.039 °C^-1 · ρ = 0.018 Ω mm²/m · S = 0.75 mm² · R₆₀ = 10 Ω · U_V = 24V

סעיף א — התנגדות המוליך בטמפרטורה של 20 °C

נוסחת התלות של ההתנגדות בטמפרטורה, ביחס לטמפרטורת הייחוס 20 °C, כאשר הפרש הטמפרטורות הוא Δt = 40 °C:

R₆₀ = R₂₀(1 + α Δ t)

R₂₀ = R₆₀1 + α Δ t = 101 + 0.039 × 40 = 102.56 = 3.906 Ω

R₂₀ ≈ 3.91 Ω

סעיף ב — אורך המוליך

מבודדים את האורך מנוסחת ההתנגדות של מוליך:

R₂₀ = ρ LS → L = R₂₀ · Sρ = 3.906 × 0.750.018 = 162.8 m

L ≈ 162.8 m

סעיף ג — מתח המקור כאשר מד-המתח מורה 24V

בטמפרטורה של 20 °C הנגדים R₂ = 3 Ω ו-R₃ = 6 Ω מחוברים במקביל, ומד-המתח מודד את המתח עליהם:

R₂₃ = R₂ R₃R₂ + R₃ = 3 × 63 + 6 = 2 Ω

הזרם הכללי במעגל לפי חוק אוהם:

I = U_VR₂₃ = 242 = 12 A

מתח המקור שווה לסכום מפל המתח על המוליך והמתח על הנגדים:

U = I · R₂₀ + U_V = 12 × 3.906 + 24 = 46.875 + 24 = 70.875 V

U ≈ 70.9 V

🧪סימולציה בתוך הדף— התנגדות המוליך כפונקציה של הטמפרטורה

גררו את הטמפרטורה על העקומה: שתי הנקודות הקבועות הן 20 ו-60 מעלות, וההפרש ביניהן הוא כל השאלה.▶ פתח את מעבדת המוליך והרזיסטיביות

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — התנגדות המוליך כפונקציה של הטמפרטורה.

שאלה 3 — משפט תבנין

נתונים: U₁ = 14V · U₂ = 6V · R₁ = 4 kΩ · R₂ = 4 kΩ · R₃ = 2 kΩ

💡

מבנה המעגל: שני מקורות מתח ושלושה נגדים. המפסק S מחובר במקביל לנגד R₃, והעומס R_L מחובר בין הנקודות A ו-B.

סעיף א — התנגדות תבנין כאשר S סגור

לחישוב התנגדות תבנין מקצרים את שני המקורות ומנתקים את העומס. כאשר S סגור הוא מקצר את R₃, ולכן בין A ל-B נראית R₁ במקביל ל-R₂:

Rₜₕ = R₁ R₂R₁ + R₂ = 4 × 44 + 4 = 2 kΩ

מעגל המדידה: מקצרים את U₁ ואת U₂, מנתקים את העומס R_L, ומחברים אוהמטר בין A ל-B — המד יורה 2 kΩ.

Rₜₕ = 2 kΩ

סעיף ב — מתח תבנין כאשר S סגור

מנתקים את העומס. בריקם אין זרם דרך הענף של R₃ (המקוצר על-ידי S), ולכן מתח תבנין שווה למתח בצומת המשותפת של R₁ ו-R₂. בחוגה שנוצרת משני המקורות זורם זרם אחד:

I = U₁ - U₂R₁ + R₂ = 14 - 68 kΩ = 1 mA

Uₜₕ = U₁ - I · R₁ = 14 - 1 mA × 4 kΩ = 14 - 4 = 10 V

בדיקה מהצד השני: 6 + 4 = 10 V ✓. מעגל המדידה: משאירים את שני המקורות במעגל, מנתקים את R_L, ומחברים מד-מתח בין A ל-B — המד יורה 10 V.

Uₜₕ = 10 V

סעיף ג — פתיחת המפסק S

כאשר S פתוח, R₃ כבר אינו מקוצר ומתווסף בטור להתנגדות תבנין:

Rₜₕ' = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 2 = 4 kΩ

מתח תבנין נמדד בריקם: כאשר העומס מנותק אין זרם דרך R₃, ולכן אין עליו מפל מתח והמתח בין A ל-B נשאר כשהיה.

Rₜₕ' = 4 kΩ ; Uₜₕ = 10 V (ללא שינוי)

🧪סימולציה בתוך הדף— תבנין — והמפסק שמשנה רק את ההתנגדות

שני העקומים הם S סגור ו-S פתוח: המתח U(th) אינו זז, ורק ההתנגדות משתנה מ-2 ל-4 קילו-אום.▶ פתח את מעבדת תבנין

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — תבנין — והמפסק שמשנה רק את ההתנגדות.

שאלה 4 — מעגל קבלים

נתונים: E = 100V · C₁ = 10µF · C₃ = 4µF · C₄ = 7µF · C₅ = 3µF · C₆ = 10µF · U_C6 = 25V

💡

מבנה המעגל: שרשרת טורית של ארבעה מקטעים — הקבל C₁, הצירוף המקבילי של C₂ ו-C₃, הצירוף המקבילי של C₄ ו-C₅, והקבל C₆.

סעיף א — המטען האגור בקבל C₆

Q₆ = C₆ · U_C6 = 10 × 10^-6 × 25 = 250 × 10^-6 C

Q₆ = 250 µC

סעיף ב — קיבולו של הקבל C₂

בחיבור טורי המטען על כל מקטע שווה:

Q = Q₆ = 250 µC

U_C1 = QC₁ = 25010 = 25 V

C₄₅ = C₄ + C₅ = 7 + 3 = 10 µF ; U₄₅ = QC₄₅ = 25010 = 25 V

לפי חוק המתחים, המתח על הצירוף המקבילי של C₂ ו-C₃:

U₂₃ = E - U_C1 - U₄₅ - U_C6 = 100 - 25 - 25 - 25 = 25 V

C₂₃ = QU₂₃ = 25025 = 10 µF

C₂ = C₂₃ - C₃ = 10 - 4 = 6 µF

C₂ = 6 µF

סעיף ג — שטח החתך של לוח הקבל C₆

נתונים נוספים: עובי הדיאלקטרי d = 3.3·10⁻⁷ m, הקבוע הדיאלקטרי היחסי ε_r = 5 והמקדם ε₀ = 8.85·10⁻¹² F/m.

C₆ = ε₀ ε_r Ad → A = C₆ · dε₀ ε_r = 10 × 10^-6 × 3.3 × 10^-78.85 × 10^-12 × 5 = 0.0746 m²

A ≈ 0.0746 m² = 746 cm²

סעיף ד — נכון או לא נכון

1. נכון. הקיבול נתון בקשר C = ε Ad, ולכן שטח הלוחות משפיע ישירות על גודל הקיבול — ככל שהשטח גדול יותר, הקיבול גדול יותר.

2. נכון. בחיבור מקבילי הקיבולים מתחברים (הקיבול השקול שווה לסכום כל הקיבולים), ולכן כל קבל שמתווסף במקביל מגדיל את הקיבול השקול.

3. לא נכון. עבור מטען נתון מתקיים U = QC, כלומר הפרש הפוטנציאלים נמצא ביחס הפוך לקיבול הקבל, ולא ביחס ישר.

🧪סימולציה בתוך הדף— מטען אחד בשרשרת של ארבעה מקטעים

ארבעת מפלי המתח מסתכמים תמיד למתח המקור; שנו קבל אחד וראו איך C₂ הנדרש משתנה.▶ פתח את מעבדת הקבלים

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מטען אחד בשרשרת של ארבעה מקטעים.

🔌 פרק שני — זרם חילופין

שאלה 5 — מעגל מגנטי: טבעת פלדה עם חריץ אוויר

נתונים: µ_r = 850 · d = 1 cm · B = 2 Wb/m² · N = 650 · I = 1A · µ₀ = 4π × 10^-7 H/m

סעיף א — האורך הממוצע של טבעת הפלדה

עוצמת השדה המגנטי בפלדה מתקבלת מצפיפות השטף:

H = Bµ₀ µ_r = 24π × 10^-7 × 850 = 1872.4 A/m

לפי חוק אמפר, הכוח המגנטו-מניע שווה למכפלת עוצמת השדה באורך המסלול:

N I = H l → l = N IH = 650 × 11872.4 = 0.347 m

l ≈ 0.347 m = 34.7 cm

סעיף ב — המיאון של המעגל המגנטי הכולל חריץ אוויר

שטח החתך של הטבעת:

A = π d²4 = π (0.01)²4 = 7.854 × 10^-5 m²

אורך מסלול הברזל לאחר יצירת חריץ אוויר באורך l_g = 1.5 mm:

l_fe = l - l_g = 0.347 - 0.0015 = 0.3456 m

מיאון מקטע הברזל:

R_m,fe = l_feµ₀ µ_r A = 0.34564π × 10^-7 × 850 × 7.854 × 10^-5 = 4.12 × 10⁶ A/Wb

מיאון חריץ האוויר:

R_m,g = l_gµ₀ A = 0.00154π × 10^-7 × 7.854 × 10^-5 = 15.2 × 10⁶ A/Wb

המיאון הכולל הוא סכום שני המיאונים (חיבור טורי במעגל המגנטי):

Rₘ = R_m,fe + R_m,g = (4.12 + 15.2) × 10⁶ = 1.93 × 10⁷ A/Wb

Rₘ ≈ 1.93 × 10⁷ A/Wb

סעיף ג — השטף המגנטי במעגל הכולל חריץ אוויר

לפי חוק אוהם המגנטי, השטף שווה לכוח המגנטו-מניע חלקי המיאון:

Φ = N IRₘ = 6501.93 × 10⁷ = 3.36 × 10^-5 Wb

Φ ≈ 3.36 × 10^-5 Wb = 33.6 µWb

סעיף ד — השראות הסליל

L = N ΦI = 650 × 3.36 × 10^-51 = 0.0219 H

L ≈ 21.9 mH

🧪סימולציה בתוך הדף— מיאון הפלדה מול מיאון החריץ

החריץ תופס מילימטר וחצי מתוך 35 סנטימטרים — ובכל זאת המיאון שלו גדול פי שלושה מזה של הפלדה.▶ פתח את מעבדת המגנטיות

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מיאון הפלדה מול מיאון החריץ.

שאלה 6 — מעגל RLC מקבילי

נתונים: e(t) = 35.4sin(314t) V · R = 22 Ω · X_L = 10 Ω · X_C = 5 Ω

הערך האפקטיבי של מתח המקור והתדירות מתקבלים מגודל המקור ומהתדר הזוויתי:

E = Eₘ√2 = 35.41.414 = 25 V ; ω = 314 rad/s ; f = ω2π = 50 Hz

סעיף א1 — קיבול הקבל

X_C = 1ω C → C = 1ω X_C = 1314 × 5 = 637 × 10^-6 F

C ≈ 637 µF

סעיף א2 — השראות הסליל

X_L = ω L → L = X_Lω = 10314 = 0.0318 H

L ≈ 31.8 mH

סעיף א3 — העכבה השקולה

במעגל מקבילי נוח לחשב דרך ההולכה השקולה. הרכיב הממשי נובע מהנגד, והרכיב ההיגבי מההפרש בין הקבל לסליל:

1Z = √(1R)² + (1X_C - 1X_L)² = √(0.0455)² + (0.1)² = 0.1099 S

Z = 9.1 Ω

Z ≈ 9.1 Ω

סעיף ב1 — הזרמים בענפים

I_L = EX_L = 2510 = 2.5 A

I_R = ER = 2522 = 1.14 A

I_C = EX_C = 255 = 5 A

I_L = 2.5 A ; I_R ≈ 1.14 A ; I_C = 5 A

סעיף ב2 — זרם המקור וביטויו כפונקציה של הזמן

זרם הקבל מקדים את המתח ב-90° וזרם הסליל מפגר אחריו ב-90°, ולכן הם מחסרים זה את זה; זרם הנגד בפאזה עם המתח:

I = √I_R² + (I_C - I_L)² = √(1.14)² + (5 - 2.5)² = √1.29 + 6.25 = 2.75 A

זווית המופע של זרם המקור ביחס למתח:

tanφ = I_C - I_LI_R = 2.51.14 → φ = 65.6°

הזרם מקדים את המתח (אופי המעגל קיבולי). הערך המרבי של הזרם:

Iₘ = I √2 = 2.75 × 1.414 = 3.88 A

i(t) = 3.88sin(314t + 65.6°) A ; 2.75 A אפקטיבי, מקדים את המתח ב-65.6°

סעיף ג1 — סרטוט אות הזרם מתחת לאות המתח

יש להעתיק את גרף המתח (ערך מרבי 35.4 V, מחזור 0.02 s) ולסרטט מתחתיו את גל הזרם: סינוס בעל ערך מרבי 3.88 A, המקדים את המתח ב-65.6° — כלומר גל הזרם חוצה את האפס בעלייה כ-3.6 מילי-שניות לפני גל המתח. יש לציין על הסרטוט את הערך המרבי 3.88 A.

סעיף ג2 — מיקום מכשירי המדידה

כדי לקבל את האותות שסורטטו יש לחבר מד-מתח מסוג AC במקביל להדקי המקור, ומד-זרם מסוג AC בטור לענף המקור (לפני ההתפצלות לשלושת הענפים), כך שהוא מודד את זרם המקור הכללי.

🧪סימולציה בתוך הדף— מעגל מקבילי — שלושה זרמי ענף

הזרם בקבל גדול מזה בסליל, ולכן הזרם הכולל מקדים את המתח; החליפו ביניהם וראו את הפאזור מתהפך.▶ פתח את מעבדת RLC — מעגל מקבילי

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מעגל מקבילי — שלושה זרמי ענף.

שאלה 7 — מעגל RLC טורי ושיפור מקדם הספק

נתונים: u(t) = 250sin(ω t) V · f = 100 Hz · R = 25 Ω · L = 0.15H · C₁ = 30µF

💡

מבנה המעגל: ענף טורי הכולל נגד, סליל וקבל C₁; במקביל לענף זה מחובר ענף ובו קבל C₂ בטור עם המפסק S.

חישובי עזר:

ω = 2π f = 628.3 rad/s ; U = 250√2 = 176.8 V

X_L = ω L = 628.3 × 0.15 = 94.25 Ω

X_C1 = 1ω C₁ = 1628.3 × 30 × 10^-6 = 53.05 Ω

סעיף א — עכבת המעגל ואופיו (S פתוח)

X = X_L - X_C1 = 94.25 - 53.05 = 41.2 Ω

Z = √R² + X² = √25² + 41.2² = √625 + 1697 = 48.2 Ω

φ = arctan(XR) = arctan(41.225) = 58.8°

ההיגב ההשראותי גדול מההיגב הקיבולי, ולכן אופי המעגל השראותי והזרם מפגר אחרי המתח.

Z ≈ 48.2 Ω ; אופי המעגל השראותי

סעיף ב1 — ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה

I = UZ = 176.848.2 = 3.67 A

P = I² R = 3.67² × 25 = 336 W

Q = I² X = 3.67² × 41.2 = 554 var

S = U I = 176.8 × 3.67 = 648.5 VA

P ≈ 336 W ; Q ≈ 554 var ; S ≈ 648.5 VA

סעיף ב2 — מקדם ההספק

cosφ = PS = 336.4648.5 = 0.52

cosφ ≈ 0.52

סעיף ב3 — משולש ההספקים

יש לסרטט משולש ישר-זווית: הניצב האופקי מייצג את ההספק הפעיל P בגודל 336 W, הניצב האנכי (כלפי מעלה, מעגל השראותי) מייצג את ההספק ההיגבי Q בגודל 554 var, והיתר מייצג את ההספק המדומה S בגודל 648.5 VA. הזווית שבין P ל-S היא 58.8°.

סעיף ג — קיבול הקבל C₂ הנדרש למקדם הספק 0.8 (S סגור)

הקבל C₂ מספק הספק היגבי קיבולי המקטין את ההספק ההיגבי הכולל. ההספק ההיגבי שעל הקבל לספק:

tanφ₁ = 41.225 = 1.648 ; cosφ₁ = 0.52

cosφ₂ = 0.8 → tanφ₂ = 0.75

Q_C = P(tanφ₁ - tanφ₂) = 336.4(1.648 - 0.75) = 302 var

הקבל מחובר ישירות למתח המקור, ולכן:

Q_C = U² ω C₂ → C₂ = Q_Cω U² = 302628.3 × 176.8² = 15.4 × 10^-6 F

C₂ ≈ 15.4 µF

🧪סימולציה בתוך הדף— שיפור מקדם ההספק בקבל מקביל

בחרו את מקדם ההספק המבוקש וראו את הקיבול הנדרש — וכיצד משולש ההספקים מתקצר.▶ פתח את מעבדת RLC — הספק

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שיפור מקדם ההספק בקבל מקביל.

שאלה 8 — רשת תלת-מופעית עם שני עומסים

נתונים: U(קווי) = 120V · f = 50 Hz · Z_A = (4 + j6) Ω (כוכב) · Z_B = 9 Ω (משולש)

מתח המופע של חיבור הכוכב:

U(מופעי) = U(קווי)√3 = 1201.732 = 69.3 V

סעיף א — הזרמים בצורה מרוכבת

זרם הקו של עומס A (בכוכב זרם הקו שווה לזרם המופע), כאשר מתח המופע נבחר כייחוס:

Z_A = 4 + j6 = 7.21 ∠ 56.3° Ω

I_A = U(מופעי)Z_A = 69.3 ∠ 0°7.21 ∠ 56.3° = 9.61 ∠ -56.3° A = (5.33 - j7.99) A

עומס B מחובר במשולש; לחישוב נוח ממירים אותו לכוכב שקול:

Z_BY = Z_B3 = 93 = 3 Ω

I_B = U(מופעי)Z_BY = 69.33 = 23.1 ∠ 0° A

זרם הקו הכללי הוא הסכום המרוכב של שני הזרמים:

I = I_A + I_B = (5.33 - j7.99) + 23.1 = (28.4 - j7.99) A = 29.5 ∠ -15.7° A

💡

זרם המופע במשולש: בתוך המשולש זרם המופע הוא 1209 = 13.33 A, וזרם הקו גדול ממנו פי שורש שלוש.

I_A = 9.61 ∠ -56.3° A ; I_B = 23.1 ∠ 0° A ; I = 29.5 ∠ -15.7° A

סעיף ב — ההספק המדומה של כל עומס (בצורה מרוכבת)

עומס A — בעזרת הזרם והעכבה של כל מופע:

S_A = 3 I_A² Z_A = 3 × 9.61² × (4 + j6) = (1108 + j1662) VA = 1997 ∠ 56.3° VA

עומס B — עומס ממשי טהור (התנגדותי):

S_B = 3 U(מופעי) I_B = 3 × 69.3 × 23.1 = 4800 VA

S_A = (1108 + j1662) VA ; S_B = 4800 VA

סעיף ג1 — ההספק הנמסר לעומסים על-ידי הרשת

S = S_A + S_B = (1108 + 4800) + j1662 = (5908 + j1662) VA

S = √5908² + 1662² = 6137 VA

P = 5908 W ; Q = 1662 var ; S ≈ 6137 VA (מקדם הספק 0.96)

סעיף ג2 — משולש ההספקים של הרשת

יש לסרטט משולש ישר-זווית: ניצב אופקי P בגודל 5908 W, ניצב אנכי Q בגודל 1662 var (כלפי מעלה — אופי השראותי), ויתר S בגודל 6137 VA. הזווית בין P ל-S היא כ-15.7°.

סעיף ד — שינוי חיבור העומס B ממשולש לכוכב

בחיבור כוכב כל עכבה של עומס B מקבלת את מתח המופע (69.3 V) במקום את מתח הקו (120 V):

P_B,Y = 3 U(מופעי)²Z_B = 3 × 69.3²9 = 1600 W

P_B,ΔP_B,Y = 48001600 = 3

במעבר ממשולש לכוכב ההספק שצורך עומס B קטן פי שלושה (מ-4800 W ל-1600 W), ולכן ההספק הפעיל הכולל שמוסרת הרשת יורד מ-5908 W לכ-2708 W.

P_B,Y = 1600 W ; ההספק הפעיל הכולל יורד לכ-2708 W

🧪סימולציה בתוך הדף— עומס בכוכב ועומס במשולש יחד

החליפו את העומס B ממשולש לכוכב וראו את ההספק שלו יורד בדיוק פי שלושה.▶ פתח את מעבדת התלת-מופע — החלפת חיבור

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — עומס בכוכב ועומס במשולש יחד.

📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות

שאלה 9 — מערכי שערים לוגיים

נתונים: מערך ראשון — שער NAND (כניסות A, B) ושער NOR (כניסות B, C) המוזנים לשער AND · מערך שני — שער NOR (כניסות B, C)

סעיף א1 — הביטויים במוצאי המערכים

במערך הראשון השער העליון הוא NAND שכניסותיו A ו-B, השער התחתון הוא NOR שכניסותיו B ו-C, ומוצאיהם נכנסים לשער AND. במערך השני שער NOR שכניסותיו B ו-C:

X₁ = A · B · B + C

X₂ = B + C

סעיף א2 — הוכחת הזהות בין X₁ ל-X₂

נפתח את הביטוי של X₁ בעזרת כללי דה-מורגן והאלגברה הבוליאנית:

X₁ = A · B · B + C = (A + B)(B · C)

X₁ = A · B · C + B · B · C = A · B · C + B · C

X₁ = B · C(A + 1) = B · C

X₂ = B + C = B · C

X₁ = X₂ = B · C — קיימת זהות בין הביטויים

סעיף ב1 — הביטויים במוצאי השערים x ו-y

השער הראשון הוא NAND בעל שלוש כניסות והשני NOR בעל שלוש כניסות. לפי כללי דה-מורגן:

x = A · B · C = A + B + C

y = A + B + C = A · B · C

x = A + B + C ; y = A · B · C

סעיף ב2 — האם הביטויים שקולים כאשר C = 1

נציב C = 1 (ולכן \overline{C} = 0) בשני הביטויים:

x = A + B + 0 = A + B

y = A · B · 0 = 0

הביטויים אינם שקולים: y מתאפס תמיד כאשר C שווה אחד, ואילו x שווה אחד בכל מקרה שבו לפחות אחת מהכניסות A או B שווה אפס. לדוגמה, עבור A = 0 ו-B = 0 מתקבל x = 1 בעוד y = 0.

לא — x(C=1) = A + B ≠ y(C=1) = 0 ; הביטויים אינם שקולים

🧪סימולציה בתוך הדף— שני מערכים — ושתי מסקנות הפוכות

במערך הראשון שני הביטויים זהים; במערך השני הם נבדלים, וקל לראות זאת כאשר C = 1.▶ פתח את המעבדה הספרתית — שערים לוגיים

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שני מערכים — ושתי מסקנות הפוכות.

שאלה 10 — מפת קרנו, פישוט ומימוש

נתונים: פונקציה F של שלושה משתנים A, B (שורות) ו-C (עמודות), נתונה במפת קרנו

סעיף א — טבלת האמת של הפונקציה F

הפונקציה שווה אחד בשש שורות, ושווה אפס רק בצירופים 010 ו-111:

A	B	C	F
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

סעיף ב — פישוט הפונקציה במפת קרנו

קיבוצים במפה: ארבע המשבצות של השורות שבהן B שווה אפס יוצרות קיבוץ רביעייה שתוצאתו \overline{B}; המשבצות 001 ו-011 יוצרות זוג שתוצאתו \overline{A} \cdot C; המשבצות 100 ו-110 יוצרות זוג שתוצאתו A \cdot \overline{C}:

F = B + A · C + A · C

אפשר לרשום את הביטוי גם בעזרת שער XOR, שכן שני הזוגות יחד יוצרים את פונקציית ה-XOR של A ו-C:

F = B + (A ⊕ C)

F = B + A · C + A · C = B + (A ⊕ C)

סעיף ג — מימוש הפונקציה בעזרת הרכיבים שבנספח

למימוש בצורה F = B + (A ⊕ C) נדרשים שלושה רכיבים מהנספח: רכיב 7404 (מהפכים), רכיב 7486 (שערי XOR) ורכיב 7432 (שערי OR). אופן החיבור:

1. מחברים את הכניסה B להדק 1 של הרכיב 7404; המוצא בהדק 2 נותן את \overline{B}.

2. מחברים את הכניסה A להדק 1 ואת הכניסה C להדק 2 של הרכיב 7486; המוצא בהדק 3 נותן את A ⊕ C.

3. מחברים את המוצא \overline{B} (הדק 2 של הרכיב 7404) להדק 1 של הרכיב 7432, ואת המוצא A ⊕ C (הדק 3 של הרכיב 7486) להדק 2 של הרכיב 7432; במוצא בהדק 3 מתקבלת הפונקציה F.

4. בכל אחד משלושת הרכיבים מחברים את הדק 14 (VCC) למתח ההזנה החיובי של 5 V, ואת הדק 7 (GND) לאדמה. אין להשאיר כניסות שאינן בשימוש צפות.

המימוש דורש את הרכיבים 7404, 7486 ו-7432 כולל חיבורי VCC ו-GND כמפורט

🧪סימולציה בתוך הדף— מפת קרנו והצורה עם XOR

שתי הצורות של F — שלושת האיברים ו-B + (A ⊕ C) — מחזירות תמיד אותו ערך.▶ פתח את המעבדה הספרתית — מפת קרנו

🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מפת קרנו והצורה עם XOR.