על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, קיץ תשפ"ה 2025. בשאלון שתים עשרה שאלות ועל הנבחן לענות על חמש בלבד. שאלות 1–8 לכלל הנבחנים, 9–10 לתלמידי הנדסת חשמל, 11–12 לתלמידי בקרת אקלים.
קריאת הקוטביות: על-פי הסימון באיור שני המקורות מחוברים באותו כיוון — ההדק השלילי של E₁ מחובר דרך הנקודה B להדק החיובי של E₂ — ולכן הם פועלים יחד והמתחים שלהם מתחברים.
סעיף א — ההתנגדות השקולה והזרם
כל הנגדים מחוברים בטור בלולאה אחת, ולכן ההתנגדות השקולה היא סכומם:
RT = R₁ + R₂ + R₃ + R₄ = 17 + 23 + 12 + 18 = 70 Ω
לפי חוק המתחים של קירכהוף, הזרם נקבע מסכום המקורות חלקי ההתנגדות הכוללת:
I = E₁ + E₂RT = 25 + 1070 = 3570 = 0.5 A
RT = 70 Ω ; I = 0.5 A
סעיף ב — ההספק על R₂
P(R₂) = I2 · R₂ = 0.52 × 23 = 0.25 × 23
P(R₂) = 5.75 W
סעיף ג — המתח בין A ל-B
נעבור מ-B ל-A דרך המסלול השמאלי, הכולל את המקור E₁ ואת הנגדים R₁ ו-R₂:
UAB = E₁ - I · (R₁ + R₂) = 25 - 0.5 × 40 = 25 - 20
נוודא את התוצאה דרך המסלול הימני, הכולל את R₃, R₄ ואת המקור E₂:
UAB = I · (R₃ + R₄) - E₂ = 0.5 × 30 - 10 = 15 - 10 = 5 V ✓
UAB = 5 V
🧪סימולציה בתוך הדף— שני מקורות שפועלים יחד
שני המקורות דוחפים באותו כיוון: הגדילו את E₂ וראו את הזרם גדל ואת המתח בין A ל-B יורד.▶ פתח את מעבדת ההרכבה
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — שני מקורות שפועלים יחד.
מבנה המעגל: שני מחלקי מתח מחוברים במקביל אל המקור — הענף השמאלי (R₁ מעל R₂) והענף הימני (R₃ מעל R₄). המפסק S מחבר את נקודת האמצע השמאלית לנקודת האמצע הימנית.
סעיף א — המתח על R₃ (S פתוח)
כשהמפסק פתוח כל ענף פועל בנפרד כמחלק מתח:
R(ימני) = R₃ + R₄ = 240 + 120 = 360 Ω
U(R₃) = E · R₃R₃ + R₄ = 36 × 240360
U(R₃) = 24 V
סעיף ב — ההספק שמספק המקור (S פתוח)
R(שמאלי) = R₁ + R₂ = 120 + 480 = 600 Ω
I(שמאלי) = 36600 = 0.06 A
I(ימני) = 36360 = 0.10 A
IT = 0.06 + 0.10 = 0.16 A
P = E · IT = 36 × 0.16
P = 5.76 W
סעיף ג — ההתנגדות השקולה (S סגור)
סגירת המפסק מחברת בין נקודות האמצע. כתוצאה מכך R₁ מקביל ל-R₃, ו-R₂ מקביל ל-R₄:
R₁ ∥ R₃ = 120 × 240120 + 240 = 28800360 = 80 Ω
R₂ ∥ R₄ = 480 × 120480 + 120 = 57600600 = 96 Ω
RT = 80 + 96
RT = 176 Ω
סעיף ד — הזרם דרך R₄ (S סגור)
IT = ERT = 36176 = 0.2045 A
U = IT × 96 = 0.2045 × 96 = 19.64 V
I(R₄) = UR₄ = 19.64120
I(R₄) ≈ 0.164 A
🧪סימולציה בתוך הדף— גשר עם מפסק — לפני ואחרי
סגרו את S: שני מחלקי המתח הופכים לשני זוגות מקבילים וההתנגדות צונחת מ-225 ל-176 אוהם.▶ פתח את מעבדת גשר וויטסטון
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — גשר עם מפסק — לפני ואחרי.
שלושת הענפים מחוברים בין צומת A לצומת B. נבחר את הפוטנציאל בצומת B שווה לאפס ונפתור בשיטת מתחי הצמתים.
סעיף א — הזרמים I₁, I₂, I₃
נכתוב את חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A:
21 - VA15 + 15 - VA18 = VA15
126 - 6VA + 75 - 5VA = 6 VA
201 = 17 VA → VA = 11.82 V
I₁ = 21 - 11.8215 = 0.612 A
I₂ = 11.82 - 1518 = -0.177 A
I₃ = 11.8215 = 0.788 A
הזרמים חושבו בכיוון החצים שבאיור: I₁ נכנס לצומת A, ואילו I₂ ו-I₃ יוצאים ממנו. הסימן השלילי של I₂ מציין שהזרם זורם בפועל בכיוון ההפוך לכיוון החץ — מהמקור E₂ אל הצומת A.
בדיקה בצומת — הזרם הנכנס שווה בקירוב לסכום הזרמים היוצאים:
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — כוכב מול משולש — פי שלושה.
📘 שאלות 9–10 — לתלמידי הנדסת חשמל
שאלה 9 — פישוט פונקציה מטבלת אמת
נתונים: פונקציה F של שלושה משתנים X, Y, Z נתונה בטבלת אמת
סעיף א — הצגה במפת קרנו ופישוט
טבלת האמת של הפונקציה:
X
Y
Z
F
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
נעביר את הערכים למפת קרנו — שורות לפי X, עמודות לפי YZ בסדר קוד גרֵיי:
X \ YZ
00
01
11
10
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
קיבוץ ראשון — ריבוע של ארבעה תאים בעמודות YZ=00 ו-01 בשתי השורות; המשתנה המשותף היחיד הוא המשלים של Y. קיבוץ שני — שני תאים בשורה X=0 בעמודות 00 ו-10. קיבוץ שלישי — שני תאים בשורה X=1 בעמודות 01 ו-11.
F = Y + X · Z + X · Z
💡
שימו לב: שני האיברים האחרונים יוצרים יחד את הפונקציה X · Z + X · Z, שהיא בדיוק פעולת ה-XNOR של X ו-Z. אפשר לכתוב אפוא גם: F = Y + X ⊕ Z.
סעיף ב — מימוש בשערים לוגיים
נדרשים שלושה מהפכים (על X, Y, Z), שני שערי AND דו-כניסיים ושער OR תלת-כניסי, המחוברים כך שכל איבר של הסכום נכנס לשער ה-OR המשותף.
סעיף ג — מימוש במערכת מתגים
סכום לוגי מתממש בענפים מקביליים, ומכפלה לוגית מתממשת במגעים בטור. לכן המערכת בנויה משלושה ענפים המחוברים במקביל: ענף אחד עם מגע המשלים של Y, ענף שני עם שני מגעים בטור למשלים של X ולמשלים של Z, וענף שלישי עם שני מגעים בטור ל-X ול-Z.
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מטבלת אמת אל מפת קרנו.
שאלה 10 — שערים בסיסיים ומערכת לוגית
נתונים: מערכת המשלבת מהפכים, שער NAND, שער AND ושער NOR
סעיף א1 — טבלת האמת של שער NAND
השער מבצע מכפלה לוגית ולאחריה שלילה. המוצא הוא 0 רק כאשר שתי הכניסות הן 1:
A
B
F₁ = NAND
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
סעיף א2 — טבלת האמת של שער NOR
השער מבצע סכום לוגי ולאחריו שלילה. המוצא הוא 1 רק כאשר שתי הכניסות הן 0:
A
B
F₂ = NOR
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
סעיף ב — הביטוי במוצא המערכת
נעקוב אחרי המערכת שער אחרי שער: שני המהפכים נותנים את המשלים של A ואת המשלים של B; שער ה-NAND פועל עליהם; שער ה-AND נותן את המכפלה של B ו-C; ושער ה-NOR הסופי מאחד את הכול:
F(A,B,C) = (A · B) + (B · C)
סעיף ג — פישוט
(A · B) = A + B
F = (A + B) + B · C
לפי חוק הבליעה, הסכום B + B·C שווה ל-B, ולאחר מכן נפעיל את משפט דה-מורגן:
F = A + B = A · B
F = A · B = A + B (2 ליטרלים)
💡
המסקנה: המשתנה C נעלם לחלוטין מהפונקציה. כל המערכת המורכבת שקולה לשער NOR יחיד עם הכניסות A ו-B בלבד — דוגמה מצוינת לחשיבות הפישוט לפני המימוש.
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מערכת שלמה שמתגלה כשער NOR.
🌡️ שאלות 11–12 — לתלמידי בקרת אקלים
שאלה 11 — מחזור תלת-שלבי של גז אידאלי
נתונים: גז חד-אטומי · TA = 450K · TB = 300K · PA = 1atm · A→B אדיאבטי · B→C איזוברי · C→A איזוכורי
סעיף א — הגדרת המושגים
תהליך איזוכורי — תהליך שבו נפח הגז נשאר קבוע. הגז אינו מבצע עבודה, וכל החום הנכנס או היוצא משנה את האנרגייה הפנימית בלבד. הלחץ והטמפרטורה משתנים ביחס ישר.
תהליך אדיאבטי — תהליך שבו אין חילופי חום עם הסביבה. העבודה נעשית כולה על חשבון האנרגייה הפנימית של הגז, ומתקיים בו הקשר שמכפלת הלחץ בנפח בחזקת גמא נשארת קבועה.
תהליך איזוברי — תהליך שבו לחץ הגז נשאר קבוע. הנפח והטמפרטורה משתנים ביחס ישר זה לזה, והעבודה מחושבת ממכפלת הלחץ בשינוי הנפח.
סעיף ב — סרטוט המחזור במישור לחץ-נפח
המחזור סגור: הגז מתפשט אדיאבטית מנקודה A לנקודה B, נדחס בלחץ קבוע מ-B ל-C (שם הנפח שווה לנפח ההתחלתי), וחוזר לנקודת המוצא בנפח קבוע. הגרף מתחיל בלחץ גבוה ונפח קטן ב-A, יורד בעקומה תלולה ל-B, ממשיך אופקית שמאלה ל-C, ועולה אנכית חזרה ל-A.
סעיף ג — חישוב הטמפרטורה TC
γ = 53 = 1.667
הלחץ בנקודה B מתקבל מהקשר האדיאבטי בין הלחץ לטמפרטורה:
PBPA = (TBTA)2.5 = (0.6667)2.5 = 0.3629
PB = 1 × 0.3629 = 0.3629 atm
התהליך B→C איזוברי ולכן הלחץ נשמר, והתהליך C→A איזוכורי ולכן הנפח נשמר. משוואת המצב בין A ל-C נותנת:
TCTA = PCPA = 0.3629
TC = 450 × 0.3629
TC ≈ 163.3 K ≈ -109.7 °C
🧪סימולציה בתוך הדף— מחזור אדיאבטי-איזוברי-איזוכורי
החליפו לגז דו-אטומי וראו את המעריך משתנה מ-2.5 ל-3.5 — ואת כל המחזור משנה צורה.
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — מחזור אדיאבטי-איזוברי-איזוכורי.
שאלה 12 — התפשטות איזותרמית ועבודת הגז
נתונים: n = 5 mol · T = 15°C · V₂/V₁ = 5/4 · תהליך איזותרמי
סעיף א — הגדרת המושג "תהליך איזותרמי"
תהליך איזותרמי הוא תהליך שבו הטמפרטורה של הגז נשארת קבועה לכל אורכו. עבור גז אידאלי מתקיים בו חוק בויל: מכפלת הלחץ בנפח קבועה. מכיוון שהאנרגייה הפנימית של גז אידאלי תלויה בטמפרטורה בלבד, שינוי האנרגייה הפנימית בתהליך שווה לאפס.
סעיף ב — החוק הראשון של התרמודינמיקה
ניסוח כללי: שינוי האנרגייה הפנימית שווה להפרש בין החום שנמסר לגז לבין העבודה שהגז מבצע.
Δ U = Q - W
בתהליך איזותרמי הטמפרטורה קבועה, ולכן שינוי האנרגייה הפנימית שווה לאפס, ומכאן שכל החום שנכנס הופך במלואו לעבודה:
Q = W
סעיף ג — העבודה שביצע הגז
W = n · R · T · ln(V₂V₁)
T = 15 + 273 = 288 K
n · R · T = 5 × 8.314 × 288 = 11972 J
ln(1.25) = 0.2231
W = 11972 × 0.2231
W ≈ 2671 J ≈ 2.67 kJ
העבודה חיובית — הגז התפשט וביצע עבודה על סביבתו. מכיוון שהתהליך איזותרמי, גם החום שנמסר לגז שווה ל-2671 ג'אול.
🧪סימולציה בתוך הדף— התפשטות איזותרמית והעבודה
השטח מתחת לעקומה הוא העבודה; הגדילו את יחס הנפחים וראו אותה גדלה לוגריתמית.
🧪 בגרסת האתר יש כאן סימולציה אינטראקטיבית — התפשטות איזותרמית והעבודה.