الفصل 3
أسس الجبر البولياني
יסודות האלגברה הבוליאנית
في الفصل السابق تعلمنا أن نربط بين العبارات بثلاثة روابط: «و»، «أو»، «ليس». الآن نحوّل هذه الروابط إلى حساب حقيقي له قواعد، تماما كما للجمع والضرب قواعد. هذا الحساب يسمى الجبر البولياني، وهو اللغة التي نكتب بها كل دائرة رقمية. بواسطته نكتب دالة تصف ما يجب أن تفعله الدائرة، نبسّط الدالة حتى تصبح أقصر، ثم نبنيها من بوابات منطقية. دالة أقصر معناها بوابات أقل: دائرة أرخص، أصغر وأسرع.
في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:
- نعرّف العمليات الثلاث الأساسية NOT ، AND ، OR ، ونرسم البوابة التي تنفّذ كل عملية.
- نحسب قيمة تعبير بولياني حسب ترتيب العمليات، ونبني له جدول صواب.
- ننتقل من تعبير بولياني إلى دائرة بوابات، ومن دائرة بوابات إلى تعبير.
- نستعمل القواعد الأساسية: قواعد الثوابت، قواعد المتغير الواحد، التبديل، التجميع والتوزيع، ونشرح مبدأ الثنوية.
- نبسّط تعابير بواسطة قواعد الاختصار.
- نطبّق قانونَي دي مورغان على تعبير منفيّ.
- نعرف البوابات NAND ، NOR ، XOR ، XNOR : الرمز، جدول الصواب والتعبير.
- نكتب دالة بوليانية من وصف بالكلمات ونبسّطها خطوة بعد خطوة.
מושגי יסוד ופעולות יסודיות של האלגברה הבוליאנית: NOT, AND, OR. הכרת השערים לביצוע פעולות אלו – العمليات الأساسية NOT ، AND ، OR وبواباتها (Basic Operations & Gates)
الجبر البولياني (אלגברה בוליאנית): هو حساب يعمل على قيمتين فقط: 0 و 1. فيه ثلاث عمليات أساسية: NOT ، AND ، OR — وهي الروابط «ليس»، «و»، «أو» من الفصل 2.
وضع أسس هذا الحساب العالم الإنجليزي جورج بول في القرن التاسع عشر، لكي يكتب قواعد التفكير المنطقي كمعادلات. بعد نحو مئة سنة لاحظ المهندس كلود شانون أن دوائر المفاتيح الكهربائية تتصرف بالضبط حسب هذا الحساب — ومن هنا بدأ تصميم الدوائر الرقمية.
متغير بولياني (משתנה בוליאני): هو حرف (A ، B ، C ...) يمثّل إشارة في الدائرة، وقيمته 0 أو 1 فقط. الثابت (קבוע) هو قيمة لا تتغير: 0 أو 1.
البوابة المنطقية (שער לוגי): هي دائرة إلكترونية صغيرة تنفّذ عملية (פעולה) بوليانية واحدة. لها مدخل واحد أو أكثر ومخرج واحد. في الرسم: المداخل في اليسار والمخرج في اليمين.
نتذكر: في الدائرة الحقيقية القيمة 1 هي جهد عال (حوالي 5 V) والقيمة 0 هي جهد منخفض (حوالي 0 V). نحن لا نهتم بالجهد الدقيق — يهمنا فقط: عال أم منخفض.
العملية NOT — العاكس – פעולת NOT – המהפך:
العملية NOT (פעולת NOT (היפוך)): تعكس القيمة: إذا دخل 0 خرج 1 ، وإذا دخل 1 خرج 0. نكتبها خطا فوق المتغير: A ، ونقرأ «ليس A» أو «A منفيّ». البوابة التي تنفّذها تسمى العاكس (מהפך).
رمز العاكس: مثلث وفي رأسه دائرة صغيرة. الدائرة الصغيرة هي علامة العكس
| A | F = A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
العملية AND – פעולת AND:
العملية AND (פעולת AND (וגם)): المخرج 1 فقط عندما كل المداخل 1. يكفي مدخل واحد قيمته 0 ليصبح المخرج 0. نكتبها بنقطة: A·B ، ونقرأ «A و B».
رمز بوابة AND: ظهر مستقيم ومقدمة مستديرة
| A | B | F = A·B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
ملاحظة: العملية AND تشبه الضرب العادي: 0·0 = 0 ، 0·1 = 0 ، 1·0 = 0 ، 1·1 = 1. لذلك نسمي A·B حاصل ضرب (מכפלה). في الدائرة الكهربائية: مفتاحان على التوالي.
العملية OR – פעולת OR:
العملية OR (פעולת OR (או)): المخرج 1 عندما مدخل واحد على الأقل قيمته 1. المخرج 0 فقط عندما كل المداخل 0. نكتبها بإشارة زائد: A + B ، ونقرأ «A أو B».
رمز بوابة OR: ظهر مقوّس ومقدمة مدبّبة
| A | B | F = A + B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
انتبه: العملية OR تشبه الجمع العادي في ثلاثة أسطر: 0 + 0 = 0 ، 0 + 1 = 1 ، 1 + 0 = 1. لكن في السطر الرابع: 1 + 1 = 1 ، وليس 2 ولا 102. في الجبر البولياني لا توجد قيمة غير 0 و 1. في الدائرة الكهربائية: مفتاحان على التوازي.
بوابات لها أكثر من مدخلين – שערים בעלי יותר משני מבואות:
القاعدة لا تتغير عندما نضيف مداخل: مخرج AND هو 1 فقط إذا كل المداخل 1 ؛ مخرج OR هو 0 فقط إذا كل المداخل 0. للعاكس دائما مدخل واحد.
F = A·B·C
| A | B | C | A·B·C | A + B + C |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
G = A + B + C
| العملية | بالعبرية | التعبير | المخرج 1 عندما | دائرة المفاتيح |
|---|---|---|---|---|
| NOT | לא (היפוך) | F = A | المدخل 0 | مفتاح على التوازي مع المصباح |
| AND | וגם | F = A·B | كل المداخل 1 | مفاتيح على التوالي |
| OR | או | F = A + B | مدخل واحد على الأقل 1 | مفاتيح على التوازي |
مثال 3.1
لبوابة AND ولبوابة OR ثلاثة مداخل: A = 1 ، B = 0 ، C = 1. ما هو مخرج كل بوابة؟ وما هو مخرج عاكس مدخله B ؟
الحل:
بوابة AND: ليست كل المداخل 1 (المدخل B = 0) ← المخرج 0.
بوابة OR: يوجد مدخل واحد على الأقل قيمته 1 ← المخرج 1.
العاكس: B = 0 ← B = 1.
A·B·C = 0 , A + B + C = 1 , B = 1
البوابات مع إشارات تتغير في الزمن – צורות גל במבואות ובמוצא:
في دائرة حقيقية المداخل تتغير كل الوقت. نرسم كل إشارة كخط يصعد إلى 1 وينزل إلى 0 ؛ هذا الرسم يسمى مخطط الزمن (דיאגרמת זמנים). لكي نجد المخرج نقسّم الزمن إلى فترات، وفي كل فترة نحسب المخرج حسب جدول الصواب.
مثال 3.2
الإشارتان A و B تدخلان إلى بوابة AND مخرجها X ، وإلى بوابة OR مخرجها Y. نرسم المخرجين.
الحل:
نمرّ على الفترات من اليسار إلى اليمين. المخرج X = A·B يصعد إلى 1 فقط في الفترات التي فيها A و B كلاهما 1.
المخرج Y = A + B ينزل إلى 0 فقط في الفترات التي فيها A و B كلاهما 0.
X = A·B (الخط الثالث) ، Y = A + B (الخط الرابع)
بالأرقام، فترة بعد فترة: X = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ، Y = 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0.
سؤال 3.1: الإشارتان A و B في الرسم تدخلان إلى بوابة AND. نكتب قيمة المخرج F في كل فترة (من اليسار إلى اليمين) ونرسمه في السطر الفارغ.
تدريب سريع — ما هو مخرج البوابة؟
1AND ، المداخل: 1 , 1
2AND ، المداخل: 1 , 0
3OR ، المداخل: 0 , 0
4OR ، المداخل: 0 , 1
5NOT ، المداخل: 1
6NOT ، المداخل: 0
7AND ، المداخل: 1 , 1 , 0
8AND ، المداخل: 1 , 1 , 1
9OR ، المداخل: 0 , 0 , 0
10OR ، المداخل: 0 , 1 , 0
11AND ، المداخل: 0 , 0 , 0
12OR ، المداخل: 1 , 1 , 1
الإجابات: 1 1 2 0 3 0 4 1 5 0 6 1 7 0 8 1 9 0 10 1 11 0 12 1
تدريب سريع — نفكّر في البوابات
1بوابة AND لها 4 مداخل. في كم تركيبة المخرج 1 ؟
2بوابة OR لها 4 مداخل. في كم تركيبة المخرج 1 ؟
3بوابة OR لها 3 مداخل. في كم تركيبة المخرج 0 ؟
4بوابة AND لها 3 مداخل. في كم تركيبة المخرج 0 ؟
5مخرج بوابة AND هو 1. ماذا نعرف عن المداخل؟
6مخرج بوابة OR هو 0. ماذا نعرف عن المداخل؟
الإجابات: 1 1 من 16 2 15 من 16 3 1 من 8 4 7 من 8 5 كلها 1 6 كلها 0
▶تجربة حية — مختبر البوابات المنطقيةنختار بوابة، نغيّر المداخل بضغطة ونرى المخرج، جدول الصواب ومخطط الزمن.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=gates
ביטויים בוליאניים והסדר לביצוע פעולות בוליאניות. פונקציות בוליאניות – التعابير البوليانية، ترتيب العمليات والدوال البوليانية (Expressions & Functions)
تعبير بولياني (ביטוי בוליאני): هو كتابة مبنية من متغيرات، ثوابت وعمليات بوليانية، وقد تحتوي على أقواس. مثلا: A·B + C أو (A + B)·A·C.
ترتيب العمليات – סדר ביצוע הפעולות:
كما في الحساب العادي، يجب أن نتفق على ترتيب العمليات (סדר הפעולות) لكي يحصل الجميع على نفس النتيجة:
- الأقواس — نحسب أولا ما بداخلها.
- NOT — العكس. خط فوق تعبير كامل يعمل كأنه قوسان: نحسب أولا كل ما تحت الخط، ثم نعكس النتيجة.
- AND — الضرب.
- OR — الجمع، في النهاية.
مثال 3.3
نحسب قيمة التعبير F = A + B·C عندما A = 0 ، B = 1 ، C = 0.
الحل:
نعوّض القيم:
F = 0 + 1·0
أولا NOT: 0 = 1.
F = 0 + 1·1
ثم AND: 1·1 = 1.
F = 0 + 1
وفي النهاية OR: 0 + 1 = 1.
F = 1
مثال 3.4
نحسب قيمة التعبير F = A + B·C + A·C عندما A = 0 ، B = 0 ، C = 1.
الحل:
الخط فوق A + B يعمل كقوسين: نحسب أولا A + B = 0 + 0 = 0 ، ثم نعكس: A + B = 1.
العكس الثاني: C = 1 = 0.
F = 1·1 + 0·0
الضرب قبل الجمع: 1·1 = 1 و 0·0 = 0.
F = 1 + 0
F = 1
انتبه: خط واحد طويل ليس مثل خطين قصيرين! التعبير A·B معناه: نضرب أولا ثم نعكس. التعبير A·B معناه: نعكس كل متغير ثم نضرب. الجدول يبيّن أن النتيجتين مختلفتان في سطرين.
| A | B | A·B | A·B | A | B | A·B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
سؤال 3.2: نحسب قيمة F = A·B + C وقيمة G = A·B + C عندما A = 1 ، B = 0 ، C = 1.
تدريب سريع — نحسب قيمة التعبير عندما A = 1 ، B = 0 ، C = 1
1A·B + C
2A·(B + C)
3A + B·C
4A + B
5A + B
6A·B·C
7A·C + B
8(A + B)·(B + C)
9A·B·C
10A·C + A·C
11A + B
12A·B + C
الإجابات: 1 1 2 1 3 0 4 0 5 1 6 1 7 0 8 1 9 1 10 0 11 1 12 0
تدريب سريع — نحسب قيمة التعبير عندما A = 0 ، B = 1 ، C = 1 ، D = 0
1A·B + C·D
2(A + B)·(C + D)
3A·B·D
4A + B·C
5A + D·C
6A·B + C·D
7B·C + D
8A·B·C
الإجابات: 1 0 2 1 3 1 4 0 5 1 6 1 7 0 8 0
الدالة البوليانية – פונקציה בוליאנית:
دالة بوليانية (פונקציה בוליאנית): هي قاعدة تعطي لكل تركيبة من قيم المداخل قيمة واحدة للمخرج: 0 أو 1. نكتب F(A,B,C) ونقرأ «F دالة للمتغيرات A ، B ، C».
نستطيع أن نعرض نفس الدالة بثلاث طرق، وننتقل من طريقة إلى أخرى: تعبير بولياني ، جدول صواب ، دائرة بوابات. جدول الصواب لدالة هو واحد فقط، لكن دوالّ كثيرة لها أكثر من تعبير — وهذا ما يسمح لنا بالتبسيط.
مثال 3.5
معطاة الدالة F(A,B,C) = A·B + C. نبني لها جدول صواب.
الحل:
ثلاثة متغيرات ← 23 = 8 أسطر. نضيف عمودَي مساعدة حسب ترتيب العمليات: أولا B ، ثم A·B ، وفي النهاية الجمع مع C.
| A | B | C | B | A·B | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
الدالة تساوي 1 في 5 أسطر: في كل سطر فيه C = 1 ، وأيضا في السطر ABC = 100.
تدريب سريع — نبني جدول صواب للدالة ونكتب عمود F من الأعلى إلى الأسفل
1F = A·B + C
2F = (A + B)·C
3F = A·B + C
4F = A·B + C
5F = A·B + A·B
6F = A + B + C
الإجابات: 1 1 0 1 0 1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 0 1 3 1 1 1 1 1 1 0 1 4 0 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 1 1 1 0 0 6 1 0 0 0 0 0 0 0
من تعبير إلى دائرة بوابات – מביטוי למעגל שערים:
نرسم بنفس ترتيب الحساب: العملية التي نحسبها أولا هي البوابة الأقرب إلى المداخل، والعملية الأخيرة هي البوابة التي يخرج منها F. كل متغير يدخل من خط عمودي في يسار الرسم؛ نقطة سوداء معناها أن السلكين موصولان، وتقاطع بدون نقطة معناه أنهما غير موصولين.
مثال 3.6
نرسم دائرة بوابات تبني الدالة F = A·B + C.
الحل:
العملية الأخيرة هي OR ، ولذلك البوابة الأخيرة هي بوابة OR لها مدخلان: A·B و C.
المدخل A·B يخرج من بوابة AND مدخلاها A و B. المدخل C يخرج من عاكس مدخله C.
الدائرة التي تبني F = A·B + C
احتجنا إلى 3 بوابات: NOT × 1 ، AND × 1 ، OR × 1.
من دائرة بوابات إلى تعبير – ממעגל שערים לביטוי:
نتقدم من المداخل نحو المخرج: نكتب عند مخرج كل بوابة التعبير الذي يخرج منها، حتى نصل إلى البوابة الأخيرة. عندما يدخل إلى بوابة AND تعبير فيه جمع — نضعه بين قوسين.
مثال 3.7
نكتب التعبير البولياني للمخرج F في الدائرة التي في الرسم، ونحسب F عندما A = 1 ، B = 1 ، C = 0.
الحل:
نسمّي مخارج البوابات الداخلية X ، Y ، Z ونكتب تعبير كل واحد:
X = A + B
Y = B·C
Z = Y = B·C
البوابة الأخيرة هي AND بين X وبين Z. التعبير X فيه جمع، ولذلك نضعه بين قوسين:
F = X·Z
عندما A = 1 ، B = 1 ، C = 0 : X = 1 ، Y = 0 ، Z = 1 ، ولذلك F = 1.
F = (A + B)·B·C
سؤال 3.3: نكتب التعبير البولياني للمخرج F في الدائرة، ونبني جدول الصواب.
تدريب سريع — نكتب التعبير البولياني للمخرج F
1
2
3
4
5
6
الإجابات: 1 F = A·B + C 2 F = (A + B)·C 3 F = A·B + C 4 F = A + B·C 5 F = A·B + A·C 6 F = (A + B)·(B + C)
تدريب سريع — نرسم دائرة بوابات لكل دالة. كم بوابة نحتاج ومن أي نوع؟
1F = A·B·C
2F = A + B·C
3F = (A + B)·(A + C)
4F = A·B
5F = A + B + C
6F = A·B + A·B
7F = A·(B + C)
8F = A·B·C
الإجابات: 1 AND × 1 2 AND × 1 ، OR × 1 3 AND × 1 ، OR × 2 4 NOT × 2 ، AND × 1 5 NOT × 1 ، OR × 2 6 NOT × 2 ، AND × 2 ، OR × 1 7 NOT × 1 ، AND × 1 ، OR × 1 8 NOT × 1 ، AND × 1
▶تجربة حية — بنّاء الدوائر المنطقيةنسحب بوابات إلى لوحة العمل، نوصل بينها بأسلاك ونرى جدول الصواب للدائرة التي بنيناها.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld
כללים יסודיים באלגברה הבוליאנית: זהויות בוליאניות, כללים לגבי משתנה אחד, פעולות בין משתנה לקבועים, כללים לגבי מספר משתנים (חילוף, קיבוץ, פילוג), עקרון הדואליות – القواعد الأساسية في الجبر البولياني (Basic Laws)
متطابقة بوليانية (זהות בוליאנית): هي مساواة بين تعبيرين تبقى صحيحة لكل القيم الممكنة للمتغيرات. تعبيران متطابقان لهما نفس جدول الصواب، ولذلك نستطيع أن نبدّل واحدا بالآخر.
كل قاعدة (כלל) في هذا البند هي متطابقة. نبرهن متطابقة بطريقة بسيطة: نبني جدول صواب للطرفين ونفحص أن العمودين متساويان في كل الأسطر. لأن عدد الأسطر محدود، الفحص كامل ولا يبقى شك.
عمليات بين متغير وثابت – פעולות בין משתנה לקבועים:
ماذا يحدث عندما أحد مدخلَي البوابة موصول دائما بـ 0 أو دائما بـ 1 ؟
قواعد الثوابت · פעולות בין משתנה לקבועים
A + 0 = A
A·1 = A
A + 1 = 1
A·0 = 0
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| A + 0 | الصفر لا يؤثر في OR: المخرج يتبع A | — |
| A·1 | الواحد لا يؤثر في AND: المخرج يتبع A | — |
| A + 1 | واحد في مدخل OR يثبّت المخرج على 1 | — |
| A·0 | صفر في مدخل AND يثبّت المخرج على 0 | — |
| A | A + 0 | A·1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| A | A + 1 | A·0 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
ملاحظة: بلغة المفاتيح: مفتاح A على التوازي مع سلك موصول دائما (1) — التيار يمرّ دائما: A + 1 = 1. مفتاح A على التوالي مع سلك مقطوع دائما (0) — التيار لا يمرّ أبدا: A·0 = 0.
قواعد المتغير الواحد – כללים לגבי משתנה אחד:
قواعد المتغير الواحد · כללים לגבי משתנה אחד
A + A = A
A·A = A
A + A = 1
A·A = 0
A = A
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| A + A | قاعدة التكرار: متغير مع نفسه يعطي نفسه — في OR وفي AND | — |
| A + A | قاعدة المتمم: متغير مع عكسه — في OR دائما 1 ، في AND دائما 0 | — |
| A | النفي المزدوج (שלילה כפולה): عكس العكس يعيدنا إلى الأصل | — |
| A | A | A + A | A·A | A + A | A·A | A |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
ملاحظة: لماذا A + A = 1 ؟ لأن واحدا من الاثنين A أو A هو دائما 1. ولماذا A·A = 0 ؟ لأن واحدا منهما هو دائما 0. القواعد صحيحة أيضا عندما نبدّل A بتعبير كامل: مثلا A·B + A·B = 1.
تدريب سريع — نكمل حسب قواعد الثوابت وقواعد المتغير الواحد
1A + 0 =
2A·1 =
3A + 1 =
4A·0 =
5B + B =
6B·B =
7C + C =
8C·C =
9B =
101 + 0 =
111·0 =
120 =
13A·B + 0 =
14(A + B)·1 =
15A·B·0 =
16A·B + 1 =
17A·B + A·B =
18(A + C)·A + C =
الإجابات: 1 A 2 A 3 1 4 0 5 B 6 B 7 1 8 0 9 B 10 1 11 0 12 1 13 A·B 14 A + B 15 0 16 1 17 A·B 18 0
قواعد لعدة متغيرات: التبديل، التجميع، التوزيع – כללים לגבי מספר משתנים: חילוף, קיבוץ, פילוג:
قانون التبديل · חוק החילוף
A + B = B + A
A·B = B·A
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| A , B | ترتيب المتغيرات في OR أو في AND غير مهم: لا فرق أي سلك نوصل بأي مدخل | — |
قانون التجميع · חוק הקיבוץ
(A + B) + C = A + (B + C)
(A·B)·C = A·(B·C)
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| ( ) | عندما كل العمليات من نفس النوع، مكان القوسين غير مهم — ولذلك نكتب ببساطة A + B + C أو A·B·C | — |
قانون التوزيع · חוק הפילוג
A·(B + C) = A·B + A·C
A + B·C = (A + B)·(A + C)
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| (1) | توزيع AND على OR — كما في الجبر العادي. في الاتجاه المعاكس هو إخراج عامل مشترك | — |
| (2) | توزيع OR على AND — قاعدة خاصة بالجبر البولياني، لا توجد في الجبر العادي | — |
مثال 3.8
نبرهن بجدول صواب قانون التوزيع الثاني: A + B·C = (A + B)·(A + C).
الحل:
نبني عمودا للطرف الأيسر وعمودا للطرف الأيمن، مع أعمدة المساعدة:
| A | B | C | B·C | A + B·C | A + B | A + C | (A + B)·(A + C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
العمود A + B·C والعمود (A + B)·(A + C) متساويان في كل الأسطر الثمانية، ولذلك المتطابقة صحيحة.
مثال 3.9
نبرهن نفس القانون بطريقة جبرية: نبدأ من الطرف (A + B)·(A + C) ونصل إلى A + B·C.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = (A + B)·(A + C) | المعطى |
| F = A·A + A·C + B·A + B·C | قانون التوزيع: نضرب كل حد في القوس الأول في كل حد في القوس الثاني. |
| F = A + A·C + A·B + B·C | قاعدة التكرار A·A = A ، وقانون التبديل B·A = A·B. |
| F = A·(1 + C + B) + B·C | نخرج العامل المشترك A من الحدود الثلاثة الأولى (A = A·1). |
| F = A·1 + B·C | قاعدة الثوابت: 1 + C + B = 1. |
| F = A + B·C | قاعدة الثوابت: A·1 = A. |
F = A + B·C
انتبه: في الجبر البولياني لا يوجد طرح ولا قسمة. لا نستطيع أن «نختصر» A من الطرفين: من A + B = A + C لا ينتج أن B = C (مثلا عندما A = 1 الطرفان متساويان مهما كانت B و C).
مبدأ الثنوية – עקרון הדואליות:
مبدأ الثنوية (עקרון הדואליות): إذا أخذنا متطابقة صحيحة وبدّلنا فيها كل عملية OR بعملية AND ، كل عملية AND بعملية OR ، كل 0 بـ 1 وكل 1 بـ 0 — نحصل على متطابقة صحيحة أخرى. المتغيرات وخطوط النفي لا تتغير. المتطابقة الجديدة تسمى الثنوية للأولى.
هذا هو السبب أن القواعد تأتي دائما أزواجا. ننتبه للأقواس: قبل التبديل نضع قوسين حول كل حاصل ضرب، لكي نحافظ على ترتيب العمليات.
| اسم القاعدة | المتطابقة | المتطابقة الثنوية |
|---|---|---|
| قواعد الثوابت | A + 0 = A | A·1 = A |
| قواعد الثوابت | A + 1 = 1 | A·0 = 0 |
| قاعدة التكرار | A + A = A | A·A = A |
| قاعدة المتمم | A + A = 1 | A·A = 0 |
| النفي المزدوج | A = A | A = A |
| قانون التبديل | A + B = B + A | A·B = B·A |
| قانون التجميع | (A + B) + C = A + (B + C) | (A·B)·C = A·(B·C) |
| قانون التوزيع | A·(B + C) = A·B + A·C | A + B·C = (A + B)·(A + C) |
مثال 3.10
نكتب المتطابقة الثنوية للمتطابقة A·(B + C) = A·B + A·C.
الحل:
نضع قوسين حول كل حاصل ضرب في الطرف الأيمن: (A·B) + (A·C).
نبدّل كل ضرب (AND) بجمع (OR) وكل جمع بضرب. المتغيرات وخط النفي فوق C لا تتغير:
A + B·C = (A + B)·(A + C)
حصلنا على قانون التوزيع الثاني — وهو فعلا متطابقة صحيحة.
A + B·C = (A + B)·(A + C)
تدريب سريع — نكتب المتطابقة الثنوية
1A + A = 1
2A·0 = 0
3A·(A + B) = A
4A + A·B = A + B
5A·B = A + B
6A·B + A·B = A
الإجابات: 1 A·A = 0 2 A + 1 = 1 3 A + A·B = A 4 A·(A + B) = A·B 5 A + B = A·B 6 (A + B)·(A + B) = A
نبسّط بواسطة القواعد الأساسية – פישוט בעזרת הכללים היסודיים:
التبسيط (פישוט) هو كتابة نفس الدالة بتعبير أقصر. في كل خطوة نستعمل قاعدة واحدة ونكتب اسمها.
مثال 3.11
نبسّط الدالة F = A·A + B·1.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·A + B·1 | المعطى |
| F = 0 + B·1 | قاعدة المتمم: A·A = 0. |
| F = 0 + B | قاعدة الثوابت: B·1 = B. |
| F = B | قاعدة الثوابت: 0 + B = B. |
F = B
مثال 3.12
نبسّط الدالة F = A·B + A·B.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B + A·B | المعطى |
| F = B·A + B·A | قانون التبديل: نكتب B أولا في كل حاصل ضرب. |
| F = B·(A + A) | قانون التوزيع: نخرج العامل المشترك B. |
| F = B·1 | قاعدة المتمم: A + A = 1. |
| F = B | قاعدة الثوابت: B·1 = B. |
F = B
ملاحظة: النتيجة منطقية: في A·B + A·B المتغير A يظهر مرة كما هو ومرة معكوسا، مع نفس الشريك B. معنى ذلك أن قيمة A لا تهم — المخرج يتعلق بـ B فقط.
مثال 3.13
نبسّط الدالة F = A·B·C + A·B·C + A·B.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B·C + A·B·C + A·B | المعطى |
| F = A·B·(C + C) + A·B | قانون التوزيع: نخرج العامل المشترك A·B من الحدين الأولين. |
| F = A·B·1 + A·B | قاعدة المتمم: C + C = 1. |
| F = A·B + A·B | قاعدة الثوابت: A·B·1 = A·B. |
| F = A·B | قاعدة التكرار: X + X = X ، هنا X = A·B. |
F = A·B
سؤال 3.4: نبسّط الدالة F = (A + A)·B + B·C·0 ونكتب اسم القاعدة في كل خطوة.
تدريب سريع — ما اسم القاعدة التي استعملناها؟
1A + B = B + A
2A·(B + C) = A·B + A·C
3B·B = 0
4C + C = C
5(A·B)·C = A·(B·C)
6A·B + 0 = A·B
7C = C
8A + B·C = (A + B)·(A + C)
9A·B + C = C + A·B
10(A + B) + A + B = 1
الإجابات: 1 قانون التبديل 2 قانون التوزيع 3 قاعدة المتمم 4 قاعدة التكرار 5 قانون التجميع 6 قواعد الثوابت 7 النفي المزدوج 8 قانون التوزيع 9 قانون التبديل 10 قاعدة المتمم
تدريب سريع — نبسّط بواسطة القواعد الأساسية
1F = A·B + A·B
2F = A·B + A·B
3F = A·1 + A·0
4F = (A + B)·(A + B)
5F = A·B·B + C
6F = A·A + B + B
7F = (A + A)·(B + B)
8F = A·B·C + A·B·C
9F = A·(B + B) + A
10F = A·B + A·B
الإجابات: 1 A 2 A 3 A 4 A 5 C 6 B 7 1 8 B·C 9 1 10 A·B
כללי צמצום – قواعد الاختصار (Absorption Rules)
القواعد الأساسية تكفي لتبسيط أي تعبير، لكن الطريق قد يكون طويلا. قواعد الاختصار (כללי צמצום) هي متطابقات جاهزة، برهنّاها مرة واحدة ونستعملها بعد ذلك في خطوة واحدة. كل قاعدة تأتي مع القاعدة الثنوية لها.
قاعدة الامتصاص – כלל הבליעה:
قاعدة الامتصاص · כלל הבליעה (צמצום)
A + A·B = A
A·(A + B) = A
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| (1) | حدّ يحتوي على A مضروبا في شيء آخر «يُمتصّ» داخل A | — |
| (2) | القاعدة الثنوية | — |
مثال 3.14
نبرهن قاعدة الامتصاص A + A·B = A بطريقة جبرية، ونفحص بجدول صواب.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A + A·B | المعطى |
| F = A·1 + A·B | قاعدة الثوابت: نكتب A بالشكل A·1. |
| F = A·(1 + B) | قانون التوزيع: نخرج العامل المشترك A. |
| F = A·1 | قاعدة الثوابت: 1 + B = 1. |
| F = A | قاعدة الثوابت: A·1 = A. |
| A | B | A·B | A + A·B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
العمود الأخير يساوي العمود A في كل الأسطر.
A + A·B = A
ملاحظة: لماذا هذا منطقي؟ إذا A = 1 فالنتيجة 1 بدون أن ننظر إلى B. وإذا A = 0 فالحدّ A·B هو أيضا 0 والنتيجة 0. في الحالتين النتيجة هي A.
مثال 3.15
نبرهن القاعدة الثنوية A·(A + B) = A.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·(A + B) | المعطى |
| F = A·A + A·B | قانون التوزيع. |
| F = A + A·B | قاعدة التكرار: A·A = A. |
| F = A | قاعدة الامتصاص التي برهنّاها. |
A·(A + B) = A
قاعدة حذف المتغير المعكوس – כלל הצמצום השני:
قاعدة حذف المتغير المعكوس · כלל צמצום
A + A·B = A + B
A·(A + B) = A·B
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| (1) | إذا ظهر A لوحده، ومعه حدّ فيه A — نحذف A من ذلك الحد | — |
| (2) | القاعدة الثنوية | — |
مثال 3.16
نبرهن القاعدة A + A·B = A + B.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A + A·B | المعطى |
| F = (A + A)·(A + B) | قانون التوزيع الثاني: X + Y·Z = (X + Y)·(X + Z). |
| F = 1·(A + B) | قاعدة المتمم: A + A = 1. |
| F = A + B | قاعدة الثوابت. |
A + A·B = A + B
مثال 3.17
نبرهن القاعدة الثنوية A·(A + B) = A·B.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·(A + B) | المعطى |
| F = A·A + A·B | قانون التوزيع. |
| F = 0 + A·B | قاعدة المتمم: A·A = 0. |
| F = A·B | قاعدة الثوابت. |
A·(A + B) = A·B
قاعدة الدمج – כלל האיחוד:
قاعدة الدمج · כלל צמצום (איחוד)
A·B + A·B = A
(A + B)·(A + B) = A
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| (1) | حدّان متساويان في كل شيء ما عدا متغيرا واحدا يظهر مرة كما هو ومرة معكوسا — ندمجهما ونحذف هذا المتغير | — |
| (2) | القاعدة الثنوية | — |
مثال 3.18
نبرهن قاعدة الدمج A·B + A·B = A.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B + A·B | المعطى |
| F = A·(B + B) | قانون التوزيع: نخرج العامل المشترك A. |
| F = A·1 | قاعدة المتمم. |
| F = A | قاعدة الثوابت. |
A·B + A·B = A
ملاحظة: في كل القواعد الحرفان A و B يمثّلان أي تعبير. مثلا حسب قاعدة الامتصاص: C·D + C·D·E = C·D (هنا C·D يلعب دور A) ، وحسب قاعدة حذف المتغير المعكوس: B + B·C = B + C (هنا B يلعب دور A).
تدريب سريع — نطبّق قاعدة اختصار واحدة
1A + A·C =
2B·(B + C) =
3A + A·C =
4B·(B + C) =
5A·C + A·C =
6(B + C)·(B + C) =
7A + A·B =
8B + B·C =
9A·B + A·B·C =
10A·B + A·B =
11A·B + A·B·C =
12C·(C + A·B) =
الإجابات: 1 A 2 B 3 A + C 4 B·C 5 A 6 B 7 A + B 8 B 9 A·B 10 A 11 A·B + C 12 A·B·C
نبسّط بواسطة قواعد الاختصار – פישוט בעזרת כללי הצמצום:
مثال 3.19
نبسّط الدالة F = A·B + A·B·C + A·B.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B + A·B·C + A·B | المعطى |
| F = A·B + A·B | قاعدة الامتصاص: X + X·C = X ، هنا X = A·B. |
| F = B | قاعدة الدمج: الحدّان متساويان ما عدا A الذي يظهر مرة كما هو ومرة معكوسا. |
F = B
مثال 3.20
نبسّط الدالة F = A + A·B + A·C.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A + A·B + A·C | المعطى |
| F = A + A·C + A·B | قانون التبديل: نقرّب الحدين اللذين فيهما A. |
| F = A + A·B | قاعدة الامتصاص: A + A·C = A. |
| F = A + B | قاعدة حذف المتغير المعكوس. |
F = A + B
مثال 3.21
نبسّط الدالة F = A·B + A·B·C ونقارن بين الدائرة قبل التبسيط والدائرة بعده.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B + A·B·C | المعطى |
| F = A·(B + B·C) | قانون التوزيع: نخرج العامل المشترك A. |
| F = A·(B + C) | قاعدة حذف المتغير المعكوس: B + B·C = B + C. |
قبل التبسيط: 4 بوابات (NOT × 1 ، AND × 2 ، OR × 1)
بعد التبسيط: بوابتان (AND × 1 ، OR × 1)
الدائرتان تعطيان نفس جدول الصواب، لكن الثانية تحتاج إلى نصف عدد البوابات.
F = A·(B + C)
مثال 3.22
نبسّط الدالة F = (A + B)·(A + B)·C + A·C.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = (A + B)·(A + B)·C + A·C | المعطى |
| F = A·C + A·C | قاعدة الدمج الثنوية: (A + B)·(A + B) = A. |
| F = A | قاعدة الدمج: A·C + A·C = A. |
النتيجة مفاجئة: الدالة لا تتعلق بـ B ولا بـ C. بدل دائرة من عدة بوابات يكفي سلك واحد من المدخل A إلى المخرج.
F = A
سؤال 3.5: نبسّط الدالة F = A·B + A·B + A·B. (إرشاد: حسب قاعدة التكرار مسموح أن نكتب الحد A·B مرتين.)
تدريب سريع — نبسّط إلى أقصر تعبير
1F = A + A·B + A·C
2F = A·B + A·B + A·B
3F = A·(A + B) + B
4F = A + A·B + A·B
5F = A·B + A·B·C + A·B·C
6F = (A + B)·(A + C)
7F = A·B + B
8F = A·B·C + A·B·C + A·B
9F = A + A·B + A·B
10F = B·(A + B) + A·B
الإجابات: 1 A 2 A + B 3 A + B 4 1 5 A·B 6 A + B·C 7 A + B 8 A 9 1 10 A·B
כללי דה-מורגן – قانونا دي مورغان (De Morgan's Laws)
رأينا أن A·B لا يساوي A·B. إذن بماذا نبدّل خطا طويلا فوق تعبير؟ الجواب في قانونين اكتشفهما عالم الرياضيات أوغستس دي مورغان.
قانونا دي مورغان · כללי דה-מורגן
A·B = A + B
A + B = A·B
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| A·B | عكس حاصل الضرب يساوي مجموع العكوس | — |
| A + B | عكس المجموع يساوي حاصل ضرب العكوس | — |
| A | B | A·B | A + B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| A | B | A + B | A·B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
ملاحظة: قاعدة سهلة للحفظ: «نكسر الخط ونبدّل الإشارة». نكسر الخط الطويل إلى خطوط قصيرة فوق كل جزء، ونبدّل العملية التي كانت تحت مكان الكسر: الضرب يصبح جمعا، والجمع يصبح ضربا. القانونان ثنويان واحد للآخر.
القانونان صحيحان لأي عدد من المتغيرات:
A·B·C = A + B + C
A + B + C = A·B·C
بلغة البوابات: بوابة AND مع عاكس في مخرجها تساوي بوابة OR مع عاكس في كل مدخل، وبالعكس. الدائرة الصغيرة في الرسم هي عاكس.
A·B = A + B
A + B = A·B
مثال 3.23
نبسّط التعبير F = A·B.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B | المعطى |
| F = A + B | دي مورغان: نكسر الخط فوق الضرب، والضرب يصبح جمعا. |
| F = A + B | النفي المزدوج: B = B. |
F = A + B
مثال 3.24
نطبّق قانونَي دي مورغان على F = A·B + C حتى لا يبقى خط فوق أكثر من متغير واحد.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B + C | المعطى |
| F = A·B·C | دي مورغان على الجمع: العملية الأخيرة تحت الخط هي + ، ولذلك نكسر الخط عندها والجمع يصبح ضربا. |
| F = (A + B)·C | دي مورغان على الضرب A·B. نضع قوسين، لأن الجمع الجديد يجب أن يُحسب قبل الضرب في C. |
F = (A + B)·C
انتبه: الخطأ الأكثر انتشارا: أن ننسى القوسين. A·B·C يساوي (A + B)·C وليس A + B·C. عندما نكسر خطا فوق حاصل ضرب ونحصل على جمع — نحيطه دائما بقوسين إذا كان مضروبا في شيء.
مثال 3.25
نطبّق قانونَي دي مورغان على F = (A + B)·C.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = (A + B)·C | المعطى |
| F = A + B + C | دي مورغان على الضرب بين القوس وبين C. |
| F = A + B + C | النفي المزدوج. |
| F = A·B + C | دي مورغان على الجمع A + B. |
F = A·B + C
مثال 3.26
نبسّط الدالة F = A + B + A·B.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A + B + A·B | المعطى |
| F = A·B + A·B | دي مورغان على الجمع A + B. |
| F = A·B + A·B | النفي المزدوج: A = A. |
| F = A | قاعدة الدمج. |
F = A
مثال 3.27
نبسّط الدالة F = A·B·A·C.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B·A·C | المعطى |
| F = A·B + A·C | دي مورغان على الخط الطويل: الضرب بين الجزأين يصبح جمعا. |
| F = A·B + A·C | النفي المزدوج، مرتين. |
| F = A·(B + C) | قانون التوزيع: نخرج العامل المشترك A. |
F = A·(B + C)
سؤال 3.6: نطبّق قانونَي دي مورغان ونبسّط:
(أ) A·B
(ب) A + B·C.
(أ) A·B
(ب) A + B·C.
تدريب سريع — نطبّق قانون دي مورغان (والنفي المزدوج إذا لزم)
1A·B
2A + B
3A·B
4A + B
5A + B
6A·B
7A·B·C
8A + B + C
9A·B·C
10A + B + C
الإجابات: 1 A + B 2 A·B 3 A + B 4 A·B 5 A·B 6 A + B 7 A + B + C 8 A·B·C 9 A + B + C 10 A·B·C
تدريب سريع — نطبّق قانونَي دي مورغان حتى يبقى النفي فوق متغيرات فقط
1A·B + C
2(A + B)·C
3A·B + C·D
4(A + B)·(C + D)
5A·B + C
6A·B + C
7A + B·C
8A + B·C
الإجابات: 1 (A + B)·C 2 A·B + C 3 (A + B)·(C + D) 4 A·B + C·D 5 (A + B)·C 6 A·B·C 7 A·B·C 8 A + B + C
تدريب سريع — نبسّط بواسطة دي مورغان وباقي القواعد
1F = A + B·B
2F = A·B + A
3F = A + B + A·B
4F = A·B·A
5F = A·B·A
6F = A + B + A + B
7F = A + B + A + B
8F = A·B·A·B
الإجابات: 1 0 2 1 3 B 4 A·B 5 A·B 6 A 7 A 8 B
פעולות בוליאניות נוספות: NOR, NAND, XOR, XNOR. הצגת הסמלים של שערים אלו — (א) יצירת פונקציות בוליאניות (ב) פישוט פונקציות בוליאניות באמצעות כללי האלגברה הבוליאנית – عمليات بوليانية إضافية وبواباتها، بناء دوال وتبسيطها (More Gates)
من العمليات الثلاث الأساسية نبني أربع عمليات إضافية، ولكل واحدة منها بوابة جاهزة لها رمز خاص. دائرة صغيرة في مخرج البوابة معناها دائما: المخرج معكوس.
البوابة NAND – שער NAND:
العملية NAND (פעולת NAND (לא-וגם)): هي AND وبعدها NOT (الاسم من NOT-AND). المخرج 0 فقط عندما كل المداخل 1 ؛ في باقي الحالات المخرج 1.
رمز NAND: بوابة AND مع دائرة العكس
| A | B | A·B | F = A·B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
البوابة NOR – שער NOR:
العملية NOR (פעולת NOR (לא-או)): هي OR وبعدها NOT (الاسم من NOT-OR). المخرج 1 فقط عندما كل المداخل 0 ؛ في باقي الحالات المخرج 0.
رمز NOR: بوابة OR مع دائرة العكس
| A | B | A + B | F = A + B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
البوابة XOR – שער XOR:
العملية XOR (פעולת XOR (או מוציא)): هي «أو الحصرية» (Exclusive OR): المخرج 1 عندما المدخلان مختلفان، و 0 عندما هما متساويان. نكتبها A ⊕ B.
رمز XOR: بوابة OR مع قوس إضافي في الظهر
| A | B | F = A ⊕ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
التعبير عن XOR بالعمليات الأساسية · XOR באמצעות הפעולות היסודיות
A ⊕ B = A·B + A·B
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| A·B | يساوي 1 في السطر AB = 10 | — |
| A·B | يساوي 1 في السطر AB = 01 | — |
ملاحظة: هذه هي «أو» التي نستعملها في الكلام اليومي: «شاي أو قهوة» — واحد منهما، ليس الاثنين. الفرق بين XOR وبين OR في السطر الأخير فقط: 1 + 1 = 1 لكن 1 ⊕ 1 = 0.
البوابة XNOR – שער XNOR:
العملية XNOR (פעולת XNOR (שוויון)): هي XOR وبعدها NOT. المخرج 1 عندما المدخلان متساويان، ولذلك تسمى أيضا بوابة المساواة. نكتبها A ⊕ B.
رمز XNOR: بوابة XOR مع دائرة العكس
| A | B | F = A ⊕ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
التعبير عن XNOR بالعمليات الأساسية · XNOR באמצעות הפעולות היסודיות
A ⊕ B = A·B + A·B
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| A·B | يساوي 1 في السطر AB = 11 | — |
| A·B | يساوي 1 في السطر AB = 00 | — |
| البوابة | الرمز | التعبير | عمود F للمداخل 00 , 01 , 10 , 11 | المخرج 1 عندما |
|---|---|---|---|---|
| AND | A·B | 0 0 0 1 | كل المداخل 1 | |
| OR | A + B | 0 1 1 1 | مدخل واحد على الأقل 1 | |
| NAND | A·B | 1 1 1 0 | مدخل واحد على الأقل 0 | |
| NOR | A + B | 1 0 0 0 | كل المداخل 0 | |
| XOR | A ⊕ B | 0 1 1 0 | المدخلان مختلفان | |
| XNOR | A ⊕ B | 1 0 0 1 | المدخلان متساويان |
ملاحظة: أربع صفات مفيدة للعملية XOR: A ⊕ 0 = A ؛ A ⊕ 1 = A ؛ A ⊕ A = 0 ؛ A ⊕ A = 1. الصفة الثانية تعني أن بوابة XOR هي عاكس نتحكم به: عندما المدخل الثاني 0 الإشارة A تمرّ كما هي، وعندما هو 1 تخرج معكوسة.
توسيع ★: لبوابة XOR مع ثلاثة مداخل أو أكثر: المخرج 1 عندما عدد المداخل التي قيمتها 1 هو عدد فردي. مثلا 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 و 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0.
تدريب سريع — ما هو مخرج البوابة؟
1NAND ، المداخل: 1 , 1
2NAND ، المداخل: 0 , 1
3NOR ، المداخل: 0 , 0
4NOR ، المداخل: 1 , 0
5XOR ، المداخل: 1 , 1
6XOR ، المداخل: 0 , 1
7XNOR ، المداخل: 0 , 0
8XNOR ، المداخل: 1 , 0
9NAND ، المداخل: 0 , 0
10NOR ، المداخل: 1 , 1
11XOR ، المداخل: 0 , 0
12XNOR ، المداخل: 1 , 1
الإجابات: 1 0 2 1 3 1 4 0 5 0 6 1 7 1 8 0 9 1 10 0 11 0 12 1
مثال 3.28
الإشارتان A و B تدخلان إلى بوابة NAND مخرجها X ، وإلى بوابة XOR مخرجها Y. نرسم المخرجين.
الحل:
المخرج X = A·B ينزل إلى 0 فقط في الفترات التي فيها A و B كلاهما 1.
المخرج Y = A ⊕ B يصعد إلى 1 في الفترات التي فيها A و B مختلفان.
X = A·B ، Y = A ⊕ B
تدريب سريع — نحسب قيمة التعبير عندما A = 1 ، B = 1 ، C = 0
1A ⊕ B
2A ⊕ B
3A·B
4A + B
5A ⊕ B ⊕ C
6A·B ⊕ C
7A + C·B
8(A ⊕ C) + B·C
الإجابات: 1 0 2 1 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 1
توسيع ★ — NAND و NOR بوابتان شاملتان – שערים אוניברסליים:
من بوابات NAND فقط نستطيع أن نبني العاكس، بوابة AND وبوابة OR — أي كل دائرة ممكنة. لذلك تسمى NAND بوابة شاملة، ونفس الشيء صحيح للبوابة NOR. هذا مريح في الصناعة: نشتري نوعا واحدا من الشرائح.
عاكس: A·A = A
AND: نعكس مخرج NAND
OR: A·B = A + B
(أ) بناء دوال بوليانية – (א) יצירת פונקציות בוליאניות:
بناء دالة هو الانتقال من وصف بالكلمات إلى تعبير بولياني. نعمل دائما بنفس الخطوات:
- نحدد المداخل والمخرج ونعطي كل واحد حرفا. نكتب بوضوح ماذا تعني القيمة 1 لكل حرف.
- نبني جدول صواب: لكل تركيبة نسأل «ماذا يجب أن يكون المخرج؟».
- نكتب تعبيرا: لكل سطر فيه F = 1 نكتب حاصل ضرب لكل المتغيرات — متغير قيمته 1 نكتبه كما هو، ومتغير قيمته 0 نكتبه معكوسا. نجمع حواصل الضرب.
- نبسّط التعبير ونرسم الدائرة.
مثال 3.29
في مخزن بابان، وعلى كل باب حسّاس: A = 1 معناه «الباب الأول مفتوح» و B = 1 معناه «الباب الثاني مفتوح». مصباح التنبيه F يجب أن يضيء إذا كان باب واحد على الأقل مفتوحا. نبني الدالة بالخطوات الأربع.
الحل:
جدول الصواب حسب الوصف:
| A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
في ثلاثة أسطر F = 1. نكتب حاصل ضرب لكل سطر: السطر 01 ← A·B ؛ السطر 10 ← A·B ؛ السطر 11 ← A·B. نجمع:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B + A·B + A·B | المعطى |
| F = A·B + A | قاعدة الدمج على الحدين الأخيرين: A·B + A·B = A. |
| F = A + A·B | قانون التبديل. |
| F = A + B | قاعدة حذف المتغير المعكوس. |
حصلنا على بوابة OR واحدة — كما توقعنا من الوصف «واحد على الأقل».
F = A + B
مثال 3.30
مصباح بيت الدرج يُشغَّل من مفتاحين، A في الأسفل و B في الأعلى. كل تغيير في أحد المفتاحين يجب أن يغيّر حالة المصباح. عندما المفتاحان في الوضع 0 المصباح مطفأ. نبني الدالة.
الحل:
نبدأ من السطر AB = 00 حيث F = 0. تغيير مفتاح واحد يضيء المصباح: في السطرين 01 و 10 نكتب F = 1. تغيير آخر يطفئه: في السطر 11 نكتب F = 0.
| A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
حواصل الضرب للسطرين اللذين فيهما F = 1:
F = A·B + A·B
هذا بالضبط تعريف XOR ، ولذلك تكفي بوابة واحدة:
F = A ⊕ B
F = A ⊕ B
مثال 3.31
آلة قصّ في مصنع لها حاجزا حماية. A = 1 : «الحاجز الأول مغلق» ، B = 1 : «الحاجز الثاني مغلق». مصباح أحمر F يضيء عندما العمل على الآلة غير آمن، أي عندما ليس صحيحا أن الحاجزين مغلقان. نبني الدالة ونختار بوابة.
الحل:
«الحاجزان مغلقان» هو A·B. المصباح يضيء عندما هذا ليس صحيحا:
F = A·B
هذه بوابة NAND واحدة. حسب دي مورغان نستطيع أن نقرأها أيضا هكذا: F = A + B — «الحاجز الأول مفتوح أو الحاجز الثاني مفتوح».
| A | B | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
F = A·B = A + B
مثال 3.32
لجنة فيها رئيس A وعضوان B و C. القرار F يُقبل إذا وافق الرئيس ووافق معه عضو واحد على الأقل. (القيمة 1 معناها «وافق».) نبني الدالة، نبسّطها ونرسم الدائرة.
الحل:
نبني جدول الصواب: F = 1 فقط في الأسطر التي فيها A = 1 وأيضا واحد على الأقل من B ، C يساوي 1.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
ثلاثة أسطر فيها F = 1 : 101 ، 110 ، 111. نكتب حاصل ضرب لكل سطر ونجمع:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B·C + A·B·C + A·B·C | المعطى |
| F = A·B·C + A·B | قاعدة الدمج على الحدين الأخيرين: A·B·C + A·B·C = A·B. |
| F = A·(B·C + B) | قانون التوزيع: نخرج العامل المشترك A. |
| F = A·(B + C) | قاعدة حذف المتغير المعكوس: B + B·C = B + C. |
الدائرة بعد التبسيط: بوابتان فقط
F = A·(B + C)
سؤال 3.7: خزّان ماء فيه حسّاسان: A = 1 «الماء وصل إلى الحسّاس السفلي» ، B = 1 «الماء وصل إلى الحسّاس العلوي». مصباح خلل F يضيء إذا أخبر الحسّاس العلوي عن ماء والحسّاس السفلي لا يخبر عن ماء — حالة غير ممكنة في خزّان سليم. نكتب الدالة وجدول الصواب.
من دائرة فيها بوابات NAND ، NOR ، XOR إلى تعبير – ניתוח מעגל עם השערים החדשים:
مثال 3.33
في الدائرة ثلاث بوابات NAND. نكتب التعبير للمخرج F ونبسّطه.
الحل:
مخارج البوابتين الأوليين:
X = A·B
Y = C·D
البوابة الأخيرة هي NAND بين X وبين Y : F = X·Y. نعوّض:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B·C·D | المعطى |
| F = A·B + C·D | دي مورغان على الخط الطويل. |
| F = A·B + C·D | النفي المزدوج، مرتين. |
ثلاث بوابات NAND تعمل مثل بوابتَي AND وبعدهما بوابة OR. هكذا نبني في الواقع «مجموع حواصل ضرب» من بوابات NAND فقط.
F = A·B + C·D
تدريب سريع — نكتب التعبير البولياني للمخرج F (كما هو، بدون تبسيط)
1
2
3
4
5
6
الإجابات: 1 F = A·B + C 2 F = A + B·C 3 F = (A ⊕ B)·C 4 F = A + B + C 5 F = A·B·B·C 6 F = A ⊕ B + A·C
(ب) تبسيط دوال بوليانية بواسطة قواعد الجبر البولياني – (ב) פישוט פונקציות בוליאניות באמצעות כללי האלגברה הבוליאנית:
الآن نجمع كل الأدوات. خطة عمل جيدة للتبسيط:
- إذا يوجد خط نفي فوق تعبير كامل — نكسره بواسطة دي مورغان، ونحذف كل نفي مزدوج.
- نفتح الأقواس بواسطة قانون التوزيع، ونحذف كل حد فيه X·X.
- نبحث عن حدود تُمتصّ (X + X·Y) وعن حدود تُدمج (X·Y + X·Y).
- نبحث عن متغير معكوس يمكن حذفه (X + X·Y).
- في النهاية نخرج عاملا مشتركا إذا كان ذلك يوفّر بوابات.
مثال 3.34
نبسّط الدالة F = (A + B)·A·B. أي بوابة واحدة تبني هذه الدالة؟
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = (A + B)·A·B | المعطى |
| F = (A + B)·(A + B) | دي مورغان. |
| F = A·A + A·B + B·A + B·B | قانون التوزيع: نضرب كل حد في كل حد. |
| F = 0 + A·B + B·A + 0 | قاعدة المتمم: A·A = 0 و B·B = 0. |
| F = A·B + A·B | قواعد الثوابت وقانون التبديل. |
هذا هو التعبير عن XOR.
F = A·B + A·B = A ⊕ B
مثال 3.35
نبرهن بطريقة جبرية أن عكس XOR هو A·B + A·B : نبسّط F = A·B + A·B.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B + A·B | المعطى |
| F = A·B·A·B | دي مورغان على الجمع. |
| F = (A + B)·(A + B) | دي مورغان على كل حاصل ضرب، مع النفي المزدوج. |
| F = A·A + A·B + B·A + B·B | قانون التوزيع. |
| F = A·B + A·B | قاعدة المتمم: A·A = 0 و B·B = 0. |
A ⊕ B = A·B + A·B
مثال 3.36
في دائرة بوابتا NOR مخرجاهما يدخلان إلى بوابة OR : F = A + B + A + B. نبسّط.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A + B + A + B | المعطى |
| F = A·B + A·B | دي مورغان على كل واحد من الحدين. |
| F = A·B + A·B | النفي المزدوج. |
| F = A | قاعدة الدمج. |
ثلاث بوابات وعاكس — وكلها تساوي عاكسا واحدا على المدخل A.
F = A
مثال 3.37
نبسّط الدالة F = A·B·C + A·B·C + A·B·C ونقارن عدد البوابات قبل التبسيط وبعده.
الحل:
| التعبير | القاعدة التي استعملناها |
|---|---|
| F = A·B·C + A·B·C + A·B·C | المعطى |
| F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C | قاعدة التكرار: نكتب الحد A·B·C مرتين، لكي نستعمله في دمجين. |
| F = A·B + A·B·C + A·B·C | قاعدة الدمج على الحدين الأولين: يُحذف C. |
| F = A·B + B·C | قاعدة الدمج على الحدين الأخيرين: يُحذف A. |
| F = B·(A + C) | قانون التوزيع: نخرج العامل المشترك B. |
قبل التبسيط: 6 بوابات
بعد التبسيط: 2 بوابات
قبل التبسيط: NOT × 2 ، AND × 3 ، OR × 1. بعد التبسيط: AND × 1 ، OR × 1.
F = B·(A + C)
سؤال 3.8: نبسّط الدالة F = A·B·(A + B).
تدريب سريع — نبسّط إلى أقصر تعبير
1F = A·B·A
2F = A + B + B
3F = (A ⊕ B) + A·B
4F = (A ⊕ B)·A
5F = A·B·A·B
6F = A + B + A + C
7F = A·B + A·C + A·B
8F = A·B·A·B
9F = A·B·C + A·B·C + A·C
10F = (A + B)·(A + B)·(A + C)
11F = A + B·(A + B)
12F = A·B + A + B + A·B
الإجابات: 1 A·B 2 A + B 3 A + B 4 A·B 5 A 6 A + B·C 7 A + C 8 B 9 C 10 A·B + B·C 11 A·B 12 A + B
▶تجربة حية — الجبر البولياني والبواباتفي درس البوابات والجبر البولياني: نكتب تعبيرا، نرى جدول الصواب والدائرة، ونقارن بين التعبير قبل التبسيط وبعده.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
https://fahed-lab.com/electronics/digital_systems
ملخّص قوانين الفصل:
| القانون | الصيغة |
|---|---|
| قواعد الثوابت | A + 0 = A |
| A·1 = A | |
| A + 1 = 1 | |
| A·0 = 0 | |
| قاعدة التكرار | A + A = A |
| A·A = A | |
| قاعدة المتمم | A + A = 1 |
| A·A = 0 | |
| النفي المزدوج | A = A |
| قانون التوزيع | A·(B + C) = A·B + A·C |
| A + B·C = (A + B)·(A + C) | |
| قاعدة الامتصاص | A + A·B = A |
| A·(A + B) = A | |
| قاعدة حذف المتغير المعكوس | A + A·B = A + B |
| A·(A + B) = A·B | |
| قاعدة الدمج | A·B + A·B = A |
| (A + B)·(A + B) = A | |
| قانونا دي مورغان | A·B = A + B |
| A + B = A·B |
قاموس المصطلحات – מילון מונחים:
| بالعربية | بالعبرية (كما تظهر في الامتحان) | English |
|---|---|---|
| الجبر البولياني | אלגברה בוליאנית | Boolean algebra |
| متغير بولياني | משתנה בוליאני | Boolean variable |
| ثابت | קבוע | Constant |
| عملية | פעולה | Operation |
| تعبير بولياني | ביטוי בוליאני | Boolean expression |
| دالة بوليانية | פונקציה בוליאנית | Boolean function |
| ترتيب العمليات | סדר הפעולות | Order of operations |
| البوابة المنطقية | שער לוגי | Logic gate |
| العاكس | מהפך | Inverter (NOT) |
| المدخل | מבוא | Input |
| المخرج | מוצא | Output |
| جدول الصواب | טבלת אמת | Truth table |
| مخطط الزمن | דיאגרמת זמנים | Timing diagram |
| حاصل ضرب | מכפלה | Product |
| مجموع | סכום | Sum |
| متطابقة | זהות | Identity |
| قاعدة | כלל | Rule |
| قانون | חוק | Law |
| قانون التبديل | חוק החילוף | Commutative law |
| قانون التجميع | חוק הקיבוץ | Associative law |
| قانون التوزيع | חוק הפילוג | Distributive law |
| عامل مشترك | גורם משותף | Common factor |
| المتمم | משלים | Complement |
| النفي المزدوج | שלילה כפולה | Double negation |
| مبدأ الثنوية | עקרון הדואליות | Duality principle |
| قواعد الاختصار | כללי צמצום | Reduction rules |
| الامتصاص | בליעה | Absorption |
| قانونا دي مورغان | כללי דה-מורגן | De Morgan's laws |
| التبسيط | פישוט | Simplification |
| بوابة شاملة | שער אוניברסלי | Universal gate |
| أو الحصرية | או מוציא (XOR) | Exclusive OR |
| بوابة المساواة | שער שוויון (XNOR) | Equivalence gate |
أسئلة للتمرين:
المستوى الأول — أساسي
1.
ما هو مخرج كل بوابة؟
(أ) AND ، المداخل 1 , 0 ؛
(ب) OR ، المداخل 1 , 0 ؛
(ج) NOT ، المداخل 1 ؛
(د) AND ، المداخل 1 , 1 , 1 ؛
(ه) OR ، المداخل 0 , 0 , 0 ؛
(و) AND ، المداخل 1 , 0 , 1
(أ) AND ، المداخل 1 , 0 ؛
(ب) OR ، المداخل 1 , 0 ؛
(ج) NOT ، المداخل 1 ؛
(د) AND ، المداخل 1 , 1 , 1 ؛
(ه) OR ، المداخل 0 , 0 , 0 ؛
(و) AND ، المداخل 1 , 0 , 1
الإجابات: (أ) 0 ؛ (ب) 1 ؛ (ج) 0 ؛ (د) 1 ؛ (ه) 0 ؛ (و) 0
2.
نبني جدول صواب لبوابة AND لها ثلاثة مداخل ولبوابة OR لها ثلاثة مداخل. في كم سطر مخرج كل بوابة هو 1 ؟
الإجابات: بوابة AND — عمود F: 0 0 0 0 0 0 0 1 ، في سطر واحد ؛ بوابة OR — عمود F: 0 1 1 1 1 1 1 1 ، في 7 أسطر
3.
نحسب قيمة كل تعبير عندما A = 1 ، B = 0 ، C = 1 :
(أ) A·B + C ؛
(ب) A + B ؛
(ج) A·B·C ؛
(د) A + B ؛
(ه) A·B ؛
(و) (A + B)·C
(أ) A·B + C ؛
(ب) A + B ؛
(ج) A·B·C ؛
(د) A + B ؛
(ه) A·B ؛
(و) (A + B)·C
الإجابات: (أ) 1 ؛ (ب) 0 ؛ (ج) 1 ؛ (د) 0 ؛ (ه) 1 ؛ (و) 0
4.
نحسب عندما A = 1 ، B = 0 ، C = 0 قيمة F = A + B·C وقيمة G = (A + B)·C. لماذا النتيجتان مختلفتان؟
الإجابات: F = 1 ، G = 0 — في F الضرب يُحسب قبل الجمع، وفي G القوسان يغيّران الترتيب
5.
نبني جدول صواب للدالة F = A·B + C مع أعمدة مساعدة. في كم سطر F = 1 ؟
الإجابات: عمود F: 1 0 1 0 1 0 1 1 ؛ في 5 أسطر
6.
نكتب التعبير البولياني للمخرج F في الدائرة، ونحسب F عندما A = 0 ، B = 0 ، C = 1.
الإجابات: F = (A + B)·C ؛ F = 1
7.
نرسم دائرة بوابات للدالة F = (A + B)·C. أي بوابات نحتاج؟
الإجابات: NOT × 1 ، AND × 1 ، OR × 1
8.
نكمل:
(أ) A + 0 = ؛
(ب) A·0 = ؛
(ج) A + 1 = ؛
(د) A·1 = ؛
(ه) A + A = ؛
(و) A·A = ؛
(ز) A + A = ؛ (ح) A =
(أ) A + 0 = ؛
(ب) A·0 = ؛
(ج) A + 1 = ؛
(د) A·1 = ؛
(ه) A + A = ؛
(و) A·A = ؛
(ز) A + A = ؛ (ح) A =
الإجابات: (أ) A ؛ (ب) 0 ؛ (ج) 1 ؛ (د) A ؛ (ه) A ؛ (و) 0 ؛ (ز) 1 ؛ (ح) A
9.
نكتب اسم القاعدة:
(أ) A·(B + C) = A·B + A·C ؛
(ب) A·B = B·A ؛
(ج) B + B = 1 ؛
(د) A + (B + C) = (A + B) + C ؛
(ه) A·B = A + B ؛
(و) A + A·B = A
(أ) A·(B + C) = A·B + A·C ؛
(ب) A·B = B·A ؛
(ج) B + B = 1 ؛
(د) A + (B + C) = (A + B) + C ؛
(ه) A·B = A + B ؛
(و) A + A·B = A
الإجابات: (أ) قانون التوزيع ؛ (ب) قانون التبديل ؛ (ج) قاعدة المتمم ؛ (د) قانون التجميع ؛ (ه) قانون دي مورغان ؛ (و) قاعدة الامتصاص
10.
نكتب المتطابقة الثنوية لكل متطابقة:
(أ) A·1 = A ؛
(ب) A + A·B = A + B ؛
(ج) A·(B + C) = A·B + A·C
(أ) A·1 = A ؛
(ب) A + A·B = A + B ؛
(ج) A·(B + C) = A·B + A·C
الإجابات: (أ) A + 0 = A ؛ (ب) A·(A + B) = A·B ؛ (ج) A + B·C = (A + B)·(A + C)
11.
نبسّط في خطوة أو خطوتين:
(أ) A·B + A·B ؛
(ب) A·A + B ؛
(ج) (A + A)·B ؛
(د) A·1 + 0 ؛
(ه) A·B·0 + C
(أ) A·B + A·B ؛
(ب) A·A + B ؛
(ج) (A + A)·B ؛
(د) A·1 + 0 ؛
(ه) A·B·0 + C
الإجابات: (أ) A·B ؛ (ب) B ؛ (ج) B ؛ (د) A ؛ (ه) C
12.
الإشارتان A و B في الرسم تدخلان إلى بوابة AND مخرجها X وإلى بوابة OR مخرجها Y. نكتب قيم X و Y في كل فترة ونرسمهما.
الإجابات: X = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ؛ Y = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
13.
نطبّق قانون دي مورغان:
(أ) A·B ؛
(ب) A + B + C ؛
(ج) A·B ؛
(د) A + B
(أ) A·B ؛
(ب) A + B + C ؛
(ج) A·B ؛
(د) A + B
الإجابات: (أ) A + B ؛ (ب) A·B·C ؛ (ج) A + B ؛ (د) A·B
14.
نحسب مخرج كل واحدة من البوابات NAND ، NOR ، XOR ، XNOR :
(أ) عندما A = 1 ، B = 1
(ب) عندما A = 0 ، B = 1.
(أ) عندما A = 1 ، B = 1
(ب) عندما A = 0 ، B = 1.
الإجابات: (أ) NAND = 0 ، NOR = 0 ، XOR = 0 ، XNOR = 1 (ب) NAND = 1 ، NOR = 0 ، XOR = 1 ، XNOR = 0
المستوى الثاني — متوسط
15.
نبسّط الدالة F = A·B + A·B + B خطوة بعد خطوة ونكتب اسم القاعدة في كل خطوة.
الإجابات: F = A + B
16.
نبسّط الدالة F = A + A·B + A·C خطوة بعد خطوة ونكتب اسم القاعدة في كل خطوة.
الإجابات: F = A
17.
نبسّط الدالة F = A·(A + B) + B·B خطوة بعد خطوة ونكتب اسم القاعدة في كل خطوة.
الإجابات: F = A
18.
نبسّط الدالة F = A·B + A·B + A·B خطوة بعد خطوة ونكتب اسم القاعدة في كل خطوة.
الإجابات: F = A + B
19.
نبسّط الدالة F = A·B·C + A·B·C + A·B خطوة بعد خطوة ونكتب اسم القاعدة في كل خطوة.
الإجابات: F = A
20.
نبسّط الدالة F = (A + B)·(A + C) ، ونفحص النتيجة بجدول صواب.
الإجابات: F = A + B·C ؛ عمود F للتعبيرين: 0 0 0 1 1 1 1 1
21.
نطبّق قانونَي دي مورغان حتى يبقى النفي فوق متغيرات فقط:
(أ) A + B ؛
(ب) A·B ؛
(ج) A·B ؛
(د) A·B + C ؛
(ه) (A + B)·C
(أ) A + B ؛
(ب) A·B ؛
(ج) A·B ؛
(د) A·B + C ؛
(ه) (A + B)·C
الإجابات: (أ) A·B ؛ (ب) A + B ؛ (ج) A + B ؛ (د) (A + B)·C ؛ (ه) A·B + C
22.
نبسّط الدالة F = A·B·(A + B) . أي بوابة واحدة تبنيها؟
الإجابات: F = A·B + A·B = A ⊕ B — بوابة XOR
23.
تلميذ كتب: A + B = A + B.
(أ) نجد بجدول صواب في أي أسطر الطرفان مختلفان.
(ب) نكتب المساواة الصحيحة.
(أ) نجد بجدول صواب في أي أسطر الطرفان مختلفان.
(ب) نكتب المساواة الصحيحة.
الإجابات: (أ) عمود الطرف الأيسر: 1 0 0 0 ، عمود الطرف الأيمن: 1 1 1 0 ؛ مختلفان في السطرين AB = 01 , 10 (ب) A + B = A·B
24.
للدائرة التي في الرسم:
(أ) نكتب تعبيرا لكل واحد من المخارج الداخلية X ، Y ، Z وللمخرج F.
(ب) نبني جدول الصواب.
(ج) نحسب F عندما A = 1 ، B = 1 ، C = 0.
(أ) نكتب تعبيرا لكل واحد من المخارج الداخلية X ، Y ، Z وللمخرج F.
(ب) نبني جدول الصواب.
(ج) نحسب F عندما A = 1 ، B = 1 ، C = 0.
الإجابات: (أ) X = A + B ، Y = A·C ، Z = A·C ، F = (A + B)·A·C (ب) عمود F: 0 0 1 1 1 0 1 0 (ج) F = 1
25.
في الدائرة بوابات NAND وعاكس.
(أ) نكتب التعبير للمخرج F كما هو.
(ب) نبسّطه بواسطة دي مورغان.
(أ) نكتب التعبير للمخرج F كما هو.
(ب) نبسّطه بواسطة دي مورغان.
الإجابات: (أ) F = A·B·A·C (ب) F = A·B + A·C
26.
مروحة التهوية F في دفيئة زراعية تعمل إذا كانت الحرارة عالية (A = 1) أو إذا كانت الرطوبة عالية (B = 1) وليس صحيحا أن الشباك مفتوح (C = 1 : الشباك مفتوح).
(أ) نكتب الدالة.
(ب) نبني جدول الصواب.
(ج) أي بوابات نحتاج لبنائها؟
(أ) نكتب الدالة.
(ب) نبني جدول الصواب.
(ج) أي بوابات نحتاج لبنائها؟
الإجابات: (أ) F = A + B·C (ب) عمود F: 0 0 1 0 1 1 1 1 (ج) NOT × 1 ، AND × 1 ، OR × 1
27.
بت الزوجية. لكي نكشف أخطاء في نقل المعلومات نضيف إلى كل كلمة بتا إضافيا P = A ⊕ B ⊕ C ⊕ D. نحسب P للكلمات ABCD : 1011 ، 0110 ، 1111 ، 1000. ماذا يخبرنا P ؟
الإجابات: 1 ، 0 ، 0 ، 1 — P = 1 عندما عدد الواحدات في الكلمة فردي
28.
نبني جدول صواب للدالة F = (A ⊕ B) + A·B. أي بوابة واحدة تبني نفس الدالة؟
الإجابات: عمود F: 0 1 1 1 ؛ F = A + B — بوابة OR
29.
الإشارتان A و B تدخلان إلى بوابة NOR مخرجها X وإلى بوابة XOR مخرجها Y. نكتب قيم X و Y في كل فترة ونرسمهما.
الإجابات: X = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ؛ Y = 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
30.
نبسّط الدالة F = A + B·A + B.
الإجابات: F = 0
31.
معطى جدول الصواب للدالة F.
(أ) نكتب حاصل ضرب لكل سطر فيه F = 1 ونجمع.
(ب) نبسّط.
(أ) نكتب حاصل ضرب لكل سطر فيه F = 1 ونجمع.
(ب) نبسّط.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
الإجابات: (أ) F = A·B·C + A·B·C + A·B·C (ب) F = A·C + B·C
المستوى الثالث — تحدٍّ
32.
نبرهن بطريقة جبرية، بدون جدول صواب، أن A + A·B = A + B. (إرشاد: قانون التوزيع الثاني.)
الإجابات: A + A·B = (A + A)·(A + B) = 1·(A + B) = A + B
33.
نبسّط الدالة F = A·B + A·C + B·C. (إرشاد: نضرب الحد B·C في (A + A) ، وهذا لا يغيّره.)
الإجابات: F = A·B + A·C — الحد B·C زائد
34.
نبسّط الدالة F = A·B + A·B. أي بوابة واحدة تبنيها؟
الإجابات: F = A·B + A·B — بوابة XOR
35.
نبسّط الدالة F = (A + B)·(A + B). أي بوابة واحدة تبنيها؟
الإجابات: F = A·B + A·B — بوابة XNOR
36.
نبسّط الدالة F = A·B·C·D + A·B·C·D + A·B·D + B·D.
الإجابات: F = B
37.
نبني من بوابات NAND فقط (مدخلان لكل بوابة):
(أ) عاكسا
(ب) بوابة AND
(ج) بوابة OR. نكتب التعبير لكل دائرة وعدد البوابات.
(أ) عاكسا
(ب) بوابة AND
(ج) بوابة OR. نكتب التعبير لكل دائرة وعدد البوابات.
الإجابات: (أ) A·A = A — بوابة واحدة (ب) A·B·A·B = A·B — بوابتان (ج) A·A·B·B = A + B — ثلاث بوابات
38.
لجنة فيها ثلاثة حكّام، والقرار يُقبل إذا وافق حكَمان على الأقل. من جدول الصواب حصلنا على F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C. نبسّط. (إرشاد: نكتب الحد A·B·C ثلاث مرات.) كم بوابة نحتاج بعد التبسيط؟
الإجابات: F = A·B + A·C + B·C ؛ AND × 3 ، OR × 1
39.
إنذار السيارة F يعمل فقط عندما النظام مفعّل (A = 1) ، وفي هذه الحالة يعمل إذا كان الباب ليس مغلقا (B = 1 : الباب مغلق) أو إذا اكتشف حسّاس الحركة حركة (C = 1).
(أ) نبني جدول الصواب.
(ب) نكتب حاصل ضرب لكل سطر فيه F = 1 ونجمع.
(ج) نبسّط ونخرج عاملا مشتركا.
(أ) نبني جدول الصواب.
(ب) نكتب حاصل ضرب لكل سطر فيه F = 1 ونجمع.
(ج) نبسّط ونخرج عاملا مشتركا.
الإجابات: (أ) عمود F: 0 0 0 0 1 1 0 1 (ب) F = A·B·C + A·B·C + A·B·C (ج) F = A·B + A·C = A·(B + C)
40.
نستعمل التعبير A ⊕ B = A·B + A·B لكي نبرهن:
(أ) A ⊕ 1 = A
(ب) A ⊕ A = 0.
(ج) ماذا يساوي A ⊕ B ⊕ B ؟
(أ) A ⊕ 1 = A
(ب) A ⊕ A = 0.
(ج) ماذا يساوي A ⊕ B ⊕ B ؟
الإجابات: (أ) A·1 + A·1 = A·0 + A = A (ب) A·A + A·A = 0 + 0 = 0 (ج) A ⊕ (B ⊕ B) = A ⊕ 0 = A
41.
للدائرة التي في الرسم:
(أ) نكتب التعبير للمخرج F.
(ب) نبسّطه.
(ج) كم بوابة في الدائرة الأصلية وكم بوابة بعد التبسيط؟
(أ) نكتب التعبير للمخرج F.
(ب) نبسّطه.
(ج) كم بوابة في الدائرة الأصلية وكم بوابة بعد التبسيط؟
الإجابات: (أ) F = A·B + A·B + A·B (ب) F = A + B (ج) 6 بوابات قبل التبسيط، وبوابة OR واحدة بعده
42.
نكتب عكس الدالة G = A·B + C·(A + D) ، أي F = G ، بحيث يبقى النفي فوق متغيرات فقط.
الإجابات: F = (A + B)·(C + A·D)
43.
تلميذ بسّط هكذا: F = A + A·B = (A + A)·B = 1·B = B. في أي خطوة الخطأ؟ ما هي النتيجة الصحيحة؟
الإجابات: الخطأ في الخطوة الأولى: A + A·B لا يساوي (A + A)·B ، لأن الضرب يُحسب قبل الجمع. النتيجة الصحيحة: F = A + B
الإجابات النهائية لأسئلة الفصل
3.1 F = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
3.2 F = 1 ، G = 0
3.3 F = A·B + C ؛ عمود F: 1 1 1 1 1 1 0 1
3.4 F = B (قاعدة المتمم، قواعد الثوابت)
3.5 F = A + B
3.6 (أ) A + B (ب) A·(B + C)
3.7 F = A·B ؛ عمود F: 0 1 0 0
3.8 F = A
שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 3
الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، نموذج 845381 (מערכות חשמל)، وهي من فصل الأنظمة الرقمية فيه، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.
بجروت 2021 (موعد خاص) السؤال 9 — تبسيط دالّة ثنائيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | تبسيط الدالّة إلى الحدّ الأدنى من المتغيّرات | F = A · B · C |
| البند ب | تنفيذ الدالّة المبسّطة ببوّابات منطقيّة | F = A + B + C = A · B · C |
بجروت 2021 السؤال 9 — تبسيط دوالّ بوليانيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | تبسيط الدالّة F₁ | F₁ = A + C |
| البند ب1 | خريطة كارنو للدالّة F₂ وتبسيطها | F₂ = B + A · C + A · C |
| البند ب2 | تنفيذ الدالّة المبسّطة ببوّابات منطقيّة | في الحل الكامل |
بجروت 2016 السؤال 9 — تبسيط دالّة ثنائيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | تبسيط الدالّة بأقلّ عدد من الحروف | في الحل الكامل |
| البند ب | تنفيذ الدالّة المبسّطة ببوّابات منطقيّة | في الحل الكامل |
لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 13 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)