الأنظمة الرقمية · الفصل 4 — الدوال البوليانية وتبسيطهاפונקציות בוליאניות ופישוטן · מערכות ספרתיות · סמל מקצוע 11.002⌂📚🏠
الفصل 4
الدوال البوليانية وتبسيطها
פונקציות בוליאניות ופישוטן
الصف العاشر · 6 ساعات تعليمية
في الفصل السابق بسّطنا تعابير بوليانية بواسطة قوانين الجبر البولياني. الطريقة صحيحة، لكنها تحتاج إلى «عين» تعرف أي قانون نختار، ولا تخبرنا متى وصلنا إلى أقصر تعبير. في هذا الفصل نتعلم طريقة مرتّبة لا تحتاج إلى حظ: نكتب الدالة بصيغة واحدة ثابتة — الصيغة القانونية — ثم نرسمها في خريطة كارنو ونقرأ منها مباشرة أقصر مجموع حواصل ضرب. تعبير أقصر معناه بوابات أقل، دائرة أرخص وأسرع. هذه الطريقة هي الأداة الأساسية في كل أسئلة التصميم في الامتحان.
في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:
نكتب الحد الأصغري لكل صف في جدول الصواب، ونعرف رقمه mi.
نكتب دالة بالصيغة القانونية — مجموع حواصل ضرب — انطلاقا من جدول الصواب.
نكتب دالة بالتمثيل العددي Σ وننتقل بينه وبين جدول الصواب والتعبير.
نحدد الخانات المتجاورة، ومنها الخانات التي على حواف الخريطة وفي زواياها الأربع.
نبني مجموعات من 1 ، 2 ، 4 أو 8 خانات ونقرأ حاصل الضرب الذي تعطيه كل مجموعة.
نرسم في الخريطة دالة غير معطاة بصيغتها القانونية.
نبسّط دالة معطاة كمجموع حواصل ضرب ونصل إلى التعبير الأصغري.
نستغل حالات اللامبالاة للحصول على تعبير أقصر.
צורות קנוניות של פונקציות בוליאניות: סכום של מכפלות, ייצוג מספרי של פונקציות קנוניות – الصيغ القانونية للدوال البوليانية: مجموع حواصل الضرب والتمثيل العددي (Canonical Forms)
نفس الدالة البوليانية يمكن أن تُكتب بتعابير كثيرة مختلفة. مثلا A + A·B و A هما نفس الدالة. لكي نقارن بين دالتين، ولكي ننقل دالة من جدول الصواب إلى الورق بدون تفكير، نحتاج إلى صيغة واحدة ومتفق عليها. هذه هي الصيغة القانونية.
حاصل ضرب(מכפלה): هو متغير واحد أو عدة متغيرات (عادية أو معكوسة) تربط بينها عملية AND، مثل A·B أو A·B·C. كل متغير في حاصل الضرب، عاديا كان أو معكوسا، يسمى حرفا (ליטרל).
مجموع حواصل الضرب(סכום של מכפלות · SOP): هو تعبير مبني من حواصل ضرب تربط بينها عملية OR، مثل A·B + C . التعبير A·(B + C) ليس مجموع حواصل ضرب، لأن فيه جمعا داخل قوسين؛ بعد فتح القوسين نحصل على A·B + A·C وهذا مجموع حواصل ضرب.
ملاحظة: مجموع حواصل الضرب يُبنى مباشرة بدائرة من طبقتين: بوابة AND لكل حاصل ضرب، وبوابة OR واحدة تجمع مخارجها. لذلك هو الصيغة التي نبحث عنها دائما في التصميم.
الحد الأصغري
الحد الأصغري(מינטרם · Minterm): هو حاصل ضرب تظهر فيه كل متغيرات الدالة، كل متغير مرة واحدة، عاديا أو معكوسا. الحد الأصغري يساوي 1 في صف واحد فقط من جدول الصواب، ويساوي 0 في كل الصفوف الأخرى.
لكل صف في جدول الصواب حد أصغري خاص به. نكتبه هكذا: متغير قيمته في الصف 1 نكتبه كما هو، ومتغير قيمته 0 نكتبه معكوسا. نرمز للحد الأصغري بـ mi ، حيث i هو رقم الصف: العدد العشري الذي تكتبه بتات المداخل، و A هو البت الأعلى وزنا.
الحدود الصغرى الثمانية لدالة من ثلاثة متغيرات
i
A
B
C
mi
minterm
0
0
0
0
m0
A·B·C
1
0
0
1
m1
A·B·C
2
0
1
0
m2
A·B·C
3
0
1
1
m3
A·B·C
4
1
0
0
m4
A·B·C
5
1
0
1
m5
A·B·C
6
1
1
0
m6
A·B·C
7
1
1
1
m7
A·B·C
الحدود الصغرى الأربعة لدالة من متغيرين
i
A
B
mi
minterm
0
0
0
m0
A·B
1
0
1
m1
A·B
2
1
0
m2
A·B
3
1
1
m3
A·B
لماذا يساوي الحد الأصغري 1 في صف واحد فقط؟ نأخذ m5 = A·B·C . عملية AND تعطي 1 فقط إذا كانت كل مداخلها 1 ، أي A = 1 و B = 1 و C = 1 ، وهذا يحدث فقط في الصف 101 ، وهو الصف رقم 5.
عدد الحدود الصغرى · מספר המינטרמים
N = 2n
الرمز
المعنى
وحدة القياس
N
عدد الحدود الصغرى (وهو عدد صفوف جدول الصواب)
—
n
عدد متغيرات الدالة
—
تدريب سريع — نكتب رقم الحد الأصغري
1A·B·C
2A·B·C
3A·B·C
4A·B·C·D
5A·B·C·D
6A·B·C·D
7A·B·C·D
8A·B·C·D
9A·B·C·D
الإجابات:1m02m23m54m35m66m97m108m129m15
تدريب سريع — نكتب الحد الأصغري بالمتغيرات A, B, C, D
الصيغة القانونية(צורה קנונית): هي كتابة الدالة كمجموع حدود صغرى: نجمع بعملية OR الحدود الصغرى لكل الصفوف التي فيها F = 1. لكل دالة صيغة قانونية واحدة فقط.
نبحث في جدول الصواب عن الصفوف التي فيها F = 1. الصفوف التي فيها F = 0 لا تهمنا.
نكتب لكل صف كهذا حده الأصغري: 1 ← المتغير كما هو، 0 ← المتغير معكوسا.
نجمع الحدود الصغرى بعملية OR.
مثال 4.1
دالة F من ثلاثة متغيرات معطاة بجدول الصواب التالي. نكتبها بالصيغة القانونية.
الحل:
i
A
B
C
F
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
1
6
1
1
0
0
7
1
1
1
0
الدالة تساوي 1 في أربعة صفوف: 1 ، 3 ، 4 ، 5. نكتب الحد الأصغري لكل صف:
m1 = A·B·C
m3 = A·B·C
m4 = A·B·C
m5 = A·B·C
نجمع الحدود الأربعة:
F = m1 + m3 + m4 + m5
F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C
F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C
ملاحظة: لماذا هذا صحيح؟ كل حد أصغري «يشعل» صفا واحدا. عملية OR تعطي 1 إذا كان واحد من الحدود على الأقل يساوي 1 ، ولذلك المجموع يساوي 1 بالضبط في الصفوف التي اخترناها، و 0 في الباقي — تماما كما في الجدول.
سؤال 4.1: نكتب بالصيغة القانونية الدالة F(A,B,C) التي تساوي 1 في الصفوف 000 ، 010 ، 110 ، 111 وتساوي 0 في باقي الصفوف.
التمثيل العددي
التمثيل العددي(ייצוג מספרי): هو كتابة مختصرة للصيغة القانونية: بدل أن نكتب الحدود الصغرى نفسها نكتب أرقامها فقط داخل قوسين بعد الرمز Σ (سيغما، ومعناه «مجموع»).
التمثيل العددي لدالة قانونية · ייצוג מספרי של פונקציה קנונית
F(A,B,C) = Σ(1,3,4,5)
الرمز
المعنى
وحدة القياس
F(A,B,C)
اسم الدالة ومتغيراتها بالترتيب: المتغير الأول هو البت الأعلى وزنا
—
Σ
مجموع (عملية OR) الحدود الصغرى
—
1, 3, 4, 5
أرقام الصفوف التي فيها F = 1
—
انتبه: ترتيب المتغيرات داخل القوسين مهم. في F(A,B,C) الحد m1 هو A·B·C ، لكن في F(C,B,A) الحد m1 هو C·B·A. في هذا الكتاب A هو دائما البت الأعلى وزنا.
الصيغة القانونية سهلة الكتابة لكنها طويلة: في كل حد تظهر كل المتغيرات. قبل أن نبني الدائرة نريد أن نبسّطها. نجرب أولا بقوانين الجبر البولياني من الفصل السابق.
مثال 4.4
نبسّط جبريا الدالة F(A,B,C) = Σ(4,5,7) .
الحل:
نكتب الصيغة القانونية:
F = A·B·C + A·B·C + A·B·C
في الحدين الأول والثاني نخرج العامل المشترك A·B ، ونستعمل القاعدة C + C = 1 :
F = A·B·(C + C) + A·B·C
F = A·B + A·B·C
نخرج العامل المشترك A :
F = A·(B + B·C)
نستعمل قاعدة الاختصار B + B·C = B + C :
F = A·(B + C)
نفتح القوسين (قانون التوزيع):
F = A·B + A·C
F = A·B + A·C
قبل التبسيط: F = A·B·C + A·B·C + A·B·C
بعد التبسيط: F = A·B + A·C
التبسيط وفّر بوابة AND واحدة وعاكسا واحدا، وبوابات لها مداخل أقل. لكن الطريق الجبري يطرح سؤالين: أي قانون نختار في كل خطوة؟ وكيف نعرف أنه لا يوجد تعبير أقصر؟ خريطة كارنو تجيب عن السؤالين معا.
פישוט פונקציות בוליאניות באמצעות מפות קרנו – تبسيط الدوال البوليانية بواسطة خرائط كارنو (Karnaugh Maps)
خريطة كارنو(מפת קרנו): هي جدول صواب مرسوم بشكل آخر: لكل صف في جدول الصواب توجد في الخريطة خانة (משבצת) واحدة، ونكتب في الخانة قيمة الدالة في ذلك الصف. الخانات مرتبة بحيث أن كل خانتين متجاورتين تختلفان في متغير واحد فقط.
كل خانة تمثل حدا أصغريا واحدا. خريطة لـ n متغيرات فيها 2n خانات: 4 خانات لمتغيرين، 8 لثلاثة متغيرات و 16 لأربعة.
نقسم المتغيرات إلى قسمين: المتغيرات الأولى تحدد الصف والمتغيرات الأخيرة تحدد العمود. في الزاوية اليسرى العليا نكتب أسماء المتغيرات: تحت الخط المائل متغيرات الصفوف، وفوقه متغيرات الأعمدة. رقم الخانة هو رقم الحد الأصغري: نكتب بتات الصف وبعدها بتات العمود ونقرأ العدد.
متغيران: A للصفوف، B للأعمدة
ثلاثة متغيرات: A للصفوف، BC للأعمدة
أربعة متغيرات: AB للصفوف، CD للأعمدة
انتبه: الأعمدة (والصفوف في خريطة أربعة متغيرات) ليست مرتبة حسب العد الثنائي، بل بالترتيب 00 ، 01 ، 11 ، 10. هذا الترتيب يسمى شيفرة غراي (קוד גריי): بين كل تركيبتين متتاليتين يتغير بت واحد فقط. لذلك العمود الثالث هو 11 والرابع 10 : في الصف الأول الأرقام هي 0 ، 1 ، 3 ، 2 ، وفي خريطة أربعة متغيرات الصف الثالث هو 12 – 15 والرابع 8 – 11. من ينسى هذا يملأ الخريطة خطأ.
في كل الخرائط في هذا الكتاب يظهر رقم الخانة صغيرا في زاويتها اليمنى السفلى. في الامتحان نرسم الخريطة بأنفسنا، ولذلك نتدرب على الترقيم حتى نحفظه.
تدريب سريع — خريطة لأربعة متغيرات. معطى الصف AB والعمود CD. ما هو رقم الخانة؟
1AB = 11 ، CD = 01
2AB = 01 ، CD = 11
3AB = 10 ، CD = 10
4AB = 00 ، CD = 10
5AB = 11 ، CD = 11
6AB = 10 ، CD = 00
7AB = 01 ، CD = 10
8AB = 11 ، CD = 10
9AB = 10 ، CD = 01
الإجابات:1m132m73m104m25m156m87m68m149m9
نملأ الخريطة
إذا كانت الدالة معطاة بجدول صواب أو بالتمثيل العددي، نكتب 1 في كل خانة رقمها يظهر في القائمة، و 0 في باقي الخانات.
مثال 4.5
نرسم في خريطة كارنو الدالة من المثال الأول في الفصل، F(A,B,C) = Σ(1,3,4,5) .
الحل:
الدالة من ثلاثة متغيرات ← خريطة من صفين (A) وأربعة أعمدة (BC). نكتب 1 في الخانات 1 ، 3 ، 4 ، 5 و 0 في الباقي.
i
A
B
C
F
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
1
6
1
1
0
0
7
1
1
1
0
نفس الدالة: كل صف في الجدول هو خانة في الخريطة
نفحص خانة واحدة: الصف 4 في الجدول هو ABC = 100 ، أي الصف A = 1 والعمود BC = 00 في الخريطة.
في خريطة أربعة متغيرات نعمل بنفس الطريقة. مثلا في الدالة F(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,7,8,10,13,15) : الرقم 13 = 11012 يقع في الصف AB = 11 والعمود CD = 01.
الدالة Σ(0,2,5,7,8,10,13,15) في الخريطة
سؤال 4.2: ننسخ الخريطتين إلى الدفتر ونملؤهما: (أ) F(A,B,C) = Σ(0,3,5,6) (ب) F(A,B,C,D) = Σ(1,4,6,9,11,14) . في أي عمود من الخريطة تقع كل خانة فيها 1 ؟
(أ)
(ب)
الخانات المتجاورة
خانات متجاورة(משבצות סמוכות): هما خانتان لهما ضلع مشترك، ولذلك تختلفان في متغير واحد فقط. خانتان تلتقيان في زاوية فقط (على القطر) ليستا متجاورتين.
الخريطة «ملفوفة»: إذا لففنا الورقة حتى تلتصق الحافة اليسرى بالحافة اليمنى نحصل على أسطوانة، ولذلك العمود الأيسر 00 والعمود الأيمن 10متجاوران — يختلفان في بت واحد. وبنفس الطريقة، في خريطة أربعة متغيرات الصف العلوي 00 والصف السفلي 10 متجاوران. من هنا ينتج أن الزوايا الأربع متجاورة فيما بينها.
جيران الخانة m5 : m1 ، m4 ، m7 ، m13
جيران خانة الزاوية m0 : m1 ، m2 ، m4 ، m8
جيران خانة الحافة m14 : m6 ، m10 ، m12 ، m15
نتذكر: في خريطة لـ n متغيرات لكل خانة بالضبط n خانات متجاورة: خانة لكل متغير يمكن أن يتغير. في خريطة أربعة متغيرات لكل خانة أربع جارات، حتى لخانات الزوايا.
تدريب سريع — خريطة لأربعة متغيرات. هل الخانتان متجاورتان؟ إذا نعم — أي متغير يتغير بينهما؟
نأخذ خانتين متجاورتين في كل منهما 1 ، مثلا m6 و m7 في خريطة ثلاثة متغيرات. مجموع الحدين الأصغريين هو:
A·B·C + A·B·C = A·B·(C + C)
A·B·(C + C) = A·B
المتغير الذي يتغير بين الخانتين (C) اختفى، وبقي ما هو مشترك لهما (A·B). هذا ما تفعله الخريطة: ترتّب الخانات بحيث نرى بالعين أين يمكن تطبيق القاعدة X + X = 1.
مجموعة(קבוצה · לולאה): هي مستطيل من خانات متجاورة في كل منها 1 ، نحيطه بخط مغلق. عدد الخانات في المجموعة هو دائما قوة للعدد 2 : 1 ، 2 ، 4 ، 8 أو 16. كل مجموعة تعطي حاصل ضرب واحدا في التعبير المبسّط.
كيف نقرأ حاصل الضرب من المجموعة · קריאת המכפלה מתוך הקבוצה
L = n − p
الرمز
المعنى
وحدة القياس
n
عدد متغيرات الدالة
—
2p
عدد الخانات في المجموعة: 1 ، 2 ، 4 ، 8 ...
—
L
عدد الحروف في حاصل الضرب الذي تعطيه المجموعة
—
ننظر إلى كل متغير لوحده، في كل خانات المجموعة.
متغير قيمته 1 في كل خانات المجموعة ← نكتبه كما هو.
متغير قيمته 0 في كل خانات المجموعة ← نكتبه معكوسا.
متغير يتغير داخل المجموعة (مرة 0 ومرة 1) ← يختفي، لا نكتبه.
خانتان: A = 0 ، B = 0 ، C يتغير ← A·B
خانتان: A يتغير ، B = 1 ، C = 1 ← B·C
خانتان على الحافتين: A = 1 ، B يتغير ، C = 0 ← A·C
أربع خانات: A و B يتغيران ، C = 1 ← C
صف كامل: A = 0 ← A
العمودان الخارجيان: C = 0 ← C
كلما كانت المجموعة أكبر كان حاصل الضرب أقصر. في خريطة أربعة متغيرات: خانة واحدة تعطي أربعة حروف، خانتان — ثلاثة، أربع خانات — حرفين، وثماني خانات — حرفا واحدا.
مربع من أربع خانات ← B·D
الزوايا الأربع ← B·D
ثماني خانات ← B
أعلى وأسفل ← B·D
وسيلة مساعدة للقراءة: نتذكر أين يساوي كل متغير 1 في الخريطة. A = 1 في الصفين السفليين، B = 1 في الصفين الأوسطين، C = 1 في العمودين الأيمنين و D = 1 في العمودين الأوسطين.
A = 1
B = 1
C = 1
D = 1
تدريب سريع — الخانات التالية تكوّن مجموعة واحدة. نكتب حاصل الضرب الذي تعطيه (البنود 1–4: دالة من A, B, C ؛ البنود 5–12: دالة من A, B, C, D)
سؤال 4.3: في كل خريطة مجموعة واحدة. نكتب حاصل الضرب الذي تعطيه كل مجموعة.
(أ)
(ب)
(ج)
(د)
قواعد بناء المجموعات
في المجموعة توجد فقط خانات فيها 1 . خانة فيها 0 لا تدخل في أي مجموعة.
عدد الخانات في المجموعة: 1 ، 2 ، 4 ، 8 أو 16. لا توجد مجموعة من 3 ، 5 أو 6 خانات.
شكل المجموعة مستطيل أو مربع (أيضا عبر الحواف وفي الزوايا الأربع). لا توجد مجموعة قطرية ولا مجموعة على شكل زاوية.
كل مجموعة نكبّرها قدر الإمكان: مجموعة أكبر ← حروف أقل.
نغطي كل خانة فيها 1 ، مرة واحدة على الأقل. خانة ليس لها جارات فيها 1 تبقى مجموعة من خانة واحدة.
مسموح لخانة أن تكون في أكثر من مجموعة، إذا كان ذلك يكبّر مجموعة أخرى.
نستعمل أقل عدد من المجموعات: مجموعة أقل ← بوابة AND أقل. لا نضيف مجموعة كل خاناتها مغطاة من قبل.
ملاحظة:من أين نبدأ؟ نبحث أولا عن خانة فيها 1 يمكن أن تدخل في مجموعة كبيرة واحدة فقط — هذه المجموعة ضرورية ونرسمها أولا. ثم نكمل مع الخانات التي لم تُغطَّ بعد.
أمثلة محلولة
مثال 4.6
نبسّط الدالة F(A,B) = Σ(1,2,3) .
الحل:
نرسم خريطة لمتغيرين ونكتب 1 في الخانات 1 ، 2 ، 3.
مجموعتان، كل واحدة من خانتين
ثلاث خانات لا تكوّن مجموعة واحدة. نبني مجموعتين من خانتين، والخانة m3 مشتركة لهما.
المجموعة العمودية (m1 ، m3): A يتغير ، B = 1 ← B. المجموعة الأفقية (m2 ، m3): A = 1 ، B يتغير ← A.
حصلنا على الدالة OR، وهذا منطقي: الدالة تساوي 0 فقط عندما A = 0 و B = 0.
F = B + A
مثال 4.7
نبسّط الدالة F(A,B,C) = Σ(1,3,4,5) (الدالة من المثال الأول في الفصل).
الحل:
خريطة الدالة مع المجموعات
في الصف العلوي: m1 و m3 متجاورتان. A = 0 ، C = 1 ، و B يتغير ← A·C.
في الصف السفلي: m4 و m5 متجاورتان. A = 1 ، B = 0 ، و C يتغير ← A·B.
كل الخانات التي فيها 1 مغطاة. يمكن أيضا أن نجمع m1 مع m5 ، لكن هذه المجموعة زائدة: خانتاها مغطاتان من قبل.
الصيغة القانونية فيها أربعة حدود و 12 حرفا؛ التعبير المبسّط فيه حدان و 4 حروف فقط.
F = A·B + A·C
مثال 4.8
نبسّط الدالة F(A,B,C) = Σ(0,2,4,5,6) .
الحل:
مجموعة من أربع خانات عبر الحافتين، ومجموعة من خانتين
العمود الأيسر (BC = 00) والعمود الأيمن (BC = 10) متجاوران، وفيهما أربع خانات كلها 1 : m0 ، m2 ، m4 ، m6. في هذه المجموعة A يتغير و B يتغير، ويبقى C = 0 ← C.
بقيت الخانة m5. لا نتركها لوحدها: نجمعها مع جارتها m4 (مع أن m4 مغطاة من قبل). A = 1 ، B = 0 ← A·B.
F = C + A·B
مثال 4.9
نبسّط الدالة F(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,7,8,10,13,15) .
الحل:
الزوايا الأربع مجموعة واحدة
في وسط الخريطة مربع من أربع خانات: m5 ، m7 ، m13 ، m15. فيه B = 1 و D = 1 ، و A و C يتغيران ← B·D.
الزوايا الأربع m0 ، m2 ، m8 ، m10 متجاورة وتكوّن مجموعة واحدة من أربع خانات: B = 0 و D = 0 ← B·D.
ثمانية حدود صغرى، كل واحد من أربعة حروف، أصبحت حدين من حرفين.
الصفان العلويان كلهما 1 : مجموعة من ثماني خانات. المتغير الوحيد الثابت فيها هو A = 0 ← A.
الخانتان m10 و m14 في العمود الأيمن. نكبّر المجموعة إلى العمود كله (m2 ، m6 ، m14 ، m10): C = 1 ، D = 0 ← C·D. لو أخذنا الخانتين فقط لحصلنا على A·C·D — حرف زائد.
F = C·D + A
مثال 4.11
نبسّط الدالة F(A,B,C,D) = Σ(0,1,4,5,7,8,9,15) .
الحل:
ثلاث مجموعات؛ الخانتان m0 و m1 مشتركتان لمجموعتين
نبدأ بخانة لها إمكانية واحدة: m15 جارتها الوحيدة التي فيها 1 هي m7 ← مجموعة من خانتين: B·C·D.
الخانتان m8 و m9 تدخلان في مجموعة من أربع مع m0 و m1 (الصف العلوي والصف السفلي متجاوران): B = 0 ، C = 0 ← B·C.
الخانتان m4 و m5 تدخلان في مربع مع m0 و m1 : A = 0 ، C = 0 ← A·C.
▶تجربة حية — مختبر خرائط كارنونضغط على خانات الخريطة لنكتب فيها 1 ، 0 أو X ، ونرى فورا المجموعات والتعبير المبسّط. نحل تمرينا في الدفتر ثم نفحص الحل هناك.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
رسم دالة غير معطاة بصيغتها القانونية – ב. מיפוי פונקציה שאיננה נתונה בצורתה הקנונית:
كثيرا ما تكون الدالة معطاة كمجموع حواصل ضرب، لكن ليس في كل حاصل ضرب تظهر كل المتغيرات — مثلا F = A·B + C. هذه ليست صيغة قانونية. لا حاجة إلى تحويلها جبريا إلى حدود صغرى: نقرأ قاعدة المجموعات بالعكس. كما أن مجموعة من خانات تعطي حاصل ضرب قصيرا، حاصل الضرب القصير يملأ مجموعة كاملة من الخانات.
كم خانة يملأ حاصل الضرب · מספר המשבצות שמכפלה ממלאת
N = 2n − L
الرمز
المعنى
وحدة القياس
N
عدد الخانات التي يملؤها حاصل الضرب
—
n
عدد متغيرات الدالة
—
L
عدد الحروف في حاصل الضرب
—
نتأكد أن الدالة مكتوبة كمجموع حواصل ضرب. إذا كان فيها أقواس أو عكس فوق تعبير كامل — نفتحها أولا (قانون التوزيع، قانونا دي مورغان).
نأخذ حاصل ضرب واحدا. المتغيرات المكتوبة فيه تحدد صفوفا وأعمدة: متغير عادي ← المنطقة التي فيها قيمته 1 ، متغير معكوس ← المنطقة التي فيها قيمته 0.
نكتب 1 في كل الخانات المشتركة لهذه المناطق. متغير غير مكتوب في حاصل الضرب يأخذ القيمتين.
نكرر ذلك مع كل حاصل ضرب. خانة فيها 1 من قبل تبقى 1.
في كل الخانات الباقية نكتب 0.
مثال 4.12
نرسم في خريطة كارنو الدالة F = A·B + C ونكتبها بالتمثيل العددي.
الحل:
الحد A·B : فيه حرفان من ثلاثة ← يملأ 23−2 = 2 خانتين. A = 1 هو الصف السفلي، و B = 0 هما العمودان 00 و 01 ← الخانتان m4 و m5.
الحد C : فيه حرف واحد ← يملأ 23−1 = 4 خانات. C = 1 في العمودين 01 و 11 ، في الصفين ← الخانات m1 ، m3 ، m5 ، m7.
كل حاصل ضرب ملأ مجموعة: الأحمر A·B ، الأزرق C
الخانة m5 ظهرت في الحدين — نكتب فيها 1 مرة واحدة. في الخانات الباقية (m0 ، m2 ، m6) نكتب 0.
F(A,B,C) = Σ(1,3,4,5,7)
ملاحظة:طريقة جبرية للفحص: نضرب كل حاصل ضرب في (X + X) لكل متغير X ناقص فيه. مثلا في الحد A·B ينقص C : A·B = A·B·(C + C) = A·B·C + A·B·C ، أي m5 + m4 — نفس الخانتين اللتين وجدناهما في الخريطة.
مثال 4.13
نرسم في خريطة كارنو الدالة F = A·C + A·B·D + B·C·D ونكتبها بالتمثيل العددي.
الحل:
الحد A·C : حرفان من أربعة ← 4 خانات. A = 1 : الصفان السفليان؛ C = 0 : العمودان الأيسران ← m12 ، m13 ، m8 ، m9.
الحد A·B·D : ثلاثة حروف ← خانتان. الصف AB = 01 ، والأعمدة التي فيها D = 1 ← m5 ، m7.
الحد B·C·D : ثلاثة حروف ← خانتان. العمود CD = 10 ، والصفان اللذان فيهما B = 1 ← m6 ، m14.
الأحمر A·C ، الأزرق A·B·D ، الأخضر B·C·D
F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7,8,9,12,13,14)
مثال 4.14
نرسم في خريطة كارنو الدالة F = A + B·C + A·(B + C) .
الحل:
الدالة ليست مجموع حواصل ضرب: فيها عكس فوق مجموع، وفيها قوسان. نفتحها أولا.
قانون دي مورغان: A + B = A·B . قانون التوزيع: A·(B + C) = A·B + A·C .
الآن نجمع كل ما تعلمناه في طريقة عمل واحدة. نقطة البداية هي دالة مكتوبة كمجموع حواصل ضرب — قانونية أو غير قانونية — والنتيجة هي التعبير الأصغري: مجموع حواصل ضرب فيه أقل عدد ممكن من الحدود، وفي كل حد أقل عدد ممكن من الحروف.
نرسم خريطة حسب عدد المتغيرات ونملؤها: كل حاصل ضرب في الدالة يملأ خانة أو مجموعة خانات.
نبني المجموعات حسب القواعد: أكبر ما يمكن، وأقل ما يمكن، حتى تُغطى كل خانة فيها 1.
نقرأ من كل مجموعة حاصل ضرب واحدا: المتغيرات الثابتة تبقى، والمتغيرات التي تتغير تختفي.
نجمع حواصل الضرب بعملية OR.
نفحص: نختار صفا أو صفين من جدول الصواب ونتأكد أن التعبير المبسّط يعطي نفس القيمة.
التعبير يقول بالكلمات ما قلناه في البداية: المصباح يضيء إذا وافق حكمان، أي حكمين.
F = B·C + A·C + A·B
مجموعة زائدة
القاعدة «نبدأ بالمجموعة الأكبر» لا تكفي دائما. في الدالة F(A,B,C,D) = Σ(1,5,6,7,11,12,13,15) يوجد مربع من أربع خانات في وسط الخريطة، ومن يرسمه أولا يحصل على خمس مجموعات. لكن كل خانة في هذا المربع مغطاة أيضا بمجموعة أخرى ضرورية، ولذلك المربع زائد.
خطأ: خمس مجموعات — المربع الأحمر زائد
صحيح: أربع مجموعات: F = A·C·D + A·B·C + A·C·D + A·B·C
ملاحظة: كيف نتجنب ذلك؟ نبدأ بالخانات التي لها إمكانية واحدة. هنا: m1 تُجمع فقط مع m5 ؛ m6 فقط مع m7 ؛ m11 فقط مع m15 ؛ m12 فقط مع m13. بعد رسم هذه المجموعات الأربع كل الخانات مغطاة، ولا حاجة إلى المربع.
أكثر من حل أصغري واحد
أحيانا يمكن تغطية الخانات بطريقتين مختلفتين، وفي الطريقتين نفس عدد المجموعات ونفس عدد الحروف. عندها للدالة حلان أصغريان، وكلاهما صحيح. في الدالة F(A,B,C) = Σ(0,1,3,4,7) الخانة m1 تستطيع أن تنضم إلى m0 أو إلى m3.
F = B·C + B·C + A·C
F = B·C + B·C + A·B
ملاحظة: في الامتحان يكفي أن نكتب حلا أصغريا واحدا. إذا اختلف حلنا عن حل زميل، لا نستعجل: نعدّ المجموعات والحروف، ونفحص الحلين بجدول الصواب.
أخطاء شائعة
خطأ: مجموعة من ثلاث خانات
خطأ: مجموعة قطرية
خطأ: مجموعتان صغيرتان بدل واحدة كبيرة: F = B·C + B·C
صحيح: مجموعتان من خانتين: F = B·C + A·C
صحيح: لا تبسيط: F = A·B·C + A·B·C
صحيح: مجموعة واحدة عبر الحافتين: F = C
مجموعة من ثلاث خانات (أو خمس، أو ست): عدد الخانات يجب أن يكون قوة للعدد 2. نقسمها إلى مجموعتين متداخلتين.
مجموعة قطرية: خانتان على القطر تختلفان في متغيرين، ولا يمكن جمعهما. كل واحدة تبقى لوحدها.
مجموعة صغيرة جدا: من ينسى أن الحافتين متجاورتان (أو لا يكبّر المجموعة) يحصل على تعبير صحيح لكنه ليس الأصغري.
خانة منسية: كل خانة فيها 1 يجب أن تكون داخل مجموعة واحدة على الأقل.
ترقيم خاطئ: العمود الثالث هو 11 والرابع 10 . من يكتبهما بالعكس يحصل على دالة أخرى.
حالات اللامبالاة(צירופי ברירה · Don't care): هي تركيبات مداخل قيمة الدالة فيها لا تهمنا: إما لأن التركيبة لا تظهر أبدا في النظام، وإما لأن المخرج لا يُستعمل عندما تظهر. نرمز لها بـ X في جدول الصواب وفي الخريطة، وبـ d(...) في التمثيل العددي.
مثال من الفصل 1: في شيفرة BCD تظهر فقط التركيبات 0000 حتى 1001. التركيبات الستة 1010 حتى 1111 لا تصل أبدا إلى الدائرة، ولذلك لا يهمنا ماذا تُخرج الدائرة عندها. هذه «حرية» نستغلها للتبسيط.
دالة مع حالات لامبالاة · פונקציה עם צירופי ברירה
F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15)
الرمز
المعنى
وحدة القياس
Σ(...)
الخانات التي فيها F = 1
—
d(...)
خانات اللامبالاة: نكتب فيها X
—
في كل الخانات الباقية F = 0
—
خانة فيها X نعتبرها 1إذا كان ذلك يكبّر مجموعة، ونعتبرها 0 إذا لم تفدنا.
لا حاجة إلى تغطية خانات X. نغطي فقط كل الخانات التي فيها 1.
لا نبني مجموعة كلها X — هذه مجموعة زائدة.
مثال 4.18
نبسّط الدالة F(A,B,C) = Σ(0,4,5) + d(1,6) ، مرة بدون استغلال حالات اللامبالاة ومرة مع استغلالها.
الحل:
نعتبر كل X صفرا: F = B·C + A·B
نعتبر X في m1 واحدا: F = B
بدون حالات اللامبالاة: مجموعتان من خانتين، 4 حروف.
إذا اعتبرنا الخانة m1 واحدا نحصل على مجموعة من أربع خانات (m0 ، m1 ، m4 ، m5): B = 0 ← B. الخانة m6 لا تكبّر أي مجموعة، ولذلك نعتبرها 0 ولا نغطيها.
F = B
انتبه: بعد التبسيط لا يبقى في الدائرة «X»: الدائرة الحقيقية تُخرج دائما 0 أو 1. كل X دخل في مجموعة أصبح 1 ، وكل X بقي خارج المجموعات أصبح 0. في المثال السابق: إذا وصلت التركيبة 001 فالمخرج 1 ، وإذا وصلت 110 فالمخرج 0.
مثال 4.19
دائرة تستقبل رقما عشريا بشيفرة BCD في المداخل ABCD (A هو البت الأعلى وزنا). المخرج F يساوي 1 إذا كان الرقم 5 أو أكبر. نصمم الدائرة.
الحل:
الأرقام 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 تعطي F = 1 ؛ الأرقام 0 – 4 تعطي F = 0 ؛ التركيبات 10 – 15 ليست أرقام BCD ← حالات لامبالاة.
F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15)
i
A
B
C
D
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
3
0
0
1
1
0
4
0
1
0
0
0
5
0
1
0
1
1
6
0
1
1
0
1
7
0
1
1
1
1
8
1
0
0
0
1
9
1
0
0
1
1
10
1
0
1
0
X
11
1
0
1
1
X
12
1
1
0
0
X
13
1
1
0
1
X
14
1
1
1
0
X
15
1
1
1
1
X
كل الـ X في الصفين السفليين
الصفان السفليان (A = 1): فيهما m8 ، m9 وست خانات X ← مجموعة من ثماني خانات: A.
الخانتان m5 ، m7 مع X في m13 ، m15 ← مربع من أربع خانات: B·D.
الخانتان m6 ، m7 مع X في m14 ، m15 ← مربع من أربع خانات: B·C.
بدون حالات اللامبالاة كنا نحصل على F = A·B·C + A·B·D + A·B·C — 9 حروف بدل 5.
الدائرة بعد التبسيط
F = B·D + B·C + A
شاشة العرض ذات السبع قطع
في شاشة العرض ذات السبع قطع (תצוגת 7 מקטעים) سبع قطع ضوئية أسماؤها a حتى g. لكل قطعة دالة خاصة بها: مداخلها هي أربعة بتات BCD للرقم المعروض، ومخرجها 1 عندما يجب أن تضيء القطعة. التركيبات 10 – 15 هي حالات لامبالاة، ولذلك هذه الدوال مثال ممتاز — ومحبوب في الامتحانات — على التبسيط مع حالات لامبالاة.
أسماء القطع، وشكل كل رقم على الشاشة. تحت كل رقم شيفرة BCD له
مثال 4.20
نجد التعبير الأصغري للقطعة a في شاشة عرض تستقبل رقما بشيفرة BCD في المداخل ABCD.
الحل:
القطعة a تضيء في الأرقام 0 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، ولا تضيء في 1 و 4.
كم حدا أصغريا يوجد لدالة من: (أ) متغيرين؟ (ب) ثلاثة متغيرات؟ (ج) أربعة متغيرات؟ (د) خمسة متغيرات؟ وكم حرفا في كل حد أصغري؟
الإجابات: (أ) 4 حدود، حرفان (ب) 8 ، ثلاثة حروف (ج) 16 ، أربعة حروف (د) 32 ، خمسة حروف
7.
نرسم خريطة كارنو فارغة لثلاثة متغيرات وخريطة فارغة لأربعة متغيرات، ونكتب في كل خانة رقمها. ثم نكتب: ما هي أرقام خانات العمود الثالث في كل خريطة؟ وما هي أرقام خانات الصف الثالث في خريطة أربعة متغيرات؟
الإجابات: العمود الثالث (11): في خريطة ثلاثة متغيرات 3 ، 7 ؛ في خريطة أربعة متغيرات 3 ، 7 ، 15 ، 11. الصف الثالث (AB = 11): 12 ، 13 ، 15 ، 14
8.
خريطة لأربعة متغيرات. أي أزواج من الخانات متجاورة؟ m0 و m2 ؛ m1 و m3 ؛ m5 و m6 ؛ m4 و m12 ؛ m3 و m11 ؛ m0 و m10 ؛ m8 و m10 ؛ m7 و m13.
الإجابات: (أ) F = B·C + A·B ؛ (ب) F = C·D + A·B·D ؛ (ج) F = C·D + C·D
16.
في الدوال التالية توجد مجموعات عبر حواف الخريطة أو في زواياها. نبسّط: (أ) F(A,B,C,D) = Σ(0,2,8,10,12,14) ؛ (ب) F(A,B,C,D) = Σ(0,1,6,8,9,14) ؛ (ج) F(A,B,C,D) = Σ(1,4,6,9,12,14).
الإجابات: (أ) F = B·D + A·D ؛ (ب) F = B·C·D + B·C ؛ (ج) F = B·D + B·C·D
17.
ننسخ الخريطة إلى الدفتر، نملؤها حسب الدالة F(A,B,C,D) = Σ(1,3,5,6,7,9,11,14) ، نبني المجموعات ونكتب التعبير الأصغري.
الإجابات:F = B·C·D + B·D + A·D
18.
الدالة F = A·C + A·B + A·B·C ليست بصيغتها القانونية. (أ) نرسمها في خريطة ونكتبها بالتمثيل العددي. (ب) نكتب صيغتها القانونية. (ج) نبسّطها.
الإجابات: (أ) F(A,B,C) = Σ(0,2,5,6,7) (ب) F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C (ج) F = B·C + A·C + A·C (يوجد حل أصغري آخر: F = A·C + A·B + A·C)
19.
نرسم الدالة F = A·C·D + A·C·D + B·C·D + A·B·C·D + A·C·D في خريطة، نكتبها بالتمثيل العددي ونبسّطها.
الدالة F = A·B·(A + C) ليست مجموع حواصل ضرب. (أ) نفتح العكس والأقواس ونكتبها كمجموع حواصل ضرب. (ب) نكتبها بالتمثيل العددي. (ج) نجد التعبير الأصغري بالخريطة.
الإجابات: (أ) F = (A + B)·(A + C) = A·C + A·B + B·C (ب) F(A,B,C) = Σ(1,3,4,5) (ج) F = A·B + A·C
21.
نكتب جدول الصواب للدالة F = (A + B)·(C + D)·A·B (نحسب القيمة لكل صف)، ثم نكتبها بالتمثيل العددي ونبسّطها بالخريطة.
طالب بسّط الدالة F(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,7,8,10,13,15) كما في الخريطة وكتب: F = A·B·D + A·B·D + A·B·D + A·B·D . (أ) هل تعبيره يساوي الدالة؟ (ب) ما الخطأ في الحل؟ (ج) نكتب التعبير الأصغري.
الإجابات: (أ) نعم، التعبير صحيح لكنه ليس الأصغري (ب) المجموعات صغيرة: كل مجموعتين يمكن توحيدهما في مجموعة من أربع خانات (الزوايا الأربع، والمربع الأوسط) (ج) F = B·D + B·D
23.
طالبة بسّطت الدالة F(A,B,C) = Σ(1,3,5,6,7) وكتبت F = C + B . نرسم الخريطة ونفحص: هل الحل صحيح؟ إذا لا — أين الخطأ وما هو الحل الصحيح؟
الإجابات: الحل خاطئ: المجموعة B تضم الخانة m2 التي فيها 0. الحل الصحيح: F = C + A·B
24.
نبسّط مع استغلال حالات اللامبالاة: (أ) F(A,B,C) = Σ(0,4,5) + d(1,7) ؛ (ب) F(A,B,C) = Σ(2,3,7) + d(0,6).
الإجابات: (أ) F = B ؛ (ب) F = B
25.
نبسّط مع استغلال حالات اللامبالاة: (أ) F(A,B,C,D) = Σ(1,5,7,9) + d(3,11,13,15) ؛ (ب) F(A,B,C,D) = Σ(0,2,4,6,8) + d(10,11,12,13,14,15).
الإجابات: (أ) F = D ؛ (ب) F = D
26.
للدالة F(A,B,C) = Σ(0,1,2,5,6,7) يوجد أكثر من حل أصغري واحد. نرسم الخريطة مرتين ونجد حلين مختلفين. كم حرفا في كل حل؟
الإجابات:F = B·C + A·B + A·C (يوجد حل أصغري آخر: F = B·C + A·C + A·B) ؛ في كل حل 6 حروف
27.
نرسم خريطة الدالة F(A,B,C) = Σ(1,2,4,7) . (أ) لماذا لا يمكن تبسيطها بالخريطة؟ (ب) نفحص بجدول الصواب أن F = A ⊕ B ⊕ C .
الإجابات: (أ) الخانات التي فيها 1 مرتبة مثل رقعة الشطرنج: لا توجد خانتان متجاورتان، ولذلك كل خانة مجموعة لوحدها و F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C (ب) A ⊕ B ⊕ C يساوي 1 عندما عدد المداخل التي قيمتها 1 فردي: الصفوف 1 ، 2 ، 4 ، 7
28.
التعبير الأصغري لدالة من أربعة متغيرات هو F = B·D + A·D . (أ) كم خانة فيها 1 في خريطة الدالة؟ (ب) نكتب الدالة بالتمثيل العددي.
الإجابات: (أ) 8 خانات (المجموعتان من أربع خانات، وبينهما لا توجد خانات مشتركة) (ب) F(A,B,C,D) = Σ(0,2,4,5,6,7,13,15)
29.
دائرة الأغلبية من المثال المحلول في الفصل، F = B·C + A·C + A·B . (أ) كم بوابة AND وكم بوابة OR نحتاج لبناء الصيغة القانونية، وكم مدخلا لكل بوابة؟ (ب) وكم نحتاج لبناء التعبير الأصغري؟
الإجابات: (أ) 4 بوابات AND بثلاثة مداخل، وبوابة OR بـ 4 مداخل (وثلاثة عواكس) (ب) 3 بوابات AND بمدخلين وبوابة OR بثلاثة مداخل، بدون عواكس
المستوى الثالث — تحدٍّ
30.
نظام إنذار في بيت له أربعة مداخل: A — النظام مفعَّل ؛ B — الباب مفتوح ؛ C — النافذة مفتوحة ؛ D — مجسّ الحركة كشف حركة. صفارة الإنذار F تعمل إذا كان النظام مفعّلا وفُتح الباب أو النافذة، وكذلك — حتى لو لم يكن النظام مفعّلا — إذا كانت النافذة مفتوحة وكُشفت حركة. (أ) نكتب جدول الصواب والتمثيل العددي. (ب) نجد التعبير الأصغري بالخريطة. (ج) كم بوابة نحتاج؟
الإجابات: (أ) F(A,B,C,D) = Σ(3,7,10,11,12,13,14,15) (ب) F = C·D + A·C + A·B (ج) 3 بوابات AND بمدخلين وبوابة OR واحدة
31.
لجنة من أربعة أعضاء A ، B ، C ، D ، والعضو A هو الرئيس. القرار يُقبل (F = 1) إذا وافق ثلاثة أعضاء على الأقل، وإذا تعادلت الأصوات (اثنان مقابل اثنين) يُقبل القرار فقط إذا كان الرئيس من الموافقين. نكتب التمثيل العددي ونجد التعبير الأصغري.
المداخل ABCD تكتب عددا ثنائيا من 0 حتى 15 . المخرج F = 1 إذا كان العدد أوليا (2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13). نجد التعبير الأصغري.
الإجابات:F(A,B,C,D) = Σ(2,3,5,7,11,13) ؛ F = B·C·D + B·C·D + A·C·D + A·B·C (يوجد حل أصغري آخر: F = B·C·D + B·C·D + A·B·D + A·B·C)
34.
نفس السؤال السابق، لكن الآن المداخل هي رقم عشري بشيفرة BCD (من 0 حتى 9 فقط)، والمخرج F = 1 إذا كان الرقم أوليا. نكتب التمثيل العددي مع حالات اللامبالاة ونجد التعبير الأصغري. كم حرفا وفّرت حالات اللامبالاة مقارنة مع الحل بدونها؟
الإجابات:F(A,B,C,D) = Σ(2,3,5,7) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ F = B·D + B·C ؛ بدون حالات اللامبالاة: F = A·B·D + A·B·C (6 حروف بدل 4)
35.
دائرة تستقبل رقما بشيفرة BCD. المخرج F = 1 إذا كان الرقم يقبل القسمة على 3 بدون باق (3 ، 6 ، 9). نجد التعبير الأصغري.
دائرة تستقبل رقما بشيفرة BCD. نجد التعبير الأصغري لكل مخرج: (أ) F1 = 1 إذا كان الرقم فرديا. (ب) F2 = 1 إذا كان الرقم أكبر من 7 . (ج) F3 = 1 إذا كان الرقم أصغر من 3 .
الإجابات: (أ) F1 = D (ب) F2 = A (ج) F3 = B·C·D + A·B·C (يوجد حل أصغري آخر: F3 = A·B·D + A·B·C)
37.
شاشة عرض ذات سبع قطع تستقبل رقما بشيفرة BCD (كما في المثال المحلول، أشكال الأرقام في الرسم). نجد التعبير الأصغري للقطع b ، c و e .
الإجابات:Σ(0,1,2,3,4,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ b = C·D + C·D + B ؛ Σ(0,1,3,4,5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ c = D + C + B ؛ Σ(0,2,6,8) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ e = C·D + B·D
38.
لنفس شاشة العرض نجد التعبير الأصغري للقطع d ، f و g .
الإجابات:Σ(0,2,3,5,6,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ d = C·D + B·C·D + B·D + B·C + A ؛ Σ(0,4,5,6,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ f = C·D + B·D + B·C + A ؛ Σ(2,3,4,5,6,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ g = C·D + B·C + B·C + A (يوجد حل أصغري آخر: g = B·D + B·C + B·C + A)
39.
في خزان ماء ثلاثة مجسّات ارتفاع: A في الأسفل، B في الوسط، C في الأعلى. المجسّ يُخرج 1 عندما يغطيه الماء. لأن الماء يملأ الخزان من الأسفل، بعض التركيبات لا يمكن أن تظهر (مثلا C = 1 و A = 0). (أ) أي تركيبات ممكنة وأيها حالات لامبالاة؟ (ب) المضخة P تعمل عندما يكون الماء تحت المجسّ الأوسط. نجد التعبير الأصغري لـ P . (ج) مصباح تحذير W يضيء عندما يكون الخزان فارغا تماما أو ممتلئا تماما. نجد التعبير الأصغري لـ W .
الإجابات: (أ) الممكنة: 000 ، 100 ، 110 ، 111 ؛ حالات اللامبالاة: 001 ، 010 ، 011 ، 101 (ب) P(A,B,C) = Σ(0,4) + d(1,2,3,5) ؛ P = B (ج) W(A,B,C) = Σ(0,7) + d(1,2,3,5) ؛ W = C + A
40.
المداخل ABCD تكتب عددا ثنائيا من 0 حتى 15 . المخرج F = 1 إذا كان العدد مربعا كاملا (0 ، 1 ، 4 ، 9). (أ) نجد التعبير الأصغري. (ب) نجد التعبير الأصغري إذا عرفنا أن الأعداد 10 – 15 لا تظهر أبدا.
الإجابات: (أ) F = B·C·D + A·C·D (ب) F = B·C·D + A·C·D
41.
دالة من أربعة متغيرات تساوي 1 عندما بالضبط اثنان من المداخل قيمتهما 1 . (أ) نكتب التمثيل العددي. (ب) نرسم الخريطة. هل يمكن تبسيط الدالة؟ نشرح.
الإجابات: (أ) F(A,B,C,D) = Σ(3,5,6,9,10,12) (ب) لا: كل خانتين متجاورتين تختلفان في متغير واحد، ولذلك عدد الواحدات فيهما مختلف؛ لا توجد خانتان متجاورتان في كل منهما 1 ، والتعبير الأصغري هو الصيغة القانونية نفسها (6 حدود)
42.
نبسّط الدالة F(A,B,C,D) = Σ(0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,14) . ثم نجيب: ما هي الدالة التي نحصل عليها إذا كتبنا 1 أيضا في الخانتين 5 و 7 ؟
الإجابات:F = D + B ؛ مع الخانتين 5 و 7 : F = D + B + A
خرائط كارنو لحلول أسئلة مختارة:
رقم السؤال (والبند) مكتوب تحت كل خريطة، والتعبير موجود في إجابة السؤال. إذا كان للدالة أكثر من حل أصغري واحد، الخريطة تعرض الحل الأول المكتوب في الإجابة.
السؤال 13
السؤال 15 (أ)
السؤال 15 (ب)
السؤال 15 (ج)
السؤال 16 (أ)
السؤال 16 (ب)
السؤال 16 (ج)
السؤال 17
السؤال 18
السؤال 19
السؤال 20
السؤال 21
السؤال 23
السؤال 24 (أ)
السؤال 24 (ب)
السؤال 25 (أ)
السؤال 25 (ب)
السؤال 26
السؤال 30
السؤال 31
السؤال 32
السؤال 33
السؤال 34
السؤال 35
السؤال 36 (أ)
السؤال 36 (ب)
السؤال 36 (ج)
السؤال 37 (b)
السؤال 37 (c)
السؤال 37 (e)
السؤال 38 (d)
السؤال 38 (f)
السؤال 38 (g)
السؤال 39 (P)
السؤال 39 (W)
السؤال 40 (أ)
السؤال 40 (ب)
السؤال 42
الإجابات النهائية لأسئلة الفصل
4.1F = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C
4.2 (أ) m0 في العمود 00 ، m3 في العمود 11 ، m5 في العمود 01 ، m6 في العمود 10 (ب) m1 في العمود 01 ، m4 في العمود 00 ، m6 في العمود 10 ، m9 في العمود 01 ، m11 في العمود 11 ، m14 في العمود 10
4.3 (أ) B·C ، (ب) A·D ، (ج) A·B ، (د) B·C
4.4 بعد فتح القوسين: F = A·B + A·C + B·C ؛ F(A,B,C) = Σ(1,5,6,7)
4.5F = B·D ؛ استعملنا 1 من خانات X وبقيت 3 خارج المجموعات
שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 4
الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، نموذج 845381 (מערכות חשמל)، وهي من فصل الأنظمة الرقمية فيه، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.
بجروت 2026 السؤال 9 — دالّة بوليانيّة من جدول الحقيقة
