الفصل 5
تصميم وبناء الدوائر التوافقية
תכנון ומימוש מערכות צירופים
في الفصول السابقة جمعنا الأدوات: البوابات المنطقية، الجبر البولياني وخريطة كارنو. في هذا الفصل نستعملها معا لنصنع شيئا يعمل. نأخذ مهمة مكتوبة بالكلمات — إنذار، تصويت، مضخة ماء — ونحوّلها إلى دائرة من بوابات. بعد ذلك نسير في الطريق المعاكس: نأخذ دائرة مرسومة، نكتشف ماذا تفعل، نبسّطها، ونرسم كيف يتغير مخرجها مع الزمن.
في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:
- نصمّم دائرة توافقية من وصف كلامي: جدول صواب، خريطة كارنو، تعبير مبسّط ورسم.
- نبني تعبيرا بصيغة مجموع حواصل الضرب ببوابات AND و OR و NOT، ونعدّ البوابات.
- نبني أي دالة ببوابات NAND فقط أو ببوابات NOR فقط.
- نحسب كم دائرة متكاملة من الأنواع 7400 ، 7404 ، 7408 و 7432 نحتاج لبناء دائرة.
- نحلّل دائرة معطاة: نكتب تعبير المخرج بوابة بعد بوابة، نبسّطه ونرسم الدائرة المبسّطة.
- نرسم شكل موجة المخرج في مخطط الزمن عندما تكون أشكال موجات المداخل معطاة.
מימוש בעזרת שערים לוגיים בסיסיים – البناء بالبوابات المنطقية الأساسية (Implementation with Basic Gates)
الدائرة التوافقية (מערכת צירופים): هي دائرة منطقية مخرجها في كل لحظة يتعلق فقط بقيم مداخلها في نفس اللحظة. لا توجد فيها ذاكرة: نفس تركيبة المداخل تعطي دائما نفس المخرج. لذلك نستطيع أن نصفها كلها بجدول صواب واحد.
عكسها هي الدائرة التتابعية (מערכת עקיבה)، وفيها المخرج يتعلق أيضا بما حدث من قبل؛ سنتعرف عليها في الفصل 8.
مراحل التصميم – שלבי התכנון:
التصميم (תכנון): هو الطريق من وصف كلامي لمهمة إلى دائرة مرسومة من بوابات. البناء (מימוש) هو المرحلة الأخيرة فيه: اختيار البوابات ورسم الدائرة.
- نقرأ الوصف ونحدّد المداخل والمخرج. نعطي كل مدخل حرفا، ونكتب بوضوح ماذا يعني 1 وماذا يعني 0.
- نكتب جدول الصواب: لكل تركيبة من المداخل نقرّر، حسب الوصف، هل المخرج 1 أو 0.
- ننقل الجدول إلى خريطة كارنو ونجمع الخانات المتجاورة في أكبر مجموعات ممكنة.
- نكتب التعبير المبسّط بصيغة مجموع حواصل الضرب.
- نرسم الدائرة، نعدّ البوابات ونفحص الدائرة أمام الجدول.
مراحل التصميم الخمس، من اليمين إلى اليسار
مثال 5.1
نصمّم نظام إنذار لبيت. للنظام مفتاح تشغيل وحساسان: حساس على الباب وحساس على النافذة. صفارة الإنذار تعمل إذا كان النظام مشغَّلا وفُتح الباب أو فُتحت النافذة (أو كلاهما).
الحل:
المرحلة 1 — المداخل والمخرج. A = 1: النظام مشغَّل. B = 1: الباب مفتوح. C = 1: النافذة مفتوحة. المخرج F = 1: الصفارة تعمل.
المرحلة 2 — جدول الصواب. عندما A = 0 النظام مطفأ والصفارة لا تعمل أبدا. عندما A = 1 الصفارة تعمل إذا كان B = 1 أو C = 1.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
F(A,B,C) = Σ(5,6,7)
المرحلة 3 — خريطة كارنو. ثلاث خانات فيها 1، ونجمعها في مجموعتين من خانتين:
المرحلة 4 — التعبير المبسّط:
F = A·C + A·B
المرحلة 5 — الدائرة. بوابة AND لكل حاصل ضرب وبوابة OR تجمعهما:
دائرة الإنذار: 2 AND + 1 OR = 3
فحص: نختار سطرا من الجدول، مثلا A = 1 ، B = 0 ، C = 1. البوابة السفلى تعطي 1·1 = 1 ولذلك F = 1 — كما في الجدول.
F = A·C + A·B
مثال 5.2
هل نستطيع أن نبني دائرة الإنذار من المثال السابق بعدد أقل من البوابات؟
الحل:
F = A·C + A·B
في الحدّين يظهر A. نخرجه عاملا مشتركا (قانون التوزيع):
F = A·(B + C)
الآن نحتاج إلى بوابة OR واحدة وبوابة AND واحدة فقط:
دائرة الإنذار بعد إخراج العامل المشترك: 1 AND + 1 OR = 2
التعبير الجديد يقول بالضبط ما قاله الوصف الكلامي: «النظام مشغَّل و (الباب مفتوح أو النافذة مفتوحة)».
F = A·(B + C)
ملاحظة: خريطة كارنو تعطينا أبسط مجموع حواصل ضرب، وهو يُبنى دائما بمستويين من البوابات. أحيانا، بعد إخراج عامل مشترك، نحصل على دائرة فيها بوابات أقل لكن مستويات أكثر. في الامتحان نبني حسب الصيغة التي يطلبها السؤال.
سؤال 5.1: مكبس في مصنع يعمل (F = 1) فقط إذا ضغط العامل على زرّين بيديه الاثنتين (A = 1 و B = 1) وكان باب الحماية مغلقا (C = 1). نكتب جدول الصواب والتعبير. أي بوابة نحتاج؟
تدريب سريع — نكتب تعبيرا بوليانيا للمخرج F حسب الوصف
1المصباح يضيء إذا كان المفتاح A مغلقا والمفتاح B مغلقا
2الجرس يرنّ إذا ضُغط الزر A أو الزر B
3المروحة تعمل إذا كان A = 1 و B = 0
4المحرّك يعمل إذا كان A = 1 ، وأيضا B = 1 أو C = 1
5الباب يُفتح إذا كان A = 1 و B = 1 ، أو إذا كان C = 1
6الضوء الأحمر يضيء إذا لم يكن A = 1 ولم يكن B = 1
7الصفارة تعمل إذا كان واحد فقط من المدخلين A ، B يساوي 1
8المضخة تعمل إذا كان A = 0 ، أو إذا كان B = 1 و C = 0
الإجابات: 1 F = A·B 2 F = A + B 3 F = A·B 4 F = A·(B + C) 5 F = A·B + C 6 F = A·B 7 F = A·B + A·B 8 F = A + B·C
البناء ببوابات AND و OR و NOT – מימוש בשערי AND, OR, NOT:
تعبير بصيغة مجموع حواصل الضرب نبنيه مباشرة بدائرة من مستويين (מימוש דו-דרגתי): في المستوى الأول بوابات AND، وفي المستوى الثاني بوابة OR واحدة. قبلهما عواكس للمتغيرات التي تظهر مع خط علوي.
عدد البوابات في بناء مجموع حواصل الضرب · מספר השערים במימוש סכום מכפלות
N = NNOT + NAND + NOR
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| NNOT | عدد العواكس: عاكس واحد لكل متغير يظهر في التعبير مع خط علوي | — |
| NAND | عدد بوابات AND: بوابة لكل حاصل ضرب فيه حرفان أو أكثر | — |
| NOR | بوابة OR واحدة إذا كان في التعبير حدّان أو أكثر؛ عدد مداخلها يساوي عدد الحدود | — |
| N | عدد البوابات الكلي | — |
ملاحظة: حدّ فيه حرف واحد فقط (مثل C في A·B + C) لا يحتاج إلى بوابة AND: نوصله مباشرة إلى بوابة OR.
مثال 5.3
لجنة من ثلاثة حكام تصوّت على قرار. كل حكم يضغط على زر: 1 = موافق، 0 = معارض. نصمّم دائرة تضيء مصباحا أخضر (F = 1) إذا وافقت الأغلبية، ونبنيها ببوابات AND و OR.
الحل:
المداخل: A ، B ، C — أصوات الحكام الثلاثة. الأغلبية معناها: اثنان على الأقل وافقوا. نمرّ على الأسطر ونعدّ كم 1 في كل سطر؛ إذا كان العدد 2 أو 3 نكتب F = 1.
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
F(A,B,C) = Σ(3,5,6,7)
ثلاث مجموعات من خانتين. الخانة 7 مشتركة بين الثلاث
F = B·C + A·C + A·B
لا يوجد في التعبير متغير مع خط علوي ← لا نحتاج إلى عواكس. ثلاثة حواصل ضرب ← ثلاث بوابات AND؛ وبوابة OR واحدة بثلاثة مداخل:
دائرة الأغلبية: 3 AND + 1 OR = 4
F = B·C + A·C + A·B
مثال 5.4
عدد عشري من 0 حتى 9 يدخل إلى دائرة بشيفرة BCD على أربعة خطوط A ، B ، C ، D (A هو البت الأعلى وزنا). نصمّم دائرة مخرجها F = 1 عندما يكون العدد 5 أو أكبر.
الحل:
في شيفرة BCD التركيبات من 1010 حتى 1111 لا تظهر أبدا. لا يهمّنا ماذا يكون المخرج فيها، ولذلك نكتب فيها X: هذه حالات لامبالاة.
| A | B | C | D | F |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | X |
| 1 | 0 | 1 | 1 | X |
| 1 | 1 | 0 | 0 | X |
| 1 | 1 | 0 | 1 | X |
| 1 | 1 | 1 | 0 | X |
| 1 | 1 | 1 | 1 | X |
F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15)
في الخريطة نستعمل خانات X كأنها 1 عندما تساعدنا على تكبير المجموعة:
بفضل خانات X حصلنا على مجموعة من ثماني خانات ومجموعتين من أربع
F = B·D + B·C + A
الدائرة: 2 AND + 1 OR = 3 . الحدّ A يدخل مباشرة إلى بوابة OR
F = B·D + B·C + A
سؤال 5.2: نصمّم دائرة للدالة F(A,B,C) = Σ(1,3,4,5) : خريطة كارنو، تعبير مبسّط، وعدد البوابات في البناء ببوابات AND و OR و NOT.
تدريب سريع — نبسّط بخريطة كارنو، ونعدّ البوابات في البناء ببوابات AND و OR و NOT
1F(A,B,C) = Σ(0,1,2,3)
2F(A,B,C) = Σ(3,7)
3F(A,B,C) = Σ(0,2,4,6)
4F(A,B,C) = Σ(2,3,5,6,7)
5F(A,B,C) = Σ(0,1,5,7)
6F(A,B,C) = Σ(1,2,3,5,7)
7F(A,B,C,D) = Σ(0,1,2,3,8,9,10,11)
8F(A,B,C,D) = Σ(5,7,13,15)
9F(A,B,C,D) = Σ(0,2,8,10,12,14)
الإجابات: 1 A ؛ 1 NOT 2 B·C ؛ 1 AND 3 C ؛ 1 NOT 4 B + A·C ؛ 1 AND + 1 OR = 2 5 A·C + A·B ؛ 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5 6 C + A·B ؛ 1 NOT + 1 AND + 1 OR = 3 7 B ؛ 1 NOT 8 B·D ؛ 1 AND 9 B·D + A·D ؛ 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
البناء ببوابات NAND فقط – מימוש בשערי NAND בלבד:
البوابة الشاملة (שער אוניברסלי): هي بوابة نستطيع أن نبني منها وحدها كل دالة بوليانية. البوابتان NAND و NOR بوابتان شاملتان: من كل واحدة منهما نبني عاكسا، بوابة AND وبوابة OR.
لماذا هذا مهم؟ لأن المصنع أو المختبر يحتاج عندها إلى نوع واحد فقط من الشرائح. نبدأ ببناء البوابات الثلاث الأساسية من NAND:
عاكس: F = A·A = A
AND: F = A·B = A·B
OR: F = A·B = A + B
ملاحظة: العاكس هو بوابة NAND وصلنا مدخليها معا. بوابة AND هي NAND وبعدها عاكس. بوابة OR هي عاكس على كل مدخل وبعدهما NAND — وهذا قانون دي مورغان.
من مجموع حواصل الضرب إلى NAND فقط · מסכום מכפלות למימוש NAND–NAND
F = A·B + C·D
F = A·B + C·D
F = A·B·C·D
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| X | النفي المزدوج: خطان فوق تعبير لا يغيّران قيمته، X = X | — |
| X + Y | قانون دي مورغان: نكسر الخط، والجمع يصبح ضربا: X + Y = X·Y | — |
| A·B | كل خط فوق حاصل ضرب هو بوابة NAND واحدة | — |
- نكتب الدالة بصيغة مجموع حواصل ضرب مبسّط.
- نضع فوق التعبير كله خطين (نفي مزدوج).
- نكسر الخط السفلي بقانون دي مورغان: كل حاصل ضرب يحصل على خط فوقه، وإشارة الجمع تصبح ضربا.
- نرسم: بوابة NAND لكل حاصل ضرب، وبوابة NAND أخيرة تجمعها. العواكس، إذا لزمت، هي أيضا بوابات NAND.
نتذكر: بالرسم هذا أسهل: نرسم دائرة المستويين من بوابات AND و OR، ثم نبدّل كل بوابة فيها ببوابة NAND. الدائرة تبقى تعمل نفس العمل.
مثال 5.5
نبني ببوابات NAND فقط الدالة F = A·B + A·C .
الحل:
F = A·B + A·C
التعبير مكتوب كمجموع حواصل ضرب. نضع فوقه خطين:
F = A·B + A·C
نكسر الخط السفلي بقانون دي مورغان:
F = A·B·A·C
في التعبير ثلاثة خطوط فوق حواصل ضرب ← ثلاث بوابات NAND. المتغير A يحتاج إلى عاكس، ونبنيه من بوابة NAND رابعة.
البناء ببوابات NAND. العاكس المرسوم هو بوابة NAND مدخلاها موصولان معا — المجموع 4 بوابات NAND
F = A·B·A·C
انتبه: حدّ فيه حرف واحد يدخل إلى بوابة NAND الأخيرة وهو معكوس. بعد دي مورغان الحرف A يصبح A ، والحرف A يصبح A.
مثال 5.6
نبني ببوابات NAND فقط الدالة F = B·C + A .
الحل:
F = B·C + A
F = B·C + A
دي مورغان: فوق كل حدّ خط، والجمع يصبح ضربا. الحدّ A يصبح A:
F = B·C·A
المجموع 3 بوابات NAND: عاكس للمتغير A ، بوابة للحدّ B·C وبوابة أخيرة
F = B·C·A
سؤال 5.3: نبني ببوابات NAND فقط دائرة الأغلبية F = B·C + A·C + A·B . نكتب التعبير ونعدّ البوابات.
تدريب سريع — نكتب بصيغة NAND فقط، ونعدّ بوابات NAND (مع العواكس)
1F = C + A·B
2F = A·C + A·B
3F = A·B + A·B
4F = B + A
5F = C + A·B
6F = B·C + A
7F = A·B + A·B
8F = B·C + A·C
الإجابات: 1 C·A·B ← 3 2 A·C·A·B ← 3 3 A·B·A·B ← 5 4 B·A ← 3 5 C·A·B ← 4 6 B·C·A ← 2 7 A·B·A·B ← 5 8 B·C·A·C ← 4
البناء ببوابات NOR فقط – מימוש בשערי NOR בלבד:
عاكس: F = A + A = A
OR: F = A + B = A + B
AND: F = A + B = A·B
لبناء دالة كاملة ببوابات NOR نعمل مع أصفار الدالة بدل الواحدات:
- في خريطة كارنو نجمع الخانات التي فيها 0. هكذا نحصل على تعبير مبسّط للدالة المعكوسة F بصيغة مجموع حواصل ضرب.
- نعكس الطرفين: F هي NOR لكل حواصل الضرب.
- كل حاصل ضرب نحوّله إلى NOR بقانون دي مورغان: X·Y = X + Y . أي: نعكس كل حرف فيه ونضع بوابة NOR.
- حدّ فيه حرف واحد يدخل مباشرة إلى بوابة NOR الأخيرة، كما هو.
مثال 5.7
نبني ببوابات NOR فقط دائرة الإنذار F(A,B,C) = Σ(5,6,7) .
الحل:
نرسم خريطة كارنو للدالة المعكوسة F : فيها 1 في كل خانة كان فيها F = 0. نجمع هذه الخانات:
خريطة F : مجموعة من أربع خانات ومجموعة من خانتين
F = B·C + A
نعكس الطرفين، ثم نحوّل حاصل الضرب B·C إلى NOR بقانون دي مورغان:
F = B·C + A
F = B + C + A
البناء ببوابات NOR. العاكس هو بوابة NOR مدخلاها موصولان معا — المجموع 3 بوابات NOR
F = B + C + A
تدريب سريع — نجمع الأصفار، نكتب F ثم نكتب F بصيغة NOR فقط ونعدّ بوابات NOR (مع العواكس)
1F(A,B,C) = Σ(0,1,2)
2F(A,B,C) = Σ(0,4,5)
3F(A,B,C) = Σ(1,3,5)
4F(A,B,C) = Σ(0,1,6,7)
5F(A,B,C) = Σ(2,3,4,5)
6F(A,B,C) = Σ(0,2,3,7)
الإجابات: 1 F = B·C + A ؛ F = B + C + A ← 4 2 F = B + A·C ؛ F = B + A + C ← 3 3 F = C + A·B ؛ F = C + A + B ← 5 4 F = A·B + A·B ؛ F = A + B + A + B ← 5 5 F = A·B + A·B ؛ F = A + B + A + B ← 5 6 F = B·C + A·C ؛ F = B + C + A + C ← 5
البناء بدوائر متكاملة – מימוש ברכיבים משולבים:
الدائرة المتكاملة (الشريحة) (רכיב משולב – שבב): هي قطعة إلكترونية صغيرة داخلها عدة بوابات جاهزة، ولها أرجل معدنية (הדקים) نوصل إليها الأسلاك. في المختبر لا نشتري «بوابة AND»؛ نشتري شريحة فيها عدة بوابات من نفس النوع.
| رقم الشريحة | ماذا يوجد داخلها | عدد البوابات |
|---|---|---|
| 7400 | بوابات NAND بمدخلين | 4 |
| 7404 | عواكس (NOT) | 6 |
| 7408 | بوابات AND بمدخلين | 4 |
| 7432 | بوابات OR بمدخلين | 4 |
الشريحة 7400 من الأعلى: أربع بوابات NAND و 14 رِجلا. الرِّجل 14 توصل بجهد التغذية VCC = 5 V والرِّجل 7 بالأرضي (GND)
ملاحظة: لكل شريحة صفحة بيانات (דף נתונים) فيها رسم الأرجل. بدون توصيل التغذية والأرضي الشريحة لا تعمل، حتى لو استعملنا بوابة واحدة منها فقط.
عدد الشرائح اللازمة · מספר הרכיבים הדרושים
NIC ≥ Ngatesn
| الرمز | المعنى | وحدة القياس |
|---|---|---|
| NIC | عدد الشرائح من نوع معيّن — عدد صحيح، ندوّر إلى الأعلى | — |
| Ngates | عدد البوابات التي نحتاجها من هذا النوع | — |
| n | عدد البوابات في شريحة واحدة (4 أو 6) | — |
مثال 5.8
نبني الدالة F = A·B + A·C بدوائر متكاملة. كم شريحة نحتاج:
(أ) في البناء ببوابات AND و OR و NOT؟
(ب) في البناء ببوابات NAND فقط؟
(أ) في البناء ببوابات AND و OR و NOT؟
(ب) في البناء ببوابات NAND فقط؟
الحل:
(أ) نعدّ البوابات: 1 NOT + 2 AND + 1 OR = 4 . كل نوع يأتي في شريحة أخرى:
| البوابة | العدد اللازم | الشريحة | عدد الشرائح |
|---|---|---|---|
| NOT | 1 | 7404 | 1 |
| AND | 2 | 7408 | 1 |
| OR | 1 | 7432 | 1 |
المجموع 3 شرائح، وفيها 6 + 4 + 4 = 14 بوابة — نستعمل منها 4 فقط.
(ب) في المثال السابق وجدنا أن البناء ببوابات NAND يحتاج إلى 4 بوابات بمدخلين. شريحة 7400 واحدة فيها بالضبط 4 بوابات:
NIC ≥ 44 = 1
شريحة واحدة بدل ثلاث: دائرة أصغر، أرخص، وفيها أسلاك أقل. هذه أفضلية البوابة الشاملة.
(a) 3 IC , (b) 1 IC
مثال 5.9
في الشريحتين 7408 و 7432 لكل بوابة مدخلان فقط. كيف نبني بهما دائرة الأغلبية F = B·C + A·C + A·B ، وكم شريحة نحتاج؟
الحل:
بوابة OR بثلاثة مداخل نبنيها من بوابتَي OR بمدخلين، حسب قانون التجميع:
X + Y + Z = (X + Y) + Z
نحتاج إذن إلى 3 بوابات AND وإلى 2 بوابات OR:
N7408 ≥ 34 → 1
N7432 ≥ 24 → 1
شريحتان: 7408 واحدة (تبقى فيها بوابة بدون استعمال) و 7432 واحدة (تبقى فيها بوابتان).
1 · 7408 + 1 · 7432
سؤال 5.4: دائرة تحتاج إلى 7 بوابات AND بمدخلين، 3 بوابات OR بمدخلين و 5 عواكس. كم شريحة من كل نوع نحتاج، وكم شريحة بالمجموع؟
تدريب سريع — كم شريحة نحتاج لهذا العدد من البوابات؟
13 بوابات NAND
25 بوابات NAND
39 بوابات NAND
46 بوابات NOT
57 بوابات NOT
64 بوابات AND
710 بوابات AND
82 بوابات OR
913 بوابات OR
الإجابات: 1 1 2 2 3 3 4 1 5 2 6 1 7 3 8 1 9 4
▶تجربة حية — بنّاء الدوائر المنطقيةنسحب بوابات إلى لوحة العمل، نوصلها بأسلاك، والموقع يحسب لنا جدول الصواب للدائرة التي بنيناها. نبني دائرة الأغلبية مرة ببوابات AND و OR ومرة ببوابات NAND ونقارن.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld
ניתוח מערכות צירופים המורכבות משערים שונים. פישוטן על-ידי שימוש בכללי האלגברה הבוליאנית ומפות קרנו. מימוש המערכות המפושטות – تحليل الدوائر التوافقية، تبسيطها وبناء الدوائر المبسّطة (Analysis & Simplification)
التحليل (ניתוח): هو الطريق المعاكس للتصميم: معطاة لنا دائرة مرسومة من بوابات، ونحن نجد ماذا تفعل — نكتب تعبير المخرج ونبني جدول الصواب.
- نعطي اسما لمخرج كل بوابة داخل الدائرة (X ، Y ، Z ...). هذه النقاط تسمى نقاطا وسطية (נקודות ביניים).
- نتقدم من المداخل نحو المخرج، ونكتب تعبيرا لمخرج كل بوابة حسب نوعها ومداخلها.
- نعوّض التعابير الوسطية ونحصل على تعبير واحد للمخرج F بالمتغيرات A ، B ، C ...
- نبني جدول الصواب، وفيه عمود لكل نقطة وسطية.
- نبسّط — بقواعد الجبر البولياني أو بخريطة كارنو — ونرسم الدائرة المبسّطة.
- نقارن: كم بوابة كانت في الدائرة الأصلية وكم بقي.
مثال 5.10
نحلّل الدائرة المرسومة: نكتب تعبيرا للمخرج F ، نبسّطه بقواعد الجبر البولياني ونرسم الدائرة المبسّطة.
الحل:
نكتب تعبيرا لمخرج كل بوابة، من اليسار إلى اليمين:
X = A + B
Y = A + C
F = X·Y
نعوّض X و Y في التعبير الأخير:
F = (A + B)·(A + C)
نفتح الأقواس بقانون التوزيع:
F = A·A + A·C + B·A + B·C
نستعمل A·A = A :
F = A + A·C + A·B + B·C
نخرج A عاملا مشتركا من الحدود الثلاثة الأولى:
F = A·(1 + C + B) + B·C
نستعمل 1 + X = 1 :
F = B·C + A
الدائرة المبسّطة:
في الدائرة الأصلية 1 AND + 2 OR = 3 ، وفي الدائرة المبسّطة 1 AND + 1 OR = 2 . الدائرتان تعطيان نفس جدول الصواب.
F = B·C + A
ملاحظة: ما وجدناه هو الشكل الثاني لقانون التوزيع: (A + B)·(A + C) = A + B·C . يفيد أن نحفظه.
مثال 5.11
نحلّل الدائرة المرسومة تحليلا كاملا: تعابير النقاط الوسطية، جدول الصواب، تبسيط بخريطة كارنو، رسم الدائرة المبسّطة ومقارنة.
الحل:
التعابير. في الدائرة خمس بوابات. نكتب تعبيرا لمخرج كل واحدة:
X = A·B
Y = B + C
Z = X·Y
W = A·C
F = Z + W
نعوّض ونحصل على تعبير المخرج:
F = A·B·(B + C) + A·C
جدول الصواب. نملأ عمودا بعد عمود: أولا X و Y من المداخل، ثم Z و W ، وأخيرا F.
| A | B | C | X | Y | Z | W | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
F(A,B,C) = Σ(1,2,3,5,7)
التبسيط. ننقل عمود F إلى خريطة كارنو:
مجموعة من أربع خانات ومجموعة من خانتين
F = C + A·B
الدائرة المبسّطة:
المقارنة. الدائرة الأصلية: 2 AND + 2 OR + 1 NAND = 5 . الدائرة المبسّطة: 1 NOT + 1 AND + 1 OR = 3 . وفّرنا بوابتين، والدائرتان تعملان نفس العمل.
F = C + A·B
سؤال 5.5: نحلّل الدائرة: نكتب تعابير X ، Y و F ، نبني جدول الصواب، ونجد بوابة واحدة تعمل نفس العمل.
تدريب سريع — نكتب تعبيرا لمخرج كل دائرة
1
2
3
4
5
6
الإجابات: 1 F = A·B + C 2 F = (A + B)·C 3 F = A + B·C 4 F = A ⊕ B 5 F = A·B + C 6 F = B·C ⊕ A
التبسيط بقواعد الجبر البولياني – פישוט בכללי האלגברה הבוליאנית:
عندما يكون التعبير قصيرا، التبسيط بالقواعد أسرع من الخريطة. نذكّر بالقواعد التي نستعملها أكثر من غيرها:
| القاعدة | اسمها |
|---|---|
| A + A·B = A | الامتصاص |
| A + A·B = A + B | الامتصاص |
| A·B + A·B = A | التوزيع و B + B = 1 |
| (A + B)·(A + C) = A + B·C | التوزيع |
| A·B = A + B | دي مورغان |
| A + B = A·B | دي مورغان |
مثال 5.12
نحلّل الدائرة ونبسّطها بقواعد الجبر البولياني. كم بوابة نوفّر؟
الحل:
X = A·B
Y = A·B
Z = A·B
F = X + Y + Z
F = A·B + A·B + A·B
نخرج A عاملا مشتركا من الحدّين الأولين:
F = A·(B + B) + A·B
نستعمل B + B = 1 :
F = A + A·B
قاعدة الامتصاص A + A·B = A + B :
F = B + A
الدائرة الأصلية: 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6 . بعد التبسيط تكفي بوابة OR واحدة — وفّرنا 5 بوابات.
F = B + A
تدريب سريع — نبسّط بقواعد الجبر البولياني
1F = A·B + A·B
2F = A + A·B
3F = (A + B)·(A + B)
4F = A·B
5F = A·(A + B)
6F = A·B + A·B + A·B
7F = A·B·A
8F = A·B + A·B
9F = A·B·C + A·B·C
10F = (A + B)·(A + C)
11F = A·B + A·C + B·C
12F = A + B·A
الإجابات: 1 A 2 A 3 A 4 B + A 5 A·B 6 B + A 7 B + A 8 1 9 A·B 10 B·C + A 11 A·B + A·C 12 0
التبسيط بخريطة كارنو وبناء الدائرة المبسّطة – פישוט במפת קרנו ומימוש המערכת המפושטת:
عندما تكون الدائرة كبيرة، الطريق الآمن هو: تعبير ← جدول صواب ← خريطة كارنو ← تعبير مبسّط ← دائرة جديدة.
مثال 5.13
نحلّل الدائرة، نبسّطها بخريطة كارنو ونبني الدائرة المبسّطة.
الحل:
كل بوابة AND تعطي حاصل ضرب من ثلاثة أحرف، أي حدا أصغريا واحدا:
F = A·B·C + A·B·C + A·B·C
F(A,B,C) = Σ(3,6,7)
مجموعتان من خانتين؛ الخانة 7 مشتركة
F = B·C + A·B
الدائرة المبسّطة: 2 AND + 1 OR = 3
نستطيع أن نكمل ونخرج B عاملا مشتركا: F = B·(A + C) — وعندها تكفي بوابتان.
| الدائرة | البوابات | المجموع |
|---|---|---|
| الأصلية | 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6 | 6 |
| المبسّطة (مجموع حواصل ضرب) | 2 AND + 1 OR = 3 | 3 |
| بعد إخراج عامل مشترك | 1 AND + 1 OR = 2 | 2 |
F = B·C + A·B = B·(A + C)
دوائر من بوابات NAND و NOR – מעגלים משערי NAND ו-NOR:
في دائرة من بوابات NAND أو NOR تظهر خطوط علوية طويلة. نكتب التعبير كما هو، ثم «نكسر» الخطوط بقانون دي مورغان، من الخط الخارجي إلى الداخل.
مثال 5.14
نحلّل الدائرة المبنية من أربع بوابات NAND. أي بوابة معروفة تعمل نفس العمل؟
الحل:
X = A·B
Y = A·X
Z = X·B
F = Y·Z
نعوّض Y و Z في تعبير F ، ونكسر الخط الخارجي بقانون دي مورغان (خطان أحدهما فوق الآخر يُلغيان):
F = A·X·X·B
F = A·X + X·B
F = X·(A + B)
الآن نعوّض X = A·B = A + B :
F = A·B·(A + B)
F = (A + B)·(A + B)
نفتح الأقواس:
F = A·A + A·B + B·A + B·B
نستعمل A·A = 0 :
F = A·B + A·B
F = A ⊕ B
نفحص بجدول الصواب:
| A | B | X | Y | Z | F |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
المخرج 1 فقط عندما المدخلان مختلفان: هذه بوابة XOR. هكذا نبني XOR بشريحة 7400 واحدة.
F = A ⊕ B
انتبه: الخطأ الأكثر انتشارا في التحليل: كتابة A·B = A·B . هذا خطأ. عندما نكسر الخط تتبدّل العملية: A·B = A + B و A + B = A·B .
سؤال 5.6: نحلّل الدائرة المبنية من ثلاث بوابات NOR: نكتب تعبير F ، نكسر الخطوط بقانون دي مورغان ونبسّط.
تدريب سريع — نكسر الخطوط بقانون دي مورغان ونكتب تعبيرا مبسّطا بدون خطوط طويلة
1F = A·B
2F = A + B
3F = A·B·C
4F = A + B + C
5F = A·B·A·C
6F = A + B + A + C
7F = A·A·B
8F = A·A·B·B
الإجابات: 1 B + A 2 A·B 3 C + A·B 4 B·C + A·C 5 A·C + A·B 6 B·C + A 7 B + A 8 B + A
▶تجربة حية — خريطة كارنو التفاعليةنملأ الخريطة من جدول الصواب، والموقع يرسم المجموعات ويكتب التعبير المبسّط. نفحص به كل تبسيط قمنا به في هذا الفصل.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=kmap
ניתוח פעולות מערכת צירופים במישור הזמן. התווית צורות גלים של אותות מוצא בתלות באותות מבוא נתונים – تحليل عمل الدائرة التوافقية على محور الزمن (Timing Analysis)
جدول الصواب يقول ماذا يكون المخرج لكل تركيبة من المداخل. لكن في دائرة حقيقية المداخل تتغير مع الزمن: حساس يُفتح، زر يُضغط ثم يُترك. لكي نرى ماذا يحدث نرسم الإشارات واحدة تحت الأخرى على محور زمن مشترك.
مخطط الزمن (דיאגרמת זמנים): هو رسم فيه سطر لكل إشارة. المحور الأفقي هو الزمن، وكل إشارة مرسومة بمستويين: خط عال للقيمة 1 وخط منخفض للقيمة 0. الشكل الذي ترسمه الإشارة يسمى شكل الموجة (צורת גל).
- نقسّم محور الزمن إلى فترات: في كل لحظة يتغير فيها أحد المداخل نرسم خطا عموديا متقطعا.
- داخل كل فترة المداخل ثابتة. نقرأ قيمها من الأعلى إلى الأسفل (A ، B ، C) — هذه تركيبة واحدة من جدول الصواب.
- نجد المخرج لهذه التركيبة، من التعبير أو من الجدول، ونرسمه في نفس الفترة: خطا عاليا أو خطا منخفضا.
- نوصل الفترات بخطوط عمودية في الأماكن التي يتغير فيها المخرج.
ملاحظة: في هذا الفصل نفترض أن البوابات مثالية: المخرج يتغير في نفس اللحظة التي يتغير فيها المدخل. في بوابة حقيقية يتأخر المخرج قليلا — بضعة أجزاء من مليار من الثانية — وهذا يسمى زمن التأخير (זמן השהיה).
نفس المدخلين A و B على أربع بوابات: AND ، OR ، NAND و XOR. الأرقام في الأسفل هي أرقام الفترات
- مخرج AND عال فقط في الفترات التي فيها المدخلان عاليان معا.
- مخرج OR منخفض فقط في الفترات التي فيها المدخلان منخفضان معا.
- مخرج NAND هو صورة مقلوبة لمخرج AND.
- مخرج XOR عال في الفترات التي فيها المدخلان مختلفان.
مثال 5.15
معطاة الدالة F = C + A·B وأشكال موجات المداخل A ، B و C. نرسم شكل موجة المخرج F.
الحل:
المخطط مقسوم إلى 12 فترة. في كل فترة نقرأ قيم المداخل ونحسب F. مثلا في الفترة 5: A = 1 ، B = 0 ، C = 0 ، ولذلك:
F = 1·0 + 0 = 1
نكرر ذلك في كل الفترات ونجمع النتائج في جدول:
| t | A | B | C | F |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 8 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 9 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 10 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 12 | 1 | 0 | 0 | 1 |
نرسم خطا عاليا في الفترات التي فيها F = 1 وخطا منخفضا في الباقي:
المخرج F عال في كل فترة فيها C = 1 ، وأيضا عندما A = 1 و B = 0
F : 0101 1101 0011
ملاحظة: طريقة سريعة: بدل أن نحسب فترة بعد فترة، نبحث عن الفترات التي يتحقق فيها كل حدّ من التعبير. هنا: أولا نرفع F في كل مكان فيه C = 1 ، ثم نضيف الفترات التي فيها A عال و B منخفض.
مثال 5.16
نعود إلى الدائرة التي حللناها في المثال 5.11 ، ووجدنا أن مخرجها F = C + A·B . نرسم شكل موجة F للمداخل المعطاة.
الحل:
لا نحتاج إلى حساب النقاط الوسطية X ، Y ، Z ، W : التعبير المبسّط يعطي نفس المخرج. نرفع F في كل فترة فيها C = 1 ، ثم في الفترات التي فيها A = 0 و B = 1 :
F : 0100 1111 0011 1011
تدريب سريع — إشارتان من ثماني فترات تدخلان إلى بوابة. نكتب قيم المخرج فترة بعد فترة
1بوابة AND : A = 0011 0101 ، B = 0101 0011
2بوابة OR : A = 0011 0101 ، B = 0101 0011
3بوابة NAND : A = 1100 1010 ، B = 0110 1100
4بوابة NOR : A = 1100 1010 ، B = 0110 1100
5بوابة XOR : A = 0101 1100 ، B = 0011 0110
6بوابة XNOR : A = 0101 1100 ، B = 0011 0110
الإجابات: 1 0001 0001 2 0111 0111 3 1011 0111 4 0001 0001 5 0110 1010 6 1001 0101
من مخطط الزمن إلى الدالة – ממישור הזמן אל הפונקציה:
أحيانا يُعطى لنا مخطط زمن فيه المداخل والمخرج، والمطلوب أن نجد الدالة. نقرأ من كل فترة سطرا واحدا من جدول الصواب، وعندما يمتلئ الجدول نبسّط كالعادة.
مثال 5.17
في مخطط الزمن معطاة أشكال موجات المداخل A ، B ، C والمخرج F لدائرة توافقية مجهولة. نجد تعبيرا مبسّطا للدالة F.
الحل:
نمرّ على الفترات. لكل تركيبة من المداخل نسجّل قيمة F ، ونكتب بجانبها رقم أول فترة ظهرت فيها:
| A | B | C | F | t |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 3 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 4 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 6 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 7 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 8 |
كل التركيبات الثماني ظهرت في المخطط، ولذلك الجدول كامل. (لو نقصت تركيبة لكتبنا فيها X.)
F(A,B,C) = Σ(0,2,3,7)
F = B·C + A·C
فحص: في الفترة 6 المداخل A = 1 ، B = 0 ، C = 1 ، والتعبير يعطي F = 0 — كما في المخطط.
F = B·C + A·C
انتبه: دائرة توافقية تعطي دائما نفس المخرج لنفس المداخل. إذا وجدنا في المخطط فترتين فيهما نفس تركيبة المداخل والمخرج مختلف — فإما أننا قرأنا خطأ، وإما أن الدائرة ليست توافقية.
تدريب سريع — نكمل شكل موجة المخرج F ، ونكتب قيمه فترة بعد فترة
1F = A·B
2F = A + B
3F = A + B
4F = A ⊕ B
الإجابات: 1 00 1001 0000 2 11 0110 1111 3 10 0010 0001 4 10 0110 1001
▶تجربة حية — البوابات المنطقية على محور الزمننختار بوابة، نغيّر المداخل ونرى المخرج يتغير فورا. نستعملها لفحص أشكال الموجات التي رسمناها.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=gates
ملخّص قوانين الفصل:
| القانون | الصيغة |
|---|---|
| عدد البوابات في مجموع حواصل الضرب | N = NNOT + NAND + NOR |
| عاكس من NAND / من NOR | A = A·A = A + A |
| مجموع حواصل ضرب ببوابات NAND | A·B + C·D = A·B·C·D |
| حدّ من حرف واحد في بناء NAND | A + B·C = A·B·C |
| بناء NOR من أصفار الدالة | F = X·Y + Z → F = X + Y + Z |
| قانونا دي مورغان | A·B = A + B , A + B = A·B |
| الشكل الثاني لقانون التوزيع | (A + B)·(A + C) = A + B·C |
| XOR من أربع بوابات NAND | A ⊕ B = A·B + A·B |
| عدد الشرائح | NIC ≥ Ngatesn |
| الشريحتان 7400 و 7404 | 7400: 4 NAND , 7404: 6 NOT |
| الشريحتان 7408 و 7432 | 7408: 4 AND , 7432: 4 OR |
قاموس المصطلحات – מילון מונחים:
| بالعربية | بالعبرية (كما تظهر في الامتحان) | English |
|---|---|---|
| دائرة توافقية | מערכת צירופים | Combinational circuit |
| دائرة تتابعية | מערכת עקיבה | Sequential circuit |
| تصميم | תכנון | Design |
| بناء | מימוש | Implementation |
| تحليل | ניתוח | Analysis |
| وصف كلامي | תיאור מילולי | Word description |
| المدخل | מבוא | Input |
| المخرج | מוצא | Output |
| جدول الصواب | טבלת אמת | Truth table |
| خريطة كارنو | מפת קרנו | Karnaugh map |
| التبسيط | פישוט | Simplification |
| مجموع حواصل الضرب | סכום מכפלות | Sum of products (SOP) |
| حالات اللامبالاة | צירופי ברירה | Don't-care conditions |
| بناء من مستويين | מימוש דו-דרגתי | Two-level implementation |
| البوابة المنطقية | שער לוגי | Logic gate |
| العاكس | מהפך | Inverter |
| البوابة الشاملة | שער אוניברסלי | Universal gate |
| النفي المزدوج | שלילה כפולה | Double negation |
| قانونا دي مورغان | כללי דה-מורגן | De Morgan's laws |
| عامل مشترك | גורם משותף | Common factor |
| الدائرة المتكاملة (الشريحة) | רכיב משולב (שבב) | Integrated circuit (IC) |
| رِجل الشريحة | הדק | Pin |
| صفحة البيانات | דף נתונים | Datasheet |
| جهد التغذية | מתח הספקה | Supply voltage |
| نقطة وسطية | נקודת ביניים | Intermediate node |
| مخطط الزمن | דיאגרמת זמנים | Timing diagram |
| شكل الموجة | צורת גל | Waveform |
| محور الزمن | מישור הזמן (ציר הזמן) | Time axis |
| زمن التأخير | זמן השהיה | Propagation delay |
أسئلة للتمرين:
المستوى الأول — أساسي
1.
في سيارة ثلاث إشارات: A = 1 المحرّك يعمل، B = 1 يجلس شخص على مقعد السائق، C = 1 حزام الأمان مربوط. ضوء التحذير يضيء (F = 1) إذا كان المحرّك يعمل ويجلس سائق والحزام غير مربوط. نكتب جدول الصواب، التعبير، وعدد البوابات في البناء ببوابات AND و OR و NOT.
الإجابات: F(A,B,C) = Σ(6) ؛ F = A·B·C ؛ 1 NOT + 1 AND = 2
2.
في بيت الدرج مصباح ومفتاحان: A في الأسفل و B في الأعلى. المصباح يضيء (F = 1) عندما يكون المفتاحان في وضعين مختلفين. نكتب جدول الصواب والتعبير بصيغة مجموع حواصل ضرب، ونعدّ البوابات. أي بوابة واحدة تعمل نفس العمل؟
الإجابات: F(A,B) = Σ(1,2) ؛ F = A·B + A·B ؛ 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5 ؛ بوابة XOR
3.
خزنة لها مفتاحان A و B وزر تشغيل C. الخزنة تُفتح (F = 1) إذا كان الزر C مضغوطا وأُدخل واحد على الأقل من المفتاحين. نصمّم الدائرة: جدول صواب، خريطة كارنو وتعبير مبسّط. ثم نخرج عاملا مشتركا — كم بوابة تكفي؟
الإجابات: F(A,B,C) = Σ(3,5,7) ؛ F = B·C + A·C ؛ 2 AND + 1 OR = 3 ؛ F = C·(A + B) : بوابتان
4.
نبسّط بخريطة كارنو:
(أ) F(A,B,C) = Σ(0,1,4,5) ؛
(ب) F(A,B,C) = Σ(1,3,7) ؛
(ج) F(A,B,C) = Σ(0,2,3,6) .
(أ) F(A,B,C) = Σ(0,1,4,5) ؛
(ب) F(A,B,C) = Σ(1,3,7) ؛
(ج) F(A,B,C) = Σ(0,2,3,6) .
الإجابات: (أ) B ؛ (ب) B·C + A·C ؛ (ج) B·C + A·C + A·B
5.
كم بوابة من كل نوع نحتاج لبناء كل تعبير ببوابات AND و OR و NOT (بدون تبسيط إضافي)؟
(أ) F = A·B + A·C ؛
(ب) F = A·B·C + B ؛
(ج) F = A·B + A·C + B·C .
(أ) F = A·B + A·C ؛
(ب) F = A·B·C + B ؛
(ج) F = A·B + A·C + B·C .
الإجابات: (أ) 1 NOT + 2 AND + 1 OR = 4 ؛ (ب) 1 NOT + 1 AND + 1 OR = 3 ؛ (ج) 3 NOT + 3 AND + 1 OR = 7
6.
نرسم ببوابات NAND فقط:
(أ) عاكسا
(ب) بوابة AND
(ج) بوابة OR. نكتب تعبيرا لكل رسم، وكم بوابة NAND في كل واحد.
(أ) عاكسا
(ب) بوابة AND
(ج) بوابة OR. نكتب تعبيرا لكل رسم، وكم بوابة NAND في كل واحد.
الإجابات: (أ) A·A : 1 (ب) A·B·A·B : 2 (ج) A·A·B·B : 3
7.
نكتب كل دالة بصيغة NAND فقط ونعدّ بوابات NAND:
(أ) F = A·B + C·D ؛
(ب) F = A·C + B ؛
(ج) F = A·B + B·C + A·C .
(أ) F = A·B + C·D ؛
(ب) F = A·C + B ؛
(ج) F = A·B + B·C + A·C .
الإجابات: (أ) C·D·A·B ← 3 ؛ (ب) B·A·C ← 2 ؛ (ج) B·C·A·C·A·B ← 4
8.
(أ) كم بوابة يوجد في كل شريحة: 7400 ، 7404 ، 7408 ، 7432 ، وما نوعها؟
(ب) دائرة تحتاج إلى 6 بوابات NAND بمدخلين وإلى 8 عواكس. كم شريحة نحتاج؟
(ب) دائرة تحتاج إلى 6 بوابات NAND بمدخلين وإلى 8 عواكس. كم شريحة نحتاج؟
الإجابات: (أ) 4 NAND ؛ 6 NOT ؛ 4 AND ؛ 4 OR (ب) 2 · 7400 و 2 · 7404 — المجموع 4 شرائح
9.
نحلّل الدائرة: نكتب تعبيرا للنقطة X وللمخرج F ، ونبني جدول الصواب.
الإجابات: X = A + B ؛ F = (A + B)·C ؛ F(A,B,C) = Σ(3,5,7)
10.
نحلّل الدائرة: نكتب تعبيرا للنقطة X وللمخرج F ، ونبني جدول الصواب.
الإجابات: X = A·B ؛ F = A·B + C ؛ F(A,B,C) = Σ(0,1,2,3,4,5,7)
11.
نحلّل الدائرة: نكتب تعبيرا للنقطة X وللمخرج F ، ونبني جدول الصواب.
الإجابات: X = A·B ؛ F = A·B + C ؛ F(A,B,C) = Σ(0,2,6)
12.
نحلّل الدائرة: نكتب تعبير F ونبني جدول الصواب. أي بوابة واحدة تعمل نفس العمل؟ كم بوابة نوفّر؟
الإجابات: F = A·B + A·B ؛ F(A,B) = Σ(1,2) ؛ بوابة XOR — نوفّر 4 بوابات
13.
نكمل في مخطط الزمن شكل موجة مخرج بوابة AND (F1 = A·B) ومخرج بوابة OR (F2 = A + B).
الإجابات: F1 : 0001 0000 1010 ؛ F2 : 0111 1101 1110
14.
نكمل شكل موجة مخرج بوابة NAND (F1) ومخرج بوابة NOR (F2) لنفس المدخلين.
الإجابات: F1 : 1101 1101 1011 ؛ F2 : 1000 0001 0001
15.
نكمل شكل موجة مخرج بوابة XOR (F1 = A ⊕ B) ومخرج بوابة XNOR (F2). ماذا نلاحظ؟
الإجابات: F1 : 0010 0101 0110 ؛ F2 : 1101 1010 1001 — كل واحد صورة مقلوبة للآخر
16.
نجد الخطأ: طالب حوّل الدالة F = A·B + C إلى صيغة NAND فقط وكتب F = A·B·C . أين أخطأ، وما هو التعبير الصحيح؟
الإجابات: الحدّ C فيه حرف واحد ويجب أن يدخل معكوسا: F = A·B·C (3 بوابات NAND)
المستوى الثاني — متوسط
17.
في خزان ماء حساسان: A = 1 عندما يغطي الماء الحساس السفلي، و B = 1 عندما يغطي الماء الحساس العلوي. C = 1 عندما يكون مفتاح التعبئة اليدوي مضغوطا. المضخة تعمل (F = 1) إذا كان الماء تحت الحساس السفلي، أو إذا كان المفتاح مضغوطا والماء لم يصل إلى الحساس العلوي. التركيبة A = 0 ، B = 1 غير ممكنة — نعتبرها حالة لامبالاة. نصمّم الدائرة: جدول صواب مع X ، خريطة كارنو، تعبير مبسّط وعدد البوابات.
الإجابات: F(A,B,C) = Σ(0,1,5) + d(2,3) ؛ F = B·C + A ؛ 2 NOT + 1 AND + 1 OR = 4
18.
في دفيئة زراعية ثلاثة حساسات: A = 1 الحرارة عالية، B = 1 التربة جافة، C = 1 الوقت نهار. مضخة الري (F1) تعمل إذا كانت التربة جافة والوقت ليل، أو إذا كانت التربة جافة والحرارة عالية. المروحة (F2) تعمل إذا كانت الحرارة عالية، إلا إذا كان الوقت ليلا والتربة جافة. نكتب جدول صواب واحدا فيه المخرجان، ونبسّط كل مخرج.
الإجابات: F1(A,B,C) = Σ(2,6,7) ؛ F1 = B·C + A·B ؛ F2(A,B,C) = Σ(4,5,7) ؛ F2 = A·C + A·B
19.
في سيارة: A = 1 الأضواء مضاءة، B = 1 المحرّك يعمل، C = 1 باب السائق مفتوح. صفارة التنبيه تعمل (F = 1) إذا نسي السائق الأضواء مضاءة: الأضواء مضاءة، المحرّك مطفأ والباب مفتوح.
(أ) نكتب التعبير.
(ب) نكتبه بصيغة NAND فقط ونعدّ البوابات.
(أ) نكتب التعبير.
(ب) نكتبه بصيغة NAND فقط ونعدّ البوابات.
الإجابات: (أ) F = A·B·C (ب) F = A·B·C ← 3 بوابات NAND (واحدة بثلاثة مداخل وعاكسان)
20.
نبسّط بخريطة كارنو مع حالات اللامبالاة، ونعدّ البوابات في البناء ببوابات AND و OR و NOT:
(أ) F(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,7,8,10) + d(13,15) ؛
(ب) F(A,B,C,D) = Σ(1,3,4,5,9) + d(11,12,13) .
(أ) F(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,7,8,10) + d(13,15) ؛
(ب) F(A,B,C,D) = Σ(1,3,4,5,9) + d(11,12,13) .
الإجابات: (أ) F = B·D + B·D ؛ 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5 ؛ (ب) F = B·C + B·D ؛ 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
21.
نبني ببوابات NOR فقط: نجمع الأصفار في خريطة كارنو، نكتب F ، ثم نكتب F ونعدّ البوابات.
(أ) F(A,B,C) = Σ(1,3,6,7) ؛
(ب) F(A,B,C) = Σ(0,1,2,4) .
(أ) F(A,B,C) = Σ(1,3,6,7) ؛
(ب) F(A,B,C) = Σ(0,1,2,4) .
الإجابات: (أ) F = A·B + A·C ؛ F = A + B + A + C ← 4 بوابات NOR ؛ (ب) F = B·C + A·C + A·B ؛ F = B + C + A + C + A + B ← 7 بوابات NOR
22.
معطاة الدالة F(A,B,C) = Σ(2,3,5,7) .
(أ) نبسّطها.
(ب) كم شريحة نحتاج في البناء ببوابات AND و OR و NOT؟
(ج) نكتبها بصيغة NAND فقط؛ كم شريحة 7400 نحتاج؟
(أ) نبسّطها.
(ب) كم شريحة نحتاج في البناء ببوابات AND و OR و NOT؟
(ج) نكتبها بصيغة NAND فقط؛ كم شريحة 7400 نحتاج؟
الإجابات: (أ) F = A·C + A·B (ب) 1 NOT + 2 AND + 1 OR = 4 ← 3 شرائح (7404 ، 7408 ، 7432) (ج) F = A·C·A·B ← 4 بوابات NAND ← 1 شريحة
23.
نحلّل الدائرة:
(أ) نكتب تعبير F.
(ب) نبني جدول الصواب.
(ج) نبسّط بخريطة كارنو. أي بوابة AND زائدة ونستطيع أن نحذفها؟
(د) كم بوابة في الدائرة قبل التبسيط وبعده؟
(أ) نكتب تعبير F.
(ب) نبني جدول الصواب.
(ج) نبسّط بخريطة كارنو. أي بوابة AND زائدة ونستطيع أن نحذفها؟
(د) كم بوابة في الدائرة قبل التبسيط وبعده؟
الإجابات: (أ) F = A·B + B·C + A·C (ب) F(A,B,C) = Σ(0,4,5,7) (ج) F = B·C + A·C — البوابة X زائدة (د) قبل: 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6 ؛ بعد: 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
24.
نحلّل الدائرة: نكتب تعابير X ، Y و F ، نبني جدول الصواب، ونجد أي بوابة معروفة تعمل نفس العمل.
الإجابات: X = A + B ؛ Y = A·B ؛ F = A + B + A·B ؛ F(A,B) = Σ(1,2) ← F = A·B + A·B : بوابة XOR
25.
نحلّل الدائرة المبنية من بوابات NAND: نكتب تعبير كل نقطة، نكسر الخطوط بقانون دي مورغان ونكتب F بصيغة مجموع حواصل ضرب مبسّط.
الإجابات: X = A·B ؛ Y = A·B·C ؛ F = A·B·C·A ؛ F(A,B,C) = Σ(0,1,2,3,5) ← F = B·C + A
26.
نحلّل الدائرة: نكتب تعبير F ، نفتح الأقواس ونبسّط بقواعد الجبر البولياني. نفحص النتيجة بخريطة كارنو.
الإجابات: F = (A + B)·(B + C) ؛ F(A,B,C) = Σ(1,5,6,7) ← F = B·C + A·B
27.
نجد الخطأ: طالب حلّل الدائرة وكتب X = A + B = A + B ولذلك F = (A + B)·C . أين الخطأ؟ نكتب التعبير الصحيح وجدول الصواب.
الإجابات: الخطأ في دي مورغان: A + B = A·B . الصحيح: F = A + B·C = A·B·C ؛ F(A,B,C) = Σ(1)
28.
الدائرة المرسومة تبني الدالة F = A·B + C . نكمل شكل موجة المخرج F في مخطط الزمن.
الإجابات: F : 0010 1011 1101 1111
29.
الدائرة مبنية من بوابات NAND وتبني الدالة F = A·B·A·C .
(أ) نكتب تعبير F بصيغة مجموع حواصل ضرب.
(ب) نكمل شكل موجة F.
(ج) ماذا تفعل الدائرة عندما A = 1 ، وماذا تفعل عندما A = 0؟
(أ) نكتب تعبير F بصيغة مجموع حواصل ضرب.
(ب) نكمل شكل موجة F.
(ج) ماذا تفعل الدائرة عندما A = 1 ، وماذا تفعل عندما A = 0؟
الإجابات: (أ) F = A·B + A·C (ب) F : 0110 0011 0010 0100 (ج) عندما A = 1 : F = B ؛ عندما A = 0 : F = C — الدائرة تختار أحد المدخلين
30.
في مخطط الزمن مدخلان A ، B ومخرجان F1 ، F2 لدائرتين مختلفتين. نبني جدول صواب لكل مخرج ونجد تعبيره. أي واحد منهما هو بوابة معروفة؟
الإجابات: F1(A,B) = Σ(0) ← F1 = A + B : بوابة NOR ؛ F2(A,B) = Σ(2) ← F2 = A·B
31.
الدائرة المرسومة بناء آخر لدائرة الأغلبية.
(أ) نكتب تعبير F ونبرهن، بجدول الصواب، أنه يساوي B·C + A·C + A·B .
(ب) كل البوابات في الرسم بمدخلين. كم شريحة 7408 وكم شريحة 7432 نحتاج؟
(أ) نكتب تعبير F ونبرهن، بجدول الصواب، أنه يساوي B·C + A·C + A·B .
(ب) كل البوابات في الرسم بمدخلين. كم شريحة 7408 وكم شريحة 7432 نحتاج؟
الإجابات: (أ) F = (B + C)·A + B·C ؛ F(A,B,C) = Σ(3,5,6,7) (ب) 2 AND + 2 OR = 4 ← 7408 واحدة و 7432 واحدة
المستوى الثالث — تحدٍّ
32.
عدد من 0 حتى 15 يدخل إلى دائرة بأربعة بتات A ، B ، C ، D (A هو البت الأعلى وزنا). نصمّم دائرة مخرجها F = 1 عندما يكون العدد أوّليا (2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13).
الإجابات: F(A,B,C,D) = Σ(2,3,5,7,11,13) ؛ F = B·C·D + B·C·D + A·C·D + A·B·C (يوجد أكثر من حل مبسّط واحد) ؛ 3 NOT + 4 AND + 1 OR = 8
33.
رقم عشري يدخل بشيفرة BCD على الخطوط A ، B ، C ، D. نصمّم دائرة مخرجها F = 1 عندما يكون الرقم 3 ، 6 أو 9. نستعمل التركيبات غير المسموحة في BCD كحالات لامبالاة.
الإجابات: F(A,B,C,D) = Σ(3,6,9) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ F = B·C·D + B·C·D + A·D ؛ 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6
34.
عددان من بتين: العدد الأول A B والعدد الثاني C D (A و C هما البتان الأعلى وزنا). نصمّم دائرة مخرجها F = 1 عندما يكون العدد الأول أكبر من الثاني.
الإجابات: F(A,B,C,D) = Σ(4,8,9,12,13,14) ؛ F = B·C·D + A·C + A·B·D ؛ 2 NOT + 3 AND + 1 OR = 6
35.
لجنة من أربعة أعضاء تصوّت على قرار؛ A هو صوت الرئيس. القرار يُقبل (F = 1) إذا وافق ثلاثة أعضاء على الأقل، أو إذا وافق عضوان بالضبط وأحدهما الرئيس. نصمّم الدائرة.
الإجابات: F(A,B,C,D) = Σ(7,9,10,11,12,13,14,15) ؛ F = B·C·D + A·D + A·C + A·B ؛ 4 AND + 1 OR = 5
36.
باب مصعد: A = 1 المصعد يتحرك، B = 1 المصعد واقف بالضبط مقابل طابق، C = 1 ضُغط زر فتح الباب، D = 1 حساس يكتشف شخصا في المدخل. الباب يُفتح (F = 1) فقط إذا كان المصعد لا يتحرك ويقف مقابل طابق، وأيضا ضُغط الزر أو يوجد شخص في المدخل.
(أ) نصمّم الدائرة بصيغة مجموع حواصل ضرب.
(ب) نخرج عاملا مشتركا ونعدّ البوابات من جديد.
(أ) نصمّم الدائرة بصيغة مجموع حواصل ضرب.
(ب) نخرج عاملا مشتركا ونعدّ البوابات من جديد.
الإجابات: (أ) F(A,B,C,D) = Σ(5,6,7) ؛ F = A·B·D + A·B·C ؛ 1 NOT + 2 AND + 1 OR = 4 (ب) F = A·B·(C + D) ← 1 NOT + 1 AND + 1 OR = 3
37.
نعود إلى الدفيئة ونضيف حساسا رابعا: A = 1 الحرارة عالية، B = 1 التربة جافة، C = 1 الوقت نهار، D = 1 خزان ماء الري فارغ. مضخة الري تعمل (F = 1) إذا كانت التربة جافة والخزان غير فارغ، وأيضا الوقت ليل أو الحرارة عالية. في هذه المنطقة الحرارة لا تكون عالية في الليل: كل تركيبة فيها A = 1 و C = 0 هي حالة لامبالاة. نصمّم الدائرة.
الإجابات: F(A,B,C,D) = Σ(4,14) + d(8,9,12,13) ؛ F = B·C·D + A·B·D ؛ 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
38.
نحلّل الدائرة:
(أ) نكتب تعبير F.
(ب) كم سطرا في جدول الصواب فيه F = 0 ، وما هي؟
(ج) نكتب F بصيغة مجموع حواصل ضرب مبسّط.
(د) نكتب F بصيغة بوابة NAND واحدة مع عاكس. أي مدخل لا يؤثر أبدا على المخرج؟
(أ) نكتب تعبير F.
(ب) كم سطرا في جدول الصواب فيه F = 0 ، وما هي؟
(ج) نكتب F بصيغة مجموع حواصل ضرب مبسّط.
(د) نكتب F بصيغة بوابة NAND واحدة مع عاكس. أي مدخل لا يؤثر أبدا على المخرج؟
الإجابات: (أ) F = A·B·(C + D) + D (ب) سطران: 1100 ، 1110 (ج) F = D + B + A (د) F = A·B·D ؛ المدخل C لا يؤثر
39.
أمامنا دائرتان مختلفتان. نكتب تعبير المخرج لكل واحدة، نبني جدول الصواب لكل واحدة، ونبرهن أنهما تعملان نفس العمل.
الإجابات: F1 = A·B·A·C ؛ F2 = (A + B)·(A + C) ؛ للاثنتين F(A,B,C) = Σ(1,3,6,7) ← F = A·B + A·C
40.
للدائرة المرسومة:
(أ) نكتب تعبير F ونبسّطه.
(ب) نكمل شكل موجة F بمساعدة التعبير المبسّط.
(أ) نكتب تعبير F ونبسّطه.
(ب) نكمل شكل موجة F بمساعدة التعبير المبسّط.
الإجابات: (أ) F = A·B·(B + C) + A·C = C + A·B (ب) F : 0101 1101 1010 1011
41.
في مخطط الزمن مداخل ومخرج دائرة توافقية مجهولة.
(أ) نبني جدول الصواب من المخطط.
(ب) نبسّط بخريطة كارنو.
(ج) نكتب F بصيغة NAND فقط.
(د) متى يكون F = 0؟ نصف ذلك بالكلمات.
(أ) نبني جدول الصواب من المخطط.
(ب) نبسّط بخريطة كارنو.
(ج) نكتب F بصيغة NAND فقط.
(د) متى يكون F = 0؟ نصف ذلك بالكلمات.
الإجابات: (أ) F(A,B,C) = Σ(1,2,3,4,5,6) (ب) F = B·C + A·C + A·B (يوجد حل مبسّط آخر بنفس الحجم) (ج) F = B·C·A·C·A·B (د) عندما تكون المداخل الثلاثة متساوية: كلها 0 أو كلها 1
42.
إلى دائرة XOR من أربع بوابات NAND أضفنا بوابة NAND خامسة مدخلاها موصولان معا.
(أ) ماذا تفعل البوابة الخامسة؟
(ب) نكتب جدول الصواب للمخرج F ونسمّي الدالة.
(ج) نكمل شكل موجة F.
(د) كم شريحة 7400 نحتاج؟
(أ) ماذا تفعل البوابة الخامسة؟
(ب) نكتب جدول الصواب للمخرج F ونسمّي الدالة.
(ج) نكمل شكل موجة F.
(د) كم شريحة 7400 نحتاج؟
الإجابات: (أ) تعمل كعاكس (ب) F(A,B) = Σ(0,3) ← F = A·B + A·B : دالة XNOR (ج) F : 1001 1010 1101 (د) 5 بوابات ← 2 شريحة
الإجابات النهائية لأسئلة الفصل
5.1 F(A,B,C) = Σ(7) ؛ F = A·B·C ؛ بوابة AND واحدة بثلاثة مداخل
5.2 F = A·B + A·C ؛ 2 NOT + 2 AND + 1 OR = 5
5.3 F = B·C·A·C·A·B ؛ 4 بوابات NAND (واحدة منها بثلاثة مداخل)
5.4 7408: 2 ؛ 7432: 1 ؛ 7404: 1 ؛ المجموع 4 شرائح
5.5 X = A ⊕ B ؛ Y = A·B ؛ F = (A ⊕ B) + A·B ؛ F(A,B) = Σ(1,2,3) ← F = B + A : بوابة OR واحدة
5.6 F = A + B + A + C = (A + B)·(A + C) = B·C + A
שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 5
الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، نموذج 845381 (מערכות חשמל)، وهي من فصل الأنظمة الرقمية فيه، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.
بجروت 2026 السؤال 10 — منظومة بوّابات منطقيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | تعبير الدالّة | في الحل الكامل |
| البند ب | التبسيط | في الحل الكامل |
| البند ج | التنفيذ ببوّابة واحدة | في الحل الكامل |
بجروت 2025 السؤال 10 — بوّابات أساسيّة ومنظومة منطقيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ1 | جدول الحقيقة لبوّابة NAND | في الحل الكامل |
| البند أ2 | جدول الحقيقة لبوّابة NOR | في الحل الكامل |
| البند ب | التعبير في مخرج المنظومة | في الحل الكامل |
| البند ج | التبسيط | في الحل الكامل |
بجروت 2024 السؤال 9 — منظومة بوّابات منطقيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | تعبير للدالّة F | في الحل الكامل |
| البند ب | تبسيط الدالّة إلى الحدّ الأدنى من المتغيّرات | F = A · B + A · B |
| البند ج | تنفيذ الدالّة المبسّطة ببوّابات منطقيّة | في الحل الكامل |
بجروت 2023 السؤال 9 — تحقيق دالّة بالبوّابات المنطقيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | كتابة تعبير للدالّة | F(A,B,C) = (A · B · C) + C |
| البند ب | تبسيط الدالّة إلى الحدّ الأدنى من المتغيّرات | في الحل الكامل |
| البند ج | تمثيل الدالّة بواسطة منظومة مفاتيح | في الحل الكامل |
بجروت 2021 السؤال 10 — منظومة بوّابات وتبسيطها
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | تعابير الدوالّ F₁ وF₂ وF | F₁ = X · Y ; F₂ = Y · Z = Y + Z ; F = X · Y + Y + Z |
| البند ب | تبسيط F إلى الحدّ الأدنى من المتغيّرات | F = X + Y + Z |
| البند ج | قيمة الدالّة من أجل X = 1, Y = 0, Z = 0 | F = 1 |
بجروت 2019 السؤال 9 — منظومة بوّابات منطقيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | التعبير في مخرج المنظومة F | F = A · B + A · C + B · C |
| البند ب | جدول الحقيقة للمنظومة | في الحل الكامل |
| البند ج | بوّابات مفردة | F₁ = A ; F₂ = A |
بجروت 2018 السؤال 9 — مجموعات بوّابات منطقيّة
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ1 | التعبيران في مخرجَي المجموعتين | في الحل الكامل |
| البند أ2 | إثبات التطابق بين X₁ وX₂ | في الحل الكامل |
| البند ب1 | التعبيران في مخرجَي البوّابتين x وy | x = A + B + C ; y = A · B · C |
| البند ب2 | هل التعبيران متكافئان عندما C = 1 | في الحل الكامل |
بجروت 2017 السؤال 9 — تبسيط دالّة ثنائيّة وتنفيذها
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ.1 | تبسيط الدالّة إلى أقلّ عدد من الحروف | في الحل الكامل |
| البند أ.2 | تنفيذ الدالّة المبسّطة ببوّابات منطقيّة | في الحل الكامل |
| البند ب | قراءة مصفوفة البوّابات المدمجة وكتابة التعبير في المخرج | F = (A + B) · C = A · B + C |
بجروت 2016 السؤال 10 — الشريحة 7400 مع بوّابات NAND
| البند | المطلوب | الإجابة النهائية |
|---|---|---|
| البند أ | إيجاد الدالّة في المخرج F | F = A · B + C |
| البند ب | جدول الحقيقة للدالّة F | في الحل الكامل |
لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 13 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)