الأنظمة الرقمية · الفصل 6 — الجوامع والمقارِناتמסכמים ומשווים · מערכות ספרתיות · סמל מקצוע 11.002⌂📚🏠
الفصل 6
الجوامع والمقارِنات
מסכמים ומשווים
الصف العاشر · 4 ساعات تعليمية
في الفصل الأول جمعنا أعدادا ثنائية على الورق، عمودا بعد عمود. الآن نبني الدائرة التي تفعل ذلك: دائرة تجمع بتين، دائرة تجمع ثلاثة بتات، ومنهما دائرة تجمع عددين كاملين. هذه الدائرة هي قلب كل حاسوب وكل آلة حاسبة. في نهاية الفصل نبني دائرة ثانية مفيدة جدا: دائرة تقارن بين بتين وتخبرنا أيهما أكبر.
نكتب جدول الصواب للجامع الكامل (FA) ونستخرج منه تعبيرَي المجموع S والحمل الخارج Cout.
نبني جامعا كاملا من جامعين نصفيين وبوابة OR.
نربط جامعا نصفيا وجامعا كاملا لجمع عددين من بتين، ونتتبع الحمل داخل الدائرة.
نكتب جدول الصواب لمقارِن بت واحد ونبنيه من بوابات.
מסכמים – الجوامع (Adders)
نتذكر كيف نجمع عددين ثنائيين: نبدأ من العمود الأيمن، نجمع البتين، نكتب المجموع تحت العمود، وإذا وصلنا إلى 2 نحمل 1 إلى العمود الذي على اليسار. في كل عمود ما عدا الأيمن نجمع إذن ثلاثة بتات: بت من كل عدد، والحمل الذي جاء من اليمين.
1
1
الحمل
1
1
العدد A
+
0
1
العدد B
=
1
0
0
المجموع
في العمود الأيمن نجمع بتين فقط؛ في العمود الثاني نجمع ثلاثة بتات — وهذا الفرق بين الجامع النصفي والجامع الكامل
الجامع(מסכם): هو دائرة توافقية تجمع بتات. مخارجها تكوّن معا عددا ثنائيا يساوي عدد الواحدات في مداخلها.
الجامع النصفي (HA)– מסכם למחצה:
الجامع النصفي(מסכם למחצה, Half Adder): هو دائرة توافقية لها مدخلان A و B ومخرجان: المجموعS (סכום, Sum) والحملC (נשא, Carry). هي تجمع بتين فقط، ولا يوجد لها مدخل للحمل القادم من اليمين — لذلك اسمها «نصفي».
المخرجان C و S نقرؤهما معا كعدد ثنائي من خانتين: C وزنه 2 و S وزنه 1. مثلا 1 + 1 = 2 = 102 ، ولذلك C = 1 و S = 0.
جدول الصواب للجامع النصفي
A
B
C
S
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
نفس الجدول: الجمع العشري والعدد CS
A
B
A + B
CS
0
0
0
002
0
1
1
012
1
0
1
012
1
1
2
102
نستخرج التعبيرين من الجدول كما تعلمنا في الفصل 4. العمود S يساوي 1 في السطرين 01 و 10، والعمود C يساوي 1 في السطر 11 فقط:
S = A·B + A·B
S = A ⊕ B
C = A·B
الجامع النصفي · מסכם למחצה
S = A ⊕ B
C = A·B
الرمز
المعنى
وحدة القياس
A, B
البتان اللذان نجمعهما
—
S
المجموع: 1 عندما يكون أحد البتين فقط 1
—
C
الحمل: 1 عندما يكون البتان معا 1
—
بناء الجامع النصفي: بوابة XOR للمجموع وبوابة AND للحمل
الرمز المختصر للجامع النصفي
مثال 6.1
ندخل إلى جامع نصفي A = 1 و B = 1. ما هي قيم المخرجين؟ وما معنى النتيجة؟
سؤال 6.1: لماذا لا يمكن أن نحصل من جامع نصفي على C = 1 و S = 1 في نفس الوقت؟
تدريب سريع — الجامع النصفي: نكتب قيمة المخرجين C و S ، أو قيمة المدخلين
1A = 0 ، B = 1
2A = 1 ، B = 1
3A = 1 ، B = 0
4A = 0 ، B = 0
5C = 1 ، S = 0 ← A ، B ؟
6C = 0 ، S = 0 ← A ، B ؟
7A = 1 ، S = 1 ← B ؟
8B = 1 ، C = 1 ← A ؟
9B = 1 ، S = 1 ← C ؟
الإجابات:1C = 0 ، S = 12C = 1 ، S = 03C = 0 ، S = 14C = 0 ، S = 05A = 1 ، B = 16A = 0 ، B = 07B = 08A = 19C = 0
مثال 6.2
إلى مدخلَي جامع نصفي تصل الإشارتان A و B المرسومتان. نرسم إشارتَي المخرجين S و C.
الحل:
نقسّم محور الزمن إلى فترات، وفي كل فترة نقرأ A و B ونحسب S = A ⊕ B و C = A·B. المخرج S عال فقط عندما تختلف الإشارتان، والمخرج C عال فقط عندما تكون الإشارتان عاليتين معا.
الجامع الكامل (FA)– מסכם מלא:
الجامع الكامل(מסכם מלא, Full Adder): هو دائرة توافقية تجمع ثلاثة بتات: البتين A و B والحمل الداخلCin (נשא נכנס) القادم من العمود السابق. له مخرجان: المجموعS والحمل الخارجCout (נשא יוצא) الذي ينتقل إلى العمود التالي.
جدول الصواب للجامع الكامل
A
B
Cin
Cout
S
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
عدد الواحدات في المداخل، مكتوبا كعدد ثنائي
A + B + Cin
CoutS
0
002
1
012
1
012
2
102
1
012
2
102
2
102
3
112
طريقة سريعة: لا نحتاج إلى حفظ الجدول. نعدّ الواحدات في المداخل الثلاثة ونكتب العدد في النظام الثنائي: لا واحدات ← 00 ؛ واحد ← 01 ؛ اثنان ← 10 ؛ ثلاثة ← 11. الخانة اليسرى هي Cout واليمنى هي S.
الرمز المختصر للجامع الكامل: ثلاثة مداخل ومخرجان
كيف نبني جامعا كاملا؟ نجمع أولا A و B بجامع نصفي، ثم نجمع النتيجة مع Cin بجامع نصفي ثانٍ. كل واحد من الجامعين قد يُخرج حملا، وحمل واحد يكفي ليكون Cout = 1 — لذلك نربط الحملين ببوابة OR.
جامع كامل من جامعين نصفيين وبوابة OR
نكتب تعبير كل إشارة في الرسم. مخرجا الجامع الأول هما A ⊕ B و A·B. الجامع الثاني يجمع A ⊕ B مع Cin:
الجامع الكامل · מסכם מלא
S = A ⊕ B ⊕ Cin
Cout = A·B + Cin·(A ⊕ B)
الرمز
المعنى
وحدة القياس
A, B
البتان اللذان نجمعهما
—
Cin
الحمل الداخل، من العمود السابق
—
S
المجموع: 1 عندما يكون عدد الواحدات في المداخل فرديا
—
Cout
الحمل الخارج: 1 عندما يكون في المداخل واحدان على الأقل
—
الجامع الكامل ببوابات: بوابتا XOR ، بوابتا AND وبوابة OR
مثال 6.3
ندخل إلى الجامع الكامل A = 1 ، B = 0 ، Cin = 1. نتتبع الإشارات داخل الدائرة ونجد S و Cout.
الحل:
الجامع النصفي الأول يجمع A و B:
A ⊕ B = 1 ⊕ 0 = 1
A·B = 1·0 = 0
الجامع النصفي الثاني يجمع النتيجة 1 مع Cin = 1:
S = 1 ⊕ 1 = 0
Cin·(A ⊕ B) = 1·1 = 1
بوابة OR تجمع الحملين:
Cout = 0 + 1 = 1
فحص: في المداخل واحدان، و 2 = 102.
Cout = 1 , S = 0
سؤال 6.2: ندخل إلى الجامع الكامل A = 1 ، B = 1 ، Cin = 1. ما هي قيمة مخرج كل واحد من الجامعين النصفيين، وما هي قيم S و Cout؟
ملاحظة: إذا ربطنا Cin إلى 0 يصبح الجامع الكامل جامعا نصفيا: S = A ⊕ B ⊕ 0 = A ⊕ B و Cout = A·B + 0 = A·B.
تدريب سريع — الجامع الكامل: نكتب Cout و S
1A = 0 ، B = 0 ، Cin = 1
2A = 1 ، B = 0 ، Cin = 1
3A = 1 ، B = 0 ، Cin = 0
4A = 1 ، B = 1 ، Cin = 0
5A = 0 ، B = 0 ، Cin = 0
6A = 0 ، B = 1 ، Cin = 0
7A = 0 ، B = 1 ، Cin = 1
8A = 1 ، B = 1 ، Cin = 1
الإجابات:1Cout = 0 ، S = 12Cout = 1 ، S = 03Cout = 0 ، S = 14Cout = 1 ، S = 05Cout = 0 ، S = 06Cout = 0 ، S = 17Cout = 1 ، S = 08Cout = 1 ، S = 1
جامع لعددين من بتين – מסכם לשני מספרים בני שתי סיביות:
نريد أن نجمع عددين، في كل واحد منهما بتان: A = A1A0 و B = B1B0. البتان A0 و B0 هما البتان الأدنى وزنا (LSB). نخصص جامعا لكل عمود:
العمود الأيمن (وزنه 1): نجمع A0 و B0 فقط، ولا يوجد حمل داخل ← جامع نصفي. مخرجاه S0 والحمل C1.
العمود الثاني (وزنه 2): نجمع A1 ، B1 والحمل C1 ← جامع كامل. مخرجاه S1 والحمل Cout.
النتيجة هي عدد من ثلاثة بتات: CoutS1S0. الحمل الأخير Cout هو الخانة العليا، ووزنه 4.
جامع لعددين من بتين: الحمل C1 ينتقل من الجامع النصفي (اليمين) إلى الجامع الكامل (اليسار)
ملاحظة: رسمنا الدائرة كما نكتب الجمع على الورق: العمود الأدنى وزنا في اليمين، والحمل يتحرك إلى اليسار. لأن الحمل «يتموّج» من جامع إلى الذي بعده تسمى هذه الدائرة بالإنجليزية Ripple Carry Adder.
مثال 6.4
نجمع بالدائرة العددين A = 112 و B = 012. نتتبع كل جامع ونفحص النتيجة.
الحل:
نكتب البتات: A1 = 1 ، A0 = 1 ، B1 = 0 ، B0 = 1.
الجامع النصفي (العمود الأيمن) يجمع A0 و B0:
S0 = 1 ⊕ 1 = 0
C1 = 1·1 = 1
الجامع الكامل (العمود الثاني) يجمع A1 = 1 ، B1 = 0 والحمل C1 = 1. في مداخله واحدان ، ولذلك:
CoutS1 = 102
نقرأ النتيجة: CoutS1S0 = 1002. فحص في النظام العشري: 3 + 1 = 4.
112 + 012 = 1002
مثال 6.5
ما هو أكبر مجموع يستطيع الجامع أن يحسبه؟ نتتبع الدائرة لهذه الحالة.
الحل:
أكبر عدد من بتين هو 112 = 3 ، ولذلك أكبر مجموع هو 3 + 3 = 6.
الجامع النصفي: 1 + 1 ← S0 = 0 ، C1 = 1.
الجامع الكامل: 1 + 1 + 1 ← S1 = 1 ، Cout = 1.
النتيجة 1102 = 610. نحتاج إلى ثلاثة بتات للنتيجة، وبدون Cout كنا نقرأ 102 = 2 — نتيجة خاطئة.
112 + 112 = 1102
سؤال 6.3: نجمع بالدائرة A = 102 و B = 112. ما هي قيمة C1 ، وما هي النتيجة CoutS1S0؟
يمكن أن نبني نفس الدائرة من جامعين كاملين: نربط مدخل الحمل Cin للجامع الأيمن إلى 0، فيعمل كجامع نصفي. هكذا تُبنى الشرائح الجاهزة: كل الدرجات متشابهة، ولجمع عددين من n بتات نربط n جوامع كاملة في سلسلة.
نفس الجامع من جامعين كاملين: مدخل الحمل الأول مربوط إلى 0
A1
A0
B1
B0
Cout
S1
S0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
جدول الصواب الكامل للجامع: 16 سطرا، وفي كل سطر CoutS1S0 = A + B
A1
A0
B1
B0
Cout
S1
S0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
تدريب سريع — جامع لعددين من بتين: نكتب الحمل الداخلي C1 والنتيجة CoutS1S0
جدولا الصواب للجامع النصفي وللجامع الكامل – טבלאות אמת של מסכם למחצה ומסכם מלא:
نضع الجدولين جنبا إلى جنب. السطور الأربعة في جدول الجامع الكامل التي فيها Cin = 0 تعيد لنا الجامع النصفي؛ في السطور التي فيها Cin = 1 يزيد المجموع بواحد.
الجامع النصفي (HA)
A
B
C
S
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
الجامع الكامل (FA) — السطور الملوّنة: Cin = 1
A
B
Cin
Cout
S
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
الآن نستخرج تعبيرَي الجامع الكامل مباشرة من الجدول، بخريطة كارنو، ونفحص أننا نحصل على نفس ما حصلنا عليه من بناء الدائرة.
S(A,B,Cin) = Σ(1,2,4,7)
Cout(A,B,Cin) = Σ(3,5,6,7)
مثال 6.6
نستخرج من الخريطة تعبير المجموع S.
الحل:
في خريطة S الواحدات مرتبة مثل رقعة الشطرنج: لا توجد خانتان متجاورتان، ولذلك لا نستطيع أن نكوّن أي مجموعة. نكتب الصيغة القانونية:
S = A·B·Cin + A·B·Cin + A·B·Cin + A·B·Cin
نُخرج A عاملا مشتركا من الحدّين الأولين، و A من الحدّين الأخيرين (قانون التوزيع):
S = A·(B·Cin + B·Cin) + A·(B·Cin + B·Cin)
القوس الأول هو B ⊕ Cin ، والقوس الثاني هو عكسه:
S = A·(B ⊕ Cin) + A·B ⊕ Cin
هذا هو شكل XOR بين A وبين B ⊕ Cin:
S = A ⊕ B ⊕ Cin
S = A ⊕ B ⊕ Cin
مثال 6.7
نستخرج من الخريطة تعبير الحمل الخارج Cout ، ونقارنه مع التعبير الذي حصلنا عليه من الدائرة.
الحل:
في خريطة Cout ثلاث مجموعات، في كل واحدة خانتان. كل مجموعة تعطي حاصل ضرب من حرفين:
Cout = B·Cin + A·Cin + A·B
معنى التعبير: الحمل الخارج 1 عندما يكون اثنان على الأقل من المداخل الثلاثة 1.
في الدائرة حصلنا على Cout = A·B + Cin·(A ⊕ B). هل هما نفس الدالة؟ نفحص بجدول الصواب:
A
B
Cin
A·B
Cin·(A ⊕ B)
A·B + Cin·(A ⊕ B)
Cout
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
العمودان الأخيران متطابقان في كل السطور، فالتعبيران متساويان. نختار الثاني عندما نبني من جامعين نصفيين، لأن A ⊕ B جاهز عندنا.
Cout = B·Cin + A·Cin + A·B
انتبه: لا نخلط بين المخرجين: S هو الخانة اليمنى (وزنها 1) و Cout هو الخانة اليسرى (وزنها 2). في المدخل 1 + 1 + 0 النتيجة هي Cout = 1 و S = 0 ، وليس العكس.
سؤال 6.4: نكتب بالتمثيل العددي Σ دالتَي الجامع النصفي S(A,B) و C(A,B).
تدريب سريع — نجمع ثلاثة بتات ونكتب النتيجة كعدد ثنائي من خانتين CoutS
11 + 1 + 0
20 + 0 + 1
31 + 1 + 1
40 + 1 + 1
51 + 0 + 0
60 + 0 + 0
71 + 0 + 1
80 + 1 + 0
الإجابات:11022012311241025012600271028012
تدريب سريع — صحيح أم خطأ؟
1للجامع النصفي ثلاثة مداخل.
2في الجامع الكامل S = 1 عندما يكون عدد الواحدات في المداخل فرديا.
3في الجامع الكامل Cout = 1 فقط عندما تكون المداخل الثلاثة 1.
4جامع كامل مع Cin = 0 يعمل كجامع نصفي.
5جامع لعددين من بتين يُخرج نتيجة من بتين.
6الحمل في الجامع النصفي هو C = A + B.
الإجابات:1 خطأ — له مدخلان2 صحيح3 خطأ — يكفي مدخلان4 صحيح5 خطأ — من ثلاثة بتات6 خطأ — C = A·B
משווים – المقارِنات (Comparators)
كثيرا ما تحتاج الدائرة الرقمية إلى أن تعرف العلاقة بين عددين: هل درجة الحرارة أعلى من الدرجة المطلوبة؟ هل الرقم السري الذي أُدخل يساوي الرقم المحفوظ؟ هل وصل العدّاد إلى العدد المطلوب؟ الدائرة التي تجيب عن هذه الأسئلة هي المقارِن.
المقارِن(משווה, Comparator): هو دائرة توافقية تستقبل عددين ثنائيين A و B وتخبرنا عن العلاقة بينهما بواسطة ثلاثة مخارج: A > B ، A = B ، A < B. في كل لحظة مخرج واحد فقط يساوي 1.
مقارِن بت واحد – משווה לסיבית אחת:
نبدأ بأبسط مقارِن: كل عدد هو بت واحد. نسمّي المخارج الثلاثة بأحرف قصيرة:
G (Greater) — يساوي 1 عندما A > B.
E (Equal) — يساوي 1 عندما A = B.
L (Less) — يساوي 1 عندما A < B.
الرمز المختصر لمقارِن بت واحد
متى يكون بت أكبر من بت آخر؟ يوجد احتمال واحد فقط: A = 1 و B = 0. ومتى يكون أصغر؟ فقط عندما A = 0 و B = 1. في الحالتين الباقيتين (00 و 11) البتان متساويان. من هذا نكتب التعابير مباشرة:
مقارِن بت واحد · משווה לסיבית אחת
G = A·B
E = A ⊕ B
L = A·B
الرمز
المعنى
وحدة القياس
G
المخرج A > B
—
E
المخرج A = B : بوابة XNOR
—
L
المخرج A < B
—
لا نحتاج إلى بوابة XNOR خاصة للمخرج E. إذا كان A ليس أكبر من B وليس أصغر منه فهو يساويه، أي أن E = 1 عندما G = 0 و L = 0:
E = G + L
مقارِن بت واحد ببوابات: عاكسان، بوابتا AND وبوابة NOR
مثال 6.8
ندخل إلى المقارِن A = 1 و B = 0. نتتبع الدائرة ونجد المخارج الثلاثة.
الحل:
مخرجا العاكسين: A = 0 و B = 1.
G = A·B = 1·1 = 1
L = A·B = 0·0 = 0
E = G + L = 1 + 0 = 0
المخرج G فقط يساوي 1: الدائرة تخبرنا أن A > B.
G = 1 , E = 0 , L = 0
سؤال 6.5: ندخل إلى المقارِن A = 1 و B = 1. ما هي قيمة مخرجَي بوابتَي AND، وما هي قيمة المخارج الثلاثة؟
جدول الصواب لمقارِن بت واحد – טבלת אמת של משווה לסיבית אחת:
جدول الصواب لمقارِن بت واحد: في كل سطر مخرج واحد فقط يساوي 1
A
B
G
E
L
العلاقة
0
0
0
1
0
A = B
0
1
0
0
1
A < B
1
0
1
0
0
A > B
1
1
0
1
0
A = B
نقرأ من الجدول، عمودا بعد عمود:
العمود G يساوي 1 في السطر 10 فقط ← G = A·B ، أي G(A,B) = Σ(2).
العمود L يساوي 1 في السطر 01 فقط ← L = A·B ، أي L(A,B) = Σ(1).
العمود E يساوي 1 في السطرين 00 و 11 ← E = A·B + A·B ، أي E(A,B) = Σ(0,3).
التعبير A·B + A·B هو بالضبط عكس XOR. بوابة XNOR هي إذن بوابة المساواة: مخرجها 1 عندما يتساوى مدخلاها.
بوابة XNOR تفحص المساواة: F = A ⊕ B
A
B
A ⊕ B
A ⊕ B
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
★ توسيع: لكي نقارن عددين من عدة بتات نبدأ من البت الأعلى وزنا (MSB): إذا اختلف البتان فهما يحسمان النتيجة؛ إذا تساويا ننتقل إلى البت الذي بعده. في الفصل 7 نبني المقارِن بطرق أخرى ونوسّعه إلى عددين من بتين.
تدريب سريع — مقارِن بت واحد: نكتب المخارج G ، E ، L ، أو نجد المداخل
1A = 0 ، B = 1
2A = 1 ، B = 1
3A = 1 ، B = 0
4A = 0 ، B = 0
5G = 1 ← A ، B ؟
6L = 1 ← A ، B ؟
7E = 1 و A = 0 ← B ؟
8E = 0 و B = 1 ← A ؟ وأي مخرج 1 ؟
9هل يمكن G = 1 و L = 1 معا؟
الإجابات:1G = 0 ، E = 0 ، L = 12G = 0 ، E = 1 ، L = 03G = 1 ، E = 0 ، L = 04G = 0 ، E = 1 ، L = 05A = 1 ، B = 06A = 0 ، B = 17B = 08A = 0 ؛ L = 19 لا
▶تجربة حية — المقارِن في بنّاء الدوائرنبني مقارِن بت واحد من عاكسين، بوابتَي AND وبوابة NOR، ونفحص أن مخرجا واحدا فقط يضيء في كل حالة.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
في جامع كامل ربطنا المدخل B إلى 1 بشكل دائم. نكتب تعبيرَي S و Cout كدالتين للمتغيرين A و Cin فقط.
الإجابات:S = A·Cin + A·Cin = A ⊕ Cin ؛ Cout = Cin + A
14.
نبرهن بجدول الصواب أن E = G + L في مقارِن بت واحد، حيث G = A·B و L = A·B.
الإجابات: السطور 00, 01, 10, 11 : G + L = 0 , 1 , 1 , 0 ← G + L = 1 , 0 , 0 , 1 ، وهذا هو العمود E
15.
إلى مدخلَي مقارِن بت واحد تصل الإشارتان A و B. نكمل في المخطط إشارات المخارج G ، E ، L.
الإجابات: في الفترات 1 حتى 8: G = 0 0 0 1 0 0 1 0 ؛ E = 1 0 1 0 1 1 0 0 ؛ L = 0 1 0 0 0 0 0 1
16.
في غرفة ثلاثة حسّاسات للحركة A ، B ، C. نريد دائرة تُخرج عددا ثنائيا من بتين Y1Y0 يساوي عدد الحسّاسات الفعّالة. أي دائرة من هذا الفصل تحلّ المسألة؟ نكتب تعبيرَي Y1 و Y0.
الإجابات: جامع كامل، مداخله الحسّاسات الثلاثة: Y0 = S = A ⊕ B ⊕ C ؛ Y1 = Cout = B·C + A·C + A·B
17.
لجنة من ثلاثة أعضاء تصوّت بالأزرار A ، B ، C (1 = موافق). مصباح يضيء عندما توافق الأغلبية. أي مخرج من مخرجَي الجامع الكامل يشغّل المصباح؟ نكتب تعبيره وقائمة الحدود الأصغرية.
الدائرة في الرسم مبنية من بوابة واحدة. أي مخرج من مخارج المقارِن هي تعطي؟ نكتب جدول الصواب.
الإجابات: المخرج E (A = B): F = A ⊕ B ؛ السطور 00, 01, 10, 11 ← F = 1 , 0 , 0 , 1
المستوى الثالث — تحدٍّ
19.
الدائرة في الرسم مبنية من خمس بوابات NAND. نكتب تعبير كل مخرج ونبيّن أي دائرة من هذا الفصل هي.
الإجابات:X = A ⊕ B و Y = A·B — هذا جامع نصفي: X هو المجموع و Y هو الحمل
20.
نريد أن نجمع عددين من ثلاثة بتات. (أ) كم جامعا كاملا نحتاج إذا استعملنا جوامع كاملة فقط؟ (ب) كم بتا في النتيجة؟ (ج) نتتبع الجمع 1012 + 0112 : نكتب الحمل الخارج من كل درجة والنتيجة.
نريد دائرة تفحص إذا كان عددان من بتين A1A0 و B1B0متساويين. نكتب تعبير المخرج E بواسطة بوابات XNOR، ونجد في كم سطر من 16 سطرا في جدول الصواب يكون E = 1.
الإجابات:E = A1 ⊕ B1 · A0 ⊕ B0 ؛ في 4 سطور
23.
نكتب بالتمثيل العددي Σ دالتَي الجامع الكامل. في أي تركيبات من المداخل يتساوى المخرجان S و Cout؟
الإجابات:S(A,B,Cin) = Σ(1,2,4,7) ؛ Cout(A,B,Cin) = Σ(3,5,6,7) ؛ يتساويان في 000 و 111
24.
في جامع لعددين من بتين ربطنا العدد B إلى 012 بشكل دائم، فأصبحت الدائرة تحسب A + 1. نكتب تعابير مبسّطة للمخارج S0 ، S1 ، Cout كدوال للمتغيرين A1 و A0.
طالب بنى جامعا كاملا ونسي بوابة OR: أخذ Cout من حمل الجامع النصفي الثاني فقط. في أي تركيبات من المداخل ABCin تكون نتيجته خاطئة؟
الإجابات: يخطئ عندما يكون حمل الجامع الأول A·B = 1 : في التركيبتين 110 و 111
26.
خزّان ماء فيه حسّاس A يعطي 1 عندما يكون الماء فوق المستوى المطلوب، ومفتاح B يضعه العامل على 1 عندما يريد خزّانا ممتلئا. مضخّة التعبئة تعمل عندما نريد خزّانا ممتلئا والماء ليس فوق المستوى. أي مخرج من مخارج مقارِن بت واحد (مداخله A و B) يشغّل المضخّة؟
الإجابات: المخرج L (A < B): L = A·B — يساوي 1 فقط عندما A = 0 و B = 1
الإجابات النهائية لأسئلة الفصل
6.1 لأن CS = 112 = 3 ، ومجموع بتين لا يزيد عن 2. في الجدول لا يوجد سطر فيه C = S = 1
6.2 الجامع الأول: A ⊕ B = 0 ، A·B = 1 ؛ الجامع الثاني: S = 0 ⊕ 1 = 1 ، حمله 0 ؛ Cout = 1 + 0 = 1 ، أي CoutS = 112 = 3
6.3C1 = 0 ؛ CoutS1S0 = 1012 = 510
6.4S(A,B) = Σ(1,2) ؛ C(A,B) = Σ(3)
6.5 مخرجا بوابتَي AND: G = 1·0 = 0 و L = 0·1 = 0 ؛ E = 0 + 0 = 1
שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 6
موضوع «الأنظمة الرقمية» يُمتحن فيه طلاب تخصص الإلكترونيات داخل المدرسة. أسئلة البجروت في هذا الكتاب مأخوذة من امتحان 845381 لتخصص الكهرباء، وفيه سؤالان عن الأنظمة الرقمية كل سنة؛ لا يظهر فيه سؤال مستقل عن مادة هذا الفصل. نتدرب عليها في «أسئلة للتمرين» وفي الاختبار الذاتي.