الفصل 7

دوائر توافقية تطبيقية

תכנון ומימוש של מערכות צירופים שימושיות

الصف العاشر · 6 ساعات تعليمية

في الفصول السابقة بنينا كل دائرة من بوابات منفردة. في الأجهزة الحقيقية توجد دوائر توافقية تتكرر مرة بعد مرة، ولذلك تُصنع كشرائح جاهزة: دائرة تختار إشارة واحدة من عدة إشارات، دائرة توزّع إشارة إلى أحد عدة مخارج، دائرة تفكّ شيفرة ثنائية، ودائرة تشغّل شاشة الأرقام. في هذا الفصل نتعرف على هذه الدوائر، ونتعلم كيف نبني بها أي دالة بوليانية بدون تبسيط وبدون بوابات كثيرة.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نشرح عمل الناخب (MUX) ونكتب جدول عمله وتعبيره لناخب 2:1 ، 4:1 و 8:1.
نشرح عمل الموزِّع (DEMUX) ونكتب تعابير مخارجه.
نكتب جدول الصواب لمفكّك شيفرة 2:4 و 3:8 مع مدخل تمكين، ونبيّن العلاقة بينه وبين الموزِّع.
نبني جدول مفكّك شيفرة العرض لشاشة ذات سبع قطع، ونستخرج دالة قطعة بخريطة كارنو مع حالات اللامبالاة.
نشرح عمل المشفِّر 4:2 وفكرة الأفضلية.
نبني دالة بوليانية بواسطة ناخب، وبواسطة مفكّك شيفرة (أو موزِّع) وبوابة OR.
نبني مقارِنا بواسطة هذه الدوائر، ونوسّعه إلى عددين من بتين.

מרבבים (Multiplexers) ומפלגים (DeMultiplexers) – النواخب والموزِّعات (MUX & DEMUX)

الناخب (MUX) – מרבב:

في مقياس حرارة رقمي أربعة حسّاسات في أربع غرف، وشاشة واحدة. في كل لحظة نريد أن نعرض قراءة حسّاس واحد فقط. نحتاج إلى «مفتاح دوّار» إلكتروني يوصل أحد المداخل إلى المخرج، حسب رقم نكتبه له. هذا المفتاح هو الناخب.

الناخب (מרבב, Multiplexer — MUX): هو دائرة توافقية لها عدة مداخل معطيات D₀, D₁, ... ومخرج واحد Y. خطوط الاختيار (קווי בקרה / בחירה) S تحدّد أي مدخل يُنقل إلى المخرج. كل مدخل معطيات يسمى قناة (ערוץ).

عدد خطوط الاختيار · מספר קווי הבחירה

n = 2^k

الرمز	المعنى	وحدة القياس
n	عدد مداخل المعطيات (القنوات)	—
k	عدد خطوط الاختيار	—

الكلمة الثنائية المكتوبة على خطوط الاختيار هي رقم القناة المختارة. بخط اختيار واحد نختار بين قناتين، بخطين بين أربع قنوات، وبثلاثة خطوط بين ثماني قنوات.

ناخب 2:1 – מרבב 2 ל-1:

ناخب 2:1 : قناتان وخط اختيار واحد

S	Y
0	D₀
1	D₁

جدول العمل

عندما S = 0 المخرج يساوي D₀ ، وعندما S = 1 المخرج يساوي D₁. نكتب ذلك كتعبير: كل قناة تمرّ من بوابة AND «تفتح» فقط عندما يُكتب رقمها على خط الاختيار، وبوابة OR تجمع القناتين.

Y = S·D₀ + S·D₁

ناخب 2:1 ببوابات: عاكس، بوابتا AND وبوابة OR

مثال 7.1

إلى ناخب 2:1 تصل الإشارات المرسومة: D₀ إشارة بطيئة، D₁ إشارة سريعة، و S خط الاختيار. نرسم إشارة المخرج Y.

الحل:

ما دام S = 0 المخرج ينسخ D₀ ؛ من اللحظة التي يصبح فيها S = 1 المخرج ينسخ D₁.

ناخب 4:1 – מרבב 4 ל-1:

ناخب 4:1 : أربع قنوات وخطا اختيار. S₁ هو البت الأعلى وزنا

S₁	S₀	Y
0	0	D₀
0	1	D₁
1	0	D₂
1	1	D₃

جدول العمل

ناخب 4:1 · מרבב 4 ל-1

Y = S₁·S₀·D₀ + S₁·S₀·D₁ + S₁·S₀·D₂ + S₁·S₀·D₃

الرمز	المعنى	وحدة القياس
D₀ ... D₃	مداخل المعطيات (القنوات)	—
S₁ S₀	خطا الاختيار: رقم القناة في النظام الثنائي	—
Y	المخرج	—

في كل حدّ يظهر حدّ أصغري للمتغيرين S₁ S₀ مضروبا في القناة التي تحمل رقمه. في كل لحظة حدّ أصغري واحد فقط يساوي 1، ولذلك قناة واحدة فقط تصل إلى المخرج.

ناخب 4:1 ببوابات: أربع بوابات AND بثلاثة مداخل، وبوابة OR بأربعة مداخل

مثال 7.2

إلى ناخب 4:1 تصل المعطيات D₀ = 1 ، D₁ = 0 ، D₂ = 1 ، D₃ = 1. ما هي قيمة المخرج عندما S₁ S₀ = 10؟ وعندما S₁ S₀ = 01؟

الحل:

الكلمة 10₂ = 2 تختار القناة D₂ ، ولذلك Y = D₂ = 1.

الكلمة 01₂ = 1 تختار القناة D₁ ، ولذلك Y = D₁ = 0.

Y = 1 ; Y = 0

سؤال 7.1: في نفس الناخب: ما هي قيمة Y لكل واحدة من الكلمات الأربع S₁ S₀؟

ناخب 8:1 – מרבב 8 ל-1:

ناخب 8:1 : ثماني قنوات وثلاثة خطوط اختيار

S₂	S₁	S₀	Y
0	0	0	D₀
0	0	1	D₁
0	1	0	D₂
0	1	1	D₃
1	0	0	D₄
1	0	1	D₅
1	1	0	D₆
1	1	1	D₇

جدول العمل

تعبير الناخب 8:1 مبني بنفس الطريقة: ثمانية حدود، وفي كل حدّ حدّ أصغري للمتغيرات S₂ S₁ S₀ مضروب في قناته. مثلا الحدّان الأول والأخير:

Y = S₂·S₁·S₀·D₀ + ... + S₂·S₁·S₀·D₇

ملاحظة: في الشرائح الجاهزة نجد أحيانا مدخل تمكين EN (מבוא אפשור) يسمح بإطفاء الناخب كله، ومخرجا إضافيا معكوسا Y.

تدريب سريع — أي قناة تصل إلى المخرج؟

1S₁ S₀ = 10

2S₁ S₀ = 01

3S₁ S₀ = 11

4S₂ S₁ S₀ = 101

5S₂ S₁ S₀ = 010

6S₂ S₁ S₀ = 111

7S₂ S₁ S₀ = 100

8S₂ S₁ S₀ = 001

9S₂ S₁ S₀ = 110

الإجابات: 1 D₂ 2 D₁ 3 D₃ 4 D₅ 5 D₂ 6 D₇ 7 D₄ 8 D₁ 9 D₆

تدريب سريع — ناخب 8:1 ، ومعطياته D₇ D₆ ... D₀ = 1001 0110. ما هي قيمة Y لكل كلمة اختيار S₂ S₁ S₀؟

1000

2011

3101

4110

5001

6111

7010

8100

الإجابات: 1 D₀ = 0 2 D₃ = 0 3 D₅ = 0 4 D₆ = 0 5 D₁ = 1 6 D₇ = 1 7 D₂ = 1 8 D₄ = 1

تدريب سريع — كم خط اختيار؟ كم قناة؟

1ناخب 16:1 — كم خط اختيار؟

2ناخب بـ 5 خطوط اختيار — كم قناة؟

3ناخب 2:1 — كم خط اختيار؟

4ناخب بـ 3 خطوط اختيار — كم قناة؟

5لاختيار واحد من 6 حسّاسات — كم خطا على الأقل؟

6ناخب 64:1 — كم خط اختيار؟

الإجابات: 1 4 2 32 3 1 4 8 5 3 (ناخب 8:1) 6 6

الموزِّع (DEMUX) – מפלג:

الموزِّع (מפלג, Demultiplexer — DEMUX): هو دائرة توافقية تعمل بعكس الناخب: لها مدخل معطيات واحد D وعدة مخارج Y₀, Y₁, .... خطوط الاختيار تحدّد إلى أي مخرج يُنقل المدخل؛ كل المخارج الأخرى تبقى 0.

موزِّع 1:4

S₁	S₀	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃
0	0	D	0	0	0
0	1	0	D	0	0
1	0	0	0	D	0
1	1	0	0	0	D

جدول العمل

كل مخرج هو الحدّ الأصغري لرقمه (للمتغيرين S₁ S₀) مضروبا في D :

Y₀ = S₁·S₀·D

Y₁ = S₁·S₀·D

Y₂ = S₁·S₀·D

Y₃ = S₁·S₀·D

موزِّع 1:4 ببوابات: أربع بوابات AND، والمدخل D يصل إليها كلها

مثال 7.3

إلى موزِّع 1:4 يصل D = 1 ، وخطا الاختيار S₁ S₀ = 11. ما هي قيم المخارج؟ وماذا يحدث إذا أصبح D = 0؟

الحل:

الكلمة 11₂ = 3 تختار المخرج Y₃ ، ولذلك Y₃ = D = 1 وباقي المخارج 0.

إذا أصبح D = 0 فإن Y₃ = D = 0 ، وتصبح كل المخارج 0.

Y₃ Y₂ Y₁ Y₀ = 1000

موزِّع 1:8 له ثلاثة خطوط اختيار S₂ S₁ S₀ وثمانية مخارج. تعبير كل مخرج هو الحدّ الأصغري لرقمه مضروبا في D ، مثلا Y₅ = S₂·S₁·S₀·D.

ناخب وموزِّع معا: أربع قنوات تُرسل، واحدة بعد الأخرى، على خط واحد. الطرفان يستعملان نفس كلمة الاختيار

تدريب سريع — الموزِّع: نكتب كلمة المخارج (Y₃ ... Y₀ أو Y₇ ... Y₀)

1D = 1 ، S₁ S₀ = 10

2D = 1 ، S₁ S₀ = 00

3D = 0 ، S₁ S₀ = 11

4D = 1 ، S₂ S₁ S₀ = 101

5D = 1 ، S₂ S₁ S₀ = 110

6D = 0 ، S₂ S₁ S₀ = 001

الإجابات: 1 0100 2 0001 3 0000 4 00100000 5 01000000 6 00000000

▶تجربة حية — الناخب والموزِّع في المختبرفي فصل الأنظمة الرقمية في الموقع: نغيّر كلمة الاختيار ونرى أي قناة تصل إلى المخرج، وإلى أي مخرج يصل مدخل الموزِّع.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/electronics/digital_systems

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/electronics/digital_systems

מפענחים (Decoders), מפענחי תצוגה, מקודדים (Encoders) – مفكّكات الشيفرة، مفكّكات شيفرة العرض والمشفِّرات (Decoders & Encoders)

مفكّك الشيفرة – מפענח:

مفكّك الشيفرة (מפענח, Decoder): هو دائرة توافقية لها k مداخل و 2^k مخارج. لكل كلمة ثنائية في المداخل مخرج واحد فقط يساوي 1: المخرج الذي رقمه يساوي قيمة الكلمة.

مفكّك شيفرة 2:4 . A هو البت الأعلى وزنا

A	B	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	1

جدول الصواب

ننظر إلى أعمدة المخارج: كل عمود فيه 1 واحد فقط. معنى ذلك أن كل مخرج هو حدّ أصغري واحد للمداخل:

مفكّك شيفرة 2:4 · מפענח 2 ל-4

Y₀ = A·B = m₀

Y₁ = A·B = m₁

Y₂ = A·B = m₂

Y₃ = A·B = m₃

الرمز	المعنى	وحدة القياس
A, B	المداخل: كلمة ثنائية من بتين	—
Y_i	المخرج رقم i : يساوي الحدّ الأصغري m_i	—

مفكّك شيفرة 2:4 ببوابات: بوابة AND لكل حدّ أصغري

مدخل التمكين – מבוא אפשור:

في معظم المفكّكات يوجد مدخل إضافي EN (Enable). عندما EN = 1 المفكّك يعمل كالعادة؛ عندما EN = 0 كل المخارج 0، ولا يهمّ ما هي المداخل. في الجدول نكتب X في خانة مدخل لا يؤثر.

مفكّك شيفرة 2:4 مع مدخل تمكين

EN	A	B	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃
0	X	X	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	1

جدول الصواب مع EN

Y₀ = EN·A·B

Y₃ = EN·A·B

انتبه: لا نخلط: في الناخب مخرج واحد والكلمة تختار مدخلا. في مفكّك الشيفرة لا توجد مداخل معطيات، والكلمة تشغّل مخرجا واحدا من عدة مخارج.

ملاحظة: في شرائح كثيرة (مثل 74138) المخارج ومدخل التمكين فعّالة في المستوى المنخفض: المخرج المختار يساوي 0 وكل الباقي 1. في الرسم تظهر دائرة صغيرة على هذه الأطراف. في هذا الكتاب نعمل مع مخارج فعّالة في المستوى العالي، إلا إذا قيل غير ذلك.

مفكّك شيفرة 3:8 – מפענח 3 ל-8:

مفكّك شيفرة 3:8

A	B	C	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

جدول الصواب عندما EN = 1

في مفكّك 3:8 كل مخرج هو حدّ أصغري لثلاثة متغيرات: Y₀ = A·B·C ، ... ، Y₅ = A·B·C ، ... ، Y₇ = A·B·C. لذلك نقول أن مفكّك الشيفرة هو «مولِّد حدود أصغرية» — وهذا ما سنستغله في البند 7.3.

مثال 7.4

إلى مفكّك شيفرة 3:8 تصل الكلمة A B C = 101 و EN = 1. أي مخرج يساوي 1؟ وماذا يحدث عندما EN = 0؟

الحل:

نحسب قيمة الكلمة: 101₂ = 5. المخرج Y₅ يساوي 1 وكل المخارج الأخرى 0.

عندما EN = 0 المفكّك مطفأ: كل المخارج الثمانية 0.

Y₅ = 1

العلاقة بين مفكّك الشيفرة والموزِّع – הקשר בין מפענח למפלג:

نقارن تعبير مفكّك الشيفرة مع مدخل التمكين وتعبير الموزِّع:

DEC: Y₂ = EN·A·B

DEMUX: Y₂ = D·S₁·S₀

التعبيران متطابقان إذا بدّلنا الأسماء: A, B هما خطا الاختيار، و EN هو مدخل المعطيات D. أي أن مفكّك شيفرة مع مدخل تمكين هو موزِّع، ولذلك تُباع نفس الشريحة بالاسمين Decoder / Demultiplexer. وبالعكس: موزِّع نربط مدخله D إلى 1 يعمل كمفكّك شيفرة.

تدريب سريع — مفكّك الشيفرة: أي مخرج يساوي 1؟

1EN = 1 ، A B = 01

2EN = 1 ، A B = 10

3EN = 1 ، A B C = 110

4EN = 1 ، A B C = 011

5EN = 0 ، A B C = 100

6EN = 1 ، A B = 00

7EN = 1 ، A B C = 111

8EN = 0 ، A B = 11

9EN = 1 ، A B C = 001

الإجابات: 1 Y₁ 2 Y₂ 3 Y₆ 4 Y₃ 5 لا يوجد — كل المخارج 0 6 Y₀ 7 Y₇ 8 لا يوجد — كل المخارج 0 9 Y₁

سؤال 7.2: كم مدخلا يحتاج مفكّك شيفرة له 16 مخرجا؟ وأي مخرج يساوي 1 عندما تكون الكلمة في مداخله 1011؟

مفكّك شيفرة العرض – מפענח תצוגה:

شاشة العرض ذات السبع قطع (תצוגת 7 מקטעים): هي شاشة فيها سبعة مصابيح طويلة (LED) مرتبة على شكل الرقم 8. نسمّي القطع بالأحرف a حتى g: a في الأعلى، ثم مع اتجاه عقارب الساعة b, c, d, e, f ، و g في الوسط. إضاءة بعض القطع ترسم رقما عشريا.

أسماء القطع

الأرقام العشرة على الشاشة

مفكّك شيفرة العرض (מפענח תצוגה, BCD to 7-Segment Decoder): هو دائرة توافقية تستقبل رقما عشريا بشيفرة BCD (أربعة بتات A B C D ، و A هو البت الأعلى وزنا) ولها سبعة مخارج a ... g ، مخرج لكل قطعة. المخرج يساوي 1 عندما يجب أن تضيء قطعته.

مفكّك شيفرة العرض موصول إلى الشاشة: سبعة خطوط، خط لكل قطعة

نبني جدول الصواب من أشكال الأرقام: لكل رقم نكتب 1 تحت كل قطعة مضيئة. للمفكّك سبعة مخارج، أي سبع دوال للمتغيرات A, B, C, D.

جدول مفكّك شيفرة العرض. التركيبات 1010 حتى 1111 لا تظهر في شيفرة BCD: هي حالات لامبالاة (X)
Dec	A	B	C	D	a	b	c	d	e	f	g
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1

مثال 7.5

إلى مفكّك شيفرة العرض تصل الكلمة A B C D = 0100. ما هي قيم المخارج السبعة، وماذا يظهر على الشاشة؟

الحل:

0100_BCD = 4. في سطر الرقم 4 في الجدول القطع المضيئة هي b, c, f, g:

القطع a ، d و e مطفأة، وعلى الشاشة يظهر الرقم 4.

a b c d e f g = 0110011

كيف نبني دالة قطعة واحدة؟ نأخذ عمودها من الجدول ونبسّطه بخريطة كارنو لأربعة متغيرات. التركيبات الست 1010 حتى 1111 لا تصل أبدا إلى المفكّك، ولذلك نكتب في خاناتها X ونستعملها لتكبير المجموعات، كما تعلمنا في الفصل 4.

مثال 7.6

نستخرج دالة مبسّطة للقطعة a (القطعة العليا).

الحل:

القطعة a مضيئة في الأرقام 0 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، ومطفأة في 1 و 4 فقط:

a(A,B,C,D) = Σ(0,2,3,5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15)

نكوّن أكبر مجموعات ممكنة، ونُدخل فيها خانات X عندما يساعد ذلك. نحصل على 4 مجموعات:

a = C + B·D + B·D + A

فحص سريع: للرقم 1 (0001) كل الحدود 0 ← القطعة مطفأة؛ للرقم 7 (0111) الحد C يساوي 1 ← القطعة مضيئة.

a = C + B·D + B·D + A

مثال 7.7

نستخرج دالة مبسّطة للقطعة e (القطعة اليسرى السفلى).

الحل:

القطعة e مضيئة في أربعة أرقام فقط: 0 ، 2 ، 6 ، 8.

e(A,B,C,D) = Σ(0,2,6,8) + d(10,11,12,13,14,15)

e = C·D + B·D

المتغير D يظهر في كل الحدود: القطعة e لا تضيء أبدا في رقم فردي.

e = C·D + B·D

سؤال 7.3: نكتب قائمة الحدود الأصغرية للقطعة c مع حالات اللامبالاة، ونبسّطها بخريطة كارنو.

ملاحظة: شاشات العرض نوعان: في شاشة الكاثود المشترك القطعة تضيء عندما يصلها 1 (كما في جدولنا)، وفي شاشة الأنود المشترك تضيء عندما يصلها 0، ولها مفكّك مخارجه معكوسة (مثل الشريحة 7447).

انتبه: في هذا الكتاب A هو دائما البت الأعلى وزنا. في صفحات البيانات لشرائح كثيرة (مثل 7447 و 74138) الترتيب معكوس: A هو البت الأدنى وزنا. قبل أن نوصل شريحة حقيقية نفحص في صفحة البيانات أي مدخل هو الأعلى وزنا.

تدريب سريع — أي قطع تضيء لعرض الرقم؟ وكم قطعة؟

1الرقم 2

2الرقم 5

3الرقم 7

4الرقم 0

5الرقم 9

6الرقم 3

7الرقم 6

8الرقم 1

الإجابات: 1 a, b, d, e, g — 5 2 a, c, d, f, g — 5 3 a, b, c — 3 4 a, b, c, d, e, f — 6 5 a, b, c, d, f, g — 6 6 a, b, c, d, g — 5 7 a, c, d, e, f, g — 6 8 b, c — 2

تدريب سريع — مفكّك شيفرة العرض: نكتب كلمة المخارج a b c d e f g للكلمة A B C D

10110

21001

30010

41000

50101

60000

الإجابات: 1 1011111 2 1111011 3 1101101 4 1111111 5 1011011 6 1111110

المشفِّر – מקודד:

المشفِّر (מקודד, Encoder): هو دائرة توافقية تعمل بعكس مفكّك الشيفرة: لها 2^k مداخل و k مخارج. نفترض أن مدخلا واحدا فقط يساوي 1، والمخارج تعطي رقم هذا المدخل في النظام الثنائي.

مشفِّر 4:2

I₃	I₂	I₁	I₀	Y₁	Y₀
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0
1	0	0	0	1	1

جدول الصواب: في كل سطر مدخل واحد فقط 1

نقرأ من الجدول: Y₁ = 1 عندما يكون المدخل الفعّال I₂ أو I₃ ، و Y₀ = 1 عندما يكون I₁ أو I₃. المدخل I₀ لا يظهر في أي تعبير: عندما يكون هو الفعّال المخارج 00.

مشفِّر 4:2 · מקודד 4 ל-2

Y₁ = I₂ + I₃

Y₀ = I₁ + I₃

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I₀ ... I₃	المداخل: واحد منها فقط 1	—
Y₁ Y₀	رقم المدخل الفعّال في النظام الثنائي	—

مشفِّر 4:2 ببوابات: بوابتا OR. المدخل I₀ غير موصول

لوحة المفاتيح مثال جيد: لكل مفتاح خط خاص به، والمشفِّر يحوّل «المفتاح رقم 6 مضغوط» إلى الكلمة 110.

فكرة الأفضلية. ماذا يحدث إذا ضُغط مفتاحان معا؟ في المشفِّر البسيط نحصل على نتيجة خاطئة: إذا كان I₁ = I₂ = 1 فإن Y₁ Y₀ = 11 ، كأن المدخل I₃ هو الفعّال. مشفِّر الأفضلية (מקודד עדיפות, Priority Encoder) يحلّ المشكلة: هو يعطي رقم المدخل الفعّال الأعلى ويتجاهل المداخل التي تحته. مخرج إضافي V يخبرنا إن كان هناك مدخل فعّال أصلا.

مشفِّر أفضلية 4:2 : X في المداخل معناه «لا يهمّ»، لأن مدخلا أعلى منه فعّال
I₃	I₂	I₁	I₀	Y₁	Y₀	V
0	0	0	0	X	X	0
0	0	0	1	0	0	1
0	0	1	X	0	1	1
0	1	X	X	1	0	1
1	X	X	X	1	1	1

تدريب سريع — المشفِّر 4:2 : نكتب Y₁ Y₀ للكلمة I₃ I₂ I₁ I₀ . في التمارين 5–8 المشفِّر هو مشفِّر أفضلية

10100

20001

31000

40010

50110

61011

70011

80101

الإجابات: 1 10 2 00 3 11 4 01 5 10 6 11 7 01 8 10

מימוש פונקציות בוליאניות באמצעות מרבבים ומפלגים – بناء دوال بوليانية بواسطة نواخب وموزِّعات (Implementing Functions)

حتى الآن بنينا دالة هكذا: جدول صواب ← خريطة كارنو ← تعبير مبسّط ← بوابات. توجد طريق أقصر: شريحة واحدة جاهزة، بدون تبسيط. الفكرة: الناخب «يقرأ» جدول الصواب سطرا سطرا، ومفكّك الشيفرة «يولّد» كل الحدود الأصغرية.

بناء دالة بناخب 8:1 – מימוש באמצעות מרבב 8 ל-1:

دالة لثلاثة متغيرات لها جدول صواب من 8 سطور، وللناخب 8:1 ثماني قنوات. نربط المتغيرات A, B, C إلى خطوط الاختيار S₂, S₁, S₀ ، ونربط كل مدخل معطيات D_i إلى القيمة المكتوبة في السطر i من الجدول: 0 (الأرضي) أو 1 (جهد التغذية).

بناء دالة بناخب · מימוש פונקציה במרבב

D_i = F(i)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
D_i	مدخل المعطيات رقم i في الناخب	—
F(i)	قيمة الدالة في السطر i من جدول الصواب	—

مثال 7.8

نبني الدالة F(A,B,C) = Σ(1,2,6,7) بواسطة ناخب 8:1.

الحل:

نكتب جدول الصواب، وبجانب كل سطر مدخل المعطيات الذي يقابله:

نربط A → S₂ ، B → S₁ ، C → S₀ ، ونربط المداخل D₁ , D₂ , D₆ , D₇ إلى 1 وباقي المداخل إلى 0:

A	B	C	F	المدخل
0	0	0	0	D₀ = 0
0	0	1	1	D₁ = 1
0	1	0	1	D₂ = 1
0	1	1	0	D₃ = 0
1	0	0	0	D₄ = 0
1	0	1	0	D₅ = 0
1	1	0	1	D₆ = 1
1	1	1	1	D₇ = 1

فحص: للكلمة A B C = 110 الناخب يختار D₆ = 1 ، وفعلا m₆ في قائمة الدالة.

D₇ ... D₀ = 11000110

نتذكر: عمود المخرج في جدول الصواب، مقروءا من الأعلى إلى الأسفل، هو بالضبط D₀, D₁, ... , D₇. لا نحتاج إلى أي تبسيط.

بناء دالة بناخب 4:1 – מימוש באמצעות מרבב 4 ל-1:

يمكن أن نبني دالة لثلاثة متغيرات بناخب أصغر، فيه 4 قنوات فقط. نربط A و B إلى خطَّي الاختيار، والمتغير الثالث C ندخله من مداخل المعطيات. نقسّم جدول الصواب إلى أزواج من السطور: في كل زوج A B ثابتان و C يتغير من 0 إلى 1. لكل زوج أربع إمكانيات:

F(C=0)	F(C=1)	D_i	الشرح
0	0	0	الدالة 0 دائما
1	1	1	الدالة 1 دائما
0	1	C	الدالة تساوي C
1	0	C	الدالة عكس C

مثال 7.9

نبني نفس الدالة F(A,B,C) = Σ(1,2,6,7) بواسطة ناخب 4:1 وعاكس واحد.

الحل:

نكتب الجدول بأزواج: لكل تركيبة A B نكتب قيمة F عندما C = 0 وعندما C = 1 ، ونقارن العمودين مع C:

نربط A → S₁ و B → S₀ ، ونربط مداخل المعطيات حسب العمود الأخير. للمدخل C نحتاج إلى عاكس واحد:

A	B	F(C=0)	F(C=1)	المدخل
0	0	0	1	D₀ = C
0	1	1	0	D₁ = C
1	0	0	0	D₂ = 0
1	1	1	1	D₃ = 1

فحص: للكلمة A B C = 011 الناخب يختار D₁ = C = 0 ، وفعلا m₃ ليس في القائمة.

D₀ = C ; D₁ = C ; D₂ = 0 ; D₃ = 1

سؤال 7.4: نبني الدالة F(A,B,C) = Σ(0,3,5,6) مرة بناخب 8:1 ومرة بناخب 4:1 (المتغير C في مداخل المعطيات). نكتب مداخل المعطيات في كل حالة.

مثال 7.10

★ نبني دالة لأربعة متغيرات F(A,B,C,D) = Σ(0,1,5,6,7,10,13,14,15) بواسطة ناخب 8:1.

الحل:

نفس الطريقة: A, B, C إلى خطوط الاختيار، والمتغير الأخير D إلى مداخل المعطيات. لكل تركيبة A B C نقارن زوج السطور مع D:

A	B	C	F(D=0)	F(D=1)	المدخل
0	0	0	1	1	D₀ = 1
0	0	1	0	0	D₁ = 0
0	1	0	0	1	D₂ = D
0	1	1	1	1	D₃ = 1
1	0	0	0	0	D₄ = 0
1	0	1	1	0	D₅ = D
1	1	0	0	1	D₆ = D
1	1	1	1	1	D₇ = 1

تدريب سريع — ناخب 8:1 ، والمتغيرات A B C على خطوط الاختيار. نكتب كلمة المعطيات D₇ D₆ ... D₀

1F = Σ(1,4,5,7)

2F = Σ(0,2,3,5)

3F = Σ(2,3,4)

4F = Σ(0,6,7)

5F = Σ(1,2,4,7)

6F = Σ(3,5,6,7)

الإجابات: 1 1011 0010 2 0010 1101 3 0001 1100 4 1100 0001 5 1001 0110 6 1110 1000

تدريب سريع — ناخب 4:1 ، A B على خطَّي الاختيار. نكتب D₀, D₁, D₂, D₃ بواسطة 0 ، 1 ، C ، C

1F = Σ(1,4,5,7)

2F = Σ(0,2,3,5)

3F = Σ(2,3,4)

4F = Σ(0,6,7)

5F = Σ(1,2,4,7)

6F = Σ(3,5,6,7)

الإجابات: 1 C , 0 , 1 , C 2 C , 1 , C , 0 3 0 , 1 , C , 0 4 C , 0 , 0 , 1 5 C , C , C , C 6 0 , C , C , 1

بناء دالة بمفكّك شيفرة أو بموزِّع – מימוש באמצעות מפענח או מפלג:

كل مخرج في مفكّك الشيفرة هو حدّ أصغري: Y_i = m_i. وكل دالة هي مجموع حدود أصغرية. إذن: نربط المتغيرات إلى مداخل المفكّك، ونجمع ببوابة OR المخارج التي أرقامها تظهر في قائمة Σ للدالة.

بناء دالة بمفكّك شيفرة · מימוש פונקציה במפענח

F = Σ(i, j, ...) = Y_i + Y_j + ...

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Y_i	مخرج المفكّك رقم i ، وهو الحدّ الأصغري m_i	—
F	مخرج بوابة OR	—

مثال 7.11

نبني الدالة F(A,B,C) = Σ(1,2,6,7) بواسطة مفكّك شيفرة 3:8 وبوابة OR.

الحل:

في القائمة أربعة حدود أصغرية، ولذلك نحتاج إلى بوابة OR بأربعة مداخل، نربطها إلى المخارج Y₁ , Y₂ , Y₆ , Y₇:

F = Y₁ + Y₂ + Y₆ + Y₇

فحص: للكلمة A B C = 010 يرتفع المخرج Y₂ ، وهو موصول إلى بوابة OR ← F = 1. للكلمة 100 يرتفع Y₄ ، وهو غير موصول ← F = 0.

F = Y₁ + Y₂ + Y₆ + Y₇

بموزِّع: رأينا أن موزِّعا مدخله D = 1 هو مفكّك شيفرة. لذلك نبني الدالة بنفس الطريقة تماما: المتغيرات إلى خطوط الاختيار، D إلى 1 ، وبوابة OR تجمع المخارج المطلوبة.

موزِّع 1:4 مع D = 1 يعمل كمفكّك شيفرة: Y_i = m_i

الدالة F(A,B) = Σ(0,3) بمفكّك 2:4 وبوابة OR

ملاحظة: أفضلية مفكّك الشيفرة: من مفكّك واحد نبني عدة دوال لنفس المتغيرات — بوابة OR لكل دالة. مثلا جامع كامل: S = Y₁ + Y₂ + Y₄ + Y₇ و C_out = Y₃ + Y₅ + Y₆ + Y₇ ، من مفكّك 3:8 واحد وبوابتَي OR. الناخب يبني دالة واحدة فقط.

سؤال 7.5: نبني بمفكّك شيفرة 3:8 الدالة F = A·B + A·B·C. أي مخارج نربط إلى بوابة OR؟

تدريب سريع — مفكّك شيفرة 3:8 وبوابة OR: نكتب قائمة Σ للدالة، أو المخارج التي نربطها

1F = Y₀ + Y₅

2F = Y₁ + Y₂ + Y₇

3F = Σ(3,4,6)

4F = A·B·C

5F = A·B

6F = C

الإجابات: 1 Σ(0,5) 2 Σ(1,2,7) 3 Y₃ , Y₄ , Y₆ 4 Y₇ 5 Y₄ , Y₅ 6 Y₀ , Y₂ , Y₄ , Y₆

▶تجربة حية — نبني دالة بناخبفي بنّاء الدوائر نضع ناخبا، نربط مداخل المعطيات إلى 0 و 1 حسب جدول الصواب، ونفحص أن المخرج يطابق الدالة في كل السطور.

⚠

https://fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/digital/digital_systems_lab?tab=bld

מימוש מערכת צירופית לדוגמה — מימוש של משווה – بناء دائرة توافقية كمثال — بناء مقارِن (Design Example: Comparator)

نجمع الآن كل ما تعلمناه في مثال واحد كامل. نأخذ دائرة نعرفها من الفصل 6 — مقارِن بت واحد — ونبنيها بثلاث طرق مختلفة، ثم نوسّعها إلى عددين من بتين. مراحل التصميم هي دائما نفسها:

تعريف المداخل والمخارج: مدخلان A و B ؛ ثلاثة مخارج G (A > B) ، E (A = B) ، L (A < B).
جدول الصواب.
قائمة الحدود الأصغرية لكل مخرج.
اختيار طريقة البناء: بوابات، مفكّك شيفرة، أو ناخب.
الفحص: نمرّ على كل سطور الجدول.

جدول الصواب لمقارِن بت واحد
A	B	G	E	L
0	0	0	1	0
0	1	0	0	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	0

G(A,B) = Σ(2)

E(A,B) = Σ(0,3)

L(A,B) = Σ(1)

الطريقة الأولى: بوابات – מימוש בשערים:

هذا ما فعلناه في الفصل 6: G = A·B ، L = A·B ، E = G + L — عاكسان، بوابتا AND وبوابة NOR: خمس بوابات.

الطريقة الثانية: مفكّك شيفرة 2:4 – מימוש במפענח:

في مفكّك 2:4 كل مخرج هو حدّ أصغري جاهز. المخرجان G و L هما حدّ أصغري واحد، فلا يحتاجان إلى أي بوابة؛ المخرج E هو مجموع حدّين:

G = Y₂

L = Y₁

E = Y₀ + Y₃

مقارِن بت واحد بمفكّك شيفرة 2:4 وبوابة OR واحدة

مثال 7.12

نفحص دائرة المقارِن المبنية بمفكّك الشيفرة، لكل تركيبات المداخل.

الحل:

لكل كلمة A B نكتب أي مخرج في المفكّك يرتفع، وما هي قيم G ، E ، L :

A	B	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	G = Y₂	E = Y₀ + Y₃	L = Y₁
0	0	1	0	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	0	1	0	1	0

الأعمدة الثلاثة الأخيرة تطابق جدول الصواب للمقارِن.

الطريقة الثالثة: نواخب – מימוש במרבבים:

الناخب يبني دالة واحدة، ولذلك نحتاج إلى ناخب لكل مخرج. بناخب 4:1 (A B على خطَّي الاختيار) مداخل المعطيات هي ببساطة عمود المخرج في الجدول:

G : D₃ ... D₀ = 0100

E : D₃ ... D₀ = 1001

L : D₃ ... D₀ = 0010

وبناخب 2:1 أصغر: نربط A إلى خط الاختيار، وندخل B من مداخل المعطيات. نقسّم الجدول إلى زوجين (A = 0 و A = 1) ونقارن كل زوج مع B:

المقارِن بثلاثة نواخب 2:1 : A على خط الاختيار
OUT	D₀	D₁	التعبير
G	0	B	G = A·(0) + A·(B)
E	B	B	E = A·(B) + A·(B)
L	B	0	L = A·(B) + A·(0)

طريقة البناء	ماذا نحتاج	متى نختارها
بوابات	عاكسان، بوابتا AND، بوابة NOR	دائرة صغيرة، ونريد أقل عدد من الشرائح المختلفة
مفكّك شيفرة	مفكّك 2:4 وبوابة OR	عدة مخارج لنفس المداخل
نواخب	ناخب لكل مخرج (وعاكس)	دالة واحدة، أو عندما نريد أن نغيّر الدالة بسهولة

★ توسيع: مقارِن لعددين من بتين – משווה לשני מספרים בני שתי סיביות:

نقارن A = A₁ A₀ مع B = B₁ B₀ كما نقارن عددين عشريين: نبدأ من الخانة العليا. إذا اختلف A₁ عن B₁ فهما يحسمان النتيجة؛ إذا تساويا (E₁ = 1) تحسم الخانة الدنيا. نستعمل مقارِن بت واحد لكل خانة، ونسمّي مخارجهما G₁, E₁, L₁ و G₀, E₀, L₀:

مقارِن لعددين من بتين · משווה לשתי סיביות

G = G₁ + E₁·G₀

E = E₁·E₀

L = L₁ + E₁·L₀

الرمز	المعنى	وحدة القياس
G₁, E₁, L₁	مخارج مقارِن الخانة العليا (A₁ مع B₁)	—
G₀, E₀, L₀	مخارج مقارِن الخانة الدنيا (A₀ مع B₀)	—

مقارِن لعددين من بتين: مقارِنان لبت واحد، ثلاث بوابات AND وبوابتا OR

مثال 7.13

نقارن بالدائرة A = 10₂ مع B = 11₂.

الحل:

الخانة العليا: A₁ = 1 ، B₁ = 1 ← G₁ = 0 ، E₁ = 1 ، L₁ = 0.

الخانة الدنيا: A₀ = 0 ، B₀ = 1 ← G₀ = 0 ، E₀ = 0 ، L₀ = 1.

G = 0 + 1·0 = 0

E = 1·0 = 0

L = 0 + 1·1 = 1

الخانتان العلييان متساويتان، فحسمت الخانة الدنيا: A < B ، وفعلا 2 < 3.

G = 0 , E = 0 , L = 1

تدريب سريع — مقارِن لعددين من بتين: نكتب G E L

1A = 11 ، B = 01

2A = 01 ، B = 01

3A = 00 ، B = 10

4A = 10 ، B = 01

5A = 11 ، B = 11

6A = 01 ، B = 10

الإجابات: 1 100 2 010 3 001 4 100 5 010 6 001

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
عدد القنوات وعدد خطوط الاختيار	n = 2^k
ناخب 2:1	Y = S·D₀ + S·D₁
ناخب 4:1	Y = S₁·S₀·D₀ + S₁·S₀·D₁ + S₁·S₀·D₂ + S₁·S₀·D₃
موزِّع 1:4 — المخرج Y₂	Y₂ = S₁·S₀·D
مفكّك شيفرة — كل مخرج حدّ أصغري	Y_i = EN·m_i
مشفِّر 4:2	Y₁ = I₂ + I₃ ; Y₀ = I₁ + I₃
القطعة a في مفكّك شيفرة العرض	a = C + B·D + B·D + A
القطعة e في مفكّك شيفرة العرض	e = C·D + B·D
بناء دالة بناخب 8:1	D_i = F(i)
بناء دالة بمفكّك شيفرة	F = Σ(i, j, ...) = Y_i + Y_j + ...
مقارِن بمفكّك شيفرة 2:4	G = Y₂ ; E = Y₀ + Y₃ ; L = Y₁
مقارِن لعددين من بتين	G = G₁ + E₁·G₀ ; E = E₁·E₀

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الناخب	מרבב	Multiplexer (MUX)
الموزِّع	מפלג	Demultiplexer (DEMUX)
خطوط الاختيار	קווי בקרה (בחירה)	Select lines
قناة	ערוץ	Channel
مدخل معطيات	מבוא נתונים	Data input
مفكّك الشيفرة	מפענח	Decoder
المشفِّر	מקודד	Encoder
مشفِّر الأفضلية	מקודד עדיפות	Priority encoder
مدخل التمكين	מבוא אפשור	Enable (EN)
فعّال في المستوى المنخفض	פעיל בנמוך	Active low
مفكّك شيفرة العرض	מפענח תצוגה	Display decoder
شاشة العرض ذات السبع قطع	תצוגת 7 מקטעים	7-segment display
قطعة	מקטע	Segment
شيفرة BCD	קוד BCD	Binary Coded Decimal
حالات اللامبالاة	צירופי ברירה	Don't care
الحد الأصغري	מינטרם	Minterm
جدول الصواب	טבלת אמת	Truth table
بناء دالة	מימוש פונקציה	Implementation
دائرة توافقية	מערכת צירופים	Combinational circuit
الدائرة المتكاملة (الشريحة)	רכיב משולב (שבב)	Integrated circuit (IC)
المُقارِن	משווה	Comparator

أسئلة للتمرين:

المستوى الأول — أساسي

نكمل:
(أ) ناخب 8:1 له ... خطوط اختيار.
(ب) ناخب بـ 4 خطوط اختيار له ... قنوات.
(ج) مفكّك شيفرة بـ 3 مداخل له ... مخارج.
(د) مشفِّر بـ 8 مداخل له ... مخارج.

الإجابات: (أ) 3 (ب) 16 (ج) 8 (د) 3

نكتب جدول العمل وتعبير المخرج لناخب 2:1 ، ونرسمه ببوابات.

الإجابات: S = 0 ← Y = D₀ ؛ S = 1 ← Y = D₁ ؛ Y = S·D₀ + S·D₁

إلى ناخب 4:1 تصل المعطيات D₃ D₂ D₁ D₀ = 0110. ما هي قيمة Y لكل واحدة من الكلمات الأربع S₁ S₀؟

الإجابات: 00 ← Y = D₀ = 0 ؛ 01 ← Y = D₁ = 1 ؛ 10 ← Y = D₂ = 1 ؛ 11 ← Y = D₃ = 0

ناخب 8:1 :
(أ) أي قناة تصل إلى المخرج عندما S₂ S₁ S₀ تساوي 011 ، 110 ، 100؟
(ب) ما هي كلمة الاختيار التي تختار D₅ ؟ D₂ ؟

الإجابات: (أ) D₃ ، D₆ ، D₄ (ب) 101 ، 010

إلى موزِّع 1:4 يصل D = 1. نكتب كلمة المخارج Y₃ Y₂ Y₁ Y₀ لكل كلمة اختيار S₁ S₀ : 00 ، 01 ، 10 ، 11. ماذا تصبح الكلمات إذا كان D = 0؟

الإجابات: 0001 ، 0010 ، 0100 ، 1000 ؛ مع D = 0 كل المخارج 0000

نكتب جدول الصواب لمفكّك شيفرة 2:4 وتعابير مخارجه الأربعة.

الإجابات: Y₀ = A·B ، Y₁ = A·B ، Y₂ = A·B ، Y₃ = A·B ؛ في كل سطر 1 واحد: Y₃ Y₂ Y₁ Y₀ = 0001 , 0010 , 0100 , 1000

مفكّك شيفرة 3:8 مع EN = 1 :
(أ) أي مخرج يساوي 1 للكلمات A B C : 011 ، 110 ، 101؟
(ب) ما هي الكلمة التي ترفع Y₄ ؟
(ج) ماذا يحدث عندما EN = 0؟

الإجابات: (أ) Y₃ ، Y₆ ، Y₅ (ب) 100 (ج) كل المخارج 0

أي قطع تضيء في شاشة السبع قطع لعرض كل رقم: 2 ، 5 ، 7 ؟ وأي رقم يضيء كل القطع؟

الإجابات: 2: a, b, d, e, g ؛ 5: a, c, d, f, g ؛ 7: a, b, c ؛ الرقم 8

لكل شاشة في الرسم نكتب الرقم المعروض والكلمة A B C D التي في مداخل مفكّك شيفرة العرض.

الإجابات: (أ) 3 ← 0011 ؛ (ب) 6 ← 0110 ؛ (ج) 4 ← 0100 ؛ (د) 9 ← 1001

10.

مشفِّر 4:2 : ما هي الكلمة Y₁ Y₀ عندما يكون المدخل الفعّال الوحيد:
(أ) I₂ ؟
(ب) I₁ ؟
(ج) I₃ ؟
(د) I₀ ؟

الإجابات: (أ) 10 (ب) 01 (ج) 11 (د) 00

11.

نكتب كلمة مخارج مفكّك شيفرة العرض a b c d e f g لكل كلمة BCD : 0110 ، 1001 ، 0001.

الإجابات: 0110 (الرقم 6) ← 1011111 ؛ 1001 (الرقم 9) ← 1111011 ؛ 0001 (الرقم 1) ← 0110000

12.

صحيح أم خطأ؟
(أ) في مفكّك الشيفرة مخرج واحد فقط فعّال في كل لحظة.
(ب) للناخب 4:1 أربعة مخارج.
(ج) موزِّع مع D = 1 يعمل كمفكّك شيفرة.
(د) المشفِّر يعمل بعكس مفكّك الشيفرة.
(هـ) لمفكّك شيفرة العرض سبعة مداخل.

الإجابات: (أ) صحيح (ب) خطأ — مخرج واحد وأربعة مداخل معطيات (ج) صحيح (د) صحيح (هـ) خطأ — أربعة مداخل وسبعة مخارج

المستوى الثاني — متوسط

13.

إلى ناخب 2:1 تصل الإشارات S ، D₀ ، D₁ المرسومة. نكمل إشارة المخرج Y.

الإجابات: في الفترات 1 حتى 8: Y = 0 0 1 1 1 1 0 0

14.

نبني الدالة F(A,B,C) = Σ(0,2,3,5) بناخب 8:1. نكتب قيمة كل مدخل معطيات، ونبيّن أي متغير يُربط إلى كل خط اختيار.

الإجابات: A → S₂ ، B → S₁ ، C → S₀ ؛ D₇ ... D₀ = 00101101

15.

نبني نفس الدالة F(A,B,C) = Σ(0,2,3,5) بناخب 4:1 ، حيث A B على خطَّي الاختيار. نكتب D₀ حتى D₃.

الإجابات: D₀ = C ، D₁ = 1 ، D₂ = C ، D₃ = 0

16.

الدائرة في الرسم تبني دالة F(A,B,C) بناخب 8:1. نكتب قائمة الحدود الأصغرية للدالة، ونبسّطها بخريطة كارنو.

الإجابات: F(A,B,C) = Σ(0,3,4,5) ؛ F = B·C + A·B + A·B·C

17.

الدائرة في الرسم تبني دالة F(A,B,C) بناخب 4:1. نكتب جدول الصواب للدالة، قائمة الحدود الأصغرية وتعبيرا مبسّطا.

الإجابات: F(A,B,C) = Σ(1,2,3,4) ؛ F = A·B·C + A·C + A·B

18.

الدائرة في الرسم مبنية من مفكّك شيفرة 3:8 وبوابة OR. نكتب قائمة الحدود الأصغرية للدالة F وتعبيرا مبسّطا لها.

الإجابات: F(A,B,C) = Σ(0,1,4,5,7) ؛ F = B + A·C

19.

نريد أن نبني الدالة F = A·B + C بمفكّك شيفرة 3:8 وبوابة OR. أي مخارج نربط إلى بوابة OR، وكم مدخلا لها؟

الإجابات: F(A,B,C) = Σ(0,2,4,6,7) ← المخارج Y₀ , Y₂ , Y₄ , Y₆ , Y₇ ؛ بوابة OR بـ 5 مداخل

20.

نكتب لكل قطعة قائمة الحدود الأصغرية مع حالات اللامبالاة، ونبسّطها بخريطة كارنو:
(أ) القطعة b
(ب) القطعة f.

الإجابات: (أ) b(A,B,C,D) = Σ(0,1,2,3,4,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ← b = C·D + C·D + B (ب) f(A,B,C,D) = Σ(0,4,5,6,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ← f = C·D + B·D + B·C + A

21.

من جدول مفكّك شيفرة العرض:
(أ) في أي أرقام تضيء القطعة g ؟
(ب) أي قطعة تضيء في أكبر عدد من الأرقام؟
(ج) أي قطعة تضيء في أقل عدد من الأرقام؟

الإجابات: (أ) 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 ، 9 (ب) c — في 9 أرقام (ج) e — في 4 أرقام

22.

موزِّع 1:8 :
(أ) ما هي كلمة الاختيار S₂ S₁ S₀ التي تنقل D إلى المخرج Y₅ ؟
(ب) نكتب تعبير Y₅.
(ج) D = 1 و S₂ S₁ S₀ = 010 : ما هي كلمة المخارج Y₇ ... Y₀ ؟

الإجابات: (أ) 101 (ب) Y₅ = S₂·S₁·S₀·D (ج) 0000 0100

23.

طالب بنى الدالة F(A,B,C) = Σ(1,4,5,7) بناخب 8:1 ، وربط مداخل المعطيات كما في الرسم. أخطأ في مدخلين. أي مدخلين، وما هي الدالة التي بناها فعلا؟

الإجابات: الخطأ في D₂ (يجب 0) وفي D₅ (يجب 1) ؛ الدالة التي بناها: F(A,B,C) = Σ(1,2,4,7)

24.

في بيت أربعة حسّاسات حرارة، في أربع غرف، وشاشة واحدة.
(أ) أي دائرة توصل حسّاسا واحدا إلى الشاشة؟
(ب) كم خط اختيار نحتاج؟
(ج) الحسّاسات موصولة إلى D₀ حتى D₃ . ما هي كلمة الاختيار لعرض حسّاس الغرفة الموصول إلى D₂؟

الإجابات: (أ) ناخب 4:1 (ب) خطان (ج) S₁ S₀ = 10

25.

في مصعد عدّاد يعطي رقم الطابق كعدد ثنائي من ثلاثة بتات (0 حتى 7). فوق الباب ثمانية مصابيح، مصباح لكل طابق، ونريد أن يضيء مصباح الطابق الحالي فقط.
(أ) أي دائرة نحتاج؟
(ب) أي مصباح يضيء عندما يعطي العدّاد 110؟
(ج) كيف نطفئ كل المصابيح عندما يكون المصعد في الصيانة؟

الإجابات: (أ) مفكّك شيفرة 3:8 (ب) مصباح الطابق 6 (Y₆) (ج) نضع EN = 0

26.

نكتب جدول الصواب الكامل لمفكّك شيفرة 2:4 مع مدخل تمكين EN : ثمانية سطور للمداخل EN A B ، ولكل سطر كلمة المخارج Y₃ Y₂ Y₁ Y₀.

الإجابات: 000 ← 0000 ، 001 ← 0000 ، 010 ← 0000 ، 011 ← 0000 ، 100 ← 0001 ، 101 ← 0010 ، 110 ← 0100 ، 111 ← 1000

المستوى الثالث — تحدٍّ

27.

نبني الدالة F(A,B,C,D) = Σ(1,2,3,7,8,9,12,14) بناخب 8:1 ، حيث A B C على خطوط الاختيار والمتغير D في مداخل المعطيات. نكتب D₀ حتى D₇.

الإجابات: D₀ = D ، D₁ = 1 ، D₂ = 0 ، D₃ = D ، D₄ = 1 ، D₅ = 0 ، D₆ = D ، D₇ = D

28.

نبني جامعا كاملا (مداخله A, B, C_in) بمفكّك شيفرة 3:8 وبوابتَي OR. أي مخارج نربط إلى بوابة S وأي مخارج إلى بوابة C_out ؟ أي مخرج يشترك في البوابتين؟

الإجابات: S : Y₁ , Y₂ , Y₄ , Y₇ ؛ C_out : Y₃ , Y₅ , Y₆ , Y₇ ؛ المخرج المشترك Y₇

29.

نبني جامعا كاملا بناخبَين 4:1 ، حيث A B على خطَّي الاختيار في الناخبين و C (الحمل الداخل) في مداخل المعطيات. نكتب D₀ ... D₃ لناخب المجموع S ولناخب الحمل C_out.

الإجابات: S : C , C , C , C ؛ C_out : 0 , C , C , 1

30.

عندنا ثلاثة نواخب 2:1 فقط. كيف نربطها لنحصل على ناخب 4:1 ؟ أي خط اختيار يُربط إلى أي ناخب؟

الإجابات: ناخبان في الدرجة الأولى: الأول يختار بين D₀ و D₁ ، والثاني بين D₂ و D₃ ، وخط الاختيار في الاثنين هو S₀ ؛ الناخب الثالث يختار بين مخرجيهما، وخط اختياره S₁

31.

مقارِن لعددين من بتين، مبني من مقارِنَين لبت واحد.
(أ) لكل زوج نحسب G₁ E₁ L₁ ، G₀ E₀ L₀ والمخارج النهائية G E L : A = 01 , B = 10 ؛ A = 11 , B = 10 ؛ A = 10 , B = 10.
(ب) في كم سطر من 16 سطرا في جدول الصواب يكون G = 1 ؟ E = 1 ؟ L = 1 ؟

الإجابات: (أ) 001 ، 100 ← 001 ؛ 010 ، 100 ← 100 ؛ 010 ، 010 ← 010 (ب) 6 ، 4 ، 6

32.

لجنة من ثلاثة أعضاء تصوّت بالأزرار A, B, C. مصباح يضيء عندما توافق الأغلبية. نبني الدائرة بناخب 4:1 واحد، بدون أي بوابة إضافية. نكتب D₀ ... D₃.

الإجابات: F(A,B,C) = Σ(3,5,6,7) ؛ D₀ = 0 ، D₁ = C ، D₂ = C ، D₃ = 1

33.

الدالة F = A ⊕ B ⊕ C لا يمكن تبسيطها بخريطة كارنو. نبنيها:
(أ) بناخب 4:1 وعاكس واحد — نكتب D₀ ... D₃.
(ب) بمفكّك شيفرة 3:8 وبوابة OR — أي مخارج؟

الإجابات: (أ) C , C , C , C (ب) Y₁ , Y₂ , Y₄ , Y₇

34.

(أ) نبسّط دالة القطعة g بخريطة كارنو مع حالات اللامبالاة.
(ب) لماذا مسموح لنا أن نكتب X في الخانات 10 حتى 15 ؟
(ج) كم خانة X توجد في الخريطة؟

الإجابات: (أ) g(A,B,C,D) = Σ(2,3,4,5,6,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ← g = C·D + B·C + B·C + A (يوجد أكثر من حل مبسّط واحد) (ب) لأن هذه التركيبات لا تظهر أبدا في شيفرة BCD، فلا يهمّنا ماذا تعرض الشاشة لها (ج) 6

35.

مشفِّر أفضلية 4:2 مع مخرج الصلاحية V. نكتب Y₁ Y₀ و V لكل كلمة مداخل I₃ I₂ I₁ I₀ : 0110 ، 1011 ، 0000 ، 0101. ما هو تعبير Y₀ في مشفِّر الأفضلية؟

الإجابات: 0110 ← Y₁ Y₀ = 10 ، V = 1 ؛ 1011 ← Y₁ Y₀ = 11 ، V = 1 ؛ 0000 ← V = 0 (لا يوجد مدخل فعّال) ؛ 0101 ← Y₁ Y₀ = 10 ، V = 1 ؛ Y₀ = I₃ + I₂·I₁

36.

نربط إشارة D إلى مدخل التمكين EN في مفكّك شيفرة 2:4 ، ونربط S₁ S₀ إلى A B.
(أ) ما هي كلمة المخارج Y₃ Y₂ Y₁ Y₀ عندما D = 1 و A B = 10 ؟
(ب) وعندما D = 0 ؟
(ج) أي دائرة حصلنا عليها؟

الإجابات: (أ) 0100 (ب) 0000 (ج) موزِّع 1:4 : المخرج المختار ينسخ D

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

7.1 00 ← Y = 1 ؛ 01 ← Y = 0 ؛ 10 ← Y = 1 ؛ 11 ← Y = 1

7.2 4 مداخل (2⁴ = 16) ؛ المخرج Y₁₁ ، لأن 1011₂ = 11

7.3 c(A,B,C,D) = Σ(0,1,3,4,5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15) ؛ c = D + C + B

7.4 ناخب 8:1 : D₇ ... D₀ = 01101001 ؛ ناخب 4:1 : D₀ = C ، D₁ = C ، D₂ = C ، D₃ = C

7.5 F(A,B,C) = Σ(1,6,7) ← المخارج Y₁ , Y₆ , Y₇

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 7

موضوع «الأنظمة الرقمية» يُمتحن فيه طلاب تخصص الإلكترونيات داخل المدرسة. أسئلة البجروت في هذا الكتاب مأخوذة من امتحان 845381 لتخصص الكهرباء، وفيه سؤالان عن الأنظمة الرقمية كل سنة؛ لا يظهر فيه سؤال مستقل عن مادة هذا الفصل. نتدرب عليها في «أسئلة للتمرين» وفي الاختبار الذاتي.

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 13 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)

A	B	C	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

Dec	A	B	C	D	a	b	c	d	e	f	g
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1

A	B	C	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

Dec	A	B	C	D	a	b	c	d	e	f	g
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1

A	B	C	Y₀	Y₁	Y₂	Y₃	Y₄	Y₅	Y₆	Y₇
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

Dec	A	B	C	D	a	b	c	d	e	f	g
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
4	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
5	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
7	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
9	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1