פרק 11

השראות עצמית והמשרן

כיתה י׳ · 2 שעות לימוד

בפרק הקודם הכרנו את הקבל, רכיב שאוגר אנרגיה בשדה חשמלי, וראינו שהמתח עליו אינו משתנה ברגע אחד. בפרק הזה נכיר רכיב שמתנהג בצורה "הפוכה": הסליל. הסליל אוגר אנרגיה בשדה מגנטי, והוא מתנגד לכל שינוי בזרם שעובר בו. נלמד מהי השראות עצמית, כיצד מחשבים את הכא"מ שנוצר בסליל כאשר הזרם שלו משתנה, וכיצד הסליל מתנהג במעגל זרם ישר.

בסוף הפרק הזה נדע:

בסליל שהזרם בו משתנה נוצר בין ההדקים כא"מ מושרה שמתנגד לשינוי הזה, והתופעה הזאת נקראת השראות עצמית.
נחשב את הכא"מ המושרה לפי e = −L·ΔIΔt.
הכא"מ המושרה גדל ככל ששינוי הזרם מהיר יותר, וככל שההשראות העצמית L של הסליל גדולה יותר.
נכיר את סמל הסליל ואת יחידת המידה של ההשראות, ההנרי, ונתאר את התנהגות הסליל במעגל זרם ישר.

השראות עצמית (Self-Inductance)

סליל: תיל מוליך המלופף ליפופים רבים, באוויר או סביב ליבת ברזל. כאשר עובר בו זרם נוצר בתוכו וסביבו שדה מגנטי. ככל שהזרם חזק יותר, השדה המגנטי חזק יותר.

סליל שעובר בו זרם I : קווי השדה המגנטי עוברים בתוך הסליל ונסגרים מחוצה לו

סמל הסליל בתרשימים חשמליים

כל עוד הזרם בסליל קבוע, השדה המגנטי נשאר קבוע, ולא קורה שום דבר מיוחד. אבל כאשר הזרם משתנה, משתנה איתו השדה המגנטי, ושדה מגנטי משתנה יוצר מתח בליפופי הסליל. למתח הזה קוראים כא"מ מושרה ומסמנים אותו באות e.

השראות עצמית: התופעה שבה שינוי הזרם בסליל יוצר כא"מ מושרה בסליל עצמו. גם הגודל שמראה את עוצמת התופעה הזאת בסליל מסוים נקרא ההשראות העצמית של הסליל (או בקיצור: השראות). מסמנים אותו באות L, ויחידת המידה שלו היא ההנרי [H].

כיוון הכא"מ המושרה הוא תמיד הכיוון שמתנגד לשינוי שגרם לו. הכלל הזה נקרא חוק לנץ:

הזרם גדל: הכא"מ המושרה מתנגד לגידולו, והסליל מתנהג כצרכן

הזרם קטן: הכא"מ המושרה מנסה לשמור עליו, והסליל מתנהג כמקור

כאשר מנסים להגדיל את הזרם, הכא"מ המושרה פועל נגד המקור ומעכב את גידול הזרם.
כאשר מנסים להקטין את הזרם, הכא"מ המושרה פועל בכיוון הזרם ומעכב את ירידתו.
התוצאה: הזרם בסליל אינו יכול להשתנות בקפיצה. הוא זקוק לזמן כדי לגדול או לקטון.

ההשראות העצמית L תלויה במבנה הסליל בלבד, ולא בזרם או במתח: היא גדלה ככל שמספר הליפופים גדול יותר ושטח החתך של הסליל גדול יותר, וליבת ברזל בתוך הסליל מגדילה אותה פי מאות בהשוואה לסליל אוויר. ההנרי הוא יחידה גדולה, ולכן משתמשים הרבה במילי-הנרי 1 mH = 10⁻³ H ובמיקרו-הנרי 1 µH = 10⁻⁶ H.

ביטוי הכא"מ המושרה בסליל (Induced EMF)

גודל הכא"מ המושרה תלוי בשני גורמים: במהירות שבה משתנה הזרם בסליל, ובהשראות העצמית של הסליל.

הכא"מ המושרה בסליל

e = −L·ΔIΔt

סימן	משמעות	יחידת מידה
e	הכא"מ המושרה בין הדקי הסליל	[V]
L	ההשראות העצמית של הסליל	[H]
ΔI	השינוי בזרם: הזרם בסוף פחות הזרם בהתחלה, ΔI = I₂ − I₁	[A]
Δt	הזמן שבו התרחש השינוי	[s]

א. שינוי הזרם בסליל:

היחס ΔIΔt הוא קצב שינוי הזרם, ויחידתו אמפר לשנייה [A/s]. ככל שהזרם משתנה מהר יותר, הכא"מ המושרה גדול יותר.
מה שקובע את הכא"מ הוא השינוי בזרם ולא גודלו: זרם קבוע, גם אם הוא גדול מאוד, אינו יוצר כא"מ מושרה, כי ΔI = 0.
סימן המינוס מבטא את חוק לנץ: כאשר הזרם גדל (ΔI חיובי), e שלילי, כלומר מנוגד לכיוון הזרם. כאשר הזרם קטן (ΔI שלילי), e חיובי, כלומר בכיוון הזרם.

ב. ההשראות העצמית של הסליל:

הכא"מ המושרה נמצא ביחס ישר ל-L : באותו קצב שינוי של הזרם, סליל שההשראות שלו גדולה פי שניים יוצר כא"מ גדול פי שניים.
מן הנוסחה מקבלים את הגדרת ההנרי: ההשראות של סליל היא 1 H אם נוצר בו כא"מ של 1 V כאשר הזרם בו משתנה בקצב של 1 A/s.

דוגמה 11.1

בסליל שההשראות העצמית שלו L = 0.5 H הזרם עולה מאפס ל-2 A. נחשב את הכא"מ המושרה בכל מקרה:
א. העלייה נמשכת 0.1 s.
ב. העלייה נמשכת 0.01 s.
ג. מחליפים את הסליל בסליל שההשראות שלו 1 H, והעלייה נמשכת 0.1 s.

פתרון:

בשלושת המקרים השינוי בזרם הוא ΔI = I₂ − I₁ = 2 − 0 = 2 A.

א. נציב בנוסחה:

e = −L·ΔIΔt

e = −0.5·20.1 = −0.5·20 = −10 V

ב. אותו שינוי מתרחש עכשיו בזמן קצר פי עשרה:

e = −0.5·20.01 = −0.5·200 = −100 V

ג. אותו קצב שינוי כמו בסעיף א, אבל ההשראות גדולה פי שניים:

e = −1·20.1 = −20 V

הסימן השלילי פירושו שהכא"מ המושרה מתנגד לגידול הזרם. רואים שגודלו גדל פי עשרה כאשר זמן השינוי התקצר פי עשרה, וגדל פי שניים כאשר ההשראות גדלה פי שניים.

e = −10 V , e = −100 V , e = −20 V

דוגמה 11.2

הגרף העליון מציג את הזרם בסליל שההשראות העצמית שלו L = 40 mH כפונקציה של הזמן. נחשב את הכא"מ המושרה בכל קטע זמן, ונסרטט אותו כפונקציה של הזמן.

פתרון:

הקטע הראשון, מ-0 עד 6 ms : הזרם עולה מ-0 ל-3 A.

ΔIΔt = 3 − 06·10⁻³ = 500 A/s

e = −L·ΔIΔt = −40·10⁻³ · 500 = −20 V

הקטע השני, מ-6 ms עד 10 ms : הזרם קבוע, ΔI = 0, ולכן e = 0.

הקטע השלישי, מ-10 ms עד 12 ms : הזרם יורד מ-3 A ל-0. השינוי שלילי:

ΔIΔt = 0 − 32·10⁻³ = −1500 A/s

e = −40·10⁻³ · (−1500) = +60 V

הגרף התחתון מציג את התוצאה. הירידה מהירה מן העלייה פי שלושה, ולכן גודל הכא"מ בקטע השלישי גדול פי שלושה, וסימנו הפוך.

e = −20 V , e = 0 , e = +60 V

שאלה 11.1: בסליל שההשראות העצמית שלו 0.2 H הזרם יורד מ-5 A ל-1 A בתוך 20 ms.
א. מהו קצב שינוי הזרם?
ב. מהו הכא"מ המושרה?
ג. האם הוא פועל בכיוון הזרם או נגדו?

שאלה 11.2: כאשר הזרם בסליל משתנה בקצב של 300 A/s נוצר בו כא"מ מושרה של 12 V. מהי ההשראות העצמית של הסליל?

המשרן (The Inductor)

סליל שמשמש רכיב במעגל חשמלי נקרא גם משרן. התכונה שמאפיינת אותו היא ההשראות העצמית שלו L, ויחידת המידה שלה היא ההנרי [H]. לסליל אידיאלי אין התנגדות. לסליל אמיתי יש גם התנגדות קטנה r, התנגדות התיל של הליפופים, ומסרטטים אותה בטור לסליל.

המשרן במעגל זרם ישר:

סליל ונגד בטור, המחוברים למקור מתח ישר דרך מפסק

הזרם אחרי סגירת המפסק: עולה בהדרגה עד I = ER

ברגע סגירת המפסק: הזרם היה אפס, והוא אינו יכול לקפוץ, ולכן i = 0 והמתח על הנגד אפס. כל מתח המקור נופל על הסליל, v_L = E. ברגע הזה הסליל מתנהג כמו נתק.
אחרי הסגירה (מצב המעבר): הזרם גדל בהדרגה, כי הכא"מ המושרה מעכב את גידולו. ככל שהזרם מתקרב לערכו הסופי, עלייתו מאיטה.
במצב המתמיד: הזרם קבוע, ולכן אין כא"מ מושרה, v_L = 0. הסליל האידיאלי מתנהג כמו תיל מוליך (קצר), והזרם הוא I = ER, כאילו הסליל אינו קיים.
האנרגיה: בזמן עליית הזרם הסליל לוקח אנרגיה מן המקור ואוגר אותה בשדה המגנטי שלו. כאשר הזרם יורד, הסליל מחזיר את האנרגיה הזאת אל המעגל.

דוגמה 11.3

במעגל שבסרטוט E = 12 V ו-R = 60 Ω.
א. מהו הזרם ומהו המתח על הסליל ברגע סגירת המפסק?
ב. מהו הזרם ומהו המתח על הסליל במצב המתמיד, אם הסליל אידיאלי?
ג. נחשב את הזרם במצב המתמיד ואת המתח בין הדקי הסליל, אם התנגדות התיל של הסליל היא r = 20 Ω.

פתרון:

א. הזרם בסליל אינו קופץ. ברגע הסגירה i = 0, ולכן לא נופל מתח על הנגד, וכל מתח המקור נופל על הסליל: v_L = E = 12 V.

ב. במצב המתמיד הזרם קבוע והסליל האידיאלי הוא כמו תיל מוליך, V_L = 0:

I = ER = 1260 = 0.2 A

ג. סליל אמיתי במצב המתמיד מתנהג כמו נגד r בלבד. הנגדים R ו-r מחוברים בטור:

I = ER + r = 1260 + 20 = 0.15 A

V_L = I·r = 0.15 · 20 = 3 V

I = 0.2 A , I = 0.15 A

ניתוק מעגל עם משרן:

כאשר פותחים את המפסק במעגל שיש בו סליל שעובר בו זרם, המפסק מנסה לעצור את הזרם בזמן קצר מאוד. קצב שינוי הזרם גדול מאוד, ולכן נוצר בסליל כא"מ מושרה גדול. למשל: אם ההשראות של הסליל שבדוגמה הקודמת היא L = 2 H, והזרם ירד מ-0.2 A לאפס בתוך 1 ms :

e = −L·ΔIΔt = −2·0 − 0.21·10⁻³ = +400 V

אזהרה: במעגל שהמקור שלו הוא 12 V בלבד נוצר מתח של 400 V. מתח כזה גורם לניצוץ בין מגעי המפסק, ועלול להרוס רכיבים במעגל. לכן אין לנתק מעגל שיש בו סליל גדול בלי אמצעי הגנה מתאים.

השוואה בין קבל למשרן:

	הקבל	הסליל
התכונה המאפיינת ויחידתה	הקיבול C, בפאראד [F]	ההשראות העצמית L, בהנרי [H]
היכן נאגרת האנרגיה	בשדה החשמלי שבין הלוחות	בשדה המגנטי של הסליל
הגודל שאינו יכול לקפוץ	המתח על הקבל	הזרם בסליל
בזרם ישר, במצב המתמיד	כמו נתק: לא עובר זרם	כמו תיל מוליך: לא נופל עליו מתח

▶ניסוי חי — מעבדת הסלילנשנה את L, את R ואת מתח המקור, נסגור את המפסק, ונראה את עקומת הזרם ואת עקומת המתח על הסליל מסורטטות בזמן אמת.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/circuits/coil

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/coil

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
הכא"מ המושרה בסליל	e = −L·ΔIΔt
השינוי בזרם	ΔI = I₂ − I₁
הזרם במצב המתמיד, סליל אידיאלי	I = ER
הזרם במצב המתמיד, סליל שהתנגדותו r	I = ER + r

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
סליל	Coil	الملف
משרן	Inductor	الملف (المِحَثّ)
השראות עצמית	Self-inductance	الحث الذاتي
הנרי	Henry	هنري
שדה מגנטי	Magnetic field	المجال المغناطيسي
כא"מ מושרה	Induced EMF	القوة الدافعة المستحثة
קצב שינוי הזרם	Rate of change of current	وتيرة تغيّر التيار
חוק לנץ	Lenz's law	قانون لينز
מצב מעבר	Transient state	الحالة العابرة
מצב מתמיד	Steady state	الحالة المستقرة

שאלות לתרגול:

בסליל עובר זרם. באילו מן המקרים הבאים נוצר בסליל כא"מ מושרה?
א. הזרם קבוע, 5 A.
ב. הזרם עולה מ-1 A ל-2 A.
ג. הזרם יורד מ-2 A לאפס.
ד. בשני המקרים שבהם נוצר כא"מ, האם הוא פועל בכיוון הזרם או נגדו?

תשובות: א. לא נוצר. ב. נוצר. ג. נוצר. ד. במקרה ב נגד הזרם, ובמקרה ג בכיוון הזרם

בסליל שההשראות העצמית שלו 0.3 H הזרם עולה מ-1 A ל-4 A בתוך 0.06 s. נחשב:
א. את קצב שינוי הזרם.
ב. את הכא"מ המושרה.

תשובות: א. ΔIΔt = 50 A/s. ב. e = −15 V

בסליל שההשראות העצמית שלו 80 mH הזרם יורד מ-6 A לאפס בתוך 4 ms. מהו הכא"מ המושרה?

תשובות: e = +120 V

כאשר הזרם בסליל משתנה ב-3 A בתוך 25 ms נוצר בו כא"מ מושרה של 24 V. מהי ההשראות העצמית של הסליל?

תשובות: L = 0.2 H

הגרף מציג את הזרם בסליל שההשראות העצמית שלו L = 100 mH כפונקציה של הזמן.
א. נחשב את הכא"מ המושרה בזמן עליית הזרם.
ב. נחשב את הכא"מ המושרה בזמן ירידתו.
ג. נסרטט את e כפונקציה של הזמן.

תשובות: א. e = −50 V. ב. e = +25 V

במעגל שבסרטוט סליל אמיתי, שהתנגדות התיל שלו r.
א. מהו הזרם ברגע סגירת המפסק?
ב. נחשב את הזרם במצב המתמיד.
ג. נחשב במצב המתמיד את המתח על הנגד R ואת המתח בין הדקי הסליל.

תשובות: א. i = 0. ב. I = 0.2 A. ג. V_R = 20 V, V_L = 4 V

נסביר במילים שלנו:
א. מדוע הזרם בסליל אינו יכול להשתנות בקפיצה?
ב. מדוע מופיע ניצוץ בין מגעי המפסק כאשר מנתקים מעגל שיש בו סליל?

תשובות: א. כי כל שינוי בזרם יוצר כא"מ מושרה שמתנגד לו. ב. כי הזרם יורד בזמן קצר מאוד, ולכן ΔIΔt גדול מאוד והכא"מ המושרה גדול מאוד

תשובות סופיות לשאלות הפרק

11.1 א. ΔIΔt = −200 A/s. ב. e = +40 V. ג. בכיוון הזרם: הוא מנסה למנוע את ירידתו

11.2 L = 12300 = 0.04 H = 40 mH

שאלות בגרות לפרק 11

אין שאלות בגרות עצמאיות לפרק הזה.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 14 — נוסחאון הספר.