פרק 12

זרם חילופין ומושגים בסיסיים באותות מחזוריים

כיתה י׳ · 3 שעות לימוד

עד כה עסקנו במקורות מתח ישר, שבהם המתח נשאר קבוע בגודלו ובקוטביותו. רשת החשמל שמזינה את בתינו מספקת מתח חילופין: גודלו משתנה בכל רגע וקוטביותו מתהפכת באופן סדיר, בצורת גל סינוס. בפרק זה נבין מדוע נבחר זרם החילופין לרשת החשמל, ונכיר את הגדלים שמתארים את האות הסינוסואידלי.

בסוף הפרק הזה נדע:

שלזרם החילופין יש יתרונות על פני הזרם הישר בייצור האנרגיה החשמלית ובהולכתה.
שהאות הסינוסואידלי הוא אות מחזורי, ושאת קצב החזרה שלו מתארים בזמן המחזור T, בתדר f ובתדר הזוויתי ω.
לכתוב את האות בצורה v(t) = V_m·sin(ωt + φ), ולקבוע את המופע ואת הפרש המופע בין שני אותות.
להבחין בין ערך השיא V_m, ערך השיא-לשיא V_pp והערך האפקטיבי V_eff, ולחשב כל אחד מהם מן האחר.

יתרונות השימוש בזרם חילופין על-פני זרם ישר (Advantages of AC over DC)

זרם ישר וזרם חילופין: זרם ישר (DC) זורם בכיוון אחד קבוע, כמו זרם של סוללה. זרם חילופין (AC) משנה את גודלו ללא הרף והופך את כיוונו באופן מחזורי. המקור שמניע אותו הוא מקור מתח חילופין.

מתח ישר: קבוע בגודלו ובקוטביותו

מתח חילופין: גודלו משתנה וקוטביותו מתהפכת

רשתות החשמל בעולם פועלות בזרם חילופין, מכמה סיבות:

שינוי המתח בקלות. השנאי הוא התקן פשוט, בלי חלקים נעים, שמעלה את מתח החילופין או מוריד אותו. השנאי פועל בזרם חילופין בלבד.
הולכת אנרגיה בהפסדים קטנים. ההספק הוא P = V·I, ולכן אפשר להעביר אותו הספק במתח גבוה ובזרם קטן. ההפסד בהתנגדות קו ההולכה הוא I²·R, וככל שהזרם קטן יותר ההפסד קטן בהרבה. לכן מעלים את המתח לפני ההולכה ומורידים אותו סמוך לצרכן.
ייצור פשוט. המחולל בתחנת הכוח מסובב סליל בתוך שדה מגנטי, והמתח שנוצר בסליל מסתובב הוא מתח חילופין מטבעו.
המרה קלה לזרם ישר. המכשירים האלקטרוניים זקוקים למתח ישר, ומקבלים אותו ממתח החילופין בעזרת מעגל יישור פשוט. ההמרה בכיוון ההפוך מסובכת יותר.
מנועים פשוטים. מנועי זרם חילופין פשוטים במבנה שלהם ודורשים מעט תחזוקה.

מתחנת הכוח אל הצרכן: מעלים את המתח לצורך ההולכה ומורידים אותו לצורך השימוש

הערה: גם לזרם הישר יש שימושים: סוללות, מעגלים אלקטרוניים ומחשבים פועלים כולם במתח ישר. לכן בכל מטען ובכל מכשיר אלקטרוני יש מעגל שממיר את מתח החילופין למתח ישר.

האות הסינוסואידלי כאות מחזורי (The Sinusoidal Signal)

אות מחזורי: אות (מתח או זרם) שחוזר על עצמו במדויק אחרי כל פרק זמן קבוע. החלק שחוזר על עצמו נקרא מחזור.

אות סינוסואידלי: אות מחזורי שערכו משתנה בזמן לפי פונקציית הסינוס sin: הוא עולה מאפס לערך שיא חיובי, חוזר לאפס, יורד לערך שיא שלילי, שב לאפס, וחוזר חלילה. המתח ברשת החשמל הוא אות סינוסואידלי.

אות סינוסואידלי: זמן המחזור T, ערך השיא V_m וערך השיא-לשיא V_pp

ערך רגעי: ערך האות ברגע מסוים t. מסמנים אותו באות קטנה: v למתח ו-i לזרם.

בחצי הראשון של המחזור הערך הרגעי חיובי, ובחצי השני הוא שלילי: הקוטביות התהפכה, והזרם זורם בכיוון ההפוך. יש אותות מחזוריים נוספים, כמו הגל הריבועי והגל המשולש, אבל האות הסינוסואידלי הוא החשוב ביותר: זו צורת מתח הרשת, וזה האות היחיד ששומר על צורתו במעגל שיש בו נגדים, סלילים וקבלים.

זמן מחזור, תדר ותדר זוויתי, גודל זווית ומופע (Period, Frequency, Angle and Phase)

זמן מחזור: הזמן הדרוש להשלמת מחזור שלם אחד. מסמנים אותו באות T ומודדים אותו בשניות [s].

תדר: מספר המחזורים השלמים שהאות משלים בשנייה אחת. מסמנים אותו באות f ומודדים אותו בהרץ [Hz]. הרץ אחד פירושו מחזור אחד בשנייה.

f = 1T

T = 1f

דוגמה 12.1

זמן המחזור של מתח רשת החשמל הוא 20 ms. נחשב את תדר הרשת.

פתרון:

נמיר את זמן המחזור לשניות: T = 20 ms = 20·10⁻³ s.

f = 1T = 120·10⁻³ = 50 Hz

כלומר מתח הרשת משלים 50 מחזורים שלמים בכל שנייה.

f = 50 Hz

שאלה 12.1: אות סינוסואידלי משלים 5 מחזורים שלמים במשך 2 ms. מהו זמן המחזור? ומהו התדר?

גודל זווית ותדר זוויתי:

פונקציית הסינוס פועלת על זווית, ולא על זמן. במחזור שלם אחד הזווית משתנה ב-360°. בחישובי זרם חילופין מודדים את הזווית גם ביחידת רדיאן [rad], ומחזור שלם שווה בה ל-2π rad, כלומר 180° = π rad:

הזווית במעלות	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
הזווית ברדיאנים	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π

תדר זוויתי: הזווית (ברדיאנים) שהאות עובר בשנייה אחת. מסמנים אותו באות ω ומודדים אותו ברדיאן לשנייה [rad/s].

תדר זוויתי

ω = 2πf

ω = 2πT

סימן	משמעות	יחידת מידה
ω	התדר הזוויתי	[rad/s]
f	התדר	[Hz]
T	זמן המחזור	[s]

ברשת החשמל, שהתדר שלה 50 Hz, מקבלים ω = 2π · 50 = 100π = 314.16 rad/s, ובדרך כלל מעגלים ל-314 rad/s. התדר f והתדר הזוויתי ω מתארים אותו דבר, כלומר את קצב החזרה של האות, אבל בשתי יחידות שונות.

שאלה 12.2: זמן המחזור של אות סינוסואידלי הוא 4 ms. מהו התדר שלו? ומהו התדר הזוויתי שלו?

מופע והפרש מופע:

האות הסינוסואידלי אינו מתחיל תמיד מאפס. ברגע t = 0, שממנו מתחילים למדוד את הזמן, האות יכול להימצא בכל נקודה במחזור שלו.

מופע / זווית מופע: הזווית שקובעת היכן נמצא האות בתוך המחזור שלו ברגע t = 0. מסמנים אותה באות φ ומודדים אותה במעלות.

φ = 0°: מתחיל מאפס

φ = +60°: מתחיל בערך חיובי

φ = −60°: מתחיל בערך שלילי

שלושה גדלים מספיקים כדי לתאר אות סינוסואידלי תיאור מלא: ערך השיא קובע את הגובה, התדר הזוויתי קובע את הקצב, והמופע קובע את נקודת ההתחלה:

הצגה מתמטית של האות הסינוסואידלי

v(t) = V_m·sin(ωt + φ)

i(t) = I_m·sin(ωt + φ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
v , i	הערך הרגעי של המתח ושל הזרם ברגע t	[V] , [A]
V_m , I_m	ערך השיא	[V] , [A]
ω	התדר הזוויתי	[rad/s]
φ	המופע	[°]

דוגמה 12.2

נתון המתח v(t) = 100·sin(314t + 30°) V.
א. נקבע את ערך השיא, את התדר ואת המופע.
ב. נחשב את הערך הרגעי ברגע t = 5 ms.

פתרון:

א. נשווה לצורה הכללית v(t) = V_m·sin(ωt + φ):

V_m = 100 V

ω = 314 rad/s

φ = 30°

f = ω2π = 3142π ≈ 50 Hz

ב. המכפלה ωt נותנת זווית ברדיאנים, ואילו המופע נתון במעלות. לכן נחשב את ωt ישירות במעלות:

ωt = 360° · f · t = 360° · 50 · 5·10⁻³ = 90°

v = 100 · sin(90° + 30°) = 100 · 0.866 = 86.6 V

v = 86.6 V

הפרש מופע: ההפרש בין המופעים של שני אותות בעלי אותו תדר: φ = φ₁ − φ₂. הוא מראה בכמה מעלות אחד האותות מקדים את האחר.

האות שמגיע לשיאו ראשון, כלומר בזמן מוקדם יותר, הוא האות המקדים, והאות האחר הוא האות המפגר. בסרטוט, השיא של האות המקדים נמצא משמאל. אם φ = 0° שני האותות נמצאים באותו מופע.

האות v מגיע לשיאו לפני האות i: v מקדים את i בזווית φ, או: i מפגר אחרי v בזווית φ

מחזור שלם, כלומר זמן שגודלו T, מתאים לזווית של 360°. לכן, אם אחד האותות מוזז ביחס לאחר בזמן Δt, הפרש המופע ביניהם הוא:

φ = ΔtT · 360°

דוגמה 12.3

במעגל שמחובר לרשת החשמל (f = 50 Hz) הזרם מגיע לשיאו 2.5 ms אחרי שהמתח מגיע לשיאו. נחשב את הפרש המופע בין המתח לזרם.

פתרון:

זמן המחזור: T = 1f = 150 = 20 ms.

φ = ΔtT · 360° = 2.520 · 360° = 45°

הזרם מגיע לשיאו אחרי המתח, ולכן הזרם מפגר אחרי המתח בזווית 45°.

φ = 45°

שאלה 12.3: נתונים v(t) = 20·sin(314t + 50°) V ו-i(t) = 2·sin(314t − 20°) A. מהו הפרש המופע בין המתח לזרם? ומי מהם מקדים?

ערך-שיא, ערך שיא-לשיא וערך אפקטיבי (Peak, Peak-to-Peak and RMS Values)

ערך-שיא: הערך הגדול ביותר שהאות מגיע אליו, כלומר גובה השיא מעל ציר הזמן. מסמנים אותו V_m למתח ו-I_m לזרם. הוא נקרא גם משרעת (אמפליטודה).

ערך שיא-לשיא: ההפרש בין השיא החיובי לשיא השלילי של האות. מסמנים אותו V_pp. באות סינוסואידלי: V_pp = 2·V_m.

הממוצע החשבוני של אות סינוסואידלי במשך מחזור שלם שווה לאפס, כי החצי החיובי מבטל את החצי השלילי. ובכל זאת זרם החילופין מחמם את הנגד בשני חצאי המחזור. לכן משווים את זרם החילופין לזרם ישר לפי החום שהוא מפיק:

ערך אפקטיבי / יעיל: הערך האפקטיבי של זרם חילופין הוא ערכו של הזרם הישר שמפיק באותו נגד ובאותו פרק זמן אותה כמות חום. מסמנים אותו V_eff ו-I_eff, ובאנגלית הוא נקרא RMS.

הערך האפקטיבי של אות סינוסואידלי

V_eff = V_m2 = 0.707·V_m

I_eff = I_m2 = 0.707·I_m

סימן	משמעות	יחידת מידה
V_eff , I_eff	הערך האפקטיבי של המתח ושל הזרם	[V] , [A]
V_m , I_m	ערך השיא של המתח ושל הזרם	[V] , [A]

מכשירי המדידה (מד-המתח ומד-הזרם) מציגים בזרם חילופין את הערך האפקטיבי.
הערכים שכתובים על מכשירי החשמל, כמו 230 V, הם ערכים אפקטיביים.
כשכותבים V או I בזרם חילופין בלי שום סימון נוסף, הכוונה לערך האפקטיבי.
הקשר V_eff = V_m2 נכון לאות סינוסואידלי בלבד.

דוגמה 12.4

הערך האפקטיבי של מתח רשת החשמל הוא 230 V. נחשב:
א. את ערך השיא של המתח.
ב. את ערך השיא-לשיא.

פתרון:

א. נחלץ את ערך השיא מנוסחת הערך האפקטיבי:

V_m = 2·V_eff = 2 · 230 = 325.27 V

ב. ערך השיא-לשיא:

V_pp = 2·V_m = 2 · 325.27 = 650.54 V

נשים לב שהמתח בשקע מגיע בכל מחזור ל-325 V בערך, אף שמד-המתח מציג 230 V.

V_m = 325.27 V

קריאה ממסך משקף התנודות. משקף התנודות (אוסצילוסקופ) מסרטט את המתח כפונקציה של הזמן על מסך שמחולק למשבצות. הבורר Volt/div קובע כמה וולט שווה כל משבצת אנכית, והבורר Time/div קובע כמה זמן שווה כל משבצת אופקית. סופרים את המשבצות מן השיא השלילי עד השיא החיובי ומקבלים את V_pp, וסופרים את המשבצות של מחזור שלם ומקבלים את T.

דוגמה 12.5

על מסך משקף התנודות מופיע האות המסורטט. הבוררים מכוונים ל-5 V/div ול-5 ms/div. נחשב: את ערך השיא-לשיא, את ערך השיא, את הערך האפקטיבי, את זמן המחזור ואת התדר.

פתרון:

מן השיא השלילי עד השיא החיובי יש 6 משבצות, ואורך המחזור השלם הוא 4 משבצות:

V_pp = 6 · 5 = 30 V

V_m = V_pp2 = 302 = 15 V

V_eff = V_m2 = 152 = 10.61 V

T = 4 · 5 = 20 ms

f = 1T = 120·10⁻³ = 50 Hz

V_eff = 10.61 V

שאלה 12.4: ערך השיא-לשיא של מתח סינוסואידלי הוא 34 V. מהו ערך השיא שלו? ומהו הערך האפקטיבי שלו?

▶ניסוי חי — מעבדת האות הסינוסואידלי ומשקף התנודותמשנים את ערך השיא, את התדר ואת המופע ורואים את הגל משתנה, ומתרגלים קריאה של Volt/div ושל Time/div מן המסך.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
תדר וזמן מחזור	f = 1T
תדר זוויתי	ω = 2πf = 2πT
הצגה מתמטית של האות	v(t) = V_m·sin(ωt + φ)
הזווית במעלות	ωt = 360° · f · t
הפרש מופע	φ = φ₁ − φ₂
הפרש מופע מתוך הפרש זמן	φ = ΔtT · 360°
ערך שיא-לשיא	V_pp = 2·V_m
ערך אפקטיבי	V_eff = V_m2

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
זרם חילופין	Alternating current (AC)	التيار المتناوب (المتردد)
זרם ישר	Direct current (DC)	التيار المستمر
שנאי	Transformer	المحوّل
אות מחזורי	Periodic signal	إشارة دورية
אות סינוסואידלי	Sinusoidal signal	إشارة جيبية
מחזור	Cycle	دورة
זמן מחזור	Period	زمن الدورة
תדר	Frequency	التردد
תדר זוויתי	Angular frequency	التردد الزاوي
ערך רגעי	Instantaneous value	القيمة اللحظية
ערך-שיא / משרעת	Peak value / Amplitude	القيمة العظمى (المطال)
ערך שיא-לשיא	Peak-to-peak	من القمة إلى القمة
ערך אפקטיבי / יעיל	Effective (RMS) value	القيمة الفعالة
מופע / זווית מופע	Phase angle	زاوية الطور
הפרש מופע	Phase difference	فرق الطور
מקדים · מפגר	Leads · Lags	يتقدم · يتأخر
אוסצילוסקופ	Oscilloscope	راسم الإشارة

שאלות לתרגול:

ציינו שלושה יתרונות של זרם החילופין על פני הזרם הישר, והסבירו מדוע מוליכים את האנרגיה החשמלית במתח גבוה.

תשובות: שינוי המתח בעזרת שנאי, הולכה בהפסדים קטנים, ייצור פשוט. במתח גבוה הזרם קטן, ולכן קטן ההפסד I²·R בקו

זמן המחזור של אות סינוסואידלי הוא 2.5 ms. חשבו:
א. את התדר.
ב. את התדר הזוויתי.

תשובות: א. f = 400 Hz. ב. ω = 2513.3 rad/s

התדר של אות סינוסואידלי הוא 400 Hz. חשבו:
א. את זמן המחזור.
ב. את התדר הזוויתי.
ג. את מספר המחזורים שהאות משלים במשך 0.1 s.

תשובות: א. T = 2.5 ms. ב. ω = 2513.3 rad/s. ג. 40 מחזורים

המירו:
א. 120° לרדיאנים.
ב. π5 rad למעלות.

תשובות: א. 2π3 = 2.094 rad. ב. 36°

ערך השיא של זרם סינוסואידלי הוא 8.5 A. חשבו:
א. את הערך האפקטיבי.
ב. את ערך השיא-לשיא.

תשובות: א. I_eff = 6.01 A. ב. I_pp = 17 A

שנאי מספק מתח סינוסואידלי שערכו האפקטיבי 12 V. חשבו:
א. את ערך השיא.
ב. את ערך השיא-לשיא.

תשובות: א. V_m = 16.97 V. ב. V_pp = 33.94 V

על קבל כתוב שהמתח המרבי שהוא עומד בו הוא 300 V. האם אפשר לחבר אותו ישירות לרשת החשמל, שהערך האפקטיבי של המתח שלה 230 V? נמקו.

תשובות: לא, כי ערך השיא של מתח הרשת הוא 325 V, והוא גדול מ-300 V

נתון המתח v(t) = 170·sin(377t + 60°) V. קבעו:
א. את ערך השיא ואת הערך האפקטיבי.
ב. את התדר ואת זמן המחזור.
ג. את המופע.

תשובות: א. V_m = 170 V, V_eff = 120.2 V. ב. f = 60 Hz, T = 16.67 ms. ג. φ = 60°

כתבו את ההצגה המתמטית של זרם סינוסואידלי שערכו האפקטיבי 5 A, התדר שלו 50 Hz והמופע שלו −30°.

תשובות: i(t) = 7.07·sin(314t − 30°) A

10.

נתון הזרם i(t) = 3·sin(314t + 18°) A. חשבו את הערך הרגעי של הזרם ברגע t = 4 ms.

תשובות: ωt = 72°, i = 3 A

11.

במעגל שהתדר בו 1 kHz הזרם מפגר אחרי המתח בזמן של 0.125 ms. חשבו את הפרש המופע ביניהם.

תשובות: φ = 45°

12.

על מסך משקף התנודות מופיע האות המסורטט. הבוררים מכוונים ל-10 V/div ול-1 ms/div. חשבו:
א. את ערך השיא ואת הערך האפקטיבי.
ב. את זמן המחזור ואת התדר.

תשובות: א. V_m = 25 V, V_eff = 17.68 V. ב. T = 5 ms, f = 200 Hz

תשובות סופיות לשאלות הפרק

12.1 T = 0.4 ms, f = 2.5 kHz

12.2 f = 250 Hz, ω = 1570.8 rad/s

12.3 φ = 70°, המתח מקדים את הזרם

12.4 V_m = 17 V, V_eff = 12.02 V

שאלות בגרות לפרק 12

אין שאלות בגרות עצמאיות לפרק הזה.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 14 — נוסחאון הספר.