الفصل 9

طرق حل الدوائر الكهربائية

שיטות לפתרון מעגלים

الصف العاشر · 9 ساعات تعليمية

حتى الآن حللنا دوائر فيها مصدر واحد: جمعنا المقاومات على التوالي وعلى التوازي حتى حصلنا على مقاومة مكافئة واحدة. لكن في دائرة فيها مصدران في فرعين مختلفين لا تنفع هذه الطريقة، لأن المقاومات فيها ليست موصولة لا على التوالي ولا على التوازي. في هذا الفصل نتعلم طريقتين منظّمتين: طريقة تيارات الحلقات، التي تعطينا التيار في كل فروع الدائرة، ونظرية ثيفنين، التي تستبدل دائرة كاملة بمصدر واحد ومقاومة واحدة عندما يهمّنا عنصر واحد فقط.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نُعرّف تيار الحلقة ونجد بواسطته التيار في كل فرع من فروع الدائرة.
نكتب معادلات الجهود في الحلقات حسب قانون كيرخهوف للجهد، ونحلها بطريقة التعويض وبطريقة الحذف.
نكتب المعادلات مباشرة بالصيغة القياسية R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁.
كل دائرة فيها مصادر ومقاومات يمكن استبدالها، بالنسبة لطرفين فيها، بمصدر جهد مكافئ E_Th ومقاومة مكافئة R_Th.
نجد E_Th و R_Th لدائرة معطاة، ونحسب بواسطتهما التيار في الحمل والجهد عليه.
الطريقتان تعطيان دائما نفس النتائج، ونفحص الحل بقانون كيرخهوف للتيار أو بميزان القدرة.

تذكير: عُقدة، فرع وحلقة – צומת, ענף וחוג:

العُقدة (צומת): نقطة تفرّع يلتقي فيها ثلاثة موصلات أو أكثر. في الرسم عُقدتان: A و B.
الفرع (ענף): مسار بين عُقدتين، يمر في جميع عناصره نفس التيار. في الرسم ثلاثة فروع.
الحلقة (חוג): مسار مغلق في الدائرة. الحلقة المستقلة هي «نافذة» في الرسم لا توجد في داخلها فروع. في الرسم حلقتان مستقلتان.

دائرة فيها عُقدتان، ثلاثة فروع وحلقتان مستقلتان

لو حللنا هذه الدائرة بقوانين كيرخهوف مباشرة، لاحتجنا إلى ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل، مجهول لكل فرع. طريقة تيارات الحلقات تقلل عدد المعادلات: في هذه الدائرة نحتاج إلى معادلتين فقط.

שיטת זרמי החוגים – طريقة تيارات الحلقات (Mesh Current Method)

مفهوم تيار الحلقة – המושג זרם חוג:

تيار الحلقة (זרם חוג): هو تيار نفترض أنه يدور في حلقة مستقلة كاملة، ويمر في جميع عناصرها. نحدد لكل حلقة مستقلة تيار حلقة واحدا، ونرمز لتيارات الحلقات I₁ ، I₂ ، ...

نختار اتجاه تيار الحلقة كما نريد. من المريح أن نختار جميع التيارات في اتجاه عقارب الساعة.
في فرع ينتمي إلى حلقة واحدة فقط، تيار الفرع يساوي تيار الحلقة. في الرسم: التيار في R₁ هو I₁ ، والتيار في R₂ هو I₂.
في فرع مشترك (ענף משותף) بين حلقتين يمر التياران معا. في الرسم يمر I₁ في R₃ إلى الأسفل ويمر I₂ فيها إلى الأعلى، ولذلك التيار في R₃ إلى الأسفل هو I₁ − I₂.

تيارا الحلقتين I₁ و I₂ ، كلاهما في اتجاه عقارب الساعة

ملاحظة: تيار الحلقة هو وسيلة حساب: المجاهيل هي تيارات الحلقات، وعددها أصغر من عدد الفروع. بعد أن نجدها نحسب منها تيارات الفروع الحقيقية. إذا حصلنا على تيار سالب، فمعنى ذلك أن اتجاهه الحقيقي معاكس للاتجاه الذي اخترناه.

معادلات الجهود في الحلقات وحلّها – קבלת משוואות המתחים בחוגים ופתרון המשוואות:

نكتب لكل حلقة مستقلة معادلة واحدة حسب قانون كيرخهوف للجهد: مجموع الجهود في مسار مغلق يساوي صفرا. مراحل الحل:

نحدد الحلقات المستقلة ونرسم لكل حلقة تيار حلقة في اتجاه عقارب الساعة.
ندور في كل حلقة باتجاه تيارها ونكتب قانون كيرخهوف للجهد: مصدر نمر فيه من قطبه السالب إلى قطبه الموجب يُكتب بإشارة موجبة، ومصدر نمر فيه من الموجب إلى السالب يُكتب بإشارة سالبة. على كل مقاومة يهبط جهد يساوي المقاومة مضروبة في التيار المار فيها باتجاه دوراننا.
نرتّب المعادلات ونحلها، فنحصل على تيارات الحلقات.
نحسب تيارات الفروع، ثم الجهود والقدرات حسب المطلوب.
نفحص الحل: قانون كيرخهوف للتيار في عُقدة، أو ميزان القدرة.

مثال 9.1

في الدائرة المبيّنة في الرسم مصدران وثلاث مقاومات. نجد بطريقة تيارات الحلقات التيار في كل فرع، والجهد V_AB.

الحل:

المرحلة 1. في الدائرة حلقتان مستقلتان. نحدد التيار I₁ في الحلقة اليسرى والتيار I₂ في الحلقة اليمنى، كلاهما في اتجاه عقارب الساعة.

المرحلة 2، الحلقة اليسرى. ندور باتجاه I₁ ابتداء من العُقدة B: نمر في المصدر E₁ من السالب إلى الموجب (+E₁)، ثم يهبط الجهد على R₁. في المقاومة المشتركة R₃ التيار باتجاه دوراننا هو I₁ − I₂:

E₁ − R₁·I₁ − R₃·(I₁ − I₂) = 0

28 − 4·I₁ − 8·(I₁ − I₂) = 0

12·I₁ − 8·I₂ = 28 (1)

الحلقة اليمنى. ندور باتجاه I₂ ابتداء من العُقدة A: يهبط الجهد على R₂ ، ثم نمر في المصدر E₂ من الموجب إلى السالب (−E₂). في R₃ التيار باتجاه دوراننا هو I₂ − I₁:

−R₂·I₂ − E₂ − R₃·(I₂ − I₁) = 0

−2·I₂ − 14 − 8·(I₂ − I₁) = 0

−8·I₁ + 10·I₂ = −14 (2)

المرحلة 3. نحل المعادلتين بطريقة التعويض. أولا نبسّط: نقسم المعادلة (1) على 4 والمعادلة (2) على 2:

3·I₁ − 2·I₂ = 7

−4·I₁ + 5·I₂ = −7

من المعادلة الأولى نعبّر عن I₁ بواسطة I₂:

I₁ = 7 + 2·I₂3

نعوّض هذا التعبير في المعادلة الثانية، ونضرب الطرفين في 3:

−4·7 + 2·I₂3 + 5·I₂ = −7

−28 − 8·I₂ + 15·I₂ = −21

7·I₂ = 7

I₂ = 1 A

I₁ = 7 + 2 · 13 = 3 A

المرحلة 4. تيارات الفروع:

I_R1 = I₁ = 3 A

I_R2 = I₂ = 1 A

I_R3 = I₁ − I₂ = 3 − 1 = 2 A

التياران موجبان، أي أن اتجاههما الحقيقي كما اخترنا: التيار في R₁ يتجه إلى العُقدة A ، التيار في R₂ يخرج من العُقدة A إلى اليمين، والتيار في R₃ يتجه من A إلى B.

الجهد بين العُقدتين:

V_AB = I_R3·R₃ = 2 · 8 = 16 V

المرحلة 5، فحص. نحسب V_AB مرة أخرى عبر الفرع الأيسر، ويجب أن نحصل على نفس النتيجة:

V_AB = E₁ − R₁·I₁ = 28 − 4 · 3 = 16 V

I₁ = 3 A , I₂ = 1 A , I_R3 = 2 A

ميزان القدرة: في المثال السابق يدخل التيار إلى المصدر E₂ من قطبه الموجب. مصدر كهذا لا يزوّد قدرة بل يستهلكها، كمُركِّم في وضع الشحن. ميزان القدرة: المصدر E₁ يزوّد 84 W ، المقاومات الثلاث تبدد معا 70 W ، والمصدر E₂ يستهلك 14 W. فعلا: 84 = 70 + 14.

حل معادلتين بمجهولين – פתרון שתי משוואות בשני נעלמים:

في المثال السابق حللنا المعادلتين بطريقة التعويض (שיטת ההצבה): عبّرنا عن مجهول واحد بواسطة الآخر وعوّضنا في المعادلة الثانية. طريقة ثانية، مريحة أكثر في معظم الحالات، هي طريقة الحذف (שיטת השוואת המקדמים): نضرب المعادلتين في أعداد مناسبة حتى يتساوى معاملا أحد المجهولين، ثم نجمع المعادلتين أو نطرحهما، فيُحذف هذا المجهول وتبقى معادلة واحدة بمجهول واحد.

مثال 9.2

في الدائرة المبيّنة في الرسم نجد تيارات الحلقات بطريقة الحذف، ثم نحسب التيار في كل فرع.

الحل:

نكتب قانون كيرخهوف للجهد في كل حلقة، كما في المثال السابق:

26 − 4·I₁ − 2·(I₁ − I₂) = 0

−3·I₂ − 13 − 2·(I₂ − I₁) = 0

نرتّب المعادلتين:

6·I₁ − 2·I₂ = 26 (1)

−2·I₁ + 5·I₂ = −13 (2)

نريد حذف المجهول I₂. نضرب المعادلة (1) في 5 والمعادلة (2) في 2 ، فيصبح معاملا I₂ متساويين في المقدار:

30·I₁ − 10·I₂ = 130

−4·I₁ + 10·I₂ = −26

نجمع المعادلتين، فيُحذف I₂:

26·I₁ = 104

I₁ = 10426 = 4 A

نعوّض I₁ = 4 في المعادلة (1) ونجد I₂:

6 · 4 − 2·I₂ = 26

−2·I₂ = 2

I₂ = −1 A

التيار I₂ سالب: الاتجاه الحقيقي للتيار في الحلقة اليمنى معاكس لاتجاه عقارب الساعة. أي أن التيار في R₂ ، ومقداره 1 A ، يتجه إلى العُقدة A.

التيار في الفرع المشترك، من A إلى B (ننتبه للإشارة):

I_R3 = I₁ − I₂ = 4 − (−1) = 5 A

فحص حسب قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A: يدخل إليها 4 A من اليسار و 1 A من اليمين، ويخرج منها 5 A إلى الأسفل. 4 + 1 = 5.

I₁ = 4 A , I₂ = −1 A , I_R3 = 5 A

سؤال 9.1:

في الدائرة المبيّنة في الرسم نكتب معادلتي الحلقتين، نحلهما، ونجد التيار في كل مقاومة.

▶تجربة حية — تيارات الحلقات — دائرة بمصدريننغيّر جهد كل مصدر وقيمة كل مقاومة، ونرى المعادلتين، حلّهما واتجاه التيار في كل فرع.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_2sources_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_2sources_pro

الصيغة القياسية للمعادلات – הצורות הסטנדרטיות של המשוואות בשיטת זרמי החוגים:

إذا نظرنا إلى المعادلات المرتّبة في المثالين السابقين نلاحظ أن لها دائما نفس الشكل. لذلك لا حاجة للدوران في الحلقة في كل مرة: نكتب المعادلات مباشرة حسب الصيغة القياسية (הצורה הסטנדרטית). لدائرة فيها حلقتان:

الصيغة القياسية — حلقتان · הצורה הסטנדרטית

R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁

−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R₁₁	المقاومة الذاتية للحلقة 1: مجموع جميع المقاومات الموجودة في الحلقة. بنفس الطريقة R₂₂ للحلقة 2	[Ω]
R₁₂	المقاومة المشتركة: المقاومة الموجودة في الفرع المشترك بين الحلقتين. دائما R₂₁ = R₁₂	[Ω]
E₁₁	المجموع الجبري لمصادر الجهد في الحلقة 1. بنفس الطريقة E₂₂ للحلقة 2	[V]
I₁ , I₂	تيارا الحلقتين، كلاهما في اتجاه عقارب الساعة	[A]

إشارة المصدر: مصدر يدفع التيار باتجاه تيار الحلقة (تيار الحلقة يخرج من قطبه الموجب) يُكتب بإشارة موجبة، ومصدر يدفع بعكس اتجاه تيار الحلقة يُكتب بإشارة سالبة.
إشارة المقاومة المشتركة سالبة دائما، بشرط أن نختار جميع تيارات الحلقات في نفس اتجاه الدوران.
لدائرة فيها ثلاث حلقات نكتب ثلاث معادلات بنفس الطريقة. إذا لم يكن بين حلقتين فرع مشترك، فالمقاومة المشتركة بينهما صفر.

حل جاهز للمعادلتين · פתרון מוכן

D = R₁₁·R₂₂ − R₁₂²

I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂D

I₂ = E₂₂·R₁₁ + E₁₁·R₁₂D

الرمز	المعنى	وحدة القياس
D	مقدار مساعد (المحدِّد، דטרמיננטה)	[Ω²]

مثال 9.3

في الدائرة المبيّنة في الرسم القطب الموجب للمصدر E₂ متجه إلى الأسفل. نكتب المعادلتين مباشرة بالصيغة القياسية، ونجد تيارات الحلقات والتيار في R₃.

الحل:

المقاومة الذاتية لكل حلقة والمقاومة المشتركة:

R₁₁ = R₁ + R₃ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂₂ = R₂ + R₃ = 10 + 3 = 13 Ω

R₁₂ = R₃ = 3 Ω

مصادر الجهد: في الحلقة اليسرى يدفع E₁ باتجاه I₁. في الحلقة اليمنى يخرج I₂ من القطب الموجب للمصدر E₂ ، أي أن E₂ يدفع باتجاه I₂ أيضا:

E₁₁ = +E₁ = 24 V

E₂₂ = +E₂ = 8 V

المعادلتان:

5·I₁ − 3·I₂ = 24 (1)

−3·I₁ + 13·I₂ = 8 (2)

نحل بواسطة الحل الجاهز:

D = 5 · 13 − 3² = 56

I₁ = 24 · 13 + 8 · 356 = 33656 = 6 A

I₂ = 8 · 5 + 24 · 356 = 11256 = 2 A

التيار في R₃ ، من A إلى B ، والجهد بين العُقدتين:

I_R3 = I₁ − I₂ = 6 − 2 = 4 A

V_AB = I_R3·R₃ = 4 · 3 = 12 V

فحص بميزان القدرة: القدرة التي يزوّدها المصدران، ثم القدرة المتبددة في المقاومات الثلاث:

24 · 6 + 8 · 2 = 160 W

72 + 40 + 48 = 160 W

I₁ = 6 A , I₂ = 2 A , I_R3 = 4 A

سؤال 9.2:

في الدائرة المبيّنة في الرسم القطب الموجب للمصدر E₂ متجه إلى الأسفل. نكتب المعادلتين بالصيغة القياسية، ونجد تيارات الحلقات والتيار في R₃.

مثال 9.4

في الدائرة المبيّنة في الرسم ثلاثة مصادر وخمس مقاومات. نجد بطريقة تيارات الحلقات التيار في كل مقاومة، ونفحص الحل بميزان القدرة.

الحل:

في الدائرة ثلاث حلقات مستقلة، ولذلك نكتب ثلاث معادلات بالصيغة القياسية. المقاومات الذاتية والمشتركة:

R₁₁ = R₁ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂₂ = R₄ + R₂ + R₅ = 4 + 2 + 2 = 8 Ω

R₃₃ = R₅ + R₃ = 2 + 2 = 4 Ω

R₁₂ = R₄ = 4 Ω

R₂₃ = R₅ = 2 Ω

R₁₃ = 0

مصادر الجهد: E₁ يدفع باتجاه I₁ ، E₂ يدفع باتجاه I₂ ، أما E₃ فيدفع بعكس اتجاه I₃ ، ولذلك E₃₃ = −E₃. المعادلات:

8·I₁ − 4·I₂ = 24 (1)

−4·I₁ + 8·I₂ − 2·I₃ = 10 (2)

−2·I₂ + 4·I₃ = −4 (3)

نبسّط: نقسم المعادلة (1) على 4 ، المعادلة (2) على 2 والمعادلة (3) على 2:

2·I₁ − I₂ = 6

−2·I₁ + 4·I₂ − I₃ = 5

−I₂ + 2·I₃ = −2

في المعادلة الأولى مجهولان فقط، وكذلك في الثالثة. من الأولى نعبّر عن I₂ بواسطة I₁ ، ثم من الثالثة نعبّر عن I₃ بواسطة I₁:

I₂ = 2·I₁ − 6

2·I₃ = I₂ − 2 = 2·I₁ − 6 − 2

I₃ = I₁ − 4

نعوّض التعبيرين في المعادلة الثانية، فتبقى معادلة بمجهول واحد:

−2·I₁ + 4·(2·I₁ − 6) − (I₁ − 4) = 5

5·I₁ = 25

I₁ = 5 A

I₂ = 2 · 5 − 6 = 4 A

I₃ = 5 − 4 = 1 A

التيارات في المقاومتين المشتركتين، إلى الأسفل:

I_R4 = I₁ − I₂ = 5 − 4 = 1 A

I_R5 = I₂ − I₃ = 4 − 1 = 3 A

في R₁ يمر I₁ ، في R₂ يمر I₂ وفي R₃ يمر I₃. التيار I₃ موجب، أي أنه يدخل إلى المصدر E₃ من قطبه الموجب: هذا المصدر يستهلك قدرة.

فحص بميزان القدرة. القدرة التي تزوّدها المصادر (بعد طرح ما يستهلكه E₃):

24 · 5 + 10 · 4 − 4 · 1 = 156 W

القدرة المتبددة في المقاومات، حسب P = I²·R ، بالترتيب R₁ ، R₂ ، R₃ ، R₄ ، R₅:

100 + 32 + 2 + 4 + 18 = 156 W

I₁ = 5 A , I₂ = 4 A , I₃ = 1 A

▶تجربة حية — تيارات الحلقات — دائرة بثلاثة مصادردائرة أكبر، فيها ثلاثة مصادر. نغيّر المعطيات ونتابع كتابة المعادلات وحلّها خطوة بعد خطوة.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_3sources_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_3sources_pro

משפט תבנין – نظرية ثيفنين (Thevenin's Theorem)

في كثير من الدوائر يهمّنا عنصر واحد فقط، نسميه الحِمل (עומס)، ونرمز لمقاومته R_L: نريد أن نعرف التيار المار فيه والجهد عليه. أحيانا نستبدل الحمل بحمل آخر ونسأل نفس السؤال من جديد. بطريقة تيارات الحلقات علينا أن نحل الدائرة كلها في كل مرة. نظرية ثيفنين تعطينا طريقا أقصر: نستبدل كل الدائرة، ما عدا الحمل، بدائرة بسيطة جدا فيها مصدر واحد ومقاومة واحدة.

نص النظرية – ניסוח המשפט:

نظرية ثيفنين (משפט תבנין): كل دائرة مبنية من مصادر جهد ومقاومات، وننظر إليها من طرفين A و B ، يمكن استبدالها بدائرة مكافئة فيها مصدر جهد واحد E_Th موصول على التوالي بمقاومة واحدة R_Th. الدائرة المكافئة تزوّد كل حمل نربطه بين الطرفين بنفس التيار وبنفس الجهد اللذين تزوّدهما الدائرة الأصلية.

الدائرة الأصلية، والحمل R_L موصول بين الطرفين A و B

دائرة ثيفنين المكافئة (המעגל השקול)

مصدر الجهد المكافئ (מקור המתח השקול): جهده E_Th يساوي الجهد بين الطرفين A و B عندما يكون الحمل مفصولا، أي عندما يكون الطرفان مفتوحين. يسمى هذا الجهد جهد الدائرة المفتوحة (מתח הריקם).

المقاومة المكافئة (ההתנגדות השקולה): المقاومة R_Th هي المقاومة التي «نراها» بين الطرفين A و B عندما يكون الحمل مفصولا وجميع المصادر ملغاة. إلغاء مصدر جهد (איפוס מקור מתח) معناه أن نستبدله بسلك موصل، أي بدائرة قصر، لأن جهد المصدر الملغى صفر.

تيار الحمل والجهد عليه · זרם העומס ומתחו

I_L = E_ThR_Th + R_L

V_L = I_L·R_L

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E_Th	جهد مصدر الجهد المكافئ (جهد ثيفنين)	[V]
R_Th	المقاومة المكافئة (مقاومة ثيفنين)	[Ω]
R_L	مقاومة الحمل	[Ω]
I_L	التيار في الحمل	[A]
V_L	الجهد على الحمل، وهو الجهد V_AB عندما يكون الحمل موصولا	[V]

مراحل الحل – שלבי הפתרון:

نحدد الحمل، نفصله عن الدائرة، ونسمّي الطرفين اللذين كان موصولا بهما A و B.
نحسب الجهد V_AB بين الطرفين المفتوحين. هذا هو E_Th.
نلغي المصادر: نستبدل كل مصدر جهد بسلك موصل، ونحسب المقاومة بين A و B. هذه هي R_Th.
نرسم دائرة ثيفنين المكافئة: E_Th على التوالي مع R_Th ، ونعيد ربط الحمل بين A و B.
نحسب تيار الحمل I_L = E_ThR_Th + R_L والجهد عليه.

ملاحظة: عندما يكون الطرفان A و B مفتوحين لا يمر تيار في أي مقاومة موصولة على التوالي مع أحد الطرفين، ولذلك لا يهبط عليها جهد. هذه الملاحظة تسهّل حساب E_Th في كثير من الدوائر.

مثال 9.5

في الدائرة المبيّنة في الرسم مصدر ومقاومتان، والحمل هو المقاومة R_L. نجد دائرة ثيفنين المكافئة بين الطرفين A و B ، ثم نحسب تيار الحمل والجهد عليه.

الحل:

المرحلة 1. نفصل الحمل R_L عن الدائرة. يبقى الطرفان A و B مفتوحين.

المرحلة 2: الطرفان مفتوحان، نحسب V_AB

المرحلة 3: المصدر مستبدَل بسلك، نحسب المقاومة بين A و B

المرحلة 2. عندما يكون الطرفان مفتوحين، المقاومتان R₁ و R₂ موصولتان على التوالي، والجهد بين A و B هو الجهد على R₂. حسب قاعدة مُجزِّء الجهد:

E_Th = V_AB = E·R₂R₁ + R₂

E_Th = 24·124 + 12 = 18 V

المرحلة 3. نستبدل المصدر بسلك موصل. إذا «دخلنا» الآن إلى الدائرة من الطرف A نجد أمامنا طريقين إلى الطرف B: عبر R₂ ، أو عبر R₁ والسلك. أي أن R₁ و R₂ موصولتان على التوازي بين الطرفين:

R_Th = R₁·R₂R₁ + R₂

R_Th = 4 · 124 + 12 = 3 Ω

المرحلة 4. نرسم دائرة ثيفنين المكافئة ونعيد ربط الحمل:

دائرة ثيفنين المكافئة لدائرة المثال، مع الحمل

المرحلة 5. تيار الحمل والجهد عليه:

I_L = E_ThR_Th + R_L = 183 + 6 = 2 A

V_L = I_L·R_L = 2 · 6 = 12 V

فحص. نحل الدائرة الأصلية بالطريقة التي نعرفها. R₂ و R_L على التوازي، ومعهما R₁ على التوالي:

R_2L = R₂·R_LR₂ + R_L = 12 · 612 + 6 = 4 Ω

R_T = R₁ + R_2L = 4 + 4 = 8 Ω

I = ER_T = 248 = 3 A

V_L = I·R_2L = 3 · 4 = 12 V

حصلنا على نفس الجهد على الحمل، 12 V ، ولذلك على نفس التيار فيه.

E_Th = 18 V , R_Th = 3 Ω , I_L = 2 A

ما الفائدة من دائرة ثيفنين؟ – היתרון של המעגל השקול:

في المثال السابق كان الحل المباشر قصيرا أيضا. الفائدة تظهر عندما نغيّر الحمل: E_Th و R_Th لا يتعلقان بالحمل، ولذلك نحسبهما مرة واحدة فقط، ولكل حمل جديد يكفي حساب واحد قصير. الجدول التالي يبيّن تيار الحمل والجهد عليه في دائرة المثال السابق (E_Th = 18 V ، R_Th = 3 Ω) لعدة أحمال:

مقاومة الحمل R_L [Ω]	تيار الحمل I_L = E_ThR_Th + R_L [A]	الجهد على الحمل V_L = I_L·R_L [V]
0 (دائرة قصر بين الطرفين)	6	0
1	4.5	4.5
3	3	9
6	2	12
15	1	15
الطرفان مفتوحان (بدون حمل)	0	18

كلما كبرت مقاومة الحمل صغر التيار وارتفع الجهد على الحمل، واقترب من E_Th.
بدون حمل لا يمر تيار، والجهد بين الطرفين هو E_Th بالضبط. هكذا نقيس E_Th في المختبر: بمقياس جهد بين الطرفين المفتوحين.
دائرة ثيفنين تشبه مصدرا عمليا: E_Th هو القوة الدافعة و R_Th هي المقاومة الداخلية. الجهد على الحمل أصغر من E_Th بمقدار هبوط الجهد على R_Th: V_L = E_Th − I_L·R_Th.

سؤال 9.3:

في الدائرة المبيّنة في الرسم نجد:
أ. جهد ثيفنين E_Th بين الطرفين A و B.
ب. مقاومة ثيفنين R_Th.
ج. تيار الحمل والجهد عليه.
د. تيار الحمل إذا استبدلنا الحمل بمقاومة 16 Ω.

مثال 9.6

في الدائرة المبيّنة في الرسم ثلاث مقاومات وحمل R_L. نجد دائرة ثيفنين المكافئة بين الطرفين A و B ، ونحسب تيار الحمل والجهد عليه.

الحل:

نفصل الحمل ونرسم الدائرة مرتين: مرة مع المصدر لحساب E_Th ، ومرة بعد إلغائه لحساب R_Th.

الطرفان مفتوحان: لا يمر تيار في R₃

المصدر ملغى: R₃ على التوالي مع R₁ و R₂ الموصولتين على التوازي

جهد ثيفنين. الطرفان مفتوحان، ولذلك لا يمر تيار في R₃ ولا يهبط عليها جهد. الجهد بين A و B يساوي الجهد على R₂:

E_Th = E·R₂R₁ + R₂ = 30·36 + 3 = 10 V

مقاومة ثيفنين. بعد استبدال المصدر بسلك، R₁ و R₂ على التوازي، ومعهما R₃ على التوالي:

R_Th = R₃ + R₁·R₂R₁ + R₂

R_Th = 4 + 6 · 36 + 3 = 4 + 2 = 6 Ω

الحمل. نربط الحمل بدائرة ثيفنين:

I_L = E_ThR_Th + R_L = 106 + 4 = 1 A

V_L = I_L·R_L = 1 · 4 = 4 V

E_Th = 10 V , R_Th = 6 Ω , I_L = 1 A

انتبه: مقاومة موصولة على التوالي مع أحد الطرفين (مثل R₃ في المثال) لا تؤثر على E_Th ، لكنها تدخل في حساب R_Th. ونتذكر: نلغي المصادر فقط عند حساب R_Th. عند حساب E_Th تبقى المصادر في أماكنها.

مثال 9.7

في الدائرة المبيّنة في الرسم مصدران وثلاث مقاومات. نجد بواسطة نظرية ثيفنين التيار في المقاومة R₃ والجهد عليها، ثم نفحص النتيجة بطريقة تيارات الحلقات.

الحل:

المرحلة 1. الحمل هو R₃. نفصلها عن الدائرة، فيبقى الطرفان A و B مفتوحين.

بدون R₃ تبقى حلقة واحدة، يدور فيها تيار I

المصدران ملغيان: R₁ و R₂ على التوازي بين A و B

المرحلة 2، جهد ثيفنين. بعد فصل R₃ تبقى حلقة واحدة فيها المصدران والمقاومتان R₁ و R₂ على التوالي. المصدران يدفعان في اتجاهين متعاكسين، و E₁ أكبر، ولذلك يدور التيار في اتجاه عقارب الساعة:

I = E₁ − E₂R₁ + R₂ = 30 − 123 + 6 = 2 A

نحسب الجهد بين A و B عبر الفرع الأيسر: جهد المصدر E₁ ناقص هبوط الجهد على R₁:

E_Th = V_AB = E₁ − I·R₁ = 30 − 2 · 3 = 24 V

فحص عبر الفرع الأيمن، حيث يدخل التيار إلى E₂ من قطبه الموجب: V_AB = E₂ + I·R₂ = 12 + 2 · 6 = 24 V.

المرحلة 3، مقاومة ثيفنين. نستبدل كل مصدر بسلك. من الطرف A إلى الطرف B يوجد طريقان: عبر R₁ أو عبر R₂. المقاومتان على التوازي:

R_Th = R₁·R₂R₁ + R₂ = 3 · 63 + 6 = 2 Ω

المرحلتان 4 و 5. نعيد ربط R₃ بدائرة ثيفنين ونحسب:

I_R3 = E_ThR_Th + R₃ = 242 + 6 = 3 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 3 · 6 = 18 V

فحص بطريقة تيارات الحلقات. نعود إلى الدائرة الأصلية ونكتب المعادلتين بالصيغة القياسية: R₁₁ = 9 Ω ، R₂₂ = 12 Ω ، R₁₂ = 6 Ω ، E₁₁ = 30 V ، E₂₂ = −12 V.

9·I₁ − 6·I₂ = 30 (1)

−6·I₁ + 12·I₂ = −12 (2)

D = 9 · 12 − 6² = 72

I₁ = 30 · 12 + (−12) · 672 = 4 A

I₂ = (−12) · 9 + 30 · 672 = 1 A

I_R3 = I₁ − I₂ = 4 − 1 = 3 A

الطريقتان تعطيان نفس التيار في R₃: 3 A. طريقة تيارات الحلقات أعطتنا أيضا التيارين في الفرعين الآخرين. نظرية ثيفنين أعطتنا فقط ما طلبناه، لكن بحسابات أبسط، ومن دون حل معادلتين.

E_Th = 24 V , R_Th = 2 Ω , I_R3 = 3 A

سؤال 9.4:

في الدائرة المبيّنة في الرسم الحمل هو R₃. نجد:
أ. التيار الذي يدور في الحلقة بعد فصل R₃.
ب. E_Th و R_Th بين A و B.
ج. التيار في R₃ والجهد عليها.

مثال 9.8

الدائرة المبيّنة في الرسم تسمى دائرة جسر (מעגל גשר): فرعان موصولان بالمصدر، في كل فرع مقاومتان، والمقاومة R₅ «تجسر» بين نقطتي الوسط A و B. نجد التيار في R₅ والجهد عليها.

الحل:

لا نستطيع حل هذه الدائرة بجمع مقاومات على التوالي وعلى التوازي، لأن R₅ ليست على التوالي ولا على التوازي مع أي مقاومة أخرى. بطريقة تيارات الحلقات نحتاج إلى ثلاث معادلات. بنظرية ثيفنين الحل قصير.

المرحلة 1. الحمل هو R₅. نفصلها، فيبقى الطرفان A و B مفتوحين.

بدون R₅: كل فرع هو مُجزِّء جهد مستقل

المصدر ملغى: السلك يوصل المسار العلوي بالمسار السفلي

المرحلة 2، جهد ثيفنين. بدون R₅ كل فرع هو مُجزِّء جهد موصول بالمصدر مباشرة. نحسب جهد كل نقطة وسط بالنسبة للمسار السفلي: جهد A هو الجهد على R₂ ، وجهد B هو الجهد على R₄:

V_A = E·R₂R₁ + R₂ = 24·63 + 6 = 16 V

V_B = E·R₄R₃ + R₄ = 24·412 + 4 = 6 V

E_Th = V_AB = V_A − V_B = 16 − 6 = 10 V

النتيجة موجبة: جهد A أعلى من جهد B ، ولذلك سيمر التيار في R₅ من A إلى B.

المرحلة 3، مقاومة ثيفنين. نستبدل المصدر بسلك. السلك يوصل المسار العلوي بالمسار السفلي، فيصبحان نقطة واحدة. الآن R₁ و R₂ موصولتان بين A وهذه النقطة، أي على التوازي، وكذلك R₃ و R₄ بين B وهذه النقطة. نرسم الدائرة من جديد:

الدائرة بين A و B بعد إلغاء المصدر: زوجان على التوازي، موصولان معا على التوالي

R_Th = R₁·R₂R₁ + R₂ + R₃·R₄R₃ + R₄

R_Th = 3 · 63 + 6 + 12 · 412 + 4 = 2 + 3 = 5 Ω

المرحلتان 4 و 5. نربط R₅ بدائرة ثيفنين:

I_R5 = E_ThR_Th + R₅ = 105 + 5 = 1 A

V_R5 = I_R5·R₅ = 1 · 5 = 5 V

فحص. في الدائرة الأصلية، مع R₅ ، جهد النقطة B بالنسبة للمسار السفلي هو 9 V ، وجهد النقطة A أعلى منه بمقدار V_R5 ، أي 14 V. نتحقق من ذلك بقانون كيرخهوف للتيار في العُقدة B. التيار الداخل إليها عبر R₃ والتيار الخارج منها عبر R₄:

I_R3 = E − V_BR₃ = 24 − 912 = 1.25 A

I_R4 = V_BR₄ = 94 = 2.25 A

I_R3 + I_R5 = 1.25 + 1 = 2.25 A

مجموع التيارين الداخلين إلى B يساوي التيار الخارج منها. الحل صحيح.

E_Th = 10 V , R_Th = 5 Ω , I_R5 = 1 A

ملاحظة: إذا كان V_A = V_B عندما يكون الطرفان مفتوحين، فإن E_Th = 0 ولا يمر تيار في R₅ مهما كانت قيمتها. نقول عندئذ إن الجسر متزن (גשר מאוזן). يحدث ذلك عندما R₁R₂ = R₃R₄.

سؤال 9.5:

في دائرة الجسر المبيّنة في الرسم نجد بواسطة نظرية ثيفنين:
أ. E_Th بين A و B بعد فصل R₅.
ب. R_Th.
ج. التيار في R₅ واتجاهه.

▶تجربة حية — نظرية ثيفنين — خطوة بعد خطوةنغيّر المصادر والمقاومات، نفصل الحمل، ونتابع حساب E_Th و R_Th ورسم الدائرة المكافئة.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_thevenin_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_thevenin_pro

متى نختار كل طريقة؟ – מתי נבחר בכל שיטה:

	تيارات الحلقات	نظرية ثيفنين
ماذا نحصل؟	التيار في كل فروع الدائرة	التيار والجهد في عنصر واحد، الحمل
ما العمل؟	معادلة لكل حلقة مستقلة، وحل المعادلات معا	حسابان قصيران: E_Th و R_Th ، ثم دائرة من حلقة واحدة
عند تغيير الحمل	نحل المعادلات من جديد	نعوّض R_L الجديدة فقط
متى نفضّلها؟	عندما نحتاج إلى كل التيارات، أو إلى ميزان القدرة	عندما يهمّنا عنصر واحد، وخاصة إذا كان يتغير

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
تيار الفرع المشترك بين حلقتين	I_R3 = I₁ − I₂
الصيغة القياسية، الحلقة 1	R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁
الصيغة القياسية، الحلقة 2	−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂
الحل الجاهز لمعادلتي الحلقتين	I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂R₁₁·R₂₂ − R₁₂²
جهد ثيفنين: الجهد بين الطرفين المفتوحين	E_Th = V_AB
جهد ثيفنين لمُجزِّء جهد	E_Th = E·R₂R₁ + R₂
مقاومة ثيفنين لمُجزِّء جهد (المصدر ملغى)	R_Th = R₁·R₂R₁ + R₂
تيار الحمل	I_L = E_ThR_Th + R_L
الجهد على الحمل	V_L = I_L·R_L = E_Th − I_L·R_Th

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
عُقدة	צומת	Node
فرع	ענף	Branch
حلقة	חוג	Loop / mesh
حلقة مستقلة	חוג בלתי תלוי	Independent loop
طريقة تيارات الحلقات	שיטת זרמי החוגים	Mesh current method
تيار الحلقة	זרם חוג	Mesh current
فرع مشترك	ענף משותף	Shared branch
المقاومة الذاتية	התנגדות עצמית	Self resistance
المقاومة المشتركة	התנגדות משותפת	Mutual resistance
الصيغة القياسية	הצורה הסטנדרטית	Standard form
المحدِّد	דטרמיננטה	Determinant
طريقة التعويض	שיטת ההצבה	Substitution
طريقة الحذف	שיטת השוואת המקדמים	Elimination
ميزان القدرة	מאזן הספקים	Power balance
نظرية ثيفنين	משפט תבנין	Thevenin's theorem
مصدر الجهد المكافئ	מקור המתח השקול	Thevenin voltage source
المقاومة المكافئة (مقاومة ثيفنين)	ההתנגדות השקולה	Thevenin resistance
الدائرة المكافئة	המעגל השקול	Equivalent circuit
الحِمل	עומס	Load
الطرفان	הדקים	Terminals
جهد الدائرة المفتوحة	מתח הריקם	Open-circuit voltage
إلغاء مصدر جهد	איפוס מקור מתח	Zeroing a voltage source
دائرة جسر	מעגל גשר	Bridge circuit

أسئلة للتمرين:

نحل كل زوج من المعادلات، مرة بطريقة التعويض ومرة بطريقة الحذف:
أ. 3·I₁ + 2·I₂ = 16 و 5·I₁ − 4·I₂ = 12.
ب. 7·I₁ − 3·I₂ = 5 و −3·I₁ + 5·I₂ = 9.

الإجابات: أ. I₁ = 4 A ، I₂ = 2 A. ب. I₁ = 2 A ، I₂ = 3 A

في الدائرة المبيّنة في الرسم:
أ. نكتب معادلتي الحلقتين.
ب. نجد تيارات الحلقات.
ج. نجد التيار في R₃ والجهد V_AB.
د. ماذا تعني الإشارة السالبة للتيار I₂؟

الإجابات: 7·I₁ − 2·I₂ = 30 ، −2·I₁ + 12·I₂ = −20 · I₁ = 4 A ، I₂ = −1 A ، I_R3 = 5 A ، V_AB = 10 V. د. الاتجاه الحقيقي للتيار في الحلقة اليمنى معاكس لاتجاه عقارب الساعة

في الدائرة المبيّنة في الرسم القطب الموجب للمصدر E₂ متجه إلى الأسفل. نكتب المعادلتين بالصيغة القياسية ونجد تيارات الحلقات، التيار في R₃ والجهد V_AB.

الإجابات: 9·I₁ − 6·I₂ = 24 ، −6·I₁ + 18·I₂ = 12 · I₁ = 4 A ، I₂ = 2 A ، I_R3 = 2 A ، V_AB = 12 V

في الدائرة المبيّنة في الرسم:
أ. نجد تيارات الحلقات.
ب. نحسب القدرة المتبددة في كل مقاومة.
ج. أي مصدر يزوّد قدرة وأي مصدر يستهلك قدرة؟ نتحقق من ميزان القدرة.

الإجابات: أ. I₁ = 2 A ، I₂ = 1 A. ب. P₁ = 12 W ، P₂ = 2 W ، P₃ = 10 W. ج. E₁ يزوّد 32 W ، و E₂ يستهلك 8 W

في الدائرة المبيّنة في الرسم ثلاث حلقات.
أ. نكتب المعادلات الثلاث بالصيغة القياسية.
ب. نجد تيارات الحلقات.
ج. نجد التيار في R₄ وفي R₅.
د. نتحقق من ميزان القدرة.

الإجابات: ب. I₁ = 4 A ، I₂ = 2 A ، I₃ = −1 A. ج. I_R4 = 2 A ، I_R5 = 3 A. د. 74 W

في الدائرة المبيّنة في الرسم الحمل هو R_L.
أ. نجد E_Th بين الطرفين A و B.
ب. نجد R_Th.
ج. نرسم دائرة ثيفنين المكافئة.
د. نحسب تيار الحمل والجهد عليه.

الإجابات: أ. E_Th = 9 V. ب. R_Th = 1.5 Ω. د. I_L = 2 A ، V_L = 6 V

في الدائرة المبيّنة في الرسم:
أ. نجد E_Th و R_Th بين الطرفين A و B.
ب. نحسب تيار الحمل والجهد عليه.
ج. نحسب تيار الحمل إذا استبدلنا الحمل بمقاومة 4 Ω ، ثم بمقاومة 16 Ω.

الإجابات: أ. E_Th = 24 V ، R_Th = 8 Ω. ب. I_L = 1.5 A ، V_L = 12 V. ج. 2 A ، 1 A

في الدائرة المبيّنة في الرسم الحمل هو R₃. نجد بواسطة نظرية ثيفنين:
أ. التيار في الحلقة بعد فصل R₃.
ب. E_Th و R_Th.
ج. التيار في R₃ والجهد عليها.

الإجابات: أ. I = 0.75 A. ب. E_Th = 21 V ، R_Th = 3 Ω. ج. I_R3 = 1.5 A ، V_R3 = 16.5 V

في الدائرة المبيّنة في الرسم القطب الموجب للمصدر E₂ متجه إلى الأسفل، والحمل هو R₃. بعد فصل R₃ يدفع المصدران التيار في نفس اتجاه الدوران. نجد:
أ. التيار في الحلقة بعد فصل R₃.
ب. E_Th و R_Th.
ج. التيار في R₃ والجهد عليها.

الإجابات: أ. I = 21 + 63 + 6 = 3 A. ب. E_Th = 12 V ، R_Th = 2 Ω. ج. I_R3 = 2 A ، V_R3 = 8 V

10.

في دائرة الجسر المبيّنة في الرسم:
أ. نجد جهد كل واحدة من النقطتين A و B بعد فصل R₅.
ب. نجد E_Th و R_Th.
ج. نجد مقدار التيار في R₅.
د. ما هو اتجاه هذا التيار؟

الإجابات: أ. V_A = 12 V ، V_B = 24 V. ب. E_Th = 12 V (جهد B هو الأعلى) ، R_Th = 4 Ω. ج. I_R5 = 1.2 A. د. من B إلى A

11.

نحل الدائرة المبيّنة في الرسم بالطريقتين:
أ. بطريقة تيارات الحلقات نجد I₁ ، I₂ والتيار في R₃.
ب. بنظرية ثيفنين نجد E_Th ، R_Th والتيار في R₃.
ج. نقارن النتيجتين.

الإجابات: أ. I₁ = 5 A ، I₂ = 1 A ، I_R3 = 4 A. ب. E_Th = 32 V ، R_Th = 3 Ω ، I_R3 = 4 A. ج. نفس التيار

12.

قسنا الجهد بين طرفي دائرة مجهولة عندما كان الطرفان مفتوحين، فوجدنا 12 V. ربطنا بين الطرفين حملا مقاومته 10 Ω ، فهبط الجهد إلى 10 V.
أ. ما هو E_Th للدائرة؟
ب. ما هو تيار الحمل؟
ج. ما هي R_Th؟
د. ما هو تيار الحمل إذا ربطنا حملا مقاومته 4 Ω؟

الإجابات: أ. E_Th = 12 V. ب. I_L = 1 A. ج. R_Th = 12 − 101 = 2 Ω. د. I_L = 2 A

13.

دائرة ثيفنين المكافئة لدائرة معيّنة هي E_Th = 20 V و R_Th = 5 Ω. نحسب تيار الحمل والجهد عليه لكل واحد من الأحمال:
أ. R_L = 5 Ω.
ب. R_L = 15 Ω.
ج. R_L = 35 Ω.
د. ماذا يحدث للجهد على الحمل كلما كبرت مقاومته؟

الإجابات: أ. 2 A ، 10 V. ب. 1 A ، 15 V. ج. 0.5 A ، 17.5 V. د. يرتفع ويقترب من E_Th

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

9.1 16·I₁ − 12·I₂ = 20 ، −12·I₁ + 14·I₂ = −10 · I₁ = 2 A ، I₂ = 1 A ، I_R3 = 1 A

9.2 5·I₁ − 3·I₂ = 12 ، −3·I₁ + 15·I₂ = 6 · I₁ = 3 A ، I₂ = 1 A ، I_R3 = 2 A

9.3 أ. E_Th = 16 V. ب. R_Th = 4 Ω. ج. I_L = 1.6 A ، V_L = 9.6 V. د. I_L = 0.8 A

9.4 أ. I = 1 A. ب. E_Th = 16 V ، R_Th = 2 Ω. ج. I_R3 = 1 A ، V_R3 = 14 V

9.5 أ. E_Th = 18 − 6 = 12 V. ب. R_Th = 2.4 + 1.6 = 4 Ω. ج. I_R5 = 2 A ، من A إلى B

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 9

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، في موضوع الإلكترونيات والحاسوب (אלקטרוניקה ומחשבים)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. في بعض الأسئلة يُرمز للجهد بالحرف U كما في نص الامتحان، وهو نفس الجهد الذي نرمز له في الكتاب بالحرف V. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 1 — دائرة جسر مع مصدرين ومفتاح

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار عبر R₁ (المفتاح مفتوح)	I(R₁) ≈ 0.167 A (≈ 1/6 A)
البند ب1	الجهد على R₂	U(R₂) ≈ 3.33 V
البند ب2	الجهد بين A وB	U_AB ≈ 6.67 V
البند ج	التيّار عبر R₃ (المفتاح مغلق)	I(R₃) ≈ 0.182 A
البند د	القدرة التي يزوّدها E₂ (المفتاح مغلق)	P(E₂) ≈ 2.27 W

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2026 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2025 السؤال 1 — دائرة مع ثلاثة مصادر ومفتاح

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار عبر R₁ (المفتاح مفتوح)	I(R₁) = 0.05 A = 50 mA
البند ب	القدرة في R₂ (المفتاح مفتوح)	P(R₂) = 0.5 W
البند ج	التيّار عبر R₃ (المفتاح مغلق)	I(R₃) ≈ 0.0643 A ≈ 64.3 mA
البند د	القدرة في R₂ (المفتاح مغلق)	P(R₂) ≈ 0.163 W = 163 mW

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2025 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2024 السؤال 2 — مصدران، مقياس تيّار ومفتاح

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	قيمة المقاوم R₂ (المفتاح مفتوح)	R₂ = 600 Ω
البند ب	الجهد بين A وB (المفتاح مفتوح)	U_AB = 20 V
البند ج	قراءة مقياس التيّار (المفتاح مغلق، R₃ = 350 Ω)	في الحل الكامل
البند د	الجهد بين A وB (المفتاح مغلق)	U_AB = 14 V

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2020 السؤال 1 — دائرة بمصدرين وأمبيرميترين

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهد بين A وB	U_AB = 3 V
البند ب	المقاومة R₂	R₂ = 3 Ω
البند ج	المقاومة R₃	R₃ = 7 Ω

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2020 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 14 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)