الفصل 10

مكثف الألواح، الشحن والتفريغ

קבל לוחות, טעינה ופריקה

الصف العاشر · 3 ساعات تعليمية

في الفصل الأول تعرفنا على الشحنة الكهربائية وعلى المجال الكهربائي. في هذا الفصل نبني من لوحين موصلين عنصرا كهربائيا جديدا، المكثف، وظيفته تخزين الشحنة الكهربائية. نتعلم ما هي سعة المكثف وما الذي يحددها، ماذا يحدث عندما نربط المكثف ببطارية، كيف يبدو المجال الكهربائي بين لوحيه، وكيف يُشحن المكثف ويُفرَّغ عبر مقاومة.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

المكثف مبني من لوحين موصلين بينهما مادة عازلة، وأن سعته هي النسبة بين الشحنة والجهد: C = QV.
نصف شحن مكثف الألواح بواسطة بطارية، ونحسب الشحنة المخزّنة Q = C·V.
بين لوحي المكثف المشحون يوجد مجال كهربائي منتظم شدته E = Vd.
نحسب سعة مكثف الألواح حسب C = ε₀·ε_r·Ad ، ونفسّر تعلّقها بالمساحة، بالمسافة وبالمادة العازلة.
نصف بالكلمات وبالرسم شحن المكثف وتفريغه عبر مقاومة.
نحسب ثابت الزمن τ = R·C ونفسّر معناه: 63% بعد τ واحد، وشحن كامل تقريبا بعد 5τ.

קבל לוחות ושדה חשמלי – مكثف الألواح والمجال الكهربائي (Parallel-Plate Capacitor)

أ. مكثف الألواح وسعته – קבל לוחות וקיבולו:

المكثف (קבל): هو عنصر كهربائي يخزّن شحنة كهربائية. يتكون من لوحين موصلين متقابلين (לוחות) تفصل بينهما مادة عازلة (חומר מבודד) مثل الهواء، الورق، البلاستيك أو السيراميك.

مبنى مكثف الألواح: مساحة كل لوح A ، المسافة بين اللوحين d

رمز المكثف في المخططات الكهربائية

المادة العازلة لا تسمح للشحنات بالانتقال من لوح إلى آخر. لذلك عندما نربط المكثف بمصدر جهد تتجمع على أحد اللوحين شحنة موجبة +Q وعلى اللوح الآخر شحنة سالبة −Q مساوية لها في المقدار. نقول إن المكثف مشحون بشحنة Q.

السعة (קיבול): هي مقدرة المكثف على تخزين الشحنة. تساوي السعة كمية الشحنة التي يخزّنها المكثف لكل فولت واحد من الجهد بين لوحيه.

تعريف السعة · הגדרת הקיבול

C = QV

الرمز	المعنى	وحدة القياس
C	سعة المكثف	[F]
Q	الشحنة المخزّنة على كل واحد من اللوحين	[C]
V	الجهد بين اللوحين	[V]

ملاحظة: وحدة قياس السعة هي الفاراد (פאראד)، ورمزها [F] : 1 F = 1 C1 V. الفاراد وحدة كبيرة جدا، ولذلك نستخدم المايكرو فاراد 1 µF = 10⁻⁶ F ، النانو فاراد 1 nF = 10⁻⁹ F ، والبيكو فاراد (פיקו) 1 pF = 10⁻¹² F.

انتبه: الحرف C المائل هو رمز السعة، أما [C] بين قوسين فهو الكولون، وحدة قياس الشحنة. لا نخلط بينهما.

ب. شحن مكثف الألواح بواسطة بطارية – טעינת קבל לוחות על-ידי סוללה:

نربط مكثفا غير مشحون ببطارية عبر مفتاح. ماذا يحدث عندما نغلق المفتاح؟

القطب السالب للبطارية يدفع إلكترونات إلى اللوح المربوط به، فيُشحن هذا اللوح بشحنة سالبة −Q.
القطب الموجب يسحب نفس العدد من الإلكترونات من اللوح الآخر، فيُشحن بشحنة موجبة +Q.
أثناء ذلك يمر في الأسلاك تيار شحن، مع أن الشحنات لا تعبر المادة العازلة.
كلما تجمعت شحنة أكبر ارتفع الجهد V_C بين اللوحين. عندما يصبح V_C = E يتوقف التيار: المكثف مشحون.

التيار يمر في الأسلاك حتى يتساوى V_C مع جهد البطارية

الشحنة المخزّنة في المكثف · המטען האגור בקבל

Q = C·V

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Q	الشحنة المخزّنة	[C]
C	سعة المكثف	[F]
V	الجهد على المكثف. في نهاية الشحن يساوي جهد البطارية	[V]

المكثف المشحون يتصرف في دائرة التيار المستمر كدائرة مفتوحة: بعد انتهاء الشحن لا يمر تيار.
إذا فصلنا المكثف المشحون عن البطارية تبقى الشحنة على اللوحين، لأنه لا يوجد مسار تعود فيه، ويبقى الجهد بين اللوحين كما كان.
لشحن المكثف تبذل البطارية شغلا. هذا الشغل يُخزَّن في المكثف على شكل طاقة، ونستطيع أن نستعيدها عندما نفرّغ المكثف.

مثال 10.1

مكثف سعته 100 µF مربوط ببطارية جهدها 20 V.
أ. نحسب الشحنة المخزّنة بعد انتهاء الشحن.
ب. ماذا يحدث للشحنة إذا استبدلنا البطارية ببطارية جهدها 40 V؟

الحل:

أ. في نهاية الشحن الجهد على المكثف يساوي جهد البطارية، V = 20 V:

Q = C·V

Q = 100·10⁻⁶ · 20 = 2·10⁻³ C = 2 mC

ب. الشحنة تتناسب طرديا مع الجهد. جهد مضاعف يعطي شحنة مضاعفة:

Q = 100·10⁻⁶ · 40 = 4 mC

Q = 2 mC

تحذير: المكثف المشحون يحتفظ بشحنته وبجهده بعد فصله عن المصدر، وأحيانا لوقت طويل. قبل لمس مكثف كبير أو العمل على دائرة فيها مكثفات نفرّغ المكثف عبر مقاومة مناسبة ونتأكد بمقياس الجهد أن الجهد عليه صفر.

سؤال 10.1: مكثف سعته 47 µF مربوط ببطارية جهدها 9 V.
أ. ما هي الشحنة المخزّنة بعد انتهاء الشحن؟
ب. ما هو الجهد على المكثف بعد أن نفصله عن البطارية؟

ج. المجال الكهربائي بين لوحي مكثف مشحون – השדה החשמלי הנוצר בין לוחות קבל טעון:

على أحد اللوحين شحنة موجبة وعلى الآخر شحنة سالبة، ولذلك ينشأ بينهما مجال كهربائي. خطوط المجال تخرج من اللوح الموجب وتدخل إلى اللوح السالب.

خطوط المجال مستقيمة، متوازية، والمسافات بينها متساوية: المجال بين اللوحين منتظم (שדה אחיד)، أي أن شدته واتجاهه متساويان في كل نقطة.
كلما كان الجهد بين اللوحين أكبر كان المجال أقوى، وكلما كانت المسافة بينهما أكبر كان المجال أضعف.

المجال المنتظم بين اللوحين

شدة المجال بين لوحي المكثف · עוצמת השדה בין הלוחות

E = Vd

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E	شدة المجال الكهربائي بين اللوحين	[V/m]
V	الجهد بين اللوحين	[V]
d	المسافة بين اللوحين	[m]

انتبه: في هذا القانون الحرف E هو شدة المجال الكهربائي، ووحدة قياسه [V/m]. لا نخلط بينه وبين القوة الدافعة للمصدر، التي نرمز لها أيضا بالحرف E ووحدة قياسها [V].

مثال 10.2

مكثف ألواح المسافة بين لوحيه 0.5 mm مربوط ببطارية جهدها 12 V. نحسب شدة المجال الكهربائي بين اللوحين بعد انتهاء الشحن.

الحل:

نحوّل المسافة إلى متر: d = 0.5 mm = 0.5·10⁻³ m. الجهد بين اللوحين يساوي جهد البطارية:

E = Vd

E = 120.5·10⁻³ = 24000 V/m = 24 kV/m

E = 24 kV/m

ملاحظة: لكل مادة عازلة شدة مجال قصوى تتحملها. إذا ارتفع الجهد أكثر من اللازم تنهار المادة العازلة ويمر عبرها تيار، ويتلف المكثف. لذلك يُكتب على كل مكثف، إلى جانب سعته، الجهد الأقصى المسموح (מתח עבודה מרבי)، ولا نتجاوزه.

سؤال 10.2: الجهد بين لوحي مكثف 50 V والمسافة بينهما 0.2 mm.
أ. ما هي شدة المجال بين اللوحين؟
ب. كيف تتغير شدة المجال إذا ضاعفنا الجهد مرتين؟

د. حساب سعة مكثف الألواح – חישוב הקיבול של קבל לוחות:

السعة لا تتعلق بالجهد ولا بالشحنة، بل بمبنى المكثف فقط: إذا ضاعفنا الجهد تتضاعف الشحنة، وتبقى النسبة بينهما ثابتة. في مكثف الألواح تحدد السعةَ ثلاثةُ عوامل:

سعة مكثف الألواح · קיבול קבל לוחות

C = ε₀·ε_r·Ad

الرمز	المعنى	وحدة القياس
C	سعة المكثف	[F]
ε₀	عازلية الفراغ، 8.85·10⁻¹² F/m	[F/m]
ε_r	العازلية النسبية للمادة العازلة (عدد بدون وحدة)	—
A	مساحة اللوح الواحد (المساحة المتقابلة)	[m²]
d	المسافة بين اللوحين	[m]

المساحة A: السعة تتناسب طرديا مع مساحة اللوحين. لوحان أكبر يتسعان لشحنة أكبر.
المسافة d: السعة تتناسب عكسيا مع المسافة. كلما اقترب اللوحان من بعضهما كبرت السعة.
المادة العازلة: عازلية الفراغ ε₀ (המקדם הדיאלקטרי של הריק) ثابت فيزيائي. العازلية النسبية ε_r (המקדם הדיאלקטרי היחסי) تبيّن كم مرة تكبر السعة عندما نملأ الفراغ بين اللوحين بالمادة العازلة.

المادة العازلة	بالعبرية	العازلية النسبية ε_r (قيمة تقريبية)
الفراغ والهواء	ריק, אוויר	1
زيت المحوّلات	שמן שנאים	2.2
البوليستر	פוליאסטר	3.3
الورق	נייר	3.7
الميكا	נציץ (מיקה)	6
الزجاج	זכוכית	7

مثال 10.3

مكثف ألواح مساحة كل لوح فيه 100 cm² ، والمسافة بين اللوحين 0.5 mm.
أ. نحسب سعة المكثف عندما يكون بين اللوحين هواء.
ب. نحسب السعة عندما نملأ الفراغ بين اللوحين بالميكا، ε_r = 6.

الحل:

نحوّل المعطيات إلى الوحدات الأساسية. في المتر المربع 10⁴ cm² ، ولذلك:

A = 100 cm² = 100·10⁻⁴ m² = 10⁻² m²

d = 0.5 mm = 0.5·10⁻³ m

أ. بين اللوحين هواء، أي ε_r = 1 :

C = ε₀·ε_r·Ad

C = 8.85·10⁻¹²·1·10⁻²0.5·10⁻³ = 1.77·10⁻¹⁰ F

C = 177 pF

ب. المادة العازلة تكبّر السعة ε_r مرة:

C′ = ε_r·C = 6·177 = 1062 pF

C′ ≈ 1.06 nF

C = 177 pF

سؤال 10.3: مكثف ألواح مساحة كل لوح فيه 50 cm² ، المسافة بين اللوحين 0.2 mm ، والمادة العازلة زيت محوّلات ε_r = 2.2. ما هي سعة المكثف؟

سؤال 10.4: كيف تتغير سعة مكثف ألواح في كل حالة؟
أ. نضاعف مساحة اللوحين مرتين.
ب. نضاعف المسافة بين اللوحين مرتين.
ج. نكبّر المساحة ثلاث مرات ونكبّر المسافة مرتين.

טעינה ופריקה של קבל דרך נגד – شحن المكثف وتفريغه عبر مقاومة (Charging and Discharging)

الشحن لا يتم في لحظة واحدة: في كل دائرة حقيقية توجد مقاومة تحدّ من التيار، ولذلك يحتاج المكثف إلى زمن حتى يُشحن. الفترة التي يتغير فيها الجهد والتيار تسمى الحالة العابرة (מצב מעבר)، وبعد انتهائها تصل الدائرة إلى الحالة المستقرة (מצב מתמיד). للمقادير التي تتغير مع الزمن نستخدم حروفا صغيرة: v_C ، v_R ، i.

الشحن – טעינה:

المكثف غير مشحون. في اللحظة t = 0 ننقل المفتاح S إلى الوضع 1، فيُشحن المكثف من المصدر عبر المقاومة R. حسب قانون كيرخهوف للجهد، في كل لحظة:

E = v_R + v_C

المفتاح في الوضع 1: الشحن

في لحظة الإغلاق، t = 0 : المكثف فارغ، v_C = 0 ، ولذلك يقع كل جهد المصدر على المقاومة. التيار في هذه اللحظة هو الأكبر: I₀ = ER.
أثناء الشحن: الشحنة تتجمع على اللوحين و v_C يرتفع. ما يبقى للمقاومة يصغر، v_R = E − v_C ، ولذلك يصغر التيار. تيار أصغر يعني شحنا أبطأ: الشحن سريع في البداية ويتباطأ كلما اقترب من النهاية.
في نهاية الشحن: v_C = E ، v_R = 0 ، i = 0. المكثف المشحون يتصرف كدائرة مفتوحة.

الجهد على المكثف أثناء الشحن: يصعد بسرعة، ثم يتسطح ويقترب من E

تيار الشحن: يبدأ من I₀ = ER ويهبط إلى الصفر

ثابت الزمن – קבוע הזמן:

ثابت الزمن · קבוע הזמן

τ = R·C

الرمز	المعنى	وحدة القياس
τ	ثابت الزمن	[s]
R	المقاومة التي يُشحن المكثف (أو يُفرَّغ) عبرها	[Ω]
C	سعة المكثف	[F]

مقاومة أكبر تعني تيار شحن أصغر، وسعة أكبر تعني شحنة أكبر يجب نقلها. في الحالتين يطول الشحن، ولذلك يكبر τ مع R ومع C. حاصل ضرب أوم في فاراد يعطي ثانية: 1 Ω · 1 F = 1 s.

بعد زمن τ واحد يصل الجهد على المكثف إلى 63% من جهد المصدر، ويهبط التيار إلى 37% من قيمته الابتدائية.
في كل τ إضافي يقطع الجهد 63% مما بقي له حتى E: 86% بعد 2τ ، 95% بعد 3τ.
بعد 5τ يصل الجهد إلى أكثر من 99% من E. من ناحية عملية نعتبر المكثف مشحونا تماما، ونقول إن زمن الشحن هو 5τ.

مثال 10.4

في الدائرة المبيّنة في الرسم المكثف غير مشحون، وفي اللحظة t = 0 ننقل المفتاح إلى الوضع 1. نحسب:
أ. ثابت الزمن.
ب. زمن الشحن الكامل.
ج. التيار في لحظة الإغلاق.
د. الجهد على المكثف وعلى المقاومة بعد τ واحد.

الحل:

أ. ثابت الزمن:

τ = R·C

τ = 10·10³ · 100·10⁻⁶ = 1 s

ب. زمن الشحن الكامل:

t = 5·τ = 5·1 = 5 s

ج. في لحظة الإغلاق المكثف فارغ وكل جهد المصدر يقع على المقاومة:

I₀ = ER = 1210·10³ = 1.2 mA

د. بعد τ واحد يصل v_C إلى 63% من E ، والباقي يقع على المقاومة:

v_C = 0.63·E = 0.63·12 = 7.56 V

v_R = E − v_C = 12 − 7.56 = 4.44 V

τ = 1 s

التفريغ – פריקה:

المكثف مشحون إلى جهد V₀. ننقل المفتاح إلى الوضع 2: المصدر يخرج من الدائرة، والمكثف مربوط الآن بالمقاومة وحدها. المكثف المشحون يعمل كمصدر مؤقت:

في لحظة التحويل: v_C = V₀ ، وهذا الجهد يقع على المقاومة. يمر تيار ابتدائي I₀ = V₀R ، واتجاهه بعكس اتجاه تيار الشحن.
أثناء التفريغ: الشحنة على اللوحين تنقص، فيهبط v_C ، ومعه يهبط التيار. التفريغ سريع في البداية ويتباطأ.
في نهاية التفريغ: v_C = 0 ، i = 0. الطاقة التي كانت مخزّنة في المكثف تحولت إلى حرارة في المقاومة.
ثابت الزمن هو نفسه، τ = R·C. بعد τ واحد يهبط الجهد إلى 37% من قيمته الابتدائية، وبعد 5τ نعتبر المكثف فارغا.

شحن كامل ثم تفريغ: في اللحظة t = 6τ ننقل المفتاح من الوضع 1 إلى الوضع 2

سؤال 10.5:

مكثف سعته 47 µF مشحون إلى جهد 24 V يُفرَّغ عبر مقاومة 20 kΩ (المفتاح في الوضع 2).
أ. ما هو ثابت الزمن؟
ب. ما هو التيار في بداية التفريغ؟
ج. ما هو الجهد على المكثف بعد τ واحد؟
د. بعد كم ثانية نعتبر المكثف فارغا؟

▶تجربة حية — مختبر المكثفنبني مكثف ألواح ونغيّر المساحة، المسافة والمادة العازلة، ثم نغيّر R و C ونرى منحنيات الشحن والتفريغ تُرسم في الزمن الحقيقي.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/circuits/capacitor

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/capacitor

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
تعريف السعة	C = QV
الشحنة المخزّنة	Q = C·V
المجال بين اللوحين	E = Vd
سعة مكثف الألواح	C = ε₀·ε_r·Ad
ثابت الزمن	τ = R·C
زمن الشحن أو التفريغ الكامل	t = 5·τ
الجهد على المكثف بعد τ واحد من بداية الشحن	v_C = 0.63·E
الجهد على المكثف بعد τ واحد من بداية التفريغ	v_C = 0.37·V₀

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
المكثف	קבל	Capacitor
مكثف الألواح	קבל לוחות	Parallel-plate capacitor
السعة	קיבול	Capacitance
اللوحان	לוחות	Plates
المادة العازلة	חומר מבודד (דיאלקטרי)	Dielectric
عازلية الفراغ	המקדם הדיאלקטרי של הריק	Vacuum permittivity
العازلية النسبية	המקדם הדיאלקטרי היחסי	Relative permittivity
مجال منتظم	שדה אחיד	Uniform field
الشحنة المخزّنة	מטען אגור	Stored charge
الشحن	טעינה	Charging
التفريغ	פריקה	Discharging
ثابت الزمن	קבוע הזמן	Time constant
الحالة العابرة	מצב מעבר	Transient state
الحالة المستقرة	מצב מתמיד	Steady state

أسئلة للتمرين:

شحنة مكثف 1.5 mC عندما يكون الجهد عليه 50 V.
أ. ما هي سعة المكثف؟
ب. ما هي شحنته عندما يكون الجهد عليه 20 V؟

الإجابات: أ. C = 30 µF. ب. Q = 0.6 mC

مكثف سعته 220 µF مربوط ببطارية جهدها 24 V. المسافة بين لوحيه 0.05 mm. نحسب بعد انتهاء الشحن:
أ. الشحنة المخزّنة.
ب. شدة المجال بين اللوحين.

الإجابات: أ. Q = 5.28 mC. ب. E = 480 kV/m

نجيب بدون حساب:
أ. ما هو التيار في الدائرة بعد أن ينتهي شحن المكثف من البطارية؟
ب. ما هو الجهد على المكثف في هذه الحالة؟
ج. ماذا يحدث للشحنة وللجهد إذا فصلنا المكثف عن البطارية؟

الإجابات: أ. صفر. ب. يساوي جهد البطارية. ج. يبقيان كما كانا

مكثف ألواح مساحة كل لوح فيه 150 cm² ، والمسافة بين اللوحين 0.3 mm ، وبينهما هواء.
أ. نحسب سعة المكثف.
ب. نحسب السعة إذا وضعنا بين اللوحين زجاجا، ε_r = 7.

الإجابات: أ. C ≈ 442.5 pF. ب. C ≈ 3.1 nF

مكثف ألواح سعته 300 pF. ماذا تصبح سعته في كل حالة؟
أ. نصغّر المسافة بين اللوحين إلى النصف.
ب. نصغّر مساحة اللوحين إلى الثلث.
ج. نستبدل الهواء بين اللوحين بورق، ε_r = 3.7.

الإجابات: أ. 600 pF. ب. 100 pF. ج. 1110 pF

نريد مكثف ألواح سعته 2 nF. مساحة كل لوح 0.05 m² والمادة العازلة بوليستر، ε_r = 3.3. ما هي المسافة المطلوبة بين اللوحين؟

الإجابات: d ≈ 0.73 mm

في الدائرة المبيّنة في الرسم المكثف غير مشحون، وفي اللحظة t = 0 ننقل المفتاح إلى الوضع 1.
أ. نحسب ثابت الزمن.
ب. نحسب زمن الشحن الكامل.
ج. نحسب التيار في لحظة الإغلاق.
د. نحسب v_C بعد τ واحد.
ه. نرسم بشكل تقريبي منحنى v_C ومنحنى i ونعلّم عليهما τ و 5τ.

الإجابات: أ. τ = 0.47 s. ب. t = 2.35 s. ج. I₀ ≈ 0.191 mA. د. v_C ≈ 5.67 V

مكثف سعته 470 µF مشحون إلى جهد 20 V. ننقل المفتاح إلى الوضع 2 فيُفرَّغ المكثف عبر المقاومة.
أ. نحسب ثابت الزمن وزمن التفريغ الكامل.
ب. نحسب التيار في بداية التفريغ.
ج. نحسب v_C بعد τ واحد.

الإجابات: أ. τ = 4.7 s ، t = 23.5 s. ب. I₀ = 2 mA. ج. v_C ≈ 7.4 V

نريد أن يُشحن مكثف سعته 100 µF شحنا كاملا خلال ثانيتين.
أ. ما هو ثابت الزمن المطلوب؟
ب. ما هي أكبر مقاومة نستطيع ربطها على التوالي معه؟
ج. كيف يتغير زمن الشحن إذا استبدلنا المكثف بمكثف سعته 200 µF؟

الإجابات: أ. τ = 0.4 s. ب. R = 4 kΩ. ج. يتضاعف، إلى 4 s

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

10.1 أ. Q = 423 µC. ب. يبقى 9 V

10.2 أ. E = 250 kV/m. ب. تتضاعف مرتين

10.3 C ≈ 487 pF

10.4 أ. تكبر مرتين. ب. تصغر مرتين. ج. تكبر 1.5 مرة

10.5 أ. τ = 0.94 s. ب. I₀ = 1.2 mA. ج. v_C ≈ 8.88 V. د. t = 4.7 s

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 10

مادة هذا الفصل أساس لأسئلة البجروت في علم الكهرباء، ولا يظهر في الامتحان سؤال مستقل عنها. نتدرب على أسئلة البجروت في الفصول 7، 9 و 13.

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 14 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)