תורת החשמל · פרק 4 — חוקי קירכהוףתורת החשמל · סמל מקצוע 33.001⌂📚🏠
פרק 4

חוקי קירכהוף

כיתה י׳ · 5 שעות לימוד

חוק אום מקשר בין המתח לזרם ברכיב אחד. אבל במעגל שיש בו כמה רכיבים וכמה מסלולים דרושים שני חוקים נוספים: חוק המראה כיצד מתחלקים הזרמים בנקודות ההסתעפות, וחוק המראה כיצד מתחלקים המתחים לאורך מסלול סגור. אלה שני חוקי קירכהוף, ועליהם, יחד עם חוק אום, נשען הניתוח של כל המעגלים החשמליים בפרקים הבאים.

בסוף הפרק הזה נדע:
  • לסמן את הזרמים הנכנסים לצומת ואת הזרמים היוצאים ממנו.
  • לחשב זרמים לפי חוק הזרמים של קירכהוף: סכום הזרמים הנכנסים לצומת שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנו.
  • להגדיר ענף וחוג במעגל חשמלי.
  • לסמן את הקוטביות של מפל המתח על נגד ואת הקוטביות של מתח המקור.
  • לחשב מתחים לפי חוק המתחים של קירכהוף: הסכום האלגברי של המתחים בחוג סגור שווה לאפס.

חוק הזרמים של קירכהוף (KCL)

הזרם החשמלי הוא תנועה של מטענים. המטענים אינם מצטברים בנקודה במעגל ואינם נעלמים ממנה: כל מטען שמגיע לנקודת הסתעפות יוצא ממנה באחד המסלולים. מן העובדה הפשוטה הזאת נובע החוק הראשון.

צומת: נקודה במעגל שבה נפגשים שלושה מוליכים או יותר. בצומת הזרם מסתעף לכמה מסלולים, או מתאספים בו זרמים מכמה מסלולים. בסכמה מסמנים את הצומת בנקודה שחורה.

סימון זרמים נכנסים ויוצאים מצומת:

I1I2I3I4A
הצומת A : זרמים נכנסים (בכחול) וזרמים יוצאים (באדום)

חישוב זרמים באמצעות חוק הזרמים של קירכהוף:

חוק הזרמים של קירכהוף (KCL): סכום הזרמים הנכנסים לצומת שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנו. ובניסוח אחר: הסכום האלגברי של כל הזרמים הנכנסים לצומת והיוצאים ממנו שווה לאפס.
חוק הזרמים של קירכהוף
Σ Iin = Σ Iout
Σ I = 0
סימןמשמעותיחידת מידה
Σ Iinסכום הזרמים הנכנסים לצומת[A]
Σ Ioutסכום הזרמים היוצאים מן הצומת[A]
Σ Iהסכום האלגברי: זרם נכנס בסימן (+) וזרם יוצא בסימן (−)[A]

לצומת שבאיור הקודם כותבים את החוק באחת משתי הצורות, והן שקולות:

I1 + I2 = I3 + I4
I1 + I2 − I3 − I4 = 0
דוגמה 4.1
אל הצומת A נכנסים הזרמים I1 = 3 A ו-I2 = 5 A , ויוצאים ממנו הזרמים I3 = 2 A ו-I4. נחשב את I4.
I1 = 3 AI2 = 5 AI3 = 2 AI4 = ?A
פתרון:

נכתוב את חוק הזרמים של קירכהוף לצומת A : הנכנסים באגף אחד והיוצאים באגף האחר.

I1 + I2 = I3 + I4
3 + 5 = 2 + I4
I4 = 8 − 2 = 6 A
I4 = 6 A
דוגמה 4.2
אל הצומת A נכנס הזרם I1 = 8 A , ויוצאים ממנו הזרמים I2 = 3 A ו-I3 = 7 A. כיוון הזרם I4 אינו ידוע. נחשב את גודלו ואת כיוונו.
I1 = 8 AI2 = 3 AI3 = 7 AI4 = ?A
פתרון:

נבחר כיוון לזרם I4 : נניח שהוא יוצא מן הצומת, כמו באיור. נכתוב את החוק:

I1 = I2 + I3 + I4
8 = 3 + 7 + I4
I4 = 8 − 10 = −2 A

התוצאה שלילית. פירוש הדבר שהכיוון האמיתי הפוך לכיוון שבחרנו: הזרם I4 נכנס אל הצומת וגודלו 2 A.

בדיקה: הנכנסים 8 + 2 = 10 A , והיוצאים 3 + 7 = 10 A.

I4 = −2 A
דוגמה 4.3
במעגל שבאיור המקור מספק זרם I = 0.9 A. נמדדו הזרמים I1 = 0.5 A ו-I2 = 100 mA. נחשב את הזרם I3.
+−ER1I1 = 0.5 AR2I2 = 100 mAR3I3 = ?I = 0.9 AAB
פתרון:

נמיר: I2 = 100 mA = 0.1 A. המוליך העליון כולו הוא נקודה חשמלית אחת, הצומת A : נכנס אליו הזרם I ויוצאים ממנו שלושת הזרמים.

I = I1 + I2 + I3
0.9 = 0.5 + 0.1 + I3
I3 = 0.9 − 0.6 = 0.3 A

בצומת B שלושת הזרמים מתאספים מחדש, ואל המקור חוזר אותו זרם I = 0.9 A.

I3 = 0.3 A
שאלה 4.1: אל צומת נכנס זרם I1 = 2.5 A ויוצאים ממנו שני זרמים: I2 = 0.7 A ו-I3. מהו הזרם I3?
שאלה 4.2: נתבונן בצומת שבאיור. נחשב את גודל הזרם I4 ונקבע את כיוונו האמיתי.
I1 = 4 AI2 = 12 AI3 = 6 AI4 = ?A
▶ניסוי חי — חוק הזרמים של קירכהוףמשנים את הנגדים ורואים כיצד מתחלק הזרם בצומת, ובודקים שסכום הזרמים הנכנסים שווה לסכום היוצאים.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator
פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

חוק המתחים של קירכהוף (KVL)

הגדרת המושגים ענף וחוג במעגל חשמלי:

ענף: חלק של המעגל המחבר בין שני צמתים, ויש בו רכיב אחד או כמה רכיבים המחוברים בטור. בכל רכיבי הענף זורם אותו זרם.
חוג: מסלול סגור במעגל: יוצאים מנקודה, עוברים דרך כמה רכיבים, וחוזרים לאותה נקודה בלי לעבור באף רכיב פעמיים.
+−+−E1E2ABR1R2R3I1I2I312
מעגל שיש בו שני צמתים, שלושה ענפים ושלושה חוגים
המספרהפירוט
הצמתים2A ו-B
הענפים3השמאלי (E1 ו-R1) עם הזרם I1 , האמצעי (R3) עם הזרם I3 , הימני (E2 ו-R2) עם הזרם I2
החוגים3חוג 1 (השמאלי), חוג 2 (הימני), והחוג החיצוני העובר בשני המקורות וב-R1 וב-R2
הערה: מספר הזרמים השונים במעגל שווה למספר הענפים. פינות שנפגשים בהן שני מוליכים בלבד אינן צמתים, כי הזרם אינו מסתעף בהן.

סימון מפלי מתח על נגד ומקור מתח:

כדי לכתוב את חוק המתחים עלינו לדעת, בכל רכיב, באיזה הדק הפוטנציאל גבוה יותר (+) ובאיזה הדק הוא נמוך יותר (−) :

IR+−U = I·R
נגד: ההדק שהזרם נכנס בו הוא (+)
+−E
מקור מתח: הקו הארוך הוא תמיד (+)

חישוב מתחים באמצעות חוק המתחים של קירכהוף:

אם מטפסים על הר וחוזרים לנקודת ההתחלה, סך כל מה שעלינו שווה לסך כל מה שירדנו. כך גם המתח: אם מקיפים חוג וחוזרים לנקודת ההתחלה, חוזרים לאותו פוטנציאל.

חוק המתחים של קירכהוף (KVL): הסכום האלגברי של כל המתחים בחוג סגור שווה לאפס. ובניסוח אחר: סכום מתחי המקורות בחוג שווה לסכום מפלי המתח על הנגדים.
חוק המתחים של קירכהוף
Σ U = 0
Σ E = Σ I·R
סימןמשמעותיחידת מידה
Σ Uהסכום האלגברי של כל המתחים בחוג[V]
Σ Eהסכום האלגברי של מתחי המקורות בחוג[V]
Σ I·Rסכום מפלי המתח על נגדי החוג[V]
מוסכמת הסימנים — משמשת אותנו בכל הספר:
  1. מסמנים את כיוון הזרם בכל ענף, ומסמנים את הקוטביות (+) ו-(−) על כל רכיב.
  2. בוחרים כיוון להקפת החוג. בספר הזה מקיפים תמיד עם כיוון השעון, ומתחילים מן ההדק השלילי של המקור.
  3. עוברים על הרכיבים בזה אחר זה. אם חוצים את הרכיב מ-(−) אל (+) , זו עליית מתח וכותבים אותה בסימן (+). אם חוצים אותו מ-(+) אל (−) , זה מפל מתח וכותבים אותו בסימן (−).
  4. משווים את הסכום לאפס.

מן המוסכמה הזאת נובע: נגד שחוצים אותו עם כיוון הזרם כותבים −I·R , ונגד שחוצים אותו נגד כיוון הזרם כותבים +I·R. מקור שחוצים אותו מן ההדק השלילי אל ההדק החיובי כותבים +E , ולהפך −E.

דוגמה 4.4
בחוג שבאיור E = 24 V , ונמדדו המתחים U1 = 6 V ו-U2 = 10 V. נחשב את המתח U3.
+−E = 24 VR1+−U1 = 6 VR2+−U2 = 10 VR3+−U3 = ?I
פתרון:

הזרם יוצא מן ההדק החיובי של המקור וזורם עם כיוון השעון, ולפיו סומנה הקוטביות על הנגדים. נקיף עם כיוון השעון ונתחיל מן ההדק השלילי של המקור: את המקור חוצים מ-(−) אל (+) , וכל נגד חוצים מ-(+) אל (−).

+E − U1 − U2 − U3 = 0
24 − 6 − 10 − U3 = 0
U3 = 8 V

סכום מפלי המתח 6 + 10 + 8 = 24 V אכן שווה למתח המקור.

U3 = 8 V
דוגמה 4.5
בחוג שבאיור E = 12 V , R1 = 2 Ω ו-R2 = 4 Ω. נחשב:
א. את הזרם בחוג.
ב. את מפל המתח על כל נגד.
+−E = 12 VR1 = 2 Ω+−U1R2 = 4 Ω+−U2I
פתרון:

א. בחוג יש ענף אחד, ולכן אותו זרם I זורם בכל הרכיבים. נכתוב את חוק המתחים של קירכהוף, ונציב את מפל המתח על כל נגד לפי חוק אום:

+E − I·R1 − I·R2 = 0
12 − 2·I − 4·I = 0
I = 126 = 2 A

ב. לפי חוק אום:

U1 = I·R1 = 2 · 2 = 4 V
U2 = I·R2 = 2 · 4 = 8 V

בדיקה: 4 + 8 = 12 V.

I = 2 A
דוגמה 4.6
בחוג שבאיור יש שני מקורות: E1 = 18 V ו-E2 = 6 V , ושני נגדים: R1 = 2 Ω ו-R2 = 4 Ω. נחשב את הזרם בחוג.
+−E1 = 18 VR1 = 2 Ω+−U1R2 = 4 Ω+−U2+−E2 = 6 VI
פתרון:

נניח שהזרם זורם עם כיוון השעון. נקיף באותו כיוון: את המקור E1 חוצים מ-(−) אל (+) , את שני הנגדים חוצים עם כיוון הזרם, ואת המקור E2 חוצים מ-(+) אל (−).

+E1 − I·R1 − I·R2 − E2 = 0
18 − 2·I − 4·I − 6 = 0
I = 126 = 2 A

התוצאה חיובית, ולכן כיוון הזרם שהנחנו נכון. שני המקורות מחוברים בכיוונים מנוגדים, ולכן מתחיהם מתחסרים, כפי שלמדנו בפרק 1.

I = 2 A

שימוש בשני החוקים יחד:

דוגמה 4.7
במעגל שבאיור E1 = 20 V , R1 = 2 Ω , R2 = 1 Ω , R3 = 4 Ω , ונמדד הזרם I1 = 2 A. נחשב:
א. את הזרם I3.
ב. את הזרם I2.
ג. את מתח המקור E2.
+−+−E1 = 20 VE2ABR1 = 2 ΩR2 = 1 ΩR3 = 4 Ω+−+−+−I1 = 2 AI2I312
פתרון:

א. חוק המתחים של קירכהוף בחוג 1. נתחיל מן ההדק השלילי של המקור E1 : חוצים את המקור מ-(−) אל (+) , ואחר כך את R1 ואת R3 עם כיוון הזרם:

+E1 − I1·R1 − I3·R3 = 0
20 − 2 · 2 − I3 · 4 = 0
I3 = 164 = 4 A

ב. חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A : נכנסים אליו I1 ו-I2 ויוצא ממנו I3.

I1 + I2 = I3
I2 = 4 − 2 = 2 A

ג. חוק המתחים של קירכהוף בחוג 2. נתחיל מן הצומת B ונקיף עם כיוון השעון: חוצים את R3 מלמטה למעלה, כלומר נגד כיוון I3 ; אחר כך חוצים את R2 משמאל לימין, כלומר נגד כיוון I2 ; ואחר כך חוצים את המקור E2 מ-(+) אל (−) :

+I3·R3 + I2·R2 − E2 = 0
4 · 4 + 2 · 1 − E2 = 0
E2 = 18 V

בדיקה בחוג החיצוני: +E1 − I1·R1 + I2·R2 − E2 = 20 − 4 + 2 − 18 = 0.

E2 = 18 V
שאלה 4.3: במעגל של הדוגמה הקודמת:
א. מהו המתח UAB בין שני הצמתים?
ב. מהו מפל המתח על R1 ועל R2?
▶ניסוי חי — חוקי קירכהוףמשנים את מתחי המקורות ואת ערכי הנגדים, ורואים כיצד מתחלקים הזרמים בצמתים והמתחים לאורך החוגים.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator
פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

סיכום נוסחאות הפרק:

החוקהנוסחה
חוק הזרמים של קירכהוףΣ Iin = Σ Iout
חוק הזרמים של קירכהוף, הצורה האלגבריתΣ I = 0
חוק המתחים של קירכהוףΣ U = 0
חוק המתחים של קירכהוף, צורה אחרתΣ E = Σ I·R
מפל המתח על נגדU = I·R

מילון מונחים:

עבריתEnglishالعربية
חוקי קירכהוףKirchhoff's lawsقوانين كيرخهوف
חוק הזרמים של קירכהוףKCLقانون كيرخهوف للتيار
חוק המתחים של קירכהוףKVLقانون كيرخهوف للجهد
צומתNodeعُقدة – نقطة تفرّع
ענףBranchفرع
חוגLoopحلقة
זרם נכנסEntering currentتيار داخل
זרם יוצאLeaving currentتيار خارج
סכום אלגבריAlgebraic sumالمجموع الجبري
מפל מתחVoltage dropهبوط الجهد
עליית מתחVoltage riseارتفاع الجهد
קוטביותPolarityالقطبية
עם כיוון השעוןClockwiseمع اتجاه عقارب الساعة
חוג סגורClosed loopحلقة مغلقة

שאלות לתרגול:

1.
אל צומת נכנסים הזרמים I1 = 1.2 A ו-I2 = 0.8 A , ויוצאים ממנו הזרמים I3 = 0.5 A ו-I4. נחשב את I4.
I1 = 1.2 AI2 = 0.8 AI3 = 0.5 AI4 = ?A
תשובות: I4 = 1.5 A
2.
נתבונן בצומת שבאיור. נחשב את גודל הזרם I3 ונקבע את כיוונו האמיתי.
I1 = 40 mAI2 = 80 mAI3 = ?I4 = 15 mAA
תשובות: I3 = +25 mA , כלומר כיוונו האמיתי כפי שמסורטט: נכנס אל הצומת
3.
במעגל שבאיור נמדדו: I1 = 1.5 A ו-I2 = 0.75 A. נחשב את הזרם I שהמקור מספק.
+−ER1I1 = 1.5 AR2I2 = 0.75 AI = ?AB
תשובות: I = 2.25 A
4.
במעגל שבאיור המקור מספק זרם I = 2 A. נמדדו: I1 = 400 mA ו-I3 = 0.9 A. נחשב את I2.
+−ER1I1 = 400 mAR2I2 = ?R3I3 = 0.9 AI = 2 AAB
תשובות: I2 = 0.7 A
5.
בחוג שבאיור E = 30 V , U1 = 12 V ו-U3 = 7.5 V. נחשב את U2.
+−E = 30 VR1+−U1 = 12 VR2+−U2 = ?R3+−U3 = 7.5 VI
תשובות: U2 = 10.5 V
6.
בחוג שבאיור E = 36 V , R1 = 3 Ω , R2 = 5 Ω ו-R3 = 4 Ω.
א. נחשב את הזרם בחוג.
ב. נחשב את מפל המתח על כל נגד ונבדוק לפי חוק המתחים של קירכהוף.
+−E = 36 VR1 = 3 Ω+−U1R2 = 5 Ω+−U2R3 = 4 Ω+−U3I
תשובות: א. I = 3 A. ב. U1 = 9 V , U2 = 15 V , U3 = 12 V , וסכומם 36 V
7.
בחוג שבאיור E1 = 9 V , E2 = 15 V , R1 = 5 Ω ו-R2 = 3 Ω. שני המקורות מחוברים באותו כיוון. נחשב את הזרם בחוג.
+−E1 = 9 VR1 = 5 Ω+−U1R2 = 3 Ω+−U2+−E2 = 15 VI
תשובות: +E1 − I·R1 − I·R2 + E2 = 0 , I = 3 A
8.
בחוג שיש בו מקור E = 30 V ושני נגדים בטור זורם זרם I = 2 A. נתון R1 = 5 Ω.
א. נחשב את מפל המתח על R1.
ב. נחשב את מפל המתח על R2.
ג. נחשב את R2.
+−E = 30 VR1 = 5 Ω+−U1R2 = ?+−U2I = 2 A
תשובות: א. U1 = 10 V. ב. U2 = 20 V. ג. R2 = 10 Ω
9.
בחוג שבאיור E1 = 24 V , E2 = 6 V , R1 = 4 Ω ו-R2 = 5 Ω.
א. נחשב את הזרם בחוג.
ב. נחשב את מפל המתח על כל נגד.
+−E1 = 24 VR1 = 4 Ω+−U1R2 = 5 Ω+−U2+−E2 = 6 VI
תשובות: א. I = 2 A. ב. U1 = 8 V , U2 = 10 V
10.
נתבונן במעגל שבאיור.
א. כמה צמתים, כמה ענפים וכמה חוגים יש במעגל?
ב. נכתוב את חוק הזרמים של קירכהוף לצומת A.
ג. נכתוב את חוק המתחים של קירכהוף לחוג 1 ולחוג 2.
+−+−E1E2ABR1R2R3+−+−+−I1I2I312
תשובות: א. שני צמתים, שלושה ענפים, שלושה חוגים. ב. I1 + I2 = I3. ג. חוג 1: +E1 − I1·R1 − I3·R3 = 0 ; חוג 2: +I3·R3 + I2·R2 − E2 = 0
11.
במעגל של השאלה הקודמת נתון: E1 = 12 V , R1 = 2 Ω , R2 = 4 Ω , R3 = 3 Ω , ונמדד I1 = 1.5 A. נחשב:
א. את I3.
ב. את I2.
ג. את E2.
תשובות: א. I3 = 3 A. ב. I2 = 1.5 A. ג. E2 = 15 V
12.
תלמיד כתב את חוק המתחים של קירכהוף לחוג וקיבל זרם I = −0.5 A. מה פירוש הסימן השלילי? האם עליו לפתור את השאלה מחדש?
תשובות: הכיוון האמיתי של הזרם הפוך לכיוון שהוא הניח, וגודלו 0.5 A. אין צורך בפתרון חדש
תשובות סופיות לשאלות הפרק
4.1 I3 = 1.8 A
4.2 I4 = −2 A , כלומר גודלו 2 A וכיוונו האמיתי אל הצומת (נכנס)
4.3 א. UAB = I3·R3 = 16 V · ב. U1 = 4 V , U2 = 2 V

שאלות בגרות לפרק 4

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.
בגרות 2025 שאלה 1 — לולאה טורית עם שני מקורות
סעיףהנדרשתשובה סופית
סעיף אההתנגדות השקולה והזרםRT = 70 Ω ; I = 0.5 A
סעיף בההספק על R₂P(R₂) = 5.75 W
סעיף גהמתח בין A ל-BUAB = 5 V
הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025
בגרות 2023 שאלה 4 — מעגל חד-חוגי עם שלושה מקורות
סעיףהנדרשתשובה סופית
סעיף אקריאת מד-הזרם כאשר המפסק S פתוחI = 3 A
סעיף בהמתח בין הנקודות A ו-B (S פתוח)בפתרון המלא
סעיף גההספק על R₂ כאשר סוגרים את המפסק SP(R₂) = 10.125 W
הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023
בגרות 2022 שאלה 2 — מעגל עם שני מקורות מתח (חוקי קירכהוף)
סעיףהנדרשתשובה סופית
סעיף אחישוב הזרמים I₁ ו-I₂I₁ = 0.25 A ; I₂ = 0.15 A
סעיף בהמתח על הנגד R₃UR3 = 18 V
סעיף גההספק המתפתח בנגד R₄PR4 = 1.8 W
הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2022
נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.