פרק 9

שיטות לפתרון מעגלים חשמליים

כיתה י׳ · 18 שעות לימוד

עד כה פתרנו מעגלים שיש בהם מקור אחד: חיברנו נגדים בטור ובמקביל עד שקיבלנו התנגדות שקולה אחת. אבל במעגל שיש בו שני מקורות או יותר בענפים שונים השיטה הזאת אינה מועילה, כי הנגדים בו אינם מחוברים לא בטור ולא במקביל. בפרק הזה נלמד שתי שיטות מסודרות, המבוססות על חוקי קירכהוף, שמתאימות לפתרון כל מעגל: שיטת זרמי החוגים ושיטת מתחי הצמתים.

בסוף הפרק הזה נדע:

נגדיר זרם חוג ונמצא בעזרתו את הזרם בכל ענף של המעגל.
נכתוב את משוואות המתחים בחוגים לפי חוק המתחים של קירכהוף, ונפתור אותן.
נכתוב את המשוואות ישירות בצורה הסטנדרטית R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁.
נבחר צומת ייחוס ונגדיר את המתח של כל צומת ביחס אליו.
נכתוב את משוואות הזרמים בצמתים לפי חוק הזרמים של קירכהוף, ונפתור אותן.
נפתור שתי משוואות בשני נעלמים בשיטת ההצבה ובשיטת השוואת המקדמים.
שתי השיטות נותנות תמיד אותן תוצאות, ונבדוק את הפתרון במאזן ההספקים.

הערה למורה ולתלמיד: לפי תכנית הלימודים, בית הספר בוחר ללמד לפחות שיטה אחת מן השתיים: זרמי חוגים או מתחי צמתים. שתי השיטות פותרות אותם מעגלים ונותנות אותן תוצאות. בפרק הזה נפתור אותם מעגלים בשתי השיטות ונשווה ביניהן.

תזכורת: צומת, ענף וחוג:

צומת: נקודה שבה נפגשים שלושה מוליכים או יותר. בסרטוט שני צמתים: A ו-B.
ענף: מסלול בין שני צמתים, שבכל רכיביו עובר אותו זרם. בסרטוט שלושה ענפים.
חוג: מסלול סגור במעגל. חוג בלתי תלוי הוא "חלון" בסרטוט שאין בתוכו ענפים. בסרטוט שני חוגים בלתי תלויים.

מעגל שיש בו שני צמתים, שלושה ענפים ושני חוגים בלתי תלויים

אילו פתרנו את המעגל הזה ישירות בחוקי קירכהוף, היינו צריכים שלוש משוואות בשלושה נעלמים, נעלם לכל ענף. שתי השיטות שנלמד מקטינות את מספר המשוואות: במעגל הזה דרושות רק שתי משוואות בשיטת זרמי החוגים, ורק משוואה אחת בשיטת מתחי הצמתים.

שיטת זרמי חוגים (Mesh Current Method)

המושג זרם חוג:

זרם חוג: הוא זרם שאנחנו מניחים שהוא מסתובב בחוג בלתי תלוי שלם, ועובר בכל רכיביו. לכל חוג בלתי תלוי קובעים זרם חוג אחד, ומסמנים את זרמי החוגים I₁ , I₂ , ...

את כיוון זרם החוג בוחרים כרצוננו. נוח לבחור את כל הזרמים עם כיוון השעון.
בענף ששייך לחוג אחד בלבד, זרם הענף שווה לזרם החוג. בסרטוט: הזרם ב-R₁ הוא I₁ , והזרם ב-R₂ הוא I₂.
בענף משותף לשני חוגים עוברים שני הזרמים יחד. בסרטוט I₁ עובר ב-R₃ כלפי מטה ו-I₂ עובר בו כלפי מעלה, ולכן הזרם ב-R₃ כלפי מטה הוא I₁ − I₂.

זרמי שני החוגים I₁ ו-I₂ , שניהם עם כיוון השעון

הערה: זרם החוג הוא כלי חישוב: הנעלמים הם זרמי החוגים, ומספרם קטן ממספר הענפים. אחרי שמוצאים אותם מחשבים מהם את זרמי הענפים האמיתיים. אם מתקבל זרם שלילי, פירוש הדבר שכיוונו האמיתי הפוך לכיוון שבחרנו.

משוואות המתחים בחוגים ופתרון המשוואות:

לכל חוג בלתי תלוי כותבים משוואה אחת לפי חוק המתחים של קירכהוף: סכום המתחים במסלול סגור שווה לאפס. שלבי הפתרון:

מזהים את החוגים הבלתי תלויים ומסרטטים לכל חוג זרם חוג עם כיוון השעון.
מקיפים כל חוג בכיוון הזרם שלו וכותבים את חוק המתחים של קירכהוף: מקור שעוברים בו מן ההדק השלילי אל ההדק החיובי נרשם בסימן חיובי, ומקור שעוברים בו מן החיובי אל השלילי נרשם בסימן שלילי. על כל נגד נופל מתח השווה להתנגדות כפול הזרם העובר בו בכיוון ההקפה.
מסדרים את המשוואות ופותרים אותן, ומקבלים את זרמי החוגים.
מחשבים את זרמי הענפים, ואחר כך את המתחים ואת ההספקים לפי הנדרש.
בודקים את הפתרון: חוק הזרמים של קירכהוף בצומת, או מאזן ההספקים.

דוגמה 9.1

במעגל שבסרטוט שני מקורות ושלושה נגדים. נמצא בשיטת זרמי החוגים את הזרם בכל ענף, ואת המתח U_AB.

פתרון:

שלב 1. במעגל שני חוגים בלתי תלויים. נקבע את הזרם I₁ בחוג השמאלי ואת הזרם I₂ בחוג הימני, שניהם עם כיוון השעון.

שלב 2, החוג השמאלי. נקיף בכיוון I₁ החל מן הצומת B: עוברים במקור E₁ מן השלילי אל החיובי (+E₁), ואחר כך נופל מתח על R₁. בנגד המשותף R₃ הזרם בכיוון ההקפה הוא I₁ − I₂:

E₁ − R₁·I₁ − R₃·(I₁ − I₂) = 0

28 − 4·I₁ − 8·(I₁ − I₂) = 0

12·I₁ − 8·I₂ = 28 (1)

החוג הימני. נקיף בכיוון I₂ החל מן הצומת A: נופל מתח על R₂ , ואחר כך עוברים במקור E₂ מן החיובי אל השלילי (−E₂). ב-R₃ הזרם בכיוון ההקפה הוא I₂ − I₁:

−R₂·I₂ − E₂ − R₃·(I₂ − I₁) = 0

−2·I₂ − 14 − 8·(I₂ − I₁) = 0

−8·I₁ + 10·I₂ = −14 (2)

שלב 3. נפתור את שתי המשוואות בשיטת ההצבה. תחילה נפשט: נחלק את משוואה (1) ב-4 ואת משוואה (2) ב-2:

3·I₁ − 2·I₂ = 7

−4·I₁ + 5·I₂ = −7

מן המשוואה הראשונה נבטא את I₁ באמצעות I₂:

I₁ = 7 + 2·I₂3

נציב את הביטוי הזה במשוואה השנייה, ונכפול את שני האגפים ב-3:

−4·7 + 2·I₂3 + 5·I₂ = −7

−28 − 8·I₂ + 15·I₂ = −21

7·I₂ = 7

I₂ = 1 A

I₁ = 7 + 2 · 13 = 3 A

שלב 4. זרמי הענפים:

I_R1 = I₁ = 3 A

I_R2 = I₂ = 1 A

I_R3 = I₁ − I₂ = 3 − 1 = 2 A

שני הזרמים חיוביים, כלומר כיוונם האמיתי הוא כפי שבחרנו: הזרם ב-R₁ זורם אל הצומת A , הזרם ב-R₂ יוצא מן הצומת A ימינה, והזרם ב-R₃ זורם מ-A אל B.

המתח בין שני הצמתים:

U_AB = I_R3·R₃ = 2 · 8 = 16 V

שלב 5, בדיקה. נחשב את U_AB פעם נוספת דרך הענף השמאלי, וצריכה להתקבל אותה תוצאה:

U_AB = E₁ − R₁·I₁ = 28 − 4 · 3 = 16 V

I₁ = 3 A , I₂ = 1 A , I_R3 = 2 A

מאזן הספקים: בדוגמה הקודמת הזרם נכנס אל המקור E₂ דרך ההדק החיובי שלו. מקור כזה אינו מוסר הספק אלא צורך אותו, כמו מצבר בזמן טעינה. מאזן ההספקים: המקור E₁ מוסר 84 W , על שלושת הנגדים מתפתחים יחד 70 W , והמקור E₂ צורך 14 W. ואכן: 84 = 70 + 14.

פתרון שתי משוואות בשני נעלמים:

בדוגמה הקודמת פתרנו את שתי המשוואות בשיטת ההצבה: ביטאנו נעלם אחד באמצעות האחר והצבנו במשוואה השנייה. שיטה שנייה, נוחה יותר ברוב המקרים, היא שיטת השוואת המקדמים: כופלים את שתי המשוואות במספרים מתאימים עד שהמקדמים של אחד הנעלמים משתווים, ואז מחברים את שתי המשוואות או מחסרים אותן, הנעלם הזה מתבטל ונשארת משוואה אחת בנעלם אחד.

דוגמה 9.2

במעגל שבסרטוט נמצא את זרמי החוגים בשיטת השוואת המקדמים, ואחר כך נחשב את הזרם בכל ענף.

פתרון:

נכתוב את חוק המתחים של קירכהוף בכל חוג, כמו בדוגמה הקודמת:

26 − 4·I₁ − 2·(I₁ − I₂) = 0

−3·I₂ − 13 − 2·(I₂ − I₁) = 0

נסדר את שתי המשוואות:

6·I₁ − 2·I₂ = 26 (1)

−2·I₁ + 5·I₂ = −13 (2)

נרצה לחסל את הנעלם I₂. נכפול את משוואה (1) ב-5 ואת משוואה (2) ב-2 , והמקדמים של I₂ נעשים שווים בגודלם:

30·I₁ − 10·I₂ = 130

−4·I₁ + 10·I₂ = −26

נחבר את שתי המשוואות, ו-I₂ מתבטל:

26·I₁ = 104

I₁ = 10426 = 4 A

נציב I₁ = 4 במשוואה (1) ונמצא את I₂:

6 · 4 − 2·I₂ = 26

−2·I₂ = 2

I₂ = −1 A

הזרם I₂ שלילי: הכיוון האמיתי של הזרם בחוג הימני הוא נגד כיוון השעון. כלומר הזרם ב-R₂ , שגודלו 1 A , זורם אל הצומת A.

הזרם בענף המשותף, מ-A אל B (נשים לב לסימן):

I_R3 = I₁ − I₂ = 4 − (−1) = 5 A

בדיקה לפי חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A: נכנסים אליו 4 A משמאל ו-1 A מימין, ויוצאים ממנו 5 A כלפי מטה. 4 + 1 = 5.

I₁ = 4 A , I₂ = −1 A , I_R3 = 5 A

שאלה 9.1:

במעגל שבסרטוט נכתוב את משוואות שני החוגים, נפתור אותן, ונמצא את הזרם בכל נגד.

▶ניסוי חי — זרמי חוגים — מעגל עם שני מקורותמשנים את המתח של כל מקור ואת ערכו של כל נגד, ורואים את שתי המשוואות, את פתרונן ואת כיוון הזרם בכל ענף.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_2sources_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_2sources_pro

הצורות הסטנדרטיות של המשוואות בשיטת זרמי החוגים:

אם נתבונן במשוואות המסודרות בשתי הדוגמאות הקודמות, נראה שתמיד יש להן אותה צורה. לכן אין צורך להקיף את החוג בכל פעם: כותבים את המשוואות ישירות לפי הצורה הסטנדרטית. למעגל שיש בו שני חוגים:

הצורה הסטנדרטית — שני חוגים

R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁

−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
R₁₁	ההתנגדות העצמית של חוג 1: סכום כל ההתנגדויות שבחוג. באותה דרך R₂₂ לחוג 2	[Ω]
R₁₂	ההתנגדות המשותפת: ההתנגדות שבענף המשותף לשני החוגים. תמיד R₂₁ = R₁₂	[Ω]
E₁₁	הסכום האלגברי של מקורות המתח בחוג 1. באותה דרך E₂₂ לחוג 2	[V]
I₁ , I₂	זרמי שני החוגים, שניהם עם כיוון השעון	[A]

סימן המקור: מקור שדוחף את הזרם בכיוון זרם החוג (זרם החוג יוצא מן ההדק החיובי שלו) נרשם בסימן חיובי, ומקור שדוחף נגד כיוון זרם החוג נרשם בסימן שלילי.
סימן ההתנגדות המשותפת תמיד שלילי, בתנאי שבוחרים את כל זרמי החוגים באותו כיוון סיבוב.
למעגל שיש בו שלושה חוגים כותבים שלוש משוואות באותה דרך. אם אין לשני חוגים ענף משותף, ההתנגדות המשותפת שלהם היא אפס.

פתרון מוכן לשתי המשוואות

D = R₁₁·R₂₂ − R₁₂²

I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂D

I₂ = E₂₂·R₁₁ + E₁₁·R₁₂D

סימן	משמעות	יחידת מידה
D	גודל עזר (הדטרמיננטה)	[Ω²]

דוגמה 9.3

במעגל שבסרטוט ההדק החיובי של המקור E₂ פונה כלפי מטה. נכתוב את שתי המשוואות ישירות בצורה הסטנדרטית, ונמצא את זרמי החוגים ואת הזרם ב-R₃.

פתרון:

ההתנגדות העצמית של כל חוג וההתנגדות המשותפת:

R₁₁ = R₁ + R₃ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂₂ = R₂ + R₃ = 10 + 3 = 13 Ω

R₁₂ = R₃ = 3 Ω

מקורות המתח: בחוג השמאלי E₁ דוחף בכיוון I₁. בחוג הימני I₂ יוצא מן ההדק החיובי של המקור E₂ , כלומר גם E₂ דוחף בכיוון I₂:

E₁₁ = +E₁ = 24 V

E₂₂ = +E₂ = 8 V

שתי המשוואות:

5·I₁ − 3·I₂ = 24 (1)

−3·I₁ + 13·I₂ = 8 (2)

נפתור בעזרת הפתרון המוכן:

D = 5 · 13 − 3² = 56

I₁ = 24 · 13 + 8 · 356 = 33656 = 6 A

I₂ = 8 · 5 + 24 · 356 = 11256 = 2 A

הזרם ב-R₃ , מ-A אל B , והמתח בין שני הצמתים:

I_R3 = I₁ − I₂ = 6 − 2 = 4 A

U_AB = I_R3·R₃ = 4 · 3 = 12 V

בדיקה במאזן ההספקים: ההספק ששני המקורות מוסרים, ואחריו ההספק המתפתח על שלושת הנגדים:

24 · 6 + 8 · 2 = 160 W

72 + 40 + 48 = 160 W

I₁ = 6 A , I₂ = 2 A , I_R3 = 4 A

דוגמה 9.4

במעגל שבסרטוט שלושה מקורות וחמישה נגדים. נמצא בשיטת זרמי החוגים את הזרם בכל נגד, ונבדוק את הפתרון במאזן ההספקים.

פתרון:

במעגל שלושה חוגים בלתי תלויים, ולכן נכתוב שלוש משוואות בצורה הסטנדרטית. ההתנגדויות העצמיות והמשותפות:

R₁₁ = R₁ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂₂ = R₄ + R₂ + R₅ = 4 + 2 + 2 = 8 Ω

R₃₃ = R₅ + R₃ = 2 + 2 = 4 Ω

R₁₂ = R₄ = 4 Ω

R₂₃ = R₅ = 2 Ω

R₁₃ = 0

מקורות המתח: E₁ דוחף בכיוון I₁ , E₂ דוחף בכיוון I₂ , ואילו E₃ דוחף נגד כיוון I₃ , ולכן E₃₃ = −E₃. המשוואות:

8·I₁ − 4·I₂ = 24 (1)

−4·I₁ + 8·I₂ − 2·I₃ = 10 (2)

−2·I₂ + 4·I₃ = −4 (3)

נפשט: נחלק את משוואה (1) ב-4 , את משוואה (2) ב-2 ואת משוואה (3) ב-2:

2·I₁ − I₂ = 6

−2·I₁ + 4·I₂ − I₃ = 5

−I₂ + 2·I₃ = −2

במשוואה הראשונה יש רק שני נעלמים, וכך גם בשלישית. מן הראשונה נבטא את I₂ באמצעות I₁ , ואחר כך מן השלישית נבטא את I₃ באמצעות I₁:

I₂ = 2·I₁ − 6

2·I₃ = I₂ − 2 = 2·I₁ − 6 − 2

I₃ = I₁ − 4

נציב את שני הביטויים במשוואה השנייה, ונשארת משוואה בנעלם אחד:

−2·I₁ + 4·(2·I₁ − 6) − (I₁ − 4) = 5

5·I₁ = 25

I₁ = 5 A

I₂ = 2 · 5 − 6 = 4 A

I₃ = 5 − 4 = 1 A

הזרמים בשני הנגדים המשותפים, כלפי מטה:

I_R4 = I₁ − I₂ = 5 − 4 = 1 A

I_R5 = I₂ − I₃ = 4 − 1 = 3 A

ב-R₁ עובר I₁ , ב-R₂ עובר I₂ וב-R₃ עובר I₃. הזרם I₃ חיובי, כלומר הוא נכנס אל המקור E₃ דרך ההדק החיובי שלו: המקור הזה צורך הספק.

בדיקה במאזן ההספקים. ההספק שהמקורות מוסרים (אחרי הפחתת מה ש-E₃ צורך):

24 · 5 + 10 · 4 − 4 · 1 = 156 W

ההספק המתפתח על הנגדים, לפי P = I²·R , בסדר R₁ , R₂ , R₃ , R₄ , R₅:

100 + 32 + 2 + 4 + 18 = 156 W

I₁ = 5 A , I₂ = 4 A , I₃ = 1 A

▶ניסוי חי — זרמי חוגים — מעגל עם שלושה מקורותמעגל גדול יותר, שיש בו שלושה מקורות. משנים את הנתונים ועוקבים אחרי כתיבת המשוואות ופתרונן צעד אחר צעד.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_3sources_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_3sources_pro

שאלה 9.2:

במעגל שבסרטוט ההדק החיובי של המקור E₂ פונה כלפי מטה. נכתוב את שתי המשוואות בצורה הסטנדרטית, ונמצא את זרמי החוגים ואת הזרם ב-R₃.

שיטת מתחי צמתים (Node Voltage Method)

בשיטת זרמי החוגים הנעלמים היו זרמים, וכתבנו משוואות מתחים. בשיטת מתחי הצמתים פועלים הפוך: הנעלמים הם מתחי הצמתים, והמשוואות הן משוואות זרמים לפי חוק הזרמים של קירכהוף.

הגדרת צומת ייחוס:

צומת ייחוס: הוא צומת שבוחרים וקובעים שהפוטנציאל שלו אפס, ואת המתחים של כל שאר הצמתים מודדים ביחס אליו. מסמנים אותו בסימן ההארקה. אפשר לבחור כל צומת, ונוח לבחור את הצומת שבו נפגש המספר הגדול ביותר של ענפים, ובדרך כלל זהו הצומת התחתון המחובר להדקים השליליים של המקורות.

הגדרת פוטנציאל (מתח) לכל צומת:

פוטנציאל הצומת: הוא הפרש הפוטנציאלים בין הצומת לבין צומת הייחוס. מסמנים אותו U_A , U_B , ... לפי שם הצומת. במעגל שיש בו n צמתים יש n − 1 מתחים נעלמים, כי הפוטנציאל של צומת הייחוס ידוע ושווה לאפס.

אם ידועים מתחי הצמתים אפשר לחשב את הזרם בכל ענף לפי חוק אום: הזרם בנגד שווה להפרש הפוטנציאלים בין שני הדקיו חלקי התנגדותו, והוא זורם מן ההדק שהפוטנציאל שלו גבוה אל ההדק שהפוטנציאל שלו נמוך.

ענף שיש בו נגד בלבד בין הצומת A לצומת הייחוס: הזרם היוצא מ-A הוא I = U_AR.
ענף שיש בו מקור ונגד (כמו בסרטוט): הפוטנציאל של הנקודה שבין המקור לנגד הוא E , ולכן הזרם הנכנס אל A הוא I = E − U_AR.
אם ההדק החיובי של המקור פונה אל צומת הייחוס, מציבים −E במקום E.

ענף שיש בו מקור ונגד בין צומת הייחוס לצומת A

משוואות הזרמים בצמתים ופתרון המשוואות:

בוחרים את צומת הייחוס ונותנים שמות למתחי שאר הצמתים.
קובעים כיוון משוער לזרם בכל ענף, ומבטאים כל זרם באמצעות מתחי הצמתים.
לכל צומת שאינו צומת הייחוס כותבים את חוק הזרמים של קירכהוף: סכום הזרמים הנכנסים שווה לסכום הזרמים היוצאים.
פותרים את המשוואות ומוצאים את מתחי הצמתים.
מציבים את המתחים בביטויי הזרמים. זרם שלילי פירושו שכיוונו האמיתי הפוך לכיוון המשוער.

דוגמה 9.5

נפתור שוב את המעגל של דוגמה 9.1 , הפעם בשיטת מתחי הצמתים, ונשווה את התוצאות.

פתרון:

שלב 1. במעגל שני צמתים. נבחר את הצומת B כצומת ייחוס, U_B = 0 , ונשאר נעלם אחד בלבד: U_A.

שלב 2. נניח ששני הזרמים I_R1 ו-I_R2 נכנסים אל הצומת A , ושהזרם I_R3 יוצא ממנו (כמו בסרטוט). נבטא את הזרמים באמצעות U_A:

I_R1 = E₁ − U_AR₁ = 28 − U_A4

I_R2 = E₂ − U_AR₂ = 14 − U_A2

I_R3 = U_AR₃ = U_A8

שלב 3. חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A:

I_R1 + I_R2 = I_R3

28 − U_A4 + 14 − U_A2 = U_A8

שלב 4. נכפול את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף, 8 , ונפתור:

2·(28 − U_A) + 4·(14 − U_A) = U_A

56 − 2·U_A + 56 − 4·U_A = U_A

112 = 7·U_A

U_A = 16 V

שלב 5. נציב את U_A בביטויי הזרמים:

I_R1 = 28 − 164 = 3 A

I_R2 = 14 − 162 = −1 A

I_R3 = 168 = 2 A

הזרם I_R2 שלילי: כיוונו האמיתי הפוך למה שהנחנו, כלומר הוא יוצא מן הצומת A ימינה. אלה בדיוק תוצאות דוגמה 9.1 : 3 A ב-R₁ , 1 A ב-R₂ , 2 A ב-R₃ , ו-U_AB = 16 V. ההבדל הוא שכאן פתרנו משוואה אחת במקום שתיים.

U_A = 16 V

במעגל שיש בו שני צמתים בלבד מתקבלת תמיד משוואה אחת, ואפשר לפתור אותה פעם אחת באותיות. התוצאה היא נוסחה ישירה למתח הצומת:

מתח הצומת במעגל בעל שני צמתים

U_A = E₁R₁ + E₂R₂ + E₃R₃1R₁ + 1R₂ + 1R₃

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_A	מתח הצומת A ביחס לצומת הייחוס	[V]
E₁	מתח המקור בענף 1, ובאותה דרך בשאר הענפים: חיובי אם ההדק החיובי שלו פונה אל A , שלילי אם הוא פונה אל צומת הייחוס, ואפס אם אין בענף מקור	[V]
R₁	ההתנגדות בענף 1, ובאותה דרך בשאר הענפים	[Ω]

דוגמה 9.6

במעגל שבסרטוט שלושה מקורות, מקור בכל ענף, וכל ההדקים החיוביים פונים אל הצומת A. נמצא את מתח הצומת A ואת הזרם בכל ענף.

פתרון:

נבחר את B כצומת ייחוס. במעגל שני צמתים, ולכן נשתמש בנוסחה הישירה:

U_A = 142 + 73 + 4612 + 13 + 16

U_A = 101 = 10 V

הזרמים בענפים. בענף האמצעי יש כעת מקור, ולכן הזרם היוצא בו מ-A הוא U_A − E₃R₃:

I_R1 = E₁ − U_AR₁ = 14 − 102 = 2 A

I_R2 = E₂ − U_AR₂ = 7 − 103 = −1 A

I_R3 = U_A − E₃R₃ = 10 − 46 = 1 A

רק המקור E₁ מספק זרם אל הצומת A (2 A). הזרם הזה מתחלק בין שני הענפים האחרים: 1 A בענף הימני ו-1 A בענף האמצעי, ונכנס אל המקורות E₂ ו-E₃ דרך ההדק החיובי. בדיקה: 2 = 1 + 1.

U_A = 10 V

שאלה 9.3:

במעגל שבסרטוט הצומת B הוא צומת הייחוס. נמצא את מתח הצומת A ואת הזרם בכל ענף (לפי הכיוונים המסורטטים).

▶ניסוי חי — מתחי צמתים — מעגל עם שני מקורותמשנים את המקורות ואת הנגדים, ורואים איך משתנה מתח הצומת ואיך הזרמים מתחלקים בין הענפים.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_nodal_2sources_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_nodal_2sources_pro

דוגמה 9.7

נפתור את המעגל של דוגמה 9.4 בשיטת מתחי הצמתים. המסילה התחתונה כולה היא צומת הייחוס, ושני הנעלמים הם מתחי הצמתים A ו-B.

פתרון:

במעגל שלושה צמתים: A , B וצומת הייחוס. לכן יש שני מתחים נעלמים, U_A ו-U_B , ונכתוב שתי משוואות (במקום שלוש משוואות בשיטת זרמי החוגים).

הענף העליון האמצעי מחבר בין A ל-B ויש בו המקור E₂ , שההדק החיובי שלו פונה אל B. הזרם בו מ-A אל B הוא U_A + E₂ − U_BR₂.

הצומת A: הזרם הנכנס מן הענף השמאלי שווה לסכום שני הזרמים היוצאים, ב-R₄ כלפי מטה ובענף האמצעי אל B:

E₁ − U_AR₁ = U_AR₄ + U_A + E₂ − U_BR₂

24 − U_A4 = U_A4 + U_A + 10 − U_B2

נכפול ב-4 ונסדר:

2·U_A − U_B = 2 (1)

הצומת B: נכנסים אליו הזרם מן הענף האמצעי והזרם מן הענף הימני, ויוצא ממנו הזרם ב-R₅ כלפי מטה:

U_A + E₂ − U_BR₂ + E₃ − U_BR₃ = U_BR₅

U_A + 10 − U_B2 + 4 − U_B2 = U_B2

נכפול ב-2 ונסדר:

U_A − 3·U_B = −14 (2)

נפתור בשיטת ההצבה. ממשוואה (1): U_B = 2·U_A − 2. נציב במשוואה (2):

U_A − 3·(2·U_A − 2) = −14

−5·U_A = −20

U_A = 4 V

U_B = 2 · 4 − 2 = 6 V

הזרמים בענפים:

I_R1 = E₁ − U_AR₁ = 24 − 44 = 5 A

I_R4 = U_AR₄ = 44 = 1 A

I_R2 = U_A + E₂ − U_BR₂ = 4 + 10 − 62 = 4 A

I_R5 = U_BR₅ = 62 = 3 A

I_R3 = E₃ − U_BR₃ = 4 − 62 = −1 A

הזרם I_R3 שלילי: הזרם בענף הימני יוצא מן הצומת B ונכנס אל המקור E₃ דרך ההדק החיובי שלו. כל התוצאות זהות לתוצאות דוגמה 9.4.

U_A = 4 V , U_B = 6 V

▶ניסוי חי — מתחי צמתים — מעגל עם שלושה מקורותמעגל עם שלושה מקורות: כותבים את משוואות הזרמים בצמתים ומשווים את הפתרון למדידה בסימולציה.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_nodal_3sources_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_nodal_3sources_pro

השוואה בין שתי השיטות:

	זרמי חוגים	מתחי צמתים
הנעלמים	זרמי החוגים הבלתי תלויים	מתחי הצמתים שאינם צומת הייחוס
החוק שלפיו כותבים את המשוואות	חוק המתחים של קירכהוף, בכל חוג	חוק הזרמים של קירכהוף, בכל צומת
מספר המשוואות	מספר החוגים הבלתי תלויים	מספר הצמתים פחות אחד
המעגל של דוגמה 9.1 (שני חוגים, שני צמתים)	שתי משוואות	משוואה אחת
המעגל של דוגמה 9.4 (שלושה חוגים, שלושה צמתים)	שלוש משוואות	שתי משוואות
מתי מעדיפים אותה?	כאשר מספר החוגים קטן	כאשר מספר הצמתים קטן, למשל ענפים רבים במקביל בין שני צמתים

הנחיות לפתרון: לפני שמתחילים לפתור סופרים את החוגים הבלתי תלויים ואת הצמתים, ובוחרים את השיטה שנותנת מספר קטן יותר של משוואות. בכל שיטה שהיא, בודקים את התוצאה בחוק הזרמים של קירכהוף או במאזן ההספקים.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
הזרם בענף המשותף לשני חוגים	I_R3 = I₁ − I₂
הצורה הסטנדרטית, חוג 1	R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁
הצורה הסטנדרטית, חוג 2	−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂
הפתרון המוכן למשוואות שני החוגים	I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂R₁₁·R₂₂ − R₁₂²
הזרם היוצא מן הצומת A בענף שיש בו נגד בלבד	I = U_AR
הזרם הנכנס אל הצומת A בענף שיש בו מקור ונגד	I = E − U_AR
מתח הצומת במעגל בעל שני צמתים	U_A = E₁R₁ + E₂R₂1R₁ + 1R₂ + 1R₃

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
צומת	Node	عُقدة
ענף	Branch	فرع
חוג	Loop / mesh	حلقة
חוג בלתי תלוי	Independent loop	حلقة مستقلة
שיטת זרמי חוגים	Mesh current method	طريقة تيارات الحلقات (التحليل الحلقي)
זרם חוג	Mesh current	تيار الحلقة
ענף משותף	Shared branch	فرع مشترك
התנגדות עצמית	Self resistance	المقاومة الذاتية
התנגדות משותפת	Mutual resistance	المقاومة المشتركة
הצורה הסטנדרטית	Standard form	الصيغة القياسية
דטרמיננטה	Determinant	المحدِّد
שיטת מתחי צמתים	Node voltage method	طريقة جهود العُقد (التحليل العُقدي)
צומת ייחוס	Reference node	العُقدة المرجعية
פוטנציאל הצומת	Node potential	جهد العُقدة
משוואה	Equation	معادلة
נעלם	Unknown	مجهول
שיטת ההצבה	Substitution	طريقة التعويض
שיטת השוואת המקדמים	Elimination	طريقة الحذف
חוק המתחים של קירכהוף	KVL	قانون كيرخهوف للجهد
חוק הזרמים של קירכהוף	KCL	قانون كيرخهوف للتيار
מאזן הספקים	Power balance	ميزان القدرة

שאלות לתרגול:

נפתור כל זוג משוואות, פעם בשיטת ההצבה ופעם בשיטת השוואת המקדמים:
א. 3·I₁ + 2·I₂ = 16 ו-5·I₁ − 4·I₂ = 12.
ב. 7·I₁ − 3·I₂ = 5 ו-−3·I₁ + 5·I₂ = 9.

תשובות: א. I₁ = 4 A , I₂ = 2 A. ב. I₁ = 2 A , I₂ = 3 A

במעגל שבסרטוט:
א. נכתוב את משוואות שני החוגים.
ב. נמצא את זרמי החוגים.
ג. נמצא את הזרם ב-R₃ ואת המתח U_AB.
ד. מה פירוש הסימן השלילי של הזרם I₂?

תשובות: 7·I₁ − 2·I₂ = 30 , −2·I₁ + 12·I₂ = −20 · I₁ = 4 A , I₂ = −1 A , I_R3 = 5 A , U_AB = 10 V. ד. הכיוון האמיתי של הזרם בחוג הימני הוא נגד כיוון השעון

במעגל שבסרטוט ההדק החיובי של המקור E₂ פונה כלפי מטה. נכתוב את שתי המשוואות בצורה הסטנדרטית ונמצא את זרמי החוגים, את הזרם ב-R₃ ואת המתח U_AB.

תשובות: 9·I₁ − 6·I₂ = 24 , −6·I₁ + 18·I₂ = 12 · I₁ = 4 A , I₂ = 2 A , I_R3 = 2 A , U_AB = 12 V

במעגל שבסרטוט:
א. נמצא את זרמי החוגים.
ב. נחשב את ההספק המתפתח על כל נגד.
ג. איזה מקור מוסר הספק ואיזה מקור צורך הספק? נבדוק את מאזן ההספקים.

תשובות: א. I₁ = 2 A , I₂ = 1 A. ב. P₁ = 12 W , P₂ = 2 W , P₃ = 10 W. ג. E₁ מוסר 32 W , ו-E₂ צורך 8 W

במעגל שבסרטוט הצומת B הוא צומת הייחוס.
א. נכתוב את משוואת הזרמים בצומת A.
ב. נמצא את U_A.
ג. נמצא את הזרם בכל ענף, את גודלו ואת כיוונו.

תשובות: U_A = 24 V · I_R1 = 4 A , I_R2 = −2 A , I_R3 = 2 A

במעגל שבסרטוט ההדק החיובי של המקור E₂ פונה אל צומת הייחוס. נמצא בשיטת מתחי הצמתים את המתח U_A ואת הזרם בכל ענף.

תשובות: U_A = 10 V · I_R1 = 5 A , I_R2 = −3 A , I_R3 = 2 A

במעגל שבסרטוט שלושה מקורות. נמצא בעזרת הנוסחה הישירה את מתח הצומת A , ואחר כך את הזרם בכל ענף. אילו מקורות מוסרים הספק?

תשובות: U_A = 10 V · I_R1 = 4 A , I_R2 = −1 A , I_R3 = 3 A · המקורות שמוסרים הספק: E₁

נפתור את המעגל שבסרטוט בשתי השיטות:
א. בשיטת זרמי החוגים.
ב. בשיטת מתחי הצמתים.
ג. נבדוק ששתי השיטות נותנות אותו זרם בכל נגד.

תשובות: א. I₁ = 5 A , I₂ = 1 A. ב. U_A = 20 V. ג. ב-R₁: 5 A , ב-R₂: 1 A , ב-R₃: 4 A

במעגל שבסרטוט שלושה חוגים.
א. נכתוב את שלוש המשוואות בצורה הסטנדרטית.
ב. נמצא את זרמי החוגים.
ג. נמצא את הזרם ב-R₄ וב-R₅.
ד. נבדוק את מאזן ההספקים.

תשובות: ב. I₁ = 4 A , I₂ = 2 A , I₃ = −1 A. ג. I_R4 = 2 A , I_R5 = 3 A. ד. 74 W

10.

נפתור את המעגל של השאלה הקודמת בשיטת מתחי הצמתים: נבחר את המסילה התחתונה כצומת ייחוס, נכתוב משוואה לכל אחד משני הצמתים A ו-B , ונמצא את U_A ואת U_B. אחר כך נשווה את הזרם ב-R₄ וב-R₅ לתוצאות השאלה הקודמת.

תשובות: U_A = 4 V , U_B = 9 V · I_R4 = 2 A , I_R5 = 3 A

11.

לפנינו מעגל שיש בו 4 צמתים, 6 ענפים ו-3 חוגים בלתי תלויים.
א. כמה משוואות דרושות בשיטת זרמי החוגים?
ב. כמה משוואות דרושות בשיטת מתחי הצמתים?
ג. במעגל אחר 5 ענפים המחוברים כולם במקביל בין שני צמתים. באיזו שיטה נבחר? ומדוע?

תשובות: א. 3 משוואות. ב. 3 משוואות. ג. מתחי צמתים: משוואה אחת בלבד, לעומת 4 משוואות בזרמי חוגים

תשובות סופיות לשאלות הפרק

9.1 16·I₁ − 12·I₂ = 20 , −12·I₁ + 14·I₂ = −10 · I₁ = 2 A , I₂ = 1 A , I_R3 = 1 A

9.2 5·I₁ − 3·I₂ = 12 , −3·I₁ + 15·I₂ = 6 · I₁ = 3 A , I₂ = 1 A , I_R3 = 2 A

9.3 U_A = 6 V · I_R1 = 1 A , I_R2 = 2 A , I_R3 = 3 A

שאלות בגרות לפרק 9

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 4 — מעגל זרם ישר: שני מקורות, רשת דו-צמתית

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרמים I₁, I₂	I₁ ≈ 0.206 A ; I₂ ≈ 0.627 A
סעיף ב	ההספק על R₃	P(R₃) ≈ 41.6 W
סעיף ג	המתח על R₄	V(R₄) ≈ 12.5 V

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

בגרות 2025 שאלה 4 — שני מקורות, רשת דו-צמתית

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרמים I₁, I₂, I₃	I₁ ≈ 0.612 A ; I₂ ≈ -0.177 A ; I₃ ≈ 0.788 A
סעיף ב	ההספק שמספק המקור E₁	P(E₁) ≈ 12.85 W
סעיף ג	המתח בין A ל-B	U_AB ≈ 11.82 V

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

בגרות 2024 שאלה 4 — מעגל עם שני מקורות מתח, שיטת מתחי הצמתים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם דרך כל אחד מן הנגדים	I₁ = 0.3 A ; I₂ = 1.5 A ; I₃ = 1.2 A
סעיף ב	המתח על הנגד R₃	U_R₃ = 6 V
סעיף ג	ההספק שמספק מקור המתח E₁	P(E₁) = 4.5 W

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

בגרות 2023 שאלה 2 — שני מקורות, שיטת מתחי הצמתים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרמים בכל אחד מן הנגדים	I(R₁) = 0.17 A ; I(R₂) = 0.355 A ; I(R₃) = 0.71 A ; I(R₄) = 0.895 A
סעיף ב	המתח בין הנקודות A ו-B	U_AB = 53.7 V
סעיף ג	ההספק המתפתח על R₃	P(R₃) = 15.12 W

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

בגרות 2021 (מועד מיוחד) שאלה 2 — מעגל עם שני מקורות (שיטת החוגים)

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרמים I₁ ו-I₂	I₁ = -1 A ; I₂ = 2 A
סעיף ב(1)	הזרם דרך הנגד R₃	I₃ = 1 A
סעיף ב(2)	כיוון הזרם בנגד R₃	I₃ = 1 A (A → B)
סעיף ג	ההספק הנצרך על הנגד R₃	P₃ = 6 W

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2021-makeup

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.