פרק 14

האות הסינוסואידלי כאות מחזורי

כיתה י״א · 6 שעות לימוד

עד עכשיו עסקנו במקורות מתח ישר, שבהם המתח נשאר קבוע בגודלו ובקוטביותו. רשת החשמל שמזינה את הבתים ואת המפעלים שלנו מספקת מתח חילופין: גודלו משתנה בכל רגע וקוטביותו מתהפכת באופן סדיר, בצורת גל סינוס. בפרק הזה נכיר את הגדלים שמתארים אות סינוסואידלי, נכתוב אותו בביטוי מתמטי, נסרטט אותו, ונקרא את נתוניו ממסך האוסצילוסקופ.

בסוף הפרק הזה נדע:

האות הסינוסואידלי הוא אות מחזורי, ואת מהירות החזרה שלו מתארים זמן המחזור T, התדירות f והתדירות הזוויתית ω.
נבחין בין הערך הרגעי, ערך השיא U_m, ערך השיא לשיא U_pp והערך היעיל U_eff.
נחשב את הערך היעיל של אות סינוסואידלי לפי U_eff = U_m2.
נגדיר את המופע ואת הפרש המופע בין שני אותות, ונקבע איזה אות מקדים ואיזה מפגר.
נכתוב את האות בצורה u(t) = U_m·sin(ωt + φ) ונחשב את ערכו ברגע נתון.
נקרא את ערך השיא, את זמן המחזור ואת הפרש המופע ממסך האוסצילוסקופ.

זמן מחזור, תדירות ותדירות זוויתית (Period and Frequency)

אות מחזורי: אות (מתח או זרם) שחוזר על עצמו בדיוק אחרי כל פרק זמן קבוע. החלק שחוזר על עצמו נקרא מחזור.

אות סינוסואידלי: אות מחזורי שערכו משתנה עם הזמן לפי פונקציית הסינוס sin: הוא עולה מאפס לערך שיא חיובי, חוזר לאפס, יורד לערך שיא שלילי, חוזר שוב לאפס, וכך הלאה. מתח החילופין ברשת החשמל הוא אות סינוסואידלי.

אות סינוסואידלי: זמן המחזור T, ערך השיא U_m וערך השיא לשיא U_pp

למה דווקא סינוס? המחולל בתחנת הכוח מסובב סליל בתוך שדה מגנטי במהירות קבועה, והמתח שנוצר בסליל שמסתובב במהירות קבועה הוא מתח סינוסואידלי. מסיבה זו כל רשתות החשמל בעולם סינוסואידליות.

זמן מחזור ותדירות:

זמן מחזור: הזמן הדרוש להשלמת מחזור שלם אחד. מסמנים אותו באות T ומודדים אותו בשניות [s].

תדירות: מספר המחזורים השלמים שהאות משלים בשנייה אחת. מסמנים אותה באות f ומודדים אותה בהרץ [Hz]. הרץ אחד פירושו מחזור אחד בשנייה.

תדירות וזמן מחזור

f = 1T

T = 1f

סימן	משמעות	יחידת מידה
f	התדירות	[Hz]
T	זמן המחזור	[s]

הערה: ככל שזמן המחזור קצר יותר, התדירות גבוהה יותר. תדירות רשת החשמל בארץ ובאירופה היא 50 Hz, ובארצות הברית 60 Hz.

דוגמה 14.1

זמן המחזור של מתח רשת החשמל הוא 20 ms. נחשב את תדירות הרשת.

פתרון:

נמיר את זמן המחזור לשניות: T = 20 ms = 20·10⁻³ s.

f = 1T

f = 120·10⁻³ = 50 Hz

כלומר, מתח הרשת משלים 50 מחזורים שלמים בכל שנייה.

f = 50 Hz

שאלה 14.1: אות סינוסואידלי משלים 5 מחזורים שלמים במשך 2 ms. מהו זמן המחזור? ומהי התדירות?

▶ניסוי חי — האות המחזורימשנים את זמן המחזור ואת התדירות ורואים כיצד האות חוזר על עצמו לאורך ציר הזמן.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

תדירות זוויתית:

פונקציית הסינוס פועלת על זווית, ולא על זמן. במחזור שלם אחד הזווית משתנה ב-360°. בחישובי זרם חילופין מודדים את הזווית בדרך כלל ביחידת רדיאן [rad], ומחזור שלם שווה בה ל-2π rad:

360° = 2π rad

180° = π rad

הזווית במעלות	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
הזווית ברדיאנים	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π

תדירות זוויתית: הזווית (ברדיאנים) שהאות עובר בשנייה אחת. מסמנים אותה באות ω ומודדים אותה ברדיאנים לשנייה [rad/s].

במחזור אחד האות עובר זווית של 2π rad במשך זמן T, ולכן:

תדירות זוויתית

ω = 2πf

ω = 2πT

סימן	משמעות	יחידת מידה
ω	התדירות הזוויתית	[rad/s]
f	התדירות	[Hz]
T	זמן המחזור	[s]

לרשת החשמל, שתדירותה 50 Hz, נקבל:

ω = 2πf = 2π · 50 = 100π = 314.16 rad/s

בחישובים מעגלים בדרך כלל את הערך הזה ל-314 rad/s.

הערה: התדירות f והתדירות הזוויתית ω מתארות אותו דבר, את מהירות החזרה של האות, אבל בשתי יחידות שונות: f סופרת מחזורים בשנייה, ו-ω סופרת רדיאנים בשנייה. לא כותבים [Hz] ליד ω.

שאלה 14.2: זמן המחזור של אות סינוסואידלי הוא 4 ms. מהי תדירותו? ומהי תדירותו הזוויתית?

▶ניסוי חי — מעגל היחידה והמחוללרואים כיצד הווקטור המסתובב על מעגל היחידה משרטט את האות הסינוסואידלי, ומה משמעות התדירות הזוויתית.

⚠

https://fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

ערך שיא, ערך שיא לשיא וערך יעיל (אפקטיבי / RMS) (Peak, Peak-to-Peak, RMS)

ערכו של אות סינוסואידלי משתנה בכל רגע, ולכן מספר אחד אינו מספיק כדי לתאר את "גודלו". משתמשים בכמה ערכים, ולכל אחד מהם שימוש משלו:

ערך רגעי: ערך האות ברגע מסוים t. מסמנים אותו באות קטנה: u למתח ו-i לזרם.

ערך שיא: הערך הגדול ביותר שהאות מגיע אליו, כלומר גובה השיא מעל ציר הזמן. מסמנים אותו U_m למתח ו-I_m לזרם. הוא נקרא גם משרעת (אמפליטודה).

ערך שיא לשיא: ההפרש בין השיא החיובי לשיא השלילי של האות. מסמנים אותו U_pp. באות סינוסואידלי שני השיאים שווים בגודלם, ולכן הוא שווה לפעמיים ערך השיא.

U_pp = 2·U_m

ערך יעיל (אפקטיבי):

הממוצע החשבוני של אות סינוסואידלי על פני מחזור שלם שווה לאפס, כי החצי החיובי מבטל את החצי השלילי. למרות זאת, זרם החילופין מחמם את הנגד בשני חצאי המחזור. לכן משווים את זרם החילופין לזרם ישר לפי החום שהוא מפיק:

ערך יעיל / אפקטיבי: הערך היעיל של זרם חילופין הוא ערכו של הזרם הישר שמפיק באותו נגד ובאותו פרק זמן אותה כמות חום. באותו אופן מוגדר הערך היעיל של מתח חילופין. מסמנים אותו U_eff ו-I_eff, ובאנגלית הוא נקרא RMS.

ערך יעיל

U_eff = U_m2 = 0.707·U_m

I_eff = I_m2 = 0.707·I_m

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_eff , I_eff	הערך היעיל של המתח ושל הזרם	[V] , [A]
U_m , I_m	ערך השיא של המתח ושל הזרם	[V] , [A]

מכשירי המדידה (מד-המתח ומד-הזרם) מציגים בזרם חילופין את הערך היעיל.
הערכים הרשומים על מכשירי חשמל, כמו 230 V, הם ערכים יעילים.
כשכותבים U או I בזרם חילופין בלי שום סימון נוסף, מתכוונים לערך היעיל.
הקשר U_eff = U_m2 נכון לאות סינוסואידלי בלבד.

דוגמה 14.2

הערך היעיל של מתח רשת החשמל הוא 230 V. נחשב:
א. את ערך השיא של המתח.
ב. את ערך השיא לשיא.

פתרון:

א. נחלץ את ערך השיא מנוסחת הערך היעיל:

U_m = 2·U_eff

U_m = 2 · 230 = 325.27 V

ב. ערך השיא לשיא:

U_pp = 2·U_m = 2 · 325.27 = 650.54 V

נשים לב שהמתח בשקע מגיע בכל מחזור לכ-325 V, אף שמד-המתח מציג 230 V.

U_m = 325.27 V

דוגמה 14.3

בנגד R = 20 Ω זורם זרם סינוסואידלי שערך השיא שלו 5 A. נחשב:
א. את הערך היעיל של הזרם.
ב. את הערך היעיל של המתח על הנגד.
ג. את ערך השיא של המתח.

פתרון:

א. הערך היעיל של הזרם:

I_eff = I_m2 = 52 = 3.54 A

ב. חוק אום נכון בנגד גם לערכים היעילים:

U_eff = I_eff·R = 3.54 · 20 = 70.71 V

ג. והוא נכון גם לערכי השיא:

U_m = I_m·R = 5 · 20 = 100 V

I_eff = 3.54 A

שאלה 14.3: ערך השיא לשיא של מתח סינוסואידלי הוא 34 V. מהו ערך השיא שלו? ומהו ערכו היעיל?

▶ניסוי חי — ערכי האותמשנים את ערך השיא וקוראים את הערך שיא לשיא ואת הערך היעיל של האות.

⚠

https://fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

מופע והפרש מופע (Phase and Phase Difference)

אות סינוסואידלי אינו מתחיל תמיד מאפס. ברגע t = 0, שממנו מתחילים למדוד את הזמן, האות יכול להימצא בכל נקודה במחזור שלו.

מופע / זווית מופע: הזווית שקובעת את מקומו של האות בתוך המחזור שלו ברגע t = 0. מסמנים אותה באות φ ומודדים אותה במעלות. היא נקראת גם מופע התחלתי.

φ = 0°: האות מתחיל מאפס

φ = +60°: מתחיל בערך חיובי, והגל מוזז שמאלה

φ = −60°: מתחיל בערך שלילי, והגל מוזז ימינה

הפרש מופע: ההפרש בין זוויות המופע של שני אותות בעלי אותה תדירות. הוא מראה בכמה מעלות אחד האותות מקדים את האחר.

φ = φ₁ − φ₂

האות שמגיע לשיא שלו ראשון, כלומר בזמן מוקדם יותר, הוא האות המקדים, והאות האחר הוא האות המפגר. בסרטוט, השיא של האות המקדים נמצא משמאל:

האות u מגיע לשיא לפני האות i: u מקדים את i בזווית φ, או: i מפגר אחרי u בזווית φ

הפרש המופע	התיאור	בערבית
φ = 0°	שני האותות באותו מופע: הם מגיעים לאפס ולשיא באותו רגע	متوافقتان في الطور
φ > 0°	האות הראשון מקדים את השני	تتقدم
φ < 0°	האות הראשון מפגר אחרי השני	تتأخر
φ = 180°	שני האותות במופע הפוך: כשהראשון בשיא החיובי שלו, השני בשיא השלילי שלו	متعاكستان في الطور

דוגמה 14.4

המופע של המתח φ_u = 50° והמופע של הזרם φ_i = −20°. נחשב את הפרש המופע בין המתח לזרם, ונקבע מי מהם מקדים.

פתרון:

φ = φ_u − φ_i

φ = 50° − (−20°) = 70°

הפרש המופע חיובי, ולכן המתח מקדים את הזרם בזווית 70°. אפשר לומר גם: הזרם מפגר אחרי המתח בזווית 70°.

φ = 70°

הפרש מופע והפרש זמן:

מחזור שלם, כלומר זמן T, מתאים לזווית של 360°. לכן, אם אחד האותות מוזז ביחס לאחר בזמן Δt, הפרש המופע ביניהם הוא:

הפרש זמן והפרש מופע

φ = ΔtT · 360°

סימן	משמעות	יחידת מידה
φ	הפרש המופע	[°]
Δt	הפרש הזמן בין שיאי שני האותות (או בין נקודות האפס שלהם)	[s]
T	זמן המחזור	[s]

דוגמה 14.5

במעגל שמחובר לרשת החשמל (f = 50 Hz) הזרם מגיע לשיא שלו 2.5 ms אחרי שהמתח מגיע לשיא שלו. נחשב את הפרש המופע בין המתח לזרם.

פתרון:

זמן המחזור: T = 1f = 150 = 20 ms.

φ = ΔtT · 360°

φ = 2.520 · 360° = 45°

הזרם מגיע לשיא אחרי המתח, ולכן הזרם מפגר אחרי המתח בזווית 45°.

φ = 45°

שאלה 14.4: שני אותות שתדירותם 100 Hz. האות השני מגיע לשיא שלו 1 ms אחרי הראשון. מהו הפרש המופע ביניהם? ואיזה אות מקדים?

▶ניסוי חי — הפרש מופעמזיזים אחד משני האותות ומודדים את הפרש המופע במעלות ואת הפרש הזמן ביניהם.

⚠

https://fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

הצגה גרפית ומתמטית של אות סינוסואידלי (Graphical and Mathematical Representation)

שלושה גדלים מספיקים כדי לתאר אות סינוסואידלי תיאור מלא: ערך השיא קובע את הגובה, התדירות הזוויתית קובעת את המהירות, והמופע קובע את נקודת ההתחלה. נאחד את שלושתם בביטוי אחד:

הצגה מתמטית

u(t) = U_m·sin(ωt + φ)

i(t) = I_m·sin(ωt + φ)

סימן	משמעות	יחידת מידה
u(t) , i(t)	הערך הרגעי של המתח ושל הזרם ברגע t	[V] , [A]
U_m , I_m	ערך השיא	[V] , [A]
ω	התדירות הזוויתית	[rad/s]
t	הזמן	[s]
φ	המופע	[°]

דוגמה 14.6

נתון המתח u(t) = 100·sin(314t + 30°) V. נקבע מן הביטוי: את ערך השיא, הערך היעיל, התדירות הזוויתית, התדירות, זמן המחזור והמופע.

פתרון:

נשווה את הביטוי הנתון לביטוי הכללי u(t) = U_m·sin(ωt + φ):

U_m = 100 V

ω = 314 rad/s

φ = 30°

ומן הערכים האלה נחשב את השאר:

U_eff = U_m2 = 1002 = 70.71 V

f = ω2π = 3142π ≈ 50 Hz

T = 1f = 150 = 20 ms

U_eff = 70.71 V

חישוב הערך הרגעי:

כדי לחשב את ערך האות ברגע מסוים נציב את הזמן t בביטוי. יש לשים לב שהמכפלה ωt נותנת זווית ברדיאנים, ואילו המופע φ נתון במעלות. לפני החיבור נמיר את ωt למעלות:

ωt [°] = ωt [rad] · 180°π

ωt [°] = 360° · f · t

דוגמה 14.7

למתח מן הדוגמה הקודמת, u(t) = 100·sin(314t + 30°) V, נחשב את הערך הרגעי ברגע t = 5 ms.

פתרון:

שלב 1: נחשב את הזווית ωt במעלות, עם f = 50 Hz ו-t = 5·10⁻³ s:

ωt = 360° · f · t

ωt = 360° · 50 · 5·10⁻³ = 90°

שלב 2: נוסיף את המופע:

ωt + φ = 90° + 30° = 120°

שלב 3: נחשב את הסינוס ונכפול בערך השיא:

u = 100 · sin(120°) = 100 · 0.866 = 86.6 V

u = 86.6 V

שימו לב: לפני חישוב הסינוס נבדוק את מצב המחשבון: אם הזווית במעלות, המחשבון צריך להיות במצב DEG, ואם היא ברדיאנים, במצב RAD. בלבול בין שני המצבים נותן תוצאה שגויה לגמרי.

שאלה 14.5: נתון הזרם i(t) = 2·sin(314t − 45°) A.
א. מהו הערך היעיל של הזרם?
ב. מהו הערך הרגעי של הזרם ברגע t = 2 ms?

הצגה גרפית:

מסרטטים את האות הסינוסואידלי במערכת צירים שבה הציר האנכי הוא הערך הרגעי. על הציר האופקי אפשר לרשום את הזמן t, או את הזווית ωt במעלות או ברדיאנים. הסרטוט אינו משתנה, משתנה רק סימון הציר: מחזור שלם הוא T על ציר הזמן, ו-360° או 2π על ציר הזווית.

כדי לסרטט את האות נחשב את ערכו בכמה זוויות אופייניות ונחבר את הנקודות בקו עקום. לאות u = U_m·sin(ωt):

ωt	0°	30°	90°	150°	180°	210°	270°	330°	360°
uU_m	0	0.5	1	0.5	0	−0.5	−1	−0.5	0

הערה: אם לאות יש מופע φ, מסרטטים אותו גל כשהוא מוזז על הציר האופקי: שמאלה אם φ חיובי, וימינה אם הוא שלילי. האות חוצה את הציר בעלייה בזווית ωt = −φ.

קריאת האות ממסך האוסצילוסקופ:

אוסצילוסקופ (משקף תנודות) הוא מכשיר מדידה שמסרטט את המתח כפונקציה של הזמן. המסך שלו מחולק למשבצות (div). הציר האנכי הוא ציר המתח, והציר האופקי הוא ציר הזמן. את ערכה של כל משבצת קובעים בשני בוררים:

Volt/div: כמה וולט שווה כל משבצת בכיוון האנכי.
Time/div: כמה זמן שווה כל משבצת בכיוון האופקי.

סופרים את המשבצות האנכיות מן השיא השלילי עד השיא החיובי N_V, ואת המשבצות האופקיות של מחזור שלם אחד N_T, ואז מחשבים:

U_pp = N_V · Volt/div

T = N_T · Time/div

דוגמה 14.8

על מסך האוסצילוסקופ מופיע האות שבסרטוט. הבוררים מכוונים ל-5 V/div ול-5 ms/div. נחשב: את ערך השיא לשיא, ערך השיא, הערך היעיל, זמן המחזור והתדירות.

פתרון:

נספור את המשבצות: מן השיא השלילי עד השיא החיובי 6 משבצות, ואורך מחזור שלם 4 משבצות.

U_pp = N_V · Volt/div = 6 · 5 = 30 V

U_m = U_pp2 = 302 = 15 V

U_eff = U_m2 = 152 = 10.61 V

T = N_T · Time/div = 4 · 5 = 20 ms

f = 1T = 120·10⁻³ = 50 Hz

U_m = 15 V

מדידת הפרש מופע. כשמציגים שני אותות יחד על המסך, סופרים את המשבצות האופקיות בין השיאים שלהם (או בין נקודות חציית האפס שלהם בעלייה) N_Δ, ומשווים אותן למספר המשבצות של מחזור שלם N_T:

φ = N_ΔN_T · 360°

דוגמה 14.9

על המסך שני אותות: המתח (בכחול) והזרם (באדום). בורר הזמן מכוון ל-2.5 ms/div. נחשב את הפרש המופע ביניהם, ונקבע איזה אות מקדים.

פתרון:

אורך מחזור שלם 8 משבצות, והמרחק האופקי בין שני השיאים משבצת אחת:

φ = N_ΔN_T · 360°

φ = 18 · 360° = 45°

השיא של האות הכחול נמצא משמאל, כלומר הוא מופיע בזמן מוקדם יותר. לכן המתח מקדים את הזרם בזווית 45°.

לבדיקה נחשב את זמן המחזור: T = 8 · 2.5 = 20 ms, כלומר f = 50 Hz.

φ = 45°

שאלה 14.6: על מסך האוסצילוסקופ אות סינוסואידלי שגובהו משיא לשיא 4 משבצות, ואורך המחזור שלו 5 משבצות. הבוררים מכוונים ל-2 V/div ול-0.2 ms/div. מהו ערך השיא? הערך היעיל? והתדירות?

▶ניסוי חי — מעבדת האות הסינוסואידלי והאוסצילוסקופנשנה את ערך השיא, התדירות והמופע ונראה איך הגל משתנה, ונתרגל קריאה של Volt/div ושל Time/div מן המסך.

⚠

https://fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/signals/oscilloscope_fahed

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
תדירות וזמן מחזור	f = 1T
תדירות זוויתית	ω = 2πf = 2πT
ערך שיא לשיא	U_pp = 2·U_m
ערך יעיל	U_eff = U_m2
הפרש מופע	φ = φ₁ − φ₂
הפרש מופע מתוך הפרש זמן	φ = ΔtT · 360°
ההצגה המתמטית של האות	u(t) = U_m·sin(ωt + φ)
הזווית במעלות	ωt = 360° · f · t

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
אות מחזורי	Periodic signal	إشارة دورية
אות סינוסואידלי	Sinusoidal signal	إشارة جيبية
זרם חילופין	Alternating current (AC)	التيار المتناوب (المتردد)
מחזור	Cycle	دورة
זמן מחזור	Period	زمن الدورة
תדירות	Frequency	التردد
תדירות זוויתית	Angular frequency	التردد الزاوي
רדיאן	Radian	راديان
ערך רגעי	Instantaneous value	القيمة اللحظية
ערך שיא / משרעת	Peak value / Amplitude	القيمة العظمى (المطال)
ערך שיא לשיא	Peak-to-peak	من القمة إلى القمة
ערך יעיל / אפקטיבי	Effective (RMS) value	القيمة الفعالة
מופע / זווית מופע	Phase angle	زاوية الطور
הפרש מופע	Phase difference	فرق الطور
מקדים	Leads	يتقدم
מפגר	Lags	يتأخر
באותו מופע	In phase	متوافقتان في الطور
אוסצילוסקופ	Oscilloscope	راسم الإشارة
משבצת	Division	مربع (على الشاشة)

שאלות לתרגול:

זמן המחזור של אות סינוסואידלי 2.5 ms. נחשב:
א. את התדירות.
ב. את התדירות הזוויתית.

תשובות: א. f = 400 Hz. ב. ω = 2513.3 rad/s

תדירותו של אות סינוסואידלי 400 Hz. נחשב:
א. את זמן המחזור.
ב. את התדירות הזוויתית.
ג. את מספר המחזורים שהאות משלים ב-0.1 s.

תשובות: א. T = 2.5 ms. ב. ω = 2513.3 rad/s. ג. 40 מחזורים

נמיר:
א. 120° לרדיאנים.
ב. π5 rad למעלות.
ג. 1 rad למעלות.

תשובות: א. 2π3 = 2.094 rad. ב. 36°. ג. 57.3°

ערך השיא של זרם סינוסואידלי 8.5 A. נחשב:
א. את הערך היעיל.
ב. את ערך השיא לשיא.

תשובות: א. I_eff = 6.01 A. ב. I_pp = 17 A

שנאי מספק מתח סינוסואידלי שערכו היעיל 12 V. נחשב:
א. את ערך השיא.
ב. את ערך השיא לשיא.

תשובות: א. U_m = 16.97 V. ב. U_pp = 33.94 V

על קבל רשום שהמתח המרבי שהוא עומד בו הוא 300 V. האם אפשר לחבר אותו ישירות לרשת החשמל, שערך המתח היעיל שלה 230 V? ננמק.

תשובות: לא, כי ערך השיא של מתח הרשת הוא 325 V, והוא גדול מ-300 V

נתון המתח u(t) = 170·sin(377t + 60°) V. נקבע:
א. את ערך השיא ואת הערך היעיל.
ב. את התדירות ואת זמן המחזור.
ג. את המופע.

תשובות: א. U_m = 170 V, U_eff = 120.2 V. ב. f = 60 Hz, T = 16.67 ms. ג. φ = 60°

נכתוב את הביטוי המתמטי של זרם סינוסואידלי שערכו היעיל 5 A, תדירותו 50 Hz והמופע שלו −30°.

תשובות: i(t) = 7.07·sin(314t − 30°) A

נתון הזרם i(t) = 3·sin(314t + 18°) A. נחשב את הערך הרגעי של הזרם ברגע t = 4 ms.

תשובות: ωt = 72°, i = 3 A

10.

נתון u(t) = 325·sin(314t + 40°) V ו-i(t) = 10·sin(314t − 25°) A.
א. נחשב את הפרש המופע בין המתח לזרם.
ב. מי מהם מקדים?
ג. מהו הפרש הזמן בין השיאים שלהם?

תשובות: א. φ = 65°. ב. המתח מקדים את הזרם. ג. Δt = 3.61 ms

11.

במעגל שתדירותו 1 kHz הזרם מפגר אחרי המתח בזמן של 0.125 ms. נחשב את הפרש המופע ביניהם.

תשובות: φ = 45°

12.

על מסך האוסצילוסקופ מופיע האות שבסרטוט. הבוררים מכוונים ל-10 V/div ול-1 ms/div. נחשב:
א. את ערך השיא ואת הערך היעיל.
ב. את זמן המחזור ואת התדירות.
ג. נכתוב את הביטוי המתמטי של האות, אם מתחילים למדוד את הזמן מן הקצה השמאלי של המסך.

תשובות: א. U_m = 25 V, U_eff = 17.68 V. ב. T = 5 ms, f = 200 Hz. ג. u(t) = 25·sin(1257t) V

13.

על מסך האוסצילוסקופ שני אותות בעלי אותה תדירות. אורך המחזור 6 משבצות, והאות השני חוצה את ציר הזמן בעלייה 1.5 משבצות אחרי הראשון.
א. נחשב את הפרש המופע.
ב. איזה אות מפגר?

תשובות: א. φ = 90°. ב. האות השני מפגר אחרי הראשון

תשובות סופיות לשאלות הפרק

14.1 T = 0.4 ms, f = 2.5 kHz

14.2 f = 250 Hz, ω = 1570.8 rad/s

14.3 U_m = 17 V, U_eff = 12.02 V

14.4 φ = 36°, האות הראשון מקדים

14.5 א. I_eff = 1.41 A. ב. ωt = 36°, i = −0.31 A

14.6 U_m = 4 V, U_eff = 2.83 V, f = 1 kHz

שאלות בגרות לפרק 14

אין בבחינה שאלה עצמאית על הפרק הזה, אבל מושגיו (תדירות, ערך יעיל, הפרש מופע) נדרשים בכל שאלות זרם החילופין. פוגשים אותם בשאלות הבגרות שבפרקים 16–19.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.