פרק 13

זרם ומתחים במעגל RL טורי

כיתה י״א · 4 שעות לימוד

בפרק הקודם ראינו שהמתח על הקבל אינו משתנה ברגע אחד, אלא זקוק לזמן שאותו קובע קבוע הזמן. בפרק הזה נכיר רכיב שמתנהג בצורה "הפוכה": הסליל. בסליל, הזרם הוא שאינו יכול להשתנות ברגע אחד. נשווה בין שני המעגלים, נחשב את קבוע הזמן במעגל RL, ונסרטט את הזרם ואת המתחים כפונקציה של הזמן בעת חיבור המעגל למקור מתח ישר.

בסוף הפרק הזה נדע:

שהסליל מתנגד לכל שינוי בזרם העובר בו, ושאת מידת ההתנגדות הזאת קובעת ההשראות L.
לתאר מה קורה במעגל RL טורי כשמחברים אותו למקור מתח ישר, ולהשוות זאת למה שקורה במעגל RC.
לחשב את קבוע הזמן במעגל RL טורי לפי τ = LR.
לסרטט את i, u_R ו-u_L כפונקציה של הזמן, ולחשב את ערכיהם ברגעים שונים.

הסליל וההשראות:

סליל – משרן: תיל מוליך המלופף ליפופים רבים, בדרך כלל סביב ליבת ברזל. כשעובר בו זרם נוצר סביבו שדה מגנטי, ובשדה הזה נאגרת אנרגיה.

סמל הסליל

כשהזרם בסליל משתנה, משתנה השדה המגנטי שלו, ונוצר בין הדקי הסליל מתח המתנגד לשינוי הזה.
כשהזרם קבוע המתח הזה אינו נוצר. סליל אידיאלי (חסר התנגדות) שעובר בו זרם ישר קבוע מתנהג כמו תיל מוליך.
לכן הזרם בסליל אינו יכול להשתנות בקפיצה: הוא זקוק לזמן כדי לגדול או לקטון.

השראות: הגודל המראה באיזו עוצמה הסליל מתנגד לשינוי הזרם. מסמנים אותו באות L, ויחידת המידה שלו היא הנרי [H]. ככל שמספר הליפופים גדול יותר, ההשראות גדולה יותר. משתמשים הרבה במילי-הנרי, 1 mH = 10⁻³ H.

▶ניסוי חי — מהו סליל?מכירים את הסליל ואת ההשראות העצמית: כיצד הסליל מתנגד לכל שינוי בזרם שעובר בו.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/circuits/coil

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/coil

▶ניסוי חי — אלקטרומגנטיות וסליליםמעבירים זרם בסליל ורואים את השדה המגנטי שנוצר סביבו, וכיצד הוא תלוי בזרם ובמספר הכריכות.

⚠

https://fahed-lab.com/magnetism/unified

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/magnetism/unified

השוואה בין מעגל RC טורי למעגל RL טורי (RC versus RL)

מעגל RC טורי

מעגל RL טורי

במעגל RL טורי, נגד R וסליל שהשראותו L מחוברים בטור למקור מתח ישר E דרך מפסק. סוגרים את המפסק ברגע t = 0. נרשום את חוק המתחים של קירכהוף עם כיוון השעון. בכל רגע:

E − u_R − u_L = 0

E = u_R + u_L

ברגע הסגירה, t = 0: הזרם היה אפס, והוא אינו יכול לקפוץ, ולכן i = 0 ו-u_R = i·R = 0. כל מתח המקור נופל על הסליל, u_L = E. ברגע הזה הסליל מתנהג כמו נתק.
במצב המעבר: הזרם גדל בהדרגה, ויחד איתו גדל u_R. מה שנשאר לסליל קטן, u_L = E − u_R. ככל ש-u_L קטן, עליית הזרם מאיטה: העלייה מהירה בהתחלה ומאיטה ככל שהזרם מתקרב לערכו הסופי.
במצב המתמיד: הזרם קבוע, ולכן u_L = 0 ו-u_R = E. הזרם הסופי הוא I = ER, כאילו הסליל אינו קיים. הסליל מתנהג עכשיו כמו קצר.

אם נשווה את התיאור הזה לטעינת הקבל בפרק 12, נמצא ששני המעגלים מתנהגים בצורה הפוכה:

	מעגל RC טורי	מעגל RL טורי
הגודל שאינו יכול לקפוץ	המתח על הקבל u_C	הזרם בסליל i
ברגע הסגירה, t = 0	u_C = 0: הקבל כמו קצר	i = 0: הסליל כמו נתק
הזרם i במצב המעבר	יורד מ-ER אל 0	עולה מ-0 אל ER
המתח על הנגד u_R	יורד מ-E אל 0	עולה מ-0 אל E
המתח על הקבל / על הסליל	u_C עולה מ-0 אל E	u_L יורד מ-E אל 0
במצב המתמיד	i = 0: הקבל כמו נתק	u_L = 0: הסליל כמו קצר
היכן נאגרת האנרגיה	בשדה החשמלי שבין הלוחות	בשדה המגנטי של הסליל

הערה: בשני המעגלים העקומות מעריכיות, ובשני המעגלים מצב המעבר מסתיים למעשה אחרי 5τ. מה שמתחלף הוא התפקידים: מה שעושה המתח במעגל RC עושה הזרם במעגל RL.

שאלה 13.1: במעגל RL טורי E = 12 V ו-R = 60 Ω. נענה בלי לחשב את קבוע הזמן:
א. מהו הזרם ומהו המתח על הסליל ברגע סגירת המפסק?
ב. מהו הזרם ומהו המתח על הסליל במצב המתמיד?

מציאת קבוע הזמן במעגל RL טורי (Time Constant)

קבוע הזמן במעגל RL טורי

τ = LR

סימן	משמעות	יחידת מידה
τ	קבוע הזמן	[s]
L	השראות הסליל	[H]
R	ההתנגדות הכוללת המחוברת בטור לסליל	[Ω]

השראות גדולה יותר פירושה התנגדות חזקה יותר לשינוי הזרם, ולכן הזרם עולה לאט יותר: τ גדל.
התנגדות גדולה יותר פירושה זרם סופי קטן יותר, ER, והזרם מגיע אליו בזמן קצר יותר: τ קטן.
מנה של הנרי באוהם נותנת שנייה: 1 H1 Ω = 1 s.

שימו לב: במעגל RC הגדלת ההתנגדות מגדילה את קבוע הזמן, τ = R·C. במעגל RL הגדלת ההתנגדות מקטינה את קבוע הזמן, τ = LR.

משמעות קבוע הזמן זהה לזו שבמעגל RC: אחרי זמן של τ אחד הזרם מגיע ל-63% מערכו הסופי, ואחרי 5τ מניחים שהמעגל הגיע למצב המתמיד.

דוגמה 13.1

במעגל RL טורי L = 2 H, R = 100 Ω, E = 24 V. נחשב:
א. את קבוע הזמן.
ב. את הזמן עד המצב המתמיד.
ג. את הזרם במצב המתמיד.
ד. את הזרם אחרי τ אחד.

פתרון:

א. קבוע הזמן:

τ = LR

τ = 2100 = 0.02 s = 20 ms

ב. מצב המעבר מסתיים למעשה אחרי:

t = 5·τ = 5·20 = 100 ms

ג. במצב המתמיד הסליל הוא כמו קצר:

I = ER = 24100 = 0.24 A

ד. אחרי τ אחד הזרם מגיע ל-63.2% מערכו הסופי:

i = 0.632·I = 0.632·0.24 = 0.152 A

τ = 20 ms

שאלה 13.2: רוצים שהזרם בסליל יגיע לערכו הסופי בתוך 20 ms. הנגד המחובר בטור לסליל הוא R = 50 Ω. מהי ההשראות הגדולה ביותר המותרת לסליל?

שאלה 13.3: במעגל RL טורי L = 150 mH ו-R = 30 Ω.
א. מהו קבוע הזמן?
ב. אחרי כמה זמן המעגל מגיע למצב המתמיד?
ג. מה קורה לקבוע הזמן אם מגדילים את ההתנגדות פי שניים?

תיאור גרפי של תלות בזמן של הזרם והמתחים במעגל RL טורי (Current and Voltages versus Time)

הזרם במעגל RL אחרי סגירת המפסק, I = ER. הקו המקווקו המשופע הוא המשיק ב-t = 0

המתחים u_R ו-u_L: סכומם בכל רגע שווה ל-E

המתח על הסליל: מתחיל מ-E ויורד לאפס

העקומה של הזרם i עולה מאפס ומתקרבת אל I = ER. צורתה כצורת u_C בטעינת קבל.
לעקומה של u_R אותה צורה כמו לעקומת הזרם, מפני ש-u_R = i·R.
העקומה של u_L יורדת מ-E לאפס: הסליל מקבל בכל רגע את מה שנשאר ממתח המקור, u_L = E − u_R.
המשיק לעקומת הזרם ב-t = 0 חותך את הקו I אחרי זמן τ בדיוק.

הזמן t	i ביחס ל-I, ו-u_R ביחס ל-E	u_L ביחס ל-E
0	0%	100%
τ	63.2%	36.8%
2τ	86.5%	13.5%
3τ	95%	5%
4τ	98.2%	1.8%
5τ	99.3%	0.7%

זרם ומתחים במעגל RL

i = ER·(1 − e^−tτ)

u_R = E·(1 − e^−tτ)

u_L = E·e^−tτ

סימן	משמעות	יחידת מידה
i	הזרם במעגל ברגע t	[A]
u_R	המתח על הנגד ברגע t	[V]
u_L	המתח על הסליל ברגע t	[V]
τ	קבוע הזמן, τ = LR	[s]

גם נוסחאות אלה הן מקרים פרטיים של הנוסחה הכללית למצב המעבר (משוואת הדפקים) שלמדנו בפרק 12: כל זרם או מתח במעגל עובר באופן מעריכי מערך התחלתי לערך סופי. בכל הפתרונות נציב בנוסחה הכללית.

הנוסחה הכללית למצב המעבר במעגל RL

x(t) = X_∞ + (X₀ − X_∞)·e^−Δtτ

סימן	משמעות	יחידת מידה
x(t)	הזרם או המתח ברגע t	—
X₀	הערך ההתחלתי: מיד אחרי העברת המפסק	—
X_∞	הערך הסופי: במצב המתמיד	—
Δt	הזמן שעבר מאז השינוי האחרון (סגירת מפסק או קפיצה במבוא); ברגע השינוי Δt = 0, ובכל שלב חדש מודדים אותו מחדש	[s]
τ	קבוע הזמן, τ = LR	[s]

הערה: הזרם הוא הנוסחה הכללית עם X₀ = 0 ו-X_∞ = ER, והמתח על הסליל הוא הנוסחה הכללית עם X₀ = E ו-X_∞ = 0.

דוגמה 13.2

במעגל RL טורי L = 2 H, R = 40 Ω, E = 12 V. סוגרים את המפסק ברגע t = 0. נחשב אחרי 25 ms:
א. את הזרם.
ב. את המתח על הנגד.
ג. את המתח על הסליל.

פתרון:

נחשב את קבוע הזמן, את הזרם הסופי ואת היחס בין הזמן לקבוע הזמן:

τ = LR = 240 = 0.05 s = 50 ms

I = ER = 1240 = 0.3 A

tτ = 2550 = 0.5

נחשב במחשבון: e^−0.5 = 0.6065.

א. הזרם: הסליל מונע קפיצה בזרם, ולכן X₀ = 0, והערך הסופי X_∞ = I = 0.3 A. נציב בנוסחה הכללית:

i = X_∞ + (X₀ − X_∞)·e^−Δtτ

i = 0.3 + (0 − 0.3)·0.6065 = 0.118 A

ב. המתח על הנגד:

u_R = i·R = 0.118·40 = 4.72 V

ג. המתח על הסליל: ברגע הסגירה כל המתח על הסליל, X₀ = E = 12 V, ובמצב המתמיד X_∞ = 0:

u_L = X_∞ + (X₀ − X_∞)·e^−Δtτ

u_L = 0 + (12 − 0)·0.6065 = 7.28 V

בדיקה לפי חוק המתחים של קירכהוף: u_R + u_L = 4.72 + 7.28 = 12 V.

i = 0.118 A

שאלה 13.4: במעגל RL טורי L = 0.6 H, R = 120 Ω, E = 24 V.
א. מהו קבוע הזמן?
ב. מהו הזרם במצב המתמיד?
ג. מהם הערכים של i, u_R, u_L אחרי τ אחד?

אזהרה: כשפותחים את המפסק במעגל שיש בו סליל שעובר בו זרם, המפסק מנסה לעצור את הזרם ברגע אחד, והסליל מתנגד לכך: נוצר בין הדקיו מתח גבוה מאוד שעלול לגרום לניצוץ בין מגעי המפסק ולהרוס רכיבים במעגל. לכן אין מנתקים מעגל שיש בו סליל גדול בלי אמצעי הגנה מתאים.

▶ניסוי חי — מעבדת הסלילמשנים את L, את R ואת מתח המקור, סוגרים את המפסק, ורואים את עקומת הזרם ואת עקומת המתח על הסליל מסורטטות בזמן אמת.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/coil

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/coil

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
חוק המתחים של קירכהוף במעגל	E = u_R + u_L
קבוע הזמן במעגל RL	τ = LR
הנוסחה הכללית למצב המעבר	x(t) = X_∞ + (X₀ − X_∞)·e^−Δtτ
הזרם במצב המתמיד	I = ER
הזמן עד המצב המתמיד	t = 5·τ
הזרם כפונקציה של הזמן (X₀ = 0, X_∞ = ER)	i = ER·(1 − e^−tτ)
המתח על הנגד	u_R = E·(1 − e^−tτ)
המתח על הסליל (X₀ = E, X_∞ = 0)	u_L = E·e^−tτ

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
סליל (משרן)	Coil, inductor	الملف الكهربائي
השראות	Inductance	الحث
הנרי	Henry	هنري
שדה מגנטי	Magnetic field	المجال المغناطيسي
מעגל RL טורי	Series RL circuit	دائرة RL على التوالي
מעגל RC טורי	Series RC circuit	دائرة RC على التوالي
קבוע הזמן	Time constant	ثابت الزمن
מצב מעבר	Transient state	الحالة العابرة
מצב מתמיד	Steady state	الحالة المستقرة
עקומה מעריכית	Exponential curve	منحنى أسّي
קצר	Short circuit	دائرة قصر
נתק	Open circuit	دائرة مفتوحة
מפסק	Switch	المفتاح

שאלות לתרגול:

נענה בלי חישוב:
א. כיצד מתנהג הסליל ברגע חיבור המעגל למקור מתח ישר?
ב. כיצד הוא מתנהג במצב המתמיד?
ג. איזה גודל בסליל אינו יכול להשתנות בקפיצה, ואיזה גודל בקבל?

תשובות: א. כמו נתק. ב. כמו קצר. ג. בסליל הזרם, ובקבל המתח

במעגל RL טורי L = 0.5 H ו-R = 250 Ω. נחשב:
א. את קבוע הזמן.
ב. את הזמן עד המצב המתמיד.

תשובות: א. τ = 2 ms. ב. t = 10 ms

סליל שהשראותו 100 mH. איזה נגד צריך לחבר בטור אליו כדי שקבוע הזמן יהיה 5 ms?

תשובות: R = 20 Ω

במעגל שבסרטוט סוגרים את המפסק ברגע t = 0. נחשב:
א. את קבוע הזמן.
ב. את הזרם ואת המתח על הסליל ברגע הסגירה.
ג. את הזרם במצב המתמיד.
ד. את הערכים של i, u_R, u_L אחרי τ אחד.

תשובות: א. τ = 5 ms. ב. i = 0, u_L = 36 V. ג. I = 0.2 A. ד. i ≈ 0.126 A, u_R ≈ 22.76 V, u_L ≈ 13.24 V

במעגל RL טורי L = 2 H, R = 40 Ω, E = 20 V. נחשב אחרי 25 ms מסגירת המפסק:
א. את הזרם.
ב. את המתח על הנגד.
ג. את המתח על הסליל.

תשובות: τ = 50 ms. א. i ≈ 0.197 A. ב. u_R ≈ 7.87 V. ג. u_L ≈ 12.13 V

במעגל RL טורי E = 30 V, L = 0.3 H, R = 60 Ω. החלפנו את הנגד בנגד של 120 Ω. כיצד משתנים:
א. קבוע הזמן?
ב. הזרם במצב המתמיד?
ג. המתח על הסליל ברגע הסגירה?

תשובות: א. קטן מ-5 ms ל-2.5 ms. ב. קטן מ-0.5 A ל-0.25 A. ג. אינו משתנה, u_L = 30 V

במעגל RC טורי R = 1 kΩ ו-C = 1 µF.
א. נחשב את קבוע הזמן.
ב. איזו השראות צריכה להיות לסליל המחובר בטור לאותו נגד כדי שלמעגל ה-RL יהיה אותו קבוע זמן?

תשובות: א. τ = 1 ms. ב. L = 1 H

הסרטוט מראה את הזרם במעגל RL טורי אחרי סגירת המפסק. מתח המקור E = 50 V. נמצא מן הסרטוט:
א. את הזרם במצב המתמיד.
ב. את קבוע הזמן (בעזרת המשיק). אחר כך נחשב:
ג. את ההתנגדות R.
ד. את השראות הסליל L.

תשובות: א. I = 2 A. ב. τ = 10 ms. ג. R = 25 Ω. ד. L = 0.25 H

לסליל אמיתי יש השראות L וגם התנגדות r של תיל הליפופים, ומסרטטים אותן בטור. במעגל שבסרטוט נחשב:
א. את קבוע הזמן (נשים לב: ההתנגדות הכוללת היא R + r).
ב. את הזרם במצב המתמיד.
ג. את המתח על הנגד R במצב המתמיד.

תשובות: א. τ = 10 ms. ב. I = 0.5 A. ג. U_R = 15 V

10.

במעגל RL טורי E = 10 V ו-R = 50 Ω.
א. נחשב את הזרם במצב המתמיד.
ב. נשלים טבלה של ערכי הזרם ברגעים τ, 2τ, 3τ, 5τ.
ג. נסרטט באופן מקורב את העקומה של i ואת העקומה של u_L כפונקציה של הזמן.

תשובות: א. I = 0.2 A. ב. 0.126 A, 0.173 A, 0.19 A, 0.199 A

תשובות סופיות לשאלות הפרק

13.1 א. i = 0, u_L = 12 V. ב. I = 0.2 A, u_L = 0

13.2 τ = 4 ms, ולכן L = 200 mH

13.3 א. τ = 5 ms. ב. t = 25 ms. ג. קטן פי שניים, ל-2.5 ms

13.4 א. τ = 5 ms. ב. I = 0.2 A. ג. i ≈ 0.126 A, u_R ≈ 15.17 V, u_L ≈ 8.83 V

שאלות בגרות לפרק 13

בבחינות הבגרות 845381 בשנים 2016–2026 לא הופיעה שאלה עצמאית על מעגל RL בזרם ישר. שאלות קבוע הזמן מופיעות בפרק 12, והסליל מופיע בשאלות זרם החילופין שבפרקים 16–18.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.