תורת החשמל · פרק 15 — מספרים מרוכבים ופאזוריםתורת החשמל · סמל מקצוע 33.001⌂📚🏠
פרק 15

מספרים מרוכבים ופאזורים

כיתה י״א · 10 שעות לימוד

בזרם ישר מספיק מספר אחד כדי לתאר כל גודל: המתח 12 V, ההתנגדות 100 Ω. בזרם חילופין לכל מתח ולכל זרם יש גודל ומופע, וכל רכיב במעגל גם מגביל את הזרם וגם מזיז את המופע שלו. שני נתונים דורשים שני מספרים, והמספר המרוכב נושא שני מספרים יחד. בפרק הזה נלמד לכתוב מספר מרוכב בשני ייצוגים, נבצע בו את ארבע פעולות החשבון, ואחר כך נייצג בעזרתו מתחים וזרמים סינוסואידליים.

בסוף הפרק הזה נדע:
  • מספר מרוכב נכתב בייצוג קרטזי a + jb או בייצוג קוטבי r∠θ, והוא מיוצג בנקודה במישור המרוכב.
  • נעבור מן הייצוג הקרטזי לקוטבי ולהפך, תוך תשומת לב לרביע שבו נמצא המספר.
  • נחבר ונחסר מספרים מרוכבים בייצוג קרטזי, ונכפול ונחלק בייצוג קוטבי.
  • נייצג אות סינוסואידלי בפאזור, ונכתוב את הפאזור כמספר מרוכב שגודלו הערך היעיל וזוויתו המופע.
  • נחבר מתחים וזרמים סינוסואידליים בעלי אותה תדירות בעזרת מספרים מרוכבים.

ייצוג קרטזי וקוטבי של מספרים מרוכבים (Cartesian and Polar Forms)

היחידה המדומה:

אין מספר ממשי שהריבוע שלו שלילי. לכן מגדירים מספר חדש, שנקרא היחידה המדומה, והריבוע שלו שווה ל-−1. במתמטיקה מסמנים אותו באות i, אבל בחשמל מסמנים אותו באות j, כי האות i שמורה לזרם:

j2 = −1
j = −1
מספר מרוכב: מספר שמורכב משני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. החלק המדומה הוא המספר שמוכפל ב-j.

ייצוג קרטזי והמישור המרוכב:

ייצוג קרטזי
z = a + jb
סימןמשמעותיחידת מידה
zהמספר המרוכב—
aהחלק הממשי—
bהחלק המדומה—
jהיחידה המדומה, j2 = −1—

מייצגים את המספר המרוכב בנקודה במישור המרוכב: הציר האופקי הוא הציר הממשי Re, והציר האנכי הוא הציר המדומה Im.

12345123ReImθrz = 4 + j3ab
המספר z = 4 + j 3 במישור המרוכב: החלקים a ו-b, הגודל r והזווית θ

בייצוג הקרטזי מגיעים אל הנקודה בשני צעדים: נעים a על הציר הממשי, ואחר כך b בכיוון האנכי. אפשר לתאר אותה נקודה בדרך אחרת: המרחק שלה מראשית הצירים r, והזווית θ בין הקו שמגיע אליה לבין הציר הממשי החיובי.

ייצוג קוטבי:

ייצוג קוטבי
z = r∠θ
סימןמשמעותיחידת מידה
rהגודל (הערך המוחלט) של המספר המרוכב: מרחק הנקודה מראשית הצירים. תמיד חיובי—
θהזווית של המספר המרוכב: נמדדת מן הציר הממשי החיובי, נגד כיוון השעון[°]
הערה: זווית חיובית נמדדת נגד כיוון השעון, וזווית שלילית נמדדת עם כיוון השעון. כותבים את הזווית בתחום שבין −180° ל-+180°. את הסימן ∠ קוראים "בזווית".

מעבר מקרטזי לקוטבי:

החלקים a ו-b והגודל r יוצרים משולש ישר-זווית, ולכן משתמשים במשפט פיתגורס ובפונקציית הטנגנס:

מקרטזי לקוטבי
r = a2 + b2
θ = tan−1(ba)
סימןמשמעותיחידת מידה
rגודל המספר המרוכב—
θזווית המספר המרוכב[°]
a , bהחלק הממשי והחלק המדומה—
דוגמה 15.1
נכתוב את המספר המרוכב z = 4 + j 3 בייצוג קוטבי.
פתרון:

הנתונים: a = 4, b = 3. המספר נמצא ברביע הראשון.

r = a2 + b2 = 42 + 32 = 5
θ = tan−1(ba) = tan−1(34) = 36.87°
z = 5∠36.87°

קביעת הרביע:

המחשבון מחזיר את הערך של tan−1 רק בתחום שבין −90° ל-+90°, כלומר כאילו המספר נמצא תמיד ברביע הראשון או הרביעי. כשהחלק הממשי a שלילי, המספר נמצא ברביע השני או השלישי, ועלינו לתקן את הזווית:

הרביעהסימן של aהסימן של bהזווית θ
הראשוןחיוביחיוביθ = tan−1(ba)
השנישליליחיוביθ = tan−1(ba) + 180°
השלישישלילישליליθ = tan−1(ba) − 180°
הרביעיחיובישליליθ = tan−1(ba)
דוגמה 15.2
נכתוב בייצוג קוטבי:
א. z1 = −3 + j 4 .
ב. z2 = −6 − j 8 .
ג. z3 = 5 − j 12 .
−8−448−12−8−44ReImz₁z₂z₃
פתרון:

נסרטט את שלושת המספרים במישור המרוכב כדי לראות באיזה רביע נמצא כל אחד מהם.

א. המספר z1 ברביע השני (a < 0 , b > 0), ולכן נוסיף 180°:

r1 = (−3)2 + 42 = 5
θ1 = tan−1(4−3) + 180° = −53.13° + 180° = 126.87°

ב. המספר z2 ברביע השלישי (a < 0 , b < 0), ולכן נחסר 180°:

r2 = (−6)2 + (−8)2 = 10
θ2 = tan−1(−8−6) − 180° = 53.13° − 180° = −126.87°

ג. המספר z3 ברביע הרביעי (a > 0), ואין צורך בתיקון:

r3 = 52 + (−12)2 = 13
θ3 = tan−1(−125) = −67.38°
z1 = 5∠126.87°
z2 = 10∠−126.87°
z3 = 13∠−67.38°
שימו לב: לפני כל המרה נסרטט את המספר סרטוט מהיר במישור המרוכב, או לפחות נבדוק את הסימן של החלק הממשי. לשכוח להוסיף 180° כאשר a שלילי היא הטעות הנפוצה ביותר בפרק הזה.

מעבר מקוטבי לקרטזי:

מקוטבי לקרטזי
a = r · cosθ
b = r · sinθ
z = r·cosθ + j·r·sinθ
סימןמשמעותיחידת מידה
aהחלק הממשי—
bהחלק המדומה—
r , θהגודל של המספר המרוכב והזווית שלו—
דוגמה 15.3
נכתוב בייצוג קרטזי:
א. z1 = 10∠60° .
ב. z2 = 20∠−135° .
פתרון:

א. נחשב את החלק הממשי ואת החלק המדומה:

a = 10 · cos(60°) = 5
b = 10 · sin(60°) = 8.66
z1 = 5 + j 8.66

ב. הזווית −135° נמצאת ברביע השלישי, ולכן נצפה ששני החלקים יהיו שליליים:

a = 20 · cos(−135°) = −14.14
b = 20 · sin(−135°) = −14.14
z2 = −14.14 − j 14.14

מספרים מיוחדים. מספר ממשי נמצא על הציר הממשי, ומספר מדומה נמצא על הציר המדומה. כדאי לזכור את המקרים הבאים, כי נשתמש בהם הרבה בפרק הבא:

ייצוג קרטזי5j 5−5−j 5
ייצוג קוטבי5∠0°5∠90°5∠180°5∠−90°
מקומו במישורהציר הממשי החיוביהציר המדומה החיוביהציר הממשי השליליהציר המדומה השלילי
שאלה 15.1: א. נכתוב בייצוג קוטבי: z1 = 8 + j 6 ו-z2 = −5 + j 5 .
ב. נכתוב בייצוג קרטזי: z3 = 12∠−30° .
המחשבון: במחשבונים מדעיים יש שתי דרכים נפוצות להמרה, וחשוב להתאמן על המחשבון שלנו לפני הבחינה:
1. הפונקציות Pol ו-Rec : הפונקציה Pol(a , b) ממירה לייצוג קוטבי ונותנת את r ואת θ, והפונקציה Rec(r , θ) ממירה לייצוג קרטזי ונותנת את a ואת b.
2. מצב מספרים מרוכבים (נקרא בדרך כלל CMPLX): מקלידים את המספר באחד משני הייצוגים, משתמשים במקש ∠ לייצוג הקוטבי, ואז מבקשים להציג את התוצאה בייצוג האחר. במצב הזה אפשר לבצע חיבור, חיסור, כפל וחילוק ישירות. המחשבון כותב i במקום j.
בשני המקרים המחשבון צריך להיות במצב מעלות DEG. הפונקציה Pol ומצב המספרים המרוכבים נותנים את הזווית ברביע הנכון, ואין בהם צורך בתיקון של 180°.

חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מספרים מרוכבים (Complex Arithmetic)

לכל פעולת חשבון יש ייצוג נוח. הכלל שכדאי לזכור: מחברים ומחסרים בייצוג קרטזי, כופלים ומחלקים בייצוג קוטבי.

חיבור וחיסור:

חיבור וחיסור בייצוג קרטזי
z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)
z1 − z2 = (a1 − a2) + j(b1 − b2)
סימןמשמעותיחידת מידה
a1 , b1החלק הממשי והחלק המדומה של המספר הראשון z1—
a2 , b2החלק הממשי והחלק המדומה של המספר השני z2—

כלומר, מחברים חלק ממשי עם חלק ממשי, וחלק מדומה עם חלק מדומה, כל חלק בנפרד.

דוגמה 15.4
נתון z1 = 6 + j 2 ו-z2 = 2 + j 5 . נחשב את z1 + z2 ואת z1 − z2 .
z1z2z
פתרון:
z1 + z2 = (6 + 2) + j(2 + 5) = 8 + j 7
z1 − z2 = (6 − 2) + j(2 − 5) = 4 − j 3

במישור המרוכב, חיבור של שני מספרים מרוכבים הוא חיבור של שני וקטורים: מסרטטים את הווקטור השני מראש הווקטור הראשון, והשקול z = z1 + z2 (בירוק) הוא הווקטור מראשית הצירים אל ראש הווקטור השני.

הערה: אי אפשר לחבר שני מספרים בייצוג קוטבי ישירות: לא מחברים את הגדלים ולא מחברים את הזוויות. אם שני המספרים נתונים בייצוג קוטבי, ממירים אותם תחילה לייצוג קרטזי, מחברים, ואז ממירים את התוצאה לייצוג קוטבי אם יש צורך.
דוגמה 15.5
נתון z1 = 10∠30° ו-z2 = 6∠−90° . נחשב את z1 + z2 ונכתוב את התוצאה בייצוג קוטבי.
פתרון:

שלב 1: נמיר את שני המספרים לייצוג קרטזי:

z1 = 10·cos(30°) + j·10·sin(30°) = 8.66 + j 5
z2 = −j 6

שלב 2: נחבר כל חלק בנפרד:

z1 + z2 = (8.66 + 0) + j(5 − 6) = 8.66 − j 1

שלב 3: נמיר את התוצאה לייצוג קוטבי. המספר ברביע הרביעי:

r = 8.662 + (−1)2 = 8.72
θ = tan−1(−18.66) = −6.59°
z1 + z2 = 8.72∠−6.59°

כפל וחילוק:

כפל וחילוק בייצוג קוטבי
z1 · z2 = r1·r2 ∠(θ1 + θ2)
z1z2 = r1r2 ∠(θ1 − θ2)
סימןמשמעותיחידת מידה
r1 , θ1הגודל של המספר הראשון z1 והזווית שלו—
r2 , θ2הגודל של המספר השני z2 והזווית שלו—
דוגמה 15.6
נתון z1 = 12∠40° ו-z2 = 3∠−25° . נחשב את המכפלה z1 · z2 ואת המנה z1z2 .
פתרון:
z1 · z2 = 12 · 3 ∠(40° + (−25°)) = 36∠15°
z1z2 = 123 ∠(40° − (−25°)) = 4∠65°
z1 · z2 = 36∠15°

כפל בייצוג קרטזי. אפשר לכפול גם בייצוג קרטזי: פותחים סוגריים כמו באלגברה, ומציבים j2 = −1 :

דוגמה 15.7
נחשב את המכפלה (2 + j 3) · (4 − j) .
פתרון:

נכפול כל איבר בסוגריים הראשונים בכל איבר בסוגריים השניים:

(2 + j 3)·(4 − j) = 8 − j 2 + j 12 − j2·3

נציב j2 = −1, והאיבר האחרון הופך ל-+3. אחר כך נחבר את החלקים הממשיים יחד ואת החלקים המדומים יחד:

= (8 + 3) + j(12 − 2) = 11 + j 10
(2 + j 3)·(4 − j) = 11 + j 10
מספר צמוד: הצמוד של המספר z = a + jb הוא המספר z∗ = a − jb : אותו חלק ממשי, וחלק מדומה בסימן הפוך. בייצוג קוטבי: הצמוד של r∠θ הוא r∠−θ. המכפלה של מספר בצמוד שלו היא מספר ממשי: z · z∗ = a2 + b2 = r2.

חילוק בייצוג קרטזי. כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה, וכך המכנה הופך למספר ממשי:

דוגמה 15.8
נחשב את 503 + j 4 בשתי דרכים.
פתרון:

הדרך הראשונה, בייצוג קרטזי: נכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה (3 − j 4) :

503 + j 4 = 50·(3 − j 4)(3 + j 4)·(3 − j 4) = 150 − j 20032 + 42 = 150 − j 20025 = 6 − j 8

הדרך השנייה, בייצוג קוטבי: נמיר את המכנה, 3 + j 4 = 5∠53.13°, ואז נחלק:

50∠0°5∠53.13° = 505 ∠(0° − 53.13°) = 10∠−53.13°

שתי התוצאות שוות: 10∠−53.13° = 6 − j 8 .

503 + j 4 = 6 − j 8

כפל ב-j וחילוק ב-j:

90°zj·z

מכיוון ש-j = 1∠90°, כפל של מספר מרוכב ב-j אינו משנה את גודלו, אלא מסובב אותו 90° נגד כיוון השעון. חילוק ב-j מסובב אותו 90° עם כיוון השעון (הווקטור הירוק בסרטוט).

j · r∠θ = r∠(θ + 90°)
r∠θj = r∠(θ − 90°)
1j = −j
הערה: למה 1j = −j ? נכפול את המונה ואת המכנה ב-j : 1j = jj2 = j−1 = −j. נזדקק לתוצאה הזאת בפרק הבא, בחישוב ההיגב של הקבל.

פעולות משולבות:

במעגלי זרם חילופין צריך לעיתים קרובות לחשב ביטוי שיש בו כפל במונה וחיבור במכנה, כמו בנוסחה של שני נגדים במקביל. מחשבים את המכנה בייצוג קרטזי, ממירים אותו לייצוג קוטבי, ואז כופלים ומחלקים בייצוג קוטבי:

דוגמה 15.9
נתון z1 = 30 + j 40 ו-z2 = −j 50 . נחשב את z = z1 · z2z1 + z2 .
פתרון:

שלב 1: המכנה הוא סכום, ולכן נחשב אותו בייצוג קרטזי ואז נמיר אותו לקוטבי:

z1 + z2 = 30 + j(40 − 50) = 30 − j 10 = 31.62∠−18.43°

שלב 2: המונה הוא מכפלה, ולכן נמיר את שני המספרים לייצוג קוטבי ונכפול:

z1 = 30 + j 40 = 50∠53.13°
z2 = −j 50 = 50∠−90°
z1 · z2 = 50 · 50 ∠(53.13° + (−90°)) = 2500∠−36.87°

שלב 3: נחלק את המונה במכנה:

z = 2500∠−36.87°31.62∠−18.43° = 79.06∠−18.43°

ובייצוג קרטזי: z = 75 − j 25 .

z = 79.06∠−18.43°
שאלה 15.2: א. נתון z1 = 8∠60° ו-z2 = 2∠15° . נחשב את z1 · z2 ואת z1z2 .
ב. נתון z3 = 5 − j 2 ו-z4 = −1 + j 6 . נחשב את z3 + z4 ואת z3 − z4 .
שאלה 15.3: נתון z1 = 20∠0° ו-z2 = 20∠90° . נחשב את z1 + z2 בייצוג קוטבי. האם גודל הסכום שווה לסכום הגדלים?

ייצוג פאזורים באמצעות מספרים מרוכבים (Phasors as Complex Numbers)

פאזור:

נדמיין וקטור שאורכו Um ומסתובב סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון במהירות זוויתית קבועה ω. גובה ראש הווקטור מעל הציר האופקי שווה בכל רגע ל-Um·sin(ωt), כלומר עם הזמן הוא מסרטט גל סינוס שלם: סיבוב שלם של הווקטור מתאים למחזור שלם של האות.

ωtωUmωtuωt180°360°
וקטור שמסתובב במהירות זוויתית ω : גובה הראש שלו בכל רגע הוא הערך הרגעי של האות הסינוסואידלי
פאזור: וקטור שמייצג אות סינוסואידלי: אורכו מייצג את גודל האות, והזווית שלו עם הציר האופקי מייצגת את המופע φ של האות. מסרטטים את הווקטור כפי שהוא נראה ברגע t = 0.

במעגל אחד לכל המתחים והזרמים יש אותה תדירות, ולכן כל הפאזורים מסתובבים יחד באותה מהירות, והזוויות ביניהם אינן משתנות. לכן מספיק לסרטט אותם "קפואים" ברגע אחד. הסרטוט שמרכז את הפאזורים נקרא דיאגרמה פאזורית.

הפאזור כמספר מרוכב:

לפאזור יש גודל וזווית, בדיוק כמו למספר מרוכב בייצוג קוטבי. לכן כותבים כל פאזור כמספר מרוכב. מוסכם שגודל הפאזור הוא הערך היעיל של האות, כי זה הערך שמכשירי המדידה מציגים ושבעזרתו מחשבים הספק:

מן האות הסינוסואידלי אל הפאזור
u(t) = Um·sin(ωt + φ)
U̲ = U∠φ
U = Um2
סימןמשמעותיחידת מידה
U̲פאזור המתח, והוא מספר מרוכב[V]
Uהערך היעיל של המתח: גודל הפאזור[V]
φהמופע: זווית הפאזור[°]
Umערך השיא של המתח[V]
הערה: מסמנים קו מתחת לאות כדי לציין שהגודל הוא מספר מרוכב, שיש לו גודל וזווית: U̲, I̲. האות בלי הקו, U או I, היא הגודל בלבד, כלומר הערך היעיל שמכשיר המדידה מציג. בספרים אחרים המספר המרוכב נכתב בנקודה או בקו מעל האות, או באות מודגשת. התדירות אינה מופיעה בפאזור, ולכן מציינים אותה בנפרד.
דוגמה 15.10
נתון המתח u(t) = 141.42·sin(314t + 30°) V . נכתוב את פאזור המתח בייצוג קוטבי ובייצוג קרטזי.
פתרון:

נחשב את הערך היעיל:

U = Um2 = 141.422 = 100 V

המופע φ = 30°, ולכן:

U̲ = 100∠30° V
U̲ = 100·cos(30°) + j·100·sin(30°) = (86.6 + j 50) V
U̲ = 100∠30° V
דוגמה 15.11
הפאזור של זרם שתדירותו 50 Hz הוא I̲ = (3 − j 4) A . נכתוב את הביטוי המתמטי של הזרם i(t) .
פתרון:

שלב 1: נמיר לייצוג קוטבי. המספר ברביע הרביעי:

I = 32 + (−4)2 = 5 A
φ = tan−1(−43) = −53.13°
I̲ = 5∠−53.13° A

שלב 2: גודל הפאזור הוא הערך היעיל, ולכן נחשב את ערך השיא:

Im = 2 · I = 2 · 5 = 7.07 A

שלב 3: התדירות הזוויתית ω = 2πf = 2π · 50 ≈ 314 rad/s, ונכתוב את הביטוי:

i(t) = 7.07·sin(314t − 53.13°) A
שאלה 15.4: א. נכתוב את הפאזור של הזרם i(t) = 10·sin(314t − 60°) A בייצוג קוטבי.
ב. הפאזור של מתח הוא U̲ = 230∠45° V . מהו ערך השיא של המתח?

קריאת הדיאגרמה הפאזורית:

φU̲I̲
  • אורכו של כל פאזור פרופורציוני לערך היעיל, והזווית שלו נמדדת מן הציר האופקי, נגד כיוון השעון.
  • הפאזורים מסתובבים נגד כיוון השעון. הפאזור שנמצא לפני האחר בכיוון הסיבוב הוא המקדים.
  • הזווית בין שני הפאזורים היא הפרש המופע φ בין שני האותות.

בסרטוט: U̲ = 100∠30° V ו-I̲ = 60∠−25° A . המתח מקדים את הזרם בזווית φ = 30° − (−25°) = 55° .

חיבור אותות סינוסואידליים באמצעות פאזורים:

שני חוקי קירכהוף נכונים בזרם חילופין בכל רגע. אבל חיבור של שני גלי סינוס נקודה אחר נקודה הוא עבודה ארוכה. במקום זה מחברים את שני הפאזורים כשני מספרים מרוכבים: הסכום הוא הפאזור של האות השקול, ולו אותה תדירות.

שימו לב: בזרם חילופין לא מחברים ערכים יעילים חיבור מספרי רגיל, אלא אם האותות באותו מופע. מחברים תמיד את הפאזורים, כלומר את המספרים המרוכבים.
דוגמה 15.12
שני מתחים סינוסואידליים בעלי אותה תדירות מחוברים בטור: U̲1 = 100∠60° V ו-U̲2 = 60∠−15° V . נחשב את המתח הכולל U̲ = U̲1 + U̲2, ונסרטט את הדיאגרמה הפאזורית.
U̲1U̲2U̲
פתרון:

שלב 1: נמיר את שני המתחים לייצוג קרטזי:

U̲1 = 100·cos(60°) + j·100·sin(60°) = (50 + j 86.6) V
U̲2 = 60·cos(−15°) + j·60·sin(−15°) = (57.96 − j 15.53) V

שלב 2: נחבר:

U̲ = (50 + 57.96) + j(86.6 − 15.53) = (107.96 + j 71.07) V

שלב 3: נמיר לייצוג קוטבי:

U = 107.962 + 71.072 = 129.25 V
φ = tan−1(71.07107.96) = 33.36°

הערך היעיל של המתח הכולל הוא 129.25 V, ולא 100 + 60 = 160 V . בדיאגרמה הפאזורית סרטטנו את U̲2 מראש U̲1, והשקול U̲ סוגר את המשולש.

U̲ = 129.25∠33.36° V
שאלה 15.5: לצומת נכנסים שני זרמים בעלי אותה תדירות: I̲1 = 3∠0° A ו-I̲2 = 4∠−90° A . מהו הזרם הכולל I̲ = I̲1 + I̲2 שיוצא מן הצומת?

מבט קדימה: חוק אום במספרים מרוכבים:

כשמחלקים את פאזור המתח בפאזור הזרם מקבלים מספר מרוכב אחד: גודלו מראה עד כמה הרכיב מגביל את הזרם, וזוויתו מראה בכמה הוא מזיז את המופע בין המתח לזרם. המספר הזה נקרא עכבה Z̲, והוא נושא הפרק הבא.

דוגמה 15.13
המתח על עומס הוא U̲ = 230∠0° V והזרם שזורם בו I̲ = 4.6∠−36.87° A . נחשב את Z̲ = U̲I̲ בשני הייצוגים.
פתרון:
Z̲ = U̲I̲ = 230∠0°4.6∠−36.87° = 2304.6 ∠(0° − (−36.87°)) = 50∠36.87° Ω
Z̲ = 50·cos(36.87°) + j·50·sin(36.87°) = (40 + j 30) Ω

הגודל 50 Ω הוא היחס בין הערכים היעילים של המתח ושל הזרם, והזווית 36.87° היא הפרש המופע ביניהם: המתח מקדים את הזרם.

Z̲ = 50∠36.87° Ω
▶ניסוי חי — מעבדת המספרים המרוכבים והפאזוריםנזיז נקודה במישור המרוכב ונראה את שני הייצוגים משתנים יחד, נבצע את ארבע הפעולות ונראה אותן על המישור.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab
פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

סיכום נוסחאות הפרק:

החוקהנוסחה
היחידה המדומהj2 = −1
ייצוג קרטזיz = a + jb
ייצוג קוטביz = r∠θ
מקרטזי לקוטבי: הגודלr = a2 + b2
מקרטזי לקוטבי: הזווית (עם בדיקת הרביע)θ = tan−1(ba)
מקוטבי לקרטזיz = r·cosθ + j·r·sinθ
חיבור (בייצוג קרטזי)z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)
כפל (בייצוג קוטבי)z1 · z2 = r1·r2 ∠(θ1 + θ2)
חילוק (בייצוג קוטבי)z1z2 = r1r2 ∠(θ1 − θ2)
פאזורU̲ = U∠φ = Um2 ∠φ

מילון מונחים:

עבריתEnglishالعربية
מספר מרוכבComplex numberالعدد المركّب
היחידה המדומהImaginary unitالوحدة التخيلية
חלק ממשיReal partالجزء الحقيقي
חלק מדומהImaginary partالجزء التخيلي
המישור המרוכבComplex planeالمستوى المركّب
הציר הממשי / המדומהReal / imaginary axisالمحور الحقيقي / التخيلي
ייצוג קרטזיCartesian (rectangular) formالصيغة الديكارتية (الجبرية)
ייצוג קוטביPolar formالصيغة القطبية
גודל / ערך מוחלטMagnitudeالمقدار
זוויתAngleالزاوية
רביעQuadrantالربع
מספר צמודComplex conjugateالعدد المرافق
פאזורPhasorالمتجه الطوري
דיאגרמה פאזוריתPhasor diagramالمخطط الطوري
ערך יעילEffective (RMS) valueالقيمة الفعالة
עכבהImpedanceالممانعة (المعاوقة)

שאלות לתרגול:

1.
נקבע את החלק הממשי ואת החלק המדומה של כל מספר, ונסרטט אותו במישור המרוכב:
א. z1 = 5 + j 2 .
ב. z2 = −3 + j 4 .
ג. z3 = −j 6 .
ד. z4 = −7 .
תשובות: א. a = 5 , b = 2 (הרביע הראשון). ב. a = −3 , b = 4 (הרביע השני). ג. a = 0 , b = −6 (הציר המדומה השלילי). ד. a = −7 , b = 0 (הציר הממשי השלילי)
2.
נכתוב בייצוג קוטבי:
א. 12 + j 5 .
ב. −8 + j 6 .
ג. −4 − j 4 .
ד. 9 − j 12 .
תשובות: א. 13∠22.62° . ב. 10∠143.13° . ג. 5.66∠−135° . ד. 15∠−53.13°
3.
נכתוב בייצוג קרטזי:
א. 50∠53.13° .
ב. 15∠120° .
ג. 8∠−90° .
תשובות: א. 30 + j 40 . ב. −7.5 + j 12.99 . ג. −j 8
4.
תלמיד המיר את המספר z = −5 + j 5 לייצוג קוטבי במחשבון וקיבל 7.07∠−45° .
א. מהי הטעות שלו?
ב. מהי התוצאה הנכונה?
תשובות: א. הוא לא הוסיף 180° אף שהחלק הממשי שלילי (הרביע השני). ב. 7.07∠135°
5.
נתון z1 = 7 − j 3 ו-z2 = −2 + j 8 . נחשב:
א. z1 + z2 .
ב. z1 − z2 .
ג. נכתוב את תוצאת סעיף א בייצוג קוטבי.
תשובות: א. 5 + j 5 . ב. 9 − j 11 . ג. 7.07∠45°
6.
נתון z1 = 24∠75° ו-z2 = 6∠−15° . נחשב:
א. z1 · z2 .
ב. z1z2 .
ג. נכתוב את תוצאת סעיף ב בייצוג קרטזי.
תשובות: א. 144∠60° . ב. 4∠90° . ג. j 4
7.
נחשב בייצוג קרטזי:
א. (3 + j 2)·(1 − j 4) .
ב. 202 − j 4 .
תשובות: א. 11 − j 10 . ב. 2 + j 4
8.
נחשב:
א. j · 10∠20° .
ב. 10∠20°j .
ג. j3 .
ד. 1j 5 .
תשובות: א. 10∠110° . ב. 10∠−70° . ג. −j . ד. −j 0.2
9.
נתון z1 = 40 + j 30 ו-z2 = −j 25 . נחשב את z = z1 · z2z1 + z2 ונכתוב את התוצאה בשני הייצוגים.
תשובות: z1 + z2 = 40.31∠7.13°, z1 · z2 = 1250∠−53.13°, z = 31.01∠−60.26° = 15.38 − j 26.92
10.
נכתוב את הפאזור של כל אות בייצוג קוטבי:
א. u(t) = 325·sin(314t + 45°) V .
ב. i(t) = 2.83·sin(314t − 90°) A .
תשובות: א. U̲ = 229.8∠45° V . ב. I̲ = 2∠−90° A
11.
הפאזור של מתח שתדירותו 50 Hz הוא U̲ = (−60 + j 80) V .
א. נכתוב אותו בייצוג קוטבי.
ב. נכתוב את הביטוי המתמטי u(t) .
תשובות: א. U̲ = 100∠126.87° V . ב. u(t) = 141.42·sin(314t + 126.87°) V
12.
שני מתחים בעלי אותה תדירות מחוברים בטור: U̲1 = 120∠0° V ו-U̲2 = 90∠90° V .
א. נחשב את המתח הכולל.
ב. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית.
ג. איזה מן המתחים מקדים את האחר?
תשובות: א. U̲ = 150∠36.87° V . ג. U̲2 מקדים את U̲1 בזווית 90°
13.
שני זרמים בעלי אותה תדירות נכנסים לצומת: I̲1 = 5∠30° A ו-I̲2 = 5∠−30° A . נחשב את הזרם הכולל שיוצא מן הצומת.
תשובות: I̲ = 8.66∠0° A
14.
המתח על עומס הוא U̲ = 100∠20° V והזרם שזורם בו I̲ = 2.5∠65° A .
א. נחשב את Z̲ = U̲I̲ בשני הייצוגים.
ב. האם המתח מקדים את הזרם או מפגר אחריו? ובאיזו זווית?
תשובות: א. Z̲ = 40∠−45° Ω = (28.28 − j 28.28) Ω . ב. המתח מפגר אחרי הזרם בזווית 45°
תשובות סופיות לשאלות הפרק
15.1 א. z1 = 10∠36.87°, z2 = 7.07∠135°. ב. z3 = 10.39 − j 6
15.2 א. z1 · z2 = 16∠75°, z1z2 = 4∠45°. ב. z3 + z4 = 4 + j 4, z3 − z4 = 6 − j 8
15.3 z1 + z2 = 28.28∠45° . לא: הגודל הוא 28.28 ולא 40
15.4 א. I̲ = 7.07∠−60° A. ב. Um = 325.27 V
15.5 I̲ = (3 − j 4) A = 5∠−53.13° A

שאלות בגרות לפרק 15

אין בבחינה שאלה עצמאית על מספרים מרוכבים, אבל הם הכלי העיקרי לפתרון שאלות זרם החילופין. מתרגלים אותם בשאלות הבגרות שבפרקים 16–19.
נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.