פרק 16

מעגלי זרם חילופין

כיתה י״א · 28 שעות לימוד

בשני הפרקים הקודמים הכרנו את האות הסינוסואידלי ואת המספרים המרוכבים. עכשיו נשתמש בהם כדי לנתח מעגלים חשמליים שמחוברים למקור מתח חילופין ויש בהם נגדים, סלילים וקבלים. נתחיל בכל רכיב בנפרד, נגדיר את העכבה ואת המתירות, ואחר כך ננתח מעגלים טוריים ומעגלים מקביליים מן הסוגים RL, RC ו-RLC: נחשב את העכבה, הזרמים והמתחים, ונסרטט את הדיאגרמה הפאזורית.

בסוף הפרק הזה נדע:

הסליל והקבל מתנגדים לזרם החילופין בהיגב שתלוי בתדירות: X_L = 2πfL ו-X_C = 12πfC.
בנגד המתח והזרם באותו מופע, בסליל הזרם מפגר אחרי המתח ב-90°, ובקבל הוא מקדים אותו ב-90°.
נגדיר את העכבה Z̲ ואת המתירות Y̲ כמספרים מרוכבים, ונכתוב את חוק אום בפאזורים: U̲ = I̲ · Z̲.
נחשב את העכבה, הזרם והמתחים במעגלי RL, RC ו-RLC טוריים, ונסרטט את הדיאגרמה הפאזורית של המתחים ואת משולש העכבות.
נחשב את הזרמים ואת העכבה במעגלי RL, RC ו-RLC מקביליים, ונסרטט את הדיאגרמה הפאזורית של הזרמים ואת משולש המתירויות.
נקבע את אופי המעגל: השראותי, קיבולי או התנגדותי.

היגב השראותי והיגב קיבולי (Inductive and Capacitive Reactance)

במעגל זרם ישר, הרכיב היחיד שמגביל את הזרם הוא הנגד. בזרם חילופין המתח והזרם משתנים כל הזמן, ולכן גם הסליל והקבל משפיעים על המעגל. נבדוק כל רכיב בנפרד כשמחברים אותו למקור מתח סינוסואידלי, ונשאל שתי שאלות: עד כמה הרכיב מגביל את הזרם? ומהו הפרש המופע בין המתח עליו לזרם שזורם בו?

מוסכמה: בפרק הזה כל המתחים והזרמים נתונים בערכים יעילים, כפי שמכשירי המדידה מציגים אותם. הפרש המופע בין המתח לזרם הוא φ = φ_u − φ_i : אם הוא חיובי, המתח מקדים את הזרם (הזרם מפגר), ואם הוא שלילי, הזרם מקדים את המתח.

נגד במעגל זרם חילופין:

חוק אום נכון בנגד בכל רגע: u = i · R. כשהמתח גדל הזרם גדל איתו, וכשהמתח מתהפך הזרם מתהפך. לכן המתח והזרם מגיעים לאפס ולשיא באותו רגע:

הנגד: שני הגלים עוברים באפס ובשיא יחד

הדיאגרמה הפאזורית: U̲ ו-I̲ באותו כיוון

בנגד המתח והזרם באותו מופע: φ = 0°.
חוק אום נכון לערכים היעילים: U_R = I · R.
ערך ההתנגדות אינו תלוי בתדירות.

סליל במעגל זרם חילופין: היגב השראותי:

למדנו שהסליל מתנגד לכל שינוי בזרם שזורם בו. בזרם חילופין הזרם משתנה כל הזמן, ולכן הסליל מתנגד לו כל הזמן. התוצאה: הזרם "מאחר" אחרי המתח, ומגיע לשיא שלו רבע מחזור אחרי שהמתח מגיע לשיא שלו.

הסליל: שיא הזרם בא רבע מחזור אחרי שיא המתח

הדיאגרמה הפאזורית: I̲ מפגר 90° אחרי U̲

בסליל הזרם מפגר אחרי המתח בזווית 90°, כלומר φ = +90°.

היגב השראותי: ההתנגדות שהסליל מגלה למעבר זרם החילופין. מסמנים אותו X_L ומודדים אותו באוהם [Ω]. הוא שווה ליחס בין הערך היעיל של המתח על הסליל לערך היעיל של הזרם שזורם בו.

היגב השראותי

X_L = ωL = 2πfL

U_L = I · X_L

סימן	משמעות	יחידת מידה
X_L	ההיגב ההשראותי	[Ω]
f	תדירות המקור	[Hz]
L	השראות הסליל	[H]
ω	התדירות הזוויתית, ω = 2πf	[rad/s]

ההיגב ההשראותי גדל עם התדירות: ככל שהזרם משתנה מהר יותר, הסליל מתנגד לו יותר.
בזרם ישר f = 0, ולכן X_L = 0 : סליל בזרם ישר, אחרי שתופעת המעבר מסתיימת, מתנהג כמו קצר.

הערה: נניח שהסליל אידיאלי, כלומר התנגדות התיל שלו אפס. לסליל ממשי יש התנגדות, ומייצגים אותו בסליל אידיאלי שמחובר בטור לנגד, כלומר במעגל RL טורי.

דוגמה 16.1

סליל אידיאלי שהשראותו 200 mH מחובר למקור שהמתח שלו 230 V ותדירותו 50 Hz. נחשב:
א. את ההיגב ההשראותי.
ב. את הזרם בסליל.
ג. את ההיגב ואת הזרם אם נכפיל את התדירות ל-100 Hz .

פתרון:

נמיר את ההשראות ליחידת היסוד: L = 200 mH = 0.2 H.

א. ההיגב ההשראותי:

X_L = 2πfL

X_L = 2π · 50 · 0.2 = 62.83 Ω

ב. הזרם:

I = U_LX_L = 23062.83 = 3.66 A

ג. כשמכפילים את התדירות ההיגב מוכפל, ולכן הזרם קטן לחצי:

X_L = 2π · 100 · 0.2 = 125.66 Ω

I = 230125.66 = 1.83 A

X_L = 62.83 Ω

קבל במעגל זרם חילופין: היגב קיבולי:

זרם ישר אינו עובר דרך קבל, כי בין הלוחות שלו יש חומר מבודד. בזרם חילופין הקבל נטען ונפרק בכל מחזור, ולכן במוליכים שמחוברים אליו זורם זרם חילופין. הזרם נמצא בשיא כשהמתח משתנה במהירות הגדולה ביותר, כלומר כשהוא עובר באפס, והוא שווה לאפס כשהמתח מגיע לשיא, כי הקבל סיים להיטען. התוצאה: הזרם מקדים את המתח ברבע מחזור.

הקבל: שיא הזרם בא רבע מחזור לפני שיא המתח

הדיאגרמה הפאזורית: I̲ מקדים 90° את U̲

בקבל הזרם מקדים את המתח בזווית 90°, כלומר φ = −90°.

היגב קיבולי: ההתנגדות שהקבל מגלה למעבר זרם החילופין. מסמנים אותו X_C ומודדים אותו באוהם [Ω]. הוא שווה ליחס בין הערך היעיל של המתח על הקבל לערך היעיל של הזרם שזורם בו.

היגב קיבולי

X_C = 1ωC = 12πfC

U_C = I · X_C

סימן	משמעות	יחידת מידה
X_C	ההיגב הקיבולי	[Ω]
f	תדירות המקור	[Hz]
C	קיבול הקבל	[F]
ω	התדירות הזוויתית, ω = 2πf	[rad/s]

ההיגב הקיבולי קטן כשהתדירות גדלה או כשהקיבול גדל.
בזרם ישר f = 0, ולכן X_C אינסופי: קבל בזרם ישר, אחרי שהטעינה מסתיימת, מתנהג כמו נתק (מעגל פתוח).

דוגמה 16.2

קבל שקיבולו 47 µF מחובר למקור שהמתח שלו 230 V ותדירותו 50 Hz. נחשב:
א. את ההיגב הקיבולי.
ב. את הזרם בקבל.

פתרון:

נמיר את הקיבול ליחידת היסוד: C = 47 µF = 47·10⁻⁶ F.

א. ההיגב הקיבולי:

X_C = 12πfC

X_C = 12π · 50 · 47·10⁻⁶ = 67.73 Ω

ב. הזרם:

I = U_CX_C = 23067.73 = 3.4 A

X_C = 67.73 Ω

ההיגב כפונקציה של התדירות: X_L עולה בקו ישר, ו-X_C יורד ככל שהתדירות עולה

	הנגד R	הסליל L	הקבל C
ההתנגדות לזרם	R	X_L = 2πfL	X_C = 12πfC
כשהתדירות עולה	אינה משתנה	גדלה	קטנה
בזרם ישר	R	קצר	נתק
הזרם ביחס למתח	באותו מופע	מפגר 90°	מקדים 90°
הפרש המופע φ	0°	+90°	−90°

שאלה 16.1: א. מהו ההיגב ההשראותי של סליל שהשראותו 50 mH בתדירות 50 Hz ? ובתדירות 1 kHz ?
ב. מהו ההיגב הקיבולי של קבל שקיבולו 100 µF באותן שתי תדירויות?

שאלה 16.2: בסליל אידיאלי שמחובר למקור שהמתח שלו 24 V ותדירותו 50 Hz זורם זרם של 150 mA. מהו ההיגב של הסליל? ומהי השראותו?

הגדרת העכבה Z והמתירות Y (Impedance and Admittance)

עכבה:

במעגל שיש בו נגדים, סלילים וקבלים יחד, דרוש גודל אחד שמתאר את ההתנגדות הכוללת לזרם החילופין, ומתאר גם את הפרש המופע בין המתח לזרם. הגודל הזה הוא העכבה:

עכבה: ההתנגדות הכוללת שמעגל או רכיב מגלה למעבר זרם החילופין. העכבה היא מספר מרוכב, מסמנים אותה Z̲ ומודדים אותה באוהם [Ω]: גודלה Z הוא היחס בין הערך היעיל של המתח לערך היעיל של הזרם, וזוויתה φ היא הפרש המופע בין המתח לזרם.

עכבה

Z̲ = U̲I̲

Z̲ = R + jX = Z∠φ

Z = UI = R² + X²

φ = tan⁻¹(XR)

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z̲	העכבה, מספר מרוכב	[Ω]
Z	גודל העכבה	[Ω]
R	החלק הממשי: ההתנגדות	[Ω]
X	החלק המדומה: ההיגב	[Ω]
φ	זווית העכבה, והיא הפרש המופע בין המתח לזרם	[°]

העכבה של כל רכיב. בפרק הקודם ראינו שכפל ב-j מסובב את הווקטור 90° נגד כיוון השעון. בסליל המתח מקדים את הזרם ב-90°, ולכן העכבה שלו jX_L. בקבל המתח מפגר אחרי הזרם ב-90°, ולכן העכבה שלו −jX_C:

הרכיב	העכבה בייצוג קרטזי	העכבה בייצוג קוטבי	מקומה במישור המרוכב
נגד	Z̲_R = R	Z̲_R = R∠0°	הציר הממשי החיובי
סליל	Z̲_L = jX_L = jωL	Z̲_L = X_L∠90°	הציר המדומה החיובי
קבל	Z̲_C = −jX_C = 1jωC	Z̲_C = X_C∠−90°	הציר המדומה השלילי

הערה: הסימן של החלק המדומה X מגלה את אופי העכבה: אם הוא חיובי, העכבה השראותית והזרם מפגר אחרי המתח, ואם הוא שלילי, העכבה קיבולית והזרם מקדים את המתח.

דוגמה 16.3

המתח על עומס הוא U̲ = 100∠0° V והזרם שזורם בו I̲ = 2∠−36.87° A. נחשב את עכבת העומס, ונקבע את התנגדותו, את ההיגב שלו ואת אופיו.

פתרון:

Z̲ = U̲I̲ = 100∠0°2∠−36.87° = 1002 ∠(0° − (−36.87°)) = 50∠36.87° Ω

נמיר לייצוג קרטזי כדי לקרוא את ההתנגדות ואת ההיגב:

Z̲ = 50·cos(36.87°) + j·50·sin(36.87°) = (40 + j 30) Ω

R = 40 Ω

X = 30 Ω

החלק המדומה חיובי, ולכן העכבה השראותית: הזרם מפגר אחרי המתח בזווית 36.87° .

Z̲ = 50∠36.87° Ω

מתירות:

בזרם ישר הגדרנו את המוליכות G = 1R, והשתמשנו בה במעגלים מקביליים. הגודל המקביל לה בזרם חילופין הוא המתירות:

מתירות: הגודל ההופכי לעכבה, שמראה באיזו קלות זרם החילופין עובר במעגל או ברכיב. המתירות היא מספר מרוכב, מסמנים אותה Y̲ ומודדים אותה בסימנס [S].

מתירות

Y̲ = 1Z̲ = I̲U̲

Y̲ = G + jB = Y∠−φ

Y = 1Z = IU

סימן	משמעות	יחידת מידה
Y̲	המתירות, מספר מרוכב	[S]
Y	גודל המתירות	[S]
G	החלק הממשי: המוליכות	[S]
B	החלק המדומה: הסוספטנס	[S]

הרכיב	העכבה	המתירות	המתירות בייצוג קוטבי
נגד	Z̲_R = R	Y̲_R = G = 1R	G∠0°
סליל	Z̲_L = jX_L	Y̲_L = 1jX_L = −jB_L	B_L∠−90°, B_L = 1X_L
קבל	Z̲_C = −jX_C	Y̲_C = 1−jX_C = +jB_C	B_C∠90°, B_C = 1X_C

הערה: נשים לב שהסימנים מתהפכים במעבר מעכבה למתירות: לסליל עכבה מדומה חיובית ומתירות מדומה שלילית, ולקבל להפך. זווית המתירות שווה לזווית העכבה בסימן הפוך.

דוגמה 16.4

נחשב את המתירות של העומס מן הדוגמה הקודמת, Z̲ = 50∠36.87° Ω, ונכתוב אותה בשני הייצוגים.

פתרון:

נחלק בייצוג קוטבי:

Y̲ = 1Z̲ = 1∠0°50∠36.87° = 0.02∠−36.87° S = 20∠−36.87° mS

Y̲ = 20·cos(−36.87°) + j·20·sin(−36.87°) = (16 − j 12) mS

כלומר G = 16 mS ו-B = −12 mS. החלק המדומה של המתירות שלילי, וגם זה מעיד על אופי השראותי.

Y̲ = 20∠−36.87° mS

שימו לב: את המתירות מחשבים בחילוק של מספר מרוכב, ולא הופכים כל חלק בנפרד. בדוגמה R = 40 Ω, אבל G = 16 mS ולא 140 = 25 mS . הקשר G = 1R נכון לנגד בודד בלבד.

חיבור עכבות:

עכבות מחברים כמו נגדים בזרם ישר, אבל כל החישוב נעשה במספרים מרוכבים. הנוסחה השלישית היא העכבה הכוללת של שתי עכבות בלבד במקביל:

חיבור עכבות בטור ובמקביל

Z̲_T = Z̲₁ + Z̲₂ + Z̲₃

Y̲_T = Y̲₁ + Y̲₂ + Y̲₃

Z̲_T = Z̲₁ · Z̲₂Z̲₁ + Z̲₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z̲_T	העכבה הכוללת: בטור מחברים את העכבות	[Ω]
Y̲_T	המתירות הכוללת: במקביל מחברים את המתירויות, ואז Z̲_T = 1Y̲_T	[S]

שאלה 16.3: עכבת עומס היא Z̲ = (12 − j 16) Ω.
א. נכתוב את העכבה בייצוג קוטבי.
ב. האם העומס השראותי או קיבולי?
ג. מהי המתירות שלו בייצוג קוטבי?

הגדרת פאזור מתח ופאזור זרם (Voltage and Current Phasors)

פאזור מתח ופאזור זרם: פאזור המתח U̲ הוא מספר מרוכב שגודלו הערך היעיל של המתח וזוויתו המופע של המתח. פאזור הזרם I̲ הוא מספר מרוכב שגודלו הערך היעיל של הזרם וזוויתו המופע של הזרם.

U̲ = U∠φ_u

I̲ = I∠φ_i

בעזרת שני הפאזורים האלה כל חוקי הזרם הישר נכונים גם בזרם חילופין, בתנאי שכותבים אותם במספרים מרוכבים:

חוק אום וחוקי קירכהוף בפאזורים

U̲ = I̲ · Z̲

I̲ = U̲Z̲ = U̲ · Y̲

φ = φ_u − φ_i

סימן	משמעות	יחידת מידה
U̲	פאזור המתח	[V]
I̲	פאזור הזרם	[A]
Z̲ , Y̲	העכבה והמתירות	[Ω] , [S]
φ	הפרש המופע בין המתח לזרם = זווית העכבה	[°]

חוק המתחים של קירכהוף: סכום פאזורי המתחים בחוג סגור שווה לפאזור של מתח המקור.
חוק הזרמים של קירכהוף: סכום פאזורי הזרמים שנכנסים לצומת שווה לסכום פאזורי הזרמים שיוצאים ממנו.
מחברים את הפאזורים (המספרים המרוכבים), ולא את הערכים היעילים.

פאזור הייחוס. המופע נמדד תמיד ביחס לפאזור שאנחנו בוחרים ונותנים לו את הזווית 0° . הפאזור הזה נקרא פאזור ייחוס, ומסרטטים אותו על הציר האופקי. בוחרים כייחוס את הגודל שמשותף לכל הרכיבים:

במעגל טורי הזרם משותף, ולכן בוחרים בדרך כלל בזרם כייחוס: I̲ = I∠0°.
במעגל מקבילי המתח משותף, ולכן בוחרים במתח כייחוס: U̲ = U∠0°.
אם נקבע בשאלה שזווית מתח המקור היא 0°, פועלים לפי השאלה. בחירת הייחוס מסובבת את כל הדיאגרמה הפאזורית, אבל אינה משנה את הגדלים ואת הזוויות שבין הפאזורים.

דוגמה 16.5

מקור שהמתח שלו U̲ = 230∠0° V. נחשב את פאזור הזרם כשמחברים למקור:
א. סליל שההיגב שלו X_L = 46 Ω.
ב. קבל שההיגב שלו X_C = 115 Ω.

פתרון:

א. עכבת הסליל Z̲_L = jX_L = 46∠90° Ω :

I̲_L = U̲Z̲_L = 230∠0°46∠90° = 5∠−90° A

זווית הזרם −90° : הזרם בסליל מפגר אחרי המתח ב-90° .

ב. עכבת הקבל Z̲_C = −jX_C = 115∠−90° Ω :

I̲_C = U̲Z̲_C = 230∠0°115∠−90° = 2∠90° A

זווית הזרם +90° : הזרם בקבל מקדים את המתח ב-90° .

שיטת הפתרון במעגלי זרם חילופין:

נחשב את ההיגבים X_L ו-X_C מן ההשראות, הקיבול והתדירות.
נכתוב את העכבה של כל רכיב כמספר מרוכב: R, jX_L, −jX_C .
נחשב את העכבה הכוללת Z̲ ונמיר אותה לייצוג קוטבי.
נבחר פאזור ייחוס, ואז נחשב את הזרמים ואת המתחים בחוק אום.
נבדוק את התוצאה בחוק קירכהוף, ונסרטט את הדיאגרמה הפאזורית.

מעגלי זרם חילופין טוריים (RL, RC, RLC) (Series AC Circuits)

במעגל טורי אותו זרם זורם בכל הרכיבים. העכבה הכוללת היא סכום העכבות, ומתח המקור הוא סכום הפאזורים של המתחים על הרכיבים. לכל סוג מעגל נחשב: את העכבה, הזרם והמתחים, ואחר כך נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית של המתחים ואת משולש העכבות.

מעגל RL טורי:

מעגל RL טורי: אותו זרם I זורם בנגד ובסליל

מעגל RL טורי

Z̲ = R + jX_L

Z = R² + X_L²

φ = tan⁻¹(X_LR)

I = UZ

U = U_R² + U_L²

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z̲ , Z	העכבה הכוללת וגודלה	[Ω]
φ	זווית העכבה: חיובית, הזרם מפגר אחרי מתח המקור	[°]
U_R	המתח על הנגד U_R = I · R, באותו מופע עם הזרם	[V]
U_L	המתח על הסליל U_L = I · X_L, מקדים את הזרם ב-90°	[V]

דוגמה 16.6

במעגל RL טורי: R = 40 Ω, L = 95.49 mH, ומתח המקור U = 100 V בתדירות 50 Hz. נחשב:
א. את העכבה.
ב. את הזרם.
ג. את המתח על כל רכיב.
ד. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית ואת משולש העכבות.

פתרון:

א. נחשב את ההיגב ההשראותי, ואחר כך את העכבה בשני הייצוגים:

X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.09549 = 30 Ω

Z̲ = R + jX_L = (40 + j 30) Ω

Z = R² + X_L² = 40² + 30² = 50 Ω

φ = tan⁻¹(X_LR) = tan⁻¹(3040) = 36.87°

Z̲ = 50∠36.87° Ω

ב. הזרם:

I = UZ = 10050 = 2 A

ג. הזרם משותף לשני הרכיבים, ולכן נבחר בו כייחוס: I̲ = 2∠0° A . המתחים:

U̲_R = I̲ · R = 2∠0° · 40 = 80∠0° V

U̲_L = I̲ · jX_L = 2∠0° · 30∠90° = 60∠90° V

נבדוק בחוק המתחים של קירכהוף:

U̲ = U̲_R + U̲_L = (80 + j 60) V = 100∠36.87° V

גודל הסכום 100 V, וזה מתח המקור. נשים לב: U_R + U_L = 80 + 60 = 140 V, וזה אינו מתח המקור, כי שני המתחים אינם באותו מופע.

ד. הדיאגרמה הפאזורית ומשולש העכבות:

הדיאגרמה הפאזורית: U̲ מקדים את I̲ בזווית φ = 36.87°

משולש העכבות

המעגל השראותי: מתח המקור מקדים את הזרם בזווית 36.87°, כלומר הזרם מפגר.

Z̲ = 50∠36.87° Ω

הערה: משולש העכבות הוא משולש ישר-זווית: הניצב האופקי שלו R, הניצב האנכי שלו X והיתר שלו Z, והזווית בין R ל-Z היא φ. אם נכפול כל צלע בזרם I נקבל את משולש המתחים U_R, U_L, U, ולכן שני המשולשים דומים.

שאלה 16.4: במעגל שבסרטוט: R = 60 Ω, X_L = 80 Ω ומתח המקור 200 V. מהי העכבה בייצוג קוטבי? מהו הזרם? ומהו המתח על כל רכיב?

מעגל RC טורי:

מעגל RC טורי

Z̲ = R − jX_C

Z = R² + X_C²

φ = tan⁻¹(−X_CR)

I = UZ

U = U_R² + U_C²

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z̲ , Z	העכבה הכוללת וגודלה	[Ω]
φ	זווית העכבה: שלילית, הזרם מקדים את מתח המקור	[°]
U_R	המתח על הנגד U_R = I · R, באותו מופע עם הזרם	[V]
U_C	המתח על הקבל U_C = I · X_C, מפגר אחרי הזרם ב-90°	[V]

דוגמה 16.7

במעגל RC טורי: R = 60 Ω, C = 39.79 µF, ומתח המקור U = 200 V בתדירות 50 Hz. נחשב:
א. את העכבה.
ב. את הזרם.
ג. את המתח על כל רכיב.
ד. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית ואת משולש העכבות.

פתרון:

א. נחשב את ההיגב הקיבולי, ואחר כך את העכבה בשני הייצוגים:

X_C = 12πfC = 12π · 50 · 39.79·10⁻⁶ = 80 Ω

Z̲ = R − jX_C = (60 − j 80) Ω

Z = R² + X_C² = 60² + 80² = 100 Ω

φ = tan⁻¹(−X_CR) = tan⁻¹(−8060) = −53.13°

Z̲ = 100∠−53.13° Ω

ב. הזרם:

I = UZ = 200100 = 2 A

ג. נבחר בזרם כייחוס: I̲ = 2∠0° A . המתחים:

U̲_R = I̲ · R = 2∠0° · 60 = 120∠0° V

U̲_C = I̲ · (−jX_C) = 2∠0° · 80∠−90° = 160∠−90° V

נבדוק בחוק המתחים של קירכהוף:

U̲ = U̲_R + U̲_C = 120 + (−j 160) = (120 − j 160) V = 200∠−53.13° V

ד. הדיאגרמה הפאזורית ומשולש העכבות. המתח על הקבל מפגר אחרי הזרם ב-90°, ולכן הוא פונה כלפי מטה.

הדיאגרמה הפאזורית: U̲ מפגר אחרי I̲ בזווית 53.13°

משולש העכבות: הניצב X_C פונה כלפי מטה

המעגל קיבולי: הזרם מקדים את מתח המקור בזווית 53.13° .

Z̲ = 100∠−53.13° Ω

שאלה 16.5: במעגל שבסרטוט: R = 80 Ω, X_C = 60 Ω ומתח המקור 50 V. מהי העכבה בייצוג קוטבי? מהו הזרם? מהו המתח על כל רכיב? והאם הזרם מקדים את מתח המקור או מפגר אחריו?

מעגל RLC טורי:

במעגל RLC טורי אותו זרם זורם בשלושת הרכיבים. המתח על הסליל מקדים את הזרם ב-90° והמתח על הקבל מפגר אחריו ב-90°, כלומר שני המתחים במופע הפוך וכל אחד מהם מבטל חלק מן האחר. מסיבה זו מחסרים את ההיגבים:

מעגל RLC טורי

Z̲ = R + j(X_L − X_C)

Z = R² + (X_L − X_C)²

φ = tan⁻¹(X_L − X_CR)

I = UZ

U = U_R² + (U_L − U_C)²

סימן	משמעות	יחידת מידה
Z̲ , Z	העכבה הכוללת וגודלה	[Ω]
X	ההיגב הכולל של המעגל, X = X_L − X_C	[Ω]
φ	זווית העכבה: הפרש המופע בין מתח המקור לזרם	[°]
U	מתח המקור. המתחים על הרכיבים: U_R = I · R, U_L = I · X_L, U_C = I · X_C	[V]

דוגמה 16.8

במעגל RLC טורי: R = 30 Ω, L = 254.65 mH, C = 79.58 µF, ומתח המקור U̲ = 100∠0° V בתדירות 50 Hz. נחשב:
א. את העכבה.
ב. את פאזור הזרם.
ג. את פאזור המתח על כל רכיב.
ד. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית ואת משולש העכבות.

פתרון:

א. נחשב את שני ההיגבים, ואחר כך את העכבה:

X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.25465 = 80 Ω

X_C = 12πfC = 12π · 50 · 79.58·10⁻⁶ = 40 Ω

Z̲ = R + j(X_L − X_C) = 30 + j(80 − 40) = (30 + j 40) Ω

Z = 30² + 40² = 50 Ω

φ = tan⁻¹(4030) = 53.13°

Z̲ = 50∠53.13° Ω

ב. בשאלה הזאת זווית מתח המקור נתונה, 0°, ולכן מתח המקור הוא הייחוס:

I̲ = U̲Z̲ = 100∠0°50∠53.13° = 2∠−53.13° A

ג. נכפול את הזרם בעכבה של כל רכיב:

U̲_R = I̲ · R = 2∠−53.13° · 30 = 60∠−53.13° V

U̲_L = I̲ · jX_L = 2∠−53.13° · 80∠90° = 160∠36.87° V

U̲_C = I̲ · (−jX_C) = 2∠−53.13° · 40∠−90° = 80∠−143.13° V

נבדוק בחוק המתחים של קירכהוף, בייצוג קרטזי:

U̲_R + U̲_L + U̲_C = (36 − j 48) + (128 + j 96) + (−64 − j 48) = 100 V

נשים לב שהמתח על הסליל, 160 V, גדול ממתח המקור. זה אפשרי בזרם חילופין, כי מתח הקבל מנוגד לו ומבטל חלק ממנו.

ד. הדיאגרמה הפאזורית ומשולש העכבות. מתח המקור על הציר האופקי כי הוא הייחוס, והזרם מפגר אחריו:

הדיאגרמה הפאזורית: U̲_L ו-U̲_C מנוגדים, והקו המקווקו הוא U̲_L + U̲_C . סכום שלושת המתחים הוא U̲

משולש העכבות: X = X_L − X_C

ההיגב הכולל חיובי (X_L > X_C), ולכן המעגל השראותי: הזרם מפגר אחרי מתח המקור בזווית 53.13° .

I̲ = 2∠−53.13° A

קביעת אופי מעגל RLC טורי: השראותי, קיבולי או התנגדותי:

במעגל RLC טורי הסליל והקבל "מתחרים" זה בזה, ואת אופי המעגל קובע הרכיב שההיגב שלו גדול יותר:

התנאי	ההיגב הכולל	זווית העכבה	אופי המעגל	הזרם ביחס למתח המקור
X_L > X_C	X > 0	φ > 0°	השראותי	מפגר
X_L < X_C	X < 0	φ < 0°	קיבולי	מקדים
X_L = X_C	X = 0	φ = 0°	התנגדותי	באותו מופע

הערה: במקרה השלישי שני ההיגבים מבטלים זה את זה לגמרי, והעכבה היא Z = R, הערך הקטן ביותר האפשרי, והזרם הוא הגדול ביותר האפשרי. המצב הזה נקרא תהודה, ונלמד אותו בפרק 18.

דוגמה 16.9

במעגל RLC טורי: R = 30 Ω, X_L = 20 Ω, X_C = 60 Ω, ומתח המקור 100 V. נקבע את אופי המעגל, ונחשב את הזרם ואת המתחים על הרכיבים.

פתרון:

נשווה את שני ההיגבים: X_L < X_C, ולכן המעגל קיבולי והזרם מקדים את מתח המקור.

Z̲ = R + j(X_L − X_C) = 30 + j(20 − 60) = (30 − j 40) Ω = 50∠−53.13° Ω

I = UZ = 10050 = 2 A

U_R = I · R = 2 · 30 = 60 V

U_L = I · X_L = 2 · 20 = 40 V

U_C = I · X_C = 2 · 60 = 120 V

נבדוק במשולש המתחים:

U = U_R² + (U_L − U_C)² = 60² + (40 − 120)² = 100 V

Z̲ = 50∠−53.13° Ω

שאלה 16.6: במעגל שבסרטוט: R = 8 Ω, X_L = 12 Ω, X_C = 6 Ω ומתח המקור 50 V. מהי העכבה בייצוג קוטבי? מהו אופי המעגל? מהו הזרם? ומהו המתח על כל רכיב?

▶ניסוי חי — מעגלי RL, RC ו-RLC טורייםבוחרים מעגל טורי, משנים את R, L, C ואת התדר, ורואים את העכבה, הזרם והדיאגרמה הפאזורית.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

מעגלי זרם חילופין מקביליים (RL, RC, RLC) (Parallel AC Circuits)

במעגל מקבילי אותו מתח נופל על כל הענפים, ולכן בוחרים במתח המקור כייחוס: U̲ = U∠0°. את הזרם של כל ענף מחשבים בחוק אום, והזרם הכולל הוא סכום הפאזורים של זרמי הענפים. במקביל מחברים מתירויות, ולכן מסרטטים כאן את משולש המתירויות במקום משולש העכבות. לכל סוג נחשב: את העכבה, את הזרמים, ואחר כך את הדיאגרמה הפאזורית של הזרמים ואת משולש המתירויות.

הזרם בענף הנגד I_R = UR באותו מופע עם המתח.
הזרם בענף הסליל I_L = UX_L מפגר אחרי המתח ב-90°, ומסרטטים אותו כלפי מטה.
הזרם בענף הקבל I_C = UX_C מקדים את המתח ב-90°, ומסרטטים אותו כלפי מעלה.

מעגל RL מקבילי:

מעגל RL מקבילי

I̲ = I_R − jI_L

I = I_R² + I_L²

Y̲ = G − jB_L = 1R − j1X_L

Z = UI = 1Y

φ = tan⁻¹(I_LI_R)

סימן	משמעות	יחידת מידה
I̲ , I	הזרם הכולל וגודלו	[A]
I_R , I_L	זרם הנגד UR וזרם הסליל UX_L	[A]
Y̲	המתירות הכוללת	[S]
φ	זווית העכבה: חיובית, הזרם הכולל מפגר אחרי המתח	[°]

דוגמה 16.10

במעגל RL מקבילי: R = 40 Ω, L = 95.49 mH, ומתח המקור U = 120 V בתדירות 50 Hz. נחשב:
א. את הזרם של כל ענף.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את העכבה ואת המתירות.
ד. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית ואת משולש המתירויות.

פתרון:

ההיגב ההשראותי: X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.09549 = 30 Ω . נבחר במתח כייחוס: U̲ = 120∠0° V.

א. זרמי הענפים:

I̲_R = U̲R = 120∠0°40 = 3∠0° A

I̲_L = U̲jX_L = 120∠0°30∠90° = 4∠−90° A

ב. הזרם הכולל לפי חוק הזרמים של קירכהוף:

I̲ = I̲_R + I̲_L = 3 + (−j 4) = (3 − j 4) A

I = I_R² + I_L² = 3² + 4² = 5 A

I̲ = 5∠−53.13° A

נשים לב: I_R + I_L = 3 + 4 = 7 A, וזה אינו הזרם הכולל.

ג. העכבה הכוללת והמתירות:

Z̲ = U̲I̲ = 120∠0°5∠−53.13° = 24∠53.13° Ω

G = 1R = 140 = 25 mS

B_L = 1X_L = 130 = 33.33 mS

Y̲ = G − jB_L = (25 − j 33.33) mS = 41.67∠−53.13° mS

אפשר לחשב את העכבה גם בנוסחה של שתי עכבות במקביל, והתוצאה זהה:

Z̲ = R · jX_LR + jX_L = 40 · 30∠90°40 + j 30 = 1200∠90°50∠36.87° = 24∠53.13° Ω

ד. הדיאגרמה הפאזורית של הזרמים ומשולש המתירויות:

הדיאגרמה הפאזורית: I̲ מפגר אחרי U̲ בזווית φ = 53.13°

משולש המתירויות

המעגל השראותי: הזרם הכולל מפגר אחרי המתח בזווית 53.13° . העכבה הכוללת 24 Ω קטנה מן העכבה של כל ענף, כמו בנגדים במקביל.

I̲ = 5∠−53.13° A

הערה: משולש המתירויות הוא משולש ישר-זווית: הניצב האופקי שלו G, הניצב האנכי שלו B והיתר שלו Y. אם נכפול כל צלע במתח U נקבל את משולש הזרמים I_R, I_L, I. הזווית של משולש המתירויות שווה לזווית העכבה φ בגודלה ומנוגדת לה בסימן.

שאלה 16.7: במעגל שבסרטוט: R = 100 Ω, X_L = 100 Ω ומתח המקור 200 V. מהו הזרם של כל ענף? מהו הזרם הכולל בייצוג קוטבי? ומהו גודל העכבה הכוללת?

מעגל RC מקבילי:

מעגל RC מקבילי

I̲ = I_R + jI_C

I = I_R² + I_C²

Y̲ = G + jB_C = 1R + j1X_C

Z = UI = 1Y

φ = tan⁻¹(−I_CI_R)

סימן	משמעות	יחידת מידה
I̲ , I	הזרם הכולל וגודלו	[A]
I_R , I_C	זרם הנגד UR וזרם הקבל UX_C	[A]
Y̲	המתירות הכוללת	[S]
φ	זווית העכבה: שלילית, הזרם הכולל מקדים את המתח	[°]

דוגמה 16.11

במעגל RC מקבילי: R = 30 Ω, C = 79.58 µF, ומתח המקור U = 120 V בתדירות 50 Hz. נחשב:
א. את הזרם של כל ענף.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את העכבה ואת המתירות.
ד. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית ואת משולש המתירויות.

פתרון:

ההיגב הקיבולי: X_C = 12πfC = 12π · 50 · 79.58·10⁻⁶ = 40 Ω . נבחר במתח כייחוס: U̲ = 120∠0° V.

א. זרמי הענפים:

I̲_R = U̲R = 120∠0°30 = 4∠0° A

I̲_C = U̲−jX_C = 120∠0°40∠−90° = 3∠90° A

ב. הזרם הכולל:

I̲ = I̲_R + I̲_C = (4 + j 3) A

I = I_R² + I_C² = 4² + 3² = 5 A

I̲ = 5∠36.87° A

ג. העכבה הכוללת והמתירות:

Z̲ = U̲I̲ = 120∠0°5∠36.87° = 24∠−36.87° Ω

G = 1R = 130 = 33.33 mS

B_C = 1X_C = 140 = 25 mS

Y̲ = G + jB_C = (33.33 + j 25) mS = 41.67∠36.87° mS

ד. הדיאגרמה הפאזורית של הזרמים ומשולש המתירויות. זרם הקבל מקדים את המתח ב-90°, ולכן הוא פונה כלפי מעלה.

הדיאגרמה הפאזורית: I̲ מקדים את U̲ בזווית 36.87°

משולש המתירויות: הניצב B_C פונה כלפי מעלה

המעגל קיבולי: הזרם הכולל מקדים את המתח בזווית 36.87°, כלומר φ = −36.87° .

I̲ = 5∠36.87° A

שאלה 16.8: במעגל שבסרטוט: R = 20 Ω, X_C = 15 Ω ומתח המקור 60 V. מהו הזרם של כל ענף? מהו הזרם הכולל בייצוג קוטבי? ומהי העכבה הכוללת בייצוג קוטבי?

מעגל RLC מקבילי:

במעגל RLC מקבילי, זרם הסליל מפגר אחרי המתח ב-90° וזרם הקבל מקדים אותו ב-90°, כלומר שני הזרמים במופע הפוך וכל אחד מהם מבטל חלק מן האחר:

מעגל RLC מקבילי

I̲ = I_R + j(I_C − I_L)

I = I_R² + (I_L − I_C)²

Y̲ = G + j(B_C − B_L)

Z = UI = 1Y

φ = tan⁻¹(I_L − I_CI_R)

סימן	משמעות	יחידת מידה
I̲ , I	הזרם הכולל וגודלו	[A]
I_R	זרמי הענפים: I_R = UR, I_L = UX_L, I_C = UX_C	[A]
Y̲	המתירות הכוללת, עם G = 1R, B_L = 1X_L, B_C = 1X_C	[S]
φ	זווית העכבה: הפרש המופע בין המתח לזרם הכולל	[°]

דוגמה 16.12

במעגל RLC מקבילי: R = 60 Ω, L = 63.66 mH, C = 53.05 µF, ומתח המקור U̲ = 120∠0° V בתדירות 50 Hz. נחשב:
א. את הזרם של כל ענף.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את העכבה ואת המתירות.
ד. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית ואת משולש המתירויות.

פתרון:

נחשב את שני ההיגבים:

X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.06366 = 20 Ω

X_C = 12πfC = 12π · 50 · 53.05·10⁻⁶ = 60 Ω

א. זרמי הענפים:

I̲_R = U̲R = 120∠0°60 = 2∠0° A

I̲_L = U̲jX_L = 120∠0°20∠90° = 6∠−90° A

I̲_C = U̲−jX_C = 120∠0°60∠−90° = 2∠90° A

ב. הזרם הכולל:

I̲ = I̲_R + I̲_L + I̲_C = 2 + j(2 − 6) = (2 − j 4) A

I = I_R² + (I_L − I_C)² = 2² + (6 − 2)² = 4.47 A

I̲ = 4.47∠−63.43° A

נשים לב שזרם הסליל, 6 A, גדול מן הזרם הכולל: חלק מן הזרם "מסתובב" בין הסליל לקבל ואינו עובר במקור.

ג. העכבה הכוללת והמתירות:

Z̲ = U̲I̲ = 120∠0°4.47∠−63.43° = 26.83∠63.43° Ω

G = 160 = 16.67 mS

B_L = 120 = 50 mS

B_C = 160 = 16.67 mS

Y̲ = G + j(B_C − B_L) = 16.67 + j(16.67 − 50) = (16.67 − j 33.33) mS

Y̲ = 37.27∠−63.43° mS

ד. הדיאגרמה הפאזורית של הזרמים ומשולש המתירויות:

הדיאגרמה הפאזורית: I̲_L ו-I̲_C מנוגדים, והקו המקווקו הוא I̲_L + I̲_C

משולש המתירויות: אורך הניצב האנכי |B| = B_L − B_C

זרם הסליל גדול מזרם הקבל, ולכן המעגל השראותי: הזרם הכולל מפגר אחרי המתח בזווית 63.43° .

I̲ = 4.47∠−63.43° A

קביעת אופי מעגל RLC מקבילי: השראותי, קיבולי או התנגדותי:

במעגל מקבילי, את אופי המעגל קובע הענף שזורם בו זרם גדול יותר. מכיוון ש-I = UX, הזרם הגדול יותר זורם בענף שההיגב שלו קטן יותר, כלומר הפוך מן המעגל הטורי:

התנאי בזרמים	התנאי בהיגבים	אופי המעגל	הזרם הכולל ביחס למתח	זווית העכבה
I_L > I_C	X_L < X_C	השראותי	מפגר	φ > 0°
I_L < I_C	X_L > X_C	קיבולי	מקדים	φ < 0°
I_L = I_C	X_L = X_C	התנגדותי	באותו מופע	φ = 0°

שימו לב: התנאי בהיגבים הפוך בין מעגל טורי למעגל מקבילי. אם X_L > X_C, המעגל הטורי השראותי, ואילו המעגל המקבילי קיבולי. לכן עדיף לקבוע את האופי לפי הכלל: בטור משווים את המתחים U_L ו-U_C, ובמקביל משווים את הזרמים I_L ו-I_C .

שאלה 16.9: במעגל שבסרטוט: R = 25 Ω, X_L = 50 Ω, X_C = 20 Ω ומתח המקור 100 V. מהו הזרם של כל ענף? מהו הזרם הכולל בייצוג קוטבי? מהו אופי המעגל? ומהי העכבה הכוללת?

השוואה בין מעגל טורי למעגל מקבילי:

	מעגל טורי	מעגל מקבילי
הגודל המשותף (הייחוס)	הזרם I̲	המתח U̲
מה מחברים	עכבות ומתחים	מתירויות וזרמים
החישוב	Z̲ = R + j(X_L − X_C)	Y̲ = G + j(B_C − B_L)
הדיאגרמה הפאזורית	של המתחים: U̲_R, U̲_L, U̲_C	של הזרמים: I̲_R, I̲_L, I̲_C
המשולש	משולש העכבות: R, X, Z	משולש המתירויות: G, B, Y
האופי השראותי כאשר	U_L > U_C, כלומר X_L > X_C	I_L > I_C, כלומר X_L < X_C

▶ניסוי חי — מעבדת מעגלי RLCנבחר מעגל טורי או מקבילי, נשנה את R, L, C ואת התדירות, ונראה את העכבה, הזרמים והדיאגרמה הפאזורית משתנים מיד.

⚠

https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
היגב השראותי	X_L = 2πfL
היגב קיבולי	X_C = 12πfC
עכבת הרכיבים	Z̲_R = R , Z̲_L = jX_L , Z̲_C = −jX_C
חוק אום בפאזורים	U̲ = I̲ · Z̲
מתירות	Y̲ = 1Z̲ = G + jB
טורי: העכבה	Z̲ = R + j(X_L − X_C)
טורי: גודל העכבה	Z = R² + (X_L − X_C)²
טורי: הזווית	φ = tan⁻¹(X_L − X_CR)
טורי: משולש המתחים	U = U_R² + (U_L − U_C)²
מקבילי: הזרם הכולל	I̲ = I_R + j(I_C − I_L)
מקבילי: גודל הזרם הכולל	I = I_R² + (I_L − I_C)²
מקבילי: המתירות	Y̲ = G + j(B_C − B_L)
מקבילי: הזווית	φ = tan⁻¹(I_L − I_CI_R)

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
היגב	Reactance	المفاعلة
היגב השראותי	Inductive reactance	المفاعلة الحثية
היגב קיבולי	Capacitive reactance	المفاعلة السعوية
עכבה	Impedance	الممانعة (المعاوقة)
מתירות	Admittance	المسامحة
מוליכות	Conductance	المواصلة
סוספטנס	Susceptance	المطاوعة
פאזור מתח / פאזור זרם	Voltage / current phasor	المتجه الطوري للجهد / للتيار
פאזור ייחוס	Reference phasor	المتجه المرجعي
דיאגרמה פאזורית	Phasor diagram	المخطط الطوري
משולש עכבות	Impedance triangle	مثلث الممانعات
משולש מתירויות	Admittance triangle	مثلث المسامحات
מעגל טורי	Series circuit	دائرة على التوالي
מעגל מקבילי	Parallel circuit	دائرة على التوازي
אופי המעגל	Circuit character	طبيعة الدائرة
השראותי	Inductive	حثية
קיבולי	Capacitive	سعوية
התנגדותי	Resistive	مقاوِمة
מקדים / מפגר	Leads / lags	يتقدم / يتأخر
סליל אידיאלי	Ideal inductor	ملف مثالي
תהודה	Resonance	الرنين

שאלות לתרגול:

נחשב את ההיגב ההשראותי של סליל שהשראותו 80 mH :
א. בתדירות 50 Hz .
ב. בתדירות 400 Hz .
ג. מה נסיק?

תשובות: א. X_L = 25.13 Ω. ב. X_L = 201.06 Ω. ג. ההיגב ההשראותי נמצא ביחס ישר לתדירות

נחשב את ההיגב הקיבולי של קבל שקיבולו 22 µF :
א. בתדירות 50 Hz .
ב. בתדירות 400 Hz .
ג. מה נסיק?

תשובות: א. X_C = 144.69 Ω. ב. X_C = 18.09 Ω. ג. ההיגב הקיבולי נמצא ביחס הפוך לתדירות

בסליל אידיאלי שמחובר לרשת החשמל (230 V , 50 Hz) זורם זרם של 2 A.
א. נחשב את ההיגב של הסליל ואת השראותו.
ב. נכתוב את פאזור הזרם אם U̲ = 230∠0° V.

תשובות: א. X_L = 115 Ω, L = 366.06 mH. ב. I̲ = 2∠−90° A

בקבל שמחובר למקור שהמתח שלו 24 V ותדירותו 50 Hz זורם זרם של 0.5 A.
א. נחשב את ההיגב של הקבל ואת קיבולו.
ב. נכתוב את פאזור הזרם אם U̲ = 24∠0° V.

תשובות: א. X_C = 48 Ω, C = 66.31 µF. ב. I̲ = 0.5∠90° A

עכבת עומס היא Z̲ = (15 + j 20) Ω, והוא מחובר למקור שהמתח שלו U̲ = 100∠0° V.
א. נכתוב את העכבה בייצוג קוטבי.
ב. נחשב את פאזור הזרם.
ג. מהו אופי העומס?
ד. נחשב את המתירות של העומס.

תשובות: א. Z̲ = 25∠53.13° Ω. ב. I̲ = 4∠−53.13° A. ג. השראותי. ד. Y̲ = 40∠−53.13° mS = (24 − j 32) mS

במעגל שבסרטוט: R = 30 Ω, X_L = 40 Ω ומתח המקור 150 V.
א. נחשב את העכבה בשני הייצוגים.
ב. נחשב את הזרם ואת המתח על כל רכיב.
ג. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית ואת משולש העכבות.

תשובות: א. Z̲ = (30 + j 40) Ω = 50∠53.13° Ω. ב. I = 3 A, U_R = 90 V, U_L = 120 V

סליל ממשי נבדק פעמיים. כשחיברו אותו למקור מתח ישר 12 V זרם בו זרם של 2 A. כשחיברו אותו למקור מתח חילופין 20 V בתדירות 50 Hz זרם בו גם כן זרם של 2 A. נחשב:
א. את התנגדות הסליל.
ב. את עכבת הסליל.
ג. את ההיגב ההשראותי שלו ואת השראותו.

תשובות: א. R = 6 Ω (בזרם ישר X_L = 0). ב. Z = 10 Ω. ג. X_L = 8 Ω, L = 25.46 mH

במעגל שבסרטוט: R = 100 Ω, C = 31.83 µF, ומתח המקור 230 V בתדירות 50 Hz.
א. נחשב את X_C ואת העכבה בייצוג קוטבי.
ב. נחשב את הזרם ואת המתח על כל רכיב.
ג. מי מקדים: הזרם או מתח המקור?

תשובות: א. X_C = 100 Ω, Z̲ = 141.42∠−45° Ω. ב. I = 1.63 A, U_R = 162.63 V, U_C = 162.63 V. ג. הזרם מקדים בזווית 45°

במעגל שבסרטוט: R = 12 Ω, X_L = 25 Ω, X_C = 9 Ω, ומתח המקור U̲ = 100∠0° V.
א. נחשב את העכבה בייצוג קוטבי ונקבע את אופי המעגל.
ב. נחשב את פאזור הזרם.
ג. נחשב את פאזור המתח על כל רכיב.
ד. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית.

תשובות: א. Z̲ = 20∠53.13° Ω, השראותי. ב. I̲ = 5∠−53.13° A. ג. U̲_R = 60∠−53.13° V, U̲_L = 125∠36.87° V, U̲_C = 45∠−143.13° V

10.

במעגל RLC טורי: R = 80 Ω, L = 63.66 mH, C = 39.79 µF, ומתח המקור 230 V בתדירות 50 Hz.
א. נחשב את X_L ואת X_C .
ב. נחשב את העכבה בייצוג קוטבי ונקבע את אופי המעגל.
ג. נחשב את הזרם ואת המתח על כל רכיב.

תשובות: א. X_L = 20 Ω, X_C = 80 Ω. ב. Z̲ = 100∠−36.87° Ω, קיבולי. ג. I = 2.3 A, U_R = 184 V, U_L = 46 V, U_C = 184 V

11.

במעגל RLC טורי נמדדו במד-מתח המתחים: U_R = 80 V, U_L = 150 V, U_C = 90 V.
א. נחשב את מתח המקור.
ב. מהו אופי המעגל?
ג. נחשב את הפרש המופע בין מתח המקור לזרם.

תשובות: א. U = 100 V. ב. השראותי, כי U_L > U_C. ג. φ = 36.87°

12.

במעגל שבסרטוט: R = 80 Ω, X_L = 60 Ω ומתח המקור U̲ = 240∠0° V.
א. נחשב את פאזור הזרם של כל ענף.
ב. נחשב את הזרם הכולל בייצוג קוטבי.
ג. נחשב את העכבה הכוללת בייצוג קוטבי.
ד. נסרטט את הדיאגרמה הפאזורית של הזרמים.

תשובות: א. I̲_R = 3∠0° A, I̲_L = 4∠−90° A. ב. I̲ = 5∠−53.13° A. ג. Z̲ = 48∠53.13° Ω

13.

במעגל שבסרטוט: R = 50 Ω, C = 63.66 µF, ומתח המקור 100 V בתדירות 50 Hz.
א. נחשב את X_C ואת הזרם של כל ענף.
ב. נחשב את הזרם הכולל בייצוג קוטבי.
ג. נחשב את המתירות הכוללת בשני הייצוגים, ונסרטט את משולש המתירויות.

תשובות: א. X_C = 50 Ω, I_R = 2 A, I_C = 2 A. ב. I̲ = 2.83∠45° A. ג. Y̲ = (20 + j 20) mS = 28.28∠45° mS

14.

במעגל שבסרטוט: R = 50 Ω, X_L = 100 Ω, X_C = 40 Ω ומתח המקור U̲ = 200∠0° V.
א. נחשב את פאזור הזרם של כל ענף.
ב. נחשב את הזרם הכולל בייצוג קוטבי.
ג. מהו אופי המעגל?
ד. נחשב את העכבה הכוללת בייצוג קוטבי.

תשובות: א. I̲_R = 4∠0° A, I̲_L = 2∠−90° A, I̲_C = 5∠90° A. ב. I̲ = 5∠36.87° A. ג. קיבולי, כי I_C > I_L. ד. Z̲ = 40∠−36.87° Ω

15.

במעגל RLC מקבילי נמדדו במד-זרם זרמי הענפים: I_R = 6 A, I_L = 3 A, I_C = 11 A.
א. נחשב את הזרם הכולל.
ב. מהו אופי המעגל?
ג. נחשב את הפרש המופע בין המתח לזרם הכולל.

תשובות: א. I = 10 A. ב. קיבולי. ג. הזרם מקדים את המתח בזווית 53.13°, כלומר φ = −53.13°

תשובות סופיות לשאלות הפרק

16.1 א. X_L = 15.71 Ω, X_L = 314.16 Ω. ב. X_C = 31.83 Ω, X_C = 1.59 Ω

16.2 X_L = 160 Ω, L = 509.3 mH

16.3 א. Z̲ = 20∠−53.13° Ω. ב. קיבולי, כי החלק המדומה שלילי. ג. Y̲ = 50∠53.13° mS

16.4 Z̲ = 100∠53.13° Ω, I = 2 A, U_R = 120 V, U_L = 160 V

16.5 Z̲ = 100∠−36.87° Ω, I = 0.5 A, U_R = 40 V, U_C = 30 V, הזרם מקדים בזווית 36.87°

16.6 Z̲ = 10∠36.87° Ω, השראותי, I = 5 A, U_R = 40 V, U_L = 60 V, U_C = 30 V

16.7 I_R = 2 A, I_L = 2 A, I̲ = 2.83∠−45° A, Z = 70.71 Ω

16.8 I_R = 3 A, I_C = 4 A, I̲ = 5∠53.13° A, Z̲ = 12∠−53.13° Ω

16.9 I_R = 4 A, I_L = 2 A, I_C = 5 A, I̲ = 5∠36.87° A, קיבולי, Z̲ = 20∠−36.87° Ω

שאלות בגרות לפרק 16

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 6 — מעגל RL מקבילי בזרם חילופין

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	מתח המקור U	U = 28 V
סעיף ב	הזרם I_L וזווית I	בפתרון המלא
סעיף ג	היגב הסליל והשראות הסליל	X_L ≈ 5.83 Ω ; L ≈ 9.28 mH
סעיף ד	ההספקים P, Q, S	P = 39.2 W ; Q = 134.4 var ; S = 140 VA

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

בגרות 2026 שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	מתח המקור U	U = 50 V
סעיף ב	R, X_L, X_C	R = 10 Ω ; X_L = 20 Ω ; X_C ≈ 6.67 Ω
סעיף ג	דיאגרמת הפאזורים	בפתרון המלא
סעיף ד	מקצרים את הקבל C	I' ≈ 2.24 A ; V_R ≈ 22.4 V ; V_L ≈ 44.7 V ; V_C = 0 V

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

בגרות 2025 שאלה 7 — מעגל מקבילי עם ערכי זרם נתונים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	מתח המקור	U = 24 V
סעיף ב	הזרם המשולב והזרם הכללי	I_LC = 0.7 A ; I_T = 2.5 A
סעיף ג	היגב הסליל והיגב הקבל	X_L = 48 Ω ; X_C = 20 Ω
סעיף ד	עכבת המעגל ואופיו	Z = 9.6 Ω ∠ -16.26°

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

בגרות 2025 שאלה 6 — מעגל RLC טורי קיבולי

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	היגב הסליל	X_L = 24 Ω
סעיף ב	עכבת המעגל	I = 0.5 A ; Z = 30 Ω
סעיף ג	מפל המתח על הסליל	U_L = 12 V
סעיף ד	היגב הקבל	X_C = 42 Ω

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

בגרות 2025 שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	עכבת המעגל ואופיו	Z = 20 + j31 Ω = 36.89 Ω ∠ 57.17°
סעיף ב	המתח על רכיבי המעגל	U_R ≈ 124.7∠-57.2° V ; U_L ≈ 391.7∠32.8° V ; U_C ≈ 198.4∠-147.2° V
סעיף ג	ההספקים P, Q, S	P ≈ 777.2 W ; Q ≈ 1204.7 var ; S ≈ 1433.8 VA

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

בגרות 2024 שאלה 7 — מעגל RLC מקבילי בזרם חילופין עם מדי-זרם

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	מתח המקור U	U ≈ 468.1 V
סעיף ב	השראות הסליל L	L ≈ 1.66 H
סעיף ג	הזרם דרך הנגד R	I_R = 1.2 A
סעיף ד	עכבת המעגל	Z ≈ 360.1 Ω

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

בגרות 2024 שאלה 6 — מעגל RLC מקבילי בזרם חילופין

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	קריאת מד-המתח	U = 230 V
סעיף ב	הזרמים בענפי המעגל	I_R = 23 A ; I_L = 11.5 A ; I_C = 5.75 A
סעיף ג	הזרם השקול במעגל (קריאת מד-הזרם)	I ≈ 23.71 A
סעיף ד	עכבת המעגל	Z ≈ 9.7 Ω

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

בגרות 2023 שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	עכבת המעגל ואופיו	בפתרון המלא
סעיף ב	עוצמת הזרם	I = 1.4 A
סעיף ג	המתח על הסליל, על הנגד ועל הקבל	U_L = 132 V ; U_R = 112.1 V ; U_C = 89.2 V
סעיף ד	תרשים פאזורי של מתחי המעגל	בפתרון המלא

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.