פרק 17

הספקים במעגלי זרם חילופין

כיתה י״א · 15 שעות לימוד

במעגלי זרם ישר חישבנו את ההספק בנוסחה אחת: P = U·I. במעגלי זרם חילופין התמונה עשירה יותר: המתח והזרם משתנים בכל רגע, ייתכן שיש ביניהם הפרש מופע, והסליל והקבל לוקחים אנרגיה מן המקור ואחר כך מחזירים אותה אליו. לכן נבחין בפרק הזה בין שלושה הספקים: פעיל, היגבי ומדומה, ונלמד איך מחשבים אותם במעגלים טוריים ומקביליים, ואיך משפרים את מקדם ההספק.

בסוף הפרק הזה נדע:

שההספק הרגעי הוא מכפלת המתח הרגעי בזרם הרגעי, ושההספק הממוצע הוא P = U·I·cos φ.
שההספק הממוצע בסליל אידאלי ובקבל אידאלי שווה לאפס, כי האנרגיה מתחלפת בינם לבין המקור.
להבחין בין ההספק הפעיל P, ההספק ההיגבי Q וההספק המדומה S, ולהכיר את יחידת המידה של כל אחד מהם.
לחשב את ההספקים במעגלי RL, RC ו-RLC טוריים ומקביליים.
לסרטט את משולש ההספקים ולחשב ממנו את מקדם ההספק cos φ.
לחשב את קיבול הקבל הדרוש לשיפור מקדם ההספק.

הספק רגעי והספק ממוצע במעגלי זרם חילופין (Instantaneous and Average Power)

בזרם חילופין המתח u והזרם i משתנים מרגע לרגע, ולכן גם ההספק משתנה מרגע לרגע. את הערכים הרגעיים כותבים באותיות קטנות, ואת הערכים היעילים באותיות גדולות, כפי שלמדנו בפרקים הקודמים.

הספק רגעי: ההספק ברגע מסוים. הוא שווה למכפלת הערך הרגעי של המתח בערך הרגעי של הזרם באותו רגע.

p = u·i

ההספק הרגעי בנגד:

בנגד הזרם והמתח נמצאים באותו מופע: הם מגיעים לאפס יחד ולערך השיא יחד. כאשר המתח חיובי גם הזרם חיובי, וכאשר המתח שלילי גם הזרם שלילי, ולכן המכפלה שלהם חיובית תמיד.

נסרטט את u, i ו-p על אותם צירים (הגרף הבא), ונלמד ממנו שלושה דברים:

ההספק הרגעי בנגד אינו שלילי אף פעם: הנגד לוקח אנרגיה מן המקור כל הזמן והופך אותה לחום.
ההספק מתנדנד בתדירות כפולה: בכל מחזור אחד של המתח ההספק משלים שני מחזורים.
ההספק מתנדנד בין אפס לבין ערך השיא p_max = U_m·I_m, סביב ערך ממוצע השווה לחצי מערך השיא.

המתח, הזרם וההספק הרגעי בנגד: ההספק חיובי תמיד. הקו המקווקו הוא ההספק הממוצע P

הספק ממוצע: הממוצע של ההספק הרגעי במשך מחזור שלם. הוא שווה לאנרגיה שהעומס צורך במחזור אחד, מחולקת בזמן המחזור. זהו ההספק שמודד מד-ההספק (וואטמטר), ועל האנרגיה שלו אנחנו משלמים.

בנגד מקבלים את ההספק הממוצע ישירות מן הערכים היעילים, באותן נוסחאות של הזרם הישר. זו בדיוק הסיבה להגדרת הערך היעיל:

P = p_max2 = U_m·I_m2 = U_m2·I_m2 = U·I

P = U·I = I²·R = U²R

דוגמה 17.1

תנור חימום חשמלי שהתנגדותו 46 Ω מחובר לרשת שמתחה היעיל 230 V. נחשב:
א. את הערך היעיל של הזרם.
ב. את ההספק הממוצע.
ג. את ערך השיא של ההספק הרגעי.

פתרון:

א. נחשב את הזרם לפי חוק אום:

I = UR = 23046 = 5 A

ב. ההספק הממוצע:

P = U·I = 230 · 5 = 1150 W

ג. נחשב את ערכי השיא של המתח ושל הזרם, ונכפול אותם:

U_m = 2·U = 2 · 230 = 325.3 V

I_m = 2·I = 2 · 5 = 7.07 A

p_max = U_m·I_m = 325.3 · 7.07 = 2300 W

נשים לב שערך השיא של ההספק הרגעי שווה לפעמיים ההספק הממוצע.

P = 1150 W

שאלה 17.1: נגד שהתנגדותו 23 Ω מחובר למתח חילופין שערכו היעיל 230 V. מהו ההספק הממוצע? ומהו ערך השיא של ההספק הרגעי?

ההספק הרגעי כאשר יש הפרש מופע:

במעגל שיש בו נגד עם סליל או עם קבל יש בין המתח לזרם הפרש מופע φ. במקרה כזה יש פרקי זמן שבהם המתח חיובי והזרם שלילי, או להפך, ובפרקי הזמן האלה ההספק הרגעי שלילי.

המתח, הזרם וההספק הרגעי כאשר הזרם מפגר אחרי המתח בזווית φ = 60°

הספק חיובי (השטח הירוק): האנרגיה עוברת מן המקור אל העומס.
הספק שלילי (השטח האדום): האנרגיה חוזרת מן העומס אל המקור.
השטח הירוק גדול מן האדום, וההפרש ביניהם הוא האנרגיה שהעומס צרך בפועל. לכן ההספק הממוצע קטן מ-U·I.

הספק ממוצע במעגל זרם חילופין

P = U·I·cos φ

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	ההספק הממוצע	[W]
U	הערך היעיל של המתח	[V]
I	הערך היעיל של הזרם	[A]
φ	הפרש המופע בין המתח לזרם	[°]

הערה: כאשר φ = 0° (נגד בלבד) מתקיים cos φ = 1 ומקבלים P = U·I, וזה ההספק הגדול ביותר האפשרי. כאשר φ = 90° (סליל אידאלי או קבל אידאלי) מתקיים cos φ = 0, ולכן P = 0.

דוגמה 17.2

במעגל זרם חילופין: U = 230 V, I = 4 A, והזרם מפגר אחרי המתח בזווית 60°. נחשב את ההספק הממוצע.

פתרון:

P = U·I·cos φ

P = 230 · 4 · cos 60° = 230 · 4 · 0.5 = 460 W

אילו היו המתח והזרם באותו מופע, ההספק היה 230 · 4 = 920 W. בגלל הפרש המופע ירד ההספק הממוצע לחצי.

P = 460 W

שאלה 17.2: במעגל זרם חילופין: U = 120 V, I = 5 A, והפרש המופע בין המתח לזרם φ = 37°. מהו ההספק הממוצע?

ההספק במשרן וההספק בקבל; חילופי אנרגיה עם המקור (Power in L and C)

סליל אידאלי:

בסליל אידאלי (בלי התנגדות) הזרם מפגר אחרי המתח בזווית 90°. נסרטט את ההספק הרגעי p = u·i :

ההספק הרגעי בסליל אידאלי: חצי מן הזמן חיובי וחצי מן הזמן שלילי, וההספק הממוצע אפס

השטח הירוק שווה בדיוק לשטח האדום. מה קורה מבחינת האנרגיה?

ברבע המחזור שבו הזרם גדל (בערכו המוחלט) הסליל לוקח אנרגיה מן המקור ואוגר אותה בשדה המגנטי שלו: W_L = 12·L·i².
ברבע המחזור שבו הזרם קטן השדה המגנטי קורס, והסליל מחזיר למקור את כל האנרגיה שאגר.
כך האנרגיה עוברת הלוך ושוב בין המקור לסליל פעמיים בכל מחזור, ושום חלק ממנה אינו הופך לחום.

קבל אידאלי:

בקבל אידאלי הזרם מקדים את המתח בזווית 90°, ותמונת ההספק דומה:

ברבע המחזור שבו המתח גדל (בערכו המוחלט) הקבל נטען ואוגר אנרגיה בשדה החשמלי שלו: W_C = 12·C·u².
ברבע המחזור שבו המתח קטן הקבל מתפרק ומחזיר את האנרגיה למקור.

חילופי אנרגיה: מעבר האנרגיה מן המקור אל הסליל או אל הקבל וחזרתה אל המקור, בלי שהיא נצרכת. ההספק הממוצע של סליל אידאלי ושל קבל אידאלי שווה לאפס: P = 0.

הרכיב	הפרש המופע φ	ההספק הממוצע	מה קורה לאנרגיה?
נגד R	0°	P = U·I	הופכת לחום ואינה חוזרת למקור
סליל אידאלי L	+90° (הזרם מפגר)	P = 0	נאגרת בשדה המגנטי ואחר כך חוזרת למקור
קבל אידאלי C	−90° (הזרם מקדים)	P = 0	נאגרת בשדה החשמלי ואחר כך חוזרת למקור

הערה: אף שההספק הממוצע אפס, בסליל ובקבל עובר זרם ממשי, והזרם הזה מעמיס על המקור ועל המוליכים. כדי למדוד את "גודל" חילופי האנרגיה משתמשים בערך השיא של ההספק הרגעי ברכיב, והוא נקרא הספק היגבי. בסליל: Q_L = U_L·I, ובקבל: Q_C = U_C·I. נרחיב עליו בסעיף הבא.

דוגמה 17.3

סליל אידאלי שהשראותו L = 0.2 H מחובר לרשת 230 V, 50 Hz. נחשב:
א. את ההיגב ההשראותי ואת הזרם.
ב. את ההספק הממוצע.
ג. את ההספק ההיגבי.
ד. את האנרגיה הגדולה ביותר שנאגרת בסליל.

פתרון:

א. נזכור: X_L = 2π·f·L.

X_L = 2π · 50 · 0.2 = 62.83 Ω

I = UX_L = 23062.83 = 3.66 A

ב. הסליל אידאלי, ולכן φ = 90° :

P = U·I·cos 90° = 0

ג. ההספק ההיגבי של הסליל:

Q_L = U·I = 230 · 3.66 = 841.9 VAR

ד. האנרגיה הגדולה ביותר נאגרת כאשר הזרם מגיע לערך השיא שלו I_m = 2·I :

W_max = 12·L·I_m² = L·I²

W_max = 0.2 · 3.66² = 2.68 J

האנרגיה הזאת נכנסת לסליל ויוצאת ממנו פעמיים בכל מחזור, כלומר 100 פעמים בשנייה.

Q_L = 841.9 VAR

שאלה 17.3: קבל שקיבולו 50 µF מחובר לרשת 230 V, 50 Hz. נחשב:
א. את ההיגב הקיבולי X_C = 12π·f·C ואת הזרם.
ב. את ההספק הממוצע.
ג. את ההספק ההיגבי Q_C = U·I.

הספק פעיל (ממשי) P, הספק היגבי (עיוור) Q והספק מדומה S (Active, Reactive, Apparent Power)

במעגל מעשי יש התנגדות והיגב יחד. חלק מן האנרגיה נצרך בנגדים, וחלק אחר מתחלף בין המקור לבין הסלילים והקבלים. לכן מגדירים שלושה הספקים:

הספק פעיל / הספק ממשי: ההספק הממוצע שהעומס צורך בפועל, והוא הופך לחום, לאור או לעבודה מכנית. הוא נצרך בנגדים בלבד. סימונו P ויחידת המידה שלו ואט [W].

הספק היגבי / הספק עיוור: ההספק שמתחלף בין המקור לבין הסלילים והקבלים, ואינו נצרך. סימונו Q ויחידת המידה שלו וולט-אמפר היגבי [VAR].

הספק מדומה: מכפלת הערך היעיל של המתח בערך היעיל של הזרם, בלי להביא בחשבון את הפרש המופע. זהו ההספק שהמקור "רואה", ולפיו נקבעים ממדי המחוללים, השנאים והמוליכים. סימונו S ויחידת המידה שלו וולט-אמפר [VA].

שלושת ההספקים במעגל זרם חילופין

S = U·I

P = U·I·cos φ = S·cos φ

Q = U·I·sin φ = S·sin φ

S = P² + Q²

סימן	משמעות	יחידת מידה
S	ההספק המדומה	[VA]
P	ההספק הפעיל	[W]
Q	ההספק ההיגבי	[VAR]
U , I	הערכים היעילים של המתח ושל הזרם	[V] , [A]
φ	הפרש המופע בין המתח לזרם	[°]

הערה: שלוש היחידות [W], [VAR] ו-[VA] הן מבחינה מתמטית אותה יחידה: וולט כפול אמפר. משתמשים בשלושה שמות שונים כדי לדעת מיד על איזה הספק מדברים. לכן על לוחית השנאי רשום הספקו ביחידות [kVA], ועל לוחית תנור החימום ביחידות [kW].

אפשר לחשב את ההספק הפעיל ואת ההספק ההיגבי גם ישירות מרכיבי המעגל:

P = I_R²·R = U_R²R

Q_L = I_L²·X_L = U_L²X_L

Q_C = I_C²·X_C = U_C²X_C

Q = Q_L − Q_C

כאן I_R, I_L, I_C הם זרמי הרכיבים, ו-U_R, U_L, U_C הם המתחים עליהם. Q_L הוא ההספק ההיגבי של הסליל (השראותי), Q_C הוא ההספק ההיגבי של הקבל (קיבולי), ו-Q הוא ההספק ההיגבי הכולל של המעגל.

הערה: הסליל והקבל פועלים הפוך זה מזה: ברגע שבו הסליל לוקח אנרגיה, הקבל מחזיר אנרגיה. לכן מחסרים את Q_C מ-Q_L. אם התוצאה חיובית, אופי המעגל השראותי; אם היא שלילית, אופיו קיבולי; ואם היא אפס, אופיו התנגדותי.

דוגמה 17.4

מנוע חד-מופעי מחובר למתח 230 V וצורך זרם שעוצמתו 5 A. מקדם ההספק cos φ = 0.8 (השראותי). נחשב את שלושת ההספקים.

פתרון:

נחשב תחילה את ההספק המדומה:

S = U·I = 230 · 5 = 1150 VA

ההספק הפעיל:

P = S·cos φ = 1150 · 0.8 = 920 W

לחישוב ההספק ההיגבי דרוש לנו sin φ. נחשב אותו מתוך cos φ :

sin φ = 1 − cos² φ = 1 − 0.8² = 0.6

Q = S·sin φ = 1150 · 0.6 = 690 VAR

בדיקה:

P² + Q² = 920² + 690² = 1150 VA

S = 1150 VA

דוגמה 17.5

עומס המחובר למתח 230 V צורך הספק פעיל 1.2 kW והספק היגבי 0.9 kVAR. נחשב את ההספק המדומה, את מקדם ההספק ואת הזרם.

פתרון:

S = P² + Q² = 1200² + 900² = 1500 VA

cos φ = PS = 12001500 = 0.8

I = SU = 1500230 = 6.52 A

S = 1.5 kVA

שאלה 17.4: עומס השראותי מחובר למתח 230 V וצורך זרם שעוצמתו 8 A, ומקדם ההספק cos φ = 0.6. מהם ההספקים S, P ו-Q?

חישוב ההספקים במעגל RL טורי, RC טורי ו-RLC טורי (Powers in Series Circuits)

במעגל טורי עובר אותו זרם בכל הרכיבים, ולכן נוח לחשב את ההספקים בעזרת הזרם. דרך הפתרון:

נחשב את העכבה: Z = R² + (X_L − X_C)².
נחשב את הזרם: I = UZ.
נחשב את ההספקים: P = I²·R, Q_L = I²·X_L, Q_C = I²·X_C, S = U·I = I²·Z.
נחשב את מקדם ההספק: cos φ = RZ = PS.

מעגל RL טורי:

דוגמה 17.6

נגד R = 60 Ω וסליל שההיגב ההשראותי שלו X_L = 80 Ω מחוברים בטור למקור שמתחו 200 V. נחשב את הזרם, את שלושת ההספקים ואת מקדם ההספק.

פתרון:

Z = R² + X_L² = 60² + 80² = 100 Ω

I = UZ = 200100 = 2 A

ההספק הפעיל נצרך בנגד, וההספק ההיגבי מתחלף עם הסליל:

P = I²·R = 2² · 60 = 240 W

Q = I²·X_L = 2² · 80 = 320 VAR

S = U·I = 200 · 2 = 400 VA

מקדם ההספק:

cos φ = RZ = 60100 = 0.6

בדיקה: 240² + 320² = 400 VA, וזה ה-S שחישבנו.

P = 240 W

מעגל RC טורי:

פותרים באותה דרך, אלא שההספק ההיגבי כאן קיבולי: Q_C = I²·X_C.

שאלה 17.5: נגד R = 50 Ω וקבל שההיגב הקיבולי שלו X_C = 120 Ω מחוברים בטור למקור שמתחו 130 V. נחשב את הזרם, את שלושת ההספקים ואת מקדם ההספק.

מעגל RLC טורי:

דוגמה 17.7

במעגל RLC טורי: R = 40 Ω, X_L = 80 Ω, X_C = 50 Ω, ומתח המקור 100 V. נחשב את הזרם, את ההספק של כל רכיב, את ההספקים הכוללים ואת מקדם ההספק, ונקבע את אופי המעגל.

פתרון:

Z = R² + (X_L − X_C)² = 40² + (80 − 50)² = 50 Ω

I = UZ = 10050 = 2 A

ההספק של כל רכיב:

P = I²·R = 2² · 40 = 160 W

Q_L = I²·X_L = 2² · 80 = 320 VAR

Q_C = I²·X_C = 2² · 50 = 200 VAR

ההספקים הכוללים:

Q = Q_L − Q_C = 320 − 200 = 120 VAR

S = U·I = 100 · 2 = 200 VA

cos φ = PS = 160200 = 0.8

ההספק ההיגבי הכולל חיובי (Q_L גדול מ-Q_C), ולכן אופי המעגל השראותי. נשים לב שהמקור מספק 120 VAR בלבד, אף שהסליל זקוק ל-320 VAR : את השאר מספק הקבל.

P = 160 W

שאלה 17.6: במעגל RLC טורי: R = 30 Ω, X_L = 20 Ω, X_C = 60 Ω, ומתח המקור 150 V. נחשב:
א. את הזרם.
ב. את P, Q ו-S.
ג. את מקדם ההספק ואת אופי המעגל.

חישוב ההספקים במעגל RL מקבילי, RC מקבילי ו-RLC מקבילי (Powers in Parallel Circuits)

במעגל מקבילי שורר אותו מתח על כל הענפים, ולכן נוח לחשב את ההספקים בעזרת המתח. דרך הפתרון:

נחשב את הזרם של כל ענף: I_R = UR, I_L = UX_L, I_C = UX_C.
נחשב את ההספק של כל ענף: P = U·I_R = U²R, Q_L = U·I_L = U²X_L, Q_C = U·I_C = U²X_C.
נחשב את הזרם הכולל: I = I_R² + (I_L − I_C)².
נחשב את ההספק המדומה ואת מקדם ההספק: S = U·I, cos φ = PS = I_RI.

מעגל RL מקבילי:

דוגמה 17.8

נגד R = 40 Ω וסליל שההיגב שלו X_L = 30 Ω מחוברים במקביל למקור שמתחו 120 V. נחשב את הזרמים, את ההספקים ואת מקדם ההספק.

פתרון:

I_R = UR = 12040 = 3 A

I_L = UX_L = 12030 = 4 A

I = I_R² + I_L² = 3² + 4² = 5 A

ההספקים:

P = U·I_R = 120 · 3 = 360 W

Q = U·I_L = 120 · 4 = 480 VAR

S = U·I = 120 · 5 = 600 VA

cos φ = PS = 360600 = 0.6

P = 360 W

מעגל RC מקבילי:

פותרים באותה דרך, אלא שההספק ההיגבי כאן קיבולי: Q_C = U·I_C.

שאלה 17.7: נגד R = 30 Ω וקבל שההיגב שלו X_C = 40 Ω מחוברים במקביל למקור שמתחו 240 V. נחשב את הזרמים, את ההספקים ואת מקדם ההספק.

מעגל RLC מקבילי:

דוגמה 17.9

במעגל RLC מקבילי: R = 30 Ω, X_L = 20 Ω, X_C = 40 Ω, ומתח המקור 120 V. נחשב את זרמי הענפים, את הזרם הכולל, את ההספקים ואת מקדם ההספק.

פתרון:

I_R = 12030 = 4 A

I_L = 12020 = 6 A

I_C = 12040 = 3 A

זרם הסליל וזרם הקבל מנוגדים זה לזה במופע, ולכן מחסרים אותם:

I = I_R² + (I_L − I_C)² = 4² + (6 − 3)² = 5 A

ההספקים:

P = U·I_R = 120 · 4 = 480 W

Q_L = U·I_L = 120 · 6 = 720 VAR

Q_C = U·I_C = 120 · 3 = 360 VAR

Q = Q_L − Q_C = 720 − 360 = 360 VAR

S = U·I = 120 · 5 = 600 VA

cos φ = PS = 480600 = 0.8

זרם הסליל גדול מזרם הקבל, ולכן אופי המעגל השראותי.

P = 480 W

שאלה 17.8: במעגל RLC מקבילי: R = 50 Ω, X_L = 100 Ω, X_C = 40 Ω, ומתח המקור 200 V. נחשב:
א. את הזרם הכולל.
ב. את P, Q ו-S.
ג. את מקדם ההספק ואת אופי המעגל.

חיבור הספקים של כמה עומסים:

בכל מעגל, בכל צורת חיבור, מתקיים הכלל הבא:

ההספק הפעיל הכולל שווה לסכום ההספקים הפעילים של כל העומסים: P = P₁ + P₂ + …
ההספק ההיגבי הכולל שווה לסכום ההספקים ההיגביים, כאשר ההשראותי נלקח בסימן חיובי והקיבולי בסימן שלילי: Q = Q₁ + Q₂ + …
את ההספק המדומה הכולל אין מחברים חיבור רגיל. מחשבים אותו מתוך P ו-Q הכוללים: S = P² + Q².

דוגמה 17.10

שני עומסים מחוברים במקביל לרשת 230 V : תנור חימום שהספקו 1 kW (התנגדות בלבד), ומנוע הצורך 2 kW במקדם הספק 0.8 השראותי. נחשב את ההספקים הכוללים, את הזרם שהרשת מספקת ואת מקדם ההספק הכולל.

פתרון:

התנור: P₁ = 1000 W, Q₁ = 0. המנוע: P₂ = 2000 W, ואת ההספק ההיגבי שלו נחשב ממשולש ההספקים:

S₂ = P₂cos φ₂ = 20000.8 = 2500 VA

Q₂ = S₂² − P₂² = 2500² − 2000² = 1500 VAR

נחבר:

P = P₁ + P₂ = 1000 + 2000 = 3000 W

Q = Q₁ + Q₂ = 0 + 1500 = 1500 VAR

S = P² + Q² = 3000² + 1500² = 3354.1 VA

הזרם ומקדם ההספק:

I = SU = 3354.1230 = 14.58 A

cos φ = PS = 30003354.1 = 0.894

נשים לב: S₁ + S₂ = 1000 + 2500 = 3500 VA, וזה אינו ההספק המדומה הכולל.

S = 3354.1 VA

משולש ההספקים, מקדם הספק ושיפור מקדם ההספק (Power Triangle and Power Factor)

משולש ההספקים:

הקשר S² = P² + Q² הוא משפט פיתגורס, ולכן אפשר לייצג את שלושת ההספקים במשולש ישר-זווית הנקרא משולש ההספקים: הניצב האופקי הוא P, הניצב האנכי הוא Q, והיתר הוא S. הזווית שבין P ל-S היא הפרש המופע φ.

עומס השראותי: Q כלפי מעלה

עומס קיבולי: Q כלפי מטה

מן המשולש מקבלים את הקשרים הבאים:

S = P² + Q²

cos φ = PS

sin φ = QS

tan φ = QP

הערה: משולש ההספקים דומה למשולש העכבות (R, X, Z) ולמשולש המתחים במעגל הטורי: מקבלים אותו ממשולש העכבות בהכפלת כל צלע ב-I². לכן הזווית φ זהה בשלושת המשולשים.

מקדם ההספק:

מקדם הספק / מקדם הספק: היחס בין ההספק הפעיל להספק המדומה: cos φ = PS. הוא מראה איזה חלק מן ההספק המדומה מנוצל בפועל. ערכו בין 0 ל-1, ותמיד מוסיפים לו את המילה "השראותי" או "קיבולי".

מדוע חשוב לנו שמקדם ההספק יהיה קרוב ל-1? מן הנוסחה P = U·I·cos φ מקבלים את הזרם שהעומס צורך:

I = PU·cos φ

כלומר, בעבור אותו הספק פעיל ואותו מתח, ככל שמקדם ההספק קטן יותר, הזרם גדול יותר. הזרם העודף הזה אינו נותן עבודה נוספת, אבל הוא עובר בקווי הרשת ומחמם אותם.

דוגמה 17.11

עומס צורך הספק פעיל 2.3 kW מרשת 230 V, דרך קו שהתנגדותו 0.5 Ω. נחשב את הזרם ואת הפסדי ההספק בקו בשני מקרים:
א. cos φ = 1.
ב. cos φ = 0.5.

פתרון:

א. כאשר cos φ = 1 :

I = PU·cos φ = 2300230 · 1 = 10 A

ΔP = I²·R = 10² · 0.5 = 50 W

ב. כאשר cos φ = 0.5 :

I = 2300230 · 0.5 = 20 A

ΔP = I²·R = 20² · 0.5 = 200 W

העומס צורך אותו הספק פעיל בשני המקרים, אבל במקדם ההספק הנמוך הזרם גדל פי שניים, והפסדי ההספק בקו גדלו פי ארבעה.

התוצאות של מקדם הספק נמוך:

זרם גדול יותר בקווים, ולכן הפסדי הספק גדולים יותר ומפל מתח גדול יותר.
נדרשים מוליכים בעלי שטח חתך גדול יותר, ומחוללים ושנאים בעלי הספק מדומה גדול יותר.
חברת החשמל דורשת מן העומסים הגדולים לשמור על מקדם הספק גבוה.

שיפור מקדם ההספק:

רוב העומסים בתעשייה השראותיים: מנועים, שנאים וסלילים. כדי לשפר את מקדם ההספק מחברים קבל במקביל לעומס. הקבל מספק לעומס חלק מן ההספק ההיגבי שהוא זקוק לו, במקום שהרשת תספק אותו. האנרגיה מתחלפת עכשיו בין הסליל לבין הקבל הסמוך לו, ואינה עוברת בקווי הרשת.

קבל השיפור מחובר במקביל לעומס ההשראותי

משולש ההספקים לפני השיפור (S₁, φ₁) ואחריו (S₂, φ₂)

מה משתנה ומה אינו משתנה?

המתח על העומס אינו משתנה, כי הקבל מחובר במקביל. לכן העומס ממשיך לפעול בדיוק כמו קודם, ו-P אינו משתנה.
ההספק ההיגבי שהרשת מספקת קטן מ-Q₁ ל-Q₂ = Q₁ − Q_C.
ההספק המדומה והזרם בקו קטנים, ומקדם ההספק גדל מ-cos φ₁ ל-cos φ₂.

ממשולש ההספקים: Q₁ = P·tan φ₁ ו-Q₂ = P·tan φ₂. ההפרש ביניהם הוא ההספק ההיגבי שהקבל צריך לספק. ומכיוון שהמתח על הקבל הוא מתח הרשת: Q_C = U²X_C = ω·C·U². מכאן:

שיפור מקדם ההספק בעזרת קבל במקביל

Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)

C = Q_Cω·U²

סימן	משמעות	יחידת מידה
Q_C	ההספק ההיגבי של הקבל	[VAR]
P	ההספק הפעיל של העומס	[W]
φ₁ , φ₂	זווית המופע לפני השיפור ואחריו	[°]
C	קיבול הקבל	[F]
ω	התדירות הזוויתית, ω = 2π·f	[rad/s]
U	מתח הרשת	[V]

דוגמה 17.12

מנוע צורך הספק פעיל 3 kW מרשת 230 V, 50 Hz במקדם הספק 0.6 השראותי. רוצים לשפר את מקדם ההספק ל-0.9. נחשב:
א. את ההספק ההיגבי של הקבל.
ב. את קיבול הקבל.
ג. את זרם הקו לפני השיפור ואחריו.

פתרון:

א. נחשב את שתי הזוויות ואת הטנגנס של כל אחת מהן:

cos φ₁ = 0.6 → φ₁ = 53.1° → tan φ₁ = 1.333

cos φ₂ = 0.9 → φ₂ = 25.8° → tan φ₂ = 0.484

Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) = 3000 · (1.333 − 0.484) = 2547 VAR

ב. קיבול הקבל, כאשר ω = 2π · 50 = 314.2 rad/s :

C = Q_Cω·U² = 2547314.2 · 230² = 1.53·10⁻⁴ F

C = 153.3 µF

ג. זרם הקו:

I₁ = PU·cos φ₁ = 3000230 · 0.6 = 21.74 A

I₂ = PU·cos φ₂ = 3000230 · 0.9 = 14.49 A

אחרי חיבור הקבל ירד זרם הקו בכשליש, אף שהמנוע פועל בדיוק כמו קודם.

C = 153.3 µF

הערה: אם רוצים שיפור מלא, כלומר cos φ₂ = 1, הקבל צריך לספק את כל ההספק ההיגבי של העומס: Q_C = Q₁. בפועל אין משפרים את מקדם ההספק ל-1 בדיוק, אלא לערך קרוב לו. אם הקבל גדול מן הדרוש, Q_C נעשה גדול מ-Q₁, אופי המעגל נעשה קיבולי ומקדם ההספק חוזר ויורד. מצב כזה נקרא קיזוז יתר.

שאלה 17.9: עומס צורך 2 kW מרשת 230 V, 50 Hz במקדם הספק 0.5 השראותי. מהו קיבול הקבל הדרוש לשיפור מקדם ההספק ל-0.95?

▶ניסוי חי — מעבדת מעגלי RLC — הספקים ושיפור מקדם ההספקמשנים את R, L, C ואת התדירות ורואים איך משתנים משולש ההספקים ומקדם ההספק, ומנסים לחבר קבל שיפור.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
הספק רגעי	p = u·i
הספק פעיל	P = U·I·cos φ = I_R²·R
הספק היגבי	Q = U·I·sin φ = Q_L − Q_C
ההספק ההיגבי של הסליל ושל הקבל	Q_L = I_L²·X_L , Q_C = I_C²·X_C
הספק מדומה	S = U·I = P² + Q²
מקדם ההספק	cos φ = PS
זרם העומס	I = PU·cos φ
ההספק ההיגבי של קבל השיפור	Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)
קיבול קבל השיפור	C = Q_Cω·U²

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
הספק רגעי	Instantaneous power	القدرة اللحظية
הספק ממוצע	Average power	القدرة المتوسطة
הספק פעיל / ממשי	Active (real) power	القدرة الفعالة
הספק היגבי / עיוור	Reactive power	القدرة غير الفعالة
הספק מדומה	Apparent power	القدرة الظاهرة
חילופי אנרגיה	Energy exchange	تبادل الطاقة
שדה מגנטי	Magnetic field	المجال المغناطيسي
משולש ההספקים	Power triangle	مثلث القدرات
מקדם הספק / מקדם הספק	Power factor	معامل القدرة
שיפור מקדם ההספק	Power-factor correction	تحسين معامل القدرة
קבל לשיפור מקדם ההספק	Correction capacitor	مكثف التحسين
קיזוז יתר	Over-compensation	تعويض زائد
עומס השראותי / קיבולי	Inductive / capacitive load	حمل حثي / سعوي
הפסדי הספק בקו	Line losses	ضياع القدرة في الخط
וואטמטר	Wattmeter	مقياس القدرة

שאלות לתרגול:

נורת ליבון הפועלת כנגד שהתנגדותו 529 Ω מחוברת לרשת 230 V. נחשב:
א. את ההספק הממוצע.
ב. את ערך השיא של ההספק הרגעי.
ג. כמה פעמים בשנייה מגיע ההספק הרגעי לאפס, אם תדירות הרשת 50 Hz?

תשובות: א. P = 100 W. ב. p_max = 200 W. ג. 100 פעמים

נסביר במילים: מדוע ההספק הממוצע של סליל אידאלי שווה לאפס, אף שעובר בו זרם? והיכן נמצאת האנרגיה ברגע שבו הזרם מגיע לערך השיא שלו?

תשובות: הסליל לוקח אנרגיה ברבע מחזור ומחזיר את כולה ברבע המחזור הבא. בערך השיא של הזרם האנרגיה אגורה בשדה המגנטי של הסליל

קבל שקיבולו 100 µF מחובר לרשת 230 V, 50 Hz. נחשב:
א. את הזרם.
ב. את ההספק הפעיל.
ג. את ההספק ההיגבי.
ד. את האנרגיה הגדולה ביותר שנאגרת בקבל, W_max = C·U².

תשובות: א. I = 7.23 A. ב. P = 0. ג. Q_C = 1661.9 VAR. ד. W_max = 5.29 J

שנאי מספק לעומס הספק מדומה 6 kVA, וההספק הפעיל של העומס 3.6 kW. נחשב:
א. את מקדם ההספק.
ב. את ההספק ההיגבי.
ג. נסרטט את משולש ההספקים.

תשובות: א. cos φ = 0.6. ב. Q = 4.8 kVAR

נגד R = 40 Ω וסליל שהשראותו L = 95.5 mH מחוברים בטור לרשת 230 V, 50 Hz. נחשב:
א. את X_L ואת Z.
ב. את הזרם.
ג. את P, Q ו-S.
ד. את מקדם ההספק.

תשובות: א. X_L ≈ 30 Ω, Z ≈ 50 Ω. ב. I ≈ 4.6 A. ג. P ≈ 846 W, Q ≈ 635 VAR, S ≈ 1058 VA. ד. cos φ ≈ 0.8

נגד R = 80 Ω וקבל שההיגב שלו X_C = 60 Ω מחוברים בטור למקור שמתחו 100 V. נחשב את הזרם, את P, Q, S ואת מקדם ההספק.

תשובות: I = 1 A, P = 80 W, Q = 60 VAR (קיבולי), S = 100 VA, cos φ = 0.8

במעגל RLC טורי: R = 30 Ω, L = 0.2 H, C = 100 µF, והמקור 120 V, 50 Hz. נחשב:
א. את X_L, X_C ו-Z.
ב. את הזרם.
ג. את P, Q_L, Q_C, Q ו-S.
ד. את מקדם ההספק ואת אופי המעגל.

תשובות: א. X_L ≈ 62.8 Ω, X_C ≈ 31.8 Ω, Z ≈ 43.1 Ω. ב. I ≈ 2.78 A. ג. P ≈ 232 W, Q_L ≈ 486 VAR, Q_C ≈ 246 VAR, Q ≈ 240 VAR, S ≈ 334 VA. ד. cos φ ≈ 0.7, השראותי

נגד R = 46 Ω וסליל שההיגב שלו X_L = 23 Ω מחוברים במקביל לרשת 230 V. נחשב:
א. את הזרם של כל ענף ואת הזרם הכולל.
ב. את P, Q ו-S.
ג. את מקדם ההספק.

תשובות: א. I_R = 5 A, I_L = 10 A, I ≈ 11.18 A. ב. P = 1150 W, Q = 2300 VAR, S ≈ 2571 VA. ג. cos φ ≈ 0.45

במעגל RLC מקבילי: R = 20 Ω, X_L = 15 Ω, X_C = 30 Ω, ומתח המקור 60 V. נחשב:
א. את זרמי הענפים ואת הזרם הכולל.
ב. את P, Q_L, Q_C, Q ו-S.
ג. את מקדם ההספק ואת אופי המעגל.

תשובות: א. I_R = 3 A, I_L = 4 A, I_C = 2 A, I ≈ 3.61 A. ב. P = 180 W, Q_L = 240 VAR, Q_C = 120 VAR, Q = 120 VAR, S ≈ 216.3 VA. ג. cos φ ≈ 0.83, השראותי

10.

בית מלאכה מחובר לרשת 230 V ויש בו שני עומסים במקביל: תאורה וחימום בהספק 1.5 kW ובמקדם הספק 1, ומנוע הצורך 2.4 kW במקדם הספק 0.6 השראותי. נחשב:
א. את P, Q ו-S הכוללים.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את מקדם ההספק הכולל.

תשובות: א. P = 3900 W, Q = 3200 VAR, S ≈ 5045 VA. ב. I ≈ 21.9 A. ג. cos φ ≈ 0.77

11.

עומס צורך הספק פעיל 4.6 kW מרשת 230 V.
א. נחשב את הזרם כאשר cos φ = 0.5 וכאשר cos φ = 0.92.
ב. פי כמה קטנים הפסדי ההספק בקו אחרי שיפור מקדם ההספק?

תשובות: א. 40 A ו-21.74 A. ב. בערך פי 3.4

12.

מנוע צורך 5 kW מרשת 230 V, 50 Hz במקדם הספק 0.7 השראותי. רוצים לשפר את מקדם ההספק ל-0.95. נחשב:
א. את ההספק ההיגבי לפני השיפור ואחריו.
ב. את Q_C.
ג. את קיבול הקבל.
ד. את זרם הקו לפני השיפור ואחריו.

תשובות: א. Q₁ ≈ 5101 VAR, Q₂ ≈ 1643 VAR. ב. Q_C ≈ 3458 VAR. ג. C ≈ 208 µF. ד. I₁ ≈ 31.06 A, I₂ ≈ 22.88 A

13.

עומס צורך 1.5 kW מרשת 230 V, 50 Hz במקדם הספק 0.6 השראותי. חיברו במקביל אליו קבל שקיבולו 60 µF. נחשב:
א. את ההספק ההיגבי של הקבל, Q_C = ω·C·U².
ב. את ההספק ההיגבי שהרשת מספקת אחרי חיבור הקבל.
ג. את מקדם ההספק החדש.

תשובות: א. Q_C ≈ 997 VAR. ב. Q₂ ≈ 1003 VAR. ג. cos φ₂ ≈ 0.83

14.

עומס השראותי צורך 10 A מרשת 230 V, 50 Hz במקדם הספק 0.7. רוצים לשפר את מקדם ההספק ל-1 (שיפור מלא). נחשב:
א. את P ואת Q₁ של העומס.
ב. את קיבול הקבל.
ג. את זרם הקו אחרי השיפור.

תשובות: א. P = 1610 W, Q₁ ≈ 1642.5 VAR. ב. C ≈ 98.8 µF. ג. I₂ = 7 A

תשובות סופיות לשאלות הפרק

17.1 P = 2300 W, p_max = 4600 W

17.2 P ≈ 479 W

17.3 א. X_C = 63.66 Ω, I = 3.61 A. ב. P = 0. ג. Q_C = 831 VAR

17.4 S = 1840 VA, P = 1104 W, Q = 1472 VAR

17.5 Z = 130 Ω, I = 1 A, P = 50 W, Q_C = 120 VAR, S = 130 VA, cos φ = 0.385 (קיבולי)

17.6 א. I = 3 A. ב. P = 270 W, Q = 360 VAR (קיבולי), S = 450 VA. ג. cos φ = 0.6, קיבולי

17.7 I_R = 8 A, I_C = 6 A, I = 10 A, P = 1920 W, Q_C = 1440 VAR, S = 2400 VA, cos φ = 0.8 (קיבולי)

17.8 א. I = 5 A. ב. P = 800 W, Q = 600 VAR (קיבולי), S = 1000 VA. ג. cos φ = 0.8, קיבולי

17.9 Q_C ≈ 2807 VAR, C ≈ 168.9 µF

שאלות בגרות לפרק 17

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2024 שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	עכבת המעגל	Z = 50 Ω
סעיף ב	קריאת מד-הזרם	I = 1 A
סעיף ג	מפלי המתח על רכיבי המעגל	U_R = 40 V ; U_L = 180 V ; U_C = 150 V
סעיף ד(1)	ההספק הפעיל, ההספק ההיגבי וההספק המדומה	P = 40 W ; Q = 30 var ; S = 50 VA
סעיף ד(2)	משולש ההספקים	cos φ = 0.8 ; φ ≈ 36.87°

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

בגרות 2023 שאלה 6 — מעגל מקבילי בזרם חילופין

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	פאזורי הזרמים	I_R = 0.5∠0° A ; I_L = 0.46∠-90° A ; I_C = 1∠90° A ; I_T = 0.736∠+47.2° A
סעיף ב	ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה	בפתרון המלא
סעיף ג	משולש ההספקים ואופי המעגל	בפתרון המלא

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

בגרות 2018 שאלה 7 — מעגל RLC טורי ושיפור מקדם הספק

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	עכבת המעגל ואופיו (S פתוח)	בפתרון המלא
סעיף ב1	ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה	P ≈ 336 W ; Q ≈ 554 var ; S ≈ 648.5 VA
סעיף ב2	מקדם ההספק	cosφ ≈ 0.52
סעיף ב3	משולש ההספקים	בפתרון המלא
סעיף ג	קיבול הקבל C₂ הנדרש למקדם הספק 0.8 (S סגור)	C₂ ≈ 15.4 µF

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2018

בגרות 2016 שאלה 5 — מעגל טורי בזרם חילופין

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א1	היגב הסליל והיגב הקבל	X_L ≈ 12.57 Ω ; X_C ≈ 19.89 Ω
סעיף א2	העכבה השקולה של המעגל	בפתרון המלא
סעיף ב	הזרם במעגל	בפתרון המלא
סעיף ג1	ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה	בפתרון המלא
סעיף ג2	משולש ההספקים	בפתרון המלא

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2016

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.