الفصل 9

طرق تحليل الدوائر الكهربائية

שיטות לפתרון מעגלים חשמליים

الصف العاشر · 18 ساعات تعليمية

حتى الآن حللنا دوائر فيها مصدر واحد: جمعنا المقاومات على التوالي وعلى التوازي حتى حصلنا على مقاومة مكافئة واحدة. لكن في دائرة فيها مصدران أو أكثر في فروع مختلفة لا تنفع هذه الطريقة، لأن المقاومات فيها ليست موصولة لا على التوالي ولا على التوازي. في هذا الفصل نتعلم طريقتين منظّمتين، مبنيتين على قوانين كيرخهوف، تصلحان لتحليل أي دائرة: طريقة تيارات الحلقات وطريقة جهود العُقد.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نُعرّف تيار الحلقة ونجد بواسطته التيار في كل فرع من فروع الدائرة.
نكتب معادلات الجهود في الحلقات حسب قانون كيرخهوف للجهد، ونحلها.
نكتب المعادلات مباشرة بالصيغة القياسية R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁.
نختار عُقدة مرجعية ونُعرّف جهد كل عُقدة بالنسبة إليها.
نكتب معادلات التيارات في العُقد حسب قانون كيرخهوف للتيار، ونحلها.
نحل معادلتين بمجهولين بطريقة التعويض وبطريقة الحذف.
الطريقتان تعطيان دائما نفس النتائج، ونفحص الحل بميزان القدرة.

ملاحظة للمعلم وللطالب: حسب خطة التعليم، تختار المدرسة تعليم طريقة واحدة على الأقل من الطريقتين: تيارات الحلقات أو جهود العُقد. الطريقتان تحلان نفس الدوائر وتعطيان نفس النتائج. في هذا الفصل نحل نفس الدوائر بالطريقتين ونقارن بينهما.

تذكير: عُقدة، فرع وحلقة – צומת, ענף וחוג:

العُقدة (צומת): نقطة تفرّع يلتقي فيها ثلاثة موصلات أو أكثر. في الرسم عُقدتان: A و B.
الفرع (ענף): مسار بين عُقدتين، يمر في جميع عناصره نفس التيار. في الرسم ثلاثة فروع.
الحلقة (חוג): مسار مغلق في الدائرة. الحلقة المستقلة هي «نافذة» في الرسم لا توجد في داخلها فروع. في الرسم حلقتان مستقلتان.

دائرة فيها عُقدتان، ثلاثة فروع وحلقتان مستقلتان

لو حللنا هذه الدائرة بقوانين كيرخهوف مباشرة، لاحتجنا إلى ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل، مجهول لكل فرع. الطريقتان اللتان نتعلمهما تقللان عدد المعادلات: في هذه الدائرة نحتاج إلى معادلتين فقط بطريقة تيارات الحلقات، وإلى معادلة واحدة فقط بطريقة جهود العُقد.

שיטת זרמי חוגים – طريقة تيارات الحلقات (Mesh Current Method)

تسمى هذه الطريقة في بعض الكتب «التحليل الحلقي» أو «التحليل الشبكي».

مفهوم تيار الحلقة – המושג זרם חוג:

تيار الحلقة (זרם חוג): هو تيار نفترض أنه يدور في حلقة مستقلة كاملة، ويمر في جميع عناصرها. نحدد لكل حلقة مستقلة تيار حلقة واحدا، ونرمز لتيارات الحلقات I₁ ، I₂ ، ...

نختار اتجاه تيار الحلقة كما نريد. من المريح أن نختار جميع التيارات في اتجاه عقارب الساعة.
في فرع ينتمي إلى حلقة واحدة فقط، تيار الفرع يساوي تيار الحلقة. في الرسم: التيار في R₁ هو I₁ ، والتيار في R₂ هو I₂.
في فرع مشترك (ענף משותף) بين حلقتين يمر التياران معا. في الرسم يمر I₁ في R₃ إلى الأسفل ويمر I₂ فيها إلى الأعلى، ولذلك التيار في R₃ إلى الأسفل هو I₁ − I₂.

تيارا الحلقتين I₁ و I₂ ، كلاهما في اتجاه عقارب الساعة

ملاحظة: تيار الحلقة هو وسيلة حساب: المجاهيل هي تيارات الحلقات، وعددها أصغر من عدد الفروع. بعد أن نجدها نحسب منها تيارات الفروع الحقيقية. إذا حصلنا على تيار سالب، فمعنى ذلك أن اتجاهه الحقيقي معاكس للاتجاه الذي اخترناه.

معادلات الجهود في الحلقات وحلّها – משוואות המתחים בחוגים ופתרון המשוואות:

نكتب لكل حلقة مستقلة معادلة واحدة حسب قانون كيرخهوف للجهد: مجموع الجهود في مسار مغلق يساوي صفرا. مراحل الحل:

نحدد الحلقات المستقلة ونرسم لكل حلقة تيار حلقة في اتجاه عقارب الساعة.
ندور في كل حلقة باتجاه تيارها ونكتب قانون كيرخهوف للجهد: مصدر نمر فيه من قطبه السالب إلى قطبه الموجب يُكتب بإشارة موجبة، ومصدر نمر فيه من الموجب إلى السالب يُكتب بإشارة سالبة. على كل مقاومة يهبط جهد يساوي المقاومة مضروبة في التيار المار فيها باتجاه دوراننا.
نرتّب المعادلات ونحلها، فنحصل على تيارات الحلقات.
نحسب تيارات الفروع، ثم الجهود والقدرات حسب المطلوب.
نفحص الحل: قانون كيرخهوف للتيار في عُقدة، أو ميزان القدرة.

مثال 9.1

في الدائرة المبيّنة في الرسم مصدران وثلاث مقاومات. نجد بطريقة تيارات الحلقات التيار في كل فرع، والجهد U_AB.

الحل:

المرحلة 1. في الدائرة حلقتان مستقلتان. نحدد التيار I₁ في الحلقة اليسرى والتيار I₂ في الحلقة اليمنى، كلاهما في اتجاه عقارب الساعة.

المرحلة 2، الحلقة اليسرى. ندور باتجاه I₁ ابتداء من العُقدة B: نمر في المصدر E₁ من السالب إلى الموجب (+E₁)، ثم يهبط الجهد على R₁. في المقاومة المشتركة R₃ التيار باتجاه دوراننا هو I₁ − I₂:

E₁ − R₁·I₁ − R₃·(I₁ − I₂) = 0

28 − 4·I₁ − 8·(I₁ − I₂) = 0

12·I₁ − 8·I₂ = 28 (1)

الحلقة اليمنى. ندور باتجاه I₂ ابتداء من العُقدة A: يهبط الجهد على R₂ ، ثم نمر في المصدر E₂ من الموجب إلى السالب (−E₂). في R₃ التيار باتجاه دوراننا هو I₂ − I₁:

−R₂·I₂ − E₂ − R₃·(I₂ − I₁) = 0

−2·I₂ − 14 − 8·(I₂ − I₁) = 0

−8·I₁ + 10·I₂ = −14 (2)

المرحلة 3. نحل المعادلتين بطريقة التعويض. أولا نبسّط: نقسم المعادلة (1) على 4 والمعادلة (2) على 2:

3·I₁ − 2·I₂ = 7

−4·I₁ + 5·I₂ = −7

من المعادلة الأولى نعبّر عن I₁ بواسطة I₂:

I₁ = 7 + 2·I₂3

نعوّض هذا التعبير في المعادلة الثانية، ونضرب الطرفين في 3:

−4·7 + 2·I₂3 + 5·I₂ = −7

−28 − 8·I₂ + 15·I₂ = −21

7·I₂ = 7

I₂ = 1 A

I₁ = 7 + 2 · 13 = 3 A

المرحلة 4. تيارات الفروع:

I_R1 = I₁ = 3 A

I_R2 = I₂ = 1 A

I_R3 = I₁ − I₂ = 3 − 1 = 2 A

التياران موجبان، أي أن اتجاههما الحقيقي كما اخترنا: التيار في R₁ يتجه إلى العُقدة A ، التيار في R₂ يخرج من العُقدة A إلى اليمين، والتيار في R₃ يتجه من A إلى B.

الجهد بين العُقدتين:

U_AB = I_R3·R₃ = 2 · 8 = 16 V

المرحلة 5، فحص. نحسب U_AB مرة أخرى عبر الفرع الأيسر، ويجب أن نحصل على نفس النتيجة:

U_AB = E₁ − R₁·I₁ = 28 − 4 · 3 = 16 V

I₁ = 3 A , I₂ = 1 A , I_R3 = 2 A

ميزان القدرة: في المثال السابق يدخل التيار إلى المصدر E₂ من قطبه الموجب. مصدر كهذا لا يزوّد قدرة بل يستهلكها، كمُركِّم في وضع الشحن. ميزان القدرة: المصدر E₁ يزوّد 84 W ، المقاومات الثلاث تبدد معا 70 W ، والمصدر E₂ يستهلك 14 W. فعلا: 84 = 70 + 14.

حل معادلتين بمجهولين – פתרון שתי משוואות בשני נעלמים:

في المثال السابق حللنا المعادلتين بطريقة التعويض (שיטת ההצבה): عبّرنا عن مجهول واحد بواسطة الآخر وعوّضنا في المعادلة الثانية. طريقة ثانية، مريحة أكثر في معظم الحالات، هي طريقة الحذف (שיטת השוואת המקדמים): نضرب المعادلتين في أعداد مناسبة حتى يتساوى معاملا أحد المجهولين، ثم نجمع المعادلتين أو نطرحهما، فيُحذف هذا المجهول وتبقى معادلة واحدة بمجهول واحد.

مثال 9.2

في الدائرة المبيّنة في الرسم نجد تيارات الحلقات بطريقة الحذف، ثم نحسب التيار في كل فرع.

الحل:

نكتب قانون كيرخهوف للجهد في كل حلقة، كما في المثال السابق:

26 − 4·I₁ − 2·(I₁ − I₂) = 0

−3·I₂ − 13 − 2·(I₂ − I₁) = 0

نرتّب المعادلتين:

6·I₁ − 2·I₂ = 26 (1)

−2·I₁ + 5·I₂ = −13 (2)

نريد حذف المجهول I₂. نضرب المعادلة (1) في 5 والمعادلة (2) في 2 ، فيصبح معاملا I₂ متساويين في المقدار:

30·I₁ − 10·I₂ = 130

−4·I₁ + 10·I₂ = −26

نجمع المعادلتين، فيُحذف I₂:

26·I₁ = 104

I₁ = 10426 = 4 A

نعوّض I₁ = 4 في المعادلة (1) ونجد I₂:

6 · 4 − 2·I₂ = 26

−2·I₂ = 2

I₂ = −1 A

التيار I₂ سالب: الاتجاه الحقيقي للتيار في الحلقة اليمنى معاكس لاتجاه عقارب الساعة. أي أن التيار في R₂ ، ومقداره 1 A ، يتجه إلى العُقدة A.

التيار في الفرع المشترك، من A إلى B (ننتبه للإشارة):

I_R3 = I₁ − I₂ = 4 − (−1) = 5 A

فحص حسب قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A: يدخل إليها 4 A من اليسار و 1 A من اليمين، ويخرج منها 5 A إلى الأسفل. 4 + 1 = 5.

I₁ = 4 A , I₂ = −1 A , I_R3 = 5 A

سؤال 9.1:

في الدائرة المبيّنة في الرسم نكتب معادلتي الحلقتين، نحلهما، ونجد التيار في كل مقاومة.

▶تجربة حية — تيارات الحلقات — دائرة بمصدريننغيّر جهد كل مصدر وقيمة كل مقاومة، ونرى المعادلتين، حلّهما واتجاه التيار في كل فرع.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_2sources_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_2sources_pro

الصيغة القياسية للمعادلات – הצורות הסטנדרטיות של המשוואות בשיטת זרמי החוגים:

إذا نظرنا إلى المعادلات المرتّبة في المثالين السابقين نلاحظ أن لها دائما نفس الشكل. لذلك لا حاجة للدوران في الحلقة في كل مرة: نكتب المعادلات مباشرة حسب الصيغة القياسية (הצורה הסטנדרטית). لدائرة فيها حلقتان:

الصيغة القياسية — حلقتان · הצורה הסטנדרטית

R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁

−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R₁₁	المقاومة الذاتية للحلقة 1: مجموع جميع المقاومات الموجودة في الحلقة. بنفس الطريقة R₂₂ للحلقة 2	[Ω]
R₁₂	المقاومة المشتركة: المقاومة الموجودة في الفرع المشترك بين الحلقتين. دائما R₂₁ = R₁₂	[Ω]
E₁₁	المجموع الجبري لمصادر الجهد في الحلقة 1. بنفس الطريقة E₂₂ للحلقة 2	[V]
I₁ , I₂	تيارا الحلقتين، كلاهما في اتجاه عقارب الساعة	[A]

إشارة المصدر: مصدر يدفع التيار باتجاه تيار الحلقة (تيار الحلقة يخرج من قطبه الموجب) يُكتب بإشارة موجبة، ومصدر يدفع بعكس اتجاه تيار الحلقة يُكتب بإشارة سالبة.
إشارة المقاومة المشتركة سالبة دائما، بشرط أن نختار جميع تيارات الحلقات في نفس اتجاه الدوران.
لدائرة فيها ثلاث حلقات نكتب ثلاث معادلات بنفس الطريقة. إذا لم يكن بين حلقتين فرع مشترك، فالمقاومة المشتركة بينهما صفر.

حل جاهز للمعادلتين · פתרון מוכן

D = R₁₁·R₂₂ − R₁₂²

I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂D

I₂ = E₂₂·R₁₁ + E₁₁·R₁₂D

الرمز	المعنى	وحدة القياس
D	مقدار مساعد (المحدِّد، דטרמיננטה)	[Ω²]

مثال 9.3

في الدائرة المبيّنة في الرسم القطب الموجب للمصدر E₂ متجه إلى الأسفل. نكتب المعادلتين مباشرة بالصيغة القياسية، ونجد تيارات الحلقات والتيار في R₃.

الحل:

المقاومة الذاتية لكل حلقة والمقاومة المشتركة:

R₁₁ = R₁ + R₃ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂₂ = R₂ + R₃ = 10 + 3 = 13 Ω

R₁₂ = R₃ = 3 Ω

مصادر الجهد: في الحلقة اليسرى يدفع E₁ باتجاه I₁. في الحلقة اليمنى يخرج I₂ من القطب الموجب للمصدر E₂ ، أي أن E₂ يدفع باتجاه I₂ أيضا:

E₁₁ = +E₁ = 24 V

E₂₂ = +E₂ = 8 V

المعادلتان:

5·I₁ − 3·I₂ = 24 (1)

−3·I₁ + 13·I₂ = 8 (2)

نحل بواسطة الحل الجاهز:

D = 5 · 13 − 3² = 56

I₁ = 24 · 13 + 8 · 356 = 33656 = 6 A

I₂ = 8 · 5 + 24 · 356 = 11256 = 2 A

التيار في R₃ ، من A إلى B ، والجهد بين العُقدتين:

I_R3 = I₁ − I₂ = 6 − 2 = 4 A

U_AB = I_R3·R₃ = 4 · 3 = 12 V

فحص بميزان القدرة: القدرة التي يزوّدها المصدران، ثم القدرة المتبددة في المقاومات الثلاث:

24 · 6 + 8 · 2 = 160 W

72 + 40 + 48 = 160 W

I₁ = 6 A , I₂ = 2 A , I_R3 = 4 A

مثال 9.4

في الدائرة المبيّنة في الرسم ثلاثة مصادر وخمس مقاومات. نجد بطريقة تيارات الحلقات التيار في كل مقاومة، ونفحص الحل بميزان القدرة.

الحل:

في الدائرة ثلاث حلقات مستقلة، ولذلك نكتب ثلاث معادلات بالصيغة القياسية. المقاومات الذاتية والمشتركة:

R₁₁ = R₁ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂₂ = R₄ + R₂ + R₅ = 4 + 2 + 2 = 8 Ω

R₃₃ = R₅ + R₃ = 2 + 2 = 4 Ω

R₁₂ = R₄ = 4 Ω

R₂₃ = R₅ = 2 Ω

R₁₃ = 0

مصادر الجهد: E₁ يدفع باتجاه I₁ ، E₂ يدفع باتجاه I₂ ، أما E₃ فيدفع بعكس اتجاه I₃ ، ولذلك E₃₃ = −E₃. المعادلات:

8·I₁ − 4·I₂ = 24 (1)

−4·I₁ + 8·I₂ − 2·I₃ = 10 (2)

−2·I₂ + 4·I₃ = −4 (3)

نبسّط: نقسم المعادلة (1) على 4 ، المعادلة (2) على 2 والمعادلة (3) على 2:

2·I₁ − I₂ = 6

−2·I₁ + 4·I₂ − I₃ = 5

−I₂ + 2·I₃ = −2

في المعادلة الأولى مجهولان فقط، وكذلك في الثالثة. من الأولى نعبّر عن I₂ بواسطة I₁ ، ثم من الثالثة نعبّر عن I₃ بواسطة I₁:

I₂ = 2·I₁ − 6

2·I₃ = I₂ − 2 = 2·I₁ − 6 − 2

I₃ = I₁ − 4

نعوّض التعبيرين في المعادلة الثانية، فتبقى معادلة بمجهول واحد:

−2·I₁ + 4·(2·I₁ − 6) − (I₁ − 4) = 5

5·I₁ = 25

I₁ = 5 A

I₂ = 2 · 5 − 6 = 4 A

I₃ = 5 − 4 = 1 A

التيارات في المقاومتين المشتركتين، إلى الأسفل:

I_R4 = I₁ − I₂ = 5 − 4 = 1 A

I_R5 = I₂ − I₃ = 4 − 1 = 3 A

في R₁ يمر I₁ ، في R₂ يمر I₂ وفي R₃ يمر I₃. التيار I₃ موجب، أي أنه يدخل إلى المصدر E₃ من قطبه الموجب: هذا المصدر يستهلك قدرة.

فحص بميزان القدرة. القدرة التي تزوّدها المصادر (بعد طرح ما يستهلكه E₃):

24 · 5 + 10 · 4 − 4 · 1 = 156 W

القدرة المتبددة في المقاومات، حسب P = I²·R ، بالترتيب R₁ ، R₂ ، R₃ ، R₄ ، R₅:

100 + 32 + 2 + 4 + 18 = 156 W

I₁ = 5 A , I₂ = 4 A , I₃ = 1 A

▶تجربة حية — تيارات الحلقات — دائرة بثلاثة مصادردائرة أكبر، فيها ثلاثة مصادر. نغيّر المعطيات ونتابع كتابة المعادلات وحلّها خطوة بعد خطوة.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_3sources_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_mesh_3sources_pro

سؤال 9.2:

في الدائرة المبيّنة في الرسم القطب الموجب للمصدر E₂ متجه إلى الأسفل. نكتب المعادلتين بالصيغة القياسية، ونجد تيارات الحلقات والتيار في R₃.

שיטת מתחי צמתים – طريقة جهود العُقد (Node Voltage Method)

تسمى هذه الطريقة في بعض الكتب «التحليل العُقدي».

في طريقة تيارات الحلقات كانت المجاهيل تيارات، وكتبنا معادلات جهود. في طريقة جهود العُقد نعمل بالعكس: المجاهيل هي جهود العُقد، والمعادلات هي معادلات تيارات حسب قانون كيرخهوف للتيار.

العُقدة المرجعية – הגדרת צומת ייחוס:

العُقدة المرجعية (צומת ייחוס): هي عُقدة نختارها ونحدد أن جهدها صفر، ونقيس جهود جميع العُقد الأخرى بالنسبة إليها. نرمز لها برمز الأرضي. يمكن اختيار أي عُقدة، ومن المريح اختيار العُقدة التي يلتقي فيها أكبر عدد من الفروع، وغالبا هي العُقدة السفلى الموصولة بالأقطاب السالبة للمصادر.

جهد العُقدة – הגדרת פוטנציאל (מתח) לכל צומת:

جهد العُقدة (פוטנציאל הצומת): هو فرق الجهد بين العُقدة والعُقدة المرجعية. نرمز له U_A ، U_B ، ... حسب اسم العُقدة. في دائرة فيها n عُقد يوجد n − 1 جهود مجهولة، لأن جهد العُقدة المرجعية معلوم ويساوي صفرا.

إذا عرفنا جهود العُقد نستطيع حساب التيار في كل فرع حسب قانون أوم: التيار في مقاومة يساوي فرق الجهد بين طرفيها مقسوما على قيمتها، ويتجه من الطرف ذي الجهد الأعلى إلى الطرف ذي الجهد الأدنى.

فرع فيه مقاومة فقط بين العُقدة A والعُقدة المرجعية: التيار الخارج من A هو I = U_AR.
فرع فيه مصدر ومقاومة (كما في الرسم): جهد النقطة التي بين المصدر والمقاومة هو E ، ولذلك التيار الداخل إلى A هو I = E − U_AR.
إذا كان القطب الموجب للمصدر متجها إلى العُقدة المرجعية، نعوّض −E بدل E.

فرع فيه مصدر ومقاومة بين العُقدة المرجعية والعُقدة A

معادلات التيارات في العُقد وحلّها – משוואות הזרמים בצמתים ופתרון המשוואות:

نختار العُقدة المرجعية ونسمّي جهود باقي العُقد.
نحدد اتجاها مفترضا للتيار في كل فرع، ونعبّر عن كل تيار بواسطة جهود العُقد.
نكتب لكل عُقدة غير مرجعية قانون كيرخهوف للتيار: مجموع التيارات الداخلة يساوي مجموع التيارات الخارجة.
نحل المعادلات ونجد جهود العُقد.
نعوّض الجهود في تعابير التيارات. تيار سالب يعني أن اتجاهه الحقيقي معاكس للاتجاه المفترض.

مثال 9.5

نحل مرة أخرى دائرة المثال 9.1 ، هذه المرة بطريقة جهود العُقد، ونقارن النتائج.

الحل:

المرحلة 1. في الدائرة عُقدتان. نختار العُقدة B كعُقدة مرجعية، U_B = 0 ، فيبقى مجهول واحد فقط: U_A.

المرحلة 2. نفترض أن التيارين I_R1 و I_R2 يدخلان إلى العُقدة A ، وأن التيار I_R3 يخرج منها (كما في الرسم). نعبّر عن التيارات بواسطة U_A:

I_R1 = E₁ − U_AR₁ = 28 − U_A4

I_R2 = E₂ − U_AR₂ = 14 − U_A2

I_R3 = U_AR₃ = U_A8

المرحلة 3. قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A:

I_R1 + I_R2 = I_R3

28 − U_A4 + 14 − U_A2 = U_A8

المرحلة 4. نضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك، 8 ، ونحل:

2·(28 − U_A) + 4·(14 − U_A) = U_A

56 − 2·U_A + 56 − 4·U_A = U_A

112 = 7·U_A

U_A = 16 V

المرحلة 5. نعوّض U_A في تعابير التيارات:

I_R1 = 28 − 164 = 3 A

I_R2 = 14 − 162 = −1 A

I_R3 = 168 = 2 A

التيار I_R2 سالب: اتجاهه الحقيقي معاكس لما افترضنا، أي أنه يخرج من العُقدة A إلى اليمين. هذه بالضبط نتائج المثال 9.1 : 3 A في R₁ ، 1 A في R₂ ، 2 A في R₃ ، و U_AB = 16 V. الفرق أننا حللنا هنا معادلة واحدة بدل معادلتين.

U_A = 16 V

في دائرة فيها عُقدتان فقط نحصل دائما على معادلة واحدة، ويمكن حلها مرة واحدة بالرموز. النتيجة هي صيغة مباشرة لجهد العُقدة:

جهد العُقدة في دائرة فيها عُقدتان · מתח הצומת במעגל בעל שני צמתים

U_A = E₁R₁ + E₂R₂ + E₃R₃1R₁ + 1R₂ + 1R₃

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U_A	جهد العُقدة A بالنسبة للعُقدة المرجعية	[V]
E₁	جهد المصدر في الفرع 1، وبنفس الطريقة في باقي الفروع: موجب إذا كان قطبه الموجب متجها إلى A ، سالب إذا كان متجها إلى العُقدة المرجعية، وصفر إذا لم يكن في الفرع مصدر	[V]
R₁	المقاومة في الفرع 1، وبنفس الطريقة في باقي الفروع	[Ω]

مثال 9.6

في الدائرة المبيّنة في الرسم ثلاثة مصادر، مصدر في كل فرع، والأقطاب الموجبة كلها متجهة إلى العُقدة A. نجد جهد العُقدة A والتيار في كل فرع.

الحل:

نختار B كعُقدة مرجعية. في الدائرة عُقدتان، لذلك نستخدم الصيغة المباشرة:

U_A = 142 + 73 + 4612 + 13 + 16

U_A = 101 = 10 V

التيارات في الفروع. في الفرع الأوسط يوجد الآن مصدر، ولذلك التيار الخارج من A فيه هو U_A − E₃R₃:

I_R1 = E₁ − U_AR₁ = 14 − 102 = 2 A

I_R2 = E₂ − U_AR₂ = 7 − 103 = −1 A

I_R3 = U_A − E₃R₃ = 10 − 46 = 1 A

فقط المصدر E₁ يزوّد تيارا إلى العُقدة A (2 A). هذا التيار ينقسم بين الفرعين الآخرين: 1 A في الفرع الأيمن و 1 A في الفرع الأوسط، ويدخل إلى المصدرين E₂ و E₃ من القطب الموجب. فحص: 2 = 1 + 1.

U_A = 10 V

سؤال 9.3:

في الدائرة المبيّنة في الرسم العُقدة B هي العُقدة المرجعية. نجد جهد العُقدة A والتيار في كل فرع (حسب الاتجاهات المرسومة).

▶تجربة حية — جهود العُقد — دائرة بمصدريننغيّر المصادر والمقاومات، ونرى كيف يتغير جهد العُقدة وكيف تنقسم التيارات بين الفروع.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_nodal_2sources_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_nodal_2sources_pro

مثال 9.7

نحل دائرة المثال 9.4 بطريقة جهود العُقد. المسار السفلي كله هو العُقدة المرجعية، والمجهولان هما جهدا العُقدتين A و B.

الحل:

في الدائرة ثلاث عُقد: A ، B والعُقدة المرجعية. لذلك يوجد جهدان مجهولان، U_A و U_B ، ونكتب معادلتين (بدل ثلاث معادلات بطريقة تيارات الحلقات).

الفرع العلوي الأوسط يربط بين A و B وفيه المصدر E₂ ، قطبه الموجب متجه إلى B. التيار فيه من A إلى B هو U_A + E₂ − U_BR₂.

العُقدة A: التيار الداخل من الفرع الأيسر يساوي مجموع التيارين الخارجين، في R₄ إلى الأسفل وفي الفرع الأوسط إلى B:

E₁ − U_AR₁ = U_AR₄ + U_A + E₂ − U_BR₂

24 − U_A4 = U_A4 + U_A + 10 − U_B2

نضرب في 4 ونرتّب:

2·U_A − U_B = 2 (1)

العُقدة B: يدخل إليها التيار من الفرع الأوسط والتيار من الفرع الأيمن، ويخرج منها التيار في R₅ إلى الأسفل:

U_A + E₂ − U_BR₂ + E₃ − U_BR₃ = U_BR₅

U_A + 10 − U_B2 + 4 − U_B2 = U_B2

نضرب في 2 ونرتّب:

U_A − 3·U_B = −14 (2)

نحل بطريقة التعويض. من المعادلة (1): U_B = 2·U_A − 2. نعوّض في المعادلة (2):

U_A − 3·(2·U_A − 2) = −14

−5·U_A = −20

U_A = 4 V

U_B = 2 · 4 − 2 = 6 V

التيارات في الفروع:

I_R1 = E₁ − U_AR₁ = 24 − 44 = 5 A

I_R4 = U_AR₄ = 44 = 1 A

I_R2 = U_A + E₂ − U_BR₂ = 4 + 10 − 62 = 4 A

I_R5 = U_BR₅ = 62 = 3 A

I_R3 = E₃ − U_BR₃ = 4 − 62 = −1 A

التيار I_R3 سالب: التيار في الفرع الأيمن يخرج من العُقدة B ويدخل إلى المصدر E₃ من قطبه الموجب. جميع النتائج مطابقة لنتائج المثال 9.4.

U_A = 4 V , U_B = 6 V

▶تجربة حية — جهود العُقد — دائرة بثلاثة مصادردائرة بثلاثة مصادر: نكتب معادلات التيارات في العُقد ونقارن الحل مع القياس في المحاكاة.

⚠

https://fahed-lab.com/methods/circuit_nodal_3sources_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/methods/circuit_nodal_3sources_pro

مقارنة بين الطريقتين – השוואה בין שתי השיטות:

	تيارات الحلقات	جهود العُقد
المجاهيل	تيارات الحلقات المستقلة	جهود العُقد غير المرجعية
القانون الذي نكتب به المعادلات	قانون كيرخهوف للجهد، في كل حلقة	قانون كيرخهوف للتيار، في كل عُقدة
عدد المعادلات	عدد الحلقات المستقلة	عدد العُقد ناقص واحد
دائرة المثال 9.1 (حلقتان، عُقدتان)	معادلتان	معادلة واحدة
دائرة المثال 9.4 (ثلاث حلقات، ثلاث عُقد)	ثلاث معادلات	معادلتان
متى نفضّلها؟	عندما يكون عدد الحلقات صغيرا	عندما يكون عدد العُقد صغيرا، مثلا فروع كثيرة على التوازي بين عُقدتين

تعليمات للحل: قبل أن نبدأ الحل نعدّ الحلقات المستقلة والعُقد، ونختار الطريقة التي تعطي عددا أصغر من المعادلات. مهما كانت الطريقة، نفحص النتيجة بقانون كيرخهوف للتيار أو بميزان القدرة.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
تيار الفرع المشترك بين حلقتين	I_R3 = I₁ − I₂
الصيغة القياسية، الحلقة 1	R₁₁·I₁ − R₁₂·I₂ = E₁₁
الصيغة القياسية، الحلقة 2	−R₂₁·I₁ + R₂₂·I₂ = E₂₂
الحل الجاهز لمعادلتي الحلقتين	I₁ = E₁₁·R₂₂ + E₂₂·R₁₂R₁₁·R₂₂ − R₁₂²
التيار الخارج من العُقدة A في فرع فيه مقاومة فقط	I = U_AR
التيار الداخل إلى العُقدة A في فرع فيه مصدر ومقاومة	I = E − U_AR
جهد العُقدة في دائرة فيها عُقدتان	U_A = E₁R₁ + E₂R₂1R₁ + 1R₂ + 1R₃

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
عُقدة	צומת	Node
فرع	ענף	Branch
حلقة	חוג	Loop / mesh
حلقة مستقلة	חוג בלתי תלוי	Independent loop
طريقة تيارات الحلقات (التحليل الحلقي)	שיטת זרמי חוגים	Mesh current method
تيار الحلقة	זרם חוג	Mesh current
فرع مشترك	ענף משותף	Shared branch
المقاومة الذاتية	התנגדות עצמית	Self resistance
المقاومة المشتركة	התנגדות משותפת	Mutual resistance
الصيغة القياسية	הצורה הסטנדרטית	Standard form
المحدِّد	דטרמיננטה	Determinant
طريقة جهود العُقد (التحليل العُقدي)	שיטת מתחי צמתים	Node voltage method
العُقدة المرجعية	צומת ייחוס	Reference node
جهد العُقدة	פוטנציאל הצומת	Node potential
معادلة	משוואה	Equation
مجهول	נעלם	Unknown
طريقة التعويض	שיטת ההצבה	Substitution
طريقة الحذف	שיטת השוואת המקדמים	Elimination
قانون كيرخهوف للجهد	חוק המתחים של קירכהוף	KVL
قانون كيرخهوف للتيار	חוק הזרמים של קירכהוף	KCL
ميزان القدرة	מאזן הספקים	Power balance

أسئلة للتمرين:

نحل كل زوج من المعادلات، مرة بطريقة التعويض ومرة بطريقة الحذف:
أ. 3·I₁ + 2·I₂ = 16 و 5·I₁ − 4·I₂ = 12.
ب. 7·I₁ − 3·I₂ = 5 و −3·I₁ + 5·I₂ = 9.

الإجابات: أ. I₁ = 4 A ، I₂ = 2 A. ب. I₁ = 2 A ، I₂ = 3 A

في الدائرة المبيّنة في الرسم:
أ. نكتب معادلتي الحلقتين.
ب. نجد تيارات الحلقات.
ج. نجد التيار في R₃ والجهد U_AB.
د. ماذا تعني الإشارة السالبة للتيار I₂؟

الإجابات: 7·I₁ − 2·I₂ = 30 ، −2·I₁ + 12·I₂ = −20 · I₁ = 4 A ، I₂ = −1 A ، I_R3 = 5 A ، U_AB = 10 V. د. الاتجاه الحقيقي للتيار في الحلقة اليمنى معاكس لاتجاه عقارب الساعة

في الدائرة المبيّنة في الرسم القطب الموجب للمصدر E₂ متجه إلى الأسفل. نكتب المعادلتين بالصيغة القياسية ونجد تيارات الحلقات، التيار في R₃ والجهد U_AB.

الإجابات: 9·I₁ − 6·I₂ = 24 ، −6·I₁ + 18·I₂ = 12 · I₁ = 4 A ، I₂ = 2 A ، I_R3 = 2 A ، U_AB = 12 V

في الدائرة المبيّنة في الرسم:
أ. نجد تيارات الحلقات.
ب. نحسب القدرة المتبددة في كل مقاومة.
ج. أي مصدر يزوّد قدرة وأي مصدر يستهلك قدرة؟ نتحقق من ميزان القدرة.

الإجابات: أ. I₁ = 2 A ، I₂ = 1 A. ب. P₁ = 12 W ، P₂ = 2 W ، P₃ = 10 W. ج. E₁ يزوّد 32 W ، و E₂ يستهلك 8 W

في الدائرة المبيّنة في الرسم العُقدة B هي العُقدة المرجعية.
أ. نكتب معادلة التيارات في العُقدة A.
ب. نجد U_A.
ج. نجد التيار في كل فرع، مقداره واتجاهه.

الإجابات: U_A = 24 V · I_R1 = 4 A ، I_R2 = −2 A ، I_R3 = 2 A

في الدائرة المبيّنة في الرسم القطب الموجب للمصدر E₂ متجه إلى العُقدة المرجعية. نجد بطريقة جهود العُقد الجهد U_A والتيار في كل فرع.

الإجابات: U_A = 10 V · I_R1 = 5 A ، I_R2 = −3 A ، I_R3 = 2 A

في الدائرة المبيّنة في الرسم ثلاثة مصادر. نجد بواسطة الصيغة المباشرة جهد العُقدة A ، ثم التيار في كل فرع. أي المصادر تزوّد قدرة؟

الإجابات: U_A = 10 V · I_R1 = 4 A ، I_R2 = −1 A ، I_R3 = 3 A · المصادر التي تزوّد قدرة: E₁

نحل الدائرة المبيّنة في الرسم بالطريقتين:
أ. بطريقة تيارات الحلقات.
ب. بطريقة جهود العُقد.
ج. نتحقق أن الطريقتين تعطيان نفس التيار في كل مقاومة.

الإجابات: أ. I₁ = 5 A ، I₂ = 1 A. ب. U_A = 20 V. ج. في R₁: 5 A ، في R₂: 1 A ، في R₃: 4 A

في الدائرة المبيّنة في الرسم ثلاث حلقات.
أ. نكتب المعادلات الثلاث بالصيغة القياسية.
ب. نجد تيارات الحلقات.
ج. نجد التيار في R₄ وفي R₅.
د. نتحقق من ميزان القدرة.

الإجابات: ب. I₁ = 4 A ، I₂ = 2 A ، I₃ = −1 A. ج. I_R4 = 2 A ، I_R5 = 3 A. د. 74 W

10.

نحل دائرة السؤال السابق بطريقة جهود العُقد: نختار المسار السفلي كعُقدة مرجعية، نكتب معادلة لكل واحدة من العُقدتين A و B ، ونجد U_A و U_B. ثم نقارن التيار في R₄ وفي R₅ مع نتائج السؤال السابق.

الإجابات: U_A = 4 V ، U_B = 9 V · I_R4 = 2 A ، I_R5 = 3 A

11.

أمامنا دائرة فيها 4 عُقد و 6 فروع و 3 حلقات مستقلة.
أ. كم معادلة نحتاج بطريقة تيارات الحلقات؟
ب. كم معادلة نحتاج بطريقة جهود العُقد؟
ج. دائرة أخرى فيها 5 فروع موصولة كلها على التوازي بين عُقدتين. أي طريقة نختار؟ ولماذا؟

الإجابات: أ. 3 معادلات. ب. 3 معادلات. ج. جهود العُقد: معادلة واحدة فقط، مقابل 4 معادلات بتيارات الحلقات

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

9.1 16·I₁ − 12·I₂ = 20 ، −12·I₁ + 14·I₂ = −10 · I₁ = 2 A ، I₂ = 1 A ، I_R3 = 1 A

9.2 5·I₁ − 3·I₂ = 12 ، −3·I₁ + 15·I₂ = 6 · I₁ = 3 A ، I₂ = 1 A ، I_R3 = 2 A

9.3 U_A = 6 V · I_R1 = 1 A ، I_R2 = 2 A ، I_R3 = 3 A

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 9

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، نموذج 845381 (מערכות חשמל)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 4 — دائرة تيّار مستمرّ: مصدران، شبكة ذات عقدتين

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّاران I₁, I₂	I₁ ≈ 0.206 A ; I₂ ≈ 0.627 A
البند ب	القدرة على R₃	P(R₃) ≈ 41.6 W
البند ج	الجهد على R₄	V(R₄) ≈ 12.5 V

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

بجروت 2025 السؤال 4 — مصدران، شبكة ذات عقدتين

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّارات I₁, I₂, I₃	I₁ ≈ 0.612 A ; I₂ ≈ -0.177 A ; I₃ ≈ 0.788 A
البند ب	القدرة الّتي يزوّدها المصدر E₁	P(E₁) ≈ 12.85 W
البند ج	الجهد بين A وB	U_AB ≈ 11.82 V

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

بجروت 2024 السؤال 4 — دائرة مع مصدرَي جهد، طريقة جهود العقد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار عبر كلّ مقاوم من المقاومات	I₁ = 0.3 A ; I₂ = 1.5 A ; I₃ = 1.2 A
البند ب	الجهد على المقاوم R₃	U_R₃ = 6 V
البند ج	القدرة التي يزوّدها مصدر الجهد E₁	P(E₁) = 4.5 W

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

بجروت 2023 السؤال 2 — مصدران، طريقة جهود العقد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّارات في كلّ مقاوم من المقاومات	I(R₁) = 0.17 A ; I(R₂) = 0.355 A ; I(R₃) = 0.71 A ; I(R₄) = 0.895 A
البند ب	الجهد بين النقطتين A وB	U_AB = 53.7 V
البند ج	القدرة المتولّدة على R₃	P(R₃) = 15.12 W

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

بجروت 2021 (موعد خاص) السؤال 2 — دائرة مع مصدرين (طريقة الحلقات)

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّاران I₁ وI₂	I₁ = -1 A ; I₂ = 2 A
البند ب(1)	التيّار عبر المقاومة R₃	I₃ = 1 A
البند ب(2)	اتّجاه التيّار في المقاومة R₃	I₃ = 1 A (A → B)
البند ج	القدرة المستهلكة على المقاومة R₃	P₃ = 6 W

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2021-makeup

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 20 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)