الفصل 15

الأعداد المركّبة والمتجهات الطورية

מספרים מרוכבים ופאזורים

الصف الحادي عشر · 10 ساعات تعليمية

في التيار المستمر يكفي عدد واحد لوصف كل مقدار: الجهد 12 V ، المقاومة 100 Ω. في التيار المتناوب لكل جهد ولكل تيار مقدار وزاوية طور، وكل عنصر في الدائرة يحدّ من التيار ويزيح طوره أيضا. مقداران يحتاجان إلى عددين، والعدد المركّب يحمل عددين معا. في هذا الفصل نتعلم كتابة العدد المركّب بصيغتين، ننفذ عليه العمليات الحسابية الأربع، ثم نمثل به الجهود والتيارات الجيبية.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

العدد المركّب يُكتب بالصيغة الديكارتية a + jb أو بالصيغة القطبية r∠θ ، وأنه يمثَّل بنقطة في المستوى المركّب.
ننتقل من الصيغة الديكارتية إلى القطبية وبالعكس، مع الانتباه إلى الربع الذي يقع فيه العدد.
نجمع ونطرح الأعداد المركّبة بالصيغة الديكارتية، ونضرب ونقسم بالصيغة القطبية.
نمثل الإشارة الجيبية بمتجه طوري، ونكتب المتجه الطوري كعدد مركّب مقداره القيمة الفعالة وزاويته زاوية الطور.
نجمع جهودا وتيارات جيبية لها نفس التردد بواسطة الأعداد المركّبة.

ייצוג קרטזי וקוטבי של מספרים מרוכבים – الصيغة الديكارتية والصيغة القطبية للأعداد المركّبة (Cartesian and Polar Forms)

الوحدة التخيلية – היחידה המדומה:

لا يوجد عدد حقيقي مربّعه سالب. لذلك نُعرّف عددا جديدا، يسمى الوحدة التخيلية (היחידה המדומה)، مربّعه يساوي −1. في الرياضيات يرمز له بالحرف i ، أما في الكهرباء فنرمز له بالحرف j ، لأن الحرف i محجوز للتيار:

j² = −1

j = −1

العدد المركّب (מספר מרוכב): هو عدد مكوّن من جزأين: جزء حقيقي (חלק ממשי) وجزء تخيلي (חלק מדומה). الجزء التخيلي هو العدد المضروب في j.

الصيغة الديكارتية والمستوى المركّب – ייצוג קרטזי והמישור המרוכב:

الصيغة الديكارتية تسمى في بعض الكتب «الصيغة الجبرية» أو «التمثيل الجبري».

الصيغة الديكارتية · ייצוג קרטזי

z = a + jb

الرمز	المعنى	وحدة القياس
z	العدد المركّب	—
a	الجزء الحقيقي	—
b	الجزء التخيلي	—
j	الوحدة التخيلية، j² = −1	—

نمثل العدد المركّب بنقطة في المستوى المركّب (המישור המרוכב): المحور الأفقي هو المحور الحقيقي Re ، والمحور العمودي هو المحور التخيلي Im.

العدد z = 4 + j 3 في المستوى المركّب: الجزآن a و b ، المقدار r والزاوية θ

في الصيغة الديكارتية نصل إلى النقطة بخطوتين: نتحرك a على المحور الحقيقي، ثم b بالاتجاه العمودي. يمكن وصف نفس النقطة بطريقة أخرى: بُعدها عن نقطة الأصل r ، والزاوية θ بين الخط الواصل إليها وبين المحور الحقيقي الموجب.

الصيغة القطبية – ייצוג קוטבי:

الصيغة القطبية · ייצוג קוטבי

z = r∠θ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
r	مقدار العدد المركّب (גודל / ערך מוחלט): بُعد النقطة عن نقطة الأصل. دائما موجب	—
θ	زاوية العدد المركّب (זווית): تقاس من المحور الحقيقي الموجب، عكس اتجاه عقارب الساعة	[°]

ملاحظة: الزاوية الموجبة تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة، والزاوية السالبة تقاس مع اتجاه عقارب الساعة. نكتب الزاوية في المجال من −180° إلى +180°. الرمز ∠ يُقرأ «بزاوية».

الانتقال من الصيغة الديكارتية إلى القطبية – מעבר מקרטזי לקוטבי:

الجزآن a و b والمقدار r تكوّن مثلثا قائم الزاوية، ولذلك نستخدم نظرية فيثاغورس ودالة الظل:

من الديكارتية إلى القطبية · מקרטזי לקוטבי

r = a² + b²

θ = tan⁻¹(ba)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
r	مقدار العدد المركّب	—
θ	زاوية العدد المركّب	[°]
a , b	الجزء الحقيقي والجزء التخيلي	—

مثال 15.1

نكتب العدد المركّب z = 4 + j 3 بالصيغة القطبية.

الحل:

المعطيات: a = 4 ، b = 3. العدد يقع في الربع الأول.

r = a² + b² = 4² + 3² = 5

θ = tan⁻¹(ba) = tan⁻¹(34) = 36.87°

z = 5∠36.87°

الانتباه إلى الربع – קביעת הרביע:

الآلة الحاسبة تُرجع قيمة tan⁻¹ في المجال من −90° إلى +90° فقط، أي كأن العدد يقع دائما في الربع الأول أو الرابع. عندما يكون الجزء الحقيقي a سالبا، يقع العدد في الربع الثاني أو الثالث، وعلينا تصحيح الزاوية:

الربع	إشارة a	إشارة b	الزاوية θ
الأول	موجبة	موجبة	θ = tan⁻¹(ba)
الثاني	سالبة	موجبة	θ = tan⁻¹(ba) + 180°
الثالث	سالبة	سالبة	θ = tan⁻¹(ba) − 180°
الرابع	موجبة	سالبة	θ = tan⁻¹(ba)

مثال 15.2

نكتب بالصيغة القطبية:
أ. z₁ = −3 + j 4 .
ب. z₂ = −6 − j 8 .
ج. z₃ = 5 − j 12 .

الحل:

نرسم الأعداد الثلاثة في المستوى المركّب حتى نرى في أي ربع يقع كل واحد منها.

أ. العدد z₁ في الربع الثاني (a < 0 , b > 0) ، لذلك نضيف 180° :

r₁ = (−3)² + 4² = 5

θ₁ = tan⁻¹(4−3) + 180° = −53.13° + 180° = 126.87°

ب. العدد z₂ في الربع الثالث (a < 0 , b < 0) ، لذلك نطرح 180° :

r₂ = (−6)² + (−8)² = 10

θ₂ = tan⁻¹(−8−6) − 180° = 53.13° − 180° = −126.87°

ج. العدد z₃ في الربع الرابع (a > 0) ، ولا حاجة إلى تصحيح:

r₃ = 5² + (−12)² = 13

θ₃ = tan⁻¹(−125) = −67.38°

z₁ = 5∠126.87°

z₂ = 10∠−126.87°

z₃ = 13∠−67.38°

انتبه: قبل كل تحويل نرسم العدد رسما سريعا في المستوى المركّب، أو على الأقل نفحص إشارة الجزء الحقيقي. نسيان إضافة 180° عندما يكون a سالبا هو الخطأ الأكثر شيوعا في هذا الفصل.

الانتقال من الصيغة القطبية إلى الديكارتية – מעבר מקוטבי לקרטזי:

من القطبية إلى الديكارتية · מקוטבי לקרטזי

a = r · cosθ

b = r · sinθ

z = r·cosθ + j·r·sinθ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a	الجزء الحقيقي	—
b	الجزء التخيلي	—
r , θ	مقدار العدد المركّب وزاويته	—

مثال 15.3

نكتب بالصيغة الديكارتية:
أ. z₁ = 10∠60° .
ب. z₂ = 20∠−135° .

الحل:

أ. نحسب الجزء الحقيقي والجزء التخيلي:

a = 10 · cos(60°) = 5

b = 10 · sin(60°) = 8.66

z₁ = 5 + j 8.66

ب. الزاوية −135° تقع في الربع الثالث، ولذلك نتوقع أن يكون الجزآن سالبين:

a = 20 · cos(−135°) = −14.14

b = 20 · sin(−135°) = −14.14

z₂ = −14.14 − j 14.14

أعداد خاصة. العدد الحقيقي يقع على المحور الحقيقي، والعدد التخيلي يقع على المحور التخيلي. نحفظ الحالات التالية، لأننا سنستخدمها كثيرا في الفصل القادم:

الصيغة الديكارتية	5	j 5	−5	−j 5
الصيغة القطبية	5∠0°	5∠90°	5∠180°	5∠−90°
موقعه في المستوى	المحور الحقيقي الموجب	المحور التخيلي الموجب	المحور الحقيقي السالب	المحور التخيلي السالب

سؤال 15.1: أ. نكتب بالصيغة القطبية: z₁ = 8 + j 6 و z₂ = −5 + j 5 .
ب. نكتب بالصيغة الديكارتية: z₃ = 12∠−30° .

الآلة الحاسبة: في الآلات الحاسبة العلمية طريقتان شائعتان للتحويل، ومن المهم أن نتدرب على آلتنا قبل الامتحان:
1. الدالتان Pol و Rec : الدالة Pol(a , b) تحوّل إلى الصيغة القطبية وتعطي r و θ ، والدالة Rec(r , θ) تحوّل إلى الصيغة الديكارتية وتعطي a و b.
2. وضع الأعداد المركّبة (يسمى غالبا CMPLX): نُدخل العدد بإحدى الصيغتين، ونستخدم المفتاح ∠ للصيغة القطبية، ثم نطلب عرض النتيجة بالصيغة الأخرى. في هذا الوضع يمكن تنفيذ الجمع والطرح والضرب والقسمة مباشرة. الآلة تكتب i بدل j.
في الحالتين يجب أن تكون الآلة في وضع الدرجات DEG. الدالة Pol ووضع الأعداد المركّبة يعطيان الزاوية في الربع الصحيح، ولا حاجة فيهما إلى تصحيح 180°.

חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מספרים מרוכבים – جمع، طرح، ضرب وقسمة الأعداد المركّبة (Complex Arithmetic)

لكل عملية حسابية صيغة مريحة. القاعدة التي نحفظها: نجمع ونطرح بالصيغة الديكارتية، نضرب ونقسم بالصيغة القطبية.

الجمع والطرح – חיבור וחיסור:

الجمع والطرح بالصيغة الديكارتية · חיבור וחיסור

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + j(b₁ + b₂)

z₁ − z₂ = (a₁ − a₂) + j(b₁ − b₂)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
a₁ , b₁	الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للعدد الأول z₁	—
a₂ , b₂	الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للعدد الثاني z₂	—

أي نجمع الجزء الحقيقي مع الجزء الحقيقي، والجزء التخيلي مع الجزء التخيلي، كل جزء على انفراد.

مثال 15.4

معطى z₁ = 6 + j 2 و z₂ = 2 + j 5 . نحسب z₁ + z₂ و z₁ − z₂ .

الحل:

z₁ + z₂ = (6 + 2) + j(2 + 5) = 8 + j 7

z₁ − z₂ = (6 − 2) + j(2 − 5) = 4 − j 3

في المستوى المركّب، جمع عددين مركّبين هو جمع متجهين: نرسم المتجه الثاني من رأس المتجه الأول، والمحصلة z = z₁ + z₂ (بالأخضر) هي المتجه من نقطة الأصل إلى رأس المتجه الثاني.

ملاحظة: لا يمكن جمع عددين بالصيغة القطبية مباشرة: لا نجمع المقادير ولا نجمع الزوايا. إذا أُعطي العددان بالصيغة القطبية نحوّلهما أولا إلى الصيغة الديكارتية، نجمع، ثم نحوّل النتيجة إلى الصيغة القطبية إذا لزم.

مثال 15.5

معطى z₁ = 10∠30° و z₂ = 6∠−90° . نحسب z₁ + z₂ ونكتب النتيجة بالصيغة القطبية.

الحل:

الخطوة 1: نحوّل العددين إلى الصيغة الديكارتية:

z₁ = 10·cos(30°) + j·10·sin(30°) = 8.66 + j 5

z₂ = −j 6

الخطوة 2: نجمع كل جزء على انفراد:

z₁ + z₂ = (8.66 + 0) + j(5 − 6) = 8.66 − j 1

الخطوة 3: نحوّل النتيجة إلى الصيغة القطبية. العدد في الربع الرابع:

r = 8.66² + (−1)² = 8.72

θ = tan⁻¹(−18.66) = −6.59°

z₁ + z₂ = 8.72∠−6.59°

الضرب والقسمة – כפל וחילוק:

الضرب والقسمة بالصيغة القطبية · כפל וחילוק

z₁ · z₂ = r₁·r₂ ∠(θ₁ + θ₂)

z₁z₂ = r₁r₂ ∠(θ₁ − θ₂)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
r₁ , θ₁	مقدار العدد الأول z₁ وزاويته	—
r₂ , θ₂	مقدار العدد الثاني z₂ وزاويته	—

في الضرب: نضرب المقادير ونجمع الزوايا.
في القسمة: نقسم المقادير ونطرح زاوية المقام من زاوية البسط.

مثال 15.6

معطى z₁ = 12∠40° و z₂ = 3∠−25° . نحسب حاصل الضرب z₁ · z₂ وحاصل القسمة z₁z₂ .

الحل:

z₁ · z₂ = 12 · 3 ∠(40° + (−25°)) = 36∠15°

z₁z₂ = 123 ∠(40° − (−25°)) = 4∠65°

z₁ · z₂ = 36∠15°

الضرب بالصيغة الديكارتية. يمكن أيضا أن نضرب بالصيغة الديكارتية: نفتح الأقواس كما في الجبر، ونعوّض j² = −1 :

مثال 15.7

نحسب حاصل الضرب (2 + j 3) · (4 − j) .

الحل:

نضرب كل حد في القوس الأول بكل حد في القوس الثاني:

(2 + j 3)·(4 − j) = 8 − j 2 + j 12 − j²·3

نعوّض j² = −1 ، فيصبح الحد الأخير +3 ، ثم نجمع الأجزاء الحقيقية معا والأجزاء التخيلية معا:

= (8 + 3) + j(12 − 2) = 11 + j 10

(2 + j 3)·(4 − j) = 11 + j 10

العدد المرافق (מספר צמוד): مرافق العدد z = a + jb هو العدد z^∗ = a − jb : نفس الجزء الحقيقي، وجزء تخيلي بإشارة معاكسة. بالصيغة القطبية: مرافق r∠θ هو r∠−θ. حاصل ضرب العدد في مرافقه عدد حقيقي: z · z^∗ = a² + b² = r².

القسمة بالصيغة الديكارتية. نضرب البسط والمقام في مرافق المقام، فيصبح المقام عددا حقيقيا:

مثال 15.8

نحسب 503 + j 4 بطريقتين.

الحل:

الطريقة الأولى، بالصيغة الديكارتية: نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (3 − j 4) :

503 + j 4 = 50·(3 − j 4)(3 + j 4)·(3 − j 4) = 150 − j 2003² + 4² = 150 − j 20025 = 6 − j 8

الطريقة الثانية، بالصيغة القطبية: نحوّل المقام، 3 + j 4 = 5∠53.13° ، ثم نقسم:

50∠0°5∠53.13° = 505 ∠(0° − 53.13°) = 10∠−53.13°

النتيجتان متساويتان: 10∠−53.13° = 6 − j 8 .

503 + j 4 = 6 − j 8

الضرب في j والقسمة على j – כפל ב-j וחילוק ב-j:

بما أن j = 1∠90° ، فإن ضرب عدد مركّب في j لا يغيّر مقداره، وإنما يديره 90° عكس اتجاه عقارب الساعة. القسمة على j تديره 90° مع اتجاه عقارب الساعة (المتجه الأخضر في الرسم).

j · r∠θ = r∠(θ + 90°)

r∠θj = r∠(θ − 90°)

1j = −j

ملاحظة: لماذا 1j = −j ؟ نضرب البسط والمقام في j : 1j = jj² = j−1 = −j. سنحتاج هذه النتيجة في الفصل القادم، عند حساب مفاعلة المكثف.

عمليات مركّبة – פעולות משולבות:

في دوائر التيار المتناوب نحتاج كثيرا إلى حساب تعبير فيه ضرب في البسط وجمع في المقام، كما في قانون مقاومتين على التوازي. نحسب المقام بالصيغة الديكارتية، نحوّله إلى الصيغة القطبية، ثم نضرب ونقسم بالصيغة القطبية:

مثال 15.9

معطى z₁ = 30 + j 40 و z₂ = −j 50 . نحسب z = z₁ · z₂z₁ + z₂ .

الحل:

الخطوة 1: المقام مجموع، فنحسبه بالصيغة الديكارتية ثم نحوّله إلى القطبية:

z₁ + z₂ = 30 + j(40 − 50) = 30 − j 10 = 31.62∠−18.43°

الخطوة 2: البسط حاصل ضرب، فنحوّل العددين إلى الصيغة القطبية ونضرب:

z₁ = 30 + j 40 = 50∠53.13°

z₂ = −j 50 = 50∠−90°

z₁ · z₂ = 50 · 50 ∠(53.13° + (−90°)) = 2500∠−36.87°

الخطوة 3: نقسم البسط على المقام:

z = 2500∠−36.87°31.62∠−18.43° = 79.06∠−18.43°

وبالصيغة الديكارتية: z = 75 − j 25 .

z = 79.06∠−18.43°

سؤال 15.2: أ. معطى z₁ = 8∠60° و z₂ = 2∠15° . نحسب z₁ · z₂ و z₁z₂ .
ب. معطى z₃ = 5 − j 2 و z₄ = −1 + j 6 . نحسب z₃ + z₄ و z₃ − z₄ .

سؤال 15.3: معطى z₁ = 20∠0° و z₂ = 20∠90° . نحسب z₁ + z₂ بالصيغة القطبية. هل مقدار المجموع يساوي مجموع المقدارين؟

ייצוג פאזורים באמצעות מספרים מרוכבים – تمثيل المتجهات الطورية بواسطة الأعداد المركّبة (Phasors as Complex Numbers)

المتجه الطوري – פאזור:

نتخيل متجها طوله U_m يدور حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة بسرعة زاوية ثابتة ω. ارتفاع رأس المتجه فوق المحور الأفقي في كل لحظة يساوي U_m·sin(ωt) ، أي أنه يرسم مع الزمن موجة جيبية كاملة: دورة كاملة للمتجه تقابل دورة كاملة للإشارة.

متجه يدور بسرعة زاوية ω : ارتفاع رأسه في كل لحظة هو القيمة اللحظية للإشارة الجيبية

المتجه الطوري (פאזור): هو متجه يمثل إشارة جيبية: طوله يمثل مقدار الإشارة، وزاويته مع المحور الأفقي تمثل زاوية الطور φ للإشارة. نرسم المتجه كما يظهر في اللحظة t = 0.

في دائرة واحدة جميع الجهود والتيارات لها نفس التردد، ولذلك تدور جميع المتجهات الطورية معا بنفس السرعة، والزوايا بينها لا تتغير. لهذا يكفي أن نرسمها «مجمّدة» في لحظة واحدة. الرسم الذي يجمع المتجهات الطورية يسمى المخطط الطوري (דיאגרמה פאזורית).

المتجه الطوري كعدد مركّب – הפאזור כמספר מרוכב:

المتجه الطوري له مقدار وزاوية، تماما مثل العدد المركّب بالصيغة القطبية. لذلك نكتب كل متجه طوري كعدد مركّب. اتُّفق على أن يكون مقدار المتجه الطوري القيمة الفعالة للإشارة، لأنها القيمة التي تعرضها أجهزة القياس والتي نحسب بها القدرة:

من الإشارة الجيبية إلى المتجه الطوري · ייצוג פאזורי

u(t) = U_m·sin(ωt + φ)

U̲ = U∠φ

U = U_m2

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U̲	المتجه الطوري للجهد، وهو عدد مركّب	[V]
U	القيمة الفعالة للجهد: مقدار المتجه الطوري	[V]
φ	زاوية الطور: زاوية المتجه الطوري	[°]
U_m	القيمة العظمى للجهد	[V]

ملاحظة: نضع خطا تحت الحرف للدلالة على أن المقدار عدد مركّب، له مقدار وزاوية: U̲ ، I̲. الحرف بدون خط، U أو I ، هو المقدار فقط، أي القيمة الفعالة التي يعرضها جهاز القياس. في كتب أخرى يُكتب العدد المركّب بنقطة أو بخط فوق الحرف، أو بحرف غامق. التردد لا يظهر في المتجه الطوري، ولذلك نذكره على انفراد.

مثال 15.10

معطى الجهد u(t) = 141.42·sin(314t + 30°) V . نكتب المتجه الطوري للجهد بالصيغة القطبية وبالصيغة الديكارتية.

الحل:

نحسب القيمة الفعالة:

U = U_m2 = 141.422 = 100 V

زاوية الطور φ = 30° ، ولذلك:

U̲ = 100∠30° V

U̲ = 100·cos(30°) + j·100·sin(30°) = (86.6 + j 50) V

U̲ = 100∠30° V

مثال 15.11

المتجه الطوري لتيار تردده 50 Hz هو I̲ = (3 − j 4) A . نكتب الصيغة الرياضية للتيار i(t) .

الحل:

الخطوة 1: نحوّل إلى الصيغة القطبية. العدد في الربع الرابع:

I = 3² + (−4)² = 5 A

φ = tan⁻¹(−43) = −53.13°

I̲ = 5∠−53.13° A

الخطوة 2: مقدار المتجه الطوري هو القيمة الفعالة، فنحسب القيمة العظمى:

I_m = 2 · I = 2 · 5 = 7.07 A

الخطوة 3: التردد الزاوي ω = 2πf = 2π · 50 ≈ 314 rad/s ، ونكتب الصيغة:

i(t) = 7.07·sin(314t − 53.13°) A

سؤال 15.4: أ. نكتب المتجه الطوري للتيار i(t) = 10·sin(314t − 60°) A بالصيغة القطبية.
ب. المتجه الطوري لجهد هو U̲ = 230∠45° V . ما هي القيمة العظمى للجهد؟

قراءة المخطط الطوري – קריאת הדיאגרמה הפאזורית:

طول كل متجه يتناسب مع القيمة الفعالة، وزاويته تقاس من المحور الأفقي، عكس اتجاه عقارب الساعة.
المتجهات تدور عكس اتجاه عقارب الساعة. المتجه الذي يقع أمام الآخر في اتجاه الدوران هو المتقدم.
الزاوية بين المتجهين هي فرق الطور φ بين الإشارتين.

في الرسم: U̲ = 100∠30° V و I̲ = 60∠−25° A . الجهد يتقدم على التيار بزاوية φ = 30° − (−25°) = 55° .

جمع إشارات جيبية بواسطة المتجهات الطورية – חיבור אותות סינוסואידליים באמצעות פאזורים:

قانونا كيرخهوف صحيحان في التيار المتناوب في كل لحظة. لكن جمع موجتين جيبيتين نقطة بعد نقطة عمل طويل. بدل ذلك نجمع المتجهين الطوريين كعددين مركّبين: المجموع هو المتجه الطوري للإشارة المحصلة، ولها نفس التردد.

انتبه: في التيار المتناوب لا نجمع القيم الفعالة جمعا عدديا عاديا، إلا إذا كانت الإشارات متوافقة في الطور. نجمع دائما المتجهات الطورية، أي الأعداد المركّبة.

مثال 15.12

جهدان جيبيان لهما نفس التردد موصولان على التوالي: U̲₁ = 100∠60° V و U̲₂ = 60∠−15° V . نحسب الجهد الكلي U̲ = U̲₁ + U̲₂ ، ونرسم المخطط الطوري.

الحل:

الخطوة 1: نحوّل الجهدين إلى الصيغة الديكارتية:

U̲₁ = 100·cos(60°) + j·100·sin(60°) = (50 + j 86.6) V

U̲₂ = 60·cos(−15°) + j·60·sin(−15°) = (57.96 − j 15.53) V

الخطوة 2: نجمع:

U̲ = (50 + 57.96) + j(86.6 − 15.53) = (107.96 + j 71.07) V

الخطوة 3: نحوّل إلى الصيغة القطبية:

U = 107.96² + 71.07² = 129.25 V

φ = tan⁻¹(71.07107.96) = 33.36°

القيمة الفعالة للجهد الكلي 129.25 V ، وليست 100 + 60 = 160 V . في المخطط الطوري رسمنا U̲₂ من رأس U̲₁ ، والمحصلة U̲ تغلق المثلث.

U̲ = 129.25∠33.36° V

سؤال 15.5: يدخل إلى عُقدة تياران لهما نفس التردد: I̲₁ = 3∠0° A و I̲₂ = 4∠−90° A . ما هو التيار الكلي I̲ = I̲₁ + I̲₂ الخارج من العُقدة؟

نظرة إلى الأمام: قانون أوم بالأعداد المركّبة – מבט קדימה: חוק אום במספרים מרוכבים:

عندما نقسم المتجه الطوري للجهد على المتجه الطوري للتيار نحصل على عدد مركّب واحد: مقداره يبيّن كم يحدّ العنصر من التيار، وزاويته تبيّن بكم يزيح الطور بين الجهد والتيار. هذا العدد يسمى الممانعة (עכבה) Z̲ ، وهو موضوع الفصل القادم.

مثال 15.13

الجهد على حمل هو U̲ = 230∠0° V والتيار المار فيه I̲ = 4.6∠−36.87° A . نحسب Z̲ = U̲I̲ بالصيغتين.

الحل:

Z̲ = U̲I̲ = 230∠0°4.6∠−36.87° = 2304.6 ∠(0° − (−36.87°)) = 50∠36.87° Ω

Z̲ = 50·cos(36.87°) + j·50·sin(36.87°) = (40 + j 30) Ω

المقدار 50 Ω هو النسبة بين القيمتين الفعالتين للجهد وللتيار، والزاوية 36.87° هي فرق الطور بينهما: الجهد يتقدم على التيار.

Z̲ = 50∠36.87° Ω

▶تجربة حية — مختبر الأعداد المركّبة والمتجهات الطوريةنحرّك نقطة في المستوى المركّب ونرى الصيغتين تتغيران معا، وننفذ العمليات الأربع ونشاهدها على المستوى.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
الوحدة التخيلية	j² = −1
الصيغة الديكارتية	z = a + jb
الصيغة القطبية	z = r∠θ
من الديكارتية إلى القطبية: المقدار	r = a² + b²
من الديكارتية إلى القطبية: الزاوية (مع فحص الربع)	θ = tan⁻¹(ba)
من القطبية إلى الديكارتية	z = r·cosθ + j·r·sinθ
الجمع (بالصيغة الديكارتية)	z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + j(b₁ + b₂)
الضرب (بالصيغة القطبية)	z₁ · z₂ = r₁·r₂ ∠(θ₁ + θ₂)
القسمة (بالصيغة القطبية)	z₁z₂ = r₁r₂ ∠(θ₁ − θ₂)
المتجه الطوري	U̲ = U∠φ = U_m2 ∠φ

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
العدد المركّب	מספר מרוכב	Complex number
الوحدة التخيلية	היחידה המדומה	Imaginary unit
الجزء الحقيقي	חלק ממשי	Real part
الجزء التخيلي	חלק מדומה	Imaginary part
المستوى المركّب	המישור המרוכב	Complex plane
المحور الحقيقي / التخيلي	הציר הממשי / המדומה	Real / imaginary axis
الصيغة الديكارتية (الجبرية)	ייצוג קרטזי	Cartesian (rectangular) form
الصيغة القطبية	ייצוג קוטבי	Polar form
المقدار	גודל / ערך מוחלט	Magnitude
الزاوية	זווית	Angle
الربع	רביע	Quadrant
العدد المرافق	מספר צמוד	Complex conjugate
المتجه الطوري	פאזור	Phasor
المخطط الطوري	דיאגרמה פאזורית	Phasor diagram
القيمة الفعالة	ערך יעיל	Effective (RMS) value
الممانعة (المعاوقة)	עכבה	Impedance

أسئلة للتمرين:

نحدد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لكل عدد، ونرسمه في المستوى المركّب:
أ. z₁ = 5 + j 2 .
ب. z₂ = −3 + j 4 .
ج. z₃ = −j 6 .
د. z₄ = −7 .

الإجابات: أ. a = 5 , b = 2 (الربع الأول). ب. a = −3 , b = 4 (الربع الثاني). ج. a = 0 , b = −6 (المحور التخيلي السالب). د. a = −7 , b = 0 (المحور الحقيقي السالب)

نكتب بالصيغة القطبية:
أ. 12 + j 5 .
ب. −8 + j 6 .
ج. −4 − j 4 .
د. 9 − j 12 .

الإجابات: أ. 13∠22.62° . ب. 10∠143.13° . ج. 5.66∠−135° . د. 15∠−53.13°

نكتب بالصيغة الديكارتية:
أ. 50∠53.13° .
ب. 15∠120° .
ج. 8∠−90° .

الإجابات: أ. 30 + j 40 . ب. −7.5 + j 12.99 . ج. −j 8

طالب حوّل العدد z = −5 + j 5 إلى الصيغة القطبية بالآلة الحاسبة وحصل على 7.07∠−45° .
أ. ما هو خطؤه؟
ب. ما هي النتيجة الصحيحة؟

الإجابات: أ. لم يضف 180° مع أن الجزء الحقيقي سالب (الربع الثاني). ب. 7.07∠135°

معطى z₁ = 7 − j 3 و z₂ = −2 + j 8 . نحسب:
أ. z₁ + z₂ .
ب. z₁ − z₂ .
ج. نكتب نتيجة البند أ بالصيغة القطبية.

الإجابات: أ. 5 + j 5 . ب. 9 − j 11 . ج. 7.07∠45°

معطى z₁ = 24∠75° و z₂ = 6∠−15° . نحسب:
أ. z₁ · z₂ .
ب. z₁z₂ .
ج. نكتب نتيجة البند ب بالصيغة الديكارتية.

الإجابات: أ. 144∠60° . ب. 4∠90° . ج. j 4

نحسب بالصيغة الديكارتية:
أ. (3 + j 2)·(1 − j 4) .
ب. 202 − j 4 .

الإجابات: أ. 11 − j 10 . ب. 2 + j 4

نحسب:
أ. j · 10∠20° .
ب. 10∠20°j .
ج. j³ .
د. 1j 5 .

الإجابات: أ. 10∠110° . ب. 10∠−70° . ج. −j . د. −j 0.2

معطى z₁ = 40 + j 30 و z₂ = −j 25 . نحسب z = z₁ · z₂z₁ + z₂ ونكتب النتيجة بالصيغتين.

الإجابات: z₁ + z₂ = 40.31∠7.13° ، z₁ · z₂ = 1250∠−53.13° ، z = 31.01∠−60.26° = 15.38 − j 26.92

10.

نكتب المتجه الطوري لكل إشارة بالصيغة القطبية:
أ. u(t) = 325·sin(314t + 45°) V .
ب. i(t) = 2.83·sin(314t − 90°) A .

الإجابات: أ. U̲ = 229.8∠45° V . ب. I̲ = 2∠−90° A

11.

المتجه الطوري لجهد تردده 50 Hz هو U̲ = (−60 + j 80) V .
أ. نكتبه بالصيغة القطبية.
ب. نكتب الصيغة الرياضية u(t) .

الإجابات: أ. U̲ = 100∠126.87° V . ب. u(t) = 141.42·sin(314t + 126.87°) V

12.

جهدان لهما نفس التردد موصولان على التوالي: U̲₁ = 120∠0° V و U̲₂ = 90∠90° V .
أ. نحسب الجهد الكلي.
ب. نرسم المخطط الطوري.
ج. أي الجهدين يتقدم على الآخر؟

الإجابات: أ. U̲ = 150∠36.87° V . ج. U̲₂ يتقدم على U̲₁ بزاوية 90°

13.

تياران لهما نفس التردد يدخلان إلى عُقدة: I̲₁ = 5∠30° A و I̲₂ = 5∠−30° A . نحسب التيار الكلي الخارج من العُقدة.

الإجابات: I̲ = 8.66∠0° A

14.

الجهد على حمل هو U̲ = 100∠20° V والتيار المار فيه I̲ = 2.5∠65° A .
أ. نحسب Z̲ = U̲I̲ بالصيغتين.
ب. هل الجهد يتقدم على التيار أم يتأخر عنه؟ وبأي زاوية؟

الإجابات: أ. Z̲ = 40∠−45° Ω = (28.28 − j 28.28) Ω . ب. الجهد يتأخر عن التيار بزاوية 45°

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

15.1 أ. z₁ = 10∠36.87° ، z₂ = 7.07∠135°. ب. z₃ = 10.39 − j 6

15.2 أ. z₁ · z₂ = 16∠75° ، z₁z₂ = 4∠45°. ب. z₃ + z₄ = 4 + j 4 ، z₃ − z₄ = 6 − j 8

15.3 z₁ + z₂ = 28.28∠45° . لا: المقدار 28.28 وليس 40

15.4 أ. I̲ = 7.07∠−60° A. ب. U_m = 325.27 V

15.5 I̲ = (3 − j 4) A = 5∠−53.13° A

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 15

لا يظهر في الامتحان سؤال مستقل عن الأعداد المركّبة، لكنها الأداة الأساسية لحل أسئلة التيار المتناوب. نتدرب عليها في أسئلة البجروت في الفصول 16–19.

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 20 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)