الفصل 16

دوائر التيار المتناوب

מעגלי זרם חילופין

الصف الحادي عشر · 28 ساعات تعليمية

في الفصلين السابقين تعرفنا على الإشارة الجيبية وعلى الأعداد المركّبة. الآن نستخدمهما لتحليل دوائر كهربائية موصولة بمصدر جهد متناوب وفيها مقاومات، ملفات ومكثفات. نبدأ بكل عنصر على انفراد، نُعرّف الممانعة والمسامحة، ثم نحلل دوائر التوالي ودوائر التوازي من الأنواع RL ، RC و RLC : نحسب الممانعة، التيارات والجهود، ونرسم المخطط الطوري.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

الملف والمكثف يعارضان التيار المتناوب بمفاعلة تتعلق بالتردد: X_L = 2πfL و X_C = 12πfC.
في المقاومة الجهد والتيار متوافقان في الطور، في الملف يتأخر التيار عن الجهد 90° ، وفي المكثف يتقدم عليه 90°.
نُعرّف الممانعة Z̲ والمسامحة Y̲ كعددين مركّبين، ونكتب قانون أوم بالمتجهات الطورية: U̲ = I̲ · Z̲.
نحسب الممانعة، التيار والجهود في دوائر RL ، RC و RLC على التوالي، ونرسم المخطط الطوري للجهود ومثلث الممانعات.
نحسب التيارات والممانعة في دوائر RL ، RC و RLC على التوازي، ونرسم المخطط الطوري للتيارات ومثلث المسامحات.
نحدد طبيعة الدائرة: حثية، سعوية أو مقاوِمة.

היגב השראותי והיגב קיבולי – المفاعلة الحثية والمفاعلة السعوية (Inductive and Capacitive Reactance)

في دائرة التيار المستمر، العنصر الوحيد الذي يحدّ من التيار هو المقاومة. في التيار المتناوب يتغير الجهد والتيار باستمرار، ولذلك يؤثر في الدائرة أيضا الملف والمكثف. نفحص كل عنصر على انفراد عندما نوصله بمصدر جهد جيبي، ونسأل سؤالين: كم يحدّ العنصر من التيار؟ وما هو فرق الطور بين الجهد عليه والتيار المار فيه؟

اتفاق: في هذا الفصل جميع الجهود والتيارات معطاة بالقيم الفعالة، كما تعرضها أجهزة القياس. فرق الطور بين الجهد والتيار هو φ = φ_u − φ_i : إذا كان موجبا فالجهد يتقدم على التيار (التيار يتأخر)، وإذا كان سالبا فالتيار يتقدم على الجهد.

المقاومة في التيار المتناوب – נגד במעגל זרם חילופין:

قانون أوم صحيح في المقاومة في كل لحظة: u = i · R. عندما يكبر الجهد يكبر التيار معه، وعندما ينعكس الجهد ينعكس التيار. لذلك يصل الجهد والتيار إلى الصفر وإلى القمة في نفس اللحظة:

المقاومة: الموجتان تمران بالصفر وبالقمة معا

المخطط الطوري: U̲ و I̲ في نفس الاتجاه

في المقاومة الجهد والتيار متوافقان في الطور: φ = 0°.
قانون أوم صحيح للقيم الفعالة: U_R = I · R.
قيمة المقاومة لا تتعلق بالتردد.

الملف في التيار المتناوب: المفاعلة الحثية – סליל במעגל זרם חילופין: היגב השראותי:

تعلمنا أن الملف يعارض كل تغيّر في التيار المار فيه. في التيار المتناوب يتغير التيار طوال الوقت، ولذلك يعارضه الملف طوال الوقت. النتيجة: التيار «يتأخر» في اللحاق بالجهد، ويصل إلى قمته بعد ربع دورة من وصول الجهد إلى قمته.

الملف: قمة التيار تأتي بعد قمة الجهد بربع دورة

المخطط الطوري: I̲ متأخر 90° عن U̲

في الملف يتأخر التيار عن الجهد بزاوية 90° ، أي أن φ = +90°.

المفاعلة الحثية (היגב השראותי): هي المعارضة التي يبديها الملف لمرور التيار المتناوب. نرمز لها X_L وتقاس بالأوم [Ω]. تساوي النسبة بين القيمة الفعالة للجهد على الملف والقيمة الفعالة للتيار المار فيه.

المفاعلة الحثية · היגב השראותי

X_L = ωL = 2πfL

U_L = I · X_L

الرمز	المعنى	وحدة القياس
X_L	المفاعلة الحثية	[Ω]
f	تردد المصدر	[Hz]
L	حث الملف	[H]
ω	التردد الزاوي، ω = 2πf	[rad/s]

المفاعلة الحثية تكبر مع التردد: كلما تغيّر التيار أسرع عارضه الملف أكثر.
في التيار المستمر f = 0 ، ولذلك X_L = 0 : الملف في التيار المستمر، بعد انتهاء الحالة العابرة، يتصرف مثل دائرة قصر.

ملاحظة: نفترض أن الملف مثالي، أي أن مقاومة سلكه صفر. الملف الحقيقي له مقاومة، ونمثله بملف مثالي موصول على التوالي مع مقاومة، أي بدائرة RL على التوالي.

مثال 16.1

ملف مثالي حثه 200 mH موصول بمصدر جهده 230 V وتردده 50 Hz. نحسب:
أ. المفاعلة الحثية.
ب. التيار في الملف.
ج. المفاعلة والتيار إذا ضاعفنا التردد إلى 100 Hz .

الحل:

نحوّل الحث إلى الوحدة الأساسية: L = 200 mH = 0.2 H.

أ. المفاعلة الحثية:

X_L = 2πfL

X_L = 2π · 50 · 0.2 = 62.83 Ω

ب. التيار:

I = U_LX_L = 23062.83 = 3.66 A

ج. عند مضاعفة التردد تتضاعف المفاعلة، ولذلك يصغر التيار إلى النصف:

X_L = 2π · 100 · 0.2 = 125.66 Ω

I = 230125.66 = 1.83 A

X_L = 62.83 Ω

المكثف في التيار المتناوب: المفاعلة السعوية – קבל במעגל זרם חילופין: היגב קיבולי:

التيار المستمر لا يمر عبر المكثف، لأن بين لوحيه مادة عازلة. في التيار المتناوب يُشحن المكثف ويُفرَّغ في كل دورة، ولذلك يمر في الموصلات الموصولة به تيار متناوب. يكون التيار في قمته عندما يتغير الجهد بأقصى سرعة، أي عند مروره بالصفر، ويكون صفرا عندما يصل الجهد إلى قمته، لأن المكثف أتم شحنه. النتيجة: التيار يسبق الجهد بربع دورة.

المكثف: قمة التيار تأتي قبل قمة الجهد بربع دورة

المخطط الطوري: I̲ متقدم 90° على U̲

في المكثف يتقدم التيار على الجهد بزاوية 90° ، أي أن φ = −90°.

المفاعلة السعوية (היגב קיבולי): هي المعارضة التي يبديها المكثف لمرور التيار المتناوب. نرمز لها X_C وتقاس بالأوم [Ω]. تساوي النسبة بين القيمة الفعالة للجهد على المكثف والقيمة الفعالة للتيار المار فيه.

المفاعلة السعوية · היגב קיבולי

X_C = 1ωC = 12πfC

U_C = I · X_C

الرمز	المعنى	وحدة القياس
X_C	المفاعلة السعوية	[Ω]
f	تردد المصدر	[Hz]
C	سعة المكثف	[F]
ω	التردد الزاوي، ω = 2πf	[rad/s]

المفاعلة السعوية تصغر عندما يكبر التردد أو عندما تكبر السعة.
في التيار المستمر f = 0 ، ولذلك تكون X_C لانهائية: المكثف في التيار المستمر، بعد انتهاء الشحن، يتصرف مثل دائرة مفتوحة (قطع).

مثال 16.2

مكثف سعته 47 µF موصول بمصدر جهده 230 V وتردده 50 Hz. نحسب:
أ. المفاعلة السعوية.
ب. التيار في المكثف.

الحل:

نحوّل السعة إلى الوحدة الأساسية: C = 47 µF = 47·10⁻⁶ F.

أ. المفاعلة السعوية:

X_C = 12πfC

X_C = 12π · 50 · 47·10⁻⁶ = 67.73 Ω

ب. التيار:

I = U_CX_C = 23067.73 = 3.4 A

X_C = 67.73 Ω

المفاعلة كدالة للتردد: X_L ترتفع بخط مستقيم، و X_C تهبط كلما ارتفع التردد

	المقاومة R	الملف L	المكثف C
المعارضة للتيار	R	X_L = 2πfL	X_C = 12πfC
عندما يرتفع التردد	لا تتغير	تكبر	تصغر
في التيار المستمر	R	دائرة قصر	دائرة مفتوحة
التيار بالنسبة للجهد	متوافق في الطور	يتأخر 90°	يتقدم 90°
فرق الطور φ	0°	+90°	−90°

سؤال 16.1: أ. ما هي المفاعلة الحثية لملف حثه 50 mH عند التردد 50 Hz ؟ وعند التردد 1 kHz ؟
ب. ما هي المفاعلة السعوية لمكثف سعته 100 µF عند نفس الترددين؟

سؤال 16.2: يمر في ملف مثالي موصول بمصدر جهده 24 V وتردده 50 Hz تيار شدته 150 mA. ما هي مفاعلة الملف؟ وما هو حثه؟

הגדרת העכבה Z והמתירות Y – الممانعة Z والمسامحة Y (Impedance and Admittance)

الممانعة – עכבה:

في دائرة فيها مقاومات وملفات ومكثفات معا، نحتاج إلى مقدار واحد يصف المعارضة الكلية للتيار المتناوب، ويصف أيضا فرق الطور بين الجهد والتيار. هذا المقدار هو الممانعة:

الممانعة (עכבה): هي المعارضة الكلية التي تبديها دائرة أو عنصر لمرور التيار المتناوب. الممانعة عدد مركّب، نرمز له Z̲ ونقيسه بالأوم [Ω]: مقداره Z هو النسبة بين القيمة الفعالة للجهد والقيمة الفعالة للتيار، وزاويته φ هي فرق الطور بين الجهد والتيار. في بعض الكتب تسمى الممانعة «المعاوقة».

الممانعة · עכבה

Z̲ = U̲I̲

Z̲ = R + jX = Z∠φ

Z = UI = R² + X²

φ = tan⁻¹(XR)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z̲	الممانعة، عدد مركّب	[Ω]
Z	مقدار الممانعة	[Ω]
R	الجزء الحقيقي: المقاومة	[Ω]
X	الجزء التخيلي: المفاعلة (היגב)	[Ω]
φ	زاوية الممانعة، وهي فرق الطور بين الجهد والتيار	[°]

ممانعة كل عنصر. في الفصل السابق رأينا أن الضرب في j يدير المتجه 90° عكس اتجاه عقارب الساعة. في الملف يتقدم الجهد على التيار 90° ، ولذلك ممانعته jX_L. في المكثف يتأخر الجهد عن التيار 90° ، ولذلك ممانعته −jX_C :

العنصر	الممانعة بالصيغة الديكارتية	الممانعة بالصيغة القطبية	موقعها في المستوى المركّب
المقاومة	Z̲_R = R	Z̲_R = R∠0°	المحور الحقيقي الموجب
الملف	Z̲_L = jX_L = jωL	Z̲_L = X_L∠90°	المحور التخيلي الموجب
المكثف	Z̲_C = −jX_C = 1jωC	Z̲_C = X_C∠−90°	المحور التخيلي السالب

ملاحظة: إشارة الجزء التخيلي X تكشف طبيعة الممانعة: إذا كانت موجبة فالممانعة حثية والتيار يتأخر عن الجهد، وإذا كانت سالبة فالممانعة سعوية والتيار يتقدم على الجهد.

مثال 16.3

الجهد على حمل هو U̲ = 100∠0° V والتيار المار فيه I̲ = 2∠−36.87° A. نحسب ممانعة الحمل، ونحدد مقاومته، مفاعلته وطبيعته.

الحل:

Z̲ = U̲I̲ = 100∠0°2∠−36.87° = 1002 ∠(0° − (−36.87°)) = 50∠36.87° Ω

نحوّل إلى الصيغة الديكارتية حتى نقرأ المقاومة والمفاعلة:

Z̲ = 50·cos(36.87°) + j·50·sin(36.87°) = (40 + j 30) Ω

R = 40 Ω

X = 30 Ω

الجزء التخيلي موجب، ولذلك الممانعة حثية: التيار يتأخر عن الجهد بزاوية 36.87° .

Z̲ = 50∠36.87° Ω

المسامحة – מתירות:

في التيار المستمر عرّفنا المواصلة G = 1R ، واستخدمناها في دوائر التوازي. المقدار المقابل لها في التيار المتناوب هو المسامحة:

المسامحة (מתירות): هي مقلوب الممانعة، وتبيّن مدى سهولة مرور التيار المتناوب في دائرة أو في عنصر. المسامحة عدد مركّب، نرمز له Y̲ ونقيسه بالسيمنس [S].

المسامحة · מתירות

Y̲ = 1Z̲ = I̲U̲

Y̲ = G + jB = Y∠−φ

Y = 1Z = IU

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Y̲	المسامحة، عدد مركّب	[S]
Y	مقدار المسامحة	[S]
G	الجزء الحقيقي: المواصلة	[S]
B	الجزء التخيلي: المطاوعة (סוספטנס)	[S]

العنصر	الممانعة	المسامحة	المسامحة بالصيغة القطبية
المقاومة	Z̲_R = R	Y̲_R = G = 1R	G∠0°
الملف	Z̲_L = jX_L	Y̲_L = 1jX_L = −jB_L	B_L∠−90° ، B_L = 1X_L
المكثف	Z̲_C = −jX_C	Y̲_C = 1−jX_C = +jB_C	B_C∠90° ، B_C = 1X_C

ملاحظة: ننتبه إلى أن الإشارات تنعكس عند الانتقال من الممانعة إلى المسامحة: للملف ممانعة تخيلية موجبة ومسامحة تخيلية سالبة، وللمكثف بالعكس. زاوية المسامحة تساوي زاوية الممانعة بإشارة معاكسة.

مثال 16.4

نحسب مسامحة الحمل من المثال السابق، Z̲ = 50∠36.87° Ω ، ونكتبها بالصيغتين.

الحل:

نقسم بالصيغة القطبية:

Y̲ = 1Z̲ = 1∠0°50∠36.87° = 0.02∠−36.87° S = 20∠−36.87° mS

Y̲ = 20·cos(−36.87°) + j·20·sin(−36.87°) = (16 − j 12) mS

أي G = 16 mS و B = −12 mS. الجزء التخيلي للمسامحة سالب، وهذا يدل أيضا على طبيعة حثية.

Y̲ = 20∠−36.87° mS

انتبه: نحسب المسامحة بقسمة عدد مركّب، ولا نقلب كل جزء على انفراد. في المثال R = 40 Ω ، لكن G = 16 mS وليس 140 = 25 mS . العلاقة G = 1R صحيحة لمقاومة منفردة فقط.

ربط الممانعات – חיבור עכבות:

الممانعات تُجمع مثل المقاومات في التيار المستمر، لكن الحساب كله بالأعداد المركّبة. الصيغة الثالثة هي الممانعة الكلية لممانعتين فقط على التوازي:

ربط الممانعات على التوالي وعلى التوازي · חיבור עכבות

Z̲_T = Z̲₁ + Z̲₂ + Z̲₃

Y̲_T = Y̲₁ + Y̲₂ + Y̲₃

Z̲_T = Z̲₁ · Z̲₂Z̲₁ + Z̲₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z̲_T	الممانعة الكلية: على التوالي نجمع الممانعات	[Ω]
Y̲_T	المسامحة الكلية: على التوازي نجمع المسامحات، ثم Z̲_T = 1Y̲_T	[S]

سؤال 16.3: ممانعة حمل هي Z̲ = (12 − j 16) Ω.
أ. نكتب الممانعة بالصيغة القطبية.
ب. هل الحمل حثي أم سعوي؟
ج. ما هي مسامحته بالصيغة القطبية؟

הגדרת פאזור מתח ופאזור זרם – المتجه الطوري للجهد والمتجه الطوري للتيار (Voltage and Current Phasors)

المتجه الطوري للجهد وللتيار (פאזור מתח ופאזור זרם): المتجه الطوري للجهد U̲ هو عدد مركّب مقداره القيمة الفعالة للجهد وزاويته زاوية الطور للجهد. المتجه الطوري للتيار I̲ هو عدد مركّب مقداره القيمة الفعالة للتيار وزاويته زاوية الطور للتيار.

U̲ = U∠φ_u

I̲ = I∠φ_i

بهذين المتجهين تصبح جميع قوانين التيار المستمر صحيحة في التيار المتناوب أيضا، بشرط أن نكتبها بالأعداد المركّبة:

قانون أوم وقانونا كيرخهوف بالمتجهات الطورية · חוק אום בפאזורים

U̲ = I̲ · Z̲

I̲ = U̲Z̲ = U̲ · Y̲

φ = φ_u − φ_i

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U̲	المتجه الطوري للجهد	[V]
I̲	المتجه الطوري للتيار	[A]
Z̲ , Y̲	الممانعة والمسامحة	[Ω] , [S]
φ	فرق الطور بين الجهد والتيار = زاوية الممانعة	[°]

قانون كيرخهوف للجهد: مجموع المتجهات الطورية للجهود في حلقة مغلقة يساوي المتجه الطوري لجهد المصدر.
قانون كيرخهوف للتيار: مجموع المتجهات الطورية للتيارات الداخلة إلى عُقدة يساوي مجموع المتجهات الطورية للتيارات الخارجة منها.
نجمع المتجهات (الأعداد المركّبة)، وليس القيم الفعالة.

المتجه المرجعي. زاوية الطور تقاس دائما بالنسبة لمتجه نختاره نحن ونعطيه الزاوية 0° . يسمى هذا المتجه المتجه المرجعي (פאזור ייחוס)، ونرسمه على المحور الأفقي. نختار كمرجع المقدار المشترك لجميع العناصر:

في دائرة التوالي التيار مشترك، ولذلك نختار غالبا التيار مرجعا: I̲ = I∠0°.
في دائرة التوازي الجهد مشترك، ولذلك نختار الجهد مرجعا: U̲ = U∠0°.
إذا حُدّد في السؤال أن زاوية جهد المصدر 0° ، نعمل حسب السؤال. اختيار المرجع يدير المخطط الطوري كله، لكنه لا يغيّر المقادير ولا الزوايا بين المتجهات.

مثال 16.5

مصدر جهده U̲ = 230∠0° V. نحسب المتجه الطوري للتيار عندما نوصل بالمصدر:
أ. ملفا مفاعلته X_L = 46 Ω.
ب. مكثفا مفاعلته X_C = 115 Ω.

الحل:

أ. ممانعة الملف Z̲_L = jX_L = 46∠90° Ω :

I̲_L = U̲Z̲_L = 230∠0°46∠90° = 5∠−90° A

زاوية التيار −90° : التيار في الملف يتأخر عن الجهد 90° .

ب. ممانعة المكثف Z̲_C = −jX_C = 115∠−90° Ω :

I̲_C = U̲Z̲_C = 230∠0°115∠−90° = 2∠90° A

زاوية التيار +90° : التيار في المكثف يتقدم على الجهد 90° .

طريقة الحل في دوائر التيار المتناوب:

نحسب المفاعلات X_L و X_C من الحث، السعة والتردد.
نكتب ممانعة كل عنصر كعدد مركّب: R ، jX_L ، −jX_C .
نحسب الممانعة الكلية Z̲ ونحوّلها إلى الصيغة القطبية.
نختار متجها مرجعيا، ثم نحسب التيارات والجهود بقانون أوم.
نفحص النتيجة بقانون كيرخهوف، ونرسم المخطط الطوري.

מעגלי זרם חילופין טוריים (RL, RC, RLC) – دوائر التيار المتناوب على التوالي (Series AC Circuits)

في دائرة التوالي يمر نفس التيار في جميع العناصر. الممانعة الكلية هي مجموع الممانعات، وجهد المصدر هو مجموع المتجهات الطورية للجهود على العناصر. لكل نوع من الدوائر نحسب: الممانعة، التيار والجهود، ثم نرسم المخطط الطوري للجهود ومثلث الممانعات.

دائرة RL على التوالي – מעגל RL טורי:

دائرة RL على التوالي: نفس التيار I يمر في المقاومة وفي الملف

دائرة RL على التوالي · מעגל RL טורי

Z̲ = R + jX_L

Z = R² + X_L²

φ = tan⁻¹(X_LR)

I = UZ

U = U_R² + U_L²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z̲ , Z	الممانعة الكلية ومقدارها	[Ω]
φ	زاوية الممانعة: موجبة، التيار يتأخر عن جهد المصدر	[°]
U_R	الجهد على المقاومة U_R = I · R ، متوافق في الطور مع التيار	[V]
U_L	الجهد على الملف U_L = I · X_L ، يتقدم على التيار 90°	[V]

مثال 16.6

في دائرة RL على التوالي: R = 40 Ω ، L = 95.49 mH ، وجهد المصدر U = 100 V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر.
د. نرسم المخطط الطوري ومثلث الممانعات.

الحل:

أ. نحسب المفاعلة الحثية، ثم الممانعة بالصيغتين:

X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.09549 = 30 Ω

Z̲ = R + jX_L = (40 + j 30) Ω

Z = R² + X_L² = 40² + 30² = 50 Ω

φ = tan⁻¹(X_LR) = tan⁻¹(3040) = 36.87°

Z̲ = 50∠36.87° Ω

ب. التيار:

I = UZ = 10050 = 2 A

ج. التيار مشترك للعنصرين، فنختاره مرجعا: I̲ = 2∠0° A . الجهود:

U̲_R = I̲ · R = 2∠0° · 40 = 80∠0° V

U̲_L = I̲ · jX_L = 2∠0° · 30∠90° = 60∠90° V

نفحص بقانون كيرخهوف للجهد:

U̲ = U̲_R + U̲_L = (80 + j 60) V = 100∠36.87° V

مقدار المجموع 100 V ، وهو جهد المصدر. ننتبه: U_R + U_L = 80 + 60 = 140 V ، وهذا ليس جهد المصدر، لأن الجهدين غير متوافقين في الطور.

د. المخطط الطوري ومثلث الممانعات:

المخطط الطوري: U̲ يتقدم على I̲ بزاوية φ = 36.87°

مثلث الممانعات

الدائرة حثية: جهد المصدر يتقدم على التيار بزاوية 36.87° ، أي أن التيار يتأخر.

Z̲ = 50∠36.87° Ω

ملاحظة: مثلث الممانعات (משולש עכבות) هو مثلث قائم الزاوية: ضلعه الأفقي R ، ضلعه العمودي X ووتره Z ، والزاوية بين R و Z هي φ. إذا ضربنا كل ضلع في التيار I حصلنا على مثلث الجهود U_R ، U_L ، U ، ولذلك فالمثلثان متشابهان.

سؤال 16.4: في الدائرة المرسومة: R = 60 Ω ، X_L = 80 Ω وجهد المصدر 200 V. ما هي الممانعة بالصيغة القطبية؟ ما هو التيار؟ وما هو الجهد على كل عنصر؟

دائرة RC على التوالي – מעגל RC טורי:

دائرة RC على التوالي · מעגל RC טורי

Z̲ = R − jX_C

Z = R² + X_C²

φ = tan⁻¹(−X_CR)

I = UZ

U = U_R² + U_C²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z̲ , Z	الممانعة الكلية ومقدارها	[Ω]
φ	زاوية الممانعة: سالبة، التيار يتقدم على جهد المصدر	[°]
U_R	الجهد على المقاومة U_R = I · R ، متوافق في الطور مع التيار	[V]
U_C	الجهد على المكثف U_C = I · X_C ، يتأخر عن التيار 90°	[V]

مثال 16.7

في دائرة RC على التوالي: R = 60 Ω ، C = 39.79 µF ، وجهد المصدر U = 200 V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. التيار.
ج. الجهد على كل عنصر.
د. نرسم المخطط الطوري ومثلث الممانعات.

الحل:

أ. نحسب المفاعلة السعوية، ثم الممانعة بالصيغتين:

X_C = 12πfC = 12π · 50 · 39.79·10⁻⁶ = 80 Ω

Z̲ = R − jX_C = (60 − j 80) Ω

Z = R² + X_C² = 60² + 80² = 100 Ω

φ = tan⁻¹(−X_CR) = tan⁻¹(−8060) = −53.13°

Z̲ = 100∠−53.13° Ω

ب. التيار:

I = UZ = 200100 = 2 A

ج. نختار التيار مرجعا: I̲ = 2∠0° A . الجهود:

U̲_R = I̲ · R = 2∠0° · 60 = 120∠0° V

U̲_C = I̲ · (−jX_C) = 2∠0° · 80∠−90° = 160∠−90° V

نفحص بقانون كيرخهوف للجهد:

U̲ = U̲_R + U̲_C = 120 + (−j 160) = (120 − j 160) V = 200∠−53.13° V

د. المخطط الطوري ومثلث الممانعات. الجهد على المكثف يتأخر عن التيار 90° ، ولذلك يتجه إلى الأسفل.

المخطط الطوري: U̲ يتأخر عن I̲ بزاوية 53.13°

مثلث الممانعات: الضلع X_C يتجه إلى الأسفل

الدائرة سعوية: التيار يتقدم على جهد المصدر بزاوية 53.13° .

Z̲ = 100∠−53.13° Ω

سؤال 16.5: في الدائرة المرسومة: R = 80 Ω ، X_C = 60 Ω وجهد المصدر 50 V. ما هي الممانعة بالصيغة القطبية؟ ما هو التيار؟ ما هو الجهد على كل عنصر؟ وهل التيار يتقدم على جهد المصدر أم يتأخر عنه؟

دائرة RLC على التوالي – מעגל RLC טורי:

في دائرة RLC على التوالي يمر نفس التيار في العناصر الثلاثة. الجهد على الملف يتقدم على التيار 90° والجهد على المكثف يتأخر عنه 90° ، أي أن الجهدين متعاكسان في الطور ويلغي أحدهما جزءا من الآخر. لهذا السبب نطرح المفاعلتين:

دائرة RLC على التوالي · מעגל RLC טורי

Z̲ = R + j(X_L − X_C)

Z = R² + (X_L − X_C)²

φ = tan⁻¹(X_L − X_CR)

I = UZ

U = U_R² + (U_L − U_C)²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Z̲ , Z	الممانعة الكلية ومقدارها	[Ω]
X	المفاعلة الكلية للدائرة، X = X_L − X_C	[Ω]
φ	زاوية الممانعة: فرق الطور بين جهد المصدر والتيار	[°]
U	جهد المصدر. الجهود على العناصر: U_R = I · R ، U_L = I · X_L ، U_C = I · X_C	[V]

مثال 16.8

في دائرة RLC على التوالي: R = 30 Ω ، L = 254.65 mH ، C = 79.58 µF ، وجهد المصدر U̲ = 100∠0° V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. الممانعة.
ب. المتجه الطوري للتيار.
ج. المتجه الطوري للجهد على كل عنصر.
د. نرسم المخطط الطوري ومثلث الممانعات.

الحل:

أ. نحسب المفاعلتين، ثم الممانعة:

X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.25465 = 80 Ω

X_C = 12πfC = 12π · 50 · 79.58·10⁻⁶ = 40 Ω

Z̲ = R + j(X_L − X_C) = 30 + j(80 − 40) = (30 + j 40) Ω

Z = 30² + 40² = 50 Ω

φ = tan⁻¹(4030) = 53.13°

Z̲ = 50∠53.13° Ω

ب. في هذا السؤال زاوية جهد المصدر معطاة، 0° ، ولذلك جهد المصدر هو المرجع:

I̲ = U̲Z̲ = 100∠0°50∠53.13° = 2∠−53.13° A

ج. نضرب التيار في ممانعة كل عنصر:

U̲_R = I̲ · R = 2∠−53.13° · 30 = 60∠−53.13° V

U̲_L = I̲ · jX_L = 2∠−53.13° · 80∠90° = 160∠36.87° V

U̲_C = I̲ · (−jX_C) = 2∠−53.13° · 40∠−90° = 80∠−143.13° V

نفحص بقانون كيرخهوف للجهد، بالصيغة الديكارتية:

U̲_R + U̲_L + U̲_C = (36 − j 48) + (128 + j 96) + (−64 − j 48) = 100 V

ننتبه إلى أن الجهد على الملف، 160 V ، أكبر من جهد المصدر. هذا ممكن في التيار المتناوب، لأن جهد المكثف يعاكسه ويلغي جزءا منه.

د. المخطط الطوري ومثلث الممانعات. جهد المصدر على المحور الأفقي لأنه المرجع، والتيار متأخر عنه:

المخطط الطوري: U̲_L و U̲_C متعاكسان، والخط المتقطع هو U̲_L + U̲_C . مجموع الجهود الثلاثة هو U̲

مثلث الممانعات: X = X_L − X_C

المفاعلة الكلية موجبة (X_L > X_C) ، ولذلك الدائرة حثية: التيار يتأخر عن جهد المصدر بزاوية 53.13° .

I̲ = 2∠−53.13° A

طبيعة دائرة RLC على التوالي – קביעת אופי המעגל: השראותי, קיבולי או התנגדותי:

في دائرة RLC على التوالي «يتنافس» الملف والمكثف، وطبيعة الدائرة (אופי המעגל) يحددها العنصر الذي مفاعلته أكبر:

الشرط	المفاعلة الكلية	زاوية الممانعة	طبيعة الدائرة	التيار بالنسبة لجهد المصدر
X_L > X_C	X > 0	φ > 0°	حثية (השראותי)	يتأخر
X_L < X_C	X < 0	φ < 0°	سعوية (קיבולי)	يتقدم
X_L = X_C	X = 0	φ = 0°	مقاوِمة (התנגדותי)	متوافق في الطور

ملاحظة: في الحالة الثالثة تلغي المفاعلتان إحداهما الأخرى تماما، فتصبح الممانعة Z = R وهي أصغر قيمة ممكنة، ويكون التيار أكبر ما يمكن. تسمى هذه الحالة الرنين (תהודה)، وسندرسها في الفصل 18.

مثال 16.9

في دائرة RLC على التوالي: R = 30 Ω ، X_L = 20 Ω ، X_C = 60 Ω ، وجهد المصدر 100 V. نحدد طبيعة الدائرة، ونحسب التيار والجهود على العناصر.

الحل:

نقارن المفاعلتين: X_L < X_C ، ولذلك الدائرة سعوية والتيار يتقدم على جهد المصدر.

Z̲ = R + j(X_L − X_C) = 30 + j(20 − 60) = (30 − j 40) Ω = 50∠−53.13° Ω

I = UZ = 10050 = 2 A

U_R = I · R = 2 · 30 = 60 V

U_L = I · X_L = 2 · 20 = 40 V

U_C = I · X_C = 2 · 60 = 120 V

نفحص بمثلث الجهود:

U = U_R² + (U_L − U_C)² = 60² + (40 − 120)² = 100 V

Z̲ = 50∠−53.13° Ω

سؤال 16.6: في الدائرة المرسومة: R = 8 Ω ، X_L = 12 Ω ، X_C = 6 Ω وجهد المصدر 50 V. ما هي الممانعة بالصيغة القطبية؟ ما هي طبيعة الدائرة؟ ما هو التيار؟ وما هو الجهد على كل عنصر؟

▶تجربة حية — دوائر RL وRC وRLC على التوالينختار دائرة على التوالي، نغيّر R وL وC والتردد، ونرى الممانعة والتيار والمخطط الطوري.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

מעגלי זרם חילופין מקביליים (RL, RC, RLC) – دوائر التيار المتناوب على التوازي (Parallel AC Circuits)

في دائرة التوازي يقع نفس الجهد على جميع الفروع، ولذلك نختار جهد المصدر مرجعا: U̲ = U∠0°. نحسب تيار كل فرع بقانون أوم، والتيار الكلي هو مجموع المتجهات الطورية لتيارات الفروع. في التوازي نجمع المسامحات، ولذلك نرسم هنا مثلث المسامحات بدل مثلث الممانعات. لكل نوع نحسب: الممانعة، التيارات، ثم المخطط الطوري للتيارات ومثلث المسامحات.

التيار في فرع المقاومة I_R = UR متوافق في الطور مع الجهد.
التيار في فرع الملف I_L = UX_L يتأخر عن الجهد 90° ، ونرسمه إلى الأسفل.
التيار في فرع المكثف I_C = UX_C يتقدم على الجهد 90° ، ونرسمه إلى الأعلى.

دائرة RL على التوازي – מעגל RL מקבילי:

دائرة RL على التوازي · מעגל RL מקבילי

I̲ = I_R − jI_L

I = I_R² + I_L²

Y̲ = G − jB_L = 1R − j1X_L

Z = UI = 1Y

φ = tan⁻¹(I_LI_R)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I̲ , I	التيار الكلي ومقداره	[A]
I_R , I_L	تيار المقاومة UR وتيار الملف UX_L	[A]
Y̲	المسامحة الكلية	[S]
φ	زاوية الممانعة: موجبة، التيار الكلي يتأخر عن الجهد	[°]

مثال 16.10

في دائرة RL على التوازي: R = 40 Ω ، L = 95.49 mH ، وجهد المصدر U = 120 V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. تيار كل فرع.
ب. التيار الكلي.
ج. الممانعة والمسامحة.
د. نرسم المخطط الطوري ومثلث المسامحات.

الحل:

المفاعلة الحثية: X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.09549 = 30 Ω . نختار الجهد مرجعا: U̲ = 120∠0° V.

أ. تيارات الفروع:

I̲_R = U̲R = 120∠0°40 = 3∠0° A

I̲_L = U̲jX_L = 120∠0°30∠90° = 4∠−90° A

ب. التيار الكلي حسب قانون كيرخهوف للتيار:

I̲ = I̲_R + I̲_L = 3 + (−j 4) = (3 − j 4) A

I = I_R² + I_L² = 3² + 4² = 5 A

I̲ = 5∠−53.13° A

ننتبه: I_R + I_L = 3 + 4 = 7 A ، وهذا ليس التيار الكلي.

ج. الممانعة الكلية والمسامحة:

Z̲ = U̲I̲ = 120∠0°5∠−53.13° = 24∠53.13° Ω

G = 1R = 140 = 25 mS

B_L = 1X_L = 130 = 33.33 mS

Y̲ = G − jB_L = (25 − j 33.33) mS = 41.67∠−53.13° mS

يمكن حساب الممانعة أيضا بقانون ممانعتين على التوازي، والنتيجة نفسها:

Z̲ = R · jX_LR + jX_L = 40 · 30∠90°40 + j 30 = 1200∠90°50∠36.87° = 24∠53.13° Ω

د. المخطط الطوري للتيارات ومثلث المسامحات:

المخطط الطوري: I̲ يتأخر عن U̲ بزاوية φ = 53.13°

مثلث المسامحات

الدائرة حثية: التيار الكلي يتأخر عن الجهد بزاوية 53.13° . الممانعة الكلية 24 Ω أصغر من ممانعة كل فرع، كما في مقاومات على التوازي.

I̲ = 5∠−53.13° A

ملاحظة: مثلث المسامحات (משולש מתירויות) هو مثلث قائم الزاوية: ضلعه الأفقي G ، ضلعه العمودي B ووتره Y. إذا ضربنا كل ضلع في الجهد U حصلنا على مثلث التيارات I_R ، I_L ، I. زاوية مثلث المسامحات تساوي زاوية الممانعة φ في المقدار وتعاكسها في الإشارة.

سؤال 16.7: في الدائرة المرسومة: R = 100 Ω ، X_L = 100 Ω وجهد المصدر 200 V. ما هو تيار كل فرع؟ ما هو التيار الكلي بالصيغة القطبية؟ وما هو مقدار الممانعة الكلية؟

دائرة RC على التوازي – מעגל RC מקבילי:

دائرة RC على التوازي · מעגל RC מקבילי

I̲ = I_R + jI_C

I = I_R² + I_C²

Y̲ = G + jB_C = 1R + j1X_C

Z = UI = 1Y

φ = tan⁻¹(−I_CI_R)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I̲ , I	التيار الكلي ومقداره	[A]
I_R , I_C	تيار المقاومة UR وتيار المكثف UX_C	[A]
Y̲	المسامحة الكلية	[S]
φ	زاوية الممانعة: سالبة، التيار الكلي يتقدم على الجهد	[°]

مثال 16.11

في دائرة RC على التوازي: R = 30 Ω ، C = 79.58 µF ، وجهد المصدر U = 120 V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. تيار كل فرع.
ب. التيار الكلي.
ج. الممانعة والمسامحة.
د. نرسم المخطط الطوري ومثلث المسامحات.

الحل:

المفاعلة السعوية: X_C = 12πfC = 12π · 50 · 79.58·10⁻⁶ = 40 Ω . نختار الجهد مرجعا: U̲ = 120∠0° V.

أ. تيارات الفروع:

I̲_R = U̲R = 120∠0°30 = 4∠0° A

I̲_C = U̲−jX_C = 120∠0°40∠−90° = 3∠90° A

ب. التيار الكلي:

I̲ = I̲_R + I̲_C = (4 + j 3) A

I = I_R² + I_C² = 4² + 3² = 5 A

I̲ = 5∠36.87° A

ج. الممانعة الكلية والمسامحة:

Z̲ = U̲I̲ = 120∠0°5∠36.87° = 24∠−36.87° Ω

G = 1R = 130 = 33.33 mS

B_C = 1X_C = 140 = 25 mS

Y̲ = G + jB_C = (33.33 + j 25) mS = 41.67∠36.87° mS

د. المخطط الطوري للتيارات ومثلث المسامحات. تيار المكثف يتقدم على الجهد 90° ، ولذلك يتجه إلى الأعلى.

المخطط الطوري: I̲ يتقدم على U̲ بزاوية 36.87°

مثلث المسامحات: الضلع B_C يتجه إلى الأعلى

الدائرة سعوية: التيار الكلي يتقدم على الجهد بزاوية 36.87° ، أي أن φ = −36.87° .

I̲ = 5∠36.87° A

سؤال 16.8: في الدائرة المرسومة: R = 20 Ω ، X_C = 15 Ω وجهد المصدر 60 V. ما هو تيار كل فرع؟ ما هو التيار الكلي بالصيغة القطبية؟ وما هي الممانعة الكلية بالصيغة القطبية؟

دائرة RLC على التوازي – מעגל RLC מקבילי:

في دائرة RLC على التوازي، تيار الملف يتأخر عن الجهد 90° وتيار المكثف يتقدم عليه 90° ، أي أن التيارين متعاكسان في الطور ويلغي أحدهما جزءا من الآخر:

دائرة RLC على التوازي · מעגל RLC מקבילי

I̲ = I_R + j(I_C − I_L)

I = I_R² + (I_L − I_C)²

Y̲ = G + j(B_C − B_L)

Z = UI = 1Y

φ = tan⁻¹(I_L − I_CI_R)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I̲ , I	التيار الكلي ومقداره	[A]
I_R	تيارات الفروع: I_R = UR ، I_L = UX_L ، I_C = UX_C	[A]
Y̲	المسامحة الكلية، مع G = 1R ، B_L = 1X_L ، B_C = 1X_C	[S]
φ	زاوية الممانعة: فرق الطور بين الجهد والتيار الكلي	[°]

مثال 16.12

في دائرة RLC على التوازي: R = 60 Ω ، L = 63.66 mH ، C = 53.05 µF ، وجهد المصدر U̲ = 120∠0° V بتردد 50 Hz. نحسب:
أ. تيار كل فرع.
ب. التيار الكلي.
ج. الممانعة والمسامحة.
د. نرسم المخطط الطوري ومثلث المسامحات.

الحل:

نحسب المفاعلتين:

X_L = 2πfL = 2π · 50 · 0.06366 = 20 Ω

X_C = 12πfC = 12π · 50 · 53.05·10⁻⁶ = 60 Ω

أ. تيارات الفروع:

I̲_R = U̲R = 120∠0°60 = 2∠0° A

I̲_L = U̲jX_L = 120∠0°20∠90° = 6∠−90° A

I̲_C = U̲−jX_C = 120∠0°60∠−90° = 2∠90° A

ب. التيار الكلي:

I̲ = I̲_R + I̲_L + I̲_C = 2 + j(2 − 6) = (2 − j 4) A

I = I_R² + (I_L − I_C)² = 2² + (6 − 2)² = 4.47 A

I̲ = 4.47∠−63.43° A

ننتبه إلى أن تيار الملف، 6 A ، أكبر من التيار الكلي: جزء من التيار «يدور» بين الملف والمكثف ولا يمر في المصدر.

ج. الممانعة الكلية والمسامحة:

Z̲ = U̲I̲ = 120∠0°4.47∠−63.43° = 26.83∠63.43° Ω

G = 160 = 16.67 mS

B_L = 120 = 50 mS

B_C = 160 = 16.67 mS

Y̲ = G + j(B_C − B_L) = 16.67 + j(16.67 − 50) = (16.67 − j 33.33) mS

Y̲ = 37.27∠−63.43° mS

د. المخطط الطوري للتيارات ومثلث المسامحات:

المخطط الطوري: I̲_L و I̲_C متعاكسان، والخط المتقطع هو I̲_L + I̲_C

مثلث المسامحات: طول الضلع العمودي |B| = B_L − B_C

تيار الملف أكبر من تيار المكثف، ولذلك الدائرة حثية: التيار الكلي يتأخر عن الجهد بزاوية 63.43° .

I̲ = 4.47∠−63.43° A

طبيعة دائرة RLC على التوازي – קביעת אופי המעגל: השראותי, קיבולי או התנגדותי:

في دائرة التوازي الذي يحدد طبيعة الدائرة هو الفرع الذي يمر فيه تيار أكبر. بما أن I = UX ، فإن التيار الأكبر يمر في الفرع الذي مفاعلته أصغر، أي بعكس دائرة التوالي:

الشرط بالتيارات	الشرط بالمفاعلات	طبيعة الدائرة	التيار الكلي بالنسبة للجهد	زاوية الممانعة
I_L > I_C	X_L < X_C	حثية (השראותי)	يتأخر	φ > 0°
I_L < I_C	X_L > X_C	سعوية (קיבולי)	يتقدم	φ < 0°
I_L = I_C	X_L = X_C	مقاوِمة (התנגדותי)	متوافق في الطور	φ = 0°

انتبه: الشرط بالمفاعلات معكوس بين التوالي والتوازي. إذا كان X_L > X_C فدائرة التوالي حثية، أما دائرة التوازي فسعوية. لذلك من الأفضل أن نحدد الطبيعة حسب القاعدة: في التوالي نقارن الجهود U_L و U_C ، وفي التوازي نقارن التيارات I_L و I_C .

سؤال 16.9: في الدائرة المرسومة: R = 25 Ω ، X_L = 50 Ω ، X_C = 20 Ω وجهد المصدر 100 V. ما هو تيار كل فرع؟ ما هو التيار الكلي بالصيغة القطبية؟ ما هي طبيعة الدائرة؟ وما هي الممانعة الكلية؟

مقارنة بين التوالي والتوازي – השוואה בין מעגל טורי למעגל מקבילי:

	دائرة التوالي	دائرة التوازي
المقدار المشترك (المرجع)	التيار I̲	الجهد U̲
ما نجمعه	الممانعات والجهود	المسامحات والتيارات
الحساب	Z̲ = R + j(X_L − X_C)	Y̲ = G + j(B_C − B_L)
المخطط الطوري	للجهود: U̲_R ، U̲_L ، U̲_C	للتيارات: I̲_R ، I̲_L ، I̲_C
المثلث	مثلث الممانعات: R ، X ، Z	مثلث المسامحات: G ، B ، Y
الطبيعة حثية عندما	U_L > U_C ، أي X_L > X_C	I_L > I_C ، أي X_L < X_C

▶تجربة حية — مختبر دوائر RLCنختار دائرة توالٍ أو توازٍ، نغيّر R ، L ، C والتردد، ونرى الممانعة، التيارات والمخطط الطوري تتغير مباشرة.

⚠

https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
المفاعلة الحثية	X_L = 2πfL
المفاعلة السعوية	X_C = 12πfC
ممانعة العناصر	Z̲_R = R , Z̲_L = jX_L , Z̲_C = −jX_C
قانون أوم بالمتجهات الطورية	U̲ = I̲ · Z̲
المسامحة	Y̲ = 1Z̲ = G + jB
التوالي: الممانعة	Z̲ = R + j(X_L − X_C)
التوالي: مقدار الممانعة	Z = R² + (X_L − X_C)²
التوالي: الزاوية	φ = tan⁻¹(X_L − X_CR)
التوالي: مثلث الجهود	U = U_R² + (U_L − U_C)²
التوازي: التيار الكلي	I̲ = I_R + j(I_C − I_L)
التوازي: مقدار التيار الكلي	I = I_R² + (I_L − I_C)²
التوازي: المسامحة	Y̲ = G + j(B_C − B_L)
التوازي: الزاوية	φ = tan⁻¹(I_L − I_CI_R)

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
المفاعلة	היגב	Reactance
المفاعلة الحثية	היגב השראותי	Inductive reactance
المفاعلة السعوية	היגב קיבולי	Capacitive reactance
الممانعة (المعاوقة)	עכבה	Impedance
المسامحة	מתירות	Admittance
المواصلة	מוליכות	Conductance
المطاوعة	סוספטנס	Susceptance
المتجه الطوري للجهد / للتيار	פאזור מתח / פאזור זרם	Voltage / current phasor
المتجه المرجعي	פאזור ייחוס	Reference phasor
المخطط الطوري	דיאגרמה פאזורית	Phasor diagram
مثلث الممانعات	משולש עכבות	Impedance triangle
مثلث المسامحات	משולש מתירויות	Admittance triangle
دائرة على التوالي	מעגל טורי	Series circuit
دائرة على التوازي	מעגל מקבילי	Parallel circuit
طبيعة الدائرة	אופי המעגל	Circuit character
حثية	השראותי	Inductive
سعوية	קיבולי	Capacitive
مقاوِمة	התנגדותי	Resistive
يتقدم / يتأخر	מקדים / מפגר	Leads / lags
ملف مثالي	סליל אידיאלי	Ideal inductor
الرنين	תהודה	Resonance

أسئلة للتمرين:

نحسب المفاعلة الحثية لملف حثه 80 mH :
أ. عند التردد 50 Hz .
ب. عند التردد 400 Hz .
ج. ماذا نستنتج؟

الإجابات: أ. X_L = 25.13 Ω. ب. X_L = 201.06 Ω. ج. المفاعلة الحثية تتناسب طرديا مع التردد

نحسب المفاعلة السعوية لمكثف سعته 22 µF :
أ. عند التردد 50 Hz .
ب. عند التردد 400 Hz .
ج. ماذا نستنتج؟

الإجابات: أ. X_C = 144.69 Ω. ب. X_C = 18.09 Ω. ج. المفاعلة السعوية تتناسب عكسيا مع التردد

يمر في ملف مثالي موصول بشبكة الكهرباء (230 V , 50 Hz) تيار شدته 2 A.
أ. نحسب مفاعلة الملف وحثه.
ب. نكتب المتجه الطوري للتيار إذا كان U̲ = 230∠0° V.

الإجابات: أ. X_L = 115 Ω ، L = 366.06 mH. ب. I̲ = 2∠−90° A

يمر في مكثف موصول بمصدر جهده 24 V وتردده 50 Hz تيار شدته 0.5 A.
أ. نحسب مفاعلة المكثف وسعته.
ب. نكتب المتجه الطوري للتيار إذا كان U̲ = 24∠0° V.

الإجابات: أ. X_C = 48 Ω ، C = 66.31 µF. ب. I̲ = 0.5∠90° A

ممانعة حمل هي Z̲ = (15 + j 20) Ω ، وهو موصول بمصدر جهده U̲ = 100∠0° V.
أ. نكتب الممانعة بالصيغة القطبية.
ب. نحسب المتجه الطوري للتيار.
ج. ما هي طبيعة الحمل؟
د. نحسب مسامحة الحمل.

الإجابات: أ. Z̲ = 25∠53.13° Ω. ب. I̲ = 4∠−53.13° A. ج. حثي. د. Y̲ = 40∠−53.13° mS = (24 − j 32) mS

في الدائرة المرسومة: R = 30 Ω ، X_L = 40 Ω وجهد المصدر 150 V.
أ. نحسب الممانعة بالصيغتين.
ب. نحسب التيار والجهد على كل عنصر.
ج. نرسم المخطط الطوري ومثلث الممانعات.

الإجابات: أ. Z̲ = (30 + j 40) Ω = 50∠53.13° Ω. ب. I = 3 A ، U_R = 90 V ، U_L = 120 V

ملف حقيقي فُحص مرتين. عند وصله بمصدر جهد مستمر 12 V مرّ فيه تيار شدته 2 A. عند وصله بمصدر جهد متناوب 20 V بتردد 50 Hz مرّ فيه تيار شدته 2 A أيضا. نحسب:
أ. مقاومة الملف.
ب. ممانعة الملف.
ج. مفاعلته الحثية وحثه.

الإجابات: أ. R = 6 Ω (في التيار المستمر X_L = 0). ب. Z = 10 Ω. ج. X_L = 8 Ω ، L = 25.46 mH

في الدائرة المرسومة: R = 100 Ω ، C = 31.83 µF ، وجهد المصدر 230 V بتردد 50 Hz.
أ. نحسب X_C والممانعة بالصيغة القطبية.
ب. نحسب التيار والجهد على كل عنصر.
ج. أيهما يتقدم: التيار أم جهد المصدر؟

الإجابات: أ. X_C = 100 Ω ، Z̲ = 141.42∠−45° Ω. ب. I = 1.63 A ، U_R = 162.63 V ، U_C = 162.63 V. ج. التيار يتقدم بزاوية 45°

في الدائرة المرسومة: R = 12 Ω ، X_L = 25 Ω ، X_C = 9 Ω ، وجهد المصدر U̲ = 100∠0° V.
أ. نحسب الممانعة بالصيغة القطبية ونحدد طبيعة الدائرة.
ب. نحسب المتجه الطوري للتيار.
ج. نحسب المتجه الطوري للجهد على كل عنصر.
د. نرسم المخطط الطوري.

الإجابات: أ. Z̲ = 20∠53.13° Ω ، حثية. ب. I̲ = 5∠−53.13° A. ج. U̲_R = 60∠−53.13° V ، U̲_L = 125∠36.87° V ، U̲_C = 45∠−143.13° V

10.

في دائرة RLC على التوالي: R = 80 Ω ، L = 63.66 mH ، C = 39.79 µF ، وجهد المصدر 230 V بتردد 50 Hz.
أ. نحسب X_L و X_C .
ب. نحسب الممانعة بالصيغة القطبية ونحدد طبيعة الدائرة.
ج. نحسب التيار والجهد على كل عنصر.

الإجابات: أ. X_L = 20 Ω ، X_C = 80 Ω. ب. Z̲ = 100∠−36.87° Ω ، سعوية. ج. I = 2.3 A ، U_R = 184 V ، U_L = 46 V ، U_C = 184 V

11.

في دائرة RLC على التوالي قيست بفولتمتر الجهود: U_R = 80 V ، U_L = 150 V ، U_C = 90 V.
أ. نحسب جهد المصدر.
ب. ما هي طبيعة الدائرة؟
ج. نحسب فرق الطور بين جهد المصدر والتيار.

الإجابات: أ. U = 100 V. ب. حثية، لأن U_L > U_C. ج. φ = 36.87°

12.

في الدائرة المرسومة: R = 80 Ω ، X_L = 60 Ω وجهد المصدر U̲ = 240∠0° V.
أ. نحسب المتجه الطوري لتيار كل فرع.
ب. نحسب التيار الكلي بالصيغة القطبية.
ج. نحسب الممانعة الكلية بالصيغة القطبية.
د. نرسم المخطط الطوري للتيارات.

الإجابات: أ. I̲_R = 3∠0° A ، I̲_L = 4∠−90° A. ب. I̲ = 5∠−53.13° A. ج. Z̲ = 48∠53.13° Ω

13.

في الدائرة المرسومة: R = 50 Ω ، C = 63.66 µF ، وجهد المصدر 100 V بتردد 50 Hz.
أ. نحسب X_C وتيار كل فرع.
ب. نحسب التيار الكلي بالصيغة القطبية.
ج. نحسب المسامحة الكلية بالصيغتين، ونرسم مثلث المسامحات.

الإجابات: أ. X_C = 50 Ω ، I_R = 2 A ، I_C = 2 A. ب. I̲ = 2.83∠45° A. ج. Y̲ = (20 + j 20) mS = 28.28∠45° mS

14.

في الدائرة المرسومة: R = 50 Ω ، X_L = 100 Ω ، X_C = 40 Ω وجهد المصدر U̲ = 200∠0° V.
أ. نحسب المتجه الطوري لتيار كل فرع.
ب. نحسب التيار الكلي بالصيغة القطبية.
ج. ما هي طبيعة الدائرة؟
د. نحسب الممانعة الكلية بالصيغة القطبية.

الإجابات: أ. I̲_R = 4∠0° A ، I̲_L = 2∠−90° A ، I̲_C = 5∠90° A. ب. I̲ = 5∠36.87° A. ج. سعوية، لأن I_C > I_L. د. Z̲ = 40∠−36.87° Ω

15.

في دائرة RLC على التوازي قيست بأمبيرمتر تيارات الفروع: I_R = 6 A ، I_L = 3 A ، I_C = 11 A.
أ. نحسب التيار الكلي.
ب. ما هي طبيعة الدائرة؟
ج. نحسب فرق الطور بين الجهد والتيار الكلي.

الإجابات: أ. I = 10 A. ب. سعوية. ج. التيار يتقدم على الجهد بزاوية 53.13° ، أي φ = −53.13°

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

16.1 أ. X_L = 15.71 Ω ، X_L = 314.16 Ω. ب. X_C = 31.83 Ω ، X_C = 1.59 Ω

16.2 X_L = 160 Ω ، L = 509.3 mH

16.3 أ. Z̲ = 20∠−53.13° Ω. ب. سعوي، لأن الجزء التخيلي سالب. ج. Y̲ = 50∠53.13° mS

16.4 Z̲ = 100∠53.13° Ω ، I = 2 A ، U_R = 120 V ، U_L = 160 V

16.5 Z̲ = 100∠−36.87° Ω ، I = 0.5 A ، U_R = 40 V ، U_C = 30 V ، التيار يتقدم بزاوية 36.87°

16.6 Z̲ = 10∠36.87° Ω ، حثية ، I = 5 A ، U_R = 40 V ، U_L = 60 V ، U_C = 30 V

16.7 I_R = 2 A ، I_L = 2 A ، I̲ = 2.83∠−45° A ، Z = 70.71 Ω

16.8 I_R = 3 A ، I_C = 4 A ، I̲ = 5∠53.13° A ، Z̲ = 12∠−53.13° Ω

16.9 I_R = 4 A ، I_L = 2 A ، I_C = 5 A ، I̲ = 5∠36.87° A ، سعوية ، Z̲ = 20∠−36.87° Ω

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 16

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، نموذج 845381 (מערכות חשמל)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 6 — دائرة RL توازٍ في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	جهد المصدر U	U = 28 V
البند ب	التيّار I_L وزاوية I	في الحل الكامل
البند ج	مفاعلة الملفّ ومحاثّته	X_L ≈ 5.83 Ω ; L ≈ 9.28 mH
البند د	القدرات P, Q, S	P = 39.2 W ; Q = 134.4 var ; S = 140 VA

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

بجروت 2026 السؤال 5 — دائرة RLC توالٍ في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	جهد المصدر U	U = 50 V
البند ب	R, X_L, X_C	R = 10 Ω ; X_L = 20 Ω ; X_C ≈ 6.67 Ω
البند ج	مخطّط الفازورات	في الحل الكامل
البند د	قَصر المكثّف C	I' ≈ 2.24 A ; V_R ≈ 22.4 V ; V_L ≈ 44.7 V ; V_C = 0 V

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

بجروت 2025 السؤال 7 — دائرة توازٍ مع قيم تيّار معطاة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	جهد المصدر	U = 24 V
البند ب	التيّار المدمج والتيّار الكلّيّ	I_LC = 0.7 A ; I_T = 2.5 A
البند ج	مفاعلة الملفّ ومفاعلة المكثّف	X_L = 48 Ω ; X_C = 20 Ω
البند د	ممانعة الدائرة وطابعها	Z = 9.6 Ω ∠ -16.26°

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

بجروت 2025 السؤال 6 — دائرة RLC توالٍ ذات طابع سعويّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	مفاعلة الملفّ	X_L = 24 Ω
البند ب	ممانعة الدائرة	I = 0.5 A ; Z = 30 Ω
البند ج	هبوط الجهد على الملفّ	U_L = 12 V
البند د	مفاعلة المكثّف	X_C = 42 Ω

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

بجروت 2025 السؤال 5 — دائرة RLC توالٍ في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	ممانعة الدائرة وطابعها	Z = 20 + j31 Ω = 36.89 Ω ∠ 57.17°
البند ب	الجهد على عناصر الدائرة	U_R ≈ 124.7∠-57.2° V ; U_L ≈ 391.7∠32.8° V ; U_C ≈ 198.4∠-147.2° V
البند ج	القدرات P, Q, S	P ≈ 777.2 W ; Q ≈ 1204.7 var ; S ≈ 1433.8 VA

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

بجروت 2024 السؤال 7 — دائرة RLC توازٍ في التيّار المتناوب مع مقاييس تيّار

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	جهد المصدر U	U ≈ 468.1 V
البند ب	محاثّة الملفّ L	L ≈ 1.66 H
البند ج	التيّار عبر المقاوم R	I_R = 1.2 A
البند د	ممانعة الدائرة	Z ≈ 360.1 Ω

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

بجروت 2024 السؤال 6 — دائرة RLC متوازية في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	قراءة مقياس الجهد	U = 230 V
البند ب	التيّارات في فروع الدائرة	I_R = 23 A ; I_L = 11.5 A ; I_C = 5.75 A
البند ج	التيّار المكافئ في الدائرة (قراءة مقياس التيّار)	I ≈ 23.71 A
البند د	ممانعة الدائرة	Z ≈ 9.7 Ω

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

بجروت 2023 السؤال 5 — دائرة RLC توالٍ في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	ممانعة الدائرة وطابعها	في الحل الكامل
البند ب	شدّة التيّار	I = 1.4 A
البند ج	الجهد على الملفّ وعلى المقاوم وعلى المكثّف	U_L = 132 V ; U_R = 112.1 V ; U_C = 89.2 V
البند د	مخطّط فازوريّ لجهود الدائرة	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 20 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)