الفصل 17

القدرة في دوائر التيار المتناوب

הספקים במעגלי זרם חילופין

الصف الحادي عشر · 15 ساعات تعليمية

في دوائر التيار المستمر حسبنا القدرة بقانون واحد: P = U·I. في دوائر التيار المتناوب الصورة أغنى: الجهد والتيار يتغيران في كل لحظة، وقد يكون بينهما فرق طور، والملف والمكثف يأخذان طاقة من المصدر ثم يعيدانها إليه. لذلك نميّز في هذا الفصل بين ثلاث قدرات: الفعالة، غير الفعالة والظاهرة، ونتعلم كيف نحسبها في الدوائر على التوالي وعلى التوازي، وكيف نحسّن معامل القدرة.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

القدرة اللحظية هي حاصل ضرب الجهد اللحظي في التيار اللحظي، وأن القدرة المتوسطة هي P = U·I·cos φ.
القدرة المتوسطة في الملف المثالي وفي المكثف المثالي تساوي صفرا، لأن الطاقة تتبادل بينهما وبين المصدر.
نميّز بين القدرة الفعالة P ، القدرة غير الفعالة Q والقدرة الظاهرة S ، ونعرف وحدة قياس كل واحدة منها.
نحسب القدرات في دوائر RL ، RC و RLC على التوالي وعلى التوازي.
نرسم مثلث القدرات ونحسب منه معامل القدرة cos φ.
نحسب سعة المكثف اللازم لتحسين معامل القدرة.

הספק רגעי והספק ממוצע במעגלי זרם חילופין – القدرة اللحظية والقدرة المتوسطة (Instantaneous and Average Power)

في التيار المتناوب يتغير الجهد u ويتغير التيار i من لحظة إلى أخرى، ولذلك تتغير القدرة أيضا من لحظة إلى أخرى. نكتب القيم اللحظية بحروف صغيرة، والقيم الفعالة بحروف كبيرة، كما تعلمنا في الفصول السابقة.

القدرة اللحظية (הספק רגעי): هي القدرة في لحظة معينة، وتساوي حاصل ضرب القيمة اللحظية للجهد في القيمة اللحظية للتيار في نفس اللحظة.

p = u·i

القدرة اللحظية في المقاومة – ההספק הרגעי בנגד:

في المقاومة يكون التيار والجهد في نفس الطور: يصلان إلى الصفر معا وإلى القيمة العظمى معا. عندما يكون الجهد موجبا يكون التيار موجبا، وعندما يكون الجهد سالبا يكون التيار سالبا، ولذلك فإن حاصل ضربهما موجب دائما.

نرسم u ، i و p على نفس المحاور (الرسم البياني التالي)، ونتعلم منه ثلاثة أمور:

القدرة اللحظية في المقاومة لا تكون سالبة أبدا: المقاومة تأخذ طاقة من المصدر طوال الوقت وتحوّلها إلى حرارة.
القدرة تتذبذب بتردد مضاعف: في كل دورة واحدة للجهد تُتم القدرة دورتين.
القدرة تتذبذب بين صفر وبين القيمة العظمى p_max = U_m·I_m ، حول قيمة متوسطة تساوي نصف القيمة العظمى.

الجهد، التيار والقدرة اللحظية في مقاومة: القدرة موجبة دائما. الخط المتقطع هو القدرة المتوسطة P

القدرة المتوسطة (הספק ממוצע): هي معدل القدرة اللحظية خلال دورة كاملة. تساوي الطاقة التي يستهلكها الحمل في دورة واحدة مقسومة على زمن الدورة. هذه هي القدرة التي يقيسها مقياس القدرة (וואטמטר)، وهي التي ندفع ثمن طاقتها.

في المقاومة نحصل على القدرة المتوسطة من القيم الفعالة مباشرة، بنفس قوانين التيار المستمر. هذا هو بالضبط سبب تعريف القيمة الفعالة:

P = p_max2 = U_m·I_m2 = U_m2·I_m2 = U·I

P = U·I = I²·R = U²R

مثال 17.1

سخان كهربائي مقاومته 46 Ω موصول بشبكة جهدها الفعال 230 V. نحسب:
أ. القيمة الفعالة للتيار.
ب. القدرة المتوسطة.
ج. القيمة العظمى للقدرة اللحظية.

الحل:

أ. نحسب التيار حسب قانون أوم:

I = UR = 23046 = 5 A

ب. القدرة المتوسطة:

P = U·I = 230 · 5 = 1150 W

ج. نحسب القيمتين العظميين للجهد وللتيار، ثم نضربهما:

U_m = 2·U = 2 · 230 = 325.3 V

I_m = 2·I = 2 · 5 = 7.07 A

p_max = U_m·I_m = 325.3 · 7.07 = 2300 W

نلاحظ أن القيمة العظمى للقدرة اللحظية تساوي ضعف القدرة المتوسطة.

P = 1150 W

سؤال 17.1: مقاومة قيمتها 23 Ω موصولة بجهد متناوب قيمته الفعالة 230 V. ما هي القدرة المتوسطة؟ وما هي القيمة العظمى للقدرة اللحظية؟

القدرة اللحظية عندما يوجد فرق طور – ההספק הרגעי כאשר יש הפרש מופע:

في دائرة فيها مقاومة مع ملف أو مع مكثف يوجد بين الجهد والتيار فرق طور φ. في هذه الحالة توجد فترات يكون فيها الجهد موجبا والتيار سالبا، أو بالعكس، وفي هذه الفترات تكون القدرة اللحظية سالبة.

الجهد، التيار والقدرة اللحظية عندما يتأخر التيار عن الجهد بزاوية φ = 60°

قدرة موجبة (المساحة الخضراء): الطاقة تنتقل من المصدر إلى الحمل.
قدرة سالبة (المساحة الحمراء): الطاقة تعود من الحمل إلى المصدر.
المساحة الخضراء أكبر من الحمراء، والفرق بينهما هو الطاقة التي استهلكها الحمل فعلا. لذلك تكون القدرة المتوسطة أصغر من U·I.

القدرة المتوسطة في دائرة التيار المتناوب · הספק ממוצע

P = U·I·cos φ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
P	القدرة المتوسطة	[W]
U	القيمة الفعالة للجهد	[V]
I	القيمة الفعالة للتيار	[A]
φ	فرق الطور بين الجهد والتيار	[°]

ملاحظة: عندما φ = 0° (مقاومة فقط) يكون cos φ = 1 ونحصل على P = U·I ، وهي أكبر قدرة ممكنة. عندما φ = 90° (ملف مثالي أو مكثف مثالي) يكون cos φ = 0 ، ولذلك P = 0.

مثال 17.2

في دائرة تيار متناوب: U = 230 V ، I = 4 A ، والتيار يتأخر عن الجهد بزاوية 60°. نحسب القدرة المتوسطة.

الحل:

P = U·I·cos φ

P = 230 · 4 · cos 60° = 230 · 4 · 0.5 = 460 W

لو كان الجهد والتيار في نفس الطور لكانت القدرة 230 · 4 = 920 W. بسبب فرق الطور هبطت القدرة المتوسطة إلى النصف.

P = 460 W

سؤال 17.2: في دائرة تيار متناوب: U = 120 V ، I = 5 A ، وفرق الطور بين الجهد والتيار φ = 37°. ما هي القدرة المتوسطة؟

ההספק במשרן וההספק בקבל; חילופי אנרגיה עם המקור – القدرة في الملف والقدرة في المكثف (Power in L and C)

الملف المثالي – משרן אידאלי:

في الملف المثالي (بدون مقاومة) يتأخر التيار عن الجهد بزاوية 90°. نرسم القدرة اللحظية p = u·i :

القدرة اللحظية في ملف مثالي: نصف الوقت موجبة ونصف الوقت سالبة، والقدرة المتوسطة صفر

المساحة الخضراء تساوي المساحة الحمراء بالضبط. ماذا يحدث من ناحية الطاقة؟

في الربع الذي يكبر فيه التيار (بالقيمة المطلقة) يأخذ الملف طاقة من المصدر ويخزنها في مجاله المغناطيسي: W_L = 12·L·i².
في الربع الذي يصغر فيه التيار ينهار المجال المغناطيسي، والملف يعيد كل الطاقة التي خزنها إلى المصدر.
هكذا تنتقل الطاقة ذهابا وإيابا بين المصدر والملف مرتين في كل دورة، ولا يتحول شيء منها إلى حرارة.

المكثف المثالي – קבל אידאלי:

في المكثف المثالي يتقدم التيار على الجهد بزاوية 90° ، وصورة القدرة مشابهة:

في الربع الذي يكبر فيه الجهد (بالقيمة المطلقة) يُشحن المكثف ويخزن طاقة في مجاله الكهربائي: W_C = 12·C·u².
في الربع الذي يصغر فيه الجهد يتفرغ المكثف ويعيد الطاقة إلى المصدر.

تبادل الطاقة (חילופי אנרגיה): هو انتقال الطاقة من المصدر إلى الملف أو إلى المكثف ثم عودتها إلى المصدر، بدون أن تُستهلك. القدرة المتوسطة للملف المثالي وللمكثف المثالي تساوي صفرا: P = 0.

العنصر	فرق الطور φ	القدرة المتوسطة	ماذا يحدث للطاقة؟
المقاومة R	0°	P = U·I	تتحول إلى حرارة ولا تعود إلى المصدر
الملف المثالي L	+90° (التيار يتأخر)	P = 0	تُخزن في المجال المغناطيسي ثم تعود إلى المصدر
المكثف المثالي C	−90° (التيار يتقدم)	P = 0	تُخزن في المجال الكهربائي ثم تعود إلى المصدر

ملاحظة: مع أن القدرة المتوسطة صفر، يمر في الملف وفي المكثف تيار حقيقي، وهذا التيار يحمّل المصدر والموصلات. لقياس «حجم» تبادل الطاقة نستخدم القيمة العظمى للقدرة اللحظية في العنصر، وتسمى القدرة غير الفعالة. في الملف: Q_L = U_L·I ، وفي المكثف: Q_C = U_C·I. سنتوسع فيها في البند التالي.

مثال 17.3

ملف مثالي حثه L = 0.2 H موصول بشبكة 230 V ، 50 Hz. نحسب:
أ. المفاعلة الحثية والتيار.
ب. القدرة المتوسطة.
ج. القدرة غير الفعالة.
د. أكبر طاقة تُخزن في الملف.

الحل:

أ. نتذكر: X_L = 2π·f·L.

X_L = 2π · 50 · 0.2 = 62.83 Ω

I = UX_L = 23062.83 = 3.66 A

ب. الملف مثالي، ولذلك φ = 90° :

P = U·I·cos 90° = 0

ج. القدرة غير الفعالة للملف:

Q_L = U·I = 230 · 3.66 = 841.9 VAR

د. أكبر طاقة تُخزن عندما يصل التيار إلى قيمته العظمى I_m = 2·I :

W_max = 12·L·I_m² = L·I²

W_max = 0.2 · 3.66² = 2.68 J

هذه الطاقة تدخل إلى الملف وتخرج منه مرتين في كل دورة، أي 100 مرة في الثانية.

Q_L = 841.9 VAR

سؤال 17.3: مكثف سعته 50 µF موصول بشبكة 230 V ، 50 Hz. نحسب:
أ. المفاعلة السعوية X_C = 12π·f·C والتيار.
ب. القدرة المتوسطة.
ج. القدرة غير الفعالة Q_C = U·I.

הספק פעיל (ממשי) P, הספק היגבי (עיוור) Q והספק מדומה S – القدرة الفعالة، القدرة غير الفعالة والقدرة الظاهرة (Active, Reactive, Apparent Power)

في دائرة عملية توجد مقاومة ومفاعلة معا. جزء من الطاقة يُستهلك في المقاومة، وجزء آخر يتبادل بين المصدر وبين الملفات والمكثفات. لذلك نُعرّف ثلاث قدرات:

القدرة الفعالة (הספק פעיל / הספק ממשי): هي القدرة المتوسطة التي يستهلكها الحمل فعلا، وتتحول إلى حرارة، ضوء أو شغل ميكانيكي. تُستهلك في المقاومات فقط. رمزها P ووحدة قياسها الواط [W].

القدرة غير الفعالة (הספק היגבי / הספק עיוור): هي القدرة التي تتبادل بين المصدر وبين الملفات والمكثفات، ولا تُستهلك. رمزها Q ووحدة قياسها فولت·أمبير غير فعال [VAR].

القدرة الظاهرة (הספק מדומה): هي حاصل ضرب القيمة الفعالة للجهد في القيمة الفعالة للتيار، بدون أخذ فرق الطور بالحسبان. هي القدرة التي «يراها» المصدر، وحسبها تُحدَّد أبعاد المولّدات، المحولات والموصلات. رمزها S ووحدة قياسها فولت·أمبير [VA].

القدرات الثلاث في دائرة التيار المتناوب · שלושת ההספקים

S = U·I

P = U·I·cos φ = S·cos φ

Q = U·I·sin φ = S·sin φ

S = P² + Q²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
S	القدرة الظاهرة	[VA]
P	القدرة الفعالة	[W]
Q	القدرة غير الفعالة	[VAR]
U , I	القيمتان الفعالتان للجهد وللتيار	[V] , [A]
φ	فرق الطور بين الجهد والتيار	[°]

ملاحظة: الوحدات الثلاث [W] ، [VAR] و [VA] هي من ناحية رياضية نفس الوحدة: فولت ضرب أمبير. نستخدم ثلاثة أسماء مختلفة حتى نعرف فورا عن أي قدرة نتكلم. لذلك نجد على لوحة المحوّل قدرته بوحدة [kVA] ، وعلى لوحة السخان بوحدة [kW].

يمكن حساب القدرتين الفعالة وغير الفعالة أيضا من عناصر الدائرة مباشرة:

P = I_R²·R = U_R²R

Q_L = I_L²·X_L = U_L²X_L

Q_C = I_C²·X_C = U_C²X_C

Q = Q_L − Q_C

هنا I_R ، I_L ، I_C هي تيارات العناصر، و U_R ، U_L ، U_C هي الجهود عليها. Q_L هي القدرة غير الفعالة للملف (حثية)، Q_C هي القدرة غير الفعالة للمكثف (سعوية)، و Q هي القدرة غير الفعالة الكلية للدائرة.

ملاحظة: الملف والمكثف يعملان بعكس بعضهما: في اللحظة التي يأخذ فيها الملف طاقة يعيد المكثف طاقة. لذلك نطرح Q_C من Q_L. إذا كانت النتيجة موجبة فطبيعة الدائرة حثية، وإذا كانت سالبة فطبيعتها سعوية، وإذا كانت صفرا فطبيعتها مقاوِمة.

مثال 17.4

محرك أحادي الطور موصول بجهد 230 V ويسحب تيارا شدته 5 A. معامل القدرة cos φ = 0.8 (حثي). نحسب القدرات الثلاث.

الحل:

نحسب أولا القدرة الظاهرة:

S = U·I = 230 · 5 = 1150 VA

القدرة الفعالة:

P = S·cos φ = 1150 · 0.8 = 920 W

لحساب القدرة غير الفعالة نحتاج إلى sin φ. نحسبه من cos φ :

sin φ = 1 − cos² φ = 1 − 0.8² = 0.6

Q = S·sin φ = 1150 · 0.6 = 690 VAR

فحص:

P² + Q² = 920² + 690² = 1150 VA

S = 1150 VA

مثال 17.5

حمل موصول بجهد 230 V يستهلك قدرة فعالة 1.2 kW وقدرة غير فعالة 0.9 kVAR. نحسب القدرة الظاهرة، معامل القدرة والتيار.

الحل:

S = P² + Q² = 1200² + 900² = 1500 VA

cos φ = PS = 12001500 = 0.8

I = SU = 1500230 = 6.52 A

S = 1.5 kVA

سؤال 17.4: حمل حثي موصول بجهد 230 V ويسحب تيارا شدته 8 A ، ومعامل القدرة cos φ = 0.6. ما هي القدرات S ، P و Q؟

חישוב ההספקים במעגל RL טורי, RC טורי ו-RLC טורי – حساب القدرات في الدوائر على التوالي (Powers in Series Circuits)

في الدائرة على التوالي يمر نفس التيار في جميع العناصر، ولذلك من المريح حساب القدرات بواسطة التيار. طريقة الحل:

نحسب الممانعة: Z = R² + (X_L − X_C)².
نحسب التيار: I = UZ.
نحسب القدرات: P = I²·R ، Q_L = I²·X_L ، Q_C = I²·X_C ، S = U·I = I²·Z.
نحسب معامل القدرة: cos φ = RZ = PS.

دائرة RL على التوالي – מעגל RL טורי:

مثال 17.6

مقاومة R = 60 Ω وملف مفاعلته الحثية X_L = 80 Ω مربوطان على التوالي بمصدر جهده 200 V. نحسب التيار، القدرات الثلاث ومعامل القدرة.

الحل:

Z = R² + X_L² = 60² + 80² = 100 Ω

I = UZ = 200100 = 2 A

القدرة الفعالة تُستهلك في المقاومة، والقدرة غير الفعالة تتبادل مع الملف:

P = I²·R = 2² · 60 = 240 W

Q = I²·X_L = 2² · 80 = 320 VAR

S = U·I = 200 · 2 = 400 VA

معامل القدرة:

cos φ = RZ = 60100 = 0.6

فحص: 240² + 320² = 400 VA ، وهذه هي S التي حسبناها.

P = 240 W

دائرة RC على التوالي – מעגל RC טורי:

نحل بنفس الطريقة، لكن القدرة غير الفعالة هنا سعوية: Q_C = I²·X_C.

سؤال 17.5: مقاومة R = 50 Ω ومكثف مفاعلته السعوية X_C = 120 Ω مربوطان على التوالي بمصدر جهده 130 V. نحسب التيار، القدرات الثلاث ومعامل القدرة.

دائرة RLC على التوالي – מעגל RLC טורי:

مثال 17.7

في دائرة RLC على التوالي: R = 40 Ω ، X_L = 80 Ω ، X_C = 50 Ω ، وجهد المصدر 100 V. نحسب التيار، قدرة كل عنصر، القدرات الكلية ومعامل القدرة، ونحدد طبيعة الدائرة.

الحل:

Z = R² + (X_L − X_C)² = 40² + (80 − 50)² = 50 Ω

I = UZ = 10050 = 2 A

قدرة كل عنصر:

P = I²·R = 2² · 40 = 160 W

Q_L = I²·X_L = 2² · 80 = 320 VAR

Q_C = I²·X_C = 2² · 50 = 200 VAR

القدرات الكلية:

Q = Q_L − Q_C = 320 − 200 = 120 VAR

S = U·I = 100 · 2 = 200 VA

cos φ = PS = 160200 = 0.8

القدرة غير الفعالة الكلية موجبة (Q_L أكبر من Q_C)، ولذلك طبيعة الدائرة حثية. نلاحظ أن المصدر يزوّد 120 VAR فقط، مع أن الملف يحتاج إلى 320 VAR : الباقي يزوّده المكثف.

P = 160 W

سؤال 17.6: في دائرة RLC على التوالي: R = 30 Ω ، X_L = 20 Ω ، X_C = 60 Ω ، وجهد المصدر 150 V. نحسب:
أ. التيار.
ب. P ، Q و S.
ج. معامل القدرة وطبيعة الدائرة.

חישוב ההספקים במעגל RL מקבילי, RC מקבילי ו-RLC מקבילי – حساب القدرات في الدوائر على التوازي (Powers in Parallel Circuits)

في الدائرة على التوازي يقع نفس الجهد على جميع الفروع، ولذلك من المريح حساب القدرات بواسطة الجهد. طريقة الحل:

نحسب تيار كل فرع: I_R = UR ، I_L = UX_L ، I_C = UX_C.
نحسب قدرة كل فرع: P = U·I_R = U²R ، Q_L = U·I_L = U²X_L ، Q_C = U·I_C = U²X_C.
نحسب التيار الكلي: I = I_R² + (I_L − I_C)².
نحسب القدرة الظاهرة ومعامل القدرة: S = U·I ، cos φ = PS = I_RI.

دائرة RL على التوازي – מעגל RL מקבילי:

مثال 17.8

مقاومة R = 40 Ω وملف مفاعلته X_L = 30 Ω مربوطان على التوازي بمصدر جهده 120 V. نحسب التيارات، القدرات ومعامل القدرة.

الحل:

I_R = UR = 12040 = 3 A

I_L = UX_L = 12030 = 4 A

I = I_R² + I_L² = 3² + 4² = 5 A

القدرات:

P = U·I_R = 120 · 3 = 360 W

Q = U·I_L = 120 · 4 = 480 VAR

S = U·I = 120 · 5 = 600 VA

cos φ = PS = 360600 = 0.6

P = 360 W

دائرة RC على التوازي – מעגל RC מקבילי:

نحل بنفس الطريقة، لكن القدرة غير الفعالة هنا سعوية: Q_C = U·I_C.

سؤال 17.7: مقاومة R = 30 Ω ومكثف مفاعلته X_C = 40 Ω مربوطان على التوازي بمصدر جهده 240 V. نحسب التيارات، القدرات ومعامل القدرة.

دائرة RLC على التوازي – מעגל RLC מקבילי:

مثال 17.9

في دائرة RLC على التوازي: R = 30 Ω ، X_L = 20 Ω ، X_C = 40 Ω ، وجهد المصدر 120 V. نحسب تيارات الفروع، التيار الكلي، القدرات ومعامل القدرة.

الحل:

I_R = 12030 = 4 A

I_L = 12020 = 6 A

I_C = 12040 = 3 A

تيار الملف وتيار المكثف متعاكسان في الطور، ولذلك نطرحهما:

I = I_R² + (I_L − I_C)² = 4² + (6 − 3)² = 5 A

القدرات:

P = U·I_R = 120 · 4 = 480 W

Q_L = U·I_L = 120 · 6 = 720 VAR

Q_C = U·I_C = 120 · 3 = 360 VAR

Q = Q_L − Q_C = 720 − 360 = 360 VAR

S = U·I = 120 · 5 = 600 VA

cos φ = PS = 480600 = 0.8

تيار الملف أكبر من تيار المكثف، ولذلك طبيعة الدائرة حثية.

P = 480 W

سؤال 17.8: في دائرة RLC على التوازي: R = 50 Ω ، X_L = 100 Ω ، X_C = 40 Ω ، وجهد المصدر 200 V. نحسب:
أ. التيار الكلي.
ب. P ، Q و S.
ج. معامل القدرة وطبيعة الدائرة.

جمع قدرات عدة أحمال – חיבור הספקים של כמה צרכנים:

في كل دائرة، مهما كانت طريقة الربط، تنطبق القاعدة التالية:

القدرة الفعالة الكلية تساوي مجموع القدرات الفعالة لجميع الأحمال: P = P₁ + P₂ + …
القدرة غير الفعالة الكلية تساوي مجموع القدرات غير الفعالة، حيث نأخذ الحثية بإشارة موجبة والسعوية بإشارة سالبة: Q = Q₁ + Q₂ + …
القدرة الظاهرة الكلية لا تُجمع جمعا عاديا. نحسبها من P و Q الكليتين: S = P² + Q².

مثال 17.10

حملان موصولان على التوازي بشبكة 230 V : سخان قدرته 1 kW (مقاومة فقط)، ومحرك يستهلك 2 kW بمعامل قدرة 0.8 حثي. نحسب القدرات الكلية، التيار الذي تزوّده الشبكة ومعامل القدرة الكلي.

الحل:

السخان: P₁ = 1000 W ، Q₁ = 0. المحرك: P₂ = 2000 W ، ونحسب قدرته غير الفعالة من مثلث القدرات:

S₂ = P₂cos φ₂ = 20000.8 = 2500 VA

Q₂ = S₂² − P₂² = 2500² − 2000² = 1500 VAR

نجمع:

P = P₁ + P₂ = 1000 + 2000 = 3000 W

Q = Q₁ + Q₂ = 0 + 1500 = 1500 VAR

S = P² + Q² = 3000² + 1500² = 3354.1 VA

التيار ومعامل القدرة:

I = SU = 3354.1230 = 14.58 A

cos φ = PS = 30003354.1 = 0.894

ننتبه: S₁ + S₂ = 1000 + 2500 = 3500 VA ، وهذا ليس القدرة الظاهرة الكلية.

S = 3354.1 VA

משולש ההספקים, מקדם הספק ושיפור מקדם ההספק – مثلث القدرات، معامل القدرة وتحسينه (Power Triangle and Power Factor)

مثلث القدرات – משולש ההספקים:

العلاقة S² = P² + Q² هي نظرية فيثاغورس، ولذلك يمكن تمثيل القدرات الثلاث بمثلث قائم الزاوية يسمى مثلث القدرات: الضلع الأفقي هو P ، الضلع العمودي هو Q ، والوتر هو S. الزاوية بين P و S هي فرق الطور φ.

حمل حثي: Q إلى الأعلى

حمل سعوي: Q إلى الأسفل

من المثلث نحصل على العلاقات التالية:

S = P² + Q²

cos φ = PS

sin φ = QS

tan φ = QP

ملاحظة: مثلث القدرات يشبه مثلث الممانعات (R ، X ، Z) ومثلث الجهود في الدائرة على التوالي: نحصل عليه من مثلث الممانعات بضرب كل ضلع في I². لذلك الزاوية φ هي نفسها في المثلثات الثلاثة.

معامل القدرة – מקדם ההספק:

معامل القدرة (מקדם הספק / גורם הספק): هو النسبة بين القدرة الفعالة والقدرة الظاهرة: cos φ = PS. يبيّن أي جزء من القدرة الظاهرة يُستغل فعلا. قيمته بين 0 و 1، ونضيف إليه دائما كلمة «حثي» (השראותי) أو «سعوي» (קיבולי).

لماذا يهمّنا أن يكون معامل القدرة قريبا من 1؟ من القانون P = U·I·cos φ نحصل على التيار الذي يسحبه الحمل:

I = PU·cos φ

أي أنه من أجل نفس القدرة الفعالة ونفس الجهد، كلما كان معامل القدرة أصغر كان التيار أكبر. هذا التيار الزائد لا يعطي شغلا إضافيا، لكنه يمر في خطوط الشبكة ويسخّنها.

مثال 17.11

حمل يستهلك قدرة فعالة 2.3 kW من شبكة 230 V ، عبر خط مقاومته 0.5 Ω. نحسب التيار وضياع القدرة في الخط في حالتين:
أ. cos φ = 1.
ب. cos φ = 0.5.

الحل:

أ. عندما cos φ = 1 :

I = PU·cos φ = 2300230 · 1 = 10 A

ΔP = I²·R = 10² · 0.5 = 50 W

ب. عندما cos φ = 0.5 :

I = 2300230 · 0.5 = 20 A

ΔP = I²·R = 20² · 0.5 = 200 W

الحمل يستهلك نفس القدرة الفعالة في الحالتين، لكن عند معامل القدرة المنخفض تضاعف التيار مرتين، وكبر ضياع القدرة في الخط أربع مرات.

نتائج معامل القدرة المنخفض:

تيار أكبر في الخطوط، ولذلك ضياع قدرة أكبر وهبوط جهد أكبر.
حاجة إلى موصلات ذات مقطع أكبر، وإلى مولّدات ومحولات ذات قدرة ظاهرة أكبر.
شركة الكهرباء تطالب المستهلكين الكبار بالمحافظة على معامل قدرة مرتفع.

تحسين معامل القدرة – שיפור מקדם ההספק:

معظم الأحمال في الصناعة حثية: محركات، محولات وملفات. من أجل تحسين معامل القدرة نربط مكثفا على التوازي مع الحمل. المكثف يزوّد الحمل بجزء من القدرة غير الفعالة التي يحتاج إليها، بدل أن تزوّدها الشبكة. الطاقة تتبادل الآن بين الملف والمكثف القريب منه، ولا تمر في خطوط الشبكة.

مكثف التحسين مربوط على التوازي مع الحمل الحثي

مثلث القدرات قبل التحسين (S₁ ، φ₁) وبعده (S₂ ، φ₂)

ماذا يتغير وماذا لا يتغير؟

الجهد على الحمل لا يتغير، لأن المكثف مربوط على التوازي. لذلك يستمر الحمل بالعمل كما كان تماما، و P لا تتغير.
القدرة غير الفعالة التي تزوّدها الشبكة تصغر من Q₁ إلى Q₂ = Q₁ − Q_C.
القدرة الظاهرة والتيار في الخط يصغران، ومعامل القدرة يكبر من cos φ₁ إلى cos φ₂.

من مثلث القدرات: Q₁ = P·tan φ₁ و Q₂ = P·tan φ₂. الفرق بينهما هو القدرة غير الفعالة التي يجب أن يزوّدها المكثف. ولأن الجهد على المكثف هو جهد الشبكة: Q_C = U²X_C = ω·C·U². من هنا:

تحسين معامل القدرة بواسطة مكثف على التوازي · שיפור מקדם ההספק

Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)

C = Q_Cω·U²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
Q_C	القدرة غير الفعالة للمكثف	[VAR]
P	القدرة الفعالة للحمل	[W]
φ₁ , φ₂	زاوية الطور قبل التحسين وبعده	[°]
C	سعة المكثف	[F]
ω	التردد الزاوي، ω = 2π·f	[rad/s]
U	جهد الشبكة	[V]

مثال 17.12

محرك يستهلك قدرة فعالة 3 kW من شبكة 230 V ، 50 Hz بمعامل قدرة 0.6 حثي. نريد تحسين معامل القدرة إلى 0.9. نحسب:
أ. القدرة غير الفعالة للمكثف.
ب. سعة المكثف.
ج. تيار الخط قبل التحسين وبعده.

الحل:

أ. نحسب الزاويتين وظل كل واحدة منهما:

cos φ₁ = 0.6 → φ₁ = 53.1° → tan φ₁ = 1.333

cos φ₂ = 0.9 → φ₂ = 25.8° → tan φ₂ = 0.484

Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) = 3000 · (1.333 − 0.484) = 2547 VAR

ب. سعة المكثف، حيث ω = 2π · 50 = 314.2 rad/s :

C = Q_Cω·U² = 2547314.2 · 230² = 1.53·10⁻⁴ F

C = 153.3 µF

ج. تيار الخط:

I₁ = PU·cos φ₁ = 3000230 · 0.6 = 21.74 A

I₂ = PU·cos φ₂ = 3000230 · 0.9 = 14.49 A

بعد ربط المكثف هبط تيار الخط بنحو الثلث، مع أن المحرك يعمل تماما كما كان.

C = 153.3 µF

ملاحظة: إذا أردنا تحسينا كاملا، أي cos φ₂ = 1 ، يجب أن يزوّد المكثف كل القدرة غير الفعالة للحمل: Q_C = Q₁. في الواقع لا نحسّن معامل القدرة إلى 1 بالضبط، بل إلى قيمة قريبة منه. إذا كان المكثف أكبر من اللازم يصبح Q_C أكبر من Q₁ ، فتصبح طبيعة الدائرة سعوية ويعود معامل القدرة إلى الهبوط. تسمى هذه الحالة تعويضا زائدا (קיזוז יתר).

سؤال 17.9: حمل يستهلك 2 kW من شبكة 230 V ، 50 Hz بمعامل قدرة 0.5 حثي. ما هي سعة المكثف اللازم لتحسين معامل القدرة إلى 0.95؟

▶تجربة حية — مختبر دوائر RLC — القدرات وتحسين معامل القدرةنغيّر R ، L ، C والتردد ونرى كيف يتغير مثلث القدرات ومعامل القدرة، ونجرّب ربط مكثف التحسين.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/rlc/rlc_lab

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
القدرة اللحظية	p = u·i
القدرة الفعالة	P = U·I·cos φ = I_R²·R
القدرة غير الفعالة	Q = U·I·sin φ = Q_L − Q_C
القدرة غير الفعالة للملف وللمكثف	Q_L = I_L²·X_L , Q_C = I_C²·X_C
القدرة الظاهرة	S = U·I = P² + Q²
معامل القدرة	cos φ = PS
تيار الحمل	I = PU·cos φ
القدرة غير الفعالة لمكثف التحسين	Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)
سعة مكثف التحسين	C = Q_Cω·U²

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
القدرة اللحظية	הספק רגעי	Instantaneous power
القدرة المتوسطة	הספק ממוצע	Average power
القدرة الفعالة	הספק פעיל / ממשי	Active (real) power
القدرة غير الفعالة	הספק היגבי / עיוור	Reactive power
القدرة الظاهرة	הספק מדומה	Apparent power
تبادل الطاقة	חילופי אנרגיה	Energy exchange
المجال المغناطيسي	שדה מגנטי	Magnetic field
مثلث القدرات	משולש ההספקים	Power triangle
معامل القدرة	מקדם הספק / גורם הספק	Power factor
تحسين معامل القدرة	שיפור מקדם ההספק	Power-factor correction
مكثف التحسين	קבל לשיפור מקדם ההספק	Correction capacitor
تعويض زائد	קיזוז יתר	Over-compensation
حمل حثي / سعوي	עומס השראותי / קיבולי	Inductive / capacitive load
ضياع القدرة في الخط	הפסדי הספק בקו	Line losses
مقياس القدرة	וואטמטר	Wattmeter

أسئلة للتمرين:

مصباح متوهج يعمل كمقاومة قيمتها 529 Ω موصول بشبكة 230 V. نحسب:
أ. القدرة المتوسطة.
ب. القيمة العظمى للقدرة اللحظية.
ج. كم مرة في الثانية تصل القدرة اللحظية إلى الصفر إذا كان تردد الشبكة 50 Hz؟

الإجابات: أ. P = 100 W. ب. p_max = 200 W. ج. 100 مرة

نشرح بالكلمات: لماذا تساوي القدرة المتوسطة لملف مثالي صفرا مع أنه يمر فيه تيار؟ وأين تكون الطاقة في اللحظة التي يصل فيها التيار إلى قيمته العظمى؟

الإجابات: الملف يأخذ طاقة في ربع دورة ويعيدها كلها في الربع التالي. عند القيمة العظمى للتيار تكون الطاقة مخزنة في المجال المغناطيسي للملف

مكثف سعته 100 µF موصول بشبكة 230 V ، 50 Hz. نحسب:
أ. التيار.
ب. القدرة الفعالة.
ج. القدرة غير الفعالة.
د. أكبر طاقة تُخزن في المكثف، W_max = C·U².

الإجابات: أ. I = 7.23 A. ب. P = 0. ج. Q_C = 1661.9 VAR. د. W_max = 5.29 J

محوّل يزوّد حملا بقدرة ظاهرة 6 kVA ، والقدرة الفعالة للحمل 3.6 kW. نحسب:
أ. معامل القدرة.
ب. القدرة غير الفعالة.
ج. نرسم مثلث القدرات.

الإجابات: أ. cos φ = 0.6. ب. Q = 4.8 kVAR

مقاومة R = 40 Ω وملف حثه L = 95.5 mH مربوطان على التوالي بشبكة 230 V ، 50 Hz. نحسب:
أ. X_L و Z.
ب. التيار.
ج. P ، Q و S.
د. معامل القدرة.

الإجابات: أ. X_L ≈ 30 Ω ، Z ≈ 50 Ω. ب. I ≈ 4.6 A. ج. P ≈ 846 W ، Q ≈ 635 VAR ، S ≈ 1058 VA. د. cos φ ≈ 0.8

مقاومة R = 80 Ω ومكثف مفاعلته X_C = 60 Ω مربوطان على التوالي بمصدر جهده 100 V. نحسب التيار، P ، Q ، S ومعامل القدرة.

الإجابات: I = 1 A ، P = 80 W ، Q = 60 VAR (سعوية) ، S = 100 VA ، cos φ = 0.8

في دائرة RLC على التوالي: R = 30 Ω ، L = 0.2 H ، C = 100 µF ، والمصدر 120 V ، 50 Hz. نحسب:
أ. X_L ، X_C و Z.
ب. التيار.
ج. P ، Q_L ، Q_C ، Q و S.
د. معامل القدرة وطبيعة الدائرة.

الإجابات: أ. X_L ≈ 62.8 Ω ، X_C ≈ 31.8 Ω ، Z ≈ 43.1 Ω. ب. I ≈ 2.78 A. ج. P ≈ 232 W ، Q_L ≈ 486 VAR ، Q_C ≈ 246 VAR ، Q ≈ 240 VAR ، S ≈ 334 VA. د. cos φ ≈ 0.7 ، حثية

مقاومة R = 46 Ω وملف مفاعلته X_L = 23 Ω مربوطان على التوازي بشبكة 230 V. نحسب:
أ. تيار كل فرع والتيار الكلي.
ب. P ، Q و S.
ج. معامل القدرة.

الإجابات: أ. I_R = 5 A ، I_L = 10 A ، I ≈ 11.18 A. ب. P = 1150 W ، Q = 2300 VAR ، S ≈ 2571 VA. ج. cos φ ≈ 0.45

في دائرة RLC على التوازي: R = 20 Ω ، X_L = 15 Ω ، X_C = 30 Ω ، وجهد المصدر 60 V. نحسب:
أ. تيارات الفروع والتيار الكلي.
ب. P ، Q_L ، Q_C ، Q و S.
ج. معامل القدرة وطبيعة الدائرة.

الإجابات: أ. I_R = 3 A ، I_L = 4 A ، I_C = 2 A ، I ≈ 3.61 A. ب. P = 180 W ، Q_L = 240 VAR ، Q_C = 120 VAR ، Q = 120 VAR ، S ≈ 216.3 VA. ج. cos φ ≈ 0.83 ، حثية

10.

ورشة موصولة بشبكة 230 V وفيها حملان على التوازي: إنارة وتدفئة بقدرة 1.5 kW ومعامل قدرة 1، ومحرك يستهلك 2.4 kW بمعامل قدرة 0.6 حثي. نحسب:
أ. P ، Q و S الكلية.
ب. التيار الكلي.
ج. معامل القدرة الكلي.

الإجابات: أ. P = 3900 W ، Q = 3200 VAR ، S ≈ 5045 VA. ب. I ≈ 21.9 A. ج. cos φ ≈ 0.77

11.

حمل يستهلك قدرة فعالة 4.6 kW من شبكة 230 V.
أ. نحسب التيار عندما cos φ = 0.5 وعندما cos φ = 0.92.
ب. بكم مرة يصغر ضياع القدرة في الخط بعد تحسين معامل القدرة؟

الإجابات: أ. 40 A و 21.74 A. ب. نحو 3.4 مرات

12.

محرك يستهلك 5 kW من شبكة 230 V ، 50 Hz بمعامل قدرة 0.7 حثي. نريد تحسين معامل القدرة إلى 0.95. نحسب:
أ. القدرة غير الفعالة قبل التحسين وبعده.
ب. Q_C.
ج. سعة المكثف.
د. تيار الخط قبل التحسين وبعده.

الإجابات: أ. Q₁ ≈ 5101 VAR ، Q₂ ≈ 1643 VAR. ب. Q_C ≈ 3458 VAR. ج. C ≈ 208 µF. د. I₁ ≈ 31.06 A ، I₂ ≈ 22.88 A

13.

حمل يستهلك 1.5 kW من شبكة 230 V ، 50 Hz بمعامل قدرة 0.6 حثي. رُبط على التوازي معه مكثف سعته 60 µF. نحسب:
أ. القدرة غير الفعالة للمكثف، Q_C = ω·C·U².
ب. القدرة غير الفعالة التي تزوّدها الشبكة بعد ربط المكثف.
ج. معامل القدرة الجديد.

الإجابات: أ. Q_C ≈ 997 VAR. ب. Q₂ ≈ 1003 VAR. ج. cos φ₂ ≈ 0.83

14.

حمل حثي يسحب 10 A من شبكة 230 V ، 50 Hz بمعامل قدرة 0.7. نريد تحسين معامل القدرة إلى 1 (تحسين كامل). نحسب:
أ. P و Q₁ للحمل.
ب. سعة المكثف.
ج. تيار الخط بعد التحسين.

الإجابات: أ. P = 1610 W ، Q₁ ≈ 1642.5 VAR. ب. C ≈ 98.8 µF. ج. I₂ = 7 A

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

17.1 P = 2300 W ، p_max = 4600 W

17.2 P ≈ 479 W

17.3 أ. X_C = 63.66 Ω ، I = 3.61 A. ب. P = 0. ج. Q_C = 831 VAR

17.4 S = 1840 VA ، P = 1104 W ، Q = 1472 VAR

17.5 Z = 130 Ω ، I = 1 A ، P = 50 W ، Q_C = 120 VAR ، S = 130 VA ، cos φ = 0.385 (سعوي)

17.6 أ. I = 3 A. ب. P = 270 W ، Q = 360 VAR (سعوية) ، S = 450 VA. ج. cos φ = 0.6 ، سعوية

17.7 I_R = 8 A ، I_C = 6 A ، I = 10 A ، P = 1920 W ، Q_C = 1440 VAR ، S = 2400 VA ، cos φ = 0.8 (سعوي)

17.8 أ. I = 5 A. ب. P = 800 W ، Q = 600 VAR (سعوية) ، S = 1000 VA. ج. cos φ = 0.8 ، سعوية

17.9 Q_C ≈ 2807 VAR ، C ≈ 168.9 µF

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 17

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، نموذج 845381 (מערכות חשמל)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2024 السؤال 5 — دائرة RLC توالٍ في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	ممانعة الدائرة	Z = 50 Ω
البند ب	قراءة مقياس التيّار	I = 1 A
البند ج	هبوطات الجهد على عناصر الدائرة	U_R = 40 V ; U_L = 180 V ; U_C = 150 V
البند د(1)	القدرة الفعّالة والقدرة الردّيّة والقدرة الظاهريّة	P = 40 W ; Q = 30 var ; S = 50 VA
البند د(2)	مثلّث القدرات	cos φ = 0.8 ; φ ≈ 36.87°

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

بجروت 2023 السؤال 6 — دائرة توازٍ في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	فازورات التيّارات	I_R = 0.5∠0° A ; I_L = 0.46∠-90° A ; I_C = 1∠90° A ; I_T = 0.736∠+47.2° A
البند ب	القدرة الفعّالة والردّيّة والظاهريّة	في الحل الكامل
البند ج	مثلّث القدرات وطابع الدائرة	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

بجروت 2018 السؤال 7 — دائرة RLC على التوالي وتحسين معامل القدرة

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	ممانعة الدائرة وطابعها (S مفتوح)	في الحل الكامل
البند ب1	القدرة الفعّالة والقدرة الردّيّة والقدرة الظاهريّة	P ≈ 336 W ; Q ≈ 554 var ; S ≈ 648.5 VA
البند ب2	معامل القدرة	cosφ ≈ 0.52
البند ب3	مثلّث القدرات	في الحل الكامل
البند ج	سعة المكثّف C₂ المطلوبة لمعامل قدرة 0.8 (S مغلق)	C₂ ≈ 15.4 µF

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2018

بجروت 2016 السؤال 5 — دائرة توالٍ في التيّار المتناوب

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ1	مفاعلة الملفّ ومفاعلة المكثّف	X_L ≈ 12.57 Ω ; X_C ≈ 19.89 Ω
البند أ2	الممانعة المكافئة للدائرة	في الحل الكامل
البند ب	التيّار في الدائرة	في الحل الكامل
البند ج1	القدرة الفعّالة والردّيّة والظاهريّة	في الحل الكامل
البند ج2	مثلّث القدرات	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2016

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 20 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)