פרק 4

מעגלי זרם ישר

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 35 שעות לימוד

בשני הפרקים הקודמים למדנו על מטענים במנוחה: הכוחות ביניהם, השדה שהם יוצרים והפוטנציאל. בפרק הזה נניע את המטענים. התנועה המסודרת של מטענים במוליך היא הזרם החשמלי, והוא הבסיס לכל מכשיר חשמלי שסביבנו: הנורה, הטלפון, המחשב והמכונית החשמלית. נתחיל בעוצמת הזרם ובקשר שלה לתנועת האלקטרונים בתוך המתכת, ואחר כך נעבור למתח ולחוק אוהם, להתנגדות ולתלות שלה בממדי המוליך ובחומר שלו, ולסוללה הממשית עם הכא"מ וההתנגדות הפנימית שלה. לאחר מכן נלמד על טעינה ופריקה של קבל, על הספק, אנרגיה ונצילות, על מעגלים מורכבים וחוקי קירכהוף, ולבסוף על מכשירי המדידה. זה הפרק הארוך ביותר בספר, ויש בו הכלים שבעזרתם נפתור כל מעגל חשמלי.

בסוף הפרק הזה נדע:

להגדיר את הזרם החשמלי ואת עוצמתו I = ΔqΔt, לחשב את הזרם הרגעי משיפוע גרף מטען–זמן, ואת המטען מן השטח מתחת לגרף זרם–זמן.
לקשר בין עוצמת הזרם למהירות הסחיפה I = n·e·A·v_d, ולהסביר מדוע היא קטנה מאוד אף שהנורה נדלקת מיד.
להגדיר את המתח כעבודה ליחידת מטען, ליישם את חוק אוהם, ולהבחין בין האופיין של נגד אוהמי לאופיין של נורת להט.
לחשב התנגדות מן החומר של המוליך ומממדיו R = ρ·ℓA, ולחבר נגד משתנה כראוסטט וכמחלק מתח.
להגדיר כא"מ, מתח הדקים והתנגדות פנימית, ולהשתמש בקשר V = ε − I·r ובגרף שלו.
לתאר טעינה ופריקה של קבל דרך נגד, ולהשתמש בקבוע הזמן τ = R·C.
לחשב הספק, אנרגיה חשמלית ונצילות במעגל.
לנתח מעגלים מורכבים: למצוא את ההתנגדות השקולה בחיבור בטור ובמקביל, וליישם את חוקי קירכהוף.
לתאר את פעולת האמפרמטר והוולטמטר, ולהעריך את השפעתם על המעגל הנמדד.

הזרם החשמלי ועוצמתו (Electric Current)

מטענים חופשיים במוליך:

למדנו בפרק הראשון שמוליך הוא חומר שיש בו מטענים שיכולים לנוע בחופשיות. במתכות (נחושת, אלומיניום, ברזל) המטענים האלה הם האלקטרונים החופשיים: בכל אטום, אלקטרון חיצוני אחד או שניים אינם נשארים קשורים לאטום שלהם, אלא נעים בין היונים החיוביים, שנשארים קבועים במקומם בסריג הגבישי. האלקטרונים האלה הם נושאי המטען במתכת. בתמיסות ובגזים מיוננים נושאי המטען הם יונים חיוביים ושליליים.

גם כשהמוליך אינו מחובר לשום דבר, האלקטרונים החופשיים נעים במהירות גדולה מאוד — כאלף קילומטרים בשנייה — בגלל האנרגיה התרמית שלהם. אבל התנועה הזאת אקראית: בכל רגע חוצים את חתך התיל ימינה בערך אותו מספר של אלקטרונים שחוצים אותו שמאלה, ולכן לא עובר מטען נטו. כשנחבר את קצות המוליך להדקי סוללה, ייווצר בתוך המוליך שדה חשמלי, והוא יפעיל על כל אלקטרון כוח F = q·E בכיוון הפוך לכיוון השדה (כי המטען שלו שלילי). על התנועה האקראית נוספת עכשיו תנועה איטית ומסודרת נגד כיוון השדה, שנקראת סחיפה, ואז עובר מטען נטו דרך כל חתך.

אלקטרונים חופשיים (כחול) בין היונים החיוביים הקבועים (אפור). בלי שדה הם נעים באקראי; עם שדה E הם נסחפים לאט נגד כיוון השדה

זרם חשמלי: תנועה מסודרת של נושאי מטען דרך חתך המוליך, כלומר מעבר נטו של מטען מצד אחד לצד האחר. במתכות האלקטרונים החופשיים נושאים את הזרם, ובתמיסות ובגזים מיוננים — היונים.

הכיוון המוסכם של הזרם:

נקבע בהסכמה, מסיבות היסטוריות — הרבה לפני שהתגלה האלקטרון — שכיוון הזרם הוא הכיוון שבו נעים המטענים החיוביים. זה הכיוון המוסכם: במעגל החיצוני הזרם יוצא מן ההדק החיובי של המקור וחוזר אל ההדק השלילי שלו, והוא בכיוון השדה החשמלי שבתוך המוליך. האלקטרונים במתכת נעים בדיוק בכיוון ההפוך. למזלנו, מעבר של מטען שלילי שמאלה שקול בדיוק — מבחינת המטען שעובר — למעבר של מטען חיובי שווה ימינה, ולכן ההסכמה הזאת אינה משנה שום תוצאה חישובית. בכל הסרטוטים בספר הזה נסמן את הכיוון המוסכם של הזרם בחץ אדום על התיל.

מעגל חשמלי: מסלול סגור של מוליכים שעובר דרך מקור מתח (סוללה, למשל) ודרך רכיבים כמו נורות ונגדים. זרם עובר רק כשהמעגל סגור; אם נפתח את המתג או שהתיל ייקטע בנקודה כלשהי, המעגל נעשה פתוח והזרם נפסק בכל חלקיו באותו רגע.

מעגל חשמלי פשוט וסגור: הזרם בכיוון המוסכם (אדום) יוצא מן ההדק החיובי (הקו הארוך בסמל הסוללה), עובר בנורה וחוזר אל ההדק השלילי; האלקטרונים נעים בכיוון ההפוך

הערה: בסמל הסוללה הקו הארוך הוא ההדק החיובי והקו הקצר והעבה הוא ההדק השלילי. בתוך הסוללה עצמה הזרם נע מן ההדק השלילי אל ההדק החיובי: שם הסוללה "שואבת" את המטענים נגד כיוון השדה, כפי שנראה בסעיף 4.4.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שהנורה "צורכת" את הזרם, כך שיוצא ממנה זרם קטן מן הזרם שנכנס אליה. זה אינו נכון: המטען אינו נצרך ואינו מצטבר בשום נקודה במעגל, ולכן עוצמת הזרם שיוצא מן הנורה שווה בדיוק לעוצמת הזרם שנכנס אליה — ובמעגל לא מסועף עוצמת הזרם שווה בכל הנקודות. מה ש"נצרך" בנורה הוא האנרגיה שהמטענים נושאים, והיא הופכת בה לחום ולאור, כפי שנחשב בסעיף 4.6.

תופעות הלוואי של הזרם:

איננו רואים את האלקטרונים נסחפים בתיל, אבל אנחנו יודעים שעובר זרם לפי ההשפעות שלו. יש ארבע השפעות עיקריות, וכל אחת מהן היא הבסיס למשפחה שלמה של מכשירים:

ארבע ההשפעות של הזרם החשמלי

ההשפעה	מה קורה?	דוגמאות ושימושים
השפעה תרמית	האלקטרונים הנסחפים מתנגשים ביוני הסריג ומעבירים להם אנרגיה, ולכן הטמפרטורה של המוליך עולה. ההשפעה הזאת מופיעה בכל מוליך שעובר בו זרם.	תנור חימום, קומקום, מגהץ, מייבש שיער; הנתיך, שנמס כשהזרם גדל יותר מדי
השפעה אופטית	תיל דק מתחמם עד שהוא זוהר ופולט אור; או שגז או חומר מוליך-למחצה פולטים אור ישירות כשעובר בהם זרם.	נורת להט, נורת פלורסנט, דיודה פולטת אור במסכים ובנורות מודרניות
השפעה כימית	מעבר זרם בתמיסה מפרק את החומרים שבה: היונים נפרדים ומצטברים ליד האלקטרודות, ומופיעות בועות גז או שכבת מתכת.	אלקטרוליזה של מים, ציפוי מתכות בזהב או בכרום, טעינת סוללת הטלפון
השפעה מגנטית	סביב כל תיל שעובר בו זרם נוצר שדה מגנטי, ולכן מחט של מצפן קרוב סוטה.	אלקטרומגנט, מנוע חשמלי, פעמון חשמלי, רמקול — הנושא של פרק 5

ההשפעה המגנטית היא היחידה שמופיעה תמיד, בכל סוג של מוליך ושל נושאי מטען, ולכן רוב מכשירי המדידה של זרם בנויים עליה. גם ההשפעה התרמית מופיעה בכל מוליך; לפעמים היא רצויה (תנור חימום) ולפעמים היא הפסד (התחממות של קווי הרשת), כפי שנראה בסעיף 4.6.

פעילות: קחו סוללה של 1.5 V ומצפן קטן. הניחו תיל מבודד מעל המצפן, במקביל למחט שלו, ואז געו בקצות התיל בהדקי הסוללה לרגע קצר בלבד. מה קורה למחט? הפכו את קצות התיל על ההדקים: האם המחט סוטה לאותו צד? (אל תשאירו את התיל מחובר זמן רב — זה קצר, שמרוקן את הסוללה ומחמם את התיל.)

עוצמת הזרם:

השאלה הבאה היא: כמה מטען עובר? נבחר חתך רוחב בתיל ונספור את המטען Δq שחוצה אותו בפרק זמן Δt. ככל שעובר מטען גדול יותר באותו זמן, הזרם "חזק" יותר.

עוצמת הזרם: כמות המטען שחוצה חתך רוחב של המוליך ביחידת זמן. מסמנים אותה באות I, ויחידת המידה שלה היא אמפר, שהסימן שלו A.

עוצמת הזרם

I = ΔqΔt

סימן	משמעות	יחידת מידה
I	עוצמת הזרם	[A]
Δq	המטען שחוצה את חתך הרוחב	[C]
Δt	פרק הזמן	[s]

מן החוק רואים כי 1 A = 1 C/s: בזרם של אמפר אחד חוצה כל חתך של התיל קולון אחד של מטען בכל שנייה. מאז שנת 2019 האמפר מוגדר במערכת היחידות הבינלאומית בעזרת הערך המדויק של המטען היסודי e, כלומר לפי מספר המטענים היסודיים שחוצים את החתך בשנייה. בפרק 5 נכיר את ההגדרה המסורתית של האמפר בעזרת הכוח המגנטי בין שני תילים מקבילים. כשהזרם קבוע, המטען שחוצה את החתך הוא פשוט:

Δq = I·Δt

ומכיוון שכל אלקטרון נושא את המטען היסודי e = 1.6·10⁻¹⁹ C, מספר האלקטרונים שחוצים את החתך הוא:

N = Δqe

הערה: עוצמת הזרם היא גודל סקלרי (לא וקטור), אף שאנחנו מדברים על "כיוון הזרם" בתיל. הסיבה: הזרם הולך אחרי התיל לאן שהוא מתעקם, וזרמים בשני תילים אינם מתחברים כמו וקטורים אלא כמו מספרים. כשאנחנו מדברים על כיוון, הכוונה לכיוון התנועה לאורך התיל.

כדי לקבל תחושה של היחידה, הנה ערכים אופייניים של עוצמת זרם:

המכשיר או התופעה	עוצמת הזרם בקירוב
דיודה פולטת אור קטנה (חיווי במכשיר)	20 mA
פנס יד	0.3 A
מטען לטלפון	2 A
קומקום חשמלי	10 A
מנוע ההתנעה במכונית	150 A
ברק	3·10⁴ A

דוגמה 4.1

בפנס יד עובר זרם קבוע של 0.4 A במשך שתי דקות. נחשב את המטען שחצה את חתך התיל של הפנס, ואת מספר האלקטרונים שחצו אותו.

פתרון:

נמיר את הזמן לשניות: Δt = 2 min = 120 s. הזרם קבוע, ולכן:

Δq = I·Δt = 0.4 · 120 = 48 C

כל אלקטרון נושא את המטען היסודי, ולכן נחלק:

N = Δqe = 481.6·10⁻¹⁹ = 3·10²⁰

מספר עצום של אלקטרונים, ובכל זאת זה זרם רגיל לגמרי. הסיבה: המטען של אלקטרון בודד קטן מאוד.

Δq = 48 C , N = 3·10²⁰

שאלה 4.1: דרך חתך של תיל עבר מטען של 90 C במשך דקה וחצי. מהי עוצמת הזרם בתיל? כמה אלקטרונים חוצים את החתך בכל שנייה?

הזרם הרגעי: שיפוע גרף מטען–זמן:

הזרם אינו תמיד קבוע. נסרטט את המטען הכולל q שחצה את החתך מאז הרגע t = 0 כפונקציה של הזמן. בפרק זמן Δt המטען גדל בשיעור Δq, ולכן:

הזרם הממוצע בפרק הזמן הוא ΔqΔt — שיפוע המיתר שמחבר את שתי הנקודות בגרף בתחילת פרק הזמן ובסופו.
הזרם הרגעי ברגע מסוים הוא שיפוע המשיק לגרף מטען–זמן באותו רגע.
כשהגרף הוא קו ישר, הזרם קבוע, והזרם הרגעי שווה לזרם הממוצע. כשהגרף אופקי, הזרם אפס.

הנתון: המטען שחצה את חתך התיל כפונקציה של הזמן

התוצאה: הזרם כפונקציה של הזמן

דוגמה 4.2

הגרף הימני למעלה מראה את המטען שחצה חתך של תיל כפונקציה של הזמן. נמצא את עוצמת הזרם בכל אחד משלושת פרקי הזמן, ואת הזרם הממוצע בכל עשר השניות, ואז נסרטט את הזרם כפונקציה של הזמן.

פתרון:

בכל פרק זמן הגרף הוא קו ישר, ולכן הזרם בו קבוע ושווה לשיפוע:

I₁ = ΔqΔt = 12 − 04 − 0 = 3 A

I₂ = 12 − 126 − 4 = 0 A

I₃ = 20 − 1210 − 6 = 2 A

בפרק הזמן השני הגרף אופקי: המטען אינו גדל, כלומר הזרם נפסק (למשל, המעגל נפתח). הזרם הממוצע על פני כל פרק הזמן:

I_avg = ΔqΔt = 2010 = 2 A

הזרם הממוצע אינו הממוצע של שלושת הזרמים ( 3 + 0 + 23 ≈ 1.67 A), כי פרקי הזמן אינם שווים באורכם. הגרף של הזרם כפונקציה של הזמן הוא הגרף השמאלי למעלה: "מדרגות" אופקיות, והגובה של כל אחת מהן הוא השיפוע באותו פרק זמן.

I₁ = 3 A , I₂ = 0 , I₃ = 2 A , I_avg = 2 A

הקשר בין גרף המטען לגרף הזרם הוא אותו קשר שהכרנו במכניקה בין המקום למהירות: המהירות היא שיפוע גרף מקום–זמן, והזרם הוא שיפוע גרף מטען–זמן.

גרף מטען–זמן כשהזרם גדל עם הזמן: הזרם הרגעי ב-t = 2 s הוא שיפוע המשיק (אדום), והזרם הממוצע בין 0 ל-2 s הוא שיפוע המיתר (ירוק)

דוגמה 4.3

בגרף שלמעלה המטען שחצה את החתך גדל באופן לא אחיד. סורטט המשיק לגרף ברגע t = 2 s, והוא עובר בנקודות (1 s, 0) ו-(3 s, 4 C). נמצא את הזרם הרגעי ברגע הזה, ואת הזרם הממוצע בשתי השניות הראשונות.

פתרון:

הזרם הרגעי הוא שיפוע המשיק. נחשב אותו משתי נקודות רחוקות עליו:

I = ΔqΔt = 4 − 03 − 1 = 2 A

הזרם הממוצע הוא שיפוע המיתר מראשית הצירים לנקודה על הגרף ב-t = 2 s, שבה חצה את החתך מטען של 2 C:

I_avg = 2 − 02 − 0 = 1 A

הגרף נעשה תלול יותר עם הזמן, ולכן הזרם גדל: ברגע t = 2 s הוא גדול מן הממוצע שלו בפרק הזמן שקדם לו.

I(2) = 2 A , I_avg = 1 A

המטען: השטח מתחת לגרף זרם–זמן:

הקשר ההפוך חשוב לא פחות. אם הזרם קבוע, המטען Δq = I·Δt הוא השטח של המלבן שגובהו I ורוחבו Δt מתחת לגרף זרם–זמן. אם הזרם משתנה, נחלק את הזמן לפרקי זמן קצרים מאוד, שבכל אחד מהם הזרם קבוע בקירוב, ונחבר את המלבנים הצרים. התוצאה הכללית:

המטען = השטח מתחת לגרף

Δq = S

סימן	משמעות	יחידת מידה
Δq	המטען שחצה את החתך בין שני רגעים	[C]
S	השטח מתחת לגרף זרם–זמן בין אותם שני רגעים	[A·s] = [C]

דוגמה 4.4

בהפעלת מכשיר, הזרם בו גדל באופן אחיד מאפס עד 0.6 A בתוך שתי שניות, נשאר קבוע עד הרגע t = 5 s, ואז קטן באופן אחיד עד אפס ברגע t = 6 s (הגרף). נחשב את המטען שעבר במכשיר, את מספר האלקטרונים ואת הזרם הממוצע.

פתרון:

נחלק את השטח מתחת לגרף לשלושה חלקים פשוטים: משולש, מלבן, משולש.

S₁ = 12 · 2 · 0.6 = 0.6 C

S₂ = (5 − 2) · 0.6 = 1.8 C

S₃ = 12 · (6 − 5) · 0.6 = 0.3 C

המטען הכולל הוא סכום השטחים, ומספר האלקטרונים:

Δq = 0.6 + 1.8 + 0.3 = 2.7 C

N = Δqe = 2.71.6·10⁻¹⁹ = 1.69·10¹⁹

הזרם הממוצע הוא הזרם הקבוע שמעביר את אותו מטען באותו זמן:

I_avg = ΔqΔt = 2.76 = 0.45 A

אפשר לבדוק בדרך שנייה: השטח כולו הוא טרפז שבסיסיו 6 s ו-3 s וגובהו 0.6 A, והשטח שלו 12 · (6 + 3) · 0.6 = 2.7 C — אותה תוצאה.

Δq = 2.7 C , I_avg = 0.45 A

שאלה 4.2: הגרף מראה את הזרם בתיל כפונקציה של הזמן. חשבו את המטען שחצה את חתך התיל בשבע השניות, ואת הזרם הממוצע בפרק הזמן הזה. סרטטו את גרף המטען כפונקציה של הזמן.

▶ניסוי חי — הזרם החשמלי ומהירות הסחיפהנפעיל את המקור ונעקוב בו-זמנית אחרי גרף המטען וגרף הזרם: נראה שהשיפוע של הראשון הוא הגובה של השני, ושהשטח מתחת לשני הוא המטען; אחר כך נשנה את שטח החתך ואת צפיפות נושאי המטען ונקרא את מהירות הסחיפה.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#current

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#current

עוצמת הזרם ומהירות הסחיפה:

איך עוצמת הזרם קשורה לתנועת האלקטרונים עצמם? נתבונן בתיל ששטח החתך שלו A, ויש בו n אלקטרונים חופשיים בכל מטר מעוקב, וכולם נסחפים במהירות ממוצעת v_d. בזמן Δt כל אלקטרון עובר מרחק v_d·Δt. לכן כל האלקטרונים שנמצאים בגליל שאורכו v_d·Δt לפני החתך יחצו אותו בזמן הזה — לא יותר ולא פחות (הסרטוט).

בזמן Δt חוצים את החתך A כל האלקטרונים שנמצאים בגליל שאורכו v_d·Δt. האלקטרונים נסחפים שמאלה, והזרם בכיוון המוסכם — ימינה

נפח הגליל A·v_d·Δt, מספר האלקטרונים בו N = n·A·v_d·Δt, והמטען שחוצה את החתך Δq = N·e. נחלק ב-Δt:

Δq = n·A·v_d·Δt·e

I = ΔqΔt = n·e·A·v_d

מהירות סחיפה: המהירות הממוצעת המסודרת שבה נעים נושאי המטען במוליך בהשפעת השדה החשמלי, והיא מתווספת לתנועה האקראית התרמית המהירה. מסמנים אותה v_d.

עוצמת הזרם ומהירות הסחיפה

I = n·e·A·v_d

סימן	משמעות	יחידת מידה
n	צפיפות נושאי המטען: מספרם ביחידת נפח	[m⁻³]
e	המטען של נושא המטען; לאלקטרון e = 1.6·10⁻¹⁹ C	[C]
A	שטח חתך הרוחב של המוליך	[m²]
v_d	מהירות הסחיפה	[m/s]

החוק הגיוני: הזרם גדול יותר ככל שיש יותר נושאי מטען (n), ככל שהחתך רחב יותר (A), וככל שהם נסחפים מהר יותר (v_d). במתכות צפיפות האלקטרונים החופשיים עצומה: בנחושת יש בקירוב אלקטרון חופשי אחד לכל אטום, כלומר n ≈ 8.5·10²⁸ m⁻³.

דוגמה 4.5

בתיל נחושת ששטח החתך שלו 1 mm² עובר זרם של 2 A. צפיפות האלקטרונים החופשיים בנחושת 8.5·10²⁸ m⁻³. נחשב את מהירות הסחיפה, ואת הזמן שאלקטרון צריך כדי להתקדם מטר אחד לאורך התיל.

פתרון:

נמיר את השטח למטרים רבועים: 1 mm² = 10⁻⁶ m². נבודד את מהירות הסחיפה מן החוק:

v_d = In·e·A = 28.5·10²⁸ · 1.6·10⁻¹⁹ · 10⁻⁶ = 1.47·10⁻⁴ m/s

כלומר רק כ-0.15 mm/s — לאט יותר מנמלה! הזמן הדרוש להתקדמות של מטר אחד:

Δt = Δxv_d = 11.47·10⁻⁴ = 6800 s ≈ 113 min

v_d = 1.47·10⁻⁴ m/s

התוצאה מפתיעה: אלקטרון בתיל של הנורה צריך כשעתיים כדי לעבור מטר אחד. אז איך הנורה נדלקת מיד כשלוחצים על המתג, גם אם היא רחוקה ממנו עשרה מטרים?

התשובה: התיל מלא באלקטרונים חופשיים מלכתחילה. כשסוגרים את המעגל, איננו מחכים שאלקטרונים יגיעו מן הסוללה אל הנורה; מה שנע מהר הוא השדה החשמלי, שמתפשט לאורך התיל במהירות קרובה למהירות האור. בתוך מיליונית שנייה השדה פועל על כל האלקטרונים במעגל, וכולם מתחילים להיסחף יחד — וביניהם גם האלקטרונים שנמצאים מלכתחילה בתיל של הנורה. זה דומה לצינור מלא גולות: דוחפים גולה בקצה אחד, ובאותו רגע יוצאת גולה מן הקצה השני, אף שכל גולה זזה רק מעט.

המהירות	הגודל בקירוב בתיל נחושת
מהירות התנועה האקראית התרמית של האלקטרונים	1·10⁶ m/s
מהירות ההתפשטות של השדה (האות) לאורך התיל	2·10⁸ m/s
מהירות הסחיפה בזרם רגיל	1·10⁻⁴ m/s

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שהאלקטרונים עצמם רצים בתילים במהירות האור, "ולכן" הנורה נדלקת מיד. למעשה מהירות הסחיפה אינה עולה על חלקי מילימטר בשנייה. מה שמתפשט במהירות קרובה למהירות האור הוא השדה החשמלי, והוא מניע את כל האלקטרונים במעגל יחד, כמעט באותו רגע — וביניהם האלקטרונים שנמצאים מלכתחילה בתוך הנורה.

דוגמה 4.6

תיל נחושת עשוי משני חלקים המחוברים זה לזה: שטח החתך של החלק העבה 2 mm², ושטח החתך של החלק הדק 0.5 mm². בתיל עובר זרם של 3 A. נחשב את מהירות הסחיפה בכל חלק.

פתרון:

שני החלקים מחוברים בזה אחר זה, והמטען אינו מצטבר בנקודת החיבור; לכן המטען שחוצה כל חתך בשנייה זהה, כלומר עוצמת הזרם שווה בשני החלקים. ההבדל הוא בשטח החתך:

v_d1 = In·e·A₁ = 38.5·10²⁸ · 1.6·10⁻¹⁹ · 2·10⁻⁶ = 1.1·10⁻⁴ m/s

v_d2 = In·e·A₂ = 38.5·10²⁸ · 1.6·10⁻¹⁹ · 0.5·10⁻⁶ = 4.41·10⁻⁴ m/s

היחס בין המהירויות הפוך ליחס בין השטחים:

v_d2v_d1 = A₁A₂ = 20.5 = 4

כמו בנהר שהאפיק שלו מצטמצם: כמות המים שעוברת בשנייה זהה, ולכן המים זורמים מהר יותר בחתך הצר.

v_d1 = 1.1·10⁻⁴ m/s , v_d2 = 4.41·10⁻⁴ m/s

שאלה 4.3: בתיל מתכתי צפיפות האלקטרונים החופשיים 5·10²⁸ m⁻³, ושטח החתך שלו 0.8 mm². מהירות הסחיפה של האלקטרונים בו 0.25 mm/s. חשבו את עוצמת הזרם בתיל. מה תהיה מהירות הסחיפה אם נכפיל את הזרם באותו תיל?

המתח החשמלי וחוק אוהם (Voltage and Ohm's Law)

המתח: עבודה ליחידת מטען:

בפרק 2 הגדרנו הפרש פוטנציאלים בין שתי נקודות A ו-B בשדה חשמלי: העבודה שהשדה עושה על יחידת מטען חיובי שעוברת מ-A אל B. נשתמש באותה הגדרה גם במעגל החשמלי. כשעובר זרם בנורה, השדה החשמלי שבתוך תיל הנורה עושה עבודה על נושאי המטען, והם מעבירים את האנרגיה הזאת לסריג הגבישי בהתנגשויות, ולכן התיל מתחמם וזוהר. המתח בין קצות הנורה אומר לנו כמה אנרגיה חשמלית הופכת בנורה לצורה אחרת עבור כל קולון של מטען שעובר בה.

מתח: (הפרש פוטנציאלים) בין קצות רכיב במעגל: העבודה שהשדה החשמלי עושה על יחידת מטען כשהיא עוברת ברכיב, והיא שווה לאנרגיה החשמלית שהופכת ברכיב לצורה אחרת לכל יחידת מטען. מסמנים אותו V (או V_AB), ויחידת המידה שלו וולט V.

המתח בין קצות רכיב

V = Wq

סימן	משמעות	יחידת מידה
V	המתח (הפרש הפוטנציאלים) בין קצות הרכיב	[V]
W	העבודה שהשדה עושה על המטען = האנרגיה שהופכת ברכיב	[J]
q	המטען שעבר ברכיב	[C]

מן החוק, 1 V = 1 J/C: מתח של 12 V על נורת מכונית פירושו שכל קולון שעובר בנורה מעביר לה 12 J של אנרגיה. וכפי שראינו בפרק 2, אלקטרון אחד שעובר מתח של 1 V מקבל או מאבד אנרגיה של אלקטרון-וולט אחד:

1 eV = 1.6·10⁻¹⁹ J

כדאי לדמיין את המעגל כמעגל מים סגור: הסוללה היא משאבה שמעלה את המים (המטענים) לגובה רב יותר (פוטנציאל גבוה יותר), והמים יורדים דרך גלגל מים (הנורה) ומוסרים לו אנרגיה, ואז חוזרים למשאבה. המתח דומה להפרש הגבהים, והזרם דומה לכמות המים שעוברת בשנייה. האנלוגיה הזאת עוזרת להבין, אבל היא אינה מדויקת בכל דבר.

דוגמה 4.7

דרך נורה עבר מטען של 3 C, ובנורה הפכה אנרגיה חשמלית של 36 J לחום ולאור. נחשב את המתח בין קצות הנורה, ואת האנרגיה שכל אלקטרון שעובר בה מוסר לנורה.

פתרון:

V = Wq = 363 = 12 V

כל אלקטרון נושא את המטען היסודי, ולכן האנרגיה שהוא מעביר:

E = e·V = 1.6·10⁻¹⁹ · 12 = 1.92·10⁻¹⁸ J = 12 eV

V = 12 V , E = 12 eV

שאלה 4.4: סוללה של 9 V מחוברת למכשיר. מהי האנרגיה שהופכת במכשיר כשעובר בו מטען של 0.5 C? ואיזה מטען צריך לעבור בו כדי שיהפכו בו 18 J?

מדידת זרם ומתח במעגל:

כדי לחקור את הקשר בין הזרם למתח צריך שני מכשירים; נכיר את המבנה שלהם בפירוט בסעיף 4.8:

אמפרמטר מודד את הזרם שעובר בו, ולכן מחברים אותו בטור לרכיב: פותחים את המעגל ומכניסים אותו לתוכו, כך שעובר בו אותו זרם שעובר ברכיב.
וולטמטר מודד הפרש פוטנציאלים בין שתי נקודות, ולכן מחברים אותו במקביל לרכיב: ההדקים שלו מחוברים לקצות הרכיב, בלי לפתוח את המעגל.
בפרק הזה נניח שהמכשירים אידאליים: האמפרמטר אינו משנה את הזרם, והוולטמטר אינו צורך זרם.

האמפרמטר (כחול) מחובר בטור לנגד, והוולטמטר (ירוק) מחובר אליו במקביל. את ההדק המסומן + בכל מכשיר מחברים לכיוון ההדק החיובי של המקור

חוק אוהם:

בשנת 1827 פרסם הפיזיקאי הגרמני גאורג אוהם תוצאות של ניסויים שבהם מדד את הזרם בתילי מתכת במתחים שונים. נחזור על הניסוי: נחבר לנגד סוללה אחת, אחר כך שתיים ואחר כך שלוש, ובכל פעם נקרא את המתח ואת הזרם. נמצא שהכפלת המתח מכפילה את הזרם, ושילוש המתח משלש אותו: הזרם נמצא ביחס ישר למתח, והיחס VI נשאר קבוע.

התנגדות: ההתנגדות של רכיב היא היחס בין המתח בין קצותיו לזרם שעובר בו: R = VI. יחידת המידה שלה אוהם והסימן שלה  Ω, כאשר 1 Ω = 1 V/A. ההתנגדות מתארת עד כמה "קשה" לזרם לעבור: באותו מתח, ככל שההתנגדות גדולה יותר, הזרם קטן יותר. רכיב שנבנה כדי שתהיה לו התנגדות מסוימת נקרא נגד.

חוק אוהם: במוליך מתכתי שהטמפרטורה שלו קבועה, עוצמת הזרם נמצאת ביחס ישר למתח בין קצותיו, כלומר ההתנגדות שלו R קבועה ואינה תלויה במתח או בזרם.

חוק אוהם

V = I·R

I = VR

סימן	משמעות	יחידת מידה
V	המתח בין קצות הנגד	[V]
I	עוצמת הזרם בנגד	[A]
R	ההתנגדות	[Ω]

שימו לב: הקשר R = VI הוא ההגדרה של התנגדות, והוא נכון לכל רכיב בכל נקודת עבודה. חוק אוהם, לעומת זאת, אומר דבר נוסף: שהיחס הזה קבוע. רכיב שמקיים זאת נקרא נגד אוהמי, ולא כל הרכיבים הם כאלה.

האופיין של נגד:

אופיין: הגרף של הזרם ברכיב כפונקציה של המתח בין קצותיו, I(V). צורת הגרף היא "תעודת זהות" של הרכיב: ממנה אפשר לדעת אם הוא מקיים את חוק אוהם ומהי ההתנגדות שלו בכל נקודה.

האופיין של נגד אוהמי הוא קו ישר שעובר בראשית הצירים, והשיפוע שלו ΔIΔV = 1R — ההופכי של ההתנגדות. ככל שהקו תלול יותר, ההתנגדות קטנה יותר. בכמה ספרים ובחינות מסרטטים את המתח כפונקציה של הזרם, V(I), ואז השיפוע הוא R עצמו; לכן תמיד נקרא את שמות הצירים לפני שנפרש את השיפוע.

האופיין של נגד אוהמי: נקודות המדידה (אדום) נמצאות על קו ישר שעובר בראשית הצירים, והשיפוע שלו 1R

דוגמה 4.8

בניסוי נמדדו המתח על נגד והזרם בו, והתוצאות נרשמו בטבלה. הנקודות סורטטו בגרף שלמעלה. נבדוק אם הנגד אוהמי, נמצא את ההתנגדות שלו, ונחזה את הזרם כשהמתח 10 V.

פתרון:

המתח V [V]	2	4	6	8
הזרם I [A]	0.05	0.1	0.15	0.2

הנקודות נמצאות על קו ישר שעובר בראשית הצירים, ולכן הנגד אוהמי. נחשב את השיפוע משתי נקודות רחוקות:

ΔIΔV = 0.2 − 0.058 − 2 = 0.156 = 0.025 A/V

R = ΔVΔI = 60.15 = 40 Ω

נבדוק בנקודה אחת: R = VI = 60.15 = 40 Ω. הזרם במתח 10 V:

I = VR = 1040 = 0.25 A

R = 40 Ω , I = 0.25 A

דוגמה 4.9

הגרף מראה את האופיינים של שני נגדים, A ו-B. לאיזה נגד התנגדות גדולה יותר? נחשב את ההתנגדות של כל אחד מהם, את הזרם בכל אחד מהם כשהמתח 6 V, ואת המתח הדרוש כדי שיעבור בכל אחד מהם זרם של 0.2 A.

פתרון:

הקו B פחות תלול: באותו מתח עובר בו זרם קטן יותר, ולכן ההתנגדות שלו גדולה יותר. נקרא מן הגרף נקודה על כל קו — במתח 10 V עובר בנגד A זרם של 0.5 A, ובנגד B זרם של 0.2 A:

R_A = 100.5 = 20 Ω

R_B = 100.2 = 50 Ω

במתח 6 V (הקו המקווקו):

I_A = 620 = 0.3 A

I_B = 650 = 0.12 A

וכדי שיעבור זרם של 0.2 A:

V_A = I·R_A = 0.2 · 20 = 4 V

V_B = I·R_B = 0.2 · 50 = 10 V

R_A = 20 Ω , R_B = 50 Ω

שאלה 4.5: בנגד שההתנגדות שלו 15 Ω עובר זרם כשהמתח בין קצותיו 6 V. מהי עוצמת הזרם? מהו המתח הדרוש כדי שיעבור בו זרם של 0.8 A? סרטטו את האופיין שלו בין 0 ל-12 V.

נורת להט: רכיב לא אוהמי:

בנורת להט הזרם עובר בתיל דק מאוד של טונגסטן, שמתחמם עד כ-2500 °C וזוהר. כשמסרטטים את האופיין שלה לא מקבלים קו ישר: במתחים קטנים הזרם גדל מהר, ואחר כך הוא גדל לאט יותר ויותר. הגרף "מתכופף" לכיוון ציר המתח.

האופיין של נורת להט (כתום). שני הקווים המקווקווים מראשית הצירים אל P₁ ואל P₂ שיפועם IV = 1R בכל נקודה: השני פחות תלול, כלומר ההתנגדות גדלה

הסיבה היא הטמפרטורה. ככל שהמתח גדל, הזרם גדל והתיל מתחמם יותר, וההתנגדות של מתכת גדלה עם הטמפרטורה (סעיף 4.3). לכן הנורה אינה מקיימת את חוק אוהם: ההתנגדות שלה אינה קבועה, אלא תלויה בנקודת העבודה. אבל ההגדרה של התנגדות, R = VI, נשארת נכונה בכל נקודה על הגרף.

דוגמה 4.10

מן האופיין של נורת הלהט שלמעלה נקרא שתי נקודות: P₁ במתח 1.5 V ובזרם 0.15 A, ו-P₂ במתח 12 V (מתח העבודה הרגיל) ובזרם 0.4 A. נחשב את ההתנגדות של הנורה בכל נקודה.

פתרון:

ההתנגדות בכל נקודה היא היחס בין המתח לזרם באותה נקודה:

R₁ = V₁I₁ = 1.50.15 = 10 Ω

R₂ = V₂I₂ = 120.4 = 30 Ω

ההתנגדות גדלה פי 3 בין שתי הנקודות, כי התיל חם הרבה יותר ב-P₂.

R₁ = 10 Ω , R₂ = 30 Ω

שימו לב: ההתנגדות של רכיב לא אוהמי בנקודה מסוימת היא VI באותה נקודה, ולא ההופכי של שיפוע המשיק לגרף שם. טעות נפוצה בבחינה היא לחשב את השיפוע המקומי במקום את היחס בין שתי הקואורדינטות.

שאלה 4.6: תלמיד הניח שהנורה הקודמת אוהמית ושההתנגדות שלה תמיד 30 Ω (כמו במתח העבודה). איזה זרם הוא מצפה לקבל במתח 1.5 V? השוו לערך האמיתי של הזרם מן הגרף, והסבירו את ההבדל.

▶ניסוי חי — חוק אוהם והאופייןנסרוק את המתח על נגד ואחר כך על נורת להט, ונשווה בין שני האופיינים; נעצור את הסריקה בכמה נקודות ונחשב בעצמנו את VI, כדי לראות שההתנגדות של הנורה גדלה עם המתח.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#ohm

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#ohm

התנגדות (Resistance)

במה תלויה ההתנגדות של מוליך?:

למה מוליך מתנגד בכלל למעבר זרם? האלקטרונים הנסחפים מתנגשים כל הזמן ביוני הסריג הגבישי ובזיהומים, ובכל התנגשות הם מאבדים חלק מן האנרגיה שקיבלו מן השדה. אם נחשוב על התמונה הזאת, נוכל לצפות במה תלויה ההתנגדות של תיל אחיד:

האורך ℓ: בתיל ארוך יותר האלקטרונים עוברים דרך ארוכה יותר ומתנגשים יותר. הניסוי מראה שהכפלת האורך מכפילה את ההתנגדות: R נמצאת ביחס ישר ל-ℓ.
שטח החתך A: בתיל עבה יותר יש יותר "מסלולים" לאלקטרונים זה לצד זה. הכפלת השטח מקטינה את ההתנגדות פי שניים: R נמצאת ביחס הפוך ל-A.
החומר: בנחושת האלקטרונים נעים בקלות רבה יותר מאשר בברזל או בניקרום. ההשפעה של החומר מתבטאת בגודל שנקרא התנגדות סגולית, ρ.
הטמפרטורה: במתכות ההתנגדות גדלה כשהטמפרטורה עולה (נחזור לזה בהמשך).

שלוש השוואות בין שני תילים: אורך כפול מכפיל את ההתנגדות, שטח חתך כפול מקטין אותה פי שניים, וחומר אחר משנה אותה

תיל אחיד: אורכו ℓ, שטח החתך שלו A, והחומר שלו בעל התנגדות סגולית ρ

נאחד את שני היחסים לחוק אחד. קבוע היחס תלוי רק בחומר, ונקרא התנגדות סגולית. אם נבודד את ρ מן החוק, נמצא שיחידת המידה שלה  Ω·m, ושהיא שווה מספרית להתנגדות של קובייה מן החומר שאורך צלעה מטר אחד, כשהזרם עובר בה מפאה אחת לפאה שמולה.

התנגדות סגולית: תכונה של החומר שמבטאת עד כמה הוא מתנגד למעבר זרם, והיא אינה תלויה בצורת המוליך או בממדיו (אבל היא תלויה בטמפרטורה). מסמנים אותה ρ, ויחידת המידה שלה  Ω·m.

התנגדות של מוליך אחיד

R = ρ·ℓA

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	ההתנגדות של המוליך	[Ω]
ρ	ההתנגדות הסגולית של החומר	[Ω·m]
ℓ	אורך המוליך	[m]
A	שטח חתך הרוחב	[m²]

הטבלה מראה את ההתנגדות הסגולית של כמה חומרים בטמפרטורת החדר. שימו לב להבדל העצום — יותר מעשרים סדרי גודל — בין המוליכים הטובים למבודדים:

החומר	ההתנגדות הסגולית ρ [Ω·m]	שימוש אופייני
כסף	1.6·10⁻⁸	המוליך הטוב ביותר; משמש במגעים עדינים
נחושת	1.7·10⁻⁸	תילי חשמל בבתים ובמכשירים
אלומיניום	2.8·10⁻⁸	קווי הולכה עיליים (קל וזול)
טונגסטן	5.6·10⁻⁸	תיל נורת הלהט (עמיד בטמפרטורה גבוהה)
ברזל	1·10⁻⁷
ניקרום (סגסוגת)	1.1·10⁻⁶	תיל החימום בתנורים ובקומקומים
גרפיט (פחמן)	3.5·10⁻⁵	נגדים קטנים באלקטרוניקה
זכוכית	1·10¹²	מבודד
גומי	1·10¹³	מבודד: ציפוי של תילים

דוגמה 4.11

תיל נחושת שאורכו 50 m וקוטרו 0.8 mm (תיל של כבל מאריך אופייני). נחשב את שטח החתך שלו ואת ההתנגדות שלו, ואחר כך את המתח בין קצותיו כשעובר בו זרם של 5 A.

פתרון:

החתך של התיל הוא עיגול. הרדיוס r = 0.4 mm = 4·10⁻⁴ m, והשטח:

A = π·r² = π · (4·10⁻⁴)² = 5.027·10⁻⁷ m²

נציב בחוק ההתנגדות, ואת ההתנגדות הסגולית של נחושת ניקח מן הטבלה:

R = ρ·ℓA = 1.7·10⁻⁸ · 505.027·10⁻⁷ = 1.69 Ω

המתח בין קצות התיל כשעובר בו זרם של 5 A:

V = I·R = 5 · 1.69 = 8.5 V

זה מתח ש"הולך לאיבוד" על התיל עצמו ואינו מגיע למכשיר; לכן כבלים מאריכים ארוכים צריכים להיות עבים מספיק.

A = 5.027·10⁻⁷ m² , R = 1.69 Ω

דוגמה 4.12

תיל שההתנגדות שלו 5 Ω. נמתח אותו במכונת משיכה עד שאורכו יוכפל, בלי שהנפח או החומר שלו ישתנו. מהי ההתנגדות החדשה שלו?

פתרון:

נפח התיל קבוע: A′·ℓ′ = A·ℓ. אם האורך הוכפל, השטח חייב לקטון לחצי:

ℓ′ = 2ℓ

A′ = A2

נציב בחוק ההתנגדות:

R′ = ρ·ℓ′A′ = ρ·2ℓA2 = 4·ρ·ℓA = 4R = 4 · 5 = 20 Ω

ההתנגדות גדלה פי ארבעה ולא פי שניים: האורך מכפיל אותה פעם אחת, והקטנת החתך מכפילה אותה פעם נוספת.

R′ = 20 Ω

דוגמה 4.13

רוצים לבנות גוף חימום לתנור, שההתנגדות שלו 44 Ω, מתיל ניקרום ששטח החתך שלו 0.2 mm². מה אורך התיל הדרוש?

פתרון:

נבודד את האורך מחוק ההתנגדות, ונמיר את השטח: A = 0.2 mm² = 2·10⁻⁷ m²:

ℓ = R·Aρ = 44 · 2·10⁻⁷1.1·10⁻⁶ = 8 m

אילו בנינו את גוף החימום מנחושת, היינו צריכים תיל שאורכו יותר מחצי קילומטר! לכן בונים גופי חימום מסגסוגות שההתנגדות הסגולית שלהן גדולה, ומלפפים את התיל בצורת קפיץ כדי שיתפוס מקום קטן.

ℓ = 8 m

שאלה 4.7: תיל שאורכו 2 m התנגדותו 6 Ω.
א. חותכים אותו לשלוש חתיכות שוות באורכן: מהי ההתנגדות של כל חתיכה?
ב. תיל שני מאותו חומר ובאותו אורך (2 m), אבל קוטרו כפול מקוטר הראשון: מהי ההתנגדות שלו?

תלות ההתנגדות בטמפרטורה:

כשהטמפרטורה של מתכת עולה, יוני הסריג מתנודדים במשרעת גדולה יותר, ולכן הם נעשים "מטרה" גדולה יותר לאלקטרונים הנסחפים, וההתנגשויות מתרבות. לכן ההתנגדות הסגולית של מתכות — ובעקבותיה ההתנגדות שלהן — גדלה כשהטמפרטורה עולה, בקירוב באופן ליניארי. בחומרים מוליכים למחצה, כמו סיליקון וגרפיט, קורה ההפך: עליית הטמפרטורה משחררת נושאי מטען נוספים, וההתנגדות קטנה מהר מאוד.

ההתנגדות של סליל נחושת: 10 Ω ב-0 °C, וכ-14.3 Ω ב-100 °C

נגד מחומר מוליך-למחצה: ההתנגדות שלו קטנה מהר כשהטמפרטורה עולה

זו התופעה שראינו באופיין של נורת הלהט. משתמשים בה גם למדידה: מדחום חשמלי במכונית ובתנורים תעשייתיים הוא נגד שמודדים את ההתנגדות שלו ומתרגמים אותה לטמפרטורה. בספר הזה נעסוק בתלות ההתנגדות בטמפרטורה באופן איכותי בלבד, ובבעיות נניח שההתנגדות של הנגדים קבועה, אלא אם נאמר אחרת.

דוגמה 4.14

נורת מכונית פועלת במתח של 12 V, ועובר בה אז זרם של 0.5 A. מדדנו את ההתנגדות של הנורה כשהיא קרה (כבויה) ומצאנו 2 Ω. נחשב את ההתנגדות של הנורה בזמן פעולה, ואת הזרם שעובר בה ברגע הראשון אחרי שמדליקים אותה.

פתרון:

R_hot = VI = 120.5 = 24 Ω

ברגע ההדלקה התיל עדיין קר, וההתנגדות שלו רק 2 Ω:

I₀ = VR_cold = 122 = 6 A

הזרם ברגע הראשון גדול פי 12 מן הזרם הרגיל! בתוך חלק משנייה התיל מתחמם והזרם קטן ל-0.5 A. זו הסיבה שנורות "נשרפות" בדרך כלל ברגע ההדלקה.

R_hot = 24 Ω , I₀ = 6 A

נגד משתנה:

במכשירים רבים צריך לשנות זרם או מתח באופן רציף: כפתור עוצמת הקול ברדיו ישן, עמעם תאורה, דוושת הדלק החשמלית במכונית. הכלי לכך הוא הנגד המשתנה, והוא מנצל ישירות את היחס הישר בין ההתנגדות לאורך.

נגד משתנה: נגד שאפשר לשנות את ההתנגדות שלו באופן רציף בעזרת מגע נייד שנקרא זחלן. בדרך כלל הוא בנוי מתיל בעל התנגדות גדולה שמלופף על גליל מבודד, ומעליו מוט מתכת שעליו נע הזחלן ונוגע בכריכות. יש לו שלושה הדקים: שני קצות התיל, A ו-B, והדק הזחלן, C.

מבנה הנגד המשתנה: ההתנגדות בין A ל-C פרופורציונית לאורך התיל שבין A לזחלן, וההתנגדות בין C ל-B — לשאר התיל; ההתנגדות בין A ל-B קבועה

כשמזיזים את הזחלן לכיוון B, החלק AC של התיל מתארך והחלק CB מתקצר. מכיוון שההתנגדות פרופורציונית לאורך:

R_AC + R_CB = R_AB

R_AC = R_AB·ℓ_ACℓ_AB

אפשר לחבר את הנגד המשתנה במעגל בשתי דרכים שונות, ולכל אחת תפקיד שונה:

סמלי הנגדים בתרשים המעגל

חיבור כראוסטט: שליטה בזרם:

ראוסטט: נגד משתנה שמחובר בשני הדקים בלבד — קצה אחד של התיל והדק הזחלן — בטור לעומס. הזזת הזחלן משנה את ההתנגדות הכוללת במעגל, וכך משנה את הזרם בעומס.

הזרם במעגל הראוסטט עובר בעומס ובחלק הפעיל של הראוסטט בזה אחר זה, ולכן שתי ההתנגדויות מתחברות (נוכיח זאת בסעיף 4.7). אם מתח המקור V, התנגדות העומס R_L וההתנגדות של החלק הפעיל של הראוסטט R_x:

I = VR_L + R_x

דוגמה 4.15

מקור מתח קבוע של 12 V (נזניח את ההתנגדות הפנימית שלו) מחובר בטור לעומס שההתנגדות שלו 20 Ω ולראוסטט שההתנגדות המלאה שלו 40 Ω (הסרטוט). נחשב את הזרם הגדול ביותר ואת הזרם הקטן ביותר שאפשר לקבל בעומס, את תחום המתחים על העומס, ואת הזרם כשהזחלן באמצע הראוסטט.

פתרון:

הזרם הגדול ביותר מתקבל כשהחלק הפעיל של הראוסטט אפס (R_x = 0):

I_max = VR_L = 1220 = 0.6 A

הזרם הקטן ביותר מתקבל כשכל הראוסטט במעגל (R_x = 40 Ω):

I_min = VR_L + R_x = 1220 + 40 = 0.2 A

המתח על העומס, V_L = I·R_L, נע אפוא בין:

V_L,min = 0.2 · 20 = 4 V

V_L,max = 0.6 · 20 = 12 V

הזחלן באמצע: R_x = 20 Ω:

I = 1220 + 20 = 0.3 A

שימו לב שהראוסטט אינו יכול להוריד את המתח על העומס לאפס: המתח הנמוך ביותר כאן 4 V.

I: 0.2 → 0.6 A , V_L: 4 → 12 V

חיבור כמחלק מתח: שליטה במתח:

פוטנציומטר – מחלק מתח: נגד משתנה שמחובר בשלושת ההדקים שלו: שני קצות התיל, A ו-B, מחוברים להדקי המקור, והמתח הרצוי נלקח בין הזחלן C לאחד הקצוות. בהזזת הזחלן מקבלים כל מתח שבין אפס למתח המקור כולו.

כשלא נלקח זרם מן הזחלן (למשל כשמחברים בין C ל-B וולטמטר אידאלי), עובר בכל התיל זרם אחד, I = VR_AB, והמתח בין C ל-B הוא V_CB = I·R_CB. נציב:

מחלק מתח (ללא עומס)

V_CB = V·R_CBR_AB = V·ℓ_CBℓ_AB

סימן	משמעות	יחידת מידה
V	מתח המקור המחובר בין A ל-B	[V]
V_CB	המתח בין הזחלן C להדק B	[V]
R_CB	ההתנגדות של החלק שבין הזחלן להדק B	[Ω]
R_AB	ההתנגדות המלאה של הנגד המשתנה	[Ω]

דוגמה 4.16

נגד משתנה שההתנגדות המלאה שלו 60 Ω מחובר כמחלק מתח למקור מתח של 12 V. הזחלן נמצא ברבע מאורך התיל מן הקצה B. נחשב את הזרם בנגד המשתנה ואת ההוראה של וולטמטר אידאלי המחובר בין C ל-B, ואת תחום המתחים שמקבלים בהזזת הזחלן.

פתרון:

וולטמטר אידאלי אינו צורך זרם, ולכן אותו זרם עובר בכל התיל:

I = VR_AB = 1260 = 0.2 A

החלק שבין הזחלן לקצה B הוא רבע מן התיל, וההתנגדות שלו R_CB = 14 · 60 = 15 Ω:

V_CB = I·R_CB = 0.2 · 15 = 3 V

נבדוק בעזרת החוק: V_CB = V·R_CBR_AB = 12 · 1560 = 3 V. כשהזחלן נמצא ב-B ההוראה אפס, וכשהוא נמצא ב-A היא 12 V: מחלק המתח נותן כל מתח בין 0 ל-12 V.

I = 0.2 A , V_CB = 3 V

הערה: כשמחברים בין C ל-B עומס ממשי (נורה, למשל), חלק מן הזרם עובר בעומס, והמתח בין C ל-B נעשה קטן מזה שהחוק נותן. נחשב את המקרה הזה בסעיף 4.7, אחרי שנלמד על חיבור במקביל. החוק מדויק כשהתנגדות העומס גדולה בהרבה מ-R_CB.

	ראוסטט	מחלק מתח (פוטנציומטר)
מספר ההדקים שבשימוש	שניים: קצה התיל והזחלן	שלושה: שני קצות התיל והזחלן
אופן החיבור	בטור לעומס	כל התיל בין הדקי המקור, והעומס בין הזחלן לאחד הקצוות
מה הוא משנה?	את הזרם במעגל	את המתח על העומס
תחום המתחים על העומס	מערך מזערי שגדול מאפס עד מתח המקור	מאפס עד מתח המקור
דוגמה	ויסות המהירות של מנוע בצעצוע	כפתור עוצמת הקול, דוושת הדלק החשמלית

שאלה 4.8: נגד משתנה שההתנגדות המלאה שלו 100 Ω מחובר כמחלק מתח למקור מתח של 9 V. באיזה מרחק מן הקצה B (כחלק מאורך התיל) צריך להציב את הזחלן כדי שוולטמטר אידאלי בין C ל-B יראה 3.6 V? מהי אז ההתנגדות של החלק CB?

▶ניסוי חי — התנגדות, ראוסטט ומחלק מתחנשנה את אורך התיל, את שטח החתך שלו ואת החומר שלו ונקרא את ההתנגדות; אחר כך נשווה בין חיבור כראוסטט לחיבור כמחלק מתח: נזיז את הזחלן ונעקוב אחרי תחום המתחים על העומס בכל אחד מהם.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#resist

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#resist

כא"מ ומתח הדקים (EMF and Terminal Voltage)

מקור מתח:

במעגל החיצוני המטענים החיוביים נעים (לפי המוסכמה) מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך, ומאבדים אנרגיה בנגדים. כדי שהתנועה תימשך במעגל סגור, צריך להיות במעגל מכשיר ש"מעלה" את המטענים מחדש מן הפוטנציאל הנמוך לפוטנציאל הגבוה, כלומר מניע אותם נגד הכוח החשמלי. המכשיר הזה חייב לעשות עבודה על המטענים, והאנרגיה לכך באה ממקור לא חשמלי.

מקור מתח: מכשיר שהופך סוג אחר של אנרגיה לאנרגיה חשמלית, ושומר על הפרש פוטנציאלים בין ההדקים שלו. בסוללה מקור האנרגיה כימי, בתא סולארי — אור, ובגנרטור (פרק 6) — אנרגיה מכנית.

כוח אלקטרו-מניע – כא"מ: העבודה שהמקור עושה על יחידת מטען חיובי כשהוא מעביר אותה בתוכו מן ההדק השלילי אל ההדק החיובי. מסמנים אותו ε, ויחידת המידה שלו וולט. למרות שמו, אין זה כוח, אלא אנרגיה ליחידת מטען: ε = Wq, כאשר W היא העבודה שהמקור עושה על המטען q.

סוללה רגילה של 1.5 V נותנת לכל קולון שעובר בה 1.5 J של אנרגיה כימית, וסוללת מכונית של 12 V נותנת לו 12 J. אבל לא כל האנרגיה הזאת מגיעה למעגל החיצוני: בתוך הסוללה עצמה יש חומרים שהזרם חייב לעבור בהם, ויש להם התנגדות. זו ההתנגדות הפנימית של המקור.

מודל של סוללה ממשית: מקור אידאלי ε והתנגדות פנימית r בטור, בתוך "קופסה" אחת

נתאר סוללה ממשית כשני רכיבים המחוברים בטור בתוך קופסה אחת: מקור אידאלי שהכא"מ שלו ε, והתנגדות פנימית r. אין לנו גישה לנקודה שביניהם — מבחוץ אפשר להגיע רק לשני ההדקים, A ו-B. המתח שאנחנו מודדים בין A ל-B נקרא מתח ההדקים.

התנגדות פנימית: ההתנגדות של החומרים שהזרם עובר בהם בתוך המקור עצמו. מסמנים אותה r. בסוללה חדשה היא קטנה (חלקים של אוהם), והיא גדלה ככל שהסוללה "מתעייפת".

מתח הדקים: הפרש הפוטנציאלים בין ההדקים של המקור, A ו-B, כשהוא מחובר למעגל. מסמנים אותו V (או V_AB).

הקשר בין מתח ההדקים לכא"מ:

נחבר את המקור לנגד חיצוני R (העומס) ונעקוב אחרי מטען q שמקיף את המעגל פעם אחת. המקור נותן לו אנרגיה q·ε. חלק ממנה הוא מאבד בתוך המקור, על ההתנגדות הפנימית (q·I·r), ואת השאר — בעומס (q·V). שימור האנרגיה נותן:

q·ε = q·V + q·I·r

ε = V + I·r

מתח ההדקים

V = ε − I·r

I = εR + r

סימן	משמעות	יחידת מידה
V	מתח ההדקים (שווה למתח על העומס, V = I·R)	[V]
ε	הכא"מ של המקור	[V]
I	עוצמת הזרם במעגל (ובמקור)	[A]
r	ההתנגדות הפנימית	[Ω]
R	ההתנגדות של העומס החיצוני	[Ω]

את החוק השני מקבלים כשמציבים V = I·R בראשון: ε = I·R + I·r. הגודל I·r הוא "מפל המתח" בתוך המקור, כלומר המתח שהולך לאיבוד לפני שהוא מגיע למעגל החיצוני. נסיק שלושה מקרים חשובים:

מעגל פתוח (I = 0): אין מפל מתח פנימי, ומתח ההדקים שווה לכא"מ: V = ε. לכן וולטמטר אידאלי שמחובר לבדו להדקי סוללה מודד את הכא"מ שלה.
מעגל סגור: מתח ההדקים קטן מ-ε, וככל שהזרם גדל (כלומר ככל שהתנגדות העומס קטנה), מתח ההדקים קטן.
קצר (R = 0): הזרם הגדול ביותר האפשרי, I_max = εr, ומתח ההדקים אפס.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שהסוללה "נותנת" תמיד אותו זרם, יהיה אשר יהיה מה שמחברים להדקיה. הסוללה היא מקור של כא"מ קבוע, ולא מקור של זרם קבוע: עוצמת הזרם נקבעת מן המעגל כולו — מן הכא"מ ומן ההתנגדות הכוללת R + r — וככל שהתנגדות העומס קטנה, הזרם הנמשך גדל, ומתח ההדקים יורד איתו.

דוגמה 4.17

סוללה שהכא"מ שלה 6 V וההתנגדות הפנימית שלה 0.5 Ω מחוברת לנגד R = 5.5 Ω. נחשב את הזרם, את מתח ההדקים ואת המתח שהולך לאיבוד בתוך הסוללה. אחר כך נחליף את הנגד בנגד של 2.5 Ω ונחשב שוב.

פתרון:

המקור האידאלי, ההתנגדות הפנימית והעומס מחוברים בטור, ולכן עובר בהם אותו זרם:

I = εR + r = 65.5 + 0.5 = 1 A

V = ε − I·r = 6 − 1 · 0.5 = 5.5 V

נבדוק בעזרת העומס: V = I·R = 1 · 5.5 = 5.5 V. המתח שהולך לאיבוד בתוך הסוללה I·r = 0.5 V. עם הנגד השני:

I′ = 62.5 + 0.5 = 2 A

V′ = 6 − 2 · 0.5 = 5 V

הנגד הקטן יותר צרך זרם גדול יותר, ולכן המתח שהולך לאיבוד בתוך הסוללה גדל ל-1 V, ומתח ההדקים קטן.

I = 1 A , V = 5.5 V ; I′ = 2 A , V′ = 5 V

המעגל של הדוגמה הבאה: הוולטמטר על הדקי הסוללה מראה את מתח ההדקים

דוגמה 4.18

וולטמטר אידאלי שמחובר לבדו להדקי סוללה ישנה מראה 1.5 V. כשמחברים להדקי הסוללה נגד של 2 Ω, ההוראה יורדת ל-1.2 V (הסרטוט למעלה). נמצא את הכא"מ של הסוללה, את הזרם ואת ההתנגדות הפנימית.

פתרון:

במעגל פתוח לא עובר זרם, ולכן ההוראה הראשונה היא הכא"מ: ε = 1.5 V. אחרי חיבור הנגד ההוראה היא מתח ההדקים, והוא המתח על הנגד עצמו:

I = VR = 1.22 = 0.6 A

מחוק מתח ההדקים נבודד את ההתנגדות הפנימית:

r = ε − VI = 1.5 − 1.20.6 = 0.5 Ω

ε = 1.5 V , I = 0.6 A , r = 0.5 Ω

קצר:

קצר: חיבור ההדקים של המקור (או ההדקים של רכיב) במוליך שההתנגדות שלו זניחה. בקצר רק ההתנגדות הפנימית מגבילה את הזרם: I_max = εr, ומתח ההדקים נעשה אפס — וולטמטר על ההדקים מראה אפס.

קצר: תיל שההתנגדות שלו זניחה בין הדקי הסוללה; כל הכא"מ "הולך לאיבוד" על ההתנגדות הפנימית

אזהרה: מכיוון שההתנגדות הפנימית קטנה, זרם הקצר גדול מאוד. בסוללת מכונית (ε = 12 V, r = 0.02 Ω) זרם הקצר מגיע ל-600 A! הזרם הזה מחמם את התילים עד להתכה ומצית שריפה, ועלול לפוצץ את הסוללה. לכן מציבים בכל מעגל נתיך או מפסק אוטומטי, ואין נוגעים בשני הדקי הסוללה בכלי מתכתי בו-זמנית.

שאלה 4.9: הכא"מ של סוללת מכונית 12.6 V וההתנגדות הפנימית שלה 0.02 Ω. בהתנעת המנוע, מנוע ההתנעה צורך זרם של 150 A. מהו מתח ההדקים ברגע הזה? מדוע אורות המכונית מתעמעמים מעט בהתנעת המנוע? מהו זרם הקצר של הסוללה הזאת?

גרף מתח ההדקים כפונקציה של הזרם:

החוק V = ε − r·I הוא משוואה של קו ישר בגרף של מתח ההדקים כפונקציה של הזרם, כמו y = b + m·x. מן הגרף קוראים ישירות את התכונות של המקור:

נקודת החיתוך עם ציר המתח (I = 0) היא הכא"מ, ε.
נקודת החיתוך עם ציר הזרם (V = 0) היא זרם הקצר, I_max = εr.
השיפוע שלילי, וערכו −r, כלומר ΔVΔI = −r. ככל שההתנגדות הפנימית גדולה יותר, הקו תלול יותר.

מתח ההדקים כפונקציה של הזרם עבור הסוללה מדוגמה 3.17 (ε = 6 V, r = 0.5 Ω). שתי נקודות העבודה מן הדוגמה (שחור) נמצאות על אותו קו

כל נגד חיצוני שנחבר לסוללה קובע נקודת עבודה אחת על הקו הזה: נגד גדול — קרוב לציר המתח (זרם קטן, V ≈ ε), ונגד קטן — קרוב לציר הזרם. הקו עצמו אינו משתנה כל עוד הסוללה אותה סוללה — הוא "האופיין" של המקור.

דוגמה 4.19

מן הגרף שלמעלה נקרא את הכא"מ ואת זרם הקצר, ונחשב את ההתנגדות הפנימית. אחר כך נמצא את מתח ההדקים ואת התנגדות העומס כשהזרם 4 A.

פתרון:

מנקודות החיתוך עם הצירים: ε = 6 V ו-I_max = 12 A. ההתנגדות הפנימית היא מינוס השיפוע:

r = −ΔVΔI = −0 − 612 − 0 = 0.5 Ω

בזרם של 4 A:

V = ε − I·r = 6 − 4 · 0.5 = 4 V

R = VI = 44 = 1 Ω

r = 0.5 Ω , V = 4 V , R = 1 Ω

מדידת הכא"מ וההתנגדות הפנימית במעבדה:

זו השיטה המקובלת במעבדה למדידת התכונות של סוללה: נחבר לסוללה ראוסטט ואמפרמטר בטור, ווולטמטר בין ההדקים שלה. נזיז את הזחלן ונרשום בכל פעם את הזרם ואת מתח ההדקים, ואז נסרטט את הנקודות ונעביר ביניהן את הקו הישר המתאים ביותר. נמשיך את הקו עד הצירים, נקרא את ε ואת I_max, ונחשב את r מן השיפוע.

דוגמה 4.20

בניסוי למדידת התכונות של סוללה קיבלו התלמידים את התוצאות שבטבלה. נסרטט את מתח ההדקים כפונקציה של הזרם, ונמצא את הכא"מ, את ההתנגדות הפנימית ואת זרם הקצר.

פתרון:

הזרם I [A]	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2
מתח ההדקים V [V]	2.84	2.68	2.52	2.36	2.2	2.04

הנקודות נמצאות על קו ישר. נחשב את השיפוע משתי הנקודות הרחוקות ביותר:

ΔVΔI = 2.04 − 2.841.2 − 0.2 = −0.8 Ω

r = 0.8 Ω

נמשיך את הקו (מקווקו בגרף) עד ציר המתח. נחשב את נקודת החיתוך מנקודה אחת ומן השיפוע:

ε = V + I·r = 2.84 + 0.2 · 0.8 = 3 V

I_max = εr = 30.8 = 3.75 A

נקודות המדידה והקו המומשך עד הצירים

ε = 3 V , r = 0.8 Ω , I_max = 3.75 A

דוגמה 4.21

הגרף מראה את מתח ההדקים כפונקציה של הזרם עבור שתי סוללות, A ו-B. נשווה בין הכא"מ שלהן ובין ההתנגדויות הפנימיות שלהן, ונמצא את הזרם שבו מתח ההדקים שווה בשתי הסוללות.

פתרון:

מן החיתוך עם ציר המתח: ε_A = 4.5 V ו-ε_B = 3 V. מן החיתוך עם ציר הזרם: I_max,A = 3 A ו-I_max,B = 6 A, ומכאן:

r_A = ε_AI_max,A = 4.53 = 1.5 Ω

r_B = ε_BI_max,B = 36 = 0.5 Ω

לסוללה A כא"מ גדול יותר, אבל גם ההתנגדות הפנימית שלה גדולה יותר (הקו שלה תלול יותר). מתחי ההדקים שווים בנקודת החיתוך של שני הקווים:

4.5 − 1.5·I = 3 − 0.5·I

I = 4.5 − 31.5 − 0.5 = 1.5 A

V = 4.5 − 1.5 · 1.5 = 2.25 V

בזרמים קטנים מ-1.5 A הסוללה A נותנת מתח הדקים גדול יותר, ובזרמים גדולים יותר הסוללה B עדיפה.

I = 1.5 A , V = 2.25 V

מתח ההדקים כפונקציה של התנגדות העומס:

משני החוקים יחד מקבלים את מתח ההדקים כפונקציה של התנגדות העומס: V = I·R = ε·RR + r. כש-R גדולה בהרבה מ-r, המתח V מתקרב ל-ε, וכאשר R = r מתקבל בדיוק V = ε2. לכן מקור "טוב" הוא מקור שההתנגדות הפנימית שלו קטנה מאוד בהשוואה לעומסים שמחברים אליו: אז מתח ההדקים שלו נשאר כמעט קבוע, יהיה העומס אשר יהיה.

מתח ההדקים כפונקציה של התנגדות העומס עבור מקור עם ε = 6 V ו-r = 2 Ω: הוא מתקרב ל-ε כש-R גדלה, ושווה ל- ε2 כאשר R = r

שאלה 4.10: הקו של מתח ההדקים כפונקציה של הזרם עבור מקור מסוים חותך את ציר המתח ב-12 V ואת ציר הזרם ב-4 A. חשבו את הכא"מ ואת ההתנגדות הפנימית. מהו מתח ההדקים ומהי התנגדות העומס כשהזרם 1.5 A?

פעילות: הכינו סוללה מלימון: נעצו בו מסמר מגולוון (מצופה אבץ) וחתיכת נחושת, במרחק של כמה סנטימטרים זו מזה. מדדו את המתח ביניהן בוולטמטר דיגיטלי — זה הכא"מ (כ-0.9 V). חברו בין שתי החתיכות נגד של 1 kΩ ומדדו שוב את המתח: למה הוא יורד הרבה? חשבו משתי המדידות את ההתנגדות הפנימית של סוללת הלימון.

▶ניסוי חי — כא"מ ומתח הדקיםנכוון את הכא"מ ואת ההתנגדות הפנימית, ונקטין את התנגדות העומס צעד אחר צעד: לפני כל צעד ננבא את מתח ההדקים, ונעקוב אחרי נקודת העבודה שמחליקה על אותו קו ישר עד הקצר.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#emf

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#emf

טיפול כמותי בטעינה ופריקה של קבל (Charging and Discharging a Capacitor)

ראינו שקבל אוגר מטען חשמלי, ושהקיבול שלו הוא היחס בין המטען על אחד מלוחותיו לבין הפרש הפוטנציאלים ביניהם: C = QV. כאשר מחברים קבל ריק למקור מתח ישירות בתיל, הוא נטען בתוך זמן קצר מאוד. אבל אם מחברים אותו דרך נגד, הנגד מגביל את עוצמת הזרם, המטען מצטבר על הלוחות בהדרגה, והמתח על הקבל עולה לאט, בקצב שאפשר למדוד. בסעיף הזה נתאר את התהליך באופן כמותי: כמה זמן נמשכות הטעינה והפריקה, וכיצד משתנים המתח, הזרם והמטען עם הזמן.

מעגל טעינה ופריקה:

מעגל RC: מקור מתח ε, נגד R, קבל C ומפסק דו-מצבי S. במצב 1 הקבל נטען דרך הנגד, ובמצב 2 המקור מנותק והקבל נפרק דרך אותו נגד

נניח שהקבל ריק ושהמקור אידאלי (ההתנגדות הפנימית שלו זניחה או כלולה ב-R). ברגע t = 0 מעבירים את המפסק למצב 1. נכתוב את חוק הלולאות (נרחיב עליו בהמשך הפרק): הכא"מ של המקור שווה לסכום המתח על הנגד והמתח על הקבל:

ε = V_R + V_C

ε = I·R + qC

ברגע הראשון (t = 0): הקבל ריק, q = 0, ולכן המתח עליו אפס, וכל מתח המקור נופל על הנגד. הזרם הוא הגדול ביותר: I₀ = εR. ברגע הזה קבל ריק מתנהג כמו תיל (קצר).
במהלך הטעינה: המטען מצטבר, ולכן V_C = qC עולה, המתח על הנגד V_R = ε − V_C יורד, והזרם קטן. וככל שהזרם קטן, המטען מצטבר לאט יותר — לכן הטעינה מואטת עם הזמן.
בסוף: המתח על הקבל מתקרב ל-ε, והזרם מתקרב לאפס. קבל טעון במלואו מתנהג כנתק במעגל (מעגל פתוח). המטען הסופי הוא Q₀ = C·ε.

קבוע זמן: מכפלת ההתנגדות של המעגל בקיבול הקבל, τ = R·C. קבוע הזמן קובע את קצב הטעינה והפריקה: ככל ש-τ גדול יותר, התהליך נמשך זמן רב יותר. קבוע הזמן אינו תלוי במתח המקור.

קבוע הזמן של מעגל RC

τ = R·C

סימן	משמעות	יחידת מידה
τ	קבוע הזמן	[s]
R	ההתנגדות שדרכה עובר זרם הטעינה או הפריקה	[Ω]
C	קיבול הקבל	[F]

נבדוק שהיחידה של המכפלה היא שנייה, בעזרת ההגדרות של התנגדות ושל קיבול:

Ω·F = VA·CV = CA = A·sA = s

מתח, מטען וזרם בזמן הטעינה:

הפתרון של משוואת המעגל (שלא נפתח כאן) הוא פונקציה מעריכית של הזמן. המספר e ≈ 2.718 הוא הבסיס של הלוגריתם הטבעי, ואת החזקות שלו מחשבים במחשבון (המקש e^x):

טעינת קבל דרך נגד

q(t) = Q₀·(1 − e^−tτ)

V_C(t) = ε·(1 − e^−tτ)

I(t) = I₀·e^−tτ

סימן	משמעות	יחידת מידה
Q₀	המטען הסופי, Q₀ = C·ε	[C]
I₀	הזרם ההתחלתי, I₀ = εR	[A]
V_C	המתח על הקבל ברגע t	[V]
τ	קבוע הזמן, τ = R·C	[s]

נוסחאות אלה הן מקרים פרטיים של הנוסחה הכללית למצב המעבר (משוואת הדפקים): כל גודל במעגל — מתח, מטען או זרם — עובר באופן מעריכי מערך התחלתי לערך סופי, ומספיק לדעת מאיפה מתחילים, לאן מגיעים, ומהו קבוע הזמן. בכל הפתרונות נציב בנוסחה הכללית.

הנוסחה הכללית למצב המעבר

x(t) = x_∞ + (x₀ − x_∞)·e^−Δtτ

סימן	משמעות	יחידת מידה
x(t)	המתח, המטען או הזרם ברגע t	—
x₀	הערך ההתחלתי: מיד אחרי סגירת המפסק	—
x_∞	הערך הסופי: במצב המתמיד	—
Δt	הזמן שעבר מאז השינוי האחרון (סגירת מפסק או קפיצה במבוא); ברגע השינוי Δt = 0, ובכל שלב חדש מודדים אותו מחדש	[s]
τ	קבוע הזמן, τ = R·C	[s]

הערה: המתח על הקבל בטעינה הוא הנוסחה הכללית עם x₀ = 0 ו-x_∞ = ε, והזרם הוא הנוסחה הכללית עם x₀ = I₀ ו-x_∞ = 0; בפריקה x_∞ = 0 לכל הגדלים.

המתח על הקבל בזמן הטעינה: עולה לעבר ε ומתקרב אליו בלי להגיע אליו. המשיק בהתחלה (קו אדום מקווקו) מגיע ל-ε ברגע t = τ

הזרם בזמן הטעינה: מתחיל ב-I₀ = εR ודועך באופן מעריכי לאפס

הזמן	e^−tτ — החלק הנותר מהזרם	1 − e^−tτ — החלק מהמטען	שיעור הטעינה
t = τ	0.368	0.632	63.2 אחוזים
t = 2τ	0.135	0.865	86.5 אחוזים
t = 3τ	0.05	0.95	95 אחוזים
t = 4τ	0.018	0.982	98.2 אחוזים
t = 5τ	0.007	0.993	99.3 אחוזים

מן הטבלה עולה כלל מעשי: אחרי קבוע זמן אחד המתח על הקבל (והמטען שלו) מגיע לכ-63 אחוזים מערכו הסופי, והזרם יורד לכ-37 אחוזים מערכו ההתחלתי. אחרי 5τ הטעינה הושלמה למעשה (יותר מ-99 אחוזים). נשים לב גם שבכל רגע V_R + V_C = ε: מה שהקבל מרוויח במתח, הנגד מפסיד.

הערה: דרך לקרוא את τ מן הגרף: משרטטים את המשיק לעקומת המתח (או הזרם) ברגע t = 0. המשיק הזה חותך את הקו האופקי V = ε (או את ציר הזמן בגרף הזרם) בדיוק ברגע t = τ. דרך שנייה: מחפשים את הרגע שבו המתח מגיע ל-0.63ε, או שבו הזרם יורד ל-0.37I₀.

דוגמה 4.22

מחברים קבל ריק שקיבולו 400 μF למקור מתח של 9 V דרך נגד של 5 kΩ, וסוגרים את המפסק ברגע t = 0. נחשב:
א. את קבוע הזמן.
ב. את הזרם ההתחלתי ואת המטען הסופי.
ג. את המתח על הקבל ואת הזרם ברגע t = 4 s.
ד. מתי המתח על הקבל מגיע ל-6 V?

פתרון:

א. נעביר ליחידות היסוד: R = 5·10³ Ω, C = 400·10⁻⁶ F:

τ = R·C = 5·10³ · 400·10⁻⁶ = 2 s

ב. ברגע הראשון כל המתח נופל על הנגד, ובסוף — כולו על הקבל:

I₀ = εR = 95·10³ = 1.8·10⁻³ A = 1.8 mA

Q₀ = C·ε = 400·10⁻⁶ · 9 = 3.6·10⁻³ C = 3.6 mC

ג. הרגע t = 4 s שווה ל-2τ, ולכן המעריך הוא −2. למתח x₀ = 0 ו-x_∞ = ε = 9 V, ולזרם x₀ = I₀ = 1.8 mA ו-x_∞ = 0. נציב בנוסחה הכללית:

V_C = 9 + (0 − 9)·e⁻² = 7.78 V

I = 0 + (1.8 − 0)·e⁻² = 0.244 mA

נבדוק בעזרת חוק הלולאות: המתח על הנגד V_R = I·R = 1.22 V, וסכום שני המתחים 7.78 + 1.22 = 9 V, כנדרש.

ד. נציב V_C = 6 V בנוסחה הכללית ונבודד את האיבר המעריכי:

6 = 9 + (0 − 9)·e^−Δtτ

e^−Δtτ = 9 − 69 = 13

e^Δtτ = 3

Δt = τ·ln 3 = 2 · ln 3 = 2.2 s

המקש ln במחשבון הוא הפעולה ההפוכה לחזקה e^x: אם e^x = 3, אז x = ln 3.

τ = 2 s , I₀ = 1.8 mA , V_C(4 s) = 7.78 V , Δt = 2.2 s

המתח על הקבל בדוגמה: 5.69 V ברגע t = τ = 2 s, ו-7.78 V ברגע t = 4 s

הזרם בדוגמה: יורד מ-1.8 mA ל-0.66 mA ברגע t = τ

שאלה 4.11: נגד של 2 MΩ וקבל של 1.5 μF מחוברים בטור למקור מתח של 6 V. חשבו את קבוע הזמן, את המתח על הקבל 3 s אחרי סגירת המעגל, ואת הזמן שאחריו הטעינה מושלמת בכ-95 אחוזים.

פריקת הקבל:

הפריקה: המפסק במצב 2. הקבל הטעון פועל כמקור, והזרם יוצא מהלוח החיובי שלו ועובר בנגד בכיוון הפוך לכיוון זרם הטעינה

אחרי שהקבל נטען למתח V₀, מעבירים את המפסק למצב 2. עכשיו אין מקור בלולאה, והקבל עצמו דוחף את המטען מהלוח החיובי שלו דרך הנגד אל הלוח השלילי. ברגע הראשון כל המתח של הקבל נופל על הנגד, ולכן הזרם I₀ = V₀R. ככל שהמטען יוצא, המתח על הקבל קטן, הזרם קטן, והפריקה מואטת. חוק הלולאות בפריקה הוא V_C = I·R, והפתרון שלו הוא פונקציה מעריכית יורדת, עם אותו קבוע זמן τ = R·C:

פריקת קבל דרך נגד

q(t) = Q₀·e^−tτ

V_C(t) = V₀·e^−tτ

I(t) = I₀·e^−tτ

סימן	משמעות	יחידת מידה
Q₀	מטען הקבל בתחילת הפריקה, Q₀ = C·V₀	[C]
V₀	המתח על הקבל בתחילת הפריקה	[V]
I₀	הזרם ההתחלתי, I₀ = V₀R	[A]

המתח על הקבל בזמן הפריקה: אחרי τ נשארים 37 אחוזים מהמתח ההתחלתי

גודל הזרם בזמן הפריקה. כיוונו הפוך לכיוון זרם הטעינה

בפריקה שלושת הגדלים — המטען, המתח והזרם — קטנים באותו יחס: אחרי כל קבוע זמן נשאר מהם e⁻¹ ≈ 0.37 ממה שהיה. כדאי גם לדעת אחרי כמה זמן המתח יורד למחצית. נציב e^−tτ = 12:

t_h = τ·ln 2 ≈ 0.69τ

הערה: t_h הוא "זמן מחצית הפריקה": בכל פרק זמן כזה המתח (וגם המטען והזרם) יורד למחצית מערכו, יהיה הערך בתחילת פרק הזמן אשר יהיה. אחרי t_h נשארת מחצית, אחרי 2t_h — רבע, ואחרי 3t_h — שמינית.

דוגמה 4.23

קבל שקיבולו 200 μF טעון למתח 20 V, והוא נפרק דרך נגד של 50 kΩ. נחשב:
א. את קבוע הזמן, את הזרם ההתחלתי ואת המטען ההתחלתי.
ב. את המתח על הקבל אחרי 10 s ואחרי 20 s.
ג. אחרי כמה זמן המתח עליו יורד ל-5 V?
ד. כמה אנרגיה הופכת לחום בנגד במהלך הפריקה כולה?

פתרון:

א. קבוע הזמן ושני הערכים ההתחלתיים:

τ = R·C = 50·10³ · 200·10⁻⁶ = 10 s

I₀ = V₀R = 2050·10³ = 4·10⁻⁴ A = 0.4 mA

Q₀ = C·V₀ = 200·10⁻⁶ · 20 = 4·10⁻³ C

ב. 10 s הם τ, ו-20 s הם 2τ. בפריקה x₀ = 20 V ו-x_∞ = 0, ונציב בנוסחה הכללית:

V_C(10 s) = 0 + (20 − 0)·e⁻¹ = 7.36 V

V_C(20 s) = 0 + (20 − 0)·e⁻² = 2.71 V

ג. נציב V_C = 5 V בנוסחה הכללית:

5 = 0 + (20 − 0)·e^−Δtτ

e^Δtτ = 205 = 4

Δt = τ·ln 4 = 10 · ln 4 = 13.9 s

אפשר להגיע לאותה תוצאה בעזרת זמן מחצית הפריקה: מ-20 V ל-5 V זו ירידה לרבע, כלומר 2t_h = 2 · 0.69 · 10 ≈ 13.8 s.

ד. בסוף הקבל ריק, ולכן כל האנרגיה שהייתה אגורה בו הפכה לחום בנגד:

U = 12·C·V₀² = 12 · 200·10⁻⁶ · 20² = 0.04 J

τ = 10 s , V_C(10 s) = 7.36 V , Δt = 13.9 s , E = 0.04 J

שאלה 4.12: קבל שקיבולו 100 μF נפרק דרך נגד. המתח עליו ירד מ-12 V ל-4.41 V בתוך 0.5 s. מהו קבוע הזמן? ומהי ההתנגדות של הנגד?

המטען הוא השטח מתחת לגרף הזרם:

אם הזרם קבוע, המטען שעובר בזמן Δt הוא Δq = I·Δt, וזה השטח של המלבן מתחת לגרף הזרם כפונקציה של הזמן. כשהזרם משתנה, מחלקים את הזמן לפרקי זמן קצרים מאוד, שבכל אחד מהם הזרם כמעט קבוע, ואז המטען בכל פרק זמן הוא השטח של רצועה צרה. כשמחברים את כל הרצועות, מקבלים כלל שתקף תמיד:

הכלל: המטען שעובר במעגל בפרק זמן מסוים שווה לשטח הכלוא בין גרף הזרם לציר הזמן באותו פרק זמן. בטעינה זה המטען שהצטבר על הקבל, ובפריקה — המטען שיצא ממנו.

השטח הכחול מתחת לגרף הזרם הוא המטען הכולל. השטח של הרצועה הצהובה הצרה הוא בקירוב I·Δt: המטען שעבר בפרק זמן קצר

בטעינה מלאה, השטח הכולל מתחת לעקומה I = I₀·e^−tτ שווה בדיוק לשטח של מלבן שגובהו I₀ ורוחבו τ. נבדוק שזה מתאים למטען הסופי:

Q₀ = I₀·τ = εR·R·C = C·ε

דוגמה 4.24

הגרף הקודם מציג את הזרם שנמדד בזמן טעינה של קבל ריק דרך נגד, ממקור מתח של 12 V. נשתמש בגרף כדי למצוא:
א. את קבוע הזמן.
ב. את ההתנגדות של הנגד ואת קיבול הקבל.
ג. את המטען הסופי על הקבל.

פתרון:

א. נקרא מן הגרף את הזרם ההתחלתי, I₀ = 2 mA. נחפש את הרגע שבו הזרם יורד ל-0.37 · 2 = 0.74 mA, ונמצא אותו ב-t = 3 s. לכן:

τ = 3 s

ב. ברגע הראשון כל מתח המקור נופל על הנגד:

R = εI₀ = 122·10⁻³ = 6·10³ Ω = 6 kΩ

C = τR = 36·10³ = 5·10⁻⁴ F = 500 μF

ג. המטען הסופי הוא השטח הכולל מתחת לעקומה:

Q₀ = I₀·τ = 2·10⁻³ · 3 = 6·10⁻³ C = 6 mC

ונבדוק: C·ε = 5·10⁻⁴ · 12 = 6·10⁻³ C — אותה תוצאה.

τ = 3 s , R = 6 kΩ , C = 500 μF , Q₀ = 6 mC

שאלה 4.13: הזרם במעגל יורד באופן קווי מ-4 mA לאפס בתוך 5 s. שרטטו את גרף הזרם כפונקציה של הזמן, וחשבו את המטען שעבר במעגל.

האנרגיה בתהליך הטעינה:

בזמן הטעינה המקור מעביר את כל המטען Q₀ דרך הפרש הפוטנציאלים ε, ולכן הוא מספק אנרגיה E = Q₀·ε = C·ε². אבל הקבל הטעון אוגר רק U = 12·C·ε². המחצית השנייה הופכת לחום בנגד. והתוצאה המפתיעה: החלוקה הזאת אינה תלויה בגודל של R. נגד גדול מאריך את הטעינה ומחליש את הזרם, אבל החום הכולל שנפלט בו נשאר מחצית מהאנרגיה.

שאלה 4.14: במעגל של הדוגמה הראשונה בסעיף הזה (ε = 9 V, C = 400 μF) חשבו את האנרגיה שהמקור מספק עד שהטעינה מושלמת, את האנרגיה האגורה בקבל ואת החום שנפלט בנגד.

▶ניסוי חי — טעינה ופריקה של קבלנשנה את ההתנגדות, את הקיבול ואת מתח המקור, נפעיל טעינה ואחריה פריקה, ונקרא על העקומות את קבוע הזמן ואת שני היחסים, 63 ו-37 אחוזים. נבדוק שהכפלת R מאריכה את התהליך ואינה משנה את המתח הסופי.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#rc

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#rc

הספק ואנרגיה במעגל חשמלי, נצילות (Power, Energy and Efficiency)

אנרגיה חשמלית:

כאשר מטען q עובר דרך הפרש פוטנציאלים V, האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית שלו משתנה בשיעור q·V. במקור המטען מקבל אנרגיה, ובצרכן (נגד, נורה, מנוע) הוא מאבד אותה, והאנרגיה החשמלית הופכת לצורה אחרת: חום, אור או עבודה מכנית. אם זרם I עובר במשך זמן t, המטען שעבר הוא q = I·t, ומכאן:

אנרגיה חשמלית: האנרגיה שרכיב במעגל מקבל (או מוסר) כאשר עובר בו מטען דרך הפרש פוטנציאלים. לרכיב שהמתח עליו V ועובר בו זרם קבוע I במשך זמן t: E = V·I·t. יחידתה ג׳אול, J.

הספק: האנרגיה המועברת ביחידת זמן, P = Et. ההספק החשמלי של רכיב הוא מכפלת המתח עליו בזרם העובר בו. יחידתו ואט: 1 W = 1 J1 s = 1 V·A.

הספק חשמלי

P = V·I

E = P·t = V·I·t

סימן	משמעות	יחידת מידה
P	ההספק	[W]
V	המתח על הרכיב	[V]
I	עוצמת הזרם ברכיב	[A]
E	האנרגיה החשמלית במשך הזמן t	[J]

ההספק בנגד:

בנגד כל האנרגיה החשמלית הופכת לחום (הנגד מתחמם). כשמציבים את חוק אוהם, V = I·R, מקבלים שני ביטויים נוספים להספק:

ההספק ההופך לחום בנגד

P = V·I

P = I²·R

P = V²R

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	ההתנגדות של הנגד	[Ω]
I	הזרם בנגד	[A]
V	המתח על הנגד	[V]

הערה: באיזה ביטוי לבחור? בנגדים המחוברים בטור הזרם משותף, והביטוי P = I²·R מראה שההספק הגדול ביותר הוא בנגד הגדול. בנגדים המחוברים במקביל המתח משותף, והביטוי P = V²R מראה שההספק הגדול ביותר הוא בנגד הקטן.

דוגמה 4.25

על תנור חימום חשמלי כתוב: "230 V, 2300 W". נחשב את הזרם בתנור ואת ההתנגדות שלו בפעולה רגילה, ואת האנרגיה שהוא צורך ב-3 שעות פעולה.

פתרון:

הנתונים הכתובים על המכשיר הם מתח הפעולה וההספק שלו במתח הזה:

I = PV = 2300230 = 10 A

R = V²P = 230²2300 = 23 Ω

נבדוק: P = I²·R = 10² · 23 = 2300 W. האנרגיה ב-3 שעות, כלומר t = 3 · 3600 = 10800 s:

E = P·t = 2300 · 10800 = 2.484·10⁷ J

I = 10 A , R = 23 Ω , E = 2.484·10⁷ J

קילוואט-שעה וחשבון החשמל:

הג׳אול הוא יחידה קטנה ביחס לצריכה הביתית, ולכן חברת החשמל מודדת אנרגיה ביחידה קילוואט-שעה (קוט"ש): האנרגיה שמכשיר בהספק 1 kW צורך במשך שעה אחת:

1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6·10⁶ J

כדי לחשב אנרגיה בקילוואט-שעה, מכפילים את ההספק בקילוואט בזמן הפעולה בשעות. בדוגמה הקודמת: E = 2.3 kW · 3 h = 6.9 kWh, ונבדוק: 6.9 · 3.6·10⁶ = 2.484·10⁷ J.

המכשיר	הספק	פעולה ביום	אנרגיה ביום	ב-30 יום (kWh)
נורת LED	10 W	5 h	0.05 kWh	1.5
טלוויזיה	120 W	4 h	0.48 kWh	14.4
מקרר (ממוצע)	150 W	24 h	3.6 kWh	108
מכונת כביסה	500 W	1 h	0.5 kWh	15
מזגן	1200 W	6 h	7.2 kWh	216
קומקום חשמלי	2000 W	0.5 h	1 kWh	30
סך הכול			12.83 kWh	384.9

דוגמה 4.26

לפי הטבלה, ובמחיר של 0.6 ש"ח לקילוואט-שעה, נחשב את עלות החשמל החודשית (30 יום) של הבית הזה, ונמצא איזה מכשיר הוא היקר ביותר.

פתרון:

נחבר את האנרגיה היומית של כל המכשירים ונכפיל במספר הימים:

E = 12.83 kWh · 30 = 384.9 kWh

נכפיל במחיר הקילוואט-שעה: 384.9 · 0.6 = 230.9, כלומר העלות החודשית היא 230.9 ש"ח.

המזגן צורך 7.2 kWh ביום, וזה החלק הגדול ביותר. ההספק של המקרר קטן, אבל הוא פועל כל היום, ולכן הצריכה שלו גדולה מזו של הקומקום, שההספק שלו גדול בהרבה: האנרגיה תלויה בהספק ובזמן.

E = 384.9 kWh

שאלה 4.15: על נורת להט כתוב: "230 V, 60 W". חשבו את ההתנגדות שלה ואת הזרם בה בפעולה רגילה. מה יהיה ההספק שלה אם תחובר למתח 115 V (הניחו שההתנגדות שלה אינה משתנה)?

נצילות:

כל מכשיר הופך אנרגיה חשמלית לצורה אחרת. מנוע, למשל, הופך אותה לעבודה מכנית, אבל חלק ממנה הולך לאיבוד בהכרח כחום בליפופים שלו וכחיכוך בצירים שלו. האנרגיה שאינה הופכת לצורה הרצויה נקראת הפסדי אנרגיה.

נצילות: היחס בין ההספק המועיל (המנוצל) שהמכשיר מוסר לבין ההספק הכולל (המושקע) שהוא מקבל: η = P_outP_in. הנצילות היא מספר חסר יחידות, תמיד קטן מ-1, ובדרך כלל מבטאים אותה באחוזים.

נצילות

η = P_outP_in = E_outE_in

P_in = P_out + P_loss

סימן	משמעות	יחידת מידה
η	הנצילות	—
P_out	ההספק המועיל (המנוצל)	[W]
P_in	ההספק המושקע הנכנס למכשיר	[W]
P_loss	הספק ההפסדים	[W]

דוגמה 4.27

מנוע חשמלי מחובר למתח 24 V, ועובר בו זרם 2.5 A. המנוע מרים גוף שמסתו 9 kg במהירות קבועה לגובה 2 m בתוך 4 s. נחשב את נצילות המנוע ואת הספק ההפסדים.

פתרון:

ההספק הנכנס הוא ההספק החשמלי:

P_in = V·I = 24 · 2.5 = 60 W

ההספק המועיל הוא העבודה שנעשית נגד כוח הכובד ביחידת זמן:

P_out = m·g·ht = 9 · 10 · 24 = 45 W

η = P_outP_in = 4560 = 0.75

P_loss = 60 − 45 = 15 W

כלומר נצילות המנוע היא 75 אחוזים, והשאר הופך לחום בליפופים ובחיכוך.

η = 0.75 , P_loss = 15 W

האנרגיה במעגל עם מקור בעל התנגדות פנימית:

מקור ממשי (בתוך המסגרת המקווקוות): כא"מ ε והתנגדות פנימית r. מתח ההדקים V_AB הוא המתח על הנגד החיצוני R

המקור הופך אנרגיה כימית (בסוללה) או מכנית (בגנרטור) לאנרגיה חשמלית, בהספק ε·I. חלק מההספק הזה הולך לאיבוד בתוך המקור עצמו כחום בהתנגדות הפנימית שלו, והשאר מגיע למעגל החיצוני. נכפיל את משוואת מתח ההדקים V = ε − I·r בזרם I:

V·I = ε·I − I²·r

ε·I = I²·R + I²·r

מאזן ההספקים במעגל פשוט

P_ε = ε·I

P_R = V·I = I²·R

P_r = I²·r

η = P_RP_ε = Vε = RR + r

סימן	משמעות	יחידת מידה
P_ε	ההספק שהמקור מוסר (ההספק הכולל)	[W]
P_R	ההספק בנגד החיצוני (ההספק המועיל)	[W]
P_r	ההספק שהולך לאיבוד בהתנגדות הפנימית	[W]
η	נצילות המקור	—

דוגמה 4.28

סוללה שהכא"מ שלה 12 V וההתנגדות הפנימית שלה 1 Ω מחוברת לנגד של 5 Ω. נחשב את הזרם, את מתח ההדקים, את ההספק שהסוללה מוסרת, את ההספק בנגד, את ההספק שהולך לאיבוד בתוך הסוללה ואת נצילות הסוללה.

פתרון:

I = εR + r = 125 + 1 = 2 A

V = I·R = 2 · 5 = 10 V

P_ε = ε·I = 12 · 2 = 24 W

P_R = I²·R = 2² · 5 = 20 W

P_r = I²·r = 2² · 1 = 4 W

נבדוק את מאזן ההספקים: 24 = 20 + 4. הנצילות:

η = Vε = 1012 = 0.833

כלומר כ-83 אחוזים מהאנרגיה שהסוללה מפיקה מגיעים לנגד.

I = 2 A , V = 10 V , P_ε = 24 W , P_R = 20 W , η = 0.833

הפסדי אנרגיה בקווי הולכה:

העברת אנרגיה מתחנת הכוח אל הצרכן בשני קווים בעלי התנגדות. אותו זרם עובר בשני הקווים ובצרכן

האנרגיה החשמלית מועברת מתחנת הכוח אל הערים בקווי הולכה שאורכם עשרות קילומטרים, ולקווים האלה יש התנגדות R_ℓ. הזרם הדרוש להעברת הספק P במתח V הוא I = PV, וההספק שהולך לאיבוד כחום בקווים הוא:

P_loss = I²·R_ℓ = (PV)²·R_ℓ

ההפסד נמצא ביחס הפוך לריבוע של מתח ההולכה: הגדלת המתח פי עשרה מקטינה את הזרם פי עשרה ואת ההפסד פי מאה. לכן מעבירים את החשמל במתח גבוה מאוד (מאות אלפי וולטים), ובקרבת הצרכן מורידים את המתח. המכשיר שמעלה ומוריד את המתח הוא השנאי, ונכיר אותו בפרק ההשראה האלקטרומגנטית.

דוגמה 4.29

יישוב קטן זקוק להספק של 50 kW, וההתנגדות הכוללת של שני קווי ההולכה אליו היא 0.4 Ω. נחשב את הזרם בקווים ואת ההספק שהולך בהם לאיבוד, אם ההספק מועבר במתח 1 kV, ואחר כך במתח 10 kV. (נניח שהמתח הנתון הוא מתח ההולכה, ושההפסד קטן ביחס להספק המועבר.)

פתרון:

במתח 1 kV:

I = PV = 50·10³10³ = 50 A

P_loss = I²·R_ℓ = 50² · 0.4 = 1000 W

כלומר 2 אחוזים מההספק המועבר. ובמתח 10 kV:

I = 50·10³10⁴ = 5 A

P_loss = 5² · 0.4 = 10 W

הגדלנו את המתח פי עשרה, וההפסד ירד מ-1000 W ל-10 W — פי מאה.

P_loss = 1000 W → 10 W

הספק מרבי של מקור בעל התנגדות פנימית:

נחבר למקור (ε, r) נגד חיצוני R ונשאל: לאיזה ערך של R ההספק בנגד הוא הגדול ביותר? אם R קטן מאוד (קרוב לקצר), הזרם גדול, אבל המתח על הנגד כמעט אפס. ואם R גדול מאוד, המתח קרוב ל-ε, אבל הזרם כמעט אפס. בשני המקרים ההספק קטן, ולכן חייב להיות ערך ביניים. ההספק בנגד:

P_R = I²·R = ε²·R(R + r)²

ההספק בנגד החיצוני כפונקציה של ההתנגדות שלו, למקור ε = 12 V, r = 2 Ω. השיא ב-R = r

R [Ω]	I [A]	P_R [W]	η
0.5	4.8	11.52	0.2
1	4	16	0.33
2	3	18	0.5
4	2	16	0.67
8	1.2	11.52	0.8

הטבלה והגרף מראים שההספק המרבי מתקבל כאשר R = r. אפשר להוכיח זאת אלגברית: נכתוב (R + r)² = (R − r)² + 4·R·r ונחלק את המונה ואת המכנה ב-R:

P_R = ε²(R − r)²R + 4·r

המכנה קטן ביותר — וההספק גדול ביותר — כאשר האיבר (R − r)² מתאפס, כלומר כאשר R = r:

ההספק המרבי בנגד החיצוני

R = r

P_max = ε²4·r

η = 12

סימן	משמעות	יחידת מידה
r	ההתנגדות הפנימית של המקור	[Ω]
P_max	ההספק הגדול ביותר שיכול להגיע למעגל החיצוני	[W]

שימו לב: בהספק המרבי מחצית מההספק הולכת לאיבוד בתוך המקור, ולכן הנצילות היא 50 אחוזים בלבד. לכן רשת החשמל אינה פועלת במצב הזה: ברשת המטרה היא נצילות גבוהה, ולכן ההתנגדות של הצרכנים גדולה בהרבה מההתנגדות של המקור ושל הקווים. מצב ההספק המרבי חשוב במעגלים של אותות חלשים, כמו אנטנה ורמקול, שבהם רוצים להפיק מהמקור את ההספק הגדול ביותר האפשרי.

נשים לב שבטבלה R = 0.5 Ω ו-R = 8 Ω נותנים אותו הספק, 11.52 W, אבל הנצילות שונה מאוד: 0.2 לעומת 0.8. לכל הספק הקטן מ-P_max יש שני ערכים של ההתנגדות החיצונית, ומכפלתם שווה ל-r².

דוגמה 4.30

סוללה שהכא"מ שלה 12 V וההתנגדות הפנימית שלה 2 Ω. נחשב את ההספק הגדול ביותר שהיא יכולה למסור לנגד חיצוני, ואת הזרם ואת מתח ההדקים במצב הזה.

פתרון:

R = r = 2 Ω

P_max = ε²4·r = 12²4 · 2 = 18 W

I = εR + r = 124 = 3 A

V = I·R = 3 · 2 = 6 V

מתח ההדקים הוא מחצית הכא"מ, וההספק שהולך לאיבוד בתוך הסוללה, I²·r = 18 W, שווה להספק המועיל.

P_max = 18 W , I = 3 A , V = 6 V

שאלה 4.16: למקור יש כא"מ של 9 V והתנגדות פנימית של 1.5 Ω. מהי ההתנגדות של הנגד החיצוני שמקבל את ההספק הגדול ביותר? חשבו את ההספק הזה ואת הזרם. מה תהיה הנצילות אם נחבר במקומו נגד של 6 Ω?

▶ניסוי חי — הספק, אנרגיה ונצילותנשנה את מתח ההולכה ואת התנגדות הקו ונעקוב אחר ההפסד בקווים, ובמחשבון הצריכה הביתית נחשב את האנרגיה בקילוואט-שעה ואת עלותה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#power

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#power

מעגלים חשמליים (Electric Circuits)

מעגלים אמיתיים מכילים כמה נגדים, ולפעמים גם כמה מקורות. בסעיף הזה נלמד איך מחליפים קבוצה של נגדים בנגד אחד השקול לה, איך מחברים מקורות זה לזה, ואיך פותרים בעזרת שני חוקי קירכהוף מעגל שאי אפשר לפשט.

התנגדות שקולה: ההתנגדות של נגד אחד שיכול להחליף קבוצה של נגדים בין שתי נקודות, בלי שישתנו המתח בין הנקודות והזרם הנכנס לקבוצה. מסמנים אותה R_eq.

חיבור בטור:

שלושה נגדים בטור: אותו זרם עובר בכל אחד מהם, ומתח המקור מתחלק ביניהם

בחיבור בטור יש למטען מסלול אחד בלבד, ולכן אותו זרם עובר בכל הנגדים. המתח הכולל הוא סכום המתחים על הנגדים:

V = V₁ + V₂ + V₃ = I·R₁ + I·R₂ + I·R₃

V = I·(R₁ + R₂ + R₃) = I·R_eq

התנגדות שקולה בחיבור בטור

R_eq = R₁ + R₂ + R₃ + …

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_eq	ההתנגדות השקולה — גדולה מההתנגדות הגדולה ביותר	[Ω]
I	הזרם המשותף	[A]

דוגמה 4.31

שלושה נגדים, 2 Ω, 4 Ω ו-6 Ω, מחוברים בטור למקור מתח של 24 V (כמו באיור). נחשב את ההתנגדות השקולה, את הזרם, את המתח על כל נגד ואת ההספק בכל אחד מהם.

פתרון:

R_eq = 2 + 4 + 6 = 12 Ω

I = VR_eq = 2412 = 2 A

V₁ = I·R₁ = 4 V

V₂ = I·R₂ = 8 V

V₃ = I·R₃ = 12 V

סכום המתחים: 4 + 8 + 12 = 24 V. ההספקים, P = I²·R:

P₁ = 8 W

P₂ = 16 W

P₃ = 24 W

הנגד הגדול ביותר מקבל את המתח הגדול ביותר ואת ההספק הגדול ביותר.

R_eq = 12 Ω , I = 2 A , V₁ : V₂ : V₃ = 1 : 2 : 3

מחלק מתח. שני נגדים בטור מחלקים את מתח המקור ביחס ההתנגדויות שלהם. המתח על כל אחד מהם:

V₁ = V·R₁R₁ + R₂

V₂ = V·R₂R₁ + R₂

שאלה 4.17: רוצים לקבל ממקור מתח של 12 V מתח של 4 V בעזרת שני נגדים בטור. ההתנגדות של אחד מהם 3 kΩ, ואת המתח לוקחים מהנגד השני. מהי ההתנגדות של הנגד השני?

דוגמה 4.32

נורת להט שכתוב עליה "230 V, 60 W" ונורה אחרת שכתוב עליה "230 V, 100 W" מחוברות בטור למתח 230 V. איזו נורה מאירה חזק יותר? (נניח שההתנגדות של הנורות אינה משתנה.)

פתרון:

נחשב את ההתנגדות של כל נורה מהנתונים הכתובים עליה:

R₁ = V²P₁ = 230²60 = 881.7 Ω

R₂ = 230²100 = 529 Ω

בחיבור בטור הזרם משותף:

I = 230881.7 + 529 = 0.163 A

P₁ = I²·R₁ = 23.4 W

P₂ = I²·R₂ = 14.1 W

הנורה "60 W" מאירה חזק יותר מהנורה "100 W"! בחיבור בטור הזרם משותף, ולכן ההספק הגדול ביותר הוא בהתנגדות הגדולה ביותר — והנורה בעלת ההספק הנקוב הקטן היא בעלת ההתנגדות הגדולה. ושתיהן מאירות חלש בהרבה מעוצמת ההארה הנקובה שלהן.

P₁ = 23.4 W , P₂ = 14.1 W

חיבור במקביל:

שלושה נגדים במקביל: כולם מחוברים בין אותן שתי נקודות, ולכן המתח עליהם שווה, והזרם הכולל מתפצל ביניהם

בחיבור במקביל כל הנגדים מחוברים בין אותן שתי נקודות, ולכן המתח עליהם שווה. הזרם הכולל מתפצל בין המסלולים, ומכיוון שהמטען אינו מצטבר בנקודת ההתפצלות, הזרם הכולל הוא סכום הזרמים:

I = I₁ + I₂ + I₃ = VR₁ + VR₂ + VR₃ = VR_eq

התנגדות שקולה בחיבור במקביל

1R_eq = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃ + …

R_eq = R₁·R₂R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_eq	ההתנגדות השקולה — קטנה מההתנגדות הקטנה ביותר (השורה השנייה: לשני נגדים בלבד)	[Ω]
V	המתח המשותף על כל הנגדים	[V]

דוגמה 4.33

שלושה נגדים, 6 Ω, 12 Ω ו-4 Ω, מחוברים במקביל למקור מתח של 12 V. נחשב את ההתנגדות השקולה, את הזרם בכל נגד ואת הזרם הכולל.

פתרון:

1R_eq = 16 + 112 + 14 = 2 + 1 + 312 = 612

R_eq = 2 Ω

המתח על כל נגד הוא 12 V:

I₁ = 126 = 2 A

I₂ = 1212 = 1 A

I₃ = 124 = 3 A

I = I₁ + I₂ + I₃ = 6 A

נבדוק: I = VR_eq = 122 = 6 A. בנגד הקטן ביותר עובר הזרם הגדול ביותר.

R_eq = 2 Ω , I = 6 A

הערה: כל מסלול חדש במקביל פותח למטען דרך נוספת, ולכן ההתנגדות השקולה קטנה בכל פעם שמוסיפים נגד במקביל — גם אם הוא גדול. כך פועלים המכשירים בבית: כולם מחוברים במקביל למתח הרשת, וכל מכשיר שמפעילים מגדיל את הזרם הכולל.

חיבור מעורב:

במעגל מעורב מחפשים קבוצות פשוטות — נגדים בטור או במקביל — ומחליפים כל קבוצה בהתנגדות השקולה שלה, צעד אחר צעד, עד שנשאר נגד אחד. אחר כך חוזרים בכיוון ההפוך כדי לחשב את הזרם ואת המתח בכל נגד.

מעגל מעורב: הנגד R₁ בטור עם הזוג המקבילי R₂ ו-R₃, שבין הנקודות C ו-D

דוגמה 4.34

במעגל שבאיור נחשב:
א. את ההתנגדות השקולה של המעגל החיצוני.
ב. את הזרם היוצא מהמקור ואת מתח ההדקים.
ג. את הזרם בכל אחד מהנגדים R₂ ו-R₃.

פתרון:

א. נתחיל בזוג המקבילי שבין C ל-D:

R_CD = R₂·R₃R₂ + R₃ = 20 · 520 + 5 = 4 Ω

R_ext = R₁ + R_CD = 4 + 4 = 8 Ω

ב. את הזרם נמצא מחוק אוהם למעגל השלם, ואחר כך את מתח ההדקים:

I = εR_ext + r = 188 + 1 = 2 A

V = I·R_ext = 2 · 8 = 16 V

ג. המתח על הזוג המקבילי, וממנו הזרם בכל ענף:

V_CD = I·R_CD = 2 · 4 = 8 V

I₂ = V_CDR₂ = 820 = 0.4 A

I₃ = V_CDR₃ = 85 = 1.6 A

נבדוק: I₂ + I₃ = 0.4 + 1.6 = 2 A = I.

R_ext = 8 Ω , I = 2 A , I₂ = 0.4 A , I₃ = 1.6 A

שאלה 4.18: במעגל שבאיור שלוש נורות להט זהות, והמקור אידאלי. מה קורה לעוצמת ההארה של כל אחת מהנורות L₁ ו-L₂ כשסוגרים את המפסק S? חשבו את היחס בין ההספק בכל נורה אחרי הסגירה לבין ההספק לפניה (הניחו שההתנגדות של הנורות קבועה).

חיבור מקורות:

בטור: מחברים את הקוטב החיובי של מקור לקוטב השלילי של המקור שאחריו. המטען עובר בכל המקורות ואוסף אנרגיה מכל אחד מהם: הכא"מים מתחברים, וגם ההתנגדויות הפנימיות מתחברות (כמו נגדים בטור). אם אחד המקורות מחובר בכיוון ההפוך, מחסירים את הכא"מ שלו.

במקביל: מחברים רק מקורות זהים, קוטב חיובי לחיובי ושלילי לשלילי. הכא"מ של הקבוצה הוא הכא"מ של מקור אחד, וההתנגדות הפנימית קטנה (כמו נגדים זהים במקביל). היתרון: כל מקור מוסר רק חלק מהזרם, ולכן הקבוצה מחזיקה מעמד זמן רב יותר.

ארבעה תאים בטור

ארבעה תאים זהים במקביל

חיבור מקורות

ε_eq = ε₁ + ε₂ + …

r_eq = r₁ + r₂ + …

ε_eq = ε , r_eq = rn

סימן	משמעות	יחידת מידה
ε_eq	הכא"מ השקול (שתי השורות הראשונות: בטור)	[V]
r_eq	ההתנגדות הפנימית השקולה (השורה השלישית: n מקורות זהים במקביל)	[Ω]

דוגמה 4.35

יש לנו ארבעה תאים זהים, ולכל אחד מהם כא"מ של 1.5 V והתנגדות פנימית של 0.2 Ω. נחשב את הזרם בנגד של 2.2 Ω כשהתאים מחוברים בטור, וכשהם מחוברים במקביל.

פתרון:

בטור:

ε_eq = 4 · 1.5 = 6 V

r_eq = 4 · 0.2 = 0.8 Ω

I = ε_eqR + r_eq = 62.2 + 0.8 = 2 A

במקביל:

ε_eq = 1.5 V

r_eq = 0.24 = 0.05 Ω

I = 1.52.2 + 0.05 = 0.667 A

החיבור בטור נותן בנגד הזה זרם גדול יותר. במקביל, לעומת זאת, כל תא מוסר רק רבע מהזרם (0.167 A), ולכן הסוללה מחזיקה מעמד זמן רב יותר.

I = 2 A , I = 0.667 A

שני מקורות מנוגדים בלולאה אחת: המקור החזק יותר, ε₁, טוען את הסוללה ε₂

דוגמה 4.36

סוללה שהכא"מ שלה 12 V וההתנגדות הפנימית שלה 0.5 Ω טוענת סוללה שהכא"מ שלה 9 V וההתנגדות הפנימית שלה 0.5 Ω, דרך נגד של 2 Ω. שני הקטבים החיוביים פונים זה אל זה, כמו באיור. נחשב את הזרם, ונראה איך ההספק מתחלק.

פתרון:

שני הכא"מים מנוגדים, ולכן מחסירים אותם, וכל ההתנגדויות בטור:

I = ε₁ − ε₂r₁ + r₂ + R = 12 − 90.5 + 0.5 + 2 = 1 A

הסוללה הראשונה מוסרת הספק ε₁·I, והסוללה השנייה מקבלת הספק ε₂·I ואוגרת אותו כאנרגיה כימית; השאר הופך לחום:

P₁ = ε₁·I = 12 W

P₂ = ε₂·I = 9 W

P_loss = I²·(r₁ + r₂ + R) = 3 W

המאזן: 12 = 9 + 3. הזרם נכנס לסוללה השנייה דרך הקוטב החיובי שלה — וזו המשמעות של "טעינת סוללה".

I = 1 A

חוקי קירכהוף:

יש מעגלים שאי אפשר לפשט לחיבורים בטור ובמקביל, והמוכר שבהם הוא מעגל שיש בו שני מקורות בשני ענפים שונים. כדי לפתור מעגל כזה משתמשים בשני חוקים שניסח המדען הגרמני קירכהוף. למעשה אלה שני חוקי השימור שאנחנו מכירים: שימור המטען ושימור האנרגיה.

צומת · ענף · לולאה: צומת הוא נקודה במעגל שבה נפגשים שלושה מוליכים או יותר. ענף הוא חלק מהמעגל בין שני צמתים סמוכים, ובכל הרכיבים שלו עובר אותו זרם. לולאה היא כל מסלול סגור במעגל, שמתחיל בנקודה מסוימת וחוזר אליה.

חוק הצמתים (חוק קירכהוף הראשון)

ΣI_in = ΣI_out

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣI_in	סכום הזרמים הנכנסים לצומת	[A]
ΣI_out	סכום הזרמים היוצאים ממנו	[A]

המטען אינו מצטבר בצומת ואינו נוצר בו, ולכן מה שנכנס אליו בכל שנייה יוצא ממנו. זה חוק שימור המטען.

חוק הלולאות (חוק קירכהוף השני)

ΣΔV = 0

סימן	משמעות	יחידת מידה
ΣΔV	סכום שינויי המתח לאורך לולאה סגורה	[V]

לפוטנציאל בכל נקודה יש ערך אחד. אם נתקדם לאורך לולאה ונחזור לנקודת ההתחלה, הפוטנציאל חייב לחזור לערכו הראשון: סכום העליות והירידות במתח הוא אפס. זה חוק שימור האנרגיה למטען שמסתובב בלולאה. כדי לכתוב את החוק, בוחרים כיוון התקדמות בלולאה ומחברים את השינויים לפי הכללים האלה:

הרכיב	ירידה במתח	עלייה במתח
נגד R	מתקדמים בכיוון הזרם שהנחנו: ΔV = −I·R	מתקדמים נגד כיוון הזרם שהנחנו: ΔV = +I·R
מקור ε	עוברים בו מהקוטב החיובי לשלילי: ΔV = −ε	עוברים בו מהקוטב השלילי לחיובי: ΔV = +ε

הערה: במקור כיוון הזרם אינו משנה: הסימן תלוי רק בקוטב שדרכו נכנסים. ואם למקור יש התנגדות פנימית, מתייחסים אליה כאל נגד נוסף בענף.

פתרון מעגל בעל שני צמתים:

מעגל בעל שני צמתים, A ו-B, ושלושה ענפים. החצים האדומים הם כיווני הזרם שהנחנו, ושני החצים האפורים — כיוון ההתקדמות בשתי הלולאות

במעגל שיש בו רק שני צמתים יש שלושה ענפים, ובכל ענף זרם לא ידוע. לכן צריך שלוש משוואות: משוואת צומת אחת (המשוואה של הצומת השני זהה לה) ושתי משוואות לולאה. שלבי הפתרון:

מזהים את שני הצמתים ומשרטטים בכל ענף חץ לזרם לא ידוע. את הכיוון בוחרים כרצוננו.
כותבים את חוק הצמתים לאחד הצמתים.
בוחרים שתי לולאות וכותבים לכל אחת מהן את חוק הלולאות, לפי הכללים שבטבלה.
פותרים את שלוש המשוואות. אם זרם יוצא שלילי, פירוש הדבר שכיוונו האמיתי הפוך לחץ ששרטטנו — ואין צורך לפתור מחדש.

דוגמה 4.37

במעגל שבאיור ε₁ = 12 V, R₁ = 4 Ω, ε₂ = 9 V, R₂ = 6 Ω, R₃ = 3 Ω, וההתנגדות הפנימית של המקורות זניחה. נחשב את הזרם בכל ענף ואת המתח בין הצמתים A ו-B.

פתרון:

חוק הצמתים בצומת A: הזרמים I₁ ו-I₂ נכנסים, והזרם I₃ יוצא:

I₁ + I₂ = I₃

לולאה 1 (השמאלית): מתחילים ב-B ועולים בענף השמאלי, עוברים במקור מהקוטב השלילי לחיובי, אחר כך ב-R₁ בכיוון I₁, וחוזרים ל-B דרך R₃ בכיוון I₃:

ε₁ − I₁·R₁ − I₃·R₃ = 0

12 − 4·I₁ − 3·I₃ = 0

לולאה 2 (הימנית) באותה דרך, דרך הענף הימני והענף האמצעי:

ε₂ − I₂·R₂ − I₃·R₃ = 0

9 − 6·I₂ − 3·I₃ = 0

משתי המשוואות נבטא את I₁ ואת I₂ באמצעות I₃, ונציב במשוואת הצומת:

I₁ = 12 − 3·I₃4

I₂ = 9 − 3·I₃6

12 − 3·I₃4 + 9 − 3·I₃6 = I₃

נכפיל את שני האגפים ב-12:

36 − 9·I₃ + 18 − 6·I₃ = 12·I₃

54 = 27·I₃

I₃ = 2 A

I₁ = 12 − 64 = 1.5 A

I₂ = 9 − 66 = 0.5 A

כל הזרמים חיוביים, ולכן הכיוונים שהנחנו נכונים: שני המקורות מוסרים אנרגיה. המתח בין הצמתים הוא המתח על R₃:

V_AB = I₃·R₃ = 2 · 3 = 6 V

נבדוק בכל ענף: V_AB = ε₁ − I₁·R₁ = 12 − 6 = 6 V, וגם V_AB = ε₂ − I₂·R₂ = 9 − 3 = 6 V.

I₁ = 1.5 A , I₂ = 0.5 A , I₃ = 2 A , V_AB = 6 V

דרך קצרה יותר: הבדיקה האחרונה מרמזת על דרך קצרה יותר למעגל בעל שני צמתים: כל הענפים מחוברים בין אותן שתי נקודות, A ו-B, ולכן נבחר את המתח V_AB כנעלם היחיד. נכתוב את הזרם בכל ענף באמצעותו (I₁ = ε₁ − V_ABR₁, I₂ = ε₂ − V_ABR₂, I₃ = V_ABR₃), ונציב בחוק הצמתים — ונקבל משוואה אחת בנעלם אחד. השיטה הזאת נקראת "שיטת מתח הצומת".

שאלה 4.19: במעגל הבנוי כמו המעגל שבאיור, ε₁ = 18 V, R₁ = 3 Ω, ε₂ = 6 V, R₂ = 6 Ω, R₃ = 12 Ω. חשבו את שלושת הזרמים ואת המתח V_AB. מה המשמעות של הסימן שקיבלתם לזרם I₂? ואיזה מהמקורות נטען?

▶ניסוי חי — חיבור נגדים וחוקי קירכהוףנבנה מעגל בטור ואחר כך במקביל, ונקרא את ההתנגדות השקולה, את הזרם ואת המתח בכל נגד; אחר כך נוסיף מקור שני ונבדוק את חוק הצמתים ואת חוק הלולאות על המספרים החיים.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#networks

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#networks

מכשירי מדידה (Measuring Instruments)

האמפרמטר והוולטמטר:

אמפרמטר (מד זרם): מכשיר המודד את עוצמת הזרם בענף. הוא מחובר בטור בענף, כך שעובר בו אותו זרם שנמדד. הסמל שלו במעגל הוא עיגול קטן ובו האות A.

וולטמטר (מד מתח): מכשיר המודד הפרש פוטנציאלים בין שתי נקודות. הוא מחובר במקביל לרכיב, בין שני קצותיו. הסמל שלו הוא עיגול קטן ובו האות V.

חיבור נכון: האמפרמטר (כחול) בטור במעגל, והוולטמטר (ירוק) במקביל ל-R₂. ההדק החיובי של כל מכשיר (+) מחובר לצד הקרוב יותר לקוטב החיובי של המקור

כל מכשיר מדידה הוא רכיב חשמלי שיש לו התנגדות. האמפרמטר מתווסף לענף בטור, ולכן כדי שלא ישנה את הזרם, ההתנגדות שלו צריכה להיות קטנה מאוד. הוולטמטר פותח לזרם מסלול צדדי, ולכן כדי שלא ימשוך זרם, ההתנגדות שלו צריכה להיות גדולה מאוד.

מכשיר אידאלי: מכשיר שאינו משנה את המעגל שהוא מודד: לאמפרמטר אידאלי התנגדות אפס (R_A = 0), ולכן אין עליו מתח; ולוולטמטר אידאלי התנגדות אינסופית (R_V → ∞), ולכן לא עובר בו זרם.

	אמפרמטר	וולטמטר
אופן החיבור	בטור בענף	במקביל לרכיב
ההתנגדות של מכשיר אידאלי	R_A = 0	R_V → ∞
אם חובר בטעות	במקביל: יוצר קצר, ועובר בו זרם גדול שעלול להרוס אותו	בטור: כמעט מנתק את הזרם, ומראה בקירוב את מתח המקור

דוגמה 4.38

סוללה שהכא"מ שלה 6 V וההתנגדות הפנימית שלה 0.5 Ω מחוברת לנגד של 5.5 Ω.
א. מהו הזרם במעגל?
ב. תלמיד טעה וחיבר אמפרמטר שהתנגדותו 0.1 Ω במקביל לנגד. מה הוא מראה?
ג. תלמיד אחר חיבר וולטמטר שהתנגדותו 10 kΩ בטור במעגל. מה הוא מראה?

פתרון:

I = εR + r = 65.5 + 0.5 = 1 A

ב. האמפרמטר והנגד מחוברים במקביל, וההתנגדות השקולה שלהם קרובה ל-0.1 Ω:

R_eq = 5.5 · 0.15.5 + 0.1 = 0.0982 Ω

I = 60.5 + 0.0982 = 10.03 A

I_A = I·RR + R_A = 9.85 A

במכשיר עובר זרם גדול פי עשרה בערך מהזרם המקורי של המעגל — המכשיר עלול להישרף, או שהסוללה תתרוקן מהר.

ג. ההתנגדות של הוולטמטר גדולה מאוד, ולכן היא קובעת את הזרם:

I = 610⁴ + 6 = 6·10⁻⁴ A

V = I·R_V = 5.996 V

הזרם במעגל כמעט אפס, והמכשיר מראה בקירוב את הכא"מ של הסוללה.

I = 1 A ; I_A = 9.85 A ; V ≈ 6 V

השפעת וולטמטר לא אידאלי:

וולטמטר שהתנגדותו R_V מחובר במקביל ל-R₁ במחלק מתח

כשמחברים וולטמטר שהתנגדותו R_V במקביל לנגד R, ההתנגדות של הזוג נעשית R_p = R·R_VR + R_V, והיא קטנה מ-R. לכן המתח על החלק הזה של המעגל יורד, והמכשיר מראה מתח קטן מהמתח שהיה לפני שחובר. ההפרש היחסי בין ההוראה לערך האמיתי נקרא שגיאת המדידה היחסית, δ (כאן: שגיאת העמסה):

δ = V_read − V_trueV_true

דוגמה 4.39

במחלק המתח שבאיור ε = 12 V (מקור אידאלי), R₁ = 40 kΩ ו-R₂ = 20 kΩ. נחשב את המתח האמיתי על R₁, ואחר כך את ההוראה של וולטמטר המחובר אליו אם ההתנגדות שלו 40 kΩ, ואם היא 1 MΩ, ואת השגיאה היחסית בכל מקרה.

פתרון:

לפני חיבור המכשיר:

V_true = ε·R₁R₁ + R₂ = 12 · 4060 = 8 V

מכשיר שהתנגדותו 40 kΩ: לזוג R₁ ו-R_V יש התנגדות של 20 kΩ:

R_p = 40 · 4040 + 40 = 20 kΩ

V_read = 12 · 2020 + 20 = 6 V

δ = 6 − 88 = −0.25

שגיאה של 25 אחוזים — המכשיר משנה את המעגל במידה רבה. מכשיר שהתנגדותו 1 MΩ:

R_p = 40 · 100040 + 1000 = 38.46 kΩ

V_read = 12 · 38.4638.46 + 20 = 7.89 V

δ = −0.013

עכשיו השגיאה היא כ-1.3 אחוזים בלבד.

V_read = 6 V → 7.89 V

הכלל: ככל שההתנגדות של הוולטמטר גדולה יותר ביחס להתנגדות שהוא מחובר אליה, השגיאה קטנה יותר. הכלל המעשי: R_V גדולה פי מאה לפחות מההתנגדות הנמדדת.

השפעת אמפרמטר לא אידאלי:

אמפרמטר שהתנגדותו R_A מחובר בטור במעגל של סוללה ונגד

ההתנגדות של האמפרמטר, R_A, מתווספת בטור להתנגדות המעגל, ולכן הזרם קטן. הזרם הנמדד הוא I = εR + r + R_A, ואילו הזרם האמיתי (בלי המכשיר) הוא I = εR + r. השגיאה קטנה אם R_A קטנה מאוד ביחס להתנגדות הכוללת של המעגל.

דוגמה 4.40

סוללה (6 V, 0.5 Ω) מחוברת לנגד של 2.5 Ω. נחשב את הזרם האמיתי, ואחר כך את ההוראה של אמפרמטר שהתנגדותו 1 Ω, ואת ההוראה של מכשיר שהתנגדותו 0.05 Ω.

פתרון:

I_true = 62.5 + 0.5 = 2 A

I_read = 62.5 + 0.5 + 1 = 1.5 A

δ = 1.5 − 22 = −0.25

I_read = 62.5 + 0.5 + 0.05 = 1.967 A

δ = −0.016

המכשיר הראשון טועה ברבע מהערך, והשני — בפחות מ-2 אחוזים. במעגל שההתנגדות הכוללת שלו כמה אוהם, ההתנגדות של האמפרמטר צריכה להיות חלק קטן מאוהם.

I_read = 1.5 A ; 1.967 A

מדידת התנגדות בעזרת אמפרמטר ווולטמטר:

כדי למדוד את ההתנגדות של נגד, מודדים את המתח עליו ואת הזרם בו, ומחשבים R = VI. יש שתי דרכים לחבר את שני המכשירים, ובכל אחת מהן שגיאה אחרת:

מקרה (א): הוולטמטר על הנגד ועל האמפרמטר יחד

מקרה (ב): הוולטמטר על הנגד בלבד

במקרה (א) האמפרמטר מודד בדיוק את הזרם בנגד, אבל הוולטמטר מודד גם את המתח על האמפרמטר. ההתנגדות המחושבת היא R + R_A — גדולה מהאמיתית.
במקרה (ב) הוולטמטר מודד בדיוק את המתח על הנגד, אבל האמפרמטר מודד גם את הזרם בוולטמטר. ההתנגדות המחושבת היא ההתנגדות של R ושל R_V במקביל — קטנה מהאמיתית.

דוגמה 4.41

ההתנגדות של האמפרמטר 2 Ω, וההתנגדות של הוולטמטר 5 kΩ. נחשב את ההתנגדות הנמדדת בשני המקרים לנגד של 100 Ω, ואחר כך לנגד של 10 kΩ.

פתרון:

הנגד 100 Ω:

R_a = R + R_A = 102 Ω

R_b = 100 · 5000100 + 5000 = 98.04 Ω

במקרה (א) הערך גדול מהאמיתי ב-2 אחוזים, ובמקרה (ב) קטן ממנו ב-1.96 אחוזים — שתי השגיאות קרובות. הנגד 10 kΩ:

R_a = 10000 + 2 = 10002 Ω

R_b = 10⁴ · 500010⁴ + 5000 = 3333 Ω

עכשיו מקרה (א) כמעט מדויק (שגיאה של 0.02 אחוזים), ואילו מקרה (ב) טועה בכ-67 אחוזים: הוולטמטר מושך זרם גדול מהזרם של הנגד עצמו.

R = 100 Ω: 102 Ω , 98.04 Ω ; R = 10 kΩ: 10002 Ω , 3333 Ω

לסיכום: לנגד גדול (קרוב להתנגדות הוולטמטר) משתמשים במקרה (א); לנגד קטן (קרוב להתנגדות האמפרמטר) משתמשים במקרה (ב).

מדידת הכא"מ:

וולטמטר על הדקי סוללה שאינה מוסרת זרם למעגל אחר

אם מחברים וולטמטר אידאלי בין הקטבים של סוללה שאינה מחוברת למעגל, לא עובר זרם, אין מתח על ההתנגדות הפנימית, והמכשיר מראה בדיוק את הכא"מ ε. וולטמטר אמיתי, לעומת זאת, מושך זרם קטן I = εR_V + r, ולכן הוא מראה את מתח ההדקים V = ε − I·r, שקטן מעט מ-ε.

שאלה 4.20: לסוללה יש כא"מ של 9 V והתנגדות פנימית של 2 Ω. מה יראה וולטמטר שהתנגדותו 1 kΩ המחובר בין הקטבים שלה? ומהי השגיאה היחסית?

▶ניסוי חי — מכשירי מדידה אידאליים ולא אידאלייםנשנה את ההתנגדות של הוולטמטר ושל האמפרמטר, נשווה בין הערך האמיתי לבין הערך שהמכשיר מראה, ונעקוב אחר עקומת השגיאה היחסית.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#meters

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_dc_circuits#meters

עיקרי הדברים:

הזרם החשמלי הוא תנועה מסודרת של נושאי מטען, והכיוון המוסכם שלו הוא כיוון התנועה של המטענים החיוביים. במעגל לא מסועף עוצמת הזרם שווה בכל נקודה: הזרם אינו "נצרך" ברכיבים — מה שנצרך הוא האנרגיה.
מהירות הסחיפה של האלקטרונים איטית מאוד (חלקי מילימטר בשנייה), והנורה נדלקת מיד מפני שהשדה החשמלי מתפשט במעגל במהירות קרובה למהירות האור ומניע את כל האלקטרונים יחד.
היחס בין המתח לזרם מגדיר את ההתנגדות של כל רכיב; חוק אוהם מוסיף שהיא קבועה במוליך מתכתי כל עוד הטמפרטורה שלו קבועה. ההתנגדות של מוליך גדלה עם אורכו, קטנה עם שטח החתך שלו, ותלויה בחומר ובטמפרטורה.
מקור ממשי הוא כא"מ קבוע והתנגדות פנימית. הזרם נקבע מן המעגל כולו ולא מן המקור לבדו, ומתח ההדקים יורד ככל שהזרם הנמשך מן המקור גדל.
טעינת הקבל ופריקתו הם תהליכים מעריכיים שאת קצבם קובע קבוע הזמן; אחרי זמן רב הזרם בענף של הקבל נפסק.
ההספק החשמלי של רכיב הוא מכפלת המתח עליו בזרם שעובר בו, ובנגד כולו הופך לחום. הנצילות היא היחס בין ההספק המועיל (המנוצל) להספק המושקע.
בחיבור בטור הזרם משותף והמתחים מתחברים; בחיבור במקביל המתח משותף והזרמים מתחברים. חוקי קירכהוף מבטאים את שימור המטען ואת שימור האנרגיה, ובעזרתם פותרים כל מעגל.
האמפרמטר מחובר בטור והתנגדותו קטנה, והוולטמטר מחובר במקביל והתנגדותו גדולה; כל מכשיר מדידה ממשי משנה מעט את המעגל, ועלינו להעריך את ההשפעה הזאת.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
עוצמת הזרם	I = ΔqΔt
המטען שחוצה את החתך (זרם קבוע)	Δq = I·Δt
מספר האלקטרונים	N = Δqe
עוצמת הזרם ומהירות הסחיפה	I = n·e·A·v_d
המתח בין קצות רכיב	V = Wq
חוק אוהם (הגדרת ההתנגדות)	V = I·R
התנגדות של מוליך אחיד	R = ρ·ℓA
מחלק מתח (ללא עומס)	V_CB = V·R_CBR_AB
הזרם במעגל עם מקור ועומס	I = εR + r
מתח ההדקים	V = ε − I·r
זרם הקצר	I_max = εr
קבוע זמן	τ = R·C
הנוסחה הכללית למצב המעבר	x(t) = x_∞ + (x₀ − x_∞)·e^−Δtτ
טעינת קבל (x₀ = 0, x_∞ = ε)	V_C = ε·(1 − e^−tτ) , I = εR·e^−tτ
פריקת קבל (x_∞ = 0)	q = Q₀·e^−tτ , V_C = V₀·e^−tτ
המטען הכולל = השטח מתחת לגרף הזרם	Q₀ = I₀·τ = C·ε
אנרגיה והספק חשמליים	E = V·I·t , P = V·I
הספק בנגד	P = I²·R = V²R
קילוואט-שעה	1 kWh = 3.6·10⁶ J
נצילות	η = P_outP_in
מאזן ההספקים של מקור ממשי	ε·I = I²·R + I²·r
הפסדים בקווי הולכה	P_loss = (PV)²·R_ℓ
הספק מרבי, כאשר R = r	P_max = ε²4·r
נגדים בטור	R_eq = R₁ + R₂ + …
נגדים במקביל	1R_eq = 1R₁ + 1R₂ + …
מחלק מתח	V₁ = V·R₁R₁ + R₂
חוק הצמתים	ΣI_in = ΣI_out
חוק הלולאות	ΣΔV = 0

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
זרם חשמלי	Electric current	التيار الكهربائي
עוצמת הזרם	Current (intensity)	شدّة التيار
אמפר	Ampere	أمبير
נושאי מטען	Charge carriers	حاملات الشحنة
מהירות סחיפה	Drift velocity	سرعة الانسياق
הכיוון המוסכם של הזרם	Conventional current direction	الاتّجاه الاصطلاحي للتيار
מעגל חשמלי	Electric circuit	الدائرة الكهربائية (الدارة)
מעגל סגור · מעגל פתוח	Closed circuit · open circuit	دائرة مغلقة · دائرة مفتوحة
זרם רגעי · זרם ממוצע	Instantaneous current · average current	التيار اللحظي · التيار المتوسّط
מתח (הפרש פוטנציאלים)	Voltage (potential difference)	الجهد (فرق الجهد)
חוק אוהם	Ohm's law	قانون أوم
התנגדות · נגד	Resistance · resistor	المقاومة · المقاوِم
אוהם	Ohm	أوم
נגד אוהמי	Ohmic resistor	مقاوِم أومي
אופיין	Characteristic curve	المنحنى المميّز
נורת להט	Incandescent lamp	لمبة التوهّج (مصباح التوهّج)
התנגדות סגולית	Resistivity	المقاومة النوعية
מוליך למחצה	Semiconductor	شبه موصل
נגד משתנה	Variable resistor	المقاوِم المتغيّر
זחלן	Slider (wiper)	المنزلق
ראוסטט	Rheostat	الريوستات
מחלק מתח (פוטנציומטר)	Voltage divider (potentiometer)	مجزّئ الجهد (البوتنشيومتر)
מקור מתח	Voltage source	مصدر فرق الجهد
כוח אלקטרו-מניע (כא"מ)	Electromotive force (emf)	القوّة الدافعة الكهربائية
מתח הדקים	Terminal voltage	فرق جهد القطبين (جهد الأطراف)
התנגדות פנימית	Internal resistance	المقاومة الداخلية
קצר	Short circuit	دائرة قصر
קבוע זמן	Time constant	ثابت الزمن
טעינה · פריקה	Charging · Discharging	الشحن · التفريغ
פונקציה מעריכית	Exponential function	الدالّة الأسّية
זמן מחצית	Half-time	زمن نصف التفريغ
אנרגיה חשמלית	Electrical energy	الطاقة الكهربائية
הספק	Power	القدرة
קילוואט-שעה (קוט"ש)	Kilowatt-hour	كيلوواط ساعة
נצילות	Efficiency	الكفاءة (المردود)
הפסדי אנרגיה	Energy losses	فواقد الطاقة
קווי הולכה	Transmission lines	خطوط نقل الطاقة
הספק מרבי	Maximum power	القدرة العظمى
התנגדות שקולה	Equivalent resistance	المقاومة المكافئة
חיבור בטור	Series connection	الوصل على التوالي
חיבור במקביל	Parallel connection	الوصل على التوازي
חיבור מעורב	Combined connection	الوصل المختلط
מחלק מתח	Voltage divider	مجزّئ الجهد
צומת · ענף · לולאה	Junction · Branch · Loop	العقدة · الفرع · الحلقة
חוקי קירכהוף (חוק הצמתים · חוק הלולאות)	Kirchhoff's laws (junction rule · loop rule)	قانونا كيرخهوف (قانون العُقد · قانون الحلقات)
אמפרמטר	Ammeter	الأميتر (مقياس التيار)
וולטמטר	Voltmeter	الڤولطمتر (مقياس الجهد)
מכשיר אידאלי	Ideal meter	جهاز قياس مثالي
שגיאת מדידה	Measurement error	خطأ القياس

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 4.1) במכשיר עובר זרם קבוע של 0.8 A במשך 5 דקות.
א. חשבו את המטען שעבר במכשיר ואת מספר האלקטרונים.
ב. כמה זמן צריך אותו זרם כדי להעביר מטען של 1000 C?

תשובות: Δq = 240 C, N = 1.5·10²¹; Δt = 1250 s

(לסעיף 4.1) בתיל אלומיניום שקוטרו 2 mm עובר זרם של 5 A. צפיפות האלקטרונים החופשיים באלומיניום 1.8·10²⁹ m⁻³.
א. חשבו את שטח החתך של התיל ואת מהירות הסחיפה של האלקטרונים.
ב. מה קורה למהירות הסחיפה אם נחליף את התיל בתיל שקוטרו 1 mm ועובר בו אותו זרם?

תשובות: A = 3.142·10⁻⁶ m², v_d = 5.53·10⁻⁵ m/s; היא גדלה פי ארבעה

(לסעיף 4.2) המתח בין קצות נגד אוהמי 9 V, והזרם בו 0.36 A.
א. חשבו את ההתנגדות שלו.
ב. מהו הזרם בו כשהמתח 4 V, ומהו המתח הדרוש כדי שיעבור בו זרם של 0.5 A?
ג. האם התוצאות יישארו נכונות אם נחליף את הנגד בנורת להט שיש לה אותה התנגדות במתח 9 V? מדוע?

תשובות: R = 25 Ω; I = 0.16 A, V = 12.5 V; לא: ההתנגדות של הנורה במתח קטן יותר קטנה יותר

(לסעיף 4.3) שני תילים, A ו-B, מאותו חומר. האורך של תיל B כפול מאורך תיל A, וגם הקוטר שלו כפול מקוטר A. ההתנגדות של תיל A היא 8 Ω.
א. חשבו את ההתנגדות של תיל B.
ב. באיזה תיל יעבור זרם גדול יותר אם נחבר כל אחד מהם בנפרד לאותו מתח?

תשובות: R_B = 4 Ω; בתיל B

(לסעיף 4.3) במעגל יש מקור מתח קבוע של 12 V, נגד R_L = 10 Ω וראוסטט שההתנגדות המלאה שלו 30 Ω.
א. חשבו את תחום הזרמים במעגל ואת תחום המתחים על הנגד R_L כשמזיזים את הזחלן מקצה לקצה.
ב. מהי ההתנגדות של החלק הפעיל של הראוסטט כשהזרם 0.6 A?

תשובות: הזרם I בין 0.3 A ל-1.2 A; המתח V_L בין 3 V ל-12 V; R_x = 10 Ω

(לסעיף 4.4) וולטמטר אידאלי המחובר להדקי סוללה מראה 4.5 V כשהמתג פתוח. כשמחברים את הסוללה לנגד של 4 Ω הוא מראה 4 V.
א. חשבו את הזרם, את ההתנגדות הפנימית ואת זרם הקצר.
ב. סרטטו את מתח ההדקים כפונקציה של הזרם, וסמנו עליו את נקודת העבודה.

תשובות: I = 1 A, r = 0.5 Ω, I_max = 9 A

(לסעיף 4.5) קבל ריק שקיבולו 250 μF נטען דרך נגד של 20 kΩ ממקור מתח של 6 V.
א. חשבו את קבוע הזמן, את הזרם ההתחלתי ואת המטען הסופי.
ב. מהו המתח על הקבל אחרי 5 s?
ג. אחרי כמה זמן המתח על הקבל מגיע למחצית ממתח המקור?

תשובות: τ = 5 s, I₀ = 0.3 mA, Q₀ = 1.5 mC; V_C = 3.79 V; Δt = τ·ln 2 = 3.47 s

(לסעיף 4.5) הגרף מציג את המתח על קבל שקיבולו 100 μF בזמן שהוא נפרק דרך נגד.
א. קראו מן הגרף את קבוע הזמן.
ב. חשבו את ההתנגדות של הנגד ואת הזרם ההתחלתי.
ג. חשבו את המטען של הקבל ברגע t = 8 s.

תשובות: τ = 4 s (המתח 3.68 V), R = 40 kΩ, I₀ = 0.25 mA, q = 0.135 mC

(לסעיף 4.6) על מחמם מים קטן כתוב: "12 V, 48 W".
א. חשבו את הזרם בו ואת ההתנגדות שלו בפעולה רגילה.
ב. כמה אנרגיה, בג'אול, משחרר המחמם ב-10 דקות של פעולה?

תשובות: I = 4 A, R = 3 Ω; E = 2.88·10⁴ J

10.

(לסעיף 4.6) מנוע של מנוף קטן מחובר למתח 230 V ועובר בו זרם של 2 A, והוא מספק הספק מכני מנוצל של 368 W. חשבו את ההספק החשמלי המושקע, את הנצילות ואת הספק ההפסדים.

תשובות: P_in = 460 W, η = 0.8, P_loss = 92 W

11.

(לסעיף 4.7) נתונים שני נגדים, R₁ = 4 Ω ו-R₂ = 12 Ω, ומקור אידאלי שהמתח שלו 12 V.
א. מחברים את שני הנגדים בטור למקור: חשבו את ההתנגדות השקולה, את הזרם במעגל ואת המתח על כל נגד.
ב. מחברים אותם במקביל למקור: חשבו את ההתנגדות השקולה, את הזרם בכל נגד ואת הזרם הכולל.

תשובות: R_eq = 16 Ω, I = 0.75 A, V₁ = 3 V, V₂ = 9 V; R_eq = 3 Ω, I₁ = 3 A, I₂ = 1 A, I = 4 A

12.

(לסעיף 4.7) במעגל שבאיור המקור אידאלי. חשבו את ההתנגדות השקולה, את הזרם היוצא מהמקור, את הזרם ב-R₂ ואת המתח על R₄.

תשובות: R_eq = 12 Ω, I = 2.5 A, I₂ = 1.25 A, V₄ = 10 V

13.

(לסעיף 4.8) שני נגדים זהים של 30 kΩ מחוברים בטור למקור אידאלי של 9 V.
א. מהו המתח האמיתי על כל נגד?
ב. מה יראה וולטמטר שהתנגדותו 30 kΩ המחובר לאחד מהם, ומהי השגיאה היחסית?
ג. מהי ההתנגדות הקטנה ביותר של הוולטמטר שאיתה השגיאה קטנה מ-1 אחוז?

תשובות: א. 4.5 V; ב. 3 V, השגיאה: −0.33; ג. R_V = 1.485 MΩ (בערך פי 50 מההתנגדות של הנגד)

תרגילי סיכום:

הגרף מראה את הזרם בתיל כפונקציה של הזמן.
א. חשבו את המטען שחצה את חתך התיל במשך 10 s, ואת הזרם הממוצע.
ב. מהו הזרם הרגעי ב-t = 4 s?

תשובות: Δq = 24 C, I_avg = 2.4 A; I(4) = 2 A

מתיל ניכרום ששטח החתך שלו 0.2 mm² נחתכה חתיכה שאורכה 2 m, והיא חוברה לסוללה שהכא"מ שלה 12 V וההתנגדות הפנימית שלה 1 Ω. ההתנגדות הסגולית של הניכרום 1.1·10⁻⁶ Ω·m.
א. חשבו את ההתנגדות של החתיכה.
ב. חשבו את הזרם במעגל ואת מתח ההדקים.
ג. כמה אלקטרונים חוצים את חתך התיל בכל שנייה?

תשובות: R = 11 Ω; I = 1 A, V = 11 V; 6.25·10¹⁸ אלקטרונים בשנייה

במעגל שבאיור המקור אידאלי. סוגרים את המפסק ומחכים זמן רב.
א. מהו הזרם בקבל? מהו הזרם ב-R₁?
ב. חשבו את המתח על הקבל ואת המטען שלו.
ג. עכשיו פותחים את המפסק: דרך איזה נגד הקבל נפרק, ומהו קבוע הזמן של הפריקה?

תשובות: א. אפס, I = 2 mA; ב. V_C = 8 V, Q = 400 μC; ג. דרך R₂, τ = 0.2 s

לסוללה יש כא"מ של 24 V והתנגדות פנימית של 3 Ω.
א. מהי ההתנגדות של הנגד החיצוני שמקבל את ההספק הגדול ביותר? ומהו ההספק הזה?
ב. נחבר במקומו נגד של 9 Ω: חשבו את הזרם, את ההספק בנגד, את ההספק שהולך לאיבוד בסוללה ואת הנצילות.
ג. כמה אנרגיה, בקילוואט-שעה, צורך הנגד של 9 Ω ב-10 שעות?

תשובות: R = 3 Ω, P_max = 48 W; I = 2 A, P_R = 36 W, P_r = 12 W, η = 0.75; E = 0.36 kWh

במעגל כמו המעגל שבאיור (ההתנגדות הפנימית של המקורות זניחה) ε₁ = 18 V, R₁ = 6 Ω, ε₂ = 12 V, R₂ = 2 Ω, R₃ = 3 Ω. כתבו את חוק הצמתים ואת חוק הלולאות לשתי הלולאות, וחשבו את שלושת הזרמים ואת המתח V_AB. בדקו את התוצאה בשיטת מתח הצומת.

תשובות: I₁ = 1.5 A, I₂ = 1.5 A, I₃ = 3 A, V_AB = 9 V

תרגילי העמקה:

(*) קבל טעון נפרק דרך נגד, וקבוע הזמן τ = 2 s.
א. כעבור כמה זמן יורד המתח על הקבל למחצית מערכו ההתחלתי?
ב. כעבור כמה זמן יורדת האנרגיה האגורה בקבל למחציתה? הסבירו מדוע הזמן הזה קצר מזמן המחצית של המתח.
ג. איזה חלק מן האנרגיה ההתחלתית נותר ברגע t = τ?

תשובות: t_V = τ·ln 2 = 1.39 s; t_E = τ2·ln 2 = 0.69 s — האנרגיה מתכונתית לריבוע המתח ולכן יורדת מהר יותר; e⁻² = 0.14

(*) מודדים התנגדות של נגד R = 100 Ω באמפרמטר שהתנגדותו 1 Ω ובוולטמטר שהתנגדותו 10 kΩ יחד, ומחשבים משתי הקריאות VI.
א. בחיבור הראשון הוולטמטר מחובר על הנגד לבדו, והאמפרמטר מודד את סכום הזרמים של הנגד ושל הוולטמטר: חשבו את ההתנגדות הנמדדת ואת השגיאה היחסית.
ב. בחיבור השני האמפרמטר מודד את הזרם בנגד לבדו, והוולטמטר מודד את המתח על הנגד ועל האמפרמטר יחד: חשבו את ההתנגדות הנמדדת ואת השגיאה היחסית.
ג. איזה חיבור עדיף למדידת התנגדות קטנה, ואיזה להתנגדות גדולה? נמקו.

תשובות: R_m = 99 Ω, שגיאה של −1 אחוז; R_m = 101 Ω, שגיאה של +1 אחוז; הראשון כש-R קטנה בהרבה מ-R_V, והשני כש-R גדולה בהרבה מ-r_A

(*) ראוסטט שההתנגדות המלאה שלו 100 Ω מחובר כמחלק מתח למקור אידאלי של 12 V, והזחלן בדיוק באמצעו.
א. מהו המתח בין הזחלן לקצה התחתון לפני שחיברנו עומס כלשהו?
ב. מחברים בין הזחלן לקצה התחתון עומס שהתנגדותו 50 Ω: חשבו את המתח על העומס עכשיו, והסבירו מדוע הוא קטן.
ג. מהי ההתנגדות הקטנה ביותר של העומס שאיתה המתח על העומס נשאר 5.5 V לפחות?

תשובות: V₀ = 6 V; V = 4 V — העומס מחובר במקביל לחצי התחתון ולכן מקטין את ההתנגדות של החלק הזה; R_L = 275 Ω

תשובות סופיות לשאלות הפרק

4.1 I = 1 A, 6.25·10¹⁸ אלקטרונים בשנייה

4.2 Δq = 8 C, I_avg = 1.14 A; גרף המטען הוא שני קווים ישרים: שיפוע 2 A עד 6 C, ואחר כך שיפוע 0.5 A

4.3 I = 1.6 A; מהירות הסחיפה גדלה פי שניים, ל-0.5 mm/s

4.4 W = 4.5 J, q = 2 C

4.5 I = 0.4 A, V = 12 V; קו ישר מראשית הצירים עד הנקודה (12 V, 0.8 A)

4.6 I = 0.05 A, והזרם האמיתי, 0.15 A, גדול פי שלושה, כי לתיל הקר התנגדות קטנה יותר

4.7 א. 2 Ω; ב. 1.5 Ω (השטח גדול פי ארבעה)

4.8 0.4 מאורך התיל; R_CB = 40 Ω

4.9 V = 9.6 V; מתח ההדקים יורד, ולכן המתח על הנורות קטן; I_max = 630 A

4.10 ε = 12 V, r = 3 Ω, V = 7.5 V, R = 5 Ω

4.11 τ = 3 s, V_C = 3.79 V, בערך 3τ = 9 s

4.12 τ = 0.5 s (כי 4.41 = 12·e⁻¹), R = 5 kΩ

4.13 Δq = 12 · 4·10⁻³ · 5 = 1·10⁻² C (שטח של משולש)

4.14 E = 32.4 mJ, U = 16.2 mJ, החום: 16.2 mJ

4.15 R = 881.7 Ω, I = 0.261 A, P = 15 W (רבע מההספק)

4.16 R = 1.5 Ω, P_max = 13.5 W, I = 3 A; עם 6 Ω: η = 0.8

4.17 R₂ = 1.5 kΩ

4.18 L₁ מאירה חזק יותר: ההספק גדל פי 169; L₂ מתעמעמת: היחס 49

4.19 I₁ = 2 A, I₂ = −1 A, I₃ = 1 A, V_AB = 12 V; I₂ שלילי: הזרם בענף הימני זורם כלפי מטה, והמקור ε₂ נטען

4.20 V = 8.982 V, השגיאה: −0.002 (כ-0.2 אחוזים)

שאלות בגרות לפרק 4

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון האלקטרומגנטיות (36371). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 4 — נגד משתנה, כא״מ והתנגדות פנימית — קריאת ישר מתוך דיאגרמת פיזור

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הביטוי להתנגדות החלק הפעיל	בפתרון המלא
ב	שם הציר האופקי ויחידותיו	בפתרון המלא
ג	הכא״מ וההתנגדות הפנימית מתוך הישר	ε ≈ 23.5 V ≈ 24 V · r ≈ 1.8 Ω
ד	ההספק בנגד המשתנה	P ≈ 39.7 W ≈ 40 W
ה	באיזה זרם הנצילות גבוהה יותר	בפתרון המלא

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2026 שאלה 3 — גרפים אופייניים, מעגלים ומקור מתח לא אידאלי

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	לאיזה רכיב יש התנגדות קבועה	לרכיב A · הגרף שלו ישר דרך הראשית, ולכן היחס בין המתח לזרם קבוע · R = 5 Ω
ב	ההתנגדות הסגולית של התיל	ρ = 1.125·10⁻⁶ Ω·m ≈ 1.1·10⁻⁶ Ω·m
ג	מתח הדקי המקור במעגל הטורי	V(MN) = 4.6 V · נקודת העבודה היא 2.3 V ו-0.46 A
ד	הזרם דרך המקור במעגל המקבילי	I = 1.22 A
ה	הכוח האלקטרו-מניע וההתנגדות הפנימית	r ≈ 1.4 Ω · ε ≈ 5.3 V
ו	מדידה בוולטמטר לא אידאלי	המתח שנמדד קטן מזה שנמדד בוולטמטר האידאלי

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2025 שאלה 3 — כוח אלקטרומניע, התנגדות פנימית וההספק המנוצל — קריאה משני גרפים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הכוח האלקטרומניע וההתנגדות הפנימית	ε = 18 V · r = 3 Ω
ב	הביטוי להספק המנוצל	בפתרון המלא
ג	ההתנגדות שמחממת בזמן הקצר ביותר	R בקטע QN שווה ל-3 Ω · ההספק המרבי הוא 27 W במתח הדקים של 9 V
ד	שני היגדים — נכון או לא נכון	(1) אינו נכון — הנצילות שם היא בדיוק 50% · (2) נכון — אלקטרון-וולט לשנייה היא יחידת הספק
ה	הניסוי עם מד זרם שהתנגדותו אינה זניחה	תרשים 2 — אותו ישר בדיוק לשני הניסויים, ורק תחום הזרמים הנמדד השתנה

הפתרון המלא לבחינת 2025 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2025 שאלה 2 — נגד משתנה עם מגע נייד — מתח הדקים, חיבור מקבילי ומחלק מתח

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	תרשים המעגל וחישוב R₁	I = 2 A · R₁ = 8 Ω
ב	השוואה בין V₁ למחצית V₂	בפתרון המלא
ג	חישוב ההתנגדות של הקטע MP	I = 2.5 A · I₁ = 1.5 A · I_MP = 1.0 A · R_MP = 12 Ω
ד	ההתנגדות של הנגד המשתנה כולו	R_PN = 1.2 Ω · R_MN = 13.2 Ω
ה	הזזת המגע לעבר N עם מפסק במקום הנגד	מפסק פתוח — V₁ יגדל, V₂ לא ישתנה · מפסק סגור — V₁ לא ישתנה ונשאר אפס, V₂ יקטן

הפתרון המלא לבחינת 2025 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 4 — נגד משתנה ופרבולת ההספק — כא״מ, התנגדות פנימית והספק מבוזבז

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	כיצד משתנה הוריית מד המתח	הוריית מד המתח גדלה
ב	ההתנגדות המקסימלית	הנקודה M₁ · R מקסימלית = 14 Ω
ג	הכוח האלקטרומניע וההתנגדות הפנימית	ε = 8 V · r = 2 Ω
ד		לא זהה · ב-M₄ ההספק המבוזבז גדול פי 9 — שמונה-עשר ואט מול שני ואט
ה	החלפת מקומות בין המכשירים	היגד 4 — הוריית מד הזרם אפס והוריית מד המתח היא ε, כלומר שמונה וולט

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2024 שאלה 3 — מוטות מוליכים במקביל ומגע נייד — התנגדות סגולית והוספת מוטות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	ההתנגדות של כל מוט	R(x) = 6.4 Ω לכל מוט
ב	ההתנגדות של הנגד R	R = 6.4 Ω
ג	ההתנגדות ליחידת אורך	λ = 24 Ω/m
ד	הזרם עם n מוטות	I = nε חלקי (nR + R(x))
ה	כיצד משתנות שתי ההוריות	היגד 3 — הוריית V₁ גדלה והוריית V₂ קטנה

הפתרון המלא לבחינת 2024 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 3 — שתי נורות בענפים מקבילים — שיפוע הגרף, הספק נקוב ונצילות המעגל

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	ההתנגדות של הנורה L₁	R(L1) = 28.8 Ω
ב	הזרם דרך הנגד הקבוע	I(R) = 0.833 A
ג	מיקום המגע הנייד	המגע הנייד נמצא בנקודה K
ד	הביטוי המקשר בין שני המתחים	V₁ = (R(L1) חלקי R(L2)) כפול V₂
ה	ההספק הנקוב של הנורה L₂	R(L2) = 6.4 Ω · ההספק הנקוב של L₂ הוא 22.5 W
ו	הכא״מ של המקור הלא אידיאלי	ε₁ = 30 V

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 2 — מקור מתח לא אידיאלי ונגד משתנה — קריאת שני גרפים באותה מערכת צירים

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	זיהוי שני הגרפים	גרף א הוא V₁ · גרף ב הוא V₂
ב	הכא״מ וההתנגדות הפנימית	ε = 24 V · r = 4 Ω
ג	ההתנגדות של הנגד הקבוע	R = 8 Ω
ד	ההתנגדות המרבית של הנגד המשתנה	R(PK) המרבית = 36 Ω
ה	המתח על הנגד המשתנה בעת הזזת המגע	המתח על הנגד המשתנה גדל
ו	מד־מתח אידיאלי בטור במקום מד־הזרם	V₁ = 24 V · V₂ = 0

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 שאלה 3 — שלוש נורות בטור מול שלוש נורות במקביל — הספק ונצילות

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	שתי הוריות מד־הזרם	I₁ = 2/3 A ≈ 0.667 A · I₂ = 2 A
ב	שני הנגדים המשתנים	R₁ = 0.5 Ω · R₂ = 0.5 Ω · ומכאן גם ε = 12 V , r = 4 Ω
ג	ההספק המושקע על ידי המקור	במעגל 2 ההספק המושקע גדול יותר, פי 3 · 24 W מול 8 W
ד	ההספק המבוזבז בתוך המקור	במעגל 2 ההספק המבוזבז גדול יותר, פי 9 · 16 W מול 16/9 W
ה	הטענה של התלמיד	הטענה שגויה · הנצילות היא מנה, והמכנה גדל פי 3 במעגל 2 בעוד המונה גדל רק במעט
ו	באיזה מעגל הנצילות גדולה יותר	במעגל 1 הנצילות גדולה יותר · 77.8% מול 33.3%

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 שאלה 2 — מקור מתח עם התנגדות פנימית ונגד הזזה — מתח הדקים, טור ומקביל

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	חמשת ההיגדים	ההיגדים הנכונים הם 1 , 4 , 5
ב	חישוב ε ו-r	r = 2 Ω · ε = 21 V
ג	מיקום המגע הנייד P	המרחק מן הקצה N הוא 20 cm (והמרחק מן הקצה M הוא 10 cm)
ד	מתח ההדקים במעגל שבתרשים 2	V = 12 V , קטן מ-18 V
ה	האם אפשר להגיע ל-V = ε ול-V = 0	V = ε לא ניתן להשגה · V = 0 ניתן להשגה על ידי הזזת P אל הקצה M, ואז I = 10.5 A

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 שאלה 3 — מקור מתח עם התנגדות פנימית · חילוץ הכא״מ וההתנגדות מגרף

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	הזרם כאשר K נמצא בקצה N	I = 0.5 A
ב	דיאגרמת הפיזור וקו המגמה	ישר יורד שמשוואתו V = −2.02·I + 5.99
ג	הכא״מ של מקור המתח	ε = 6.0 V · הנקודה המסומנת היא החיתוך עם ציר V כאשר I = 0
ד	ההתנגדות הפנימית	r = 2.0 Ω
ה		I = 3.0 A
ו	האם יש כאן סתירה לחוק אוהם	אין סתירה · בכל מדידה בנפרד חוק אוהם מתקיים, וההתנגדות היא שהשתנתה בין מדידה למדידה

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2020 שאלה 5 — קבל במקביל לנגד · טעינה ופריקה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	המתח על הנגד R₂ ברגע הסגירה	V(R₂) = 14 וולט (והזרם במעגל 0.1 אמפר)
ב	מטען הקבל אחרי זמן רב	Q = 1.4·10⁻⁶ קולון, כלומר 1.4 מיקרוקולון
ג	איזה תרשים מתאר את הזרם ב-R₁	תרשים 2 — קו קבוע בגובה ε/(R₁+R₂) עד t₁ , קפיצה מיידית ל-ε/R₁ ברגע t₁ , ודעיכה מעריכית בחזרה ל-ε/(R₁+R₂)
ד	שלושת הגדלים אחרי פתיחת S₁	(1) המטען Q קטן — עד אפס · (2) הזרם דרך R₂ קטן — עד אפס, בלי שינוי כיוון · (3) קבוע הזמן τ לא השתנה — לאורך כל פרק הזמן הזה הוא R₂·C = 14 מיקרושנייה (בהשוואה לשלב הטעינה שקדם לו הוא אמנם גדל מ-5.8 ל-14 מיקרושנייה)

הפתרון המלא לבחינת 2020 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 7 — נוסחאון הספר.