פרק 6

השראה אלקטרומגנטית

פיזיקה — 5 יחידות לימוד · 20 שעות לימוד

בפרק הקודם ראינו שזרם חשמלי יוצר שדה מגנטי. בפרק זה נלמד את התופעה ההפוכה: שדה מגנטי משתנה יוצר כא"מ, ובמעגל סגור — זרם חשמלי. תופעה זו, השראה אלקטרומגנטית, היא הבסיס לפעולת הגנרטורים בתחנות הכוח, השנאים ברשת החשמל, המטען האלחוטי לטלפון והבלימה המגנטית ברכבות. נתחיל במוליך הנע בשדה מגנטי, נגדיר את השטף המגנטי, וננסח את חוק פארדיי ואת חוק לנץ; אחר כך נעבור לגנרטור, לשנאי ולהעברת אנרגיה, ונסיים במשוואות מקסוול המאגדות את האלקטרומגנטיות כולה.

בסוף הפרק הזה נדע:

נסביר את היווצרות הכא"מ בין קצות מוליך הנע בשדה מגנטי באמצעות כוח לורנץ, ונחשב אותו: ε = B·ℓ·v.
נגדיר את השטף המגנטי Φ = B·A·cos θ ואת יחידתו, הוובר.
נפעיל את חוק פארדיי ε = −N·ΔΦΔt, ונמצא את הכא"מ משיפוע הגרף של השטף כפונקציה של הזמן.
נקבע את כיוון הזרם המושרה בעזרת חוק לנץ, ונסביר חוק זה על פי שימור האנרגיה.
נתאר את פעולת הגנרטור ε = N·B·A·ω·sin(ω·t), ונחשב ערכים אפקטיביים והספק ממוצע.
נחשב מתחים וזרמים בשנאי אידאלי, ונסביר מדוע מעבירים אנרגיה חשמלית במתח גבוה.
נכיר את מה שאומרת כל אחת מארבע משוואות מקסוול, וכיצד הן ניבאו את קיומם של הגלים האלקטרומגנטיים.

כא"מ מושרה, חוק פארדיי וחוק לנץ (Induced EMF, Faraday's Law and Lenz's Law)

בשנת 1831 גילה מייקל פארדיי שאפשר לקבל זרם חשמלי ממגנטיות, בתנאי שמשהו משתנה ביחס שבין המוליך לשדה המגנטי: המוליך זז, המגנט זז, או שעוצמת השדה משתנה. נתחיל במקרה הפשוט ביותר — מוט מתכת הנע בשדה מגנטי אחיד — ונסביר אותו במה שאנו יודעים מן הפרק הקודם: כוח לורנץ.

כא"מ מושרה בין קצות מוליך הנע בשדה מגנטי אחיד:

נזיז מוט מתכת שאורכו ℓ במהירות קבועה v ימינה בתוך שדה מגנטי אחיד B המכוון אל תוך הדף. המוט ניצב לשדה, ומהירותו ניצבת למוט ולשדה. במתכת יש אלקטרונים חופשיים הנעים יחד עם המוט במהירות v, ולכן פועל על כל אחד מהם כוח לורנץ (פרק 5), שגודלו:

F_B = e·v·B

את כיוון הכוח נקבע בעזרת כלל יד ימין: על מטען חיובי הכוח מכוון אל הקצה העליון של המוט, ועל האלקטרון — שמטענו שלילי — אל הקצה התחתון. האלקטרונים מצטברים בקצה התחתון, ובקצה העליון נשאר חוסר באלקטרונים, כלומר מטען חיובי. הפרדת מטענים זו יוצרת בתוך המוט שדה חשמלי E המכוון מן הקצה החיובי אל הקצה השלילי, כלומר כלפי מטה; ושדה זה פועל על כל אלקטרון בכוח חשמלי F_E = e·E כלפי מעלה — בניגוד לכוח המגנטי.

מוט הנע ימינה בשדה המכוון אל תוך הדף: כוח לורנץ דוחף את האלקטרונים כלפי מטה, והקצה העליון נעשה חיובי. בשיווי משקל הכוח החשמלי F_E והכוח המגנטי F_B הפועלים על כל אלקטרון שווים זה לזה

המטענים ממשיכים להצטבר עד שהכוחות על האלקטרון משתווים, ואז תנועת האלקטרונים לאורך המוט נפסקת:

e·E = e·v·B

E = v·B

השדה החשמלי בתוך המוט אחיד, ולכן הפרש הפוטנציאלים בין קצותיו הוא מכפלת עוצמת השדה באורך המוט:

V = E·ℓ = B·ℓ·v

המוט הנע מתנהג כמקור מתח: הקצה העליון שלו הוא ההדק החיובי, והקצה התחתון הוא ההדק השלילי. הכוח שמפריד כאן בין המטענים אינו כוח כימי כמו בסוללה, אלא הכוח המגנטי. לכן הפרש הפוטנציאלים הנוצר נקרא כא"מ מושרה.

כא"מ מושרה: הכא"מ הנוצר במוליך עקב תנועתו בשדה מגנטי, או עקב שינוי של השדה המגנטי העובר דרכו. אם המוליך הוא חלק ממעגל חשמלי סגור, זורם במעגל זרם הנקרא זרם מושרה.

כא"מ מושרה במוט נע

ε = B·ℓ·v

סימן	משמעות	יחידת מידה
ε	הכא"מ המושרה בין קצות המוט	[V]
B	עוצמת השדה המגנטי	[T]
ℓ	אורך המוט שבתוך השדה	[m]
v	מהירות המוט, ניצבת למוט ולשדה	[m/s]

הערה: הנוסחה תקפה כאשר שלושת הכיוונים — המוט, המהירות והשדה — ניצבים זה לזה. אם המוט נע במקביל לשדה, או במקביל לאורכו, לא נוצר כא"מ כלל: במקרה הראשון כוח לורנץ הוא אפס, ובשני הוא ניצב למוט ואינו דוחף את המטענים לאורכו. ואם המהירות נטויה בזווית α מכיוון השדה, רק הרכיב שלה הניצב לשדה תורם: ε = B·ℓ·v·sin α.

דוגמה 6.1

מוט נחושת שאורכו 50 cm נע במהירות 4 m/s בשדה מגנטי אחיד שעוצמתו 0.3 T המכוון אל תוך הדף, כמו בסרטוט הקודם. נחשב:
א. את הכוח המגנטי על אלקטרון חופשי במוט.
ב. את עוצמת השדה החשמלי בתוך המוט בשיווי משקל.
ג. את הכא"מ המושרה, ונקבע לאיזה מקצות המוט פוטנציאל גבוה יותר.

פתרון:

א. המהירות ניצבת לשדה, ולכן נציב בנוסחת כוח לורנץ:

F_B = e·v·B = 1.6·10⁻¹⁹ · 4 · 0.3 = 1.92·10⁻¹⁹ N

ב. בשיווי משקל הכוח החשמלי שווה לכוח המגנטי:

E = v·B = 4 · 0.3 = 1.2 V/m

ג. נמיר את האורך למטרים, ℓ = 0.5 m:

ε = B·ℓ·v = 0.3 · 0.5 · 4 = 0.6 V

נבדוק: ε = E·ℓ = 1.2 · 0.5 = 0.6 V — אותה תוצאה. לפי כלל יד ימין הכוח על המטען החיובי מכוון כלפי מעלה, ולכן העודף החיובי מצטבר בקצה העליון: הפוטנציאל של הקצה העליון גבוה יותר.

F_B = 1.92·10⁻¹⁹ N , E = 1.2 V/m , ε = 0.6 V

דוגמה 6.2

מטוס טס אופקית צפונה במהירות 250 m/s, והמרחק בין קצות כנפיו 36 m. הרכיב האנכי של השדה המגנטי של כדור הארץ במקום זה הוא 4·10⁻⁵ T, והוא מכוון כלפי מטה. נחשב את הכא"מ המושרה בין קצות הכנפיים, ונקבע לאיזה קצה פוטנציאל גבוה יותר. האם אפשר להדליק נורה בכא"מ זה?

פתרון:

הכנף היא מוליך שאורכו 36 m הנע בניצב לרכיב האנכי של השדה. הרכיב האופקי של השדה של כדור הארץ מכוון צפונה, כלומר במקביל למהירות, ולכן אינו תורם:

ε = B·ℓ·v = 4·10⁻⁵ · 36 · 250 = 0.36 V

נביט במטוס מלמעלה (הסרטוט): השדה המכוון כלפי מטה נראה כ-⊗, והמהירות צפונה. לפי כלל יד ימין הכוח על המטען החיובי מכוון מערבה, ולכן הפוטנציאל של קצה הכנף המערבי (השמאלי) גבוה יותר.

אי אפשר להדליק נורה בדרך זו: התילים שנמתח מקצה הכנף אל הנורה ואל הקצה השני נעים גם הם עם המטוס, ולכן נוצר בהם אותו כא"מ. במעגל הסגור שני הכא"מים פועלים בכיוונים מנוגדים, וסכומם אפס.

ε = 0.36 V

שאלה 6.1: מוט CD שאורכו 20 cm נע כלפי מעלה בדף, בשדה מגנטי אחיד שעוצמתו 0.8 T המכוון אל מחוץ לדף (הסרטוט). מהי המהירות הדרושה כדי שייווצר בין קצותיו כא"מ שגודלו 0.12 V? לאיזה מן הקצוות פוטנציאל גבוה יותר?

כא"מ בלולאה הנעה ביחס לשדה:

נבנה מתיל לולאה מוליכה מלבנית, ונזיז אותה במהירות קבועה v ימינה, כך שהיא נכנסת לאזור שיש בו שדה מגנטי אחיד המכוון אל תוך הדף, עוברת בו ויוצאת ממנו. אורכה של כל אחת משתי הצלעות הניצבות לכיוון התנועה הוא ℓ. בשתי הצלעות המקבילות לתנועה לא נוצר כא"מ לאורכן, כי כוח לורנץ בהן ניצב לתיל. לכן נתעניין רק בשתי הצלעות הניצבות, ונבחין בשלושה שלבים:

הכניסה: רק הצלע הימנית נמצאת בתוך השדה. נוצר בה כא"מ ε = B·ℓ·v, והכוח על המטענים החיוביים בה מכוון כלפי מעלה, ולכן הזרם בלולאה זורם נגד כיוון השעון.
הלולאה כולה בתוך השדה: בכל אחת משתי הצלעות נוצר אותו כא"מ B·ℓ·v, ושניהם דוחפים את המטענים החיוביים כלפי מעלה. אבל שתי הצלעות נמצאות זו מול זו בלולאה, ולכן שני הכא"מים פועלים בכיוונים מנוגדים סביב הלולאה ומבטלים זה את זה: לא זורם זרם.
היציאה: רק הצלע השמאלית נמצאת בתוך השדה. הכא"מ B·ℓ·v דוחף את המטענים החיוביים בה כלפי מעלה, ולכן הזרם זורם עם כיוון השעון — בכיוון הפוך לכיוון הזרם בכניסה.

הכניסה: הזרם נגד כיוון השעון

הלולאה כולה בשדה: אין זרם

היציאה: הזרם עם כיוון השעון

אם התנגדות הלולאה היא R, הזרם המושרה לפי חוק אוהם הוא I = εR. זרם זה זורם גם בצלע שבתוך השדה, ולכן השדה פועל על צלע זו בכוח מגנטי F = B·I·ℓ (פרק 5). נראה בסוף סעיף זה שכוח זה מתנגד תמיד לתנועה.

מוסכמת הסימן: כדי לשרטט את הכא"מ כפונקציה של הזמן נבחר כיוון חיובי לסיבוב סביב הלולאה. בפרק זה, כאשר השדה מכוון אל תוך הדף, נחשיב את הכיוון שעם כיוון השעון כחיובי. נראה בחוק פארדיי מדוע בחירה זו גורמת לסימן המינוס שבחוק לתת את הכיוון ישירות.

דוגמה 6.3

לולאה ריבועית שאורך צלעה 20 cm והתנגדותה 0.5 Ω נעה במהירות קבועה 2 m/s ימינה, ועוברת באזור שרוחבו 50 cm ויש בו שדה מגנטי אחיד שעוצמתו 0.5 T המכוון אל תוך הדף. ברגע t = 0 הצלע הימנית מגיעה לגבול האזור.
א. נחשב את הכא"מ ואת הזרם בשלב הכניסה.
ב. נקבע מתי מתחיל כל שלב ומתי הוא מסתיים.
ג. נשרטט את הכא"מ כפונקציה של הזמן.
ד. נחשב את הכוח החיצוני הדרוש כדי לשמור על מהירות קבועה בזמן הכניסה.

פתרון:

א. אורך הצלע שבתוך השדה ℓ = a = 0.2 m:

ε = B·ℓ·v = 0.5 · 0.2 · 2 = 0.2 V

I = εR = 0.20.5 = 0.4 A

ב. הלולאה כולה נכנסת לשדה כאשר הצלע הימנית עוברת מרחק השווה לאורך הצלע a; היציאה מתחילה כאשר הצלע הימנית מגיעה לגבול השני, אחרי מרחק d = 0.5 m; והיציאה מסתיימת אחרי מרחק d + a:

t₁ = av = 0.22 = 0.1 s

t₂ = dv = 0.52 = 0.25 s

t₃ = d + av = 0.72 = 0.35 s

ג. בכניסה הזרם נגד כיוון השעון, כלומר בכיוון השלילי: ε = −0.2 V. בין t₁ ל-t₂ אין כא"מ. ביציאה הזרם עם כיוון השעון: ε = +0.2 V.

הכא"מ המושרה כפונקציה של הזמן (החיובי — עם כיוון השעון)

ד. על הצלע הימנית פועל כוח מגנטי שמאלה המתנגד לתנועה, וכדי לשמור על מהירות קבועה הכוח החיצוני חייב להיות שווה לו:

F = B·I·ℓ = 0.5 · 0.4 · 0.2 = 0.04 N

ε = 0.2 V , I = 0.4 A , F = 0.04 N

שאלה 6.2: בדוגמה 5.3 נכפיל את מהירות הלולאה ל-4 m/s. מהו הכא"מ בשלב הכניסה, וכמה זמן נמשך כל אחד משלושת השלבים?

שטף מגנטי:

ראינו שזרם זורם בלולאה רק כאשר משתנה "כמות השדה" העוברת דרכה: בכניסה גדל החלק משטח הלולאה הנמצא בשדה, ביציאה הוא קטן, וכאשר הלולאה כולה בשדה דבר אינו משתנה. כדי לנסח רעיון זה במדויק נגדיר גודל חדש.

שטף מגנטי: השטף המגנטי Φ דרך משטח מישורי ששטחו A, הנמצא בשדה מגנטי אחיד B, הוא מכפלת עוצמת השדה בשטח ובקוסינוס הזווית θ שבין השדה ובין האנך למשטח. השטף הוא גודל סקלרי ולא וקטור, ואפשר לדמות אותו כמדד למספר קווי השדה העוברים דרך המשטח.

שטף מגנטי

Φ = B·A·cos θ

סימן	משמעות	יחידת מידה
Φ	השטף המגנטי דרך המשטח	[Wb]
B	עוצמת השדה המגנטי האחיד	[T]
A	שטח המשטח	[m²]
θ	הזווית בין השדה ובין האנך למשטח	[°]

יחידת השטף היא ובר: 1 Wb = 1 T·m². הגודל A·cos θ הוא שטח ההיטל של המשטח על מישור הניצב לשדה — "השטח האפקטיבי" שחוסם את קווי השדה. ככל שהמשטח נטוי יותר מן המצב הניצב לשדה, קטן מספר קווי השדה העוברים דרכו.

מבט צד: המשטח ששטחו A נראה כקו, והאנך לו n יוצר זווית θ עם השדה B

נבחין בשלושה מקרים:

השדה ניצב למשטח, כלומר מקביל לאנך (θ = 0): השטף מרבי, Φ = B·A.
השדה נטוי מן האנך בזווית θ: Φ = B·A·cos θ, והוא קטן מ-B·A.
השדה מקביל למשטח (θ = 90°): אף קו שדה אינו עובר דרך המשטח, ו-Φ = 0.

השדה ניצב למשטח: Φ = B·A

האנך נטוי מן השדה בזווית 60°: Φ = 12·B·A

השדה מקביל למשטח: Φ = 0

שימו לב: הזווית θ בנוסחה היא הזווית בין השדה ובין האנך למשטח, ולא הזווית בין השדה ובין המשטח עצמו. אם נתונה הזווית α בין השדה ובין מישור המשטח, אז θ = 90° − α.

הערה: סימן השטף: נבחר כיוון לאנך למשטח. אם השדה בכיוון האנך, השטף חיובי; ואם הוא בכיוון ההפוך (θ > 90°), השטף שלילי. היפוך הלולאה בחצי סיבוב משנה את השטף מן הערך +B·A אל הערך −B·A, כלומר גודל השינוי 2·B·A. בסליל בן N כריכות אותו שטף עובר דרך כל כריכה, ותמיד נדבר על השטף Φ דרך כריכה אחת.

דוגמה 6.4

לולאה מלבנית שממדיה 30 cm × 20 cm נמצאת בשדה מגנטי אחיד שעוצמתו 0.4 T. נחשב את השטף דרך הלולאה כאשר הזווית בין השדה ובין האנך למשטחה:
א. 0°
ב. 60°
ג. 90°
ד. 180°.

פתרון:

שטח הלולאה במטרים רבועים:

A = 0.3 · 0.2 = 0.06 m²

Φ_a = B·A·cos 0° = 0.4 · 0.06 · 1 = 0.024 Wb

Φ_b = 0.4 · 0.06 · cos 60° = 0.012 Wb

Φ_c = 0.4 · 0.06 · cos 90° = 0

Φ_d = 0.4 · 0.06 · cos 180° = −0.024 Wb

במקרה ד הלולאה הפוכה: קווי השדה עוברים דרכה מן הצד השני, והשטף שלילי.

Φ = 0.024 Wb , 0.012 Wb , 0 , −0.024 Wb

שאלה 6.3: סליל מעגלי שרדיוסו 5 cm ויש בו 50 כריכות נמצא בשדה מגנטי אחיד שעוצמתו 0.2 T. קווי השדה יוצרים זווית 30° עם מישור הסליל. חשבו את השטף דרך כריכה אחת.

חוק פארדיי:

נחזור על הניסוי של פארדיי: סליל המחובר לגלוונומטר — אמפרמטר רגיש שהאפס שלו באמצע הסקלה — ומגנט ישר.

הניסוי של פארדיי: כאשר המגנט נע ביחס לסליל, מחוג הגלוונומטר סוטה

המגנט נייח, בתוך הסליל או מחוצה לו: מחוג הגלוונומטר על האפס.
נקרב את המגנט אל הסליל: המחוג סוטה לצד מסוים — זורם זרם מושרה.
נרחיק את המגנט: המחוג סוטה לצד ההפוך.
נזיז את המגנט מהר יותר: הסטייה גדולה יותר.
נשתמש בסליל שמספר הכריכות שלו גדול יותר: הסטייה גדולה יותר.
נשאיר את המגנט נייח ונזיז את הסליל לעברו: אותה תוצאה — מה שחשוב הוא התנועה היחסית.

בכל המקרים שבהם זורם זרם, השטף המגנטי דרך הסליל משתנה, וככל שהשינוי מהיר יותר, הכא"מ גדול יותר. זו תמצית חוק פארדיי:

חוק פארדיי: הכא"מ המושרה בסליל שווה למספר הכריכות שלו כפול קצב השינוי של השטף המגנטי דרך כריכה אחת, בסימן שלילי.

חוק פארדיי

ε = −N·ΔΦΔt

סימן	משמעות	יחידת מידה
ε	הכא"מ המושרה הממוצע בפרק הזמן Δt	[V]
N	מספר הכריכות של הסליל	—
ΔΦ	השינוי בשטף דרך כריכה אחת, ΔΦ = Φ₂ − Φ₁	[Wb]
Δt	פרק הזמן שבו התרחש השינוי	[s]

משמעות הסימן השלילי: הכא"מ המושרה פועל בכיוון המתנגד לשינוי בשטף. זהו חוק לנץ, ונלמד אותו בפירוט בסעיף זה. כאשר מחשבים רק את הגודל, מתעלמים מן הסימן.
ממוצע ורגעי: קצב השינוי ΔΦΔt בפרק זמן נותן את הכא"מ הממוצע בפרק זמן זה. כדי לקבל את הכא"מ ברגע מסוים נקרא את שיפוע המשיק לגרף השטף כפונקציה של הזמן באותו רגע: הכא"מ הרגעי שווה למכפלה של −N בשיפוע המשיק. אם הגרף הוא קו ישר, השיפוע קבוע והכא"מ קבוע.
היחידות: 1 Wb1 s = 1 T·m²1 s = 1 V.

השטף Φ = B·A·cos θ משתנה כאשר משתנה לפחות אחד משלושת הגורמים שלו:

עוצמת השדה B: מקרבים מגנט או מרחיקים אותו, או משנים את הזרם בסליל סמוך.
השטח A הנמצא בשדה: לולאה הנכנסת לשדה או יוצאת ממנו, או מוט המחליק על שתי מסילות מוליכות.
הזווית θ: סליל המסתובב בשדה — וזה עקרון הגנרטור, שנלמד בסעיף היישומים הטכנולוגיים.

דוגמה 6.5

סליל בן 150 כריכות, ששטח כל כריכה בו 0.02 m², נמצא בשדה מגנטי אחיד הניצב למישור הכריכות. עוצמת השדה גדלה באופן אחיד מ-0.1 T ל-0.5 T במשך 0.2 s. קצות הסליל מחוברים זה לזה, וההתנגדות הכוללת של הסליל 3 Ω. נחשב:
א. את השינוי בשטף דרך כריכה אחת.
ב. את הכא"מ המושרה.
ג. את הזרם המושרה ואת המטען שעבר בסליל.

פתרון:

א. השדה ניצב לכריכות, θ = 0:

Φ₁ = B₁·A = 0.1 · 0.02 = 0.002 Wb

Φ₂ = B₂·A = 0.5 · 0.02 = 0.01 Wb

ΔΦ = Φ₂ − Φ₁ = 0.008 Wb

ב. לפי חוק פארדיי:

ε = −N·ΔΦΔt = −150 · 0.0080.2 = −6 V

הסימן השלילי קשור לכיוון; גודל הכא"מ הוא 6 V.

ג. לפי חוק אוהם; והמטען שעבר הוא הזרם כפול הזמן:

I = εR = 63 = 2 A

Δq = I·Δt = 2 · 0.2 = 0.4 C

נשים לב ש-Δq = N·ΔΦR = 150 · 0.0083 = 0.4 C: המטען שעובר בסליל אינו תלוי במהירות השינוי, אלא רק בשינוי בשטף ובהתנגדות.

ε = 6 V , I = 2 A , Δq = 0.4 C

דוגמה 6.6

הגרף מתאר את השטף דרך כל אחת מכריכות סליל בן 100 כריכות כפונקציה של הזמן. נמצא את הכא"מ המושרה בכל פרק זמן, ונשרטט אותו כפונקציה של הזמן.

פתרון:

בכל פרק זמן הגרף הוא קו ישר, ולכן הכא"מ קבוע ושווה למכפלה של −N בשיפוע:

ε₁ = −100 · 6·10⁻³ − 02 − 0 = −0.3 V

ε₂ = −100 · 6·10⁻³ − 6·10⁻³4 − 2 = 0

ε₃ = −100 · −6·10⁻³ − 6·10⁻³6 − 4 = +0.6 V

הכא"מ המושרה כפונקציה של הזמן

ברגע t = 5 s השטף אפס, ובכל זאת הכא"מ הוא 0.6 V: הכא"מ תלוי בשיפוע הגרף ולא בערך השטף. ובין 2 s ל-4 s השטף מרבי אך קבוע, ולכן הכא"מ אפס.

ε₁ = −0.3 V , ε₂ = 0 , ε₃ = +0.6 V

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים ששטף מגנטי גדול פירושו כא"מ מושרה גדול. למעשה הכא"מ תלוי רק בקצב השינוי של השטף, ולא בגודל השטף עצמו: שטף גדול מאוד אך קבוע אינו משרה דבר (ΔΦ = 0), ושטף קטן המשתנה במהירות משרה כא"מ גדול. בגרף השטף החשוב הוא השיפוע, ולא גובה העקומה — כפי שראינו בדוגמה האחרונה.

דוגמה 6.7

השטף דרך כל כריכה בסליל בן 50 כריכות משתנה כמו בגרף. שורטט המשיק לעקומה ברגע t = 2 s, והוא עובר דרך הנקודה (1 s, 0) ודרך הנקודה (3 s, 12 mWb). נמצא:
א. את הכא"מ הרגעי ברגע t = 2 s.
ב. את הכא"מ הממוצע בין t = 0 ובין t = 2 s.

פתרון:

א. שיפוע המשיק:

ΔΦΔt = 12·10⁻³ − 03 − 1 = 6·10⁻³ Wb/s

ε = −N·ΔΦΔt = −50 · 6·10⁻³ = −0.3 V

ב. נקרא מן הגרף: Φ(0) = 0 ו-Φ(2 s) = 6 mWb:

ε_avg = −50 · 6·10⁻³ − 02 − 0 = −0.15 V

הכא"מ הממוצע קטן מן הכא"מ הרגעי ברגע t = 2 s, כי העקומה נעשית תלולה יותר עם הזמן.

ε(2 s) = −0.3 V , ε_avg = −0.15 V

חוק פארדיי והמוט הנע. מוט שאורכו ℓ מחליק במהירות v על שתי מסילות מוליכות, וסוגר איתן לולאה. בפרק זמן Δt המוט עובר מרחק v·Δt, ולכן שטח הלולאה גדל ב-ΔA = ℓ·v·Δt, והשטף גדל ב-ΔΦ = B·ℓ·v·Δt. לפי חוק פארדיי, עבור כריכה אחת:

ε = ΔΦΔt = B·ℓ·v·ΔtΔt = B·ℓ·v

קיבלנו אותה תוצאה שהסקנו מכוח לורנץ: חוק פארדיי כולל את שני המקרים. ונחזור לדוגמה 5.3: בכניסה השטף גדל מאפס ל-B·a² = 0.02 Wb במשך 0.1 s, ולכן לפי חוק פארדיי ε = −0.020.1 = −0.2 V — אותו גודל ואותו סימן שקיבלנו שם. הסיבה היא שבחרנו את הכיוון החיובי לסיבוב (עם כיוון השעון) כך שהוא קשור בכלל יד ימין לכיוון האנך ללולאה (אל תוך הדף, כיוון השדה): האגודל בכיוון האנך, והאצבעות המכופפות קובעות את הכיוון החיובי. בבחירה זו סימן המינוס בחוק פארדיי נותן את הכיוון ישירות.

השטף דרך הלולאה בדוגמה 5.3 כפונקציה של הזמן: השיפוע חיובי בכניסה, אפס באמצע ושלילי ביציאה

שאלה 6.4: סליל בן 400 כריכות, ששטח כל כריכה בו 25 cm², נמצא בשדה מגנטי אחיד שעוצמתו 0.6 T הניצב למישור הכריכות. השדה דועך באופן אחיד במשך 0.05 s. חשבו את גודל הכא"מ המושרה.

כא"מ בלולאה כתוצאה משינוי השדה בזמן:

במקרים הקודמים המוליך נע, והסברנו את הכא"מ בכוח לורנץ על המטענים הנעים איתו. אבל חוק פארדיי מנבא כא"מ גם בלולאה נייחת לחלוטין, אם עוצמת השדה העובר דרכה משתנה: למשל כאשר מגדילים את הזרם בסילונית סמוכה, או מקרבים אליה מגנט. והניסוי מאשר זאת.

כאן כוח לורנץ אינו יכול להיות הסיבה: המטענים בלולאה הנייחת אינם נעים, והכוח המגנטי על מטען נייח הוא אפס. ההסבר הוא ששדה מגנטי משתנה יוצר סביבו שדה חשמלי. הקווים של שדה חשמלי מושרה זה סגורים — מעגלים סביב אזור השינוי — ואינם קווים המתחילים במטען חיובי ומסתיימים במטען שלילי כמו בשדה האלקטרוסטטי. שדה זה דוחף את המטענים החופשיים לאורך הלולאה, והעבודה שהוא עושה על מטען המקיף סיבוב שלם, מחולקת במטען, היא הכא"מ המושרה. נחזור לרעיון זה במשוואות מקסוול.

שדה מגנטי המכוון אל תוך הדף גדל, ויוצר שדה חשמלי מושרה E שקוויו מעגלים סגורים. את כיוון המעגלים האלה — ואת כיוון הזרם בלולאה — קובע חוק לנץ, שנלמד בהמשך

בלולאה נייחת ששטחה A קבוע והיא ניצבת לשדה, השינוי בשטף נובע רק מן השינוי בשדה, ΔΦ = A·ΔB, ולכן:

ε = −N·A·ΔBΔt

דוגמה 6.8

לולאה מעגלית שרדיוסה 10 cm והתנגדותה 0.2 Ω נמצאת במנוחה בשדה מגנטי אחיד הניצב למישורה ומכוון אל תוך הדף. עוצמת השדה משתנה עם הזמן כמו בגרף. נחשב את הכא"מ ואת הזרם בכל פרק זמן, ונשרטט את הכא"מ כפונקציה של הזמן (החיובי — עם כיוון השעון).

פתרון:

שטח הלולאה:

A = π·r² = π · 0.1² = 0.0314 m²

פרק הזמן הראשון, מ-0 עד 0.8 s:

ΔBΔt = 0.4 − 00.8 − 0 = 0.5 T/s

ε₁ = −A·ΔBΔt = −0.0314 · 0.5 = −0.0157 V

I₁ = ε₁R = −0.01570.2 = −0.0785 A

פרק הזמן השני, מ-0.8 s עד 1.4 s: השדה קבוע, ולכן אין כא"מ ואין זרם.

פרק הזמן השלישי, מ-1.4 s עד 1.6 s:

ΔBΔt = 0 − 0.41.6 − 1.4 = −2 T/s

ε₃ = −0.0314 · (−2) = +0.0628 V

I₃ = 0.06280.2 = +0.3142 A

הכא"מ המושרה בלולאה כפונקציה של הזמן

הזרם בפרק הזמן השלישי גדול פי ארבעה מאשר בראשון, והפוך לו בכיוונו: השדה קטן מהר פי ארבעה מכפי שגדל.

ε₁ = −15.7 mV , ε₂ = 0 , ε₃ = +62.8 mV

שאלה 6.5: סליל ריבועי בן 20 כריכות שאורך צלעו 10 cm, ומישורו ניצב לשדה מגנטי אחיד. במשך 0.1 s השדה משתנה באופן אחיד מערך של 0.2 T בכיוון מסוים לערך של 0.2 T בכיוון ההפוך (הסרטוט). חשבו את גודל הכא"מ המושרה. (מהו ΔB?)

▶ניסוי חי — השטף וחוק פארדיינשנה את עוצמת השדה, או את שטח הסליל, או נסובב אותו, או נזיז מוט בשדה, ונעקוב בו-זמנית אחר גרף השטף, אחר שיפועו ואחר הכא"מ המושרה.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/physics/em_induction#faraday

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_induction#faraday

חוק לנץ וקביעת כיוון הזרם המושרה:

חוק פארדיי נותן לנו את גודל הכא"מ המושרה. את כיוונו — ואת כיוון הזרם המושרה — קובע חוק שניסח היינריך לנץ בשנת 1834:

חוק לנץ: הזרם המושרה זורם תמיד בכיוון שבו הוא יוצר שדה מגנטי המתנגד לשינוי בשטף המגנטי שיצר אותו. אם השטף גדל, השדה המושרה מנוגד לשדה החיצוני; ואם השטף קטן, השדה המושרה בכיוון השדה החיצוני, ומנסה לשמור עליו.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים שהזרם המושרה מתנגד תמיד לשדה החיצוני, "כי זה מה שאומר חוק לנץ". למעשה הזרם המושרה מתנגד לשינוי בשטף, ולא לשדה עצמו: כאשר השטף גדל, השדה המושרה אכן מנוגד לשדה החיצוני, אבל כאשר השטף קטן, הזרם המושרה זורם בכיוון המחזק את השדה החיצוני ומנסה לשמור עליו.

כדי לקבוע את הכיוון נפעל בכל שאלה לפי שרשרת לנץ, בת ארבעה שלבים:

השטף: מהו כיוון השדה החיצוני דרך הלולאה? והאם השטף גדל או קטן?
השדה המושרה: אם השטף גדל — השדה המושרה בתוך הלולאה מנוגד לשדה החיצוני; אם הוא קטן — בכיוונו.
כלל יד ימין: נכוון את האגודל של יד ימין בכיוון השדה המושרה בתוך הלולאה; האצבעות המכופפות מראות את כיוון הזרם המושרה.
הבדיקה: הלולאה שזורם בה זרם מתנהגת כמגנט. נוודא שהכוח בינה ובין המגנט — או הכוח של השדה על הצלע הנעה — מתנגד לתנועה.

השדה ⊗ גדל: השדה המושרה ⊙ והזרם נגד כיוון השעון

השדה ⊗ קטן: השדה המושרה ⊗ והזרם עם כיוון השעון

הערה: הסימן השלילי בחוק פארדיי הוא חוק לנץ הכתוב בשפת המתמטיקה: אם השטף גדל (ΔΦ > 0), הכא"מ שלילי, כלומר פועל בכיוון ההפוך לכיוון החיובי הקשור לשדה — וזה בדיוק מה ששרשרת לנץ אומרת.

דוגמה 6.9

נקרב את הקוטב הצפוני של מגנט אל לולאה מוליכה. נקבע את כיוון הזרם המושרה בלולאה במבט מצד המגנט, ואת הקוטב הנוצר בפאה של הלולאה הקרובה אל המגנט. אחר כך נחזור על כך כאשר נרחיק את המגנט.

פתרון:

ההתקרבות. 1. קווי השדה יוצאים מן הקוטב הצפוני, ולכן השדה החיצוני דרך הלולאה מכוון מן המגנט אל הלולאה. המגנט מתקרב, והשדה ליד הלולאה מתחזק: השטף גדל.

2. השדה המושרה מתנגד לגידול: בתוך הלולאה הוא מכוון אל המגנט.

3. במבט מצד המגנט השדה המושרה מכוון אלינו (⊙). נכוון את האגודל אלינו, והאצבעות מתכופפות נגד כיוון השעון: הזרם המושרה נגד כיוון השעון במבט מצד המגנט.

4. השדה המושרה יוצא מן הפאה של הלולאה הקרובה אל המגנט, ולכן פאה זו היא קוטב צפוני. שני קטבים צפוניים דוחים זה את זה: הלולאה דוחה את המגנט ומתנגדת להתקרבותו.

ההתקרבות: השדה החיצוני (סגול) גדל, והשדה המושרה (כתום) מתנגד לו

ההתרחקות. השטף קטן, ולכן השדה המושרה בכיוון השדה החיצוני (מתרחק מאיתנו, ⊗), והזרם עם כיוון השעון במבט מצד המגנט; הפאה הקרובה היא קוטב דרומי המושך את המגנט — ושוב הכוח מתנגד לתנועה.

ההתרחקות: השדה החיצוני קטן, והשדה המושרה בכיוונו

התנועה	השטף	הזרם במבט מצד המגנט	קוטב הפאה הקרובה	הכוח על המגנט
הקוטב הצפוני מתקרב	גדל	נגד כיוון השעון	צפוני	דחייה: הלולאה דוחה את המגנט
הקוטב הצפוני מתרחק	קטן	עם כיוון השעון	דרומי	משיכה: הלולאה מושכת את המגנט
הקוטב הדרומי מתקרב	גדל	עם כיוון השעון	דרומי	דחייה: הלולאה דוחה את המגנט
הקוטב הדרומי מתרחק	קטן	נגד כיוון השעון	צפוני	משיכה: הלולאה מושכת את המגנט

בארבעת המקרים הכוח מתנגד לתנועה: בהתקרבות — דחייה, ובהתרחקות — משיכה.

דוגמה 6.10

נקבע בעזרת חוק לנץ את כיוון הזרם בלולאה שבדוגמה 5.8, בפרק הזמן הראשון ובפרק הזמן השלישי, ונשווה לסימן הכא"מ שקיבלנו שם.

פתרון:

פרק הזמן הראשון: השדה המכוון אל תוך הדף גדל ← השדה המושרה אל מחוץ לדף ← האגודל אלינו, והזרם נגד כיוון השעון. זה הכיוון השלילי, והוא מתאים ל-ε₁ = −15.7 mV.

פרק הזמן השלישי: השדה המכוון אל תוך הדף קטן ← השדה המושרה אל תוך הדף ← הזרם עם כיוון השעון, והוא מתאים ל-ε₃ = +62.8 mV.

שתי הדרכים — שרשרת לנץ וסימן המינוס בחוק פארדיי — נותנות תמיד אותו כיוון.

דוגמה 6.11

בתיל ישר ארוך זורם זרם I ימינה, ומתחתיו, במישור הדף, לולאה מוליכה מלבנית (הסרטוט). נקבע את כיוון הזרם המושרה בלולאה כאשר:
א. הזרם בתיל גדל.
ב. הזרם קבוע, והלולאה מתרחקת מן התיל כלפי מטה.
ג. הזרם קבוע, והלולאה נעה ימינה במקביל לתיל.

פתרון:

השדה סביב התיל (פרק 5): לפי כלל יד ימין — האגודל בכיוון הזרם — השדה מתחת לתיל מכוון אל תוך הדף, ועוצמתו B = μ₀·I2π·r קטנה ככל שמתרחקים מן התיל (סמלים קטנים יותר בסרטוט).

א. הזרם גדל ← השדה המכוון אל תוך הדף מתחזק ← השטף גדל ← השדה המושרה אל מחוץ לדף ← הזרם המושרה נגד כיוון השעון.

ב. הלולאה עוברת לאזור שבו השדה חלש יותר ← השטף אל תוך הדף קטן ← השדה המושרה אל תוך הדף ← הזרם המושרה עם כיוון השעון.

א. הזרם בתיל גדל

ב. הלולאה מתרחקת מן התיל

ג. הלולאה נעה במקביל לתיל, ולכן נשארת באותו מרחק ממנו ← השטף אינו משתנה ← לא זורם זרם מושרה.

שאלה 6.6: סילונית אנכית כרוכה על ליבת ברזל, ועל הקצה העליון שלה מונחת טבעת אלומיניום קלה המקיפה את הליבה (הסרטוט). נסגור את המפסק, וזרם ישר מתחיל לזרום בסילונית.
א. מהו כיוון הזרם המושרה בטבעת ביחס לכיוון הזרם בכריכות הסילונית, ברגע סגירת המפסק?
ב. מדוע הטבעת קופצת כלפי מעלה?
ג. האם הטבעת נשארת מורמת אחרי שהזרם בסילונית נעשה קבוע?

שאלה 6.7: לולאה ריבועית נמשכת ימינה ויוצאת מאזור שיש בו שדה מגנטי אחיד המכוון אל מחוץ לדף (הסרטוט). מהו כיוון הזרם המושרה בלולאה? מהו כיוון הכוח השקול של הכוחות המגנטיים על הלולאה?

חוק לנץ כנובע משימור אנרגיה:

מדוע הזרם המושרה מתנגד לשינוי ואינו מסייע לו? נניח את ההפך: מגנט מתקרב ללולאה, והזרם המושרה יוצר בפאה הקרובה קוטב דרומי המושך את המגנט. אז המגנט מאיץ מעצמו, ולכן קצב השינוי של השטף גדל, הזרם גדל, כוח המשיכה גדל עוד יותר, וכך בלי סוף. היינו מקבלים אנרגיה קינטית ההולכת וגדלה, ואנרגיה חשמלית ההופכת לחום בלולאה — בלי שמישהו עושה עבודה כלשהי. דבר זה סותר את חוק שימור האנרגיה.

אם כן, הזרם המושרה חייב להתנגד לתנועה: מי שמזיז את המגנט עושה עבודה נגד הכוח המתנגד, ועבודה זו היא מקור האנרגיה החשמלית בלולאה. חוק לנץ הוא הביטוי של חוק שימור האנרגיה בהשראה האלקטרומגנטית. נבדוק זאת באופן כמותי במערכת פשוטה.

מוט המחליק על שתי מסילות. מוט מתכת שאורכו ℓ מחליק ללא חיכוך על שתי מסילות אופקיות מוליכות, וקצות המסילות מחוברים לנגד שהתנגדותו R. המערכת נמצאת בשדה מגנטי אחיד B המכוון אל תוך הדף, ניצב למישור המסילות. נמשוך את המוט בכוח חיצוני F_ext כך שינוע במהירות קבועה v ימינה. נזניח את התנגדות המוט והמסילות.

מוט הנמשך על מסילות בשדה המכוון אל תוך הדף: הזרם המושרה נגד כיוון השעון, וכוח השדה על המוט F_B מתנגד למהירות

1. הכא"מ והזרם:

ε = B·ℓ·v

I = εR = B·ℓ·vR

2. הכיוון: השטח הכלוא במעגל גדל, ולכן השטף אל תוך הדף גדל; השדה המושרה אל מחוץ לדף; והזרם במעגל נגד כיוון השעון — במוט כלפי מעלה ובנגד כלפי מטה. זו אותה תוצאה שמתקבלת מכוח לורנץ על המטענים במוט.

3. הכוח הבולם: על המוט שזורם בו זרם פועל כוח מגנטי F_B = B·I·ℓ. לפי כלל יד ימין — הזרם כלפי מעלה והשדה אל תוך הדף — הכוח מכוון שמאלה, בניגוד למהירות. לכן נקרא לו כוח בולם:

F_B = B·I·ℓ = B²·ℓ²·vR

4. מהירות קבועה: לפי החוק הראשון של ניוטון, כדי שהמוט ינוע במהירות קבועה, הכוח השקול עליו חייב להיות אפס: F_ext = F_B.

5. מאזן ההספקים: נשווה את ההספק שמשקיע הכוח החיצוני (ההספק המכני) להספק החשמלי ההופך לחום בנגד:

P_mech = F_ext·v = B²·ℓ²·v²R

P_el = I²·R = (B·ℓ·vR)²·R = B²·ℓ²·v²R

שני ההספקים שווים בדיוק: כל ג׳אול של עבודה שעושה הכוח החיצוני הופך לג׳אול של אנרגיה חשמלית, וממנה לחום בנגד. אילו זרם הזרם בכיוון ההפוך, הכוח על המוט היה מכוון ימינה, והמוט היה מאיץ מעצמו בלי עבודה חיצונית — וזה בלתי אפשרי.

מוט על מסילות בשדה אחיד

I = B·ℓ·vR

F_B = B²·ℓ²·vR

F_ext·v = I²·R

סימן	משמעות	יחידת מידה
F_B	הכוח הבולם על המוט, בניגוד למהירות	[N]
F_ext	הכוח החיצוני הדרוש למהירות קבועה	[N]
R	התנגדות המעגל	[Ω]

דוגמה 6.12

במערכת הקודמת B = 0.5 T, ℓ = 0.4 m, R = 2 Ω, והמוט נמשך במהירות קבועה 5 m/s. נחשב את הכא"מ, את הזרם, את הכוח החיצוני, את ההספק המכני ואת ההספק החשמלי, ואת האנרגיה ההופכת לחום במשך 3 s.

פתרון:

ε = B·ℓ·v = 0.5 · 0.4 · 5 = 1 V

I = εR = 12 = 0.5 A

F_ext = F_B = B·I·ℓ = 0.5 · 0.5 · 0.4 = 0.1 N

שני ההספקים:

P_mech = F_ext·v = 0.1 · 5 = 0.5 W

P_el = I²·R = 0.5² · 2 = 0.5 W

שני ההספקים שווים, כפי שמחייב שימור האנרגיה. במשך 3 s:

E = P·t = 0.5 · 3 = 1.5 J

I = 0.5 A , F = 0.1 N , P = 0.5 W

דוגמה 6.13

במערכת של דוגמה 5.12 מסת המוט 0.1 kg. נפעיל על המוט, כשהוא במנוחה, כוח חיצוני קבוע 0.2 N ימינה.
א. מהי תאוצת המוט בהתחלה?
ב. מהי תאוצתו כאשר מהירותו מגיעה ל-5 m/s?
ג. מהי המהירות הסופית שאליה המוט שואף?
ד. נוודא את מאזן ההספקים במהירות הסופית.

פתרון:

א. בהתחלה v = 0, ולכן אין כא"מ, אין זרם ואין כוח בולם:

a₀ = Fm = 0.20.1 = 2 m/s²

ב. במהירות 5 m/s:

F_B = B²·ℓ²·vR = 0.5² · 0.4² · 52 = 0.1 N

a = F − F_Bm = 0.2 − 0.10.1 = 1 m/s²

ג. ככל שהמהירות גדלה, הכוח הבולם גדל והתאוצה קטנה. המהירות שואפת לערך קבוע — המהירות הסופית v_t — שבו שני הכוחות משתווים והתאוצה מתאפסת:

F = B²·ℓ²·v_tR

v_t = F·RB²·ℓ² = 0.2 · 20.5² · 0.4² = 10 m/s

מהירות המוט כפונקציה של הזמן: היא מתחילה בתאוצה 2 m/s² (הקו המקווקו) ושואפת למהירות הסופית

ד. במהירות הסופית:

I = B·ℓ·v_tR = 0.5 · 0.4 · 102 = 1 A

P_mech = F·v_t = 0.2 · 10 = 2 W

P_el = I²·R = 1² · 2 = 2 W

כל העבודה שעושה הכוח החיצוני הופכת לחום, והאנרגיה הקינטית של המוט אינה משתנה עוד.

a₀ = 2 m/s² , a = 1 m/s² , v_t = 10 m/s

הערה: אם נסיר את הכוח החיצוני אחרי שהמוט הגיע למהירותו הסופית, יישאר רק הכוח הבולם, והמוט יאט עד שייעצר. האנרגיה הקינטית שלו 12·m·v_t² = 12 · 0.1 · 10² = 5 J הופכת כולה לחום בנגד.

שאלה 6.8: מוט שאורכו 0.5 m נמשך במהירות קבועה 2 m/s על שתי מסילות המחוברות לנגד 5 Ω, בשדה אחיד שעוצמתו 0.6 T הניצב למישור המסילות. חשבו את הזרם, את הכוח החיצוני הדרוש ואת כמות החום הנוצרת בנגד במשך 10 s.

מגנט הנופל בצינור אלומיניום. אלומיניום אינו חומר מגנטי, והמגנט אינו נמשך אליו. ובכל זאת, אם נפיל מגנט חזק בתוך צינור אלומיניום אנכי, הוא נופל לאט מאוד, הרבה יותר לאט מגוש ברזל לא ממוגנט באותו גודל. נסביר זאת בעזרת חוק לנץ: אפשר להתייחס לדופן הצינור כאל שורה של טבעות מוליכות, זו מעל זו.

מגנט הנופל בצינור אלומיניום: הטבעות שמתחתיו דוחות אותו, והטבעות שמעליו מושכות אותו

מתחת למגנט (הקוטב הצפוני שלו כלפי מטה): המגנט מתקרב לטבעות, השטף דרכן גדל, והזרם המושרה יוצר בפאה העליונה שלהן קוטב צפוני — זהה לקוטב התחתון של המגנט — ולכן הן דוחות אותו כלפי מעלה.
מעל המגנט: המגנט מתרחק, השטף קטן, והזרם המושרה יוצר בפאה התחתונה שלהן קוטב צפוני — מנוגד לקוטב העליון של המגנט, שהוא דרומי — ולכן הן מושכות אותו כלפי מעלה.
בשני המקרים הכוח על המגנט מכוון כלפי מעלה, בניגוד לתנועתו. ככל שמהירותו גדלה, הזרמים המושרים והכוח הבולם גדלים, עד שהכוח שווה למשקל; אז המגנט נופל במהירות סופית קבועה.

האנרגיה: האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של המגנט אינה הופכת לאנרגיה קינטית, אלא לחום בדופן הצינור, באמצעות הזרמים המושרים המסתובבים בה. זרמים מושרים בגוש מתכת שלם נקראים זרמי ערבולת. אם נחרוץ את הצינור לאורכו, הזרמים אינם יכולים להקיף אותו, והמגנט נופל מהר הרבה יותר.

יישום: בלימה מגנטית משמשת ברכבות מהירות ובמתקני שעשועים: לוחות מתכת נעים בין מגנטים חזקים, ונוצרים בהם זרמי ערבולת הבולמים אותם בלי חיכוך ובלי שחיקה. וככל שהמהירות גדולה יותר, הבלימה חזקה יותר.

▶ניסוי חי — חוק לנץנקרב מגנט אל סליל ונרחיק אותו, ונעקוב אחר שרשרת לנץ שלב אחר שלב: השטף, השדה המושרה, כיוון הזרם והקוטב הנוצר. ובמצב הצינור המוליך נשווה את נפילת המגנט לנפילת גוף לא ממוגנט, ונעקוב אחר העבודה ואחר האנרגיה החשמלית.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_induction#lenz

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_induction#lenz

יישומים טכנולוגיים (Technological Applications)

השראה אלקטרומגנטית אינה רק תופעת מעבדה: כמעט כל החשמל המגיע לבתינו מופק בגנרטורים הפועלים לפי חוק פארדיי, ועובר בדרכו בשנאים הפועלים לפי אותו חוק. בסעיף זה נכיר את הגנרטור ואת זרם החילופין שהוא מפיק, את הערכים האפקטיביים, את השנאי האידאלי, ואת הדרך להעביר אנרגיה חשמלית למרחקים גדולים.

גנרטור: הכא"מ המושרה בסליל המסתובב בשדה:

גנרטור בצורתו הפשוטה ביותר הוא סליל מלבני בן N כריכות, ששטח כל אחת מהן A, המסתובב במהירות זוויתית קבועה ω סביב ציר הנמצא במישורו וניצב לשדה מגנטי אחיד B. הזווית בין האנך לסליל ובין השדה משתנה באופן אחיד עם הזמן; אם האנך מקביל לשדה ברגע t = 0, אז θ = ω·t. לכן השטף דרך כל כריכה משתנה ללא הפסקה:

Φ = B·A·cos(ω·t)

גנרטור פשוט במבט מקצה הציר: הסליל (הקו) מסתובב נגד כיוון השעון, והאנך לו n יוצר את הזווית θ = ω·t עם השדה. הסמלים ⊙ ו-⊗ בקצות הקו הם הצלעות הארוכות, ובהם מסומן כיוון הזרם המושרה

נחשב את הכא"מ בעזרת מה שלמדנו על המוט הנע. אורך כל אחת משתי הצלעות המקבילות לציר הסיבוב הוא ℓ, ואורך שתי הצלעות האחרות w, ולכן שטח הכריכה A = ℓ·w. כל צלע שאורכה ℓ נעה על מעגל שרדיוסו w2 במהירות v = ω·w2. רק רכיב המהירות הניצב לשדה תורם, וגודלו v·sin(ω·t): כאשר מישור הסליל ניצב לשדה (θ = 0), שתי הצלעות נעות במקביל לשדה ולא נוצר כא"מ; וכאשר מישור הסליל מקביל לשדה (θ = 90°), הצלעות חוצות את קווי השדה בניצב, והכא"מ מרבי. בסרטוט שתי הצלעות נעות בכיוונים מנוגדים, ולכן הזרם באחת מהן יוצא מן הדף ובשנייה נכנס אליו — ופירוש הדבר ששני הכא"מים פועלים באותו כיוון סביב הכריכה, ולכן הם מתחברים:

ε₁ = 2·B·ℓ·(ω·w2)·sin(ω·t) = B·A·ω·sin(ω·t)

וב-N כריכות המחוברות בטור מתחברים הכא"מים של כל הכריכות:

הכא"מ בגנרטור

ε = N·B·A·ω·sin(ω·t)

ε_max = N·B·A·ω

ω = 2π·f = 2πT

סימן	משמעות	יחידת מידה
ε	הכא"מ הרגעי	[V]
ε_max	הערך המרבי של הכא"מ	[V]
ω	המהירות הזוויתית של סיבוב הסליל	[rad/s]
f	תדירות הסיבוב, שהיא גם תדירות המתח	[Hz]

הכא"מ משתנה כפונקציה סינוסית של הזמן, ומחליף את סימנו פעמיים בכל סיבוב: בחצי סיבוב הגנרטור דוחף את הזרם במעגל בכיוון אחד, ובחצי השני — בכיוון ההפוך. זהו זרם חילופין. נשווה בין שני הגרפים, של השטף ושל הכא"מ:

השטף דרך כריכה (סגול) והכא"מ (אדום) בגנרטור כפונקציה של הזמן, לפי נתוני הדוגמה הבאה.

כאשר השטף מרבי (מישור הסליל ניצב לשדה), שיפוע עקומת השטף אפס, והכא"מ אפס.
כאשר השטף אפס (מישור הסליל מקביל לשדה), שיפוע עקומת השטף מרבי, והכא"מ מרבי.
הכא"מ שווה למכפלה של −N בשיפוע עקומת השטף — בדיוק כפי שאומר חוק פארדיי: היכן ש-Φ יורד, ε חיובי.

הערה: כדי שהזרם ייצא מן הסליל המסתובב אל המעגל החיצוני בלי שהתילים ייכרכו, כל אחד מקצות הסליל מחובר לטבעת מתכת המסתובבת איתו (טבעות החלקה), וכל טבעת נוגעת במברשת פחם נייחת המחוברת למעגל. בתחנת כוח הטורבינה מסובבת את הסליל — בעזרת קיטור, מים או רוח — והאנרגיה הקינטית הופכת לאנרגיה חשמלית. בגנרטורים גדולים מסתובב האלקטרומגנט והסלילים נשארים נייחים, והעיקרון זהה: השטף דרך הסלילים משתנה.

דוגמה 6.14

סליל של גנרטור, בן 100 כריכות ששטח כל אחת מהן 0.05 m², מסתובב בתדירות 50 Hz בשדה מגנטי אחיד שעוצמתו 0.2 T. ברגע t = 0 מישור הסליל ניצב לשדה. נחשב:
א. את המהירות הזוויתית ואת הערך המרבי של הכא"מ.
ב. את הכא"מ ברגע t = 2.5 ms.
ג. באילו רגעים במשך הסיבוב הראשון הכא"מ אפס?
ד. מה קורה לכא"מ המרבי אם נכפיל את תדירות הסיבוב?

פתרון:

ω = 2π·f = 2π · 50 = 314.2 rad/s

ε_max = N·B·A·ω = 100 · 0.2 · 0.05 · 314.2 = 314.2 V

ב. הזווית ברגע זה, ברדיאנים:

ω·t = 314.2 · 2.5·10⁻³ = π4

ε = ε_max·sin(ω·t) = 314.2 · sin(π4) = 222.1 V

ג. sin(ω·t) = 0 כאשר מישור הסליל ניצב לשדה: ברגעים t = 0, t = T2 = 10 ms ו-t = T = 20 ms.

ד. הערך המרבי עומד ביחס ישר ל-ω: הכפלת התדירות מכפילה את ε_max ל-628.3 V, וגם תדירות מתח החילופין מוכפלת.

ε_max = 314.2 V , ε(2.5 ms) = 222.1 V

שאלה 6.9: סליל של גנרטור, בן 250 כריכות שממדי כל אחת מהן 10 cm × 8 cm, מסתובב 1500 סיבובים בדקה בשדה אחיד שעוצמתו 0.4 T. חשבו את תדירות המתח ואת הערך המרבי של הכא"מ.

מתח וזרם אפקטיביים, הספק ממוצע:

נחבר גנרטור לנגד R. המתח על הנגד V = V₀·sin(ω·t), כאשר V₀ הוא הערך המרבי של המתח, והזרם לפי חוק אוהם I = I₀·sin(ω·t), כאשר I₀ = V₀R. ההספק הרגעי בנגד:

P = I²·R = I₀²·R·sin²(ω·t)

ההספק תמיד חיובי — הנגד מתחמם בשני חצאי הסיבוב — אבל הוא מתנודד בין אפס לערך המרבי P₀ = I₀²·R, בתדירות כפולה מתדירות המתח. עקומת sin² סימטרית סביב חצי גובהה: החלקים שמעל הקו P₀2 ממלאים בדיוק את השקעים שמתחתיו. לכן ההספק הממוצע הוא חצי מן הערך המרבי:

P_avg = 12·I₀²·R

למעלה: מתח החילופין והערך האפקטיבי שלו (הקו הירוק המקווקו). למטה: ההספק הרגעי בנגד, שהממוצע שלו הוא חצי מערכו המרבי.

ערך אפקטיבי: הערך האפקטיבי של זרם חילופין הוא עוצמת הזרם הישר המפיק באותו נגד את אותו הספק ממוצע. וכך גם לגבי המתח. מכשירי המדידה במעגלי זרם חילופין מראים את הערכים האפקטיביים.

נשווה את ההספק הממוצע להספק של הזרם הישר השקול: I_eff²·R = 12·I₀²·R, ומכאן:

ערכים אפקטיביים והספק ממוצע

I_eff = I₀2

V_eff = V₀2

P_avg = V_eff·I_eff = I_eff²·R = V_eff²R

סימן	משמעות	יחידת מידה
I₀ , V₀	הערך המרבי של הזרם ושל המתח	[A] , [V]
I_eff , V_eff	הערך האפקטיבי של הזרם ושל המתח	[A] , [V]
P_avg	ההספק הממוצע	[W]

הערה: מתח רשת החשמל בישראל הוא 230 V — וזה ערך אפקטיבי — ותדירותו 50 Hz. הערך המרבי של המתח בשקע גדול יותר: V₀ = 2 · 230 = 325.3 V. וכאשר אומרים שהספקו של תנור חימום 2000 W, הכוונה להספק הממוצע.

דוגמה 6.15

קומקום חשמלי שהספקו 2000 W מחובר לרשת (230 V אפקטיבי). נחשב את התנגדות גוף החימום, את הזרם האפקטיבי, את הערך המרבי של הזרם ואת הערך המרבי של ההספק.

פתרון:

R = V_eff²P_avg = 230²2000 = 26.45 Ω

I_eff = P_avgV_eff = 2000230 = 8.7 A

I₀ = 2·I_eff = 2 · 8.7 = 12.3 A

P₀ = 2·P_avg = 4000 W

R = 26.45 Ω , I_eff = 8.7 A , I₀ = 12.3 A

דוגמה 6.16

נחבר את הגנרטור מדוגמה 5.14 לנגד 50 Ω (נזניח את התנגדות הסליל). נחשב את הערך המרבי של הזרם, את המתח והזרם האפקטיביים, ואת ההספק הממוצע.

פתרון:

התנגדות הסליל זניחה, ולכן המתח על הנגד שווה לכא"מ, V₀ = ε_max = 314.2 V:

I₀ = V₀R = 314.250 = 6.28 A

V_eff = V₀2 = 314.22 = 222.1 V

I_eff = I₀2 = 4.44 A

P_avg = V_eff·I_eff = 222.1 · 4.44 = 987 W

נבדוק: P_avg = 12·I₀²·R = 12 · 6.28² · 50 = 987 W.

I₀ = 6.28 A , V_eff = 222.1 V , P_avg = 987 W

שאלה 6.10: על נורה רשום 60 W , 230 V (ערכים אפקטיביים). חשבו את הזרם האפקטיבי, את הערך המרבי של הזרם ואת התנגדות הנורה בזמן פעולתה.

שנאי אידאלי:

שנאי: מתקן המעלה או מוריד את המתח של זרם חילופין. הוא בנוי משני ליפופים הכרוכים על ליבת ברזל סגורה משותפת: הליפוף הראשוני, המחובר למקור מתח החילופין, והליפוף המשני, המחובר לעומס. אין חיבור חשמלי בין שני הליפופים.

שנאי: שני ליפופים על ליבת ברזל משותפת. הליפוף הראשוני (N₁ כריכות) מחובר למקור חילופין, והמשני (N₂ כריכות) — לעומס R

זרם החילופין בליפוף הראשוני יוצר בליבת הברזל שטף מגנטי מתחלף. ליבת הברזל "מובילה" את קווי השדה בתוכה, ולכן אותו שטף Φ עובר דרך כל כריכה בשני הליפופים. לפי חוק פארדיי, הכא"מ בכל כריכה זהה בשני הליפופים, ΔΦΔt, ולכן המתח על כל ליפוף עומד ביחס ישר למספר הכריכות שלו:

V₁ = N₁·ΔΦΔt

V₂ = N₂·ΔΦΔt

V₂V₁ = N₂N₁

בשנאי אידאלי אין הפסדי אנרגיה: ההספק שהליפוף הראשוני מקבל מן המקור שווה להספק שהליפוף המשני מוסר לעומס.

שנאי אידאלי

V₁V₂ = N₁N₂

I₁·V₁ = I₂·V₂

I₂I₁ = N₁N₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
N₁ , N₂	מספר הכריכות בליפוף הראשוני ובליפוף המשני	—
V₁ , V₂	המתח האפקטיבי על הליפוף הראשוני ועל הליפוף המשני	[V]
I₁ , I₂	הזרם האפקטיבי בליפוף הראשוני ובליפוף המשני	[A]

שנאי מעלה (N₂ > N₁): המתח בליפוף המשני גדול יותר, והזרם בו קטן יותר באותו יחס.
שנאי מוריד (N₂ < N₁): המתח בליפוף המשני קטן יותר והזרם גדול יותר — כמו במטען הטלפון.
השנאי משנה את המתח ואת הזרם, אבל אינו מייצר אנרגיה: בשנאי אידאלי ההספק נשמר.

תפיסה מוטעית נפוצה: רבים חושבים ששנאי מעלה "מגביר" את האנרגיה מפני שהוא מעלה את המתח. למעשה השנאי מחליף מתח בזרם: כאשר המתח עולה, הזרם קטן באותו יחס, וההספק אינו גדל לעולם. בשנאי אידאלי I₁·V₁ = I₂·V₂, ובשנאי אמיתי הספק הליפוף המשני אף קטן מהספק הליפוף הראשוני בגלל ההפסדים.

שימו לב: שנאי אינו פועל בזרם ישר: זרם קבוע בליפוף הראשוני יוצר שטף קבוע, ושטף קבוע אינו משרה כא"מ בליפוף המשני.

הערה: שנאים אמיתיים קרובים לאידאליים: הנצילות של שנאים גדולים גבוהה מ-0.98. ההפסדים העיקריים הם חימום התילים, וזרמי הערבולת הנוצרים בליבת הברזל עצמה בגלל השטף המתחלף. כדי להקטין אותם בונים את הליבה מפחי ברזל דקים המבודדים זה מזה, במקום גוש ברזל שלם.

דוגמה 6.17

בליפוף הראשוני של שנאי אידאלי 1200 כריכות ובליפוף המשני שלו 60 כריכות, והשנאי מחובר לרשת (230 V). לליפוף המשני מחובר נגד 4.6 Ω. נחשב את המתח על הליפוף המשני, את הזרם בעומס, את ההספק ואת הזרם בליפוף הראשוני.

פתרון:

V₂ = V₁·N₂N₁ = 230 · 601200 = 11.5 V

I₂ = V₂R = 11.54.6 = 2.5 A

P = V₂·I₂ = 11.5 · 2.5 = 28.75 W

ההספק נשמר בשנאי אידאלי:

I₁ = PV₁ = 28.75230 = 0.125 A

נבדוק בעזרת יחס הכריכות: I₁ = I₂·N₂N₁ = 2.5 · 601200 = 0.125 A.

V₂ = 11.5 V , I₂ = 2.5 A , I₁ = 0.125 A

דוגמה 6.18

מטען טלפון מכיל שנאי מוריד המספק 5 V (אפקטיבי) מן הרשת. בליפוף הראשוני 2300 כריכות. נחשב את מספר הכריכות בליפוף המשני, ואת הזרם מן הרשת כאשר המטען מספק זרם 2 A (נניח שהשנאי אידאלי).

פתרון:

N₂ = N₁·V₂V₁ = 2300 · 5230 = 50

I₁ = V₂·I₂V₁ = 5 · 2230 = 0.0435 A

הזרם בליפוף הראשוני קטן פי 46 מן הזרם בליפוף המשני — באותו יחס כמו יחס הכריכות.

N₂ = 50 , I₁ = 0.0435 A

שאלה 6.11: כדי להדליק שפופרת ניאון דרוש מתח של 9200 V. בשנאי שבשימוש יש 200 כריכות בליפוף הראשוני, המחובר לרשת (230 V). חשבו את מספר הכריכות בליפוף המשני. אם הזרם בשפופרת 20 mA, מהו הזרם בליפוף הראשוני?

העברת אנרגיה:

תחנות הכוח רחוקות מן הערים, והאנרגיה החשמלית מועברת מהן בקווים שאורכם עשרות קילומטרים ויותר. לתילים יש התנגדות R_L, והזרם הזורם בהם מחמם אותם. ההספק האובד בקו — הפסדי האנרגיה — לפי חוק ג׳ול (פרק 4):

P_loss = I²·R_L

התחנה מעבירה הספק מסוים P. אם נעביר אותו במתח V, הזרם בקו I = PV, וההספק האובד:

P_loss = (PV)²·R_L = P²·R_LV²

ההספק האובד עומד ביחס הפוך לריבוע המתח: העלאת המתח פי עשרה מקטינה את הזרם פי עשרה, ומקטינה את ההפסדים פי מאה. לכן מעלים את המתח בשנאי מעלה ליד תחנת הכוח לעשרות או למאות אלפי וולטים (בישראל קווי ההולכה הראשיים פועלים במתח 161 kV ו-400 kV), ואחר כך מורידים אותו בשלבים, בשנאים מורידים ליד הצרכנים, עד 230 V. הדבר אפשרי רק בזרם חילופין, כי שנאי אינו פועל בזרם ישר — וזו אחת הסיבות העיקריות לשימוש בזרם חילופין ברשתות החשמל.

העברת אנרגיה: השנאי המעלה מעלה את המתח ומקטין את הזרם בקו ההולכה, והשנאי המוריד מחזיר את המתח לערך בטוח לצרכנים

דוגמה 6.19

תחנה מעבירה הספק של 200 kW ליישוב בקו שהתנגדותו הכוללת 5 Ω. נחשב את הזרם בקו, את ההספק האובד ואת נצילות ההעברה כאשר מתח ההעברה:
א. 2 kV
ב. 20 kV.

פתרון:

א.

I = PV = 2000002000 = 100 A

P_loss = I²·R_L = 100² · 5 = 50000 W

η = P − P_lossP = 200000 − 50000200000 = 0.75

רבע מן ההספק אובד בקו! ונוסף על כך יש על הקו מפל מתח I·R_L = 500 V.

ב.

I = 20000020000 = 10 A

P_loss = 10² · 5 = 500 W

η = 200000 − 500200000 = 0.9975

העלאת המתח פי עשרה הקטינה את ההפסדים פי 100.

P_loss = 50 kW , 500 W

שאלה 6.12: יש להעביר הספק של 100 kW בקו שהתנגדותו 2.5 Ω, כך שההספק האובד לא יעלה על אחוז אחד מן ההספק המועבר. מהו מתח ההעברה הנמוך ביותר האפשרי? מהו הזרם בקו במקרה זה?

▶ניסוי חי — הגנרטור, הערכים האפקטיביים והשנאינשנה את מספר הכריכות, את עוצמת השדה, את השטח ואת תדירות הסיבוב, ונשווה את עקומת השטף לעקומת הכא"מ; אחר כך נעבור לשנאי האידאלי ונמדוד את המתחים, את הזרמים ואת ההספקים בשני צדדיו.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_induction#gen

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_induction#gen

משוואות מקסוול (Maxwell's Equations)

באמצע המאה התשע-עשרה היו חוקי החשמל והמגנטיות ידועים כחוקים נפרדים. ג׳יימס קלרק מקסוול איחד אותם בשנת 1865 בארבע משוואות, והוסיף להן איבר חדש אחד. ארבע המשוואות האלה — משוואות מקסוול — מתארות את כל התופעות האלקטרומגנטיות שלמדנו בספר זה. נציג אותן כאן כסיכום של האלקטרומגנטיות, במילים ובלי פיתוח.

המשוואה	מה היא אומרת?	היכן פגשנו אותה?
1. חוק גאוס לשדה החשמלי	השטף החשמלי דרך משטח סגור עומד ביחס ישר למטען הכלוא בתוכו. המטענים הם המקורות של השדה החשמלי: קווי השדה מתחילים במטענים חיוביים ומסתיימים במטענים שליליים.	פרק 1: חוק גאוס
2. חוק גאוס לשדה המגנטי	השטף המגנטי דרך כל משטח סגור הוא אפס. אין קוטב מגנטי בודד, וקווי השדה המגנטי סגורים: כל קו הנכנס למשטח סגור יוצא ממנו.	פרק 5: קווי שדה מגנטי
3. חוק פארדיי	שדה מגנטי משתנה יוצר שדה חשמלי מושרה שקוויו סגורים; הכא"מ סביב לולאה שווה למינוס קצב השינוי של השטף המגנטי דרכה.	פרק 6: פרק זה
4. חוק אמפר–מקסוול	זרם חשמלי יוצר סביבו שדה מגנטי (חוק אמפר), וכך גם שדה חשמלי משתנה יוצר שדה מגנטי (התוספת של מקסוול).	פרק 5: מקורות השדה המגנטי

משוואות מקסוול בצורות שפגשנו

Φ_E = Qε₀

Φ_B = 0

ε = −ΔΦ_BΔt

ΣB_∥·Δℓ = μ₀·(I + ε₀·ΔΦ_EΔt)

סימן	משמעות	יחידת מידה
Φ_E	השטף החשמלי דרך משטח סגור	[N·m²/C]
Q	המטען הכלוא בתוך המשטח	[C]
Φ_B	השטף המגנטי (במשוואה 2 — דרך משטח סגור)	[Wb]
B_∥·Δℓ	רכיב השדה לאורך קטע קטן Δℓ של מסלול סגור, כפול אורך הקטע	[T·m]
I	הזרם העובר דרך המסלול הסגור	[A]

הערה: בספר זה איננו משתמשים בנוסחאות אלה לחישוב, ולא נדרש לפתח אותן. החשוב הוא לדעת מה אומרת כל משוואה במילים, ולשים לב לסימטריה בין שתי המשוואות האחרונות: שדה מגנטי משתנה יוצר שדה חשמלי, ושדה חשמלי משתנה יוצר שדה מגנטי.

מדוע נזקק מקסוול לאיבר החדש? נתבונן בקבל הנטען. בתילים זורם זרם, וסביבם יש שדה מגנטי. אבל בין הלוחות לא זורם זרם — הרווח מבודד. ובכל זאת המדידות מראות שגם סביב הרווח שבין הלוחות יש שדה מגנטי. מקורו הוא השדה החשמלי שבין הלוחות, הגדל בזמן הטעינה. זה האיבר שמקסוול הוסיף לחוק אמפר.

ניבוי הגלים האלקטרומגנטיים:

משתי המשוואות האחרונות הסיק מקסוול מסקנה מפתיעה: שדה חשמלי משתנה יוצר שדה מגנטי משתנה, וזה יוצר בתורו שדה חשמלי משתנה, וכן הלאה. שני השדות מקיימים זה את זה ומתקדמים יחד במרחב, גם הרחק מן המטענים ומן הזרמים שיצרו אותם. זהו הגל האלקטרומגנטי. מן המשוואות נובע:

השדה החשמלי והשדה המגנטי בגל ניצבים זה לזה, ושניהם ניצבים לכיוון ההתפשטות של הגל.
הגל אינו זקוק לתווך, והוא מתפשט בריק.
מהירות הגל בריק נקבעת רק על ידי הקבועים ε₀ ו-μ₀, ואינה תלויה בתדירות.

גל אלקטרומגנטי: השדה החשמלי (כתום) והשדה המגנטי (סגול) ניצבים זה לזה, באותה פאזה, וניצבים לכיוון ההתפשטות

מהירות הגל האלקטרומגנטי בריק

c = 1ε₀·μ₀

λ = cf

סימן	משמעות	יחידת מידה
c	מהירות הגל (מהירות האור) בריק	[m/s]
λ	אורך הגל	[m]
f	התדירות	[Hz]

דוגמה 6.20

נחשב את מהירות הגל האלקטרומגנטי בריק מן הקבועים ε₀ = 8.85·10⁻¹² C²/(N·m²) ו-μ₀ = 4π·10⁻⁷ T·m/A, ונמצא את אורך הגל של תחנת רדיו המשדרת בתדירות 100 MHz.

פתרון:

ε₀·μ₀ = 8.85·10⁻¹² · 4π·10⁻⁷ = 1.112·10⁻¹⁷ s²/m²

c = 11.112·10⁻¹⁷ = 2.999·10⁸ m/s

התוצאה היא מהירות האור הנמדדת. לשני הקבועים האלה אין קשר לאור: ε₀ נמדד מן הכוחות בין מטענים, ו-μ₀ — מן הכוחות בין זרמים. ובכל זאת יוצאת מהם בדיוק מהירות האור — וזה מה שהוביל את מקסוול למסקנה שהאור הוא גל אלקטרומגנטי.

אורך הגל של תחנת הרדיו (נשתמש ב-c = 3·10⁸ m/s):

λ = cf = 3·10⁸1·10⁸ = 3 m

c = 2.999·10⁸ m/s , λ = 3 m

בשנת 1887 הפיק היינריך הרץ גלים אלקטרומגנטיים במעבדה בעזרת מעגל חשמלי מתנודד, והוכיח שהם מתפשטים ומוחזרים כמו האור. כך אושר הניבוי של מקסוול: האור הוא גל אלקטרומגנטי, והאופטיקה היא ענף של האלקטרומגנטיות. כיום אנו מכירים משפחה שלמה של גלים אלקטרומגנטיים, הנבדלים זה מזה בתדירות ובאורך הגל, וכולם מתפשטים בריק באותה מהירות c:

סוג הגל	אורך הגל המשוער	דוגמה לשימוש
גלי רדיו	λ > 1 m	שידורי רדיו וטלוויזיה
מיקרוגלים	1 mm – 1 m	טלפון סלולרי, רשת אלחוטית, תנור מיקרוגל
קרינה תת-אדומה	700 nm – 1 mm	שלט רחוק, מצלמה תרמית
אור נראה	400 nm – 700 nm	ראייה
קרינה על-סגולה	10 nm – 400 nm	חיטוי
קרני רנטגן	0.01 nm – 10 nm	הדמיה רפואית
קרני גמא	λ < 0.01 nm	טיפול בגידולים

שאלה 6.13: איזו ממשוואות מקסוול מבטאת כל אחת מן העובדות הבאות?
א. אי אפשר להפריד את הקוטב הצפוני של מגנט מן הקוטב הדרומי שלו.
ב. מגנט הנע ליד לולאה יוצר בה זרם.
ג. קווי השדה החשמלי מתחילים במטענים חיוביים.
ד. בין הלוחות של קבל הנטען נוצר שדה מגנטי.

שאלה 6.14: רשת אינטרנט אלחוטית פועלת בתדירות 2.4 GHz. חשבו את אורך הגל.

▶ניסוי חי — משוואות מקסוול והגל האלקטרומגנטינסקור את ארבע המשוואות אחת אחת, ונצפה בגל אלקטרומגנטי שבו שני השדות הניצבים מתקדמים יחד; נשנה את התדירות ונראה שאורך הגל משתנה, בעוד שהמהירות c נשארת קבועה.

⚠

https://fahed-lab.com/physics/em_induction#maxwell

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/physics/em_induction#maxwell

עיקרי הדברים:

כוח לורנץ על המטענים החופשיים במוליך הנע בשדה מגנטי מפריד את המטענים בין קצותיו, וכך נוצר כא"מ מושרה.
השטף המגנטי מודד את "כמות קווי השדה" העוברת דרך משטח, והזווית בהגדרתו נמדדת מן האנך למשטח — לא מן המשטח עצמו.
לפי חוק פארדיי, הכא"מ המושרה תלוי בקצב השינוי של השטף, ולא בגודל השטף: בגרף השטף הוא נקרא מן השיפוע.
לפי חוק לנץ, הזרם המושרה מתנגד לשינוי בשטף — לא לשדה עצמו — ולכן הכוח המגנטי הנוצר מתנגד תמיד לתנועה.
חוק לנץ הוא צורה של חוק שימור האנרגיה: העבודה הנעשית נגד הכוח הבולם היא המקור לאנרגיה החשמלית המושרה.
הגנרטור הופך אנרגיה קינטית לאנרגיה חשמלית בסיבוב סליל בשדה מגנטי, והכא"מ המתקבל סינוסי — זרם חילופין.
הערך האפקטיבי של זרם חילופין הוא עוצמת הזרם הישר הנותן את אותו הספק ממוצע, והוא קטן מן הערך המרבי.
השנאי מחליף מתח בזרם לפי יחס מספרי הכריכות ואינו מגדיל את ההספק; והולכה במתח גבוה מקטינה את הפסדי הקו, כי הם עומדים ביחס ישר לריבוע הזרם.

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
הכא"מ במוט נע	ε = B·ℓ·v
שטף מגנטי	Φ = B·A·cos θ
חוק פארדיי	ε = −N·ΔΦΔt
לולאה נייחת בשדה משתנה	ε = −N·A·ΔBΔt
המטען שעובר בסליל	Δq = N·ΔΦR
הכוח הבולם על מוט על מסילות	F_B = B·I·ℓ = B²·ℓ²·vR
מהירות סופית תחת כוח קבוע	v_t = F·RB²·ℓ²
מאזן ההספקים	F·v = I²·R
הכא"מ בגנרטור	ε = N·B·A·ω·sin(ω·t)
הערך המרבי בגנרטור	ε_max = N·B·A·ω
מתח אפקטיבי	V_eff = V₀2
זרם אפקטיבי	I_eff = I₀2
הספק ממוצע	P_avg = V_eff·I_eff
שנאי אידאלי — המתחים	V₁V₂ = N₁N₂
שנאי אידאלי — ההספק	I₁·V₁ = I₂·V₂
ההפסדים בקו ההולכה	P_loss = P²·R_LV²
מהירות הגל האלקטרומגנטי	c = 1ε₀·μ₀

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
השראה אלקטרומגנטית	Electromagnetic induction	الحثّ الكهرومغناطيسي
כא"מ מושרה	Induced EMF	القوّة الدافعة الكهربائية المستحثة
זרם מושרה	Induced current	التيار المستحث
שדה חשמלי מושרה	Induced electric field	الحقل الكهربائي المستحث
שטף מגנטי	Magnetic flux	التدفّق المغناطيسي
ובר	Weber (Wb)	ويبر
האנך למשטח	Normal to the surface	العمود على السطح
חוק פארדיי	Faraday's law	قانون فاراداي
חוק לנץ	Lenz's law	قانون لينز
לולאה מוליכה	Conducting loop	حلقة موصِلة
מספר כריכות	Number of turns	عدد اللفّات
גלוונומטר	Galvanometer	الغلفانومتر
כוח בולם	Braking force	قوّة الكبح
מהירות סופית	Terminal velocity	السرعة الحدّية
זרמי ערבולת	Eddy currents	التيارات الدوّامية
גנרטור	Generator	المولّد
זרם חילופין	Alternating current (AC)	التيار المتناوب
טבעות החלקה	Slip rings	حلقتا الانزلاق
ערך מרבי	Peak value	القيمة العظمى
ערך אפקטיבי	Effective (RMS) value	القيمة الفعّالة
הספק ממוצע	Average power	القدرة المتوسّطة
שנאי	Transformer	المحوّل
ליפוף ראשוני	Primary coil	الملفّ الابتدائي
ליפוף משני	Secondary coil	الملفّ الثانوي
ליבת ברזל	Iron core	القلب الحديدي
העברת אנרגיה	Power transmission	نقل الطاقة
הפסדי אנרגיה	Energy losses	فواقد الطاقة
משוואות מקסוול	Maxwell's equations	معادلات ماكسويل
גל אלקטרומגנטי	Electromagnetic wave	الموجة الكهرومغناطيسية

תרגילים מותאמים לסעיפי הפרק:

(לסעיף 6.1) מוט שאורכו 25 cm נע שמאלה במהירות 6 m/s בשדה אחיד שעוצמתו 0.4 T המכוון אל מחוץ לדף (הסרטוט). חשבו את הכא"מ המושרה בין קצותיו ואת עוצמת השדה החשמלי בתוכו. לאיזה קצה פוטנציאל גבוה יותר?

תשובות: ε = 0.6 V, E = 2.4 V/m; הפוטנציאל של הקצה העליון גבוה יותר

(לסעיף 6.1) לולאה ריבועית שאורך צלעה 30 cm נמצאת בשדה אחיד שעוצמתו 0.5 T. חשבו את השטף דרכה כאשר השדה:
א. ניצב למישורה.
ב. יוצר זווית 30° עם מישורה.
ג. מקביל למישורה.

תשובות: א. 0.045 Wb ב. 0.0225 Wb ג. 0

(לסעיף 6.1) סליל בן 50 כריכות, ששטח כל כריכה בו 0.01 m², נמצא בשדה אחיד שעוצמתו 0.6 T. מסובבים את הסליל במשך 0.05 s ממצב שבו מישורו ניצב לשדה למצב שבו הוא מקביל לו. חשבו את הכא"מ הממוצע.

תשובות: ε_avg = 6 V

(לסעיף 6.1) הקוטב הדרומי של מגנט פונה אל לולאה מוליכה, והמגנט מתרחק ממנה (הסרטוט). קבעו בעזרת שרשרת לנץ את כיוון הזרם המושרה במבט מצד המגנט, ואת הקוטב הנוצר בפאה של הלולאה הקרובה אל המגנט. האם הלולאה מושכת את המגנט או דוחה אותו?

תשובות: הזרם נגד כיוון השעון; הפאה הקרובה היא קוטב צפוני; הלולאה מושכת את המגנט

(לסעיף 6.2) תנור חימום שהספקו 1150 W מחובר לרשת (230 V). חשבו את הזרם האפקטיבי, את התנגדות התנור ואת הערך המרבי של הזרם.

תשובות: I_eff = 5 A, R = 46 Ω, I₀ = 7.07 A

(לסעיף 6.2) שנאי אידאלי: 2300 כריכות בליפוף הראשוני ו-120 בליפוף המשני, והליפוף הראשוני מחובר למתח 230 V. הזרם בליפוף הראשוני 0.2 A. חשבו את המתח על הליפוף המשני, את ההספק ואת הזרם בליפוף המשני.

תשובות: V₂ = 12 V, P = 46 W, I₂ = 3.83 A

(לסעיף 6.4) תחנת רדיו משדרת בתדירות 1.5 MHz. חשבו את אורך הגל. אילו שתיים ממשוואות מקסוול מסבירות יחד את קיומו של גל זה?

תשובות: λ = 200 m; חוק פארדיי וחוק אמפר–מקסוול

תרגילי סיכום:

סליל בן 300 כריכות, ששטח כל כריכה בו 40 cm², ומישורו ניצב לשדה אחיד הקטן באופן אחיד מ-0.8 T ל-0.2 T במשך 0.12 s. התנגדות הסליל 12 Ω, וקצותיו מחוברים. חשבו את הכא"מ, את הזרם ואת המטען שעבר.

תשובות: ε = 6 V, I = 0.5 A, Δq = 0.06 C

הגרף מתאר את השטף דרך כל כריכה בסליל בן 40 כריכות. חשבו את הכא"מ בשלושת פרקי הזמן, ושרטטו אותו כפונקציה של הזמן.

תשובות: ε₁ = −0.8 V, ε₂ = 0, ε₃ = +1.6 V

בתיל ישר ארוך, הנמצא במישור הדף, זורם זרם כלפי מעלה, ומימינו לולאה מלבנית (הסרטוט). הזרם בתיל קטן. מהו כיוון הזרם המושרה בלולאה?

תשובות: השדה מימין לתיל מכוון אל תוך הדף, והוא קטן; הזרם המושרה עם כיוון השעון

מוט שאורכו 0.5 m נמשך במהירות קבועה 3 m/s ימינה על שתי מסילות המחוברות לנגד 4 Ω, בשדה 0.8 T המכוון אל מחוץ לדף. חשבו את הכא"מ, את הזרם, את הכוח החיצוני ואת ההספק. מהו כיוון הזרם במוט?

תשובות: ε = 1.2 V, I = 0.3 A, F = 0.12 N, P = 0.36 W; הזרם במוט כלפי מטה (עם כיוון השעון)

גנרטור בן 80 כריכות, ששטח כל כריכה בו 0.025 m², מסתובב בתדירות 60 Hz בשדה 0.25 T. חשבו את הערך המרבי ואת הערך האפקטיבי של הכא"מ, וכתבו את ε(t).

תשובות: ε_max = 188.5 V, ε_eff = 133.3 V, ε = 188.5·sin(377·t)

מעבירים הספק של 500 kW בקו שהתנגדותו 8 Ω. חשבו את ההספק האובד כאשר מתח ההעברה 25 kV, וכאשר הוא 5 kV.

תשובות: במתח 25 kV: I = 20 A, P_loss = 3.2 kW; במתח 5 kV: I = 100 A, P_loss = 80 kW

תרגילי העמקה:

(*) מוט אופקי שמסתו 10 g ואורכו 20 cm מחליק ללא חיכוך על שתי מסילות אנכיות המחוברות מלמעלה לנגד 0.1 Ω, בשדה אחיד 0.5 T המכוון אל תוך הדף (הסרטוט). נשחרר את המוט, והוא נופל. חשבו את מהירותו הסופית ואת הזרם במצב זה. מהו כיוון הזרם במוט?

תשובות: v_t = 1 m/s, I = 1 A; הזרם במוט ימינה (נגד כיוון השעון), והכוח המגנטי עליו מכוון כלפי מעלה

(*) מוט שמסתו 100 g ואורכו 0.5 m מונח על שתי מסילות אופקיות המחוברות משמאל לנגד 0.4 Ω, בשדה אחיד שעוצמתו 0.8 T המכוון אל תוך הדף. דוחפים את המוט דחיפה קצרה, והוא מתחיל לנוע במהירות 2 m/s והולך ומתרחק מן הנגד; אחר כך עוזבים אותו לנפשו (ללא חיכוך וללא כוח חיצוני).
א. הסבירו מדוע המוט מאט עד שהוא נעצר, וקבעו את כיוון הזרם המושרה בזמן התנועה.
ב. מהי כמות החום הכוללת שנוצרת בנגד עד שהמוט נעצר?
ג. חשבו את המטען הכולל שעבר במעגל. (הדרכה: השינוי בתנע של המוט שווה לסכום B·ℓ·I·Δt, כלומר ל-B·ℓ·Δq.)
ד. מה המרחק שעבר המוט עד שנעצר?

תשובות: א. הכוח הבולם B·I·ℓ מתנגד לתנועה; הזרם נגד כיוון השעון ב. Q = E_k = 0.2 J ג. Δq = m·v₀B·ℓ = 0.5 C ד. Δx = Δq·RB·ℓ = 0.5 m

(*) גנרטור קטן בטורבינת רוח מספק הספק של 40 kW במתח אפקטיבי 400 V. האנרגיה מועברת ליישוב בקו שהתנגדותו הכוללת 10 Ω.
א. ליד הגנרטור מעלים את המתח בשנאי אידאלי שיחס הכריכות שלו 1:50. חשבו את המתח ואת הזרם בקו ההולכה.
ב. חשבו את ההספק האובד בקו ואת נצילות ההעברה.
ג. חשבו את ההספק שהיה אובד אילו הועברה האנרגיה ישירות במתח 400 V, והראו מדוע העברה כזו אינה אפשרית למעשה.
ד. מדוע השיטה אינה מתאימה אם הגנרטור מספק זרם ישר?

תשובות: א. V = 20 kV, I = 2 A ב. P_loss = 40 W, η = 0.999 ג. 100 kW — יותר מכל ההספק המועבר, ולכן לא מגיע ליישוב הספק כלל ד. שנאי אינו פועל בזרם ישר: שטף קבוע אינו משרה כא"מ בליפוף המשני

תשובות סופיות לשאלות הפרק

6.1 v = 0.75 m/s; הפוטנציאל של הקצה D גבוה יותר

6.2 ε = 0.4 V; הכניסה 0.05 s, בתוך השדה 0.075 s, היציאה 0.05 s

6.3 θ = 60°, Φ = 7.85·10⁻⁴ Wb

6.4 ε = 12 V

6.5 ΔB = −0.4 T, גודל הכא"מ 0.8 V

6.6 א. מנוגד לכיוון הזרם בכריכות הסילונית (השדה המושרה מתנגד לגידול השטף) ב. שני זרמים מנוגדים דוחים זה את זה ג. לא: כאשר הזרם מתייצב, השטף מתייצב, הזרם המושרה דועך והטבעת נופלת

6.7 הזרם נגד כיוון השעון; הכוח שמאלה — מתנגד לתנועה

6.8 I = 0.12 A, F = 0.036 N, Q = 0.72 J

6.9 f = 25 Hz, ε_max = 125.7 V

6.10 I_eff = 0.261 A, I₀ = 0.369 A, R = 882 Ω

6.11 N₂ = 8000, I₁ = 0.8 A

6.12 I = 20 A, V = 5000 V

6.13 א. חוק גאוס לשדה המגנטי ב. חוק פארדיי ג. חוק גאוס לשדה החשמלי ד. חוק אמפר–מקסוול

6.14 λ = 0.125 m = 12.5 cm

שאלות בגרות לפרק 6

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך בפיזיקה, שאלון האלקטרומגנטיות (36371). מתחת לכל שאלה טבלת הסעיפים והתשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, עם סימולציה חיה של השאלה, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 6 — מוט מוליך על מסילה — משיווי משקל מגנטי אל השראה ומהירות קבועה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	כיוון השדה המגנטי	בפתרון המלא
ב	מסת המשקולת	בפתרון המלא
ג	התהליך שגורם לזרם בנורה	בפתרון המלא
ד	המהירות הקבועה	בפתרון המלא
ה	כיוון הזרם המושרה במוט	בפתרון המלא

הפתרון המלא לבחינת 2026 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2025 שאלה 6 — טבעת מוליכה סביב סילונית — שטף משתנה, הפרש מופע וכא״מ מושרה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	האם הנורה דולקת	הטענה שגויה · הנורה דולקת, כי הכא״מ המושרה נקבע על ידי השטף דרך שטח הטבעת ולא על ידי השדה במקום המוליך
ב	הגרף המתאר את הזרם המושרה	הגרף של מינוס קוסינוס — המתחיל בערך השלילי המרבי ועולה
ג	פיתוח הביטוי לכא״מ המרבי	ε₂,max = 0.12 V
ד	מספר הכריכות הדרוש בטבעת	25 כריכות
ה	מדוע הגדלת רדיוס הסילונית אינה עוזרת	הטענה אינה נכונה · כשהטבעת בתוך הסילונית השטף נקבע לפי שטח הטבעת, והביטוי אינו תלוי כלל ברדיוס הסילונית — התקרה היא 0.17 V

הפתרון המלא לבחינת 2025 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2023 שאלה 6 — מסגרת ריבועית בשדה משתנה — שטף, כא״מ מושרה, כיוון הזרם וכמות המטען

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	שטף, כא״מ וזרם בשלושת הפרקים	פרקים I ו-III · Φ = 0.0225 Wb, ε = 0, I = 0 · פרק II · Φ = −0.25t² + 0.3t − 0.0275, ε = 0.5t − 0.3, I = 0.25t − 0.15
ב	כיוון הזרם ברגע 0.3 שניות	הזרם זורם נגד כיוון השעון
ג	גרף הזרם והערך החיובי המרבי	הזרם עם כיוון השעון בין 0.6 ל-1.0 שניות · הערך החיובי המרבי הוא 0.10 A ברגע 1.0 שניות
ד	כמות המטען שעברה בתיל	q = 0.02 C בשני הפרקים · הכמויות שוות
ה	מתי הכוחות מרחיבים את המסגרת	אפשרות 3 · בפרק שבין 0.8 ל-1.0 שניות

הפתרון המלא לבחינת 2023 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2022 שאלה 6 — השראה אלקטרומגנטית — משולש מוליך בשדה משתנה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	כיוון השדה המושרה	השדה המגנטי המושרה בתוך המשולש יוצא ממישור הדף
ב	כיוון השדה החיצוני	השדה המגנטי האחיד נכנס אל תוך מישור הדף
ג	הזרם המושרה בשלושת פרקי הזמן	I(1) = 0.833 A מ-L ל-M · I(2) = 0 · I(3) = 0.278 A מ-L ל-M
ד	ההספק ברגע t = 20 ms	P ≈ 9.26·10⁻² W
ה	המשולש היוצא מן השדה	עוצמת הזרם משתנה · היא גדלה באופן לינארי, מפני שאורך המקטע החוצה את גבול השדה גדל לינארית
ו	שתי הלולאות סביב אותו אזור שדה	הטענה שגויה · אזור השדה מוכל כולו בשתי הלולאות, השטף זהה ולכן הכא״מ המושרה זהה

הפתרון המלא לבחינת 2022 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2021 שאלה 6 — השראה · טבעת מאיצה בשדה מגנטי שמשתנה במרחב

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	יחידות הקבוע K	היחידות של K הן טסלה למטר, T/m
ב	מדוע זורם זרם בטבעת	הטבעת נעה אל אזור שבו השדה חלש יותר, ולכן השטף דרכה משתנה בזמן · לפי חוק פארדיי נוצר כא״מ מושרה, ובמוליך סגור הוא מניע זרם
ג	השטף כפונקציה של הזמן	Φ(t) = A·B₀ₓ − ½·A·K·a·t²
ד	הזרם כפונקציה של הזמן	I(t) = (A·K·a חלקי R) · t — כשבר, כמוצג לעיל
ה	חישוב שטח הטבעת	A = 2·10⁻³ m² = 20 cm²
ו	כיוון הזרם בטבעת	הזרם זורם נגד כיוון השעון

הפתרון המלא לבחינת 2021 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2020 שאלה 6 — מסגרת ריבועית בשדה מגנטי משתנה

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	התנגדות התיל	R = 10.8 אוהם
ב	מדוע עובר זרם ובאיזה רגע הוא גדול יותר	ב1 — השטף דרך המסגרת משתנה בזמן, ולכן לפי חוק פארדיי נוצר בה כא״מ מושרה, והמסגרת מוליכה וסגורה ולכן זורם בה זרם · ב2 — עוצמת הזרם גדולה יותר ברגע t = 0.5s , שם 0.0375 אמפר מול 0.0075 אמפר
ג	כיוון הזרם במסגרת	הזרם זורם עם כיוון השעון לאורך כל שלוש השניות — השטף היוצא מן הדף גדל, ולכן לפי לנץ הזרם יוצר שדה נכנס אל הדף
ד	עוצמת הזרם ברגע t = 2.0s	I = 0.015 אמפר, כלומר 15 מיליאמפר
ה	הזרם כאשר המסגרת נטויה	עוצמת הזרם קטֵנה ממה שחושב בסעיף ד — השטף קטן בגורם cos(α) , ולכן גם הכא״מ וגם הזרם קטנים באותו גורם

הפתרון המלא לבחינת 2020 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

בגרות 2019 שאלה 6 — מגנט נופל דרך כריכה מוליכה · חוק פארדיי, חוק לנץ ושטח מתחת לגרף

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
א	מדוע נוצר מתח בין קצות הנגד	תנועת המגנט משנה את השטף המגנטי דרך הכריכה, ולפי חוק פארדיי נוצר כא״מ מושרה שמניע זרם דרך הנגד
ב	כיוון השדה המושרה בהתקרבות	השדה המגנטי המושרה בתוך הכריכה מצביע כלפי מעלה, כלומר בכיוון הפוך לשדה המגנט
ג	מדוע המתח משתנה משלילי לחיובי	בהתקרבות השטף גדל ובהתרחקות הוא קטן, ולכן הסימן של קצב שינוי השטף מתהפך — ואיתו סימן המתח
ד	מדוע השיא ביציאה גדול מן השיא בכניסה	המגנט מאיץ בנפילה חופשית, ולכן ביציאה מהירותו גדולה יותר, קצב שינוי השטף גדול יותר והמתח המושרה גדול יותר
ה	הצגת שטף מגנטי ביחידות וולט כפול שנייה	ΔΦ = ε·Δt, ולכן יחידת השטף היא וולט כפול שנייה — וזהו הוובר
ו	השינוי בשטף במהלך 0.15 השניות הראשונות	\|ΔΦ\| ≈ 1.5·10⁻⁴ עד 1.6·10⁻⁴ V·s , כלומר כ-0.16 מיליוובר

הפתרון המלא לבחינת 2019 באתר המחבר: fahed-lab.com/physics

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 7 — נוסחאון הספר.