الفصل 7

الدائرة المكافئة وعمل المحرّك الحثّي

סכימת התמורה והפעולה של מנוע השראה

الصف الثاني عشر · 12 ساعات تعليمية

في الفصل السابق تعرّفنا على مبنى الآلة الحثّية وعلى مبدأ عملها: الحقل المغناطيسي الدوّار يستحثّ تيارات في الروتور، فينشأ عزم يدير المحرّك بسرعة أقلّ قليلا من السرعة التزامنية. في هذا الفصل نصف المحرّك بدائرة مكافئة تشبه دائرة المحوّل، ونحسب بها مقادير الروتور، ونتابع القدرة من الشبكة حتى المحور، ثم ندرس المنحنى المميّز الميكانيكي ونقاطه المهمة: عزم الإقلاع، العزم الأقصى والعزم الاسمي.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

المحرّك الحثّي يشبه محوّلا ملفّه الثانوي يدور، ونرسم دائرته المكافئة لكل طور.
المقاومة R'₂·1 − ss في الدائرة المكافئة تمثّل القدرة الميكانيكية للمحرّك.
نحسب تردّد تيارات الروتور f₂ = f₁·s ، القوّة الدافعة الكهربائية E_2sph = E_20ph·s وتيار الروتور.
نفسّر لماذا يكون تيار الإقلاع كبيرا ومعامل القدرة عند الإقلاع صغيرا.
نصف عمل المحرّك في اللاحمل وتحت الحمل، ونرسم مخطّط تدفّق القدرة ونحسب منه الخسائر، العزم والكفاءة.
نرسم المنحنى المميّز الميكانيكي M = f(n₂) و M = f(s) ، ونحدّد عليه M_st ، M_k ، s_k ، M_n ومنطقة العمل المستقرّة.
نحسب العزم الاسمي، العزم الأقصى والانزلاق الحرج، ونستعمل التقريب الخطّي قرب نقطة العمل.

סכימת התמורה של מכונת השראה – الدائرة المكافئة للآلة الحثّية (Equivalent Circuit)

المحرّك الحثّي: محوّل ملفّه الثانوي يدور – מנוע השראה כשנאי בעל משני מסתובב:

نتذكّر كيف يعمل المحرّك الحثّي: ملفّات الستاتور موصولة بالشبكة وتُنتج حقلا مغناطيسيا دوّارا. هذا الحقل يقطع موصلات الروتور ويستحثّ فيها قوّة دافعة كهربائية، وبما أن دائرة الروتور مغلقة يمرّ فيها تيار. هذه بالضبط طريقة عمل المحوّل: الطاقة تنتقل من الملفّ الابتدائي إلى الملفّ الثانوي بواسطة الفيض المغناطيسي المشترك، بدون اتصال كهربائي بينهما. ملفّات الستاتور هي «الملفّ الابتدائي»، وملفّات الروتور هي «الملفّ الثانوي».

عندما يكون الروتور ساكنا، أي في لحظة الإقلاع، يكون المحرّك الحثّي محوّلا عاديا ملفّه الثانوي مقصور:

الروتور الساكن: محوّل ملفّه الثانوي (الروتور) مقصور بواسطة مقاومته R₂ ومفاعلته X₂₀

ملاحظة: يختلف المحرّك عن المحوّل في أمرين: الفجوة الهوائية تجعل تيار المغنطة في المحرّك أكبر بكثير منه في المحوّل، ودوران الروتور يجعل التردّد والقوّة الدافعة الكهربائية في الروتور يتعلّقان بالانزلاق.

دائرة الروتور عند انزلاق s – מעגל הרוטור בחליקה s:

عندما يدور الروتور بسرعة n₂ تكون سرعة الحقل بالنسبة إليه n₁ − n₂ فقط. لذلك يقطع الحقل موصلات الروتور ببطء أكبر، وتتغيّر ثلاثة مقادير في الروتور بنسبة الانزلاق s (الحسابات في البند التالي):

التردّد: f₂ = f₁·s.
القوّة الدافعة الكهربائية: E_2sph = E_20ph·s ، حيث E_20ph هي القوّة الدافعة الكهربائية عندما يكون الروتور ساكنا.
المفاعلة الحثية: X_2s = 2π·f₂·L₂ = X₂₀·s ، حيث X₂₀ هي المفاعلة عند التردّد f₁.

أمّا المقاومة R₂ فلا تتعلّق بالتردّد وتبقى ثابتة. نكتب تيار الروتور حسب قانون أوم، ثم نقسم البسط والمقام على s :

I_2ph = E_2sphR₂² + X_2s² = E_20ph·sR₂² + (X₂₀·s)²

I_2ph = E_20ph(R₂s)² + X₂₀²

النتيجة الثانية مهمة جدا: نحصل على نفس التيار إذا تخيّلنا روتورا ساكنا ، تردّده f₁ ، قوّته الدافعة E_20ph ومفاعلته X₂₀ ، لكن مقاومته R₂s بدل R₂ :

الروتور الحقيقي: التردّد، القوّة الدافعة والمفاعلة تتعلّق بالانزلاق

دائرة مكافئة له: التردّد f₁ ، وكل التعلّق بالانزلاق انتقل إلى المقاومة R₂s

بهذه الخطوة «أوقفنا» الروتور: صار المحرّك محوّلا ساكنا حمله مقاومة متغيّرة R₂s ، ونستطيع وصله بدائرة الستاتور كما في المحوّل.

الدائرة المكافئة لكل طور – סכימת התמורה למופע:

الدائرة المكافئة للمحرّك الحثّي (סכימת התמורה): هي دائرة كهربائية لطور واحد من المحرّك، تتصرّف من ناحية الشبكة تماما مثل المحرّك: تسحب نفس التيار بنفس معامل القدرة وتستهلك نفس القدرة. تسمى أيضا «دائرة التمثيل». نحلّها لطور واحد، ثم نضرب القدرات في 3.

الدائرة المكافئة لطور واحد من المحرّك الحثّي. اليسار: الستاتور وفرع المغنطة؛ اليمين: الروتور منسوبا إلى الستاتور

الرمز	المعنى
R₁ ، X₁	مقاومة طور الستاتور ومفاعلته الحثية. في R₁ تضيع خسارة النحاس في الستاتور ΔP_Cu1
R₀ ، X₀	فرع المغنطة: في R₀ تضيع خسارة الحديد ΔP_Fe ، و X₀ تسحب تيار المغنطة اللازم لإنتاج الحقل الدوّار
X'₂₀	المفاعلة الحثية للروتور الساكن، منسوبة إلى الستاتور
R'₂s	مقاومة الروتور مقسومة على الانزلاق، منسوبة. تمثّل خسارة النحاس في الروتور مع القدرة الميكانيكية

ملاحظة: الشرطة (′) تعني أن القيمة منسوبة إلى الستاتور، تماما كما نسبنا قيم الملفّ الثانوي إلى الملفّ الابتدائي في المحوّل. جهد الدائرة هو جهد الطور: في ربط النجمة U_1ph = U_L3 ، وفي ربط المثلث U_1ph = U_L. بسبب الفجوة الهوائية تكون X₀ صغيرة نسبيا، ولذلك يكون تيار اللاحمل في المحرّك كبيرا: قيمة نموذجية 25 إلى 50 بالمئة من التيار الاسمي، مقابل بضعة بالمئة فقط في المحوّل.

فصل المقاومة R′₂/s: الخسائر والقدرة الميكانيكية – פיצול ההתנגדות R′₂/s:

المقاومة R'₂s ليست عنصرا واحدا حقيقيا. نكتبها كمجموع مقاومتين:

R'₂s = R'₂ + R'₂·1 − ss

المقاومة الأولى R'₂ هي المقاومة الحقيقية للروتور، وفيها تتحوّل القدرة إلى حرارة: خسارة النحاس في الروتور. المقاومة الثانية «وهمية»: القدرة فيها تساوي القدرة الميكانيكية التي يسلّمها المحرّك إلى الحمل.

القدرة المنقولة إلى الروتور (הספק המעבר): هي القدرة التي تنتقل من الستاتور إلى الروتور عبر الفجوة الهوائية، بواسطة الحقل الدوّار. رمزها P_em ، وتسمى أيضا «القدرة الكهرومغناطيسية» (הספק אלקטרומגנטי).

في الدائرة المكافئة هي القدرة في المقاومة R'₂s ، لثلاثة أطوار. نقسمها بين المقاومتين:

القدرات في الروتور · הספק המעבר, הפסדי נחושת ברוטור, הספק מכני

P_em = 3·I'_2ph²·R'₂s

ΔP_Cu2 = 3·I'_2ph²·R'₂ = s·P_em

P_mech = 3·I'_2ph²·R'₂·1 − ss = P_em·(1 − s)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
P_em	القدرة المنقولة إلى الروتور	[W]
ΔP_Cu2	خسارة النحاس في الروتور	[W]
P_mech	القدرة الميكانيكية التي يُنتجها المحرّك	[W]
I'_2ph	تيار الروتور في كل طور (منسوبا)	[A]

نستنتج قاعدة بسيطة ومهمة: القدرة المنقولة إلى الروتور تنقسم بنسبة الانزلاق. الجزء s يصبح حرارة في الروتور، والجزء (1 − s) يصبح قدرة ميكانيكية. لذلك يعمل المحرّك بكفاءة جيدة فقط عندما يكون الانزلاق صغيرا.

مثال 7.1

في الدائرة المكافئة لمحرّك حثّي: R'₂ = 0.5 Ω ، والمحرّك يعمل بانزلاق s = 0.04. تيار الروتور المنسوب I'_2ph = 10 A في كل طور. نحسب:
أ. المقاومة R'₂s ومقاومة الحمل الميكانيكي.
ب. P_em ، ΔP_Cu2 و P_mech.

الحل:

أ. R'₂s = 0.50.04 = 12.5 Ω ، ومنها مقاومة الحمل الميكانيكي R'₂·1 − ss = 12.5 − 0.5 = 12 Ω.

ب. القدرة المنقولة لثلاثة أطوار، ثم تقسيمها بنسبة الانزلاق:

P_em = 3·I'_2ph²·R'₂s = 3 · 10² · 12.5 = 3750 W

ΔP_Cu2 = s·P_em = 0.04 · 3750 = 150 W

P_mech = P_em·(1 − s) = 3750 · 0.96 = 3600 W

P_mech = 3600 W

سؤال 7.1: متى تساوي المقاومة R'₂·1 − ss صفرا، ومتى تكون كبيرة جدا؟ ماذا يعني كل واحد من الحالتين؟

תדירות זרמי הרוטור, כא״מ מושרה ברוטור, זרם ברוטור – تردّد تيارات الروتور، القوّة الدافعة الكهربائية والتيار في الروتور (Rotor Frequency, EMF and Current)

تردّد تيارات الروتور والقوّة الدافعة الكهربائية فيه – תדירות זרמי הרוטור וכא״מ מושרה:

كل موصل في الروتور «يرى» الأقطاب تمرّ بجانبه بالسرعة النسبية n₁ − n₂ ، وكل زوج أقطاب يُنتج فيه دورة كاملة للقوّة الدافعة المستحثّة. لذلك تردّد تيارات الروتور هو f₂ = p·(n₁ − n₂)60 = f₁·s. في المحوّل تعلّمنا أن E = 4.44·f·N·Φ_max. في الروتور الساكن يكون التردّد f₁ فنحصل على E_20ph ، وعندما يدور يبقى الفيض Φ_max تقريبا كما هو، لكن التردّد يصبح f₂ :

تردّد تيارات الروتور والقوّة الدافعة الكهربائية فيه · תדירות זרמי הרוטור, כא״מ מושרה ברוטור

f₂ = f₁·s

E_20ph = 4.44·f₁·N₂·Φ_max·K₂

E_2sph = 4.44·f₂·N₂·Φ_max·K₂ = E_20ph·s

الرمز	المعنى	وحدة القياس
f₂ , f₁	تردّد تيارات الروتور، وتردّد الشبكة	[Hz]
E_2sph	القوّة الدافعة الكهربائية المستحثّة في طور الروتور عند الانزلاق s	[V]
E_20ph	القوّة الدافعة الكهربائية في طور الروتور عندما يكون ساكنا (s = 1) ، أو دائرته مفتوحة	[V]
N₂ , K₂	عدد لفّات طور الروتور، ومعامل اللفّ للروتور	—
s	الانزلاق	—

ملاحظة: معامل اللفّ K (מקדם הליפוף) يأخذ بالحسبان أن لفّات الطور موزّعة في عدّة مجارٍ، فلا تكون قواها الدافعة في نفس الطور تماما. في الستاتور: E_1ph = 4.44·f₁·N₁·Φ_max·K₁ ، حيث K₁ ≈ 0.98 ؛ وفي الروتور K₂ بين 0.97 و 0.98. في المحوّل لا يوجد هذا المعامل، لأن كل لفّات الملفّ تحيط بنفس الفيض.

ملاحظة: عند الحمل الاسمي يكون تردّد الروتور بضعة هرتز فقط، ولذلك نهمل خسارة الحديد في الروتور، ويظهر R₀ في الدائرة المكافئة من جهة الستاتور.

سؤال 7.2: محرّك حثّي ذو ستة أقطاب موصول بشبكة 50 Hz ، وتردّد تيارات الروتور 2 Hz. نحسب الانزلاق وسرعة المحرّك.

تيار الروتور ومعامل قدرته – זרם ברוטור:

تيار الروتور · זרם ברוטור

I_2ph = E_20ph(R₂s)² + X₂₀²

I_2ph = E_2sphR₂² + (X₂₀·s)²

cos φ₂ = R₂R₂² + (X₂₀·s)²

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I_2ph	تيار طور الروتور	[A]
E_20ph , E_2sph	القوّة الدافعة في طور الروتور: ساكنا، وعند الانزلاق s	[V]
R₂	مقاومة طور الروتور	[Ω]
X₂₀	المفاعلة الحثية لطور الروتور الساكن (عند التردّد f₁)	[Ω]
φ₂	فرق الطور بين E_2sph و I_2ph	[°]

مثال 7.2

محرّك حثّي ذو أربعة أقطاب وروتور ملفوف، موصول بشبكة 50 Hz. معطيات طور الروتور: E_20ph = 120 V ، R₂ = 0.15 Ω ، X₂₀ = 0.9 Ω. نحسب التردّد، القوّة الدافعة الكهربائية، المفاعلة، التيار ومعامل القدرة في الروتور:
أ. عند الإقلاع.
ب. عند الحمل الاسمي، n₂ = 1440 rpm.
ج. في اللاحمل، n₂ = 1492.5 rpm.

الحل:

أربعة أقطاب تعني p = 2 ، ولذلك n₁ = 60 · 502 = 1500 rpm.

أ. عند الإقلاع n₂ = 0 و s = 1 ، وكل المقادير بقيمتها الكاملة:

f₂ = f₁·s = 50 Hz

E_2sph = E_20ph·s = 120 · 1 = 120 V

X_2s = X₂₀·s = 0.9 · 1 = 0.9 Ω

I_2ph = 1200.15² + 0.9² = 131.5 A

cos φ₂ = 0.150.15² + 0.9² = 0.164

ب. عند n₂ = 1440 rpm يكون s = 1500 − 14401500 = 0.04 :

f₂ = f₁·s = 2 Hz

E_2sph = E_20ph·s = 120 · 0.04 = 4.8 V

X_2s = X₂₀·s = 0.9 · 0.04 = 0.036 Ω

I_2ph = 4.80.15² + 0.036² = 31.1 A

cos φ₂ = 0.150.15² + 0.036² = 0.972

ج. بنفس الطريقة نحسب حالة اللاحمل (s = 0.005) ، ونجمع النتائج في جدول:

الحالة	s	f₂ [Hz]	E_2sph [V]	X_2s [Ω]	I_2ph [A]	cos φ₂
الإقلاع	1	50	120	0.9	131.5	0.164
الحمل الاسمي	0.04	2	4.8	0.036	31.1	0.972
اللاحمل	0.005	0.25	0.6	0.0045	4	1

تيار الروتور عند الإقلاع أكبر بـ 4.23 مرة من تياره عند الحمل الاسمي: القوّة الدافعة أكبر بـ 25 مرة، لكن الممانعة أيضا أكبر بـ 5.91 مرة.

I_2stI_2n = 4.23

تيار الروتور في المثال كدالّة للسرعة: كبير جدا عند الإقلاع، ويصغر بسرعة قرب السرعة التزامنية

من المثال نفهم ظاهرتين مهمّتين في الإقلاع:

تيار الإقلاع كبير. القوّة الدافعة في الروتور أكبر ما يمكن (E_20ph) ، والذي يحدّ التيار هو الممانعة الصغيرة R₂² + X₂₀² فقط. هذا التيار ينعكس، كما في المحوّل، إلى تيار كبير في الستاتور: تيار الإقلاع I_st (זרם התנעה)، قيمة نموذجية 5 إلى 8 أضعاف التيار الاسمي في المحرّك القفصي.
معامل القدرة عند الإقلاع صغير. المفاعلة X₂₀ أكبر بكثير من R₂ ، فيتأخّر التيار بزاوية كبيرة. معظم هذا التيار لا يُنتج عزما، ولذلك ليس عزم الإقلاع أكبر عزم للمحرّك، رغم أن تيار الإقلاع هو أكبر تيار.

سؤال 7.3: في محرّك حثّي ذي روتور ملفوف: E_20ph = 90 V ، R₂ = 0.2 Ω ، X₂₀ = 1 Ω لكل طور. نحسب تيار الروتور ومعامل قدرته:
أ. عند الإقلاع.
ب. عند انزلاق s = 0.05.

▶تجربة حية — الانزلاق وتردّد الروتورمحاكاة حيّة: نغيّر سرعة الروتور ونرى كيف يتغيّر الانزلاق، تردّد الروتور، تياره وتقسيم القدرة بين الخسائر والقدرة الميكانيكية.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/hashmal/machines#slip

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/hashmal/machines#slip

פעולת המנוע בריקם, פעולת המנוע בעומס – عمل المحرّك في اللاحمل وتحت الحمل (No-Load and Load Operation)

العمل في اللاحمل – פעולה בריקם:

في اللاحمل لا يوجد حمل على المحور. المحرّك يحتاج إلى عزم صغير فقط للتغلّب على الاحتكاك والتهوية، ولذلك يدور بسرعة قريبة جدا من السرعة التزامنية، والانزلاق صغير جدا. في الدائرة المكافئة تكون R'₂s كبيرة جدا، ففرع الروتور شبه مفتوح (I'_2ph ≈ 0). التيار الذي يسحبه المحرّك هو تيار اللاحمل I_1L0 ، وهو تقريبا تيار فرع المغنطة: كبير نسبيا بسبب الفجوة الهوائية، ومعظمه تيار مغنطة، ولذلك يكون معامل القدرة في اللاحمل صغيرا. القدرة المسحوبة في اللاحمل P₀ تغطّي خسارة الحديد وخسائر الاحتكاك والتهوية تقريبا.

العمل تحت الحمل – פעולה בעומס:

عندما نُحمّل المحور يكبر عزم الحمل، فتنخفض السرعة قليلا ويكبر الانزلاق. عندئذ يكبر E_2sph = E_20ph·s ويكبر تيار الروتور، فيكبر عزم المحرّك حتى يساوي عزم الحمل: المحرّك يدور بسرعة ثابتة جديدة، أقلّ قليلا من السابقة. تيار الروتور الأكبر ينعكس، كما في المحوّل، إلى تيار أكبر في الستاتور. المركّبة الفعالة للتيار تكبر، ولذلك يتحسّن معامل القدرة.

المقدار	في اللاحمل (قيمة نموذجية)	في الحمل الاسمي (قيمة نموذجية)
الانزلاق s	أقلّ من 1 بالمئة	2 إلى 6 بالمئة
السرعة n₂	تقريبا n₁	n_n ، أقلّ قليلا من n₁
تيار الروتور I'_2ph	تقريبا صفر	التيار الاسمي
تيار الستاتور	I_1L0: نحو 25 إلى 50 بالمئة من I_n	I_n
معامل القدرة cos φ₁	0.1 إلى 0.3	0.8 إلى 0.9
الخسائر الرئيسية	خسارة الحديد وخسائر الاحتكاك والتهوية	كل الخسائر، وفيها خسارة النحاس في الستاتور والروتور

مخطّط تدفّق القدرة – תרשים זרימת הספק:

نتابع القدرة من الشبكة حتى المحور. القدرة المسحوبة من الشبكة هي P₁. في الستاتور تضيع خسارة النحاس ΔP_Cu1 = 3·I_1ph²·R₁ وخسارة الحديد ΔP_Fe ، ومجموعهما خسائر الستاتور ΔP_s. الباقي، P_em ، يعبر الفجوة الهوائية. في الروتور تضيع خسارة النحاس ΔP_Cu2 ، ومن القدرة الميكانيكية نطرح خسائر الاحتكاك والتهوية ΔP_mech (הפסדי חיכוך ואוורור)، فنحصل على قدرة الخرج P₂ (הספק מוצא) على المحور. هذه هي القدرة الاسمية المكتوبة على لوحة البيانات.

مخطّط تدفّق القدرة في المحرّك الحثّي: من القدرة المسحوبة من الشبكة P₁ حتى قدرة الخرج على المحور P₂

تدفّق القدرة في المحرّك الحثّي · זרימת הספק

P₁ = 3·U_L·I_1L·cos φ₁

ΔP_Cu1 = 3·I_1ph²·R₁

P_em = P₁ − ΔP_s , ΔP_s = ΔP_Fe + ΔP_Cu1

ΔP_Cu2 = s·P_em

P_mech = P_em·(1 − s)

P₂ = P_mech − ΔP_mech

η = P₂P₁

الرمز	المعنى	وحدة القياس
P₁ , P_em	القدرة المسحوبة من الشبكة، والقدرة المنقولة إلى الروتور	[W]
P_mech	القدرة الميكانيكية	[W]
P₂	قدرة الخرج على المحور	[W]
ΔP_Cu1	خسارة النحاس في الستاتور	[W]
ΔP_Fe	خسارة الحديد	[W]
ΔP_s	خسائر الستاتور	[W]
ΔP_Cu2	خسارة النحاس في الروتور	[W]
ΔP_mech	خسائر الاحتكاك والتهوية	[W]
I_1L , I_1ph	تيار الخط وتيار الطور في الستاتور	[A]
η	الكفاءة	—

مجموع الخسائر ΔP = ΔP_Cu1 + ΔP_Fe + ΔP_Cu2 + ΔP_mech ، ولذلك نستطيع أن نكتب أيضا η = P₁ − ΔPP₁. أحيانا تُضاف إلى المجموع خسائر إضافية صغيرة ΔP_add ، ونهملها عندما لا تكون معطاة.

العزم الكهرومغناطيسي والعزم على المحور – מומנט אלקטרומגנטי ומומנט על הציר:

القدرة P_em تعبر الفجوة الهوائية بواسطة الحقل الدوّار، وهو يدور بالسرعة التزامنية. لذلك العزم الذي يُنتجه الحقل، وهو العزم الكهرومغناطيسي M_em (מומנט אלקטרומגנטי)، يساوي P_em مقسومة على السرعة الزاوية التزامنية ω₁. أمّا العزم على المحور M₂ فنحسبه من قدرة الخرج ومن سرعة المحور n₂. الفرق بينهما هو عزم الاحتكاك M₀ (מומנט חיכוך)، الذي يقابل خسائر الاحتكاك والتهوية.

العزم في المحرّك الحثّي · מומנט אלקטרומגנטי ומומנט על הציר

M_em = 9.55·P_emn₁ = P_emω₁

M₂ = 9.55·P₂n₂ = P₂ω₂

M₀ = 9.55·ΔP_mechn₂

M_em = M₂ + M₀

ω₁ = 2π·n₁60 , ω₂ = 2π·n₂60

الرمز	المعنى	وحدة القياس
M_em	العزم الكهرومغناطيسي	[N·m]
M₂	العزم الميكانيكي على المحور؛ عند الحمل الاسمي M₂ = M_n	[N·m]
M₀	عزم الاحتكاك	[N·m]
ω₁ , ω₂	السرعة الزاوية التزامنية، والسرعة الزاوية للمحور	[rad/s]
n₁ , n₂	السرعة التزامنية، وسرعة المحور	[rpm]

المساواة P_emω₁ = P_mechω₂ صحيحة لأن P_mech = P_em·(1 − s) و ω₂ = ω₁·(1 − s). ولذلك M_em = P₂ + ΔP_mechω₂ = M₂ + M₀. الفرق بين M_em و M₂ صغير، وسببه خسائر الاحتكاك والتهوية فقط.

مثال 7.3

محرّك حثّي ثلاثي الطور ذو أربعة أقطاب، ملفّات الستاتور موصولة نجمة. يعمل المحرّك تحت الحمل، وقيس فيه: U_L = 400 V ، I_1L = 14.5 A ، cos φ₁ = 0.84 ، n₂ = 1455 rpm ، f₁ = 50 Hz. مقاومة طور الستاتور R₁ = 0.55 Ω ، خسارة الحديد ΔP_Fe = 210 W ، وخسائر الاحتكاك والتهوية ΔP_mech = 95 W. نحسب:
أ. القدرة المسحوبة من الشبكة.
ب. خسارة النحاس في الستاتور والقدرة المنقولة إلى الروتور.
ج. الانزلاق وخسارة النحاس في الروتور.
د. القدرة الميكانيكية وقدرة الخرج.
ه. الكفاءة.
و. العزم الكهرومغناطيسي والعزم على المحور.

الحل:

أ. القدرة المسحوبة من الشبكة:

P₁ = 3·U_L·I_1L·cos φ₁ = 3 · 400 · 14.5 · 0.84 = 8438.6 W

ب. في ربط النجمة I_1ph = I_1L :

ΔP_Cu1 = 3·I_1ph²·R₁ = 3 · 14.5² · 0.55 = 346.9 W

P_em = P₁ − ΔP_Cu1 − ΔP_Fe = 8438.6 − 346.9 − 210 = 7881.6 W

ج. السرعة التزامنية n₁ = 1500 rpm ، ولذلك:

s = n₁ − n₂n₁ = 1500 − 14551500 = 0.03

ΔP_Cu2 = s·P_em = 0.03 · 7881.6 = 236.4 W

د. القدرة الميكانيكية وقدرة الخرج:

P_mech = P_em·(1 − s) = 7881.6 · 0.97 = 7645.2 W

P₂ = P_mech − ΔP_mech = 7645.2 − 95 = 7550.2 W

ه. الكفاءة:

η = P₂P₁ = 7550.28438.6 = 0.895

و. السرعتان الزاويتان والعزوم:

ω₁ = 2π · 150060 = 157.08 rad/s

ω₂ = 2π · 145560 = 152.37 rad/s

M_em = P_emω₁ = 7881.6157.08 = 50.18 N·m

M₂ = P₂ω₂ = 7550.2152.37 = 49.55 N·m

M₀ = ΔP_mechω₂ = 95152.37 = 0.62 N·m

M_em = M₂ + M₀ = 49.55 + 0.62 = 50.18 N·m

فحص: مجموع الخسائر وقدرة الخرج يساوي القدرة المسحوبة:

347 + 210 + 236 + 95 + 7550 ≈ 8439 W

P₂ ≈ 7.55 kW , η ≈ 0.895 , M₂ ≈ 49.6 N·m

سؤال 7.4: محرّك حثّي يسحب من الشبكة قدرة P₁ = 12 kW. خسارة النحاس في الستاتور 450 W ، خسارة الحديد 300 W ، خسائر الاحتكاك والتهوية 140 W ، والانزلاق 3.5 بالمئة. نحسب P_em ، ΔP_Cu2 ، P_mech ، P₂ والكفاءة.

האופיין המכני: מומנט המנוע בתלות במהירות הרוטור או בתלות בחליקה – المنحنى المميّز الميكانيكي (Torque–Speed Characteristic)

المنحنى المميّز الميكانيكي (אופיין מכני): هو الرسم البياني الذي يبيّن عزم المحرّك M كدالّة لسرعة الروتور، M = f(n₂) ، أو كدالّة للانزلاق، M = f(s) ، عندما يكون جهد التغذية وتردّدها ثابتين.

شكل المنحنى – צורת האופיין:

نفهم شكل المنحنى من الدائرة المكافئة ومن القانون M_em = P_emω₁ ، حيث P_em = 3·I'_2ph²·R'₂s :

انزلاق صغير (قرب n₁): المقاومة R'₂s كبيرة وتسيطر على ممانعة الدائرة، والتيار يتناسب تقريبا مع s. لذلك يكبر العزم بشكل خطّي تقريبا مع الانزلاق.
انزلاق كبير (قرب الإقلاع): المفاعلة تسيطر على الممانعة، فالتيار يكاد يكون ثابتا، لكن R'₂s تصغر. لذلك يصغر العزم كلما كبر الانزلاق.
بين المنطقتين يصل العزم إلى قيمة عظمى: العزم الأقصى M_k ، عند الانزلاق الحرج s_k.

المنحنى المميّز الميكانيكي M = f(n₂) لمحرّك قفصي نموذجي، مع منحنى عزم حمل ثابت M_L. نقطة العمل A هي نقطة التقاطع بين المنحنيين

نقرأ المنحنى من الإقلاع حتى السرعة التزامنية: عند n₂ = 0 يُنتج المحرّك عزم الإقلاع M_st ؛ مع ازدياد السرعة يكبر العزم حتى العزم الأقصى M_k عند n_k = n₁·(1 − s_k) ؛ بعد ذلك يهبط العزم بسرعة ويصبح صفرا عند n₁. في الشكل: M_k أكبر من M_n بـ 2.76 مرة، و M_st أكبر من M_n بـ 1.6 مرة. إذا رسمنا العزم كدالّة للانزلاق (من 0 حتى 1) نحصل على صورة مرآة للمنحنى:

المنحنى المميّز الميكانيكي كدالّة للانزلاق M = f(s) لنفس المحرّك

نقطة العمل ومنطقة العمل المستقرّة – נקודת העבודה ותחום העבודה היציב:

المحرّك يدور بسرعة ثابتة عندما يكون عزمه مساويا لعزم الحمل M_L. لذلك نقطة العمل هي نقطة التقاطع بين المنحنى المميّز الميكانيكي للمحرّك وبين منحنى عزم الحمل (النقطة A في الشكل).

منطقة العمل المستقرّة (תחום יציב): بين n_k و n₁. إذا زاد عزم الحمل قليلا تنخفض السرعة، فيكبر عزم المحرّك ويعود إلى الاتزان بسرعة أقلّ قليلا. إذا قلّ عزم الحمل ترتفع السرعة ويصغر عزم المحرّك. المحرّك «يصحّح نفسه».
المنطقة غير المستقرّة: بين 0 و n_k. هنا انخفاض السرعة يُصغّر عزم المحرّك، فتنخفض السرعة أكثر، حتى يتوقّف المحرّك. المحرّك يمرّ بهذه المنطقة فقط أثناء الإقلاع.

تحذير: إذا زاد عزم الحمل عن M_k لا توجد نقطة تقاطع: المحرّك يتوقّف ويقفز التيار إلى قيمة قريبة من تيار الإقلاع، ويجب أن تفصله وسائل الحماية قبل أن تحترق ملفّاته.

سؤال 7.5: محرّك حثّي يعمل في النقطة A. زاد عزم الحمل، لكنه بقي أصغر من M_k. كيف تتغيّر:
أ. السرعة.
ب. الانزلاق.
ج. تيار المحرّك؟
د. ماذا يحدث إذا زاد عزم الحمل عن M_k؟

تأثير مقاومة الروتور – השפעת התנגדות הרוטור:

من الدائرة المكافئة (بإهمال فرع المغنطة) نحصل على قانونين بسيطين: الانزلاق الحرج يتناسب مع مقاومة الروتور، أمّا العزم الأقصى فلا يتعلّق بها (سنحسبه في البند التالي). المقاومة R₁ صغيرة عادة، وإذا أهملناها نحصل على الصورة التقريبية:

s_k = R'₂R₁² + (X₁ + X'₂₀)² ≈ R'₂X₁ + X'₂₀

تأثير مقاومة الروتور: كلما كبرت R'₂ كبر s_k وانتقلت القمّة نحو اليسار، والعزم الأقصى M_k لم يتغيّر. عندما s_k = 1 يكون العزم الأقصى عند الإقلاع

في المحرّك ذي الروتور الملفوف نصل مقاومات خارجية إلى دائرة الروتور بواسطة حلقات الانزلاق، فنكبّر s_k ونحصل على عزم إقلاع كبير وتيار إقلاع أصغر. في المحرّك القفصي لا يمكن ذلك، فيختار المصمّم شكل القضبان بحيث يكون عزم الإقلاع مناسبا.

سؤال 7.6: في محرّك حثّي ذي روتور ملفوف: R'₂ = 0.3 Ω و X₁ + X'₂₀ = 2 Ω.
أ. نحسب الانزلاق الحرج تقريبا.
ب. ما المقاومة (المنسوبة) التي يجب إضافتها إلى الروتور حتى يصبح s_k = 0.6؟

▶تجربة حية — المنحنى المميّز الميكانيكيمحاكاة حيّة: نغيّر عزم الحمل ونرى كيف تتحرّك نقطة العمل على المنحنى، ومتى يفقد المحرّك الاتزان ويتوقّف.

⚠

https://fahed-lab.com/hashmal/machines#torque

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/hashmal/machines#torque

המושגים: מומנט התנעה, מומנט מרבי, חליקה קריטית, מומנט נקוב – عزم الإقلاع، العزم الأقصى، الانزلاق الحرج والعزم الاسمي (Starting, Maximum and Rated Torque)

العزم الاسمي (מומנט נקוב): هو العزم على المحور عندما يعطي المحرّك قدرته الاسمية بسرعته الاسمية. رمزه M_n.

عزم الإقلاع (מומנט התנעה): هو عزم المحرّك عندما يكون الروتور ساكنا (s = 1) ، بالجهد الاسمي. رمزه M_st. لكي يُقلع المحرّك يجب أن يكون M_st أكبر من عزم الحمل عند الإقلاع.

العزم الأقصى (الحرج) (מומנט מרבי (קריטי)): هو أكبر عزم يستطيع المحرّك أن يُنتجه. رمزه M_k ، وهو الحدّ بين منطقة العمل المستقرّة والمنطقة غير المستقرّة.

الانزلاق الحرج (חליקה קריטית): هو الانزلاق الذي يكون عنده العزم أقصى. رمزه s_k ، والسرعة المناسبة له n_k = n₁·(1 − s_k).

العزم الاسمي نحسبه من القدرة الاسمية P_n والسرعة الاسمية n_n المكتوبتين على لوحة البيانات:

M_n = P_nω_n = 9.55·P_nn_n

المقدار	s_n	s_k	M_stM_n	M_kM_n	I_stI_n
قيمة نموذجية في محرّك قفصي	0.02 – 0.06	0.1 – 0.3	1.5 – 2.5	2 – 3	5 – 8

القيم الدقيقة لمحرّك معيّن نجدها في كتالوج الصانع، وأحيانا تُعطى النسبتان M_stM_n و M_kM_n في السؤال.

صيغة كلوس – נוסחת קלוס:

لحساب العزم عند أي انزلاق في منطقة العمل نستعمل قانونا بسيطا يسمى صيغة كلوس (נוסחת קלוס). يكفي أن نعرف العزم الأقصى والانزلاق الحرج. إذا عرفنا النسبة λ = M_kM_n والانزلاق الاسمي، نعوّض في الصيغة M = M_n و s = s_n فنحصل على معادلة تربيعية في s_k ، ونكتب حلّها الأكبر مباشرة:

صيغة كلوس والانزلاق الحرج · נוסחת קלוס

M = 2·M_ks_ks + ss_k

s_k = s_n·(λ + λ² − 1)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
M	عزم المحرّك عند الانزلاق s	[N·m]
M_k , s_k	العزم الأقصى والانزلاق الحرج	[N·m] , —
λ	النسبة M_kM_n	—
s_n	الانزلاق الاسمي	—

للمعادلة التربيعية s_k² − 2·λ·s_n·s_k + s_n² = 0 حلّ ثانٍ أصغر من s_n ، ونرفضه: نقطة العمل الاسمية في المنطقة المستقرّة، ولذلك s_k أكبر من s_n.

مثال 7.4

على لوحة البيانات لمحرّك قفصي ثلاثي الطور كُتب: 11 kW ، 400 V ، 50 Hz ، 1460 rpm. في كتالوج الصانع: M_kM_n = 2.7 و M_stM_n = 2. نحسب:
أ. العزم الاسمي، العزم الأقصى وعزم الإقلاع.
ب. هل يستطيع المحرّك أن يُقلع مع مضخّة تحتاج عند الإقلاع إلى عزم 90 N·m؟
ج. الانزلاق الحرج والسرعة n_k.
د. العزم بصيغة كلوس عند عدّة قيم للانزلاق.

الحل:

أ. العزوم:

M_n = 9.55·P_nn_n = 9.55 · 110001460 = 71.95 N·m

M_k = 2.7·M_n = 194.3 N·m

M_st = 2·M_n = 143.9 N·m

ب. M_st = 143.9 N·m أكبر من 90 N·m ، ولذلك يُقلع المحرّك مع المضخّة.

ج. السرعة التزامنية الأقرب فوق 1460 rpm هي 1500 rpm ، ولذلك:

s_n = 1500 − 14601500 = 0.0267

s_k = s_n·(λ + λ² − 1) = 0.0267 · (2.7 + 2.7² − 1) = 0.1389

n_k = n₁·(1 − s_k) = 1500 · (1 − 0.1389) = 1292 rpm

د. مثلا عند s = 0.05 :

M = 2 · 194.30.13890.05 + 0.050.1389 = 123.8 N·m

وبنفس الطريقة نحسب بقية النقاط:

s	0.01	0.0267	0.05	0.1	0.1389	0.3	1
M [N·m]	27.8	72	123.8	184.2	194.3	148.1	52.9

عند s = s_n نحصل على M_n ، وعند s = s_k نحصل على M_k ، كما يجب.

M_n = 71.95 N·m , M_k = 194.3 N·m , s_k = 0.139

ملاحظة: صيغة كلوس دقيقة في منطقة العمل المستقرّة. قرب الإقلاع تعطي في المحرّك القفصي قيمة أصغر بكثير من عزم الإقلاع الحقيقي: في الجدول M ≈ 52.9 N·m عند s = 1 ، بينما حسب الكتالوج M_st = 143.9 N·m. السبب أن قضبان القفص تُبنى بحيث تكبر مقاومتها عند الإقلاع، عندما يكون تردّد الروتور كبيرا. لذلك نأخذ M_st من الكتالوج، ولا نحسبه بصيغة كلوس.

العزم الأقصى من معطيات الدائرة المكافئة – המומנט המרבי מנתוני סכימת התמורה:

إذا أهملنا R₁ وفرع المغنطة يكون العزم أقصى عندما R'₂s = X₁ + X'₂₀ (من هنا القانون s_k ≈ R'₂X₁ + X'₂₀). نعوّض في M_em = 9.55·P_emn₁ فنحصل على العزم الأقصى. لأننا أهملنا R₁ ، هذا القانون تقريبي:

العزم الأقصى (تقريبا) · מומנט מרבי

M_k = 9.55·3·U_1ph²2·n₁·(X₁ + X₂₀)

الرمز	المعنى	وحدة القياس
M_k	العزم الأقصى	[N·m]
U_1ph	جهد طور الستاتور	[V]
X₁ , X₂₀	مفاعلتا طور الستاتور والروتور (نعوّض X'₂₀ المنسوبة)	[Ω]
n₁	السرعة التزامنية	[rpm]

العزم الأقصى لا يتعلّق بمقاومة الروتور، ويتناسب مع مربّع الجهد: هبوط الجهد بـ 10 بالمئة يُصغّر M_k بـ 19 بالمئة، لأن 0.9² = 0.81. لذلك هبوط الجهد في الشبكة خطر على محرّك محمّل.

مثال 7.5

معطيات محرّك حثّي ثلاثي الطور ذي روتور قفصي: 15 kW ، 970 rpm ، 400 V ، 50 Hz ، ملفّات الستاتور موصولة مثلثا، ومجموع المفاعلتين لكل طور X₁ + X'₂₀ = 6.5 Ω. نحسب:
أ. الانزلاق الاسمي وتردّد تيارات الروتور.
ب. العزم الاسمي والعزم الأقصى.
ج. الانزلاق الحرج.

الحل:

أ. السرعة التزامنية الأقرب فوق 970 rpm هي 1000 rpm (ستة أقطاب):

s_n = 1000 − 9701000 = 0.03

f₂ = s_n·f₁ = 0.03 · 50 = 1.5 Hz

ب. في ربط المثلث U_1ph = U_L = 400 V :

M_n = 9.55·P_nn_n = 9.55 · 15000970 = 147.7 N·m

M_k = 9.55·3·U_1ph²2·n₁·(X₁ + X'₂₀) = 9.55 · 3 · 400²2 · 1000 · 6.5 = 352.6 N·m

ج. النسبة بين العزمين، ثم الانزلاق الحرج:

λ = M_kM_n = 352.6147.7 = 2.388

s_k = s_n·(λ + λ² − 1) = 0.03 · (2.388 + 2.388² − 1) = 0.1367

s_k ≈ 0.137

التقريب الخطّي في منطقة العمل – קירוב לינארי בתחום העבודה:

في منطقة العمل يكون الانزلاق أصغر بكثير من s_k ، فالحدّ s_ks في مقام صيغة كلوس أكبر بكثير من ss_k ، ونهمل الصغير. نحصل على أن العزم يتناسب مع الانزلاق: هذا الجزء من المنحنى خطّ مستقيم تقريبا يمرّ في نقطة العمل الاسمية.

M ≈ 2·M_ks_k·s

MM_n ≈ ss_n , s ≈ s_n·MM_n

مثال 7.6

المحرّك 11 kW من المثال السابق (M_n = 71.95 N·m ، s_n = 0.0267) يدير حملا عزمه 50 N·m. نحسب سرعته بالتقريب الخطّي.

الحل:

s = s_n·MM_n = 0.0267 · 5071.95 = 0.0185

n₂ = n₁·(1 − s) = 1500 · (1 − 0.0185) = 1472.2 rpm

للمقارنة، الحلّ الدقيق بصيغة كلوس يعطي n₂ = 1472.7 rpm: التقريب الخطّي جيد جدا في منطقة العمل.

n₂ ≈ 1472 rpm

سؤال 7.7: محرّك ذو أربعة أقطاب (50 Hz) عزمه الاسمي 49 N·m وسرعته الاسمية 1455 rpm. نحسب بالتقريب الخطّي سرعته عندما يكون عزم الحمل 35 N·m.

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
تردّد تيارات الروتور	f₂ = f₁·s
القوّة الدافعة الكهربائية في الروتور	E_2sph = E_20ph·s
تيار الروتور	I_2ph = E_20ph(R₂s)² + X₂₀²
فصل مقاومة الروتور	R'₂s = R'₂ + R'₂·1 − ss
القدرة المسحوبة من الشبكة	P₁ = 3·U_L·I_1L·cos φ₁
القدرة المنقولة إلى الروتور	P_em = P₁ − ΔP_s , ΔP_s = ΔP_Fe + ΔP_Cu1
خسارة النحاس في الروتور والقدرة الميكانيكية	ΔP_Cu2 = s·P_em , P_mech = P_em·(1 − s)
قدرة الخرج والكفاءة	P₂ = P_mech − ΔP_mech , η = P₂P₁
العزم الكهرومغناطيسي والعزم على المحور	M_em = 9.55·P_emn₁ , M₂ = 9.55·P₂n₂
عزم الاحتكاك	M₀ = 9.55·ΔP_mechn₂ , M_em = M₂ + M₀
العزم الأقصى (تقريبا)	M_k = 9.55·3·U_1ph²2·n₁·(X₁ + X₂₀)
الانزلاق الحرج (تقريبا)	s_k ≈ R'₂X₁ + X'₂₀
صيغة كلوس والانزلاق الحرج	M = 2·M_ks_ks + ss_k , s_k = s_n·(λ + λ² − 1)
التقريب الخطّي	s ≈ s_n·MM_n

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الدائرة المكافئة	סכימת תמורה	Equivalent circuit
فرع المغنطة	ענף המגנוט	Magnetizing branch
تيار المغنطة	זרם מגנוט	Magnetizing current
الستاتور (العضو الثابت) · الروتور (العضو الدوّار)	סטטור · רוטור	Stator · Rotor
الروتور القفصي · الملفوف	רוטור כלוב · רוטור מלופף	Squirrel-cage · Wound rotor
الفجوة الهوائية	מרווח אוויר	Air gap
السرعة التزامنية (سرعة الحقل الدوّار)	מהירות סינכרונית (מהירות השדה המסתובב)	Synchronous speed
الانزلاق · الانزلاق الحرج	חליקה · חליקה קריטית	Slip · Critical slip
تردّد تيارات الروتور	תדירות זרמי הרוטור	Rotor frequency
القوّة الدافعة الكهربائية المستحثّة	כא״מ מושרה	Induced EMF
معامل اللفّ	מקדם הליפוף	Winding factor
تيار الإقلاع	זרם התנעה	Starting current
اللاحمل · الحمل	ריקם · עומס	No load · Load
مخطّط تدفّق القدرة	תרשים זרימת הספק	Power-flow diagram
القدرة المسحوبة من الشبكة (قدرة الدخل)	הספק כניסה	Input power
القدرة المنقولة إلى الروتور (القدرة الكهرومغناطيسية)	הספק המעבר (הספק אלקטרומגנטי)	Air-gap (electromagnetic) power
خسائر الستاتور	הפסדי הסטטור	Stator losses
خسارة النحاس (فواقد النحاس) · خسارة الحديد (فواقد الحديد)	הפסדי נחושת · הפסדי ברזל	Copper losses · Iron losses
خسائر الاحتكاك والتهوية (الخسائر الميكانيكية)	הפסדי חיכוך ואוורור (הפסדים מכניים)	Friction and windage (mechanical) losses
القدرة الميكانيكية · قدرة الخرج	הספק מכני · הספק מוצא (הספק יציאה)	Mechanical power · Output power
الكفاءة	נצילות	Efficiency
العزم الكهرومغناطيسي · العزم على المحور	מומנט אלקטרומגנטי · מומנט על הציר	Electromagnetic torque · Shaft torque
عزم الاحتكاك	מומנט חיכוך	Friction torque
المنحنى المميّز الميكانيكي	אופיין מכני	Torque–speed characteristic
العزم الاسمي	מומנט נקוב	Rated torque
عزم الإقلاع	מומנט התנעה	Starting torque
العزم الأقصى (الحرج)	מומנט מרבי (קריטי)	Maximum (breakdown) torque
منطقة العمل المستقرّة	תחום עבודה יציב	Stable operating region
صيغة كلوس	נוסחת קלוס	Kloss formula
لوحة البيانات	שלט נתונים	Nameplate

أسئلة للتمرين:

محرّك حثّي ذو ستة أقطاب موصول بشبكة 50 Hz ويدور بسرعة 960 rpm. نحسب:
أ. السرعة التزامنية.
ب. الانزلاق.
ج. تردّد تيارات الروتور.

الإجابات: أ. n₁ = 1000 rpm. ب. s = 0.04. ج. f₂ = 2 Hz

معطيات طور الروتور في محرّك حثّي: E_20ph = 100 V ، R₂ = 0.25 Ω ، X₂₀ = 1.5 Ω. نحسب:
أ. تيار الروتور ومعامل قدرته عند الإقلاع.
ب. تيار الروتور ومعامل قدرته عند s = 0.04.
ج. كم مرة تيار الإقلاع أكبر من التيار عند s = 0.04؟

الإجابات: أ. I_2ph = 65.8 A ، cos φ₂ = 0.164. ب. I_2ph = 15.6 A ، cos φ₂ = 0.972. ج. نحو 4.2 مرة

في الدائرة المكافئة لمحرّك حثّي: R'₂ = 0.6 Ω ، s = 0.05 و I'_2ph = 15 A.
أ. نحسب مقاومة الحمل الميكانيكي R'₂·1 − ss.
ب. نحسب P_em ، ΔP_Cu2 و P_mech.
ج. نرسم الدائرة المكافئة ونسجّل عليها القيم.

الإجابات: أ. 11.4 Ω. ب. P_em = 8100 W ، ΔP_Cu2 = 405 W ، P_mech = 7695 W. ج. حسب الشكل في بند الدائرة المكافئة

القدرة المنقولة إلى الروتور في محرّك ذي أربعة أقطاب (50 Hz) هي 10 kW ، والانزلاق 0.035 ، وخسائر الاحتكاك والتهوية 150 W. نحسب:
أ. خسارة النحاس في الروتور.
ب. القدرة الميكانيكية وقدرة الخرج.
ج. العزم الكهرومغناطيسي والعزم على المحور.

الإجابات: أ. 350 W. ب. P_mech = 9650 W ، P₂ = 9500 W. ج. M_em = 63.66 N·m ، M₂ = 62.67 N·m

محرّك حثّي ذو قطبين موصول بشبكة 400 V ، 50 Hz ، ويسحب تيار خط 22 A بمعامل قدرة 0.86 ، وسرعته 2940 rpm. خسارة النحاس في الستاتور 520 W ، خسارة الحديد 300 W ، وخسائر الاحتكاك والتهوية 180 W.
أ. نرسم مخطّط تدفّق القدرة.
ب. نحسب P₁ ، P_em ، ΔP_Cu2 و P₂.
ج. نحسب الكفاءة والعزم على المحور.

الإجابات: ب. P₁ = 13108 W ، P_em = 12288 W ، ΔP_Cu2 = 246 W ، P₂ = 11862 W. ج. η = 0.905 ، M₂ = 38.53 N·m

محرّك حثّي ذو أربعة أقطاب يعطي على محوره 5.5 kW بسرعة 1440 rpm. خسائر الاحتكاك والتهوية 80 W. نحسب:
أ. العزم على المحور.
ب. القدرة الميكانيكية.
ج. القدرة المنقولة إلى الروتور وخسارة النحاس فيه.

الإجابات: أ. M₂ = 36.48 N·m. ب. P_mech = 5580 W. ج. P_em = 5812 W ، ΔP_Cu2 = 232 W

أ. لماذا يكون تيار اللاحمل في المحرّك الحثّي أكبر بكثير منه في محوّل له نفس القدرة؟
ب. لماذا يكون معامل القدرة في اللاحمل صغيرا؟
ج. لماذا يكون معامل القدرة عند الإقلاع صغيرا؟

الإجابات: أ. بسبب الفجوة الهوائية، التي تحتاج إلى تيار مغنطة كبير. ب. معظم تيار اللاحمل تيار مغنطة. ج. عند الإقلاع X₂₀ أكبر بكثير من R₂ ، فيتأخّر تيار الروتور بزاوية كبيرة

أمامنا المنحنى المميّز الميكانيكي لمحرّك حثّي. نقرأ من الرسم:
أ. عزم الإقلاع.
ب. العزم الأقصى والسرعة n_k ، ونحسب الانزلاق الحرج.
ج. نحدّد منطقة العمل المستقرّة.
د. نجد نقطة العمل وسرعتها عندما يكون عزم الحمل ثابتا ومقداره 150 N·m.

الإجابات: أ. M_st ≈ 115 N·m. ب. M_k = 300 N·m ، n_k = 800 rpm ، s_k = 0.2. ج. بين 800 rpm و 1000 rpm. د. n₂ ≈ 946 rpm

على لوحة البيانات لمحرّك قفصي: 22 kW ، 1470 rpm ، 50 Hz. في الكتالوج: M_kM_n = 2.8 و M_stM_n = 2.3. نحسب:
أ. العزم الاسمي، العزم الأقصى وعزم الإقلاع.
ب. الانزلاق الاسمي والانزلاق الحرج.
ج. السرعة n_k.

الإجابات: أ. M_n = 142.9 N·m ، M_k = 400.2 N·m ، M_st = 328.7 N·m. ب. s_n = 0.02 ، s_k = 0.108. ج. n_k = 1338 rpm

10.

محرّك حثّي ذو أربعة أقطاب، ملفّاته موصولة مثلثا بشبكة 400 V ، 50 Hz. معطيات الدائرة المكافئة: X₁ + X'₂₀ = 3.2 Ω ، R'₂ = 0.35 Ω. بإهمال R₁ وفرع المغنطة نحسب:
أ. العزم الأقصى.
ب. الانزلاق الحرج والسرعة n_k.
ج. العزم الأقصى إذا هبط جهد الشبكة إلى 360 V.

الإجابات: أ. M_k = 477.5 N·m. ب. s_k ≈ 0.109 ، n_k ≈ 1336 rpm. ج. M_k = 386.8 N·m

11.

محرّك ذو أربعة أقطاب (50 Hz) عزمه الاسمي 98 N·m وسرعته الاسمية 1460 rpm. نحسب بالتقريب الخطّي:
أ. السرعة عندما يكون عزم الحمل 70 N·m.
ب. عزم الحمل الذي يدور عنده المحرّك بسرعة 1450 rpm.

الإجابات: أ. n₂ ≈ 1471 rpm. ب. M ≈ 122.5 N·m

12.

في محرّك ذي روتور ملفوف (القيم منسوبة): R'₂ = 0.08 Ω و X₁ + X'₂₀ = 0.4 Ω.
أ. نحسب الانزلاق الحرج.
ب. ما المقاومة التي يجب إضافتها إلى كل طور من الروتور حتى يكون العزم الأقصى عند الإقلاع؟
ج. هل يتغيّر العزم الأقصى نفسه؟

الإجابات: أ. s_k ≈ 0.2. ب. 0.32 Ω. ج. لا يتغيّر

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

7.1 عند الإقلاع (s = 1) تساوي صفرا: لا قدرة ميكانيكية، والمحرّك محوّل ملفّه الثانوي مقصور. قرب السرعة التزامنية (s → 0) تكون كبيرة جدا: دائرة الروتور شبه مفتوحة، والتيار فيها يكاد يكون صفرا

7.2 s = 0.04 ، n₂ = 960 rpm

7.3 أ. I_2ph = 88.3 A ، cos φ₂ = 0.196. ب. I_2ph = 21.8 A ، cos φ₂ = 0.97

7.4 P_em = 11250 W ، ΔP_Cu2 = 393.8 W ، P_mech = 10856.2 W ، P₂ = 10716.2 W ، η = 0.893

7.5 أ. تنخفض قليلا. ب. يكبر. ج. يكبر. د. المحرّك يتوقّف

7.6 أ. s_k ≈ 0.15. ب. 0.9 Ω

7.7 s = 0.0214 ، n₂ ≈ 1468 rpm

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 7

نتدرّب على مادة هذا الفصل بأسئلة من بنك أسئلة امتحان البجروت في تحويل الطاقة، نموذج 848589 (המרת אנרגיה). الأسئلة في الموقع بالعبرية كما في الامتحان، ومعها ترجمة إلى العربية وحلّ كامل خطوة بعد خطوة، مخفيّ تحت زرّ «اعرض الحلّ» — نحلّ أوّلا بأنفسنا ثم نفحص. الأسئلة الملائمة لهذا الفصل في صفحة «الآلة الحثّية»:

رقم السؤال	الموضوع
7	العزم الاسمي والعزم الأقصى والانزلاق الحرج
8	تحديد الأقطاب والانزلاق الحرج والتيار الاسمي

بنك الأسئلة مع الحلول: fahed-lab.com/practice/energy-848589/induction-motor

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 14 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)