פרק 4

התנגדות ומוליכות

כיתה י׳ · 3 שעות לימוד

בשני הפרקים הקודמים הכרנו את המתח, שדוחף את המטענים לנוע, ואת הזרם, שנוצר מתנועתם. אבל החומרים אינם מאפשרים למטענים לעבור באותה קלות: תיל נחושת מעביר את הזרם בקלות, תיל חימום מפריע לו, וגומי כמעט חוסם אותו. בפרק הזה נגדיר את ההתנגדות ואת המוליכות, ונלמד במה תלויה התנגדות המוליך ואיך מחשבים אותה.

בסוף הפרק הזה נדע:

להגדיר את ההתנגדות R כיחס בין המתח על המוליך לזרם העובר בו, R = VI , ולמדוד אותה ביחידת האוהם [Ω].
להגדיר את המוליכות G כערך ההופכי של ההתנגדות, G = 1R , ולמדוד אותה ביחידת הסימנס [S].
להסביר במה תלויה התנגדות המוליך: בחומר שלו, באורכו ובשטח החתך שלו.
להכיר את ההתנגדות הסגולית ρ ואת המוליכות הסגולית σ של חומר, ואת יחידות המדידה שלהן.
לחשב התנגדות של מוליך לפי R = ρ·ℓA.

הגדרת ההתנגדות של מוליך, באמצעות מתח וזרם; יחידת המדידה של ההתנגדות במערכת SI (Resistance)

כשהאלקטרונים החופשיים נעים בתוך המוליך הם מתנגשים באטומים של החומר, מאבדים חלק מן האנרגיה שלהם, והאנרגיה הזאת הופכת לחום. ההפרעה הזאת לתנועת המטענים היא ההתנגדות החשמלית. איך מודדים אותה? נחבר את המוליך למקור מתח ונמדוד את הזרם: מוליך שעובר בו זרם קטן במתח מסוים מפריע לזרם מאוד, ומוליך שעובר בו זרם גדול באותו מתח מפריע לו מעט.

התנגדות חשמלית: מידת ההפרעה של המוליך למעבר הזרם החשמלי בו. התנגדות המוליך שווה ליחס בין המתח שבין הדקיו לעוצמת הזרם העובר בו. ההתנגדות מסומנת באות R , ויחידת המדידה שלה במערכת היחידות הבין-לאומית (SI) היא האוהם, וסימנה [Ω].

הגדרת ההתנגדות

R = VI

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	התנגדות המוליך	[Ω]
V	המתח בין הדקי המוליך	[V]
I	עוצמת הזרם העובר במוליך	[A]

הערה: התנגדות של אוהם אחד היא התנגדותו של מוליך שעובר בו זרם של 1 A כשהמתח בין הדקיו הוא 1 V , כלומר 1 Ω = 1 V1 A. במעגלים אלקטרוניים יש נגדים מחלקי אוהם ועד מיליוני אוהמים, ולכן משתמשים בקידומות: [mΩ] , [kΩ] , [MΩ].

סמל הנגד בסכמה

יש להבחין בין שני מושגים: התנגדות היא התכונה עצמה, ונגד הוא הרכיב שמיוצר במיוחד בערך התנגדות מסוים ומורכב במעגל. בסכמות מסרטטים את הנגד כמלבן.

דוגמה 4.1

במעגל שבאיור מד-המתח מורה 12 V ומד-הזרם מורה 0.5 A.
א. נחשב את התנגדות המוליך R.
ב. החלפנו את המוליך במוליך אחר, ומד-הזרם הורה 2 A באותו מתח. נחשב את התנגדות המוליך השני.

פתרון:

א. מד-המתח מודד את המתח בין הדקי המוליך, ומד-הזרם מודד את הזרם העובר בו. נציב בהגדרה:

R = VI = 120.5 = 24 Ω

ב. המתח לא השתנה, והזרם גדל:

R = VI = 122 = 6 Ω

באותו מתח, המוליך שעובר בו זרם גדול יותר הוא המוליך שהתנגדותו קטנה יותר.

דוגמה 4.2

המתח בין הדקי נגד במעגל אלקטרוני הוא 9 V , ועובר בו זרם של 3 mA. נחשב את ערך הנגד.

פתרון:

נמיר את הזרם ליחידה הבסיסית: I = 3 mA = 3·10⁻³ A.

R = VI = 93·10⁻³ = 3000 Ω = 3 kΩ

R = 3 kΩ

הערה: כשמציבים את המתח בוולט ואת הזרם במיליאמפר מקבלים את ההתנגדות ישירות בקילו-אוהם: 1 V1 mA = 1 kΩ.

שאלה 4.1: א. המתח על נורה הוא 6 V ועובר בה זרם של 0.3 A. מהי התנגדותה?
ב. המתח על נגד הוא 5 V ועובר בו זרם של 2 mA. מהו ערכו?

המוליכות - הגדרתה ויחידותיה (Conductance)

לפעמים נוח יותר לשאול את השאלה ההפוכה: לא כמה המוליך מפריע לזרם, אלא כמה הוא מקל על מעברו.

מוליכות חשמלית: מידת הקלות שבה הזרם עובר במוליך; היא הערך ההופכי של ההתנגדות. המוליכות מסומנת באות G , ויחידת המדידה שלה היא הסימנס, וסימנה [S].

מוליכות והתנגדות

G = 1R

סימן	משמעות	יחידת מידה
G	המוליכות	[S]
R	ההתנגדות	[Ω]

אם נציב את הגדרת ההתנגדות נקבל את המוליכות באמצעות הזרם והמתח:

G = IV

הערה: התנגדות גדולה פירושה מוליכות קטנה, ולהפך. מן החוק רואים ש-1 S = 11 Ω. במעגלים אלקטרוניים משתמשים בדרך כלל ביחידות [mS] ו-[µS].

דוגמה 4.3

א. נחשב את המוליכות של נגד שערכו 50 Ω.
ב. המוליכות של רכיב אחר היא 2.5 mS , נחשב את התנגדותו.

פתרון:

א. נציב בחוק:

G = 1R = 150 = 0.02 S = 20 mS

ב. נמיר ליחידה הבסיסית, G = 2.5·10⁻³ S , ונחלץ את ההתנגדות מן החוק:

R = 1G = 12.5·10⁻³ = 400 Ω

שאלה 4.2: א. מהי המוליכות של נגד שערכו 2 kΩ?
ב. מהי ההתנגדות של רכיב שמוליכותו 0.25 S?
ג. ברכיב עובר זרם של 40 mA במתח 10 V. מהי מוליכותו?

תלות התנגדות של מוליך בתכונותיו הפיזיקליות ובממדיו ההנדסיים (הגיאומטריים) (What Determines Resistance)

מדוע ההתנגדות של מוליך אחד גדולה ושל מוליך אחר קטנה? נמדוד את ההתנגדות של ארבעה תילים השונים זה מזה באורך, בעובי ובחומר:

התיל	החומר	האורך	שטח החתך	ההתנגדות שנמדדה
1	קונסטנטן	1 m	0.5 mm²	1 Ω
2	קונסטנטן	2 m	0.5 mm²	2 Ω
3	קונסטנטן	1 m	1 mm²	0.5 Ω
4	נחושת	1 m	0.5 mm²	0.035 Ω

נשווה כל תיל לתיל הראשון: תיל 2 ארוך פי שניים והתנגדותו גדולה פי שניים. תיל 3 עבה פי שניים והתנגדותו קטנה פי שניים. לתיל 4 אותם ממדים, אבל הוא עשוי מחומר אחר, והתנגדותו קטנה בהרבה. מכאן: התנגדות המוליך תלויה בשלושה גורמים.

מוליך שאורכו ℓ , שטח החתך שלו A והחומר שלו ρ

האורך ℓ : ככל שהמוליך ארוך יותר, האלקטרונים מתנגשים ביותר אטומים בדרכם, וההתנגדות גדלה. ההתנגדות נמצאת ביחס ישר לאורך.
שטח החתך A : ככל שהמוליך עבה יותר, יש לאלקטרונים מקום רחב יותר לעבור, וההתנגדות קטנה. ההתנגדות נמצאת ביחס הפוך לשטח החתך.
החומר: בכל חומר מספר אחר של אלקטרונים חופשיים וסידור אחר של האטומים. זו תכונה פיזיקלית של החומר, ובסעיף הבא ניתן לה מספר.

הערה: האורך ושטח החתך הם ממדים גיאומטריים של המוליך, והחומר הוא תכונה פיזיקלית שלו. התנגדות המוליך תלויה גם בטמפרטורה שלו; בספר הזה נניח שהמוליך נמצא בטמפרטורת החדר.

דוגמה 4.4

ההתנגדות של תיל מסוים היא 8 Ω. נחליף אותו בתיל מאותו חומר, ארוך ממנו פי שלושה ושטח החתך שלו גדול פי שניים. נחשב את התנגדות התיל החדש.

פתרון:

האורך גדל פי שלושה, ולכן ההתנגדות גדלה פי שלושה. שטח החתך גדל פי שניים, ולכן ההתנגדות קטנה פי שניים:

R₂ = R₁ · 32 = 8 · 32 = 12 Ω

R₂ = 12 Ω

שאלה 4.3: ההתנגדות של תיל מסוים היא R. מה תהיה ההתנגדות בכל מקרה?
א. מכפילים את האורך פי שניים.
ב. מכפילים את שטח החתך פי שניים.
ג. מכפילים את הקוטר פי שניים.
ד. מכפילים גם את האורך וגם את שטח החתך פי שניים.

התנגדות סגולית, מוליכות סגולית ויחידותיהן (כולל חישובים) (Resistivity and Conductivity)

התנגדות סגולית: ההתנגדות של מוליך מן החומר שאורכו מטר אחד ושטח החתך שלו מילימטר מרובע אחד. זו תכונה של החומר עצמו, והיא אינה תלויה בממדי המוליך. היא מסומנת באות היוונית ρ (רו).

יחידת המדידה של ההתנגדות הסגולית בחישובים מעשיים היא [Ω·mm²/m] , כי את אורך התיל מודדים במטרים ואת שטח החתך שלו במילימטרים מרובעים. היחידה במערכת הבין-לאומית היא [Ω·m] , והמעבר ביניהן:

1 Ω·mm²/m = 10⁻⁶ Ω·m

מוליכות סגולית: הערך ההופכי של ההתנגדות הסגולית; היא מראה כמה החומר מקל על מעבר הזרם. היא מסומנת באות היוונית σ (סיגמא).

מוליכות סגולית והתנגדות סגולית

σ = 1ρ

סימן	משמעות	יחידת מידה
ρ	ההתנגדות הסגולית	[Ω·mm²/m]
σ	המוליכות הסגולית	[S·m/mm²]

החומר	בערבית	ρ [Ω·mm²/m]	σ [S·m/mm²]
כסף	الفضة	0.016	62.5
נחושת	النحاس	0.0175	57.1
זהב	الذهب	0.023	43.5
אלומיניום	الألومنيوم	0.028	35.7
טונגסטן	التنغستن	0.055	18.2
ברזל	الحديد	0.1	10
קונסטנטן (סגסוגת)	الكونستانتان (سبيكة)	0.5	2
ניכרום (סגסוגת)	النيكروم (سبيكة)	1.1	0.909

הערכים בטבלה מקורבים, והם נכונים בטמפרטורה של 20 °C. הכסף הוא המוליך הטוב ביותר, אבל הוא יקר, ולכן תילים ומוליכים של מעגלים מודפסים עשויים נחושת. לסגסוגות כמו קונסטנטן וניכרום התנגדות סגולית גדולה, ולכן מייצרים מהן נגדים ותילי חימום.

מוליכים, מבודדים ומוליכים למחצה:

ההתנגדות הסגולית של החומרים משתרעת על תחום עצום: בין המוליך הטוב ביותר למבודד הטוב ביותר יש הפרש של יותר מעשרים סדרי גודל. לפי הגודל הזה מחלקים את החומרים לשלוש קבוצות:

סולם ההתנגדות הסגולית ביחידות [Ω·m]. הגבולות בין הקבוצות מקורבים

מוליכים: חומרים שיש בהם אלקטרונים חופשיים רבים, ולכן ההתנגדות הסגולית שלהם קטנה מאוד. כל המתכות מוליכות.
מבודדים: חומרים שכמעט אין בהם אלקטרונים חופשיים, ולמעשה לא עובר בהם זרם: גומי, פלסטיק, זכוכית, אוויר יבש.
מוליכים למחצה: חומרים שההתנגדות הסגולית שלהם נמצאת בין זו של המוליכים לזו של המבודדים, כמו צורן וגרמניום. מהם מייצרים דיודות וטרנזיסטורים, ונכיר אותם בספר האלקטרוניקה.

חישוב התנגדות המוליך:

ראינו שההתנגדות נמצאת ביחס ישר לאורך וביחס הפוך לשטח החתך, ושהחומר מיוצג בהתנגדות הסגולית. נאחד את שלושת הגורמים בחוק אחד:

התנגדות מוליך

R = ρ·ℓA

סימן	משמעות	יחידת מידה
R	התנגדות המוליך	[Ω]
ρ	ההתנגדות הסגולית של חומר המוליך	[Ω·mm²/m]
ℓ	אורך המוליך	[m]
A	שטח החתך של המוליך	[mm²]

אם נתונה המוליכות הסגולית σ במקום ההתנגדות הסגולית, כותבים את החוק באמצעותה:

R = ℓσ·A

אם חתך המוליך עגול ונתון הקוטר שלו d , מחשבים את שטח החתך לפי שטח העיגול:

A = π·d²4

הנחיות לפתרון: כשמשתמשים ב-ρ ביחידות [Ω·mm²/m] מציבים את האורך במטרים ואת שטח החתך במילימטרים מרובעים, ומקבלים את ההתנגדות ישירות באוהם.

דוגמה 4.5

נחשב את ההתנגדות ואת המוליכות של תיל נחושת שאורכו 100 m ושטח החתך שלו 2.5 mm².

פתרון:

נתונים: ℓ = 100 m , A = 2.5 mm² , ומן הטבלה ρ = 0.0175 Ω·mm²/m. דרוש: R ו-G.

R = ρ·ℓA

R = 0.0175 · 1002.5 = 0.7 Ω

G = 1R = 10.7 = 1.43 S

R = 0.7 Ω

דוגמה 4.6

רוצים לייצר נגד שערכו 44 Ω מתיל ניכרום שקוטרו 0.5 mm. נחשב את אורך התיל הדרוש.

פתרון:

נחשב תחילה את שטח החתך:

A = π·d²4 = π · 0.5²4 = 0.1963 mm²

נחלץ את האורך מחוק התנגדות המוליך ונציב (ρ = 1.1 Ω·mm²/m):

ℓ = R·Aρ

ℓ = 44 · 0.19631.1 = 7.85 m

ℓ = 7.85 m

דוגמה 4.7

צרכן נמצא במרחק 40 m מן המקור, ומוזן בקו של שני מוליכי נחושת. נחשב את שטח החתך הקטן ביותר של המוליך כך שהתנגדות הקו כולו לא תעלה על 0.35 Ω.

פתרון:

הזרם עובר במוליך ההלוך ובמוליך החזור, ולכן האורך הכולל של המוליך הוא פעמיים המרחק:

ℓ = 2 · 40 = 80 m

נחלץ את שטח החתך מן החוק:

A = ρ·ℓR

A = 0.0175 · 800.35 = 4 mm²

A = 4 mm²

שאלה 4.4: א. נחשב את התנגדותו של מוליך אלומיניום שאורכו 500 m ושטח החתך שלו 16 mm².
ב. המוליכות הסגולית של חומר היא 10 S·m/mm². מהי התנגדותו הסגולית, ואיזה חומר שבטבלה הוא?

▶ניסוי חי — התנגדות סגולית והתנגדות המוליךבוחרים חומר, משנים את האורך ואת שטח החתך, ורואים איך משתנה R = ρ·ℓA.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/circuits/resistivity_conductor_simulator

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/resistivity_conductor_simulator

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
הגדרת ההתנגדות	R = VI
מוליכות והתנגדות	G = 1R
מוליכות סגולית והתנגדות סגולית	σ = 1ρ
התנגדות מוליך	R = ρ·ℓA
שטח חתך עגול	A = π·d²4

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
התנגדות	Resistance	المقاومة (الخاصية)
נגד	Resistor	المقاومة (العنصر)
אוהם	Ohm	الأوم
מוליכות	Conductance	المواصلة
סימנס	Siemens	السيمنس
התנגדות סגולית	Resistivity	المقاومة النوعية
מוליכות סגולית	Conductivity	الموصلية (الموصلية النوعية)
מוליך	Conductor	موصل
מבודד	Insulator	عازل
מוליך למחצה	Semiconductor	شبه موصل
שטח החתך	Cross-sectional area	مساحة المقطع
ממדים גיאומטריים	Geometric dimensions	الأبعاد الهندسية
יחס ישר / הפוך	Direct / inverse proportion	تناسب طردي / عكسي

שאלות לתרגול:

המתח בין הדקי מוליך הוא 24 V ועובר בו זרם של 1.5 A.
א. נחשב את התנגדות המוליך.
ב. נחשב את מוליכותו.

תשובות: א. R = 16 Ω. ב. G = 62.5 mS

במעגל שבאיור מד-המתח מורה 4.5 V ומד-הזרם מורה 15 mA. נחשב את ערך הנגד R.

תשובות: R = 300 Ω

א. נחשב את המוליכות של נגד שערכו 400 Ω.
ב. נחשב את ההתנגדות של רכיב שמוליכותו 50 mS.

תשובות: א. G = 2.5 mS. ב. R = 20 Ω

ההתנגדות הסגולית של טונגסטן היא 0.055 Ω·mm²/m.
א. נכתוב אותה ביחידות [Ω·m].
ב. נחשב את המוליכות הסגולית של טונגסטן.

תשובות: א. ρ = 5.5·10⁻⁸ Ω·m. ב. σ = 18.2 S·m/mm²

נסדר את החומרים הבאים מן המוליך הטוב ביותר אל הגרוע ביותר: ברזל, כסף, ניכרום, אלומיניום, נחושת.

תשובות: כסף, נחושת, אלומיניום, ברזל, ניכרום

נחשב את ההתנגדות של תיל נחושת שאורכו 200 m ושטח החתך שלו 1.5 mm².

תשובות: R = 2.33 Ω

ההתנגדות של תיל אלומיניום ששטח החתך שלו 4 mm² היא 0.7 Ω. נחשב את אורך התיל.

תשובות: ℓ = 100 m

תיל שאורכו 20 m ושטח החתך שלו 0.5 mm² , והתנגדותו 20 Ω.
א. נחשב את ההתנגדות הסגולית של חומר התיל.
ב. מאיזה חומר עשוי התיל?

תשובות: א. ρ = 0.5 Ω·mm²/m. ב. קונסטנטן

צרכן נמצא במרחק 60 m מן המקור ומוזן בקו של שני מוליכי נחושת, ושטח החתך של כל אחד מהם 6 mm². נחשב את התנגדות הקו כולו (הלוך וחזור).

תשובות: R = 0.35 Ω

10.

לשני תילים מאותו חומר אותו אורך. קוטר התיל הראשון 1 mm וקוטר התיל השני 3 mm. פי כמה גדולה התנגדות התיל הראשון מהתנגדות התיל השני?

תשובות: פי 9, כי שטח החתך נמצא ביחס ישר לריבוע הקוטר

11.

נחשב את ההתנגדות של תיל נחושת שאורכו 230 m וקוטרו 1.6 mm.

תשובות: A = 2.01 mm² , R = 2 Ω

12.

מהו הקוטר של תיל הניכרום הדרוש לייצור נגד שערכו 22 Ω מתיל שאורכו 4 m?

תשובות: A = 0.2 mm² , d = 0.505 mm

תשובות סופיות לשאלות הפרק

4.1 א. R = 20 Ω · ב. R = 2.5 kΩ

4.2 א. G = 0.5 mS · ב. R = 4 Ω · ג. G = 4 mS

4.3 א. 2R · ב. R2 · ג. R4 , כי שטח החתך גדל פי ארבעה · ד. נשארת R

4.4 א. R = 0.875 Ω · ב. ρ = 0.1 Ω·mm²/m , ברזל

שאלות בגרות לפרק 4

אין שאלות בגרות עצמאיות לפרק הזה.

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 14 — נוסחאון הספר.