יסודות תורת החשמל · פרק 6 — חוק הזרמים וחוק המתחים של קירכהוףמבוא להנדסת אלקטרוניקה · סמל מקצוע 11.00⌂📚🏠
פרק 6

חוק הזרמים וחוק המתחים של קירכהוף

כיתה י׳ · 7 שעות לימוד

חוק אום קושר בין המתח לזרם ברכיב אחד. אבל במעגל שיש בו כמה רכיבים וכמה מסלולים דרושים לנו שני חוקים נוספים: חוק שמראה איך הזרמים מתחלקים בנקודות ההסתעפות, וחוק שמראה איך המתחים מתחלקים לאורך מסלול סגור. אלה שני חוקי קירכהוף, ועליהם, יחד עם חוק אום, נשען הניתוח של כל המעגלים החשמליים והאלקטרוניים בפרקים הבאים.

בסוף הפרק הזה נדע:
  • להגדיר צומת, ולסמן את הזרמים הנכנסים אליו ואת הזרמים היוצאים ממנו.
  • לחשב זרמים לפי חוק הזרמים של קירכהוף: סכום הזרמים הנכנסים לצומת שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנו.
  • להסביר את המשמעות הפיזיקלית של שני החוקים: שימור המטען ושימור האנרגיה.
  • להגדיר ענף וחוג, ולסמן את הקוטביות של מפל המתח על נגד ואת הקוטביות של מתח המקור.
  • לחשב מתחים לפי חוק המתחים של קירכהוף: הסכום האלגברי של המתחים בחוג סגור שווה לאפס.
  • לחשב את המתח בין שתי נקודות במעגל, ולהסביר בלי חישוב איך המתחים משתנים כשמשנים נגד.

חוק הזרמים: צומת, סימון זרמים נכנסים ויוצאים, ניסוח החוק ומשמעותו הפיזיקלית (KCL)

הזרם החשמלי הוא תנועה של מטענים. המטענים אינם מצטברים בנקודה במעגל ואינם נעלמים ממנה: כל מטען שמגיע לנקודת הסתעפות יוצא ממנה באחד המסלולים. מן העובדה הפשוטה הזאת נובע החוק הראשון.

צומת: נקודת הסתעפות במעגל: נקודה שבה נפגשים שלושה מוליכים או יותר. בצומת הזרם מסתעף לכמה מסלולים, או מתאספים בו זרמים מכמה מסלולים. בסכמה מסמנים את הצומת בנקודה שחורה.

סימון זרמים נכנסים ויוצאים:

I1I2I3I4A
הצומת A : זרמים נכנסים (בכחול) וזרמים יוצאים (באדום)

ניסוח החוק:

חוק הזרמים של קירכהוף, KCL: סכום הזרמים הנכנסים לצומת שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנו. ובניסוח אחר: הסכום האלגברי של כל הזרמים הנכנסים לצומת והיוצאים ממנו שווה לאפס.
חוק הזרמים של קירכהוף
Σ Iin = Σ Iout
Σ I = 0
סימןמשמעותיחידת מידה
Σ Iinסכום הזרמים הנכנסים לצומת[A]
Σ Ioutסכום הזרמים היוצאים מן הצומת[A]
Σ Iהסכום האלגברי: זרם נכנס בסימן (+) וזרם יוצא בסימן (−)[A]

לצומת שבאיור הקודם נכתוב את החוק באחת משתי הצורות, והן שקולות:

I1 + I2 = I3 + I4
I1 + I2 − I3 − I4 = 0
דוגמה 6.1
אל הצומת A נכנסים הזרמים I1 = 3 A ו-I2 = 5 A , ויוצאים ממנו הזרמים I3 = 2 A ו-I4. נחשב את I4.
I1 = 3 AI2 = 5 AI3 = 2 AI4 = ?A
פתרון:

נכתוב את חוק הזרמים של קירכהוף לצומת A : הנכנסים באגף אחד והיוצאים באגף האחר.

I1 + I2 = I3 + I4
3 + 5 = 2 + I4
I4 = 8 − 2 = 6 A
I4 = 6 A
דוגמה 6.2
אל הצומת A נכנס הזרם I1 = 8 A , ויוצאים ממנו הזרמים I2 = 3 A ו-I3 = 7 A. כיוון הזרם I4 אינו ידוע. נחשב את גודלו ואת כיוונו.
I1 = 8 AI2 = 3 AI3 = 7 AI4 = ?A
פתרון:

נבחר כיוון לזרם I4 : נניח שהוא יוצא מן הצומת, כמו באיור. נכתוב את החוק:

I1 = I2 + I3 + I4
8 = 3 + 7 + I4
I4 = 8 − 10 = −2 A

התוצאה שלילית. פירוש הדבר שהכיוון האמיתי הפוך לכיוון שבחרנו: הזרם I4 נכנס אל הצומת, וגודלו 2 A.

בדיקה: הנכנסים 8 + 2 = 10 A , והיוצאים 3 + 7 = 10 A.

I4 = −2 A
שאלה 6.1: אל צומת נכנס זרם I1 = 2.5 A ויוצאים ממנו שני זרמים: I2 = 0.7 A ו-I3. מהו הזרם I3?

המשמעות הפיזיקלית של החוק:

חוק הזרמים של קירכהוף הוא ביטוי של חוק שימור המטען: מטען חשמלי אינו נוצר יש מאין ואינו נעלם. הצומת הוא רק נקודת חיבור בין מוליכים, ואין בו מקום לאגירת מטענים. לכן, בכל שנייה, כמות המטען שמגיעה אל הצומת שווה בדיוק לכמות המטען שעוזבת אותו.

הדבר דומה להסתעפות של צינורות מים: כמות המים שנכנסת לנקודת ההסתעפות בשנייה שווה לכמות המים שיוצאת ממנה בכל הצינורות יחד.

דוגמה 6.3
אל צומת נכנסים שני זרמים I1 = 2 A ו-I2 = 3 A , ויוצא ממנו זרם אחד I3. נחשב:
א. את המטען שנכנס אל הצומת במשך 10 s.
ב. את הזרם I3 לפי שימור המטען.
פתרון:

א. בפרק 3 למדנו שהמטען שזרם מעביר במשך זמן מסוים הוא Q = I·t :

Qin = (I1 + I2)·t = (2 + 3) · 10 = 50 C

ב. המטען אינו מצטבר בצומת, ולכן באותו זמן יוצא ממנו אותו מטען:

Qout = Qin = 50 C
I3 = Qoutt = 5010 = 5 A

קיבלנו אותה תוצאה שנותן חוק הזרמים של קירכהוף: I3 = I1 + I2 = 5 A.

I3 = 5 A

מן החוק נובעות מסקנות חשובות שמשמשות אותנו בכל מעגל:

דוגמה 6.4
במעגל שבאיור המקור מספק זרם I = 0.9 A. נמדדו הזרמים I1 = 0.5 A ו-I2 = 100 mA. נחשב את הזרם I3.
+−ER1I1 = 0.5 AR2I2 = 100 mAR3I3 = ?I = 0.9 AAB
פתרון:

נמיר: I2 = 100 mA = 0.1 A. המוליך העליון כולו הוא נקודה חשמלית אחת, הצומת A : נכנס אליו הזרם I ויוצאים ממנו שלושת הזרמים.

I = I1 + I2 + I3
0.9 = 0.5 + 0.1 + I3
I3 = 0.9 − 0.6 = 0.3 A

בצומת B שלושת הזרמים מתאחדים שוב, ואל המקור חוזר אותו זרם I = 0.9 A.

I3 = 0.3 A
דוגמה 6.5
בקטע המעגל שבאיור יש שני צמתים. נתון: I = 6 A , I1 = 2.5 A ו-I3 = 1.5 A. נחשב את הזרמים I2 ו-I4.
ABI = 6 AI2 = ?I4 = ?I1 = 2.5 AI3 = 1.5 A
פתרון:

נכתוב את החוק לכל צומת בנפרד. אל הצומת A נכנס I ויוצאים ממנו I1 ו-I2 :

I = I1 + I2
I2 = 6 − 2.5 = 3.5 A

הזרם I2 שיוצא מן הצומת A הוא הזרם שנכנס אל הצומת B , וממנו יוצאים I3 ו-I4 :

I2 = I3 + I4
I4 = 3.5 − 1.5 = 2 A

בדיקה: הזרם שנכנס אל קטע המעגל כולו, 6 A , שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנו: 2.5 + 1.5 + 2 = 6 A.

I4 = 2 A
דוגמה 6.6
שלושה נגדים R1 = 6 Ω , R2 = 4 Ω ו-R3 = 12 Ω מחוברים כולם בין הדקי מקור שמתחו E = 12 V. נחשב את הזרם בכל נגד ואת הזרם I שהמקור מספק.
+−E = 12 VR1 = 6 ΩI1R2 = 4 ΩI2R3 = 12 ΩI3IAB
פתרון:

כל נגד מחובר ישירות בין הדקי המקור, ולכן המתח על כל אחד מהם הוא 12 V. נחשב את הזרם בכל נגד לפי חוק אום:

I1 = ER1 = 126 = 2 A
I2 = ER2 = 124 = 3 A
I3 = ER3 = 1212 = 1 A

לפי חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A :

I = I1 + I2 + I3 = 2 + 3 + 1 = 6 A

בנגד הקטן ביותר עובר הזרם הגדול ביותר.

I = 6 A
שאלה 6.2: נתבונן בצומת שבאיור. נחשב את גודל הזרם I4 ונקבע את כיוונו האמיתי.
I1 = 4 AI2 = 12 AI3 = 6 AI4 = ?A
שאלה 6.3: שתי נורות מחוברות זו אחר זו, בלי הסתעפות ביניהן, ובנורה הראשונה עובר זרם של 0.3 A.
א. מהו הזרם בנורה השנייה?
ב. תלמיד אמר: "הזרם אחרי הנורה הראשונה קטן יותר, כי הנורה צרכה חלק ממנו". האם הוא צודק?

חוק המתחים: ענף וחוג במעגל חשמלי, מפלי מתח במעגל וסימונם, הסבר כמותי ואיכותי של החוק (KVL)

ענף וחוג במעגל חשמלי:

ענף: חלק של המעגל שמחבר בין שני צמתים, ויש בו רכיב אחד או כמה רכיבים המחוברים זה אחר זה. בכל רכיבי הענף עובר אותו זרם.
חוג: מסלול סגור במעגל: יוצאים מנקודה, עוברים דרך כמה רכיבים, וחוזרים אל אותה נקודה בלי לעבור באף רכיב פעמיים.
+−+−E1E2ABR1R2R3I1I2I312
מעגל שיש בו שני צמתים, שלושה ענפים ושלושה חוגים
המספרהפירוט
צמתים2A ו-B
ענפים3השמאלי (E1 ו-R1) בזרם I1 , האמצעי (R3) בזרם I3 , הימני (E2 ו-R2) בזרם I2
חוגים3חוג 1 (השמאלי), חוג 2 (הימני), והחוג החיצוני שעובר בשני המקורות, ב-R1 וב-R2
הערה: מספר הזרמים השונים במעגל שווה למספר הענפים. פינות שבהן נפגשים רק שני מוליכים אינן צמתים, כי הזרם אינו מסתעף בהן.

מפלי מתח במעגל וסימונם:

כדי לכתוב את חוק המתחים עלינו לדעת, בכל רכיב, לאיזה הדק הפוטנציאל הגבוה (+) ולאיזה הדק הפוטנציאל הנמוך (−) :

IR+−V = I·R
נגד: ההדק שהזרם נכנס בו הוא (+)
+−E
מקור מתח: הקו הארוך הוא תמיד (+)

ניסוח החוק:

אם מטפסים על הר וחוזרים אל נקודת ההתחלה, סך כל העליות שווה לסך כל הירידות. כך גם המתח: אם מקיפים חוג וחוזרים אל נקודת ההתחלה, חוזרים אל אותו פוטנציאל.

חוק המתחים של קירכהוף, KVL: הסכום האלגברי של כל המתחים בחוג סגור שווה לאפס. ובניסוח אחר: סכום מתחי המקורות בחוג שווה לסכום מפלי המתח על הנגדים.
חוק המתחים של קירכהוף
Σ V = 0
Σ E = Σ I·R
סימןמשמעותיחידת מידה
Σ Vהסכום האלגברי של כל המתחים בחוג[V]
Σ Eהסכום האלגברי של מתחי המקורות בחוג[V]
Σ I·Rסכום מפלי המתח על נגדי החוג[V]
מוסכמת הסימנים — משמשת אותנו בכל הספר:
  1. נסמן את כיוון הזרם בכל ענף, ונסמן את הקוטביות (+) ו-(−) על כל רכיב.
  2. נבחר כיוון להקפת החוג. בספר הזה מקיפים תמיד עם כיוון השעון, ומתחילים מן ההדק השלילי של המקור.
  3. נעבור על הרכיבים זה אחר זה. אם חוצים את הרכיב מ-(−) אל (+) , זו עליית מתח ונרשום אותה בסימן (+). אם חוצים אותו מ-(+) אל (−) , זה מפל מתח ונרשום אותו בסימן (−).
  4. נשווה את הסכום לאפס.

מן המוסכמה הזאת נובע: נגד שחוצים עם כיוון הזרם נרשם −I·R , ונגד שחוצים בניגוד לכיוון הזרם נרשם +I·R. מקור שחוצים מן ההדק השלילי שלו אל ההדק החיובי נרשם +E , ולהפך −E.

דוגמה 6.7
בחוג שבאיור E = 24 V , ונמדדו המתחים V1 = 6 V ו-V2 = 10 V. נחשב את המתח V3.
+−E = 24 VR1+−V1 = 6 VR2+−V2 = 10 VR3+−V3 = ?I
פתרון:

הזרם יוצא מן ההדק החיובי של המקור וזורם עם כיוון השעון, ולפיו סומנה הקוטביות על הנגדים. נקיף עם כיוון השעון ונתחיל מן ההדק השלילי של המקור: את המקור חוצים מ-(−) אל (+) , וכל נגד חוצים מ-(+) אל (−).

+E − V1 − V2 − V3 = 0
24 − 6 − 10 − V3 = 0
V3 = 8 V

סכום מפלי המתח 6 + 10 + 8 = 24 V אכן שווה למתח המקור.

V3 = 8 V
דוגמה 6.8
בחוג שבאיור E = 12 V , R1 = 2 Ω ו-R2 = 4 Ω. נחשב:
א. את הזרם בחוג.
ב. את מפל המתח על כל נגד.
+−E = 12 VR1 = 2 Ω+−V1R2 = 4 Ω+−V2I
פתרון:

א. בחוג יש ענף אחד, ולכן אותו זרם I עובר בכל הרכיבים. נכתוב את חוק המתחים של קירכהוף, ונציב את מפל המתח על כל נגד לפי חוק אום:

+E − I·R1 − I·R2 = 0
12 − 2·I − 4·I = 0
I = 126 = 2 A

ב. לפי חוק אום:

V1 = I·R1 = 2 · 2 = 4 V
V2 = I·R2 = 2 · 4 = 8 V

בדיקה: 4 + 8 = 12 V.

I = 2 A
דוגמה 6.9
בחוג שבאיור שני מקורות: E1 = 18 V ו-E2 = 6 V , ושני נגדים: R1 = 2 Ω ו-R2 = 4 Ω. נחשב את הזרם בחוג.
+−E1 = 18 VR1 = 2 Ω+−V1R2 = 4 Ω+−V2+−E2 = 6 VI
פתרון:

נניח שהזרם זורם עם כיוון השעון. נקיף באותו כיוון: את המקור E1 חוצים מ-(−) אל (+) , את שני הנגדים חוצים עם כיוון הזרם, ואת המקור E2 חוצים מ-(+) אל (−).

+E1 − I·R1 − I·R2 − E2 = 0
18 − 2·I − 4·I − 6 = 0
I = 126 = 2 A

התוצאה חיובית, ולכן כיוון הזרם שהנחנו נכון. שני המקורות מחוברים בכיוונים מנוגדים, ולכן המתחים שלהם מתחסרים.

I = 2 A
שאלה 6.4: בחוג שיש בו מקור E = 9 V ושלושה נגדים זה אחר זה נמדדו: V1 = 2 V ו-V2 = 4.5 V. מהו המתח V3?

הסבר איכותי של החוק:

חוק המתחים של קירכהוף הוא ביטוי של חוק שימור האנרגיה. בפרק 2 למדנו שהמתח הוא האנרגיה ליחידת מטען. מטען שעושה סיבוב שלם בחוג מקבל אנרגיה כשהוא עובר במקור, ומוסר את האנרגיה הזאת לנגדים שהוא עובר בהם, ושם היא הופכת לחום. כשהמטען חוזר אל נקודת ההתחלה הוא כבר מסר את כל מה שקיבל, לא יותר ולא פחות. לכן: סכום עליות המתח בחוג שווה לסכום מפלי המתח בו.

רואים זאת בבירור אם מסרטטים את הפוטנציאל של כל נקודה לאורך החוג. הסרטוט שמתקבל נקרא דיאגרמת פוטנציאלים.

דוגמה 6.10
בחוג שבאיור E = 24 V , R1 = 2 Ω , R2 = 4 Ω ו-R3 = 6 Ω. נבחר את הנקודה D כנקודת ייחוס שהפוטנציאל שלה אפס. נחשב:
א. את הזרם ואת מפל המתח על כל נגד.
ב. את הפוטנציאל של כל אחת מן הנקודות A , B ו-C , ונסרטט את דיאגרמת הפוטנציאלים.
+−E = 24 VR1 = 2 Ω+−V1R2 = 4 Ω+−V2R3 = 6 Ω+−V3ABCDI
פתרון:

א. לפי חוק המתחים של קירכהוף:

+E − I·R1 − I·R2 − I·R3 = 0
I = 242 + 4 + 6 = 2 A
V1 = 2 · 2 = 4 V
V2 = 2 · 4 = 8 V
V3 = 2 · 6 = 12 V

ב. נתחיל מן הנקודה D ונקיף עם כיוון השעון. במקור הפוטנציאל עולה, ובכל נגד הוא יורד:

VD = 0
VA = VD + E = 24 V
VB = VA − V1 = 24 − 4 = 20 V
VC = VB − V2 = 20 − 8 = 12 V
VD = VC − V3 = 12 − 12 = 0

חזרנו אל הנקודה D ואל הפוטנציאל אפס. זהו חוק המתחים של קירכהוף: עלייה אחת של 24 V ושלושה מפלים שסכומם 24 V.

DABCD4812162024V [V]+E−V1−V2−V3
דיאגרמת הפוטנציאלים לאורך החוג: עלייה במקור (באדום) ומפל בנגדים (בכחול)

המתח בין שתי נקודות:

המתח בין שתי נקודות A ו-B הוא ההפרש בין הפוטנציאלים שלהן. תחילה כותבים את הנקודה שממנה מחסרים:

VAB = VA − VB

כדי לחשב את VAB בלי לדעת את הפוטנציאל של כל נקודה, הולכים מן הנקודה B אל הנקודה A בכל מסלול שנבחר, ומסכמים את המתחים שבדרך לפי מוסכמת הסימנים: עלייה בסימן (+) ומפל בסימן (−). התוצאה אינה תלויה במסלול שבחרנו, וגם זו משמעותו של חוק המתחים של קירכהוף.

דוגמה 6.11
בחוג של הדוגמה הקודמת נחשב את המתח VBD בשני מסלולים שונים.
פתרון:

המסלול הראשון: הולכים מ-D אל B דרך המקור והנגד R1. במקור יש עלייה, וב-R1 הולכים עם כיוון הזרם, כלומר מפל:

VBD = +E − V1 = 24 − 4 = 20 V

המסלול השני: הולכים מ-D אל B מן הצד האחר, דרך R3 ואחר כך R2. הולכים בניגוד לכיוון הזרם, ולכן מקבלים שתי עליות:

VBD = +V3 + V2 = 12 + 8 = 20 V

שני המסלולים נתנו אותה תוצאה, והיא שווה ל-VB − VD = 20 − 0 מדיאגרמת הפוטנציאלים.

VBD = 20 V
דוגמה 6.12
בענף שבאיור עובר זרם I = 2 A מן הנקודה A אל הנקודה B. נתון: R1 = 3 Ω , R2 = 2 Ω ו-E = 4 V. נחשב את המתח VAB.
+−ABR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩE = 4 V+−+−I = 2 A
פתרון:

הולכים מ-B אל A , כלומר מימין לשמאל ובניגוד לכיוון הזרם. ב-R2 יש עלייה, במקור חוצים מ-(+) אל (−) כלומר מפל, וב-R1 יש עלייה:

VAB = +I·R2 − E + I·R1
VAB = 2 · 2 − 4 + 2 · 3 = 6 V

התוצאה חיובית, כלומר הפוטנציאל של הנקודה A גבוה מן הפוטנציאל של הנקודה B.

VAB = 6 V
שאלה 6.5: בחוג של דוגמה 6.10:
א. מהו המתח VAC?
ב. מהו המתח VCA?

שימוש איכותי בחוק:

חוק המתחים של קירכהוף עוזר לנו להבין מה קורה במעגל עוד לפני שמחשבים. בחוג אחד, מתח המקור מתחלק בין הנגדים, וסכום החלקים קבוע תמיד ושווה ל-E. לכן, אם חלקו של נגד אחד גדל, חלקם של הנגדים האחרים חייב לקטון.

דוגמה 6.13
בחוג של דוגמה 6.8 (E = 12 V , R1 = 2 Ω , R2 = 4 Ω) נחליף את הנגד R1 בנגד גדול יותר, 8 Ω.
א. נסביר בלי חישוב איך משתנים הזרם והמתחים V1 ו-V2.
ב. נבדוק בחישוב.
פתרון:

א. ההתנגדות בחוג גדלה, ולכן הזרם יורד. הנגד R2 לא השתנה והזרם בו ירד, ולכן יורד גם V2 = I·R2. מתח המקור קבוע, ולפי חוק המתחים של קירכהוף V1 = E − V2 , ולכן V1 עולה.

ב. לפני השינוי חישבנו: I = 2 A , V1 = 4 V , V2 = 8 V. אחרי השינוי:

I = 128 + 4 = 1 A
V2 = 1 · 4 = 4 V
V1 = 12 − 4 = 8 V

כפי שציפינו: הזרם ירד, V2 ירד ו-V1 עלה, והסכום נשאר 12 V.

דוגמה 6.14
בחוג שבאיור E = 12 V , והמפסק S פתוח. נחשב את המתח בין הדקי המפסק.
+−E = 12 VR1R2S
פתרון:

המסלול מנותק ולכן I = 0. בלי זרם אין מפל מתח על שני הנגדים: V1 = 0 ו-V2 = 0. אבל חוק המתחים של קירכהוף נכון בכל חוג, גם כשלא עובר בו זרם. נסמן את המתח על המפסק באות VS :

+E − V1 − V2 − VS = 0
12 − 0 − 0 − VS = 0
VS = 12 V

כל מתח המקור מופיע בין הדקי המפסק הפתוח. כך גם אם אחד הנגדים מתנתק: כל המתח מופיע על מקום הנתק.

VS = 12 V
שאלה 6.6: שלוש נורות זהות מחוברות זו אחר זו למקור שמתחו 12 V.
א. מהו המתח על כל נורה?
ב. תיל הלהט של הנורה השנייה נשרף והתנתק. מהו עכשיו המתח על כל נורה?

שימוש בשני החוקים יחד:

במעגל שיש בו יותר מחוג אחד דרושים לנו שני החוקים יחד. דרך העבודה:

  1. ניתן שם לכל צומת, ונסמן בכל ענף זרם וכיוון. כיוון שאיננו יודעים נבחר כרצוננו.
  2. נסמן את הקוטביות על כל נגד לפי כיוון הזרם שבחרנו.
  3. נכתוב את חוק הזרמים של קירכהוף לצמתים ואת חוק המתחים של קירכהוף לחוגים, ונציב את מפל המתח על כל נגד לפי חוק אום.
  4. נפתור את המשוואות. תוצאה שלילית פירושה שהכיוון האמיתי הפוך לכיוון שבחרנו.
  5. נבדוק את התוצאות בחוג או בצומת שלא השתמשנו בהם.
דוגמה 6.15
במעגל שבאיור E = 24 V , R1 = 4 Ω , R2 = 12 Ω , ונמדד הזרם I1 = 3 A. נחשב:
א. את המתח על R2 ואת הזרם I2.
ב. את הזרם I3.
ג. את ערך הנגד R3.
+−E = 24 VABR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = ?+−+−+−I1 = 3 AI2I312
פתרון:

א. חוק המתחים של קירכהוף בחוג 1, מן ההדק השלילי של המקור ועם כיוון השעון:

+E − I1·R1 − V2 = 0
V2 = 24 − 3 · 4 = 12 V
I2 = V2R2 = 1212 = 1 A

ב. חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A : נכנס אליו I1 ויוצאים ממנו I2 ו-I3.

I1 = I2 + I3
I3 = 3 − 1 = 2 A

ג. חוק המתחים של קירכהוף בחוג 2. נתחיל מן הצומת B : חוצים את R2 מלמטה למעלה, כלומר בניגוד לכיוון I2 , ואחר כך חוצים את R3 עם כיוון I3 :

+V2 − V3 = 0
V3 = V2 = 12 V
R3 = V3I3 = 122 = 6 Ω

הנגדים R2 ו-R3 מחוברים בין אותם שני צמתים, ולכן המתח עליהם שווה. נחזור אל התוצאה הזאת בפרק 7.

R3 = 6 Ω
דוגמה 6.16
במעגל שבאיור E1 = 20 V , R1 = 2 Ω , R2 = 1 Ω , R3 = 4 Ω , ונמדד הזרם I1 = 2 A. נחשב:
א. את הזרם I3.
ב. את הזרם I2.
ג. את מתח המקור E2.
+−+−E1 = 20 VE2ABR1 = 2 ΩR2 = 1 ΩR3 = 4 Ω+−+−+−I1 = 2 AI2I312
פתרון:

א. חוק המתחים של קירכהוף בחוג 1. נתחיל מן ההדק השלילי של המקור E1 : חוצים את המקור מ-(−) אל (+) , ואחר כך את R1 ואת R3 עם כיוון הזרם:

+E1 − I1·R1 − I3·R3 = 0
20 − 2 · 2 − I3 · 4 = 0
I3 = 164 = 4 A

ב. חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A : נכנסים אליו I1 ו-I2 ויוצא ממנו I3.

I1 + I2 = I3
I2 = 4 − 2 = 2 A

ג. חוק המתחים של קירכהוף בחוג 2. נתחיל מן הצומת B ונקיף עם כיוון השעון: חוצים את R3 מלמטה למעלה, כלומר בניגוד לכיוון I3 ; אחר כך חוצים את R2 משמאל לימין, כלומר בניגוד לכיוון I2 ; ואחר כך חוצים את המקור E2 מ-(+) אל (−) :

+I3·R3 + I2·R2 − E2 = 0
4 · 4 + 2 · 1 − E2 = 0
E2 = 18 V

בדיקה בחוג החיצוני: +E1 − I1·R1 + I2·R2 − E2 = 20 − 4 + 2 − 18 = 0.

E2 = 18 V
שאלה 6.7: במעגל של הדוגמה הקודמת:
א. מהו המתח VAB בין שני הצמתים?
ב. מהו מפל המתח על R1 ועל R2?
▶ניסוי חי — חוקי קירכהוףמשנים את מתחי המקורות ואת ערכי הנגדים, ורואים איך הזרמים מתחלקים בצמתים והמתחים מתחלקים לאורך החוגים.
⚠
המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.
https://fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator
פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

סיכום נוסחאות הפרק:

החוקהנוסחה
חוק הזרמים של קירכהוףΣ Iin = Σ Iout
חוק הזרמים של קירכהוף, הצורה האלגבריתΣ I = 0
חוק המתחים של קירכהוףΣ V = 0
חוק המתחים של קירכהוף, צורה אחרתΣ E = Σ I·R
מפל המתח על נגדV = I·R
המתח בין שתי נקודותVAB = VA − VB

מילון מונחים:

עבריתEnglishالعربية
חוקי קירכהוףKirchhoff's lawsقوانين كيرخهوف
חוק הזרמים של קירכהוףKCLقانون كيرخهوف للتيار
חוק המתחים של קירכהוףKVLقانون كيرخهوف للجهد
צומתNodeعُقدة – نقطة تفرّع
ענףBranchفرع
חוגLoopحلقة
זרם נכנסEntering currentتيار داخل
זרם יוצאLeaving currentتيار خارج
סכום אלגבריAlgebraic sumالمجموع الجبري
שימור המטעןConservation of chargeحفظ الشحنة
שימור האנרגיהConservation of energyحفظ الطاقة
מפל מתחVoltage dropهبوط الجهد
עליית מתחVoltage riseارتفاع الجهد
קוטביותPolarityالقطبية
נקודת ייחוסReference pointنقطة مرجعية
דיאגרמת פוטנציאליםPotential diagramمخطط الجهود
עם כיוון השעוןClockwiseمع اتجاه عقارب الساعة
חוג סגורClosed loopحلقة مغلقة

שאלות לתרגול:

1.
אל צומת נכנסים הזרמים I1 = 1.2 A ו-I2 = 0.8 A , ויוצאים ממנו הזרמים I3 = 0.5 A ו-I4. נחשב את I4.
I1 = 1.2 AI2 = 0.8 AI3 = 0.5 AI4 = ?A
תשובות: I4 = 1.5 A
2.
נתבונן בצומת שבאיור. נחשב את גודל הזרם I3 ונקבע את כיוונו האמיתי.
I1 = 40 mAI2 = 80 mAI3 = ?I4 = 15 mAA
תשובות: I3 = +25 mA , כלומר כיוונו האמיתי כפי שמסורטט: נכנס אל הצומת
3.
במעגל שבאיור המקור מספק זרם I = 2 A. נמדדו: I1 = 400 mA ו-I3 = 0.9 A. נחשב את I2.
+−ER1I1 = 400 mAR2I2 = ?R3I3 = 0.9 AI = 2 AAB
תשובות: I2 = 0.7 A
4.
בקטע המעגל שבאיור נתון: I = 5 A , I1 = 1.2 A ו-I4 = 2.3 A. נחשב את I2 ואת I3.
ABI = 5 AI2 = ?I4 = 2.3 AI1 = 1.2 AI3 = ?
תשובות: I2 = 3.8 A , I3 = 1.5 A
5.
שני נגדים R1 = 30 Ω ו-R2 = 20 Ω מחוברים שניהם בין הדקי מקור שמתחו E = 6 V , כמו באיור. נחשב את הזרם בכל נגד ואת הזרם שהמקור מספק.
+−E = 6 VR1 = 30 ΩI1R2 = 20 ΩI2I = ?AB
תשובות: I1 = 0.2 A , I2 = 0.3 A , I = 0.5 A
6.
בחוג שבאיור E = 30 V , V1 = 12 V ו-V3 = 7.5 V. נחשב את V2.
+−E = 30 VR1+−V1 = 12 VR2+−V2 = ?R3+−V3 = 7.5 VI
תשובות: V2 = 10.5 V
7.
בחוג שבאיור E = 36 V , R1 = 3 Ω , R2 = 5 Ω ו-R3 = 4 Ω , והנקודה D היא נקודת הייחוס.
א. נחשב את הזרם בחוג.
ב. נחשב את מפל המתח על כל נגד.
ג. נחשב את הפוטנציאל של כל אחת מן הנקודות A , B ו-C.
ד. נחשב את VAC.
+−E = 36 VR1 = 3 Ω+−V1R2 = 5 Ω+−V2R3 = 4 Ω+−V3ABCDI
תשובות: א. I = 3 A. ב. V1 = 9 V , V2 = 15 V , V3 = 12 V. ג. VA = 36 V , VB = 27 V , VC = 12 V. ד. VAC = 24 V
8.
בחוג שבאיור E1 = 9 V , E2 = 15 V , R1 = 5 Ω ו-R2 = 3 Ω. שני המקורות מחוברים באותו כיוון. נחשב את הזרם בחוג.
+−E1 = 9 VR1 = 5 Ω+−V1R2 = 3 Ω+−V2+−E2 = 15 VI
תשובות: +E1 − I·R1 − I·R2 + E2 = 0 , I = 3 A
9.
בחוג שיש בו מקור E = 30 V ושני נגדים עובר זרם I = 2 A. נתון R1 = 5 Ω.
א. נחשב את מפל המתח על R1.
ב. נחשב את מפל המתח על R2.
ג. נחשב את R2.
+−E = 30 VR1 = 5 Ω+−V1R2 = ?+−V2I = 2 A
תשובות: א. V1 = 10 V. ב. V2 = 20 V. ג. R2 = 10 Ω
10.
בחוג שבאיור E1 = 24 V , E2 = 6 V , R1 = 4 Ω ו-R2 = 5 Ω.
א. נחשב את הזרם בחוג.
ב. נחשב את מפל המתח על כל נגד.
+−E1 = 24 VR1 = 4 Ω+−V1R2 = 5 Ω+−V2+−E2 = 6 VI
תשובות: א. I = 2 A. ב. V1 = 8 V , V2 = 10 V
11.
בענף שבאיור עובר זרם I = 1.5 A מ-A אל B. נתון: R1 = 4 Ω , R2 = 6 Ω ו-E = 9 V. נחשב את המתח VAB.
+−ABR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩE = 9 V+−+−I = 1.5 A
תשובות: VAB = +I·R2 − E + I·R1 = 6 V
12.
במעגל שבאיור E = 18 V , R1 = 3 Ω , R2 = 6 Ω , ונמדד I1 = 4 A. נחשב:
א. את המתח על R2 ואת הזרם I2.
ב. את הזרם I3.
ג. את הנגד R3.
+−E = 18 VABR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = ?+−+−+−I1 = 4 AI2I312
תשובות: א. V2 = 6 V , I2 = 1 A. ב. I3 = 3 A. ג. R3 = 2 Ω
13.
נתבונן במעגל שבאיור.
א. כמה צמתים, כמה ענפים וכמה חוגים יש במעגל?
ב. נכתוב את חוק הזרמים של קירכהוף לצומת A.
ג. נכתוב את חוק המתחים של קירכהוף לחוג 1 ולחוג 2.
ד. נתון: E1 = 12 V , R1 = 2 Ω , R2 = 4 Ω , R3 = 3 Ω , ונמדד I1 = 1.5 A. נחשב את I3 , את I2 ואת E2.
+−+−E1E2ABR1R2R3+−+−+−I1I2I312
תשובות: א. שני צמתים, שלושה ענפים, שלושה חוגים. ב. I1 + I2 = I3. ג. חוג 1: +E1 − I1·R1 − I3·R3 = 0 ; חוג 2: +I3·R3 + I2·R2 − E2 = 0. ד. I3 = 3 A , I2 = 1.5 A , E2 = 15 V
14.
בחוג שיש בו מקור ושני נגדים R1 ו-R2 מקטינים את הנגד R2. נסביר בלי חישוב איך משתנים:
א. הזרם בחוג.
ב. המתח V1.
ג. המתח V2.
תשובות: א. עולה, כי ההתנגדות בחוג ירדה. ב. עולה, כי V1 = I·R1 והזרם עלה. ג. יורד, כי V2 = E − V1
תשובות סופיות לשאלות הפרק
6.1 I3 = 1.8 A
6.2 I4 = −2 A , כלומר גודלו 2 A וכיוונו האמיתי אל הצומת (נכנס)
6.3 א. 0.3 A · ב. לא. המטען נשמר והזרם אינו נצרך; הנורה צורכת אנרגיה, לא זרם
6.4 V3 = 2.5 V
6.5 א. VAC = V1 + V2 = 12 V · ב. VCA = −12 V , כי הפוטנציאל של הנקודה C נמוך יותר
6.6 א. 4 V על כל נורה · ב. הזרם אפס, ולכן המתח על שתי הנורות התקינות אפס, ועל הנורה השרופה 12 V
6.7 א. VAB = I3·R3 = 16 V · ב. V1 = 4 V , V2 = 2 V

שאלות בגרות לפרק 6

אין שאלות בגרות עצמאיות לפרק הזה.
נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 14 — נוסחאון הספר.