פרק 7

מעגל חשמלי טורי, מקבילי ומעורב

כיתה י׳ · 8 שעות לימוד

את הנגדים שבמעגל אפשר לחבר בשתי דרכים בסיסיות. בחיבור בטור מחברים את הנגדים זה אחר זה, כמו חוליות של שרשרת, ובכולם עובר אותו זרם. בחיבור במקביל מחברים את כל הנגדים בין אותם שני צמתים, ועל כולם שורר אותו מתח. רוב המעגלים המעשיים הם שילוב של שתי הדרכים, והם נקראים מעגלים מעורבים. בפרק זה נכיר את התכונות של כל חיבור, ונלמד לפתור מעגל מעורב שלב אחר שלב. נישען על חוק אום ועל שני חוקי קירכהוף מן הפרקים הקודמים.

בסוף הפרק הזה נדע:

במעגל טורי הזרם שווה, המתח מתחלק בין הנגדים, ו-R_T = R₁ + R₂ + R₃.
נשתמש בכלל מחלק המתח כדי לחשב ישירות את המתח על כל נגד.
לקו ההזנה יש התנגדות, ונופל עליו מפל מתח שמקטין את המתח המגיע אל הצרכן.
במעגל מקבילי המתח שווה, הזרם מתחלק בין הענפים, ו-1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃.
נשתמש בכלל מחלק הזרם כדי לחשב ישירות את זרם כל ענף מן הזרם הכולל.
נסביר מתי מחברים רכיבים בטור ומתי מחברים אותם במקביל.
נפשט מעגל מעורב שלב אחר שלב, ונחשב את הזרם ואת המתח בכל נגד.

מעגל חשמלי טורי (Series Circuit)

חיבור בטור: שני נגדים מחוברים בטור אם הדק אחד של הראשון מחובר להדק אחד של השני, ומנקודת החיבור שביניהם אינו מסתעף שום רכיב אחר. כך יש לזרם מסלול אחד בלבד.

שלושה נגדים המחוברים בטור למקור מתח. החצים הירוקים מראים את המתח על כל נגד, וראש החץ מצביע על ההדק שהפוטנציאל שלו גבוה יותר

יחסים בין מתחים וזרמים:

במעגל יש מסלול אחד בלי הסתעפויות, ולכן כל המטען שיוצא מן המקור עובר בנגד הראשון, אחר כך בשני, ואחר כך בשלישי. הזרם אינו "נצרך" בדרך: עוצמתו שווה בכל נקודה במעגל.

מפל מתח: הוא המתח שנופל על נגד כאשר עובר בו זרם. לפי חוק אום הוא שווה למכפלת הזרם בהתנגדות: V = I·R.

הזרם שווה בכל הנגדים, ולכן על הנגד הגדול יותר נופל מפל המתח הגדול יותר. לפי חוק המתחים של קירכהוף, סכום מפלי המתח בחוג שווה למתח המקור.

זרם ומתחים בטור

I = I₁ = I₂ = I₃

E = V₁ + V₂ + V₃

V₁ = I·R₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
I	זרם המעגל (הזרם שהמקור מספק)	[A]
E	מתח המקור	[V]
V₁	מפל המתח על הנגד R₁ (וכך לכל נגד)	[V]

התנגדות שקולה בטור:

התנגדות שקולה: היא התנגדות אחת שיכולה להחליף את כל נגדי המעגל בלי שישתנה הזרם שהמקור מספק. מסמנים אותה R_T, והיא נקראת גם ההתנגדות הכוללת.

נציב בחוק המתחים לפי חוק אום. המקור "רואה" התנגדות אחת R_T שעובר בה הזרם I, ולכן E = I·R_T:

I·R_T = I·R₁ + I·R₂ + I·R₃

R_T = R₁ + R₂ + R₃

התנגדות שקולה בטור

R_T = R₁ + R₂ + R₃ + …

I = ER_T

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_T	ההתנגדות השקולה (הכוללת)	[Ω]
R_n	כל אחד מן הנגדים המחוברים בטור	[Ω]
I	זרם המעגל	[A]
E	מתח המקור	[V]

כלל לבדיקה: כל נגד שמוסיפים בטור מגדיל את ההתנגדות הכוללת ומקטין את הזרם. לכן ההתנגדות השקולה בטור גדולה תמיד מן הנגד הגדול ביותר בחיבור. אם הנגדים שווים, מספרם n וערך כל אחד מהם R, אז R_T = n·R, ומתח המקור מתחלק ביניהם שווה בשווה.

דוגמה 7.1

במעגל שבתרשים נחשב:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את זרם המעגל.
ג. את מפל המתח על כל נגד.

פתרון:

א. הנגדים מחוברים בטור, ולכן נחבר את ערכיהם:

R_T = R₁ + R₂ + R₃ = 2 + 4 + 6 = 12 Ω

ב. נחשב את הזרם לפי חוק אום למעגל כולו:

I = ER_T = 2412 = 2 A

ג. אותו זרם עובר בכל הנגדים:

V₁ = I·R₁ = 2·2 = 4 V

V₂ = I·R₂ = 2·4 = 8 V

V₃ = I·R₃ = 2·6 = 12 V

בדיקה לפי חוק המתחים של קירכהוף: V₁ + V₂ + V₃ = 4 + 8 + 12 = 24 V, וזה שווה למתח המקור.

I = 2 A

דוגמה 7.2

במעגל שבתרשים ההדק השלילי של המקור מחובר לאדמה. נחשב:
א. את זרם המעגל.
ב. את הפוטנציאל של כל אחת מן הנקודות A, B, C ביחס לאדמה.
ג. את הפרש הפוטנציאלים V_AC.

פתרון:

א. נחשב ביחידה [kΩ], ונקבל את הזרם ביחידה [mA]:

R_T = 2 + 3 + 1 = 6 kΩ

I = ER_T = 12 V6 kΩ = 2 mA

ב. מפלי המתח: V₁ = 2·2 = 4 V, V₂ = 2·3 = 6 V, V₃ = 2·1 = 2 V. הפוטנציאל של האדמה הוא אפס, והנקודה A מחוברת ישירות להדק החיובי. בכל פעם שמתקדמים בכיוון הזרם ועוברים נגד, הפוטנציאל יורד בגודל מפל המתח שעליו:

V_A = E = 12 V

V_B = V_A − V₁ = 12 − 4 = 8 V

V_C = V_B − V₂ = 8 − 6 = 2 V

ג. הפרש הפוטנציאלים בין שתי נקודות הוא ההפרש בין הפוטנציאלים שלהן:

V_AC = V_A − V_C = 12 − 2 = 10 V

רואים ש-V_C שווה למפל המתח על R₃, וש-V_AC = V₁ + V₂.

V_AC = 10 V

שאלה 7.1: שלושה נגדים R₁ = 5 Ω, R₂ = 15 Ω, R₃ = 20 Ω מחוברים בטור למקור שמתחו 20 V. חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את זרם המעגל.
ג. את מפל המתח על כל נגד.

כלל מחלק המתח:

מחלק מתח: הוא מעגל של שני נגדים בטור, שלוקחים ממנו חלק מן המתח הכולל: המתח שנופל על אחד משני הנגדים.

אפשר לחשב את המתח על כל נגד ישירות, בלי לחשב את הזרם. נכתוב את הזרם בעזרת ההתנגדות הכוללת, ואז נכפול אותו ב-R₁:

I = VR₁ + R₂

V₁ = I·R₁ = V·R₁R₁ + R₂

כלל מחלק המתח

V₁ = V·R₁R₁ + R₂

V₂ = V·R₂R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
V	המתח הכולל על שני הנגדים	[V]
V₁	המתח על הנגד R₁	[V]
V₂	המתח על הנגד R₂	[V]
R₁ , R₂	שני הנגדים המחוברים בטור	[Ω]

שימו לב: במונה מופיע אותו נגד שאת מתחו מחשבים: על הנגד הגדול יותר נופל המתח הגדול יותר. המתחים מתייחסים זה לזה כמו ההתנגדויות: V₁V₂ = R₁R₂. אם יש יותר משני נגדים, במכנה מופיע הסכום של כולם: V_n = E·R_nR_T.

דוגמה 7.3

במחלק המתח שבתרשים נחשב את המתח על כל נגד.

פתרון:

שני הנגדים נתונים בקילו-אום, והיחס ביניהם אינו תלוי ביחידה:

V₁ = V·R₁R₁ + R₂ = 12·44 + 8 = 4 V

V₂ = V·R₂R₁ + R₂ = 12·84 + 8 = 8 V

בדיקה: V₁ + V₂ = 4 + 8 = 12 V. הנגד R₂ גדול פי שניים מ-R₁, וכך גם המתח שעליו.

V₂ = 8 V

שימו לב: כלל מחלק המתח נכון רק אם אותו זרם עובר בשני הנגדים, כלומר כאשר לא מחובר שום צרכן לנקודת האמצע A. אם מחברים צרכן במקביל ל-R₂ המעגל נעשה מעורב, והמתח V₂ יורד (סעיף 7.3).

שאלה 7.2: במחלק מתח V = 24 V, R₁ = 3 kΩ, R₂ = 9 kΩ. חשבו את V₁ ואת V₂.

התנגדות הקו ומפל המתח עליו:

עד כה הנחנו שהתנגדות המוליכים היא אפס. כאשר הצרכן (עומס) קרוב למקור זהו קירוב טוב. אבל כאשר הצרכן רחוק, הזרם מגיע אליו דרך קו ארוך העשוי משני מוליכים: מוליך הלוך ומוליך חזור. לכל מוליך יש התנגדות, והיא מחוברת בטור עם הצרכן.

המקור, הקו (שני מוליכים) והצרכן

המעגל השקול: התנגדות הקו R_k בטור עם הצרכן

בפרק 4 למדנו שהתנגדות המוליך תלויה באורכו, בשטח החתך שלו ובהתנגדות הסגולית של החומר שלו. אם מרחק הצרכן מן המקור הוא ℓ, אז אורך שני המוליכים יחד הוא 2·ℓ:

התנגדות הקו ומפל המתח

R_k = ρ·2·ℓA

ΔV = I·R_k

V_L = E − ΔV

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_k	התנגדות הקו (שני המוליכים יחד)	[Ω]
ρ	ההתנגדות הסגולית של חומר המוליך (לנחושת 0.0175)	[Ω·mm²/m]
ℓ	אורך הקו (מרחק הצרכן מן המקור)	[m]
A	שטח החתך של המוליך	[mm²]
ΔV	מפל המתח על הקו	[V]
E	המתח בתחילת הקו (ליד המקור)	[V]
V_L	המתח בסוף הקו (על הצרכן)	[V]

הערה: מפל המתח על הקו הוא מתח "אבוד": הצרכן מקבל מתח קטן ממתח המקור. ככל שהקו ארוך יותר, או שחתכו קטן יותר, או שהזרם גדול יותר, מפל המתח גדול יותר.

דוגמה 7.4

משאבה קטנה רחוקה 20 m ממקור שמתחו 24 V, ומחוברת אליו בקו נחושת ששטח החתך של כל מוליך בו 1 mm². הזרם בקו 5 A. נחשב:
א. את התנגדות הקו.
ב. את מפל המתח על הקו.
ג. את המתח על המשאבה.

פתרון:

א. אורך שני המוליכים יחד הוא 2·20 = 40 m:

R_k = ρ·2·ℓA = 0.0175·2·201 = 0.7 Ω

ב. אותו זרם עובר בקו ובמשאבה:

ΔV = I·R_k = 5·0.7 = 3.5 V

ג. המתח על המשאבה הוא מה שנשאר ממתח המקור:

V_L = E − ΔV = 24 − 3.5 = 20.5 V

מפל המתח כאן הוא 3.524·100 ≈ 14.6 % ממתח המקור. כדי להקטינו בוחרים מוליך ששטח החתך שלו גדול יותר.

V_L = 20.5 V

שאלה 7.3: נורה שהתנגדותה 5.6 Ω מחוברת למצבר שמתחו 12 V דרך קו שהתנגדותו הכוללת R_k = 0.4 Ω. חשבו:
א. את זרם המעגל.
ב. את מפל המתח על הקו.
ג. את המתח על הנורה.

חיבור נגדים בטור והצורך בו:

להגבלת הזרם ולהורדת המתח: מחברים נגד בטור עם צרכן שנועד למתח קטן ממתח המקור, והמתח העודף נופל על הנגד.
לחלוקת המתח: מקבלים ממקור אחד מתחים שונים בעזרת מחלק מתח.
לשליטה במעגל ולהגנה עליו: המפסק והנתיך מחוברים בטור עם הצרכן, כי פתיחתם צריכה לנתק את הזרם מן הצרכן.
למדידת זרם: מד-הזרם (אמפרמטר) מחובר בטור, כדי שיעבור בו אותו זרם שרוצים למדוד.

דוגמה 7.5

נורית LED זקוקה למתח 2 V ולזרם 20 mA. רוצים להפעיל אותה מסוללה שמתחה 9 V. איזה נגד R צריך לחבר בטור איתה?

פתרון:

הנגד ונורית ה-LED מחוברים בטור, ולכן עובר בשניהם אותו זרם, 20 mA = 0.02 A. על הנגד צריך ליפול המתח העודף:

V_R = E − V_D = 9 − 2 = 7 V

R = V_RI = 70.02 = 350 Ω

R = 350 Ω

שימו לב: החיסרון של החיבור בטור: אם נוצר נתק בנקודה אחת, הזרם נפסק בכל הרכיבים, ומתח המקור כולו מופיע בין שני קצות הנתק. לעומת זאת קצר על אחד הנגדים מקטין את ההתנגדות הכוללת ומגדיל את הזרם: אם מקצרים את R₂ בדוגמה 7.1 נשאר R_T = 2 + 6 = 8 Ω, והזרם גדל מ-2 A ל-3 A.

▶ניסוי חי — סימולטור חוקי קירכהוף — חוק המתחיםבלשונית חוק המתחים משנים את הנגדים המחוברים בטור ורואים כיצד מתח המקור מתחלק ביניהם.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

מעגל חשמלי מקבילי (Parallel Circuit)

חיבור במקביל: שני נגדים או יותר מחוברים במקביל אם כל אחד משני ההדקים שלהם מחובר לאותו צומת: כל ההדקים הראשונים מחוברים לצומת אחד, וכל ההדקים השניים מחוברים לצומת שני.

שלושה נגדים המחוברים במקביל בין הצמתים A ו-B. כל נגד הוא ענף עצמאי

יחסים בין זרמים והתנגדויות:

כל הנגדים מחוברים בין אותם שני צמתים, ולכן על כולם שורר אותו מתח V_AB. אם הם מחוברים ישירות למקור, המתח על כל אחד מהם שווה למתח המקור. הזרם הכולל I_T יוצא מן המקור ומגיע לצומת A, ושם הוא מתחלק בין הענפים. בצומת B זרמי הענפים מתאחדים שוב. לפי חוק הזרמים של קירכהוף:

מתח וזרמים במקביל

E = V₁ = V₂ = V₃

I_T = I₁ + I₂ + I₃

I₁ = ER₁

סימן	משמעות	יחידת מידה
E	מתח המקור (המתח המשותף לכל הענפים)	[V]
I_T	הזרם הכולל שהמקור מספק	[A]
I₁	זרם הענף הראשון (וכך לכל ענף, לפי חוק אום)	[A]
R₁	התנגדות הענף	[Ω]

הערה: המתח שווה על כל הענפים, ולכן בנגד הקטן יותר עובר הזרם הגדול יותר, ובנגד הגדול יותר עובר הזרם הקטן יותר.

דוגמה 7.6

במעגל שבתרשים נחשב את זרם כל ענף ואת הזרם הכולל.

פתרון:

המתח על כל נגד שווה למתח המקור, 12 V. נחשב את זרם כל ענף לפי חוק אום:

I₁ = ER₁ = 124 = 3 A

I₂ = ER₂ = 126 = 2 A

I₃ = ER₃ = 1212 = 1 A

הזרם הכולל הוא סכום זרמי הענפים:

I_T = I₁ + I₂ + I₃ = 3 + 2 + 1 = 6 A

I_T = 6 A

התנגדות שקולה במקביל:

את נוסחת ההתנגדות השקולה נמצא מחוק הזרמים. נציב בכל זרם לפי חוק אום, ואז נחלק את שני האגפים ב-E:

ER_T = ER₁ + ER₂ + ER₃

1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃

התנגדות שקולה במקביל

1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃ + …

G_T = G₁ + G₂ + G₃ + …

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_T	ההתנגדות השקולה (הכוללת)	[Ω]
R_n	כל אחד מן הנגדים המחוברים במקביל	[Ω]
G_T	המוליכות הכוללת, G_T = 1R_T	[S]
G_n	המוליכות של כל ענף, G_n = 1R_n	[S]

כלל לבדיקה: כל ענף שמוסיפים במקביל פותח לזרם מסלול נוסף, ולכן המוליכות הכוללת גדלה וההתנגדות הכוללת קטנה. לכן ההתנגדות השקולה במקביל קטנה תמיד מן הנגד הקטן ביותר בחיבור.

נחשב את ההתנגדות השקולה של המעגל שבדוגמה הקודמת (4 Ω, 6 Ω, 12 Ω). נציב בנוסחה ונעשה מכנה משותף:

1R_T = 14 + 16 + 112 = 312 + 212 + 112 = 612

R_T = 126 = 2 Ω

התוצאה 2 Ω קטנה מן הנגד הקטן ביותר (4 Ω), כנדרש. בדיקה לפי חוק אום למעגל כולו: הזרם הכולל הוא 12 V על 2 Ω, כלומר 6 A, וזה אותו זרם שחישבנו בחיבור זרמי הענפים.

בשני מקרים נפוצים אפשר לקצר את הנוסחה הכללית לנוסחה קלה יותר: n נגדים שווים שערך כל אחד מהם R, ושני נגדים בלבד. במקרה השני עושים מכנה משותף ואז הופכים את השבר:

נגדים שווים · שני נגדים במקביל

R_T = Rn

R_T = R₁·R₂R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_T	ההתנגדות השקולה	[Ω]
R , n	הערך של כל אחד מן הנגדים השווים, ומספרם	[Ω]
R₁ , R₂	שני נגדים במקביל: המכפלה חלקי הסכום	[Ω]

הערה: את החיבור במקביל מסמנים בשני קווים מקבילים: R₁ ∥ R₂. למשל 6 Ω ∥ 3 Ω = 6·36 + 3 = 2 Ω. נוסחת המכפלה חלקי הסכום מתאימה לשני נגדים בלבד. כשיש שלושה נגדים משתמשים בה פעמיים: 4 Ω ∥ 6 Ω = 2.4 Ω, ואז 2.4 Ω ∥ 12 Ω = 2 Ω, כפי שקיבלנו בנוסחה הכללית.

שאלה 7.4: שלושה נגדים R₁ = 10 Ω, R₂ = 15 Ω, R₃ = 30 Ω מחוברים במקביל למקור שמתחו 30 V. חשבו:
א. את זרם כל ענף.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את ההתנגדות השקולה.

שאלה 7.5: חשבו את ההתנגדות השקולה:
א. 12 Ω ∥ 4 Ω.
ב. 1 kΩ ∥ 4 kΩ.
ג. חמישה נגדים במקביל, שערך כל אחד מהם 60 Ω.

כלל מחלק הזרם:

לעיתים קרובות ידוע הזרם הכולל הנכנס לשני נגדים במקביל, ורוצים לדעת איזה חלק ממנו עובר בכל נגד. אפשר לחשב זאת ישירות, בלי לחשב את המתח. נחשב את המתח המשותף בעזרת ההתנגדות השקולה, ואז נחלק אותו ב-R₁:

V = I_T·R_T = I_T·R₁·R₂R₁ + R₂

I₁ = VR₁ = I_T·R₂R₁ + R₂

כלל מחלק הזרם

I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂

I₂ = I_T·R₁R₁ + R₂

סימן	משמעות	יחידת מידה
I_T	הזרם הכולל הנכנס לשני הנגדים	[A]
I₁	הזרם בנגד R₁	[A]
I₂	הזרם בנגד R₂	[A]
R₁ , R₂	שני הנגדים המחוברים במקביל	[Ω]

שימו לב: במונה מופיע הנגד האחר, ולא הנגד שאת זרמו מחשבים: ככל שהנגד גדול יותר, חלקו בזרם קטן יותר. זה ההפך מכלל מחלק המתח, שבו מופיע במונה אותו נגד.

דוגמה 7.7

זרם שעוצמתו I_T = 5 A נכנס לשני נגדים המחוברים במקביל: R₁ = 20 Ω ו-R₂ = 30 Ω. נחשב את הזרם בכל נגד.

פתרון:

I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂ = 5·3020 + 30 = 3 A

I₂ = I_T·R₁R₁ + R₂ = 5·2020 + 30 = 2 A

בדיקה: I₁ + I₂ = 3 + 2 = 5 A. וגם המתח שווה על שני הנגדים: 3·20 = 2·30 = 60 V.

I₁ = 3 A

שאלה 7.6: זרם שעוצמתו 12 mA נכנס לשני נגדים במקביל: R₁ = 1 kΩ ו-R₂ = 3 kΩ. חשבו את הזרם בכל נגד.

חיבור נגדים במקביל והצורך בו:

ברשת החשמל בבית, במכונית ובמכשירים אלקטרוניים הצרכנים מחוברים במקביל, וזאת מכמה סיבות:

כל צרכן מקבל את מלוא מתח המקור. מכשירים מיוצרים לפעולה במתח מסוים, כמו 230 V בבית או 12 V במכונית.
כל צרכן פועל באופן עצמאי. אפשר להפעיל מכשיר או לכבות אותו במפסק משלו, בלי להשפיע על המכשירים האחרים.
תקלה בצרכן אחד אינה משביתה את האחרים. אם נורה אחת נשרפת הענף שלה נפתח, ושאר הענפים ממשיכים לפעול.
כדי לקבל התנגדות קטנה מן הנגדים שבידינו, או כדי לחלק את הזרם בין כמה נגדים.

דוגמה 7.8

במכונית מתח המצבר 12 V. שלושה צרכנים מחוברים אליו במקביל דרך נתיך אחד שעומד בזרם של עד 8 A: שתי נורות שהתנגדויותיהן R₁ = 4 Ω ו-R₂ = 6 Ω, ומקלט רדיו שהתנגדותו R₃ = 24 Ω.
א. נחשב את זרם כל צרכן ואת הזרם הכולל. ב. מה יקרה אם נוסיף במקביל צרכן רביעי שהתנגדותו 3 Ω?

פתרון:

א. כל צרכן מקבל 12 V:

I₁ = 124 = 3 A

I₂ = 126 = 2 A

I₃ = 1224 = 0.5 A

I_T = 3 + 2 + 0.5 = 5.5 A

הזרם הכולל קטן מ-8 A, ולכן הנתיך אינו נשרף.

ב. הצרכן הרביעי מוסיף ענף רביעי. זרמי הצרכנים האחרים אינם משתנים:

I₄ = 123 = 4 A

I_T = 5.5 + 4 = 9.5 A

עכשיו הזרם הכולל גדול מ-8 A, ולכן הנתיך נשרף ומנתק את המעגל כולו.

I_T = 5.5 A

אזהרה: כל צרכן שמוסיפים במקביל מגדיל את הזרם הכולל העובר בקו ההזנה. חיבור של צרכנים רבים לאותו קו גורם לעומס יתר ולהתחממות המוליכים. הנתיך מגן על הקו מפני סכנה זו.

השוואה בין חיבור טורי לחיבור מקבילי:

	בטור	במקביל
הזרם	שווה בכל הנגדים	מתחלק בין הענפים: I_T = I₁ + I₂
המתח	מתחלק בין הנגדים: E = V₁ + V₂	שווה על כל הענפים
ההתנגדות השקולה	R_T = R₁ + R₂, גדולה מן הנגד הגדול ביותר	R_T = R₁·R₂R₁ + R₂, קטנה מן הנגד הקטן ביותר
n נגדים שווים	R_T = n·R	R_T = Rn
כלל המחלק	מחלק מתח: V₁ = V·R₁R₁ + R₂	מחלק זרם: I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂
נתק ברכיב אחד	הזרם נפסק במעגל כולו	שאר הענפים ממשיכים לפעול

▶ניסוי חי — סימולטור חוקי קירכהוף — חוק הזרמיםמשנים את ערכי הנגדים ורואים כיצד הזרם מתחלק בין הענפים, ומוודאים שסכום זרמי הענפים שווה לזרם הכולל.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

מעגל מעורב (Series-Parallel Circuit)

מעגל מעורב: הוא מעגל שיש בו גם נגדים המחוברים בטור וגם נגדים המחוברים במקביל. פותרים אותו בעזרת החוקים של שני הסעיפים הקודמים, אחרי שמזהים את צורת החיבור בכל קבוצת נגדים.

בטור: שני נגדים שעובר בהם בדיוק אותו זרם. ביניהם נקודת חיבור אחת, ומנקודה זו אינו מסתעף שום רכיב אחר.
במקביל: שני נגדים שעליהם בדיוק אותו מתח. שני ההדקים של הראשון ושני ההדקים של השני מחוברים לאותם שני צמתים.

שיטת הפתרון שלב אחר שלב:

מחפשים קבוצת נגדים המחוברת באופן ברור בטור או במקביל. בדרך כלל מתחילים מן הצד הרחוק מן המקור.
מחשבים את ההתנגדות השקולה של הקבוצה, ומסרטטים את המעגל מחדש ובו נגד אחד במקום הקבוצה. חוזרים על כך עד שנשאר נגד אחד, והוא R_T.
מחשבים את הזרם הכולל: I_T = ER_T.
חוזרים לאחור, מסרטוט לסרטוט. בקבוצה טורית הזרם שווה, ומחשבים את המתחים לפי V = I·R. בקבוצה מקבילית המתח שווה, ומחשבים את הזרמים לפי I = VR.
בודקים את התוצאות: חוק הזרמים של קירכהוף בכל צומת, וחוק המתחים של קירכהוף בכל חוג.

הערה: את ההתנגדות השקולה של קבוצה מסמנים לפי מספרי הנגדים שבה: R₂₃ היא השקולה של R₂ ו-R₃, ו-R₂₃₄ היא השקולה של R₂, R₃ ו-R₄.

דוגמה 7.9

במעגל שבתרשים נחשב:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את המתח על כל נגד.
ד. את הזרם בכל נגד.

פתרון:

א. הנגדים R₂ ו-R₃ מחוברים בין אותם שני צמתים A ו-B, ולכן הם במקביל. נחליף אותם בנגד שקול R₂₃:

R₂₃ = R₂·R₃R₂ + R₃ = 10·1510 + 15 = 6 Ω

בסרטוט החדש R₁ ו-R₂₃ מחוברים בטור, כי אותו זרם עובר בשניהם:

השלב הראשון: R₂₃ במקום R₂ ו-R₃

השלב השני: ההתנגדות השקולה

R_T = R₁ + R₂₃ = 3 + 6 = 9 Ω

ב. הזרם הכולל:

I_T = ER_T = 189 = 2 A

ג. חוזרים לסרטוט הראשון. הזרם I_T עובר ב-R₁ וב-R₂₃:

V₁ = I_T·R₁ = 2·3 = 6 V

V_AB = I_T·R₂₃ = 2·6 = 12 V

המתח V_AB = 12 V הוא המתח על R₂ וגם על R₃, כי הם במקביל. בדיקה: V₁ + V_AB = 6 + 12 = 18 V.

ד. חוזרים למעגל המקורי. הזרם ב-R₁ הוא I_T, ואת זרמי שני הענפים נחשב מן המתח V_AB:

I₂ = V_ABR₂ = 1210 = 1.2 A

I₃ = V_ABR₃ = 1215 = 0.8 A

בדיקה לפי חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A: I₂ + I₃ = 1.2 + 0.8 = 2 A, וזה שווה ל-I_T.

R_T = 9 Ω

דוגמה 7.10

במעגל שבתרשים נחשב:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכולל ואת זרם כל ענף.
ג. את המתח על R₁ ועל R₂.

פתרון:

א. בענף השמאלי R₁ ו-R₂ מחוברים בטור. הענף הזה כולו מחובר במקביל ל-R₃:

R₁₂ = R₁ + R₂ = 2 + 4 = 6 Ω

R_T = R₁₂·R₃R₁₂ + R₃ = 6·36 + 3 = 2 Ω

ב. שני הענפים מחוברים ישירות למקור, ולכן המתח על כל ענף הוא 12 V:

I_T = ER_T = 122 = 6 A

I₁ = ER₁₂ = 126 = 2 A

I₃ = ER₃ = 123 = 4 A

ג. הזרם I₁ עובר ב-R₁ וב-R₂:

V₁ = I₁·R₁ = 2·2 = 4 V

V₂ = I₁·R₂ = 2·4 = 8 V

בדיקה: I₁ + I₃ = 2 + 4 = 6 A, ו-V₁ + V₂ = 4 + 8 = 12 V.

R_T = 2 Ω

שאלה 7.7: חשבו את ההתנגדות השקולה בין ההדקים A ו-B שבתרשים. (הדרכה: מתחילים מן הצד הימני, הרחוק מן ההדקים.)

מעגל מעורב עם מפסק:

המפסק משנה את צורת המעגל, ולכן פותרים אותו פעמיים. מפסק פתוח הוא נתק: בענף שבו נמצא המפסק לא עובר זרם, ומוחקים את הענף הזה מן הסרטוט. מפסק סגור הוא מוליך שהתנגדותו אפס.

דוגמה 7.11

במעגל שבתרשים המפסק S מחובר בטור עם R₃. נחשב את הזרם הכולל ואת המתח על R₁ ועל R₂:
א. כאשר המפסק פתוח.
ב. כאשר המפסק סגור.

פתרון:

א. המפסק פתוח. ב-R₃ לא עובר זרם, ו-R₁ ו-R₂ נשארים בטור:

R_T = R₁ + R₂ = 6 + 12 = 18 Ω

I_T = 3618 = 2 A

V₁ = 2·6 = 12 V

V₂ = 2·12 = 24 V

ב. המפסק סגור. עכשיו R₃ מחובר במקביל ל-R₂:

R₂₃ = 12·412 + 4 = 3 Ω

R_T = R₁ + R₂₃ = 6 + 3 = 9 Ω

I_T = 369 = 4 A

V₁ = 4·6 = 24 V

V₂ = V_AB = 36 − 24 = 12 V

סגירת המפסק הוסיפה ענף במקביל, ולכן ההתנגדות הכוללת קטנה והזרם הכולל גדל. המתח על R₁ גדל, ולכן המתח על R₂ קטן. זה מה שקורה גם למחלק מתח כאשר מחברים צרכן למוצא שלו.

V₂ = 12 V

שאלה 7.8: במעגל מעורב הנגד R₁ = 1 kΩ מחובר בטור עם קבוצה שבה R₂ = 6 kΩ ו-R₃ = 3 kΩ מחוברים במקביל. מתח המקור 9 V. סרטטו את המעגל וחשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את המתח על R₁ ועל הקבוצה.
ד. את הזרם ב-R₂ וב-R₃.

▶ניסוי חי — סימולטור המעגל המעורבבוחרים אחד משמונה מעגלים מעורבים, משנים את ערכי הנגדים ועוקבים אחר הפתרון המלא שלב אחר שלב. במצב התרגול מחשבים לבד ואז בודקים את התשובות.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/mixed_circuit_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/mixed_circuit_pro

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
זרם ומתחים בטור	E = V₁ + V₂ + V₃
התנגדות שקולה בטור	R_T = R₁ + R₂ + R₃
מחלק מתח	V₁ = V·R₁R₁ + R₂
התנגדות הקו	R_k = ρ·2·ℓA
מפל המתח על הקו	ΔV = I·R_k
המתח על הצרכן	V_L = E − ΔV
מתח וזרמים במקביל	I_T = I₁ + I₂ + I₃
התנגדות שקולה במקביל	1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃
שני נגדים במקביל	R_T = R₁·R₂R₁ + R₂
n נגדים שווים במקביל	R_T = Rn
מחלק זרם	I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
חיבור בטור	Series connection	الربط على التوالي
חיבור במקביל	Parallel connection	الربط على التوازي
מעגל מעורב	Series-parallel circuit	الدائرة المختلطة
התנגדות שקולה	Equivalent resistance	المقاومة المكافئة (الكلية)
מפל מתח	Voltage drop	هبوط الجهد
מחלק מתח	Voltage divider	مُجزِّء الجهد
מחלק זרם	Current divider	مُجزِّء التيار
התנגדות הקו	Line resistance	مقاومة الخط
עומס / צרכן	Load	حِمل
צומת	Node	عُقدة
ענף	Branch	فرع
מוליכות	Conductance	المواصلة
נתק	Open circuit	قطع (دائرة مفتوحة)
קצר	Short circuit	دائرة قصر
עומס יתר	Overload	تحميل زائد
אדמה	Ground	الأرضي

שאלות לתרגול:

במעגל שבתרשים חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את זרם המעגל.
ג. את מפל המתח על כל נגד.
ד. בדקו את התוצאות לפי חוק המתחים של קירכהוף.

תשובות: א. R_T = 60 Ω. ב. I = 0.2 A. ג. V₁ = 2 V, V₂ = 6 V, V₃ = 4 V. ד. 2 + 6 + 4 = 12 V

במעגל שבתרשים חשבו:
א. את זרם המעגל ביחידה [mA].
ב. את הפוטנציאל של כל אחת מן הנקודות A, B, C ביחס לאדמה.
ג. את הפרש הפוטנציאלים V_BC.

תשובות: א. I = 2 mA. ב. V_A = 20 V, V_B = 18 V, V_C = 10 V. ג. V_BC = 8 V

במחלק המתח שבתרשים חשבו לפי כלל מחלק המתח:
א. את V₁.
ב. את V₂.
ג. את זרם המחלק.

תשובות: א. V₁ = 6 V. ב. V₂ = 24 V. ג. I = 3 mA

רוצים לקבל מתח V₂ = 5 V ממקור שמתחו V = 12 V בעזרת מחלק מתח. הנגד העליון הוא R₁ = 1.4 kΩ. חשבו:
א. את זרם המחלק.
ב. את R₂.

תשובות: א. I = 5 mA. ב. R₂ = 1 kΩ

קו נחושת שאורכו 40 m ושטח החתך של כל מוליך בו 2 mm² מזין צרכן שצורך 10 A. המתח בתחילת הקו 48 V. חשבו:
א. את התנגדות הקו.
ב. את מפל המתח על הקו.
ג. את המתח על הצרכן.

תשובות: א. R_k = 0.7 Ω. ב. ΔV = 7 V. ג. V_L = 41 V

במעגל שבתרשים חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את זרם כל ענף.

תשובות: א. R_T = 2 Ω. ב. I_T = 12 A. ג. I₁ = 2 A, I₂ = 4 A, I₃ = 6 A

חשבו את ההתנגדות השקולה בכל מקרה:
א. 40 Ω ∥ 60 Ω.
ב. 9 Ω ∥ 18 Ω.
ג. 2.2 kΩ ∥ 2.2 kΩ.
ד. 20 Ω ∥ 30 Ω ∥ 12 Ω.

תשובות: א. 24 Ω · ב. 6 Ω · ג. 1.1 kΩ · ד. 6 Ω

במעגל שבתרשים מד-הזרם מודד זרם כולל של 5 A, ומתח המקור 36 V. חשבו:
א. את הזרם ב-R₁.
ב. את הזרם ב-R₂.
ג. את ערכו של R₂.

תשובות: א. I₁ = 3 A. ב. I₂ = 2 A. ג. R₂ = 18 Ω

זרם כולל שעוצמתו 3 mA נכנס לשני נגדים במקביל: 3 kΩ ו-6 kΩ. חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את המתח על שני הנגדים.
ג. את הזרם בכל נגד לפי כלל מחלק הזרם.

תשובות: א. R_T = 2 kΩ. ב. V = 6 V. ג. 2 mA בנגד 3 kΩ ו-1 mA בנגד 6 kΩ

10.

מד-זרם שהתנגדותו הפנימית R_m = 50 Ω מגיע לסוף הסקלה בזרם של 1 mA. רוצים למדוד בו זרמים עד 51 mA, ולכן מחברים במקביל אליו נגד שיעבור בו שאר הזרם. חשבו את ערכו של הנגד הזה.

תשובות: המתח על המד 0.05 V, והזרם בנגד 50 mA, ולכן R = 1 Ω

11.

במעגל שבתרשים חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את המתח V_AB.
ד. את הזרמים I₂ ו-I₃.

תשובות: א. R_T = 8 Ω. ב. I_T = 3 A. ג. V_AB = 12 V. ד. I₂ = 1 A, I₃ = 2 A

12.

במעגל שבתרשים ארבעה נגדים. חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכולל.
ג. את המתח V_AB.
ד. את הזרמים I₂ ו-I₃.
ה. את המתח על R₄.

תשובות: א. R_T = 8 Ω. ב. I_T = 3 A. ג. V_AB = 12 V. ד. I₂ = 1 A, I₃ = 2 A. ה. V₄ = 8 V

13.

במעגל שבתרשים חשבו את הזרם הכולל ואת המתח על R₂:
א. כאשר המפסק פתוח.
ב. כאשר המפסק סגור.

תשובות: א. I_T = 2 A, V₂ = 20 V. ב. I_T = 3 A, V₂ = 15 V

14.

מחלק מתח העשוי מ-R₁ = 2 kΩ ו-R₂ = 6 kΩ מחובר למקור שמתחו 12 V.
א. חשבו את המתח על R₂ ללא צרכן.
ב. מחברים במקביל ל-R₂ צרכן שהתנגדותו 3 kΩ. חשבו את המתח על R₂ עכשיו.
ג. מדוע קטן המתח?

תשובות: א. V₂ = 9 V. ב. R₂ ∥ R_L = 2 kΩ, V₂ = 6 V. ג. הצרכן הקטין את ההתנגדות שבין נקודת האמצע לקו התחתון, ולכן קטן חלקה במתח

תשובות סופיות לשאלות הפרק

7.1 א. R_T = 40 Ω. ב. I = 0.5 A. ג. V₁ = 2.5 V, V₂ = 7.5 V, V₃ = 10 V

7.2 V₁ = 6 V, V₂ = 18 V

7.3 א. I = 2 A. ב. ΔV = 0.8 V. ג. V_L = 11.2 V

7.4 א. I₁ = 3 A, I₂ = 2 A, I₃ = 1 A. ב. I_T = 6 A. ג. R_T = 5 Ω

7.5 א. 3 Ω · ב. 0.8 kΩ (כלומר 800 Ω) · ג. 12 Ω

7.6 I₁ = 9 mA, I₂ = 3 mA

7.7 R₃₄ = 20 Ω, R₂₃₄ = 12 Ω, R_AB = 22 Ω

7.8 א. R_T = 3 kΩ. ב. I_T = 3 mA. ג. V₁ = 3 V, V₂₃ = 6 V. ד. I₂ = 1 mA, I₃ = 2 mA

שאלות בגרות לפרק 7

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, במקצוע אלקטרוניקה ומחשבים. מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2024 שאלה 1 — מעגל עם מפסק, שני ענפים מקבילים ומקור יחיד

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם הכללי I_T (המפסק פתוח)	I_T = 1.8 A
סעיף ב	ההספק הכללי (המפסק פתוח)	P = 32.4 W
סעיף ג	ערך הנגד R₁ (המפסק סגור, P = 36W)	R₁ = 6 Ω
סעיף ד	ההספק הכללי לאחר ניתוק R₃ (המפסק סגור)	P ≈ 24.9 W (= 324/13 W)

הפתרון המלא של בחינת 2024: fahed-lab.com/exams

בגרות 2023 שאלה 1 — מעגל טורי-מקבילי עם מקור מתח

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם שמספק מקור המתח E	I(E) = 1.8 A
סעיף ב	הזרם דרך הנגד R₃	I(R₃) = 1.35 A
סעיף ג	ההתנגדות השקולה של המעגל והנגד R₅	בפתרון המלא
סעיף ד	ההספק המתפתח בנגד R₄	P(R₄) = 4.86 W

הפתרון המלא של בחינת 2023: fahed-lab.com/exams

בגרות 2021 (מועד ב) שאלה 1 — נגד בודד במקביל לענף טורי

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	המתח על R₃	U(R₃) = 14.4 V
סעיף ב	המתח על R₄	U(R₄) = 3 V
סעיף ג	ההתנגדות השקולה R_T	R_T = 3.75 kΩ
סעיף ד	ההספק המתפתח בנגד R₁	P(R₁) = 0.15 W = 150 mW

הפתרון המלא של בחינת 2021: fahed-lab.com/exams

בגרות 2021 שאלה 1 — רשת נגדים עם מקור מתח יחיד

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם דרך R₄	I(R₄) = 0.5 A
סעיף ב	הזרם שמספק המקור E	I = 2.5 A
סעיף ג	ההתנגדות השקולה של המעגל	R_eq = 9.6 Ω
סעיף ד	מתח המקור E	E = 24 V
סעיף ה1	ההספק על כל אחד מהנגדים	P₁=12.5W · P₂=8W · P₃=1W · P₄=1W · P₅=37.5W
סעיף ה2	סכום ההספקים שווה להספק המקור	בפתרון המלא

הפתרון המלא של בחינת 2021: fahed-lab.com/exams

בגרות 2019 שאלה 1 — מעגל נגדים עם מד-מתח

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם דרך R₄	I(R₄) = 1.6 mA
סעיף ב	המתח על R₁	U(R₁) = 7.2 V
סעיף ג	מתח המקור E	E = 23.2 V
סעיף ד	ההספק על R₂	P(R₂) = 13.2 mW

הפתרון המלא של בחינת 2019: fahed-lab.com/exams

בגרות 2018 שאלה 1 — מעגל עם ארבעה מדי-זרם ומקור מתח

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	ההתנגדות השקולה R_T	R_T = 10 Ω
סעיף ב	הזרם דרך R₁	I(R₁) = 10 A
סעיף ג	ההתנגדות של כל אחד מהנגדים	R₁ = 20 Ω ; R₂ = 40 Ω ; R₃ = 80 Ω ; R₄ = 80 Ω
סעיף ד	מאזן ההספקים	בפתרון המלא

הפתרון המלא של בחינת 2018: fahed-lab.com/exams

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 14 — נוסחאון הספר.