أساسيات علم الكهرباء · الفصل 6 — قانون التيارات وقانون الجهود لكيرخهوفחוק הזרמים וחוק המתחים של קירכהוף · מבוא להנדסת אלקטרוניקה 11.00⌂📚🏠
الفصل 6

قانون التيارات وقانون الجهود لكيرخهوف

חוק הזרמים וחוק המתחים של קירכהוף
الصف العاشر · 7 ساعات تعليمية

قانون أوم يربط بين الجهد والتيار في عنصر واحد. لكن في دائرة فيها عدة عناصر وعدة مسارات نحتاج إلى قانونين آخرين: قانون يبيّن كيف تتوزع التيارات في نقاط التفرع، وقانون يبيّن كيف تتوزع الجهود حول مسار مغلق. هذان هما قانونا كيرخهوف، وعليهما مع قانون أوم يعتمد تحليل جميع الدوائر الكهربائية والإلكترونية في الفصول القادمة.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:
  • نُعرّف العُقدة، ونعلّم التيارات الداخلة إليها والتيارات الخارجة منها.
  • نحسب تيارات حسب قانون كيرخهوف للتيار: مجموع التيارات الداخلة إلى العُقدة يساوي مجموع التيارات الخارجة منها.
  • نشرح المعنى الفيزيائي للقانونين: حفظ الشحنة وحفظ الطاقة.
  • نُعرّف الفرع والحلقة، ونعلّم قطبية هبوط الجهد على المقاومة وقطبية جهد المصدر.
  • نحسب جهودا حسب قانون كيرخهوف للجهد: المجموع الجبري للجهود في حلقة مغلقة يساوي صفرا.
  • نحسب الجهد بين نقطتين في الدائرة، ونشرح دون حساب كيف تتغير الجهود عند تغيير مقاومة.

חוק הזרמים: צומת, סימון זרמים נכנסים ויוצאים, ניסוח החוק ומשמעותו הפיזיקלית – قانون كيرخهوف للتيار (KCL)

التيار الكهربائي هو حركة شحنات. الشحنات لا تتراكم في نقطة من الدائرة ولا تختفي منها: كل شحنة تصل إلى نقطة تفرع تخرج منها في أحد المسارات. من هذه الحقيقة البسيطة ينتج القانون الأول.

العُقدة (צומת): هي نقطة تفرّع في الدائرة: نقطة يلتقي فيها ثلاثة موصلات أو أكثر. في العُقدة يتفرع التيار إلى عدة مسارات، أو تتجمع فيها تيارات من عدة مسارات. في المخطط نعلّم العُقدة بنقطة سوداء.

تعليم التيارات الداخلة والخارجة – סימון זרמים נכנסים ויוצאים:

I1I2I3I4A
العُقدة A : تيارات داخلة (بالأزرق) وتيارات خارجة (بالأحمر)

صياغة القانون – ניסוח החוק:

قانون كيرخهوف للتيار (חוק הזרמים של קירכהוף, KCL): مجموع التيارات الداخلة إلى عُقدة يساوي مجموع التيارات الخارجة منها. وبصياغة أخرى: المجموع الجبري لجميع التيارات الداخلة إلى العُقدة والخارجة منها يساوي صفرا.
قانون كيرخهوف للتيار · KCL
Σ Iin = Σ Iout
Σ I = 0
الرمزالمعنىوحدة القياس
Σ Iinمجموع التيارات الداخلة إلى العُقدة[A]
Σ Ioutمجموع التيارات الخارجة من العُقدة[A]
Σ Iالمجموع الجبري: تيار داخل بإشارة (+) وتيار خارج بإشارة (−)[A]

للعُقدة التي في الرسم السابق نكتب القانون بإحدى الصيغتين، وهما متساويتان:

I1 + I2 = I3 + I4
I1 + I2 − I3 − I4 = 0
مثال 6.1
إلى العُقدة A يدخل التياران I1 = 3 A و I2 = 5 A ، ويخرج منها التياران I3 = 2 A و I4. نحسب I4.
I1 = 3 AI2 = 5 AI3 = 2 AI4 = ?A
الحل:

نكتب قانون كيرخهوف للتيار للعُقدة A : الداخلة في طرف والخارجة في الطرف الآخر.

I1 + I2 = I3 + I4
3 + 5 = 2 + I4
I4 = 8 − 2 = 6 A
I4 = 6 A
مثال 6.2
إلى العُقدة A يدخل التيار I1 = 8 A ، ويخرج منها التياران I2 = 3 A و I3 = 7 A. اتجاه التيار I4 غير معروف. نحسب مقداره واتجاهه.
I1 = 8 AI2 = 3 AI3 = 7 AI4 = ?A
الحل:

نختار للتيار I4 اتجاها: نفرض أنه خارج من العُقدة، كما في الرسم. نكتب القانون:

I1 = I2 + I3 + I4
8 = 3 + 7 + I4
I4 = 8 − 10 = −2 A

النتيجة سالبة. معنى ذلك أن الاتجاه الحقيقي معاكس للاتجاه الذي اخترناه: التيار I4 يدخل إلى العُقدة ومقداره 2 A.

فحص: الداخلة 8 + 2 = 10 A ، والخارجة 3 + 7 = 10 A.

I4 = −2 A
سؤال 6.1: إلى عُقدة يدخل تيار I1 = 2.5 A ويخرج منها تياران: I2 = 0.7 A و I3. ما هو التيار I3؟

المعنى الفيزيائي للقانون – המשמעות הפיזיקלית של החוק:

قانون كيرخهوف للتيار هو تعبير عن قانون حفظ الشحنة (חוק שימור המטען): الشحنة الكهربائية لا تنشأ من لا شيء ولا تفنى. العُقدة مجرد نقطة ربط بين موصلات، ولا يوجد فيها مكان لتخزين الشحنات. لذلك، في كل ثانية، كمية الشحنة التي تصل إلى العُقدة تساوي تماما كمية الشحنة التي تغادرها.

يشبه ذلك تفرّع أنابيب الماء: كمية الماء التي تدخل إلى نقطة التفرع في الثانية تساوي كمية الماء التي تخرج منها في جميع الأنابيب معا.

مثال 6.3
إلى عُقدة يدخل تياران I1 = 2 A و I2 = 3 A ، ويخرج منها تيار واحد I3. نحسب:
أ. الشحنة التي تدخل إلى العُقدة خلال 10 s.
ب. التيار I3 حسب حفظ الشحنة.
الحل:

أ. تعلّمنا في الفصل 3 أن الشحنة التي ينقلها تيار خلال زمن معيّن هي Q = I·t :

Qin = (I1 + I2)·t = (2 + 3) · 10 = 50 C

ب. الشحنة لا تتراكم في العُقدة، ولذلك تخرج منها خلال نفس الزمن نفس الشحنة:

Qout = Qin = 50 C
I3 = Qoutt = 5010 = 5 A

حصلنا على نفس النتيجة التي يعطيها قانون كيرخهوف للتيار: I3 = I1 + I2 = 5 A.

I3 = 5 A

من القانون تنتج استنتاجات مهمة نستعملها في كل دائرة:

مثال 6.4
في الدائرة التي في الرسم يزوّد المصدر تيارا I = 0.9 A. قيس التياران I1 = 0.5 A و I2 = 100 mA. نحسب التيار I3.
+−ER1I1 = 0.5 AR2I2 = 100 mAR3I3 = ?I = 0.9 AAB
الحل:

نحوّل: I2 = 100 mA = 0.1 A. الموصل العلوي كله نقطة كهربائية واحدة، هي العُقدة A : يدخل إليها التيار I وتخرج منها التيارات الثلاثة.

I = I1 + I2 + I3
0.9 = 0.5 + 0.1 + I3
I3 = 0.9 − 0.6 = 0.3 A

في العُقدة B تتجمع التيارات الثلاثة من جديد، ويعود إلى المصدر نفس التيار I = 0.9 A.

I3 = 0.3 A
مثال 6.5
في جزء الدائرة الذي في الرسم عُقدتان. معطى: I = 6 A ، I1 = 2.5 A و I3 = 1.5 A. نحسب التيارين I2 و I4.
ABI = 6 AI2 = ?I4 = ?I1 = 2.5 AI3 = 1.5 A
الحل:

نكتب القانون لكل عُقدة على حدة. في العُقدة A يدخل I ويخرج I1 و I2 :

I = I1 + I2
I2 = 6 − 2.5 = 3.5 A

التيار I2 الخارج من العُقدة A هو نفسه الداخل إلى العُقدة B ، ومنها يخرج I3 و I4 :

I2 = I3 + I4
I4 = 3.5 − 1.5 = 2 A

فحص: التيار الداخل إلى جزء الدائرة كله، 6 A ، يساوي مجموع التيارات الخارجة منه: 2.5 + 1.5 + 2 = 6 A.

I4 = 2 A
مثال 6.6
ثلاث مقاومات R1 = 6 Ω ، R2 = 4 Ω و R3 = 12 Ω مربوطة كلها بين قطبي مصدر جهده E = 12 V. نحسب التيار في كل مقاومة والتيار I الذي يزوّده المصدر.
+−E = 12 VR1 = 6 ΩI1R2 = 4 ΩI2R3 = 12 ΩI3IAB
الحل:

كل مقاومة مربوطة مباشرة بين قطبي المصدر، ولذلك الجهد على كل واحدة منها هو 12 V. نحسب التيار في كل مقاومة حسب قانون أوم:

I1 = ER1 = 126 = 2 A
I2 = ER2 = 124 = 3 A
I3 = ER3 = 1212 = 1 A

حسب قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A :

I = I1 + I2 + I3 = 2 + 3 + 1 = 6 A

في المقاومة الأصغر يمر التيار الأكبر.

I = 6 A
سؤال 6.2: ننظر إلى العُقدة التي في الرسم. نحسب مقدار التيار I4 ونحدد اتجاهه الحقيقي.
I1 = 4 AI2 = 12 AI3 = 6 AI4 = ?A
سؤال 6.3: مصباحان مربوطان واحدا بعد الآخر، دون تفرّع بينهما، وفي المصباح الأول يمر تيار 0.3 A.
أ. ما هو التيار في المصباح الثاني؟
ب. طالب قال: «التيار بعد المصباح الأول أصغر، لأن المصباح استهلك جزءا منه». هل هو محق؟

חוק המתחים: ענף וחוג במעגל חשמלי, מפלי מתח במעגל וסימונם, הסבר כמותי ואיכותי של החוק – قانون كيرخهوف للجهد (KVL)

الفرع والحلقة – ענף וחוג במעגל חשמלי:

الفرع (ענף): هو جزء من الدائرة يصل بين عُقدتين، وفيه عنصر واحد أو عدة عناصر مربوطة واحدا بعد الآخر. في جميع عناصر الفرع يمر نفس التيار.
الحلقة (חוג): هي مسار مغلق في الدائرة: نخرج من نقطة، نمر عبر عدة عناصر، ونعود إلى نفس النقطة دون أن نمر في أي عنصر مرتين.
+−+−E1E2ABR1R2R3I1I2I312
دائرة فيها عُقدتان، ثلاثة فروع وثلاث حلقات
العددالتفصيل
العُقد2A و B
الفروع3الأيسر (E1 و R1) بتيار I1 ، الأوسط (R3) بتيار I3 ، الأيمن (E2 و R2) بتيار I2
الحلقات3الحلقة 1 (اليسرى)، الحلقة 2 (اليمنى)، والحلقة الخارجية التي تمر في المصدرين وفي R1 و R2
ملاحظة: عدد التيارات المختلفة في الدائرة يساوي عدد الفروع. الزوايا التي يلتقي فيها موصلان فقط ليست عُقدا، لأن التيار لا يتفرع فيها.

هبوطات الجهد في الدائرة وتعليمها – מפלי מתח במעגל וסימונם:

لكي نكتب قانون الجهد علينا أن نعرف، في كل عنصر، أي طرف جهده أعلى (+) وأي طرف جهده أدنى (−) :

IR+−V = I·R
مقاومة: الطرف الذي يدخل منه التيار هو (+)
+−E
مصدر جهد: الخط الطويل هو (+) دائما

صياغة القانون – ניסוח החוק:

إذا تسلّقنا جبلا ثم عدنا إلى نقطة البداية، فإن مجموع ما صعدناه يساوي مجموع ما نزلناه. هكذا أيضا الجهد: إذا درنا حول حلقة وعدنا إلى نقطة البداية نعود إلى نفس الجهد.

قانون كيرخهوف للجهد (חוק המתחים של קירכהוף, KVL): المجموع الجبري لجميع الجهود في حلقة مغلقة يساوي صفرا. وبصياغة أخرى: مجموع جهود المصادر في الحلقة يساوي مجموع هبوطات الجهد على المقاومات.
قانون كيرخهوف للجهد · KVL
Σ V = 0
Σ E = Σ I·R
الرمزالمعنىوحدة القياس
Σ Vالمجموع الجبري لجميع الجهود في الحلقة[V]
Σ Eالمجموع الجبري لجهود المصادر في الحلقة[V]
Σ I·Rمجموع هبوطات الجهد على مقاومات الحلقة[V]
اتفاق الإشارات — نستعمله في الكتاب كله:
  1. نعلّم اتجاه التيار في كل فرع، ونعلّم القطبية (+) و (−) على كل عنصر.
  2. نختار اتجاها للدوران حول الحلقة. في هذا الكتاب ندور دائما مع اتجاه عقارب الساعة، ونبدأ من القطب السالب للمصدر.
  3. نمرّ على العناصر واحدا بعد الآخر. إذا عبرنا العنصر من (−) إلى (+) فهذا ارتفاع في الجهد ونكتبه بإشارة (+). إذا عبرناه من (+) إلى (−) فهذا هبوط في الجهد ونكتبه بإشارة (−).
  4. نساوي المجموع بصفر.

من هذا الاتفاق ينتج: مقاومة نعبرها مع اتجاه التيار نكتبها −I·R ، ومقاومة نعبرها بعكس اتجاه التيار نكتبها +I·R. مصدر نعبره من قطبه السالب إلى قطبه الموجب نكتبه +E ، وبالعكس −E.

مثال 6.7
في الحلقة التي في الرسم E = 24 V ، وقيس الجهدان V1 = 6 V و V2 = 10 V. نحسب الجهد V3.
+−E = 24 VR1+−V1 = 6 VR2+−V2 = 10 VR3+−V3 = ?I
الحل:

التيار يخرج من القطب الموجب للمصدر ويدور مع اتجاه عقارب الساعة، وحسبه عُلّمت القطبية على المقاومات. ندور مع اتجاه عقارب الساعة ونبدأ من القطب السالب للمصدر: المصدر نعبره من (−) إلى (+) ، وكل مقاومة نعبرها من (+) إلى (−).

+E − V1 − V2 − V3 = 0
24 − 6 − 10 − V3 = 0
V3 = 8 V

مجموع هبوطات الجهد 6 + 10 + 8 = 24 V يساوي فعلا جهد المصدر.

V3 = 8 V
مثال 6.8
في الحلقة التي في الرسم E = 12 V ، R1 = 2 Ω و R2 = 4 Ω. نحسب:
أ. التيار في الحلقة.
ب. هبوط الجهد على كل مقاومة.
+−E = 12 VR1 = 2 Ω+−V1R2 = 4 Ω+−V2I
الحل:

أ. في الحلقة فرع واحد، ولذلك يمر نفس التيار I في جميع العناصر. نكتب قانون كيرخهوف للجهد، ونعوّض هبوط الجهد على كل مقاومة حسب قانون أوم:

+E − I·R1 − I·R2 = 0
12 − 2·I − 4·I = 0
I = 126 = 2 A

ب. حسب قانون أوم:

V1 = I·R1 = 2 · 2 = 4 V
V2 = I·R2 = 2 · 4 = 8 V

فحص: 4 + 8 = 12 V.

I = 2 A
مثال 6.9
في الحلقة التي في الرسم مصدران: E1 = 18 V و E2 = 6 V ، ومقاومتان: R1 = 2 Ω و R2 = 4 Ω. نحسب التيار في الحلقة.
+−E1 = 18 VR1 = 2 Ω+−V1R2 = 4 Ω+−V2+−E2 = 6 VI
الحل:

نفرض أن التيار يدور مع اتجاه عقارب الساعة. ندور في نفس الاتجاه: المصدر E1 نعبره من (−) إلى (+) ، المقاومتان نعبرهما مع اتجاه التيار، والمصدر E2 نعبره من (+) إلى (−).

+E1 − I·R1 − I·R2 − E2 = 0
18 − 2·I − 4·I − 6 = 0
I = 126 = 2 A

النتيجة موجبة، ولذلك اتجاه التيار الذي فرضناه صحيح. المصدران مربوطان أحدهما بعكس الآخر، ولذلك يُطرح جهداهما.

I = 2 A
سؤال 6.4: في حلقة فيها مصدر E = 9 V وثلاث مقاومات واحدة بعد الأخرى قيس: V1 = 2 V و V2 = 4.5 V. ما هو الجهد V3؟

المعنى الفيزيائي للقانون: شرح نوعي – הסבר איכותי של החוק:

قانون كيرخهوف للجهد هو تعبير عن قانون حفظ الطاقة (חוק שימור האנרגיה). تعلّمنا في الفصل 2 أن الجهد هو الطاقة لكل وحدة شحنة. شحنة تدور دورة كاملة في الحلقة تحصل على طاقة عندما تمر في المصدر، وتعطي هذه الطاقة للمقاومات التي تمر فيها، فتتحول فيها إلى حرارة. عندما تعود الشحنة إلى نقطة البداية تكون قد أعطت كل ما حصلت عليه، لا أكثر ولا أقل. لذلك: مجموع ارتفاعات الجهد في الحلقة يساوي مجموع هبوطات الجهد فيها.

نرى ذلك بوضوح إذا رسمنا جهد كل نقطة على طول الحلقة. الرسم الذي نحصل عليه يسمى مخطط الجهود (דיאגרמת פוטנציאלים).

مثال 6.10
في الحلقة التي في الرسم E = 24 V ، R1 = 2 Ω ، R2 = 4 Ω و R3 = 6 Ω. نختار النقطة D نقطة مرجعية جهدها صفر. نحسب:
أ. التيار وهبوط الجهد على كل مقاومة.
ب. جهد كل واحدة من النقاط A ، B و C ، ونرسم مخطط الجهود.
+−E = 24 VR1 = 2 Ω+−V1R2 = 4 Ω+−V2R3 = 6 Ω+−V3ABCDI
الحل:

أ. حسب قانون كيرخهوف للجهد:

+E − I·R1 − I·R2 − I·R3 = 0
I = 242 + 4 + 6 = 2 A
V1 = 2 · 2 = 4 V
V2 = 2 · 4 = 8 V
V3 = 2 · 6 = 12 V

ب. نبدأ من النقطة D وندور مع اتجاه عقارب الساعة. في المصدر يرتفع الجهد، وفي كل مقاومة يهبط:

VD = 0
VA = VD + E = 24 V
VB = VA − V1 = 24 − 4 = 20 V
VC = VB − V2 = 20 − 8 = 12 V
VD = VC − V3 = 12 − 12 = 0

عدنا إلى النقطة D وإلى الجهد صفر. هذا هو قانون كيرخهوف للجهد: ارتفاع واحد مقداره 24 V وثلاثة هبوطات مجموعها 24 V.

DABCD4812162024V [V]+E−V1−V2−V3
مخطط الجهود على طول الحلقة: ارتفاع في المصدر (بالأحمر) وهبوط في المقاومات (بالأزرق)

الجهد بين نقطتين – המתח בין שתי נקודות:

الجهد بين نقطتين A و B هو الفرق بين جهديهما. نكتب أولا النقطة التي نطرح منها:

VAB = VA − VB

لحساب VAB دون معرفة جهد كل نقطة، نسير من النقطة B إلى النقطة A في أي مسار نختاره، ونجمع الجهود في الطريق حسب اتفاق الإشارات: ارتفاع بإشارة (+) وهبوط بإشارة (−). النتيجة لا تتعلق بالمسار الذي اخترناه، وهذا أيضا معنى قانون كيرخهوف للجهد.

مثال 6.11
في حلقة المثال السابق نحسب الجهد VBD في مسارين مختلفين.
الحل:

المسار الأول: نسير من D إلى B عبر المصدر والمقاومة R1. في المصدر ارتفاع، وفي R1 نسير مع اتجاه التيار، أي هبوط:

VBD = +E − V1 = 24 − 4 = 20 V

المسار الثاني: نسير من D إلى B من الجهة الأخرى، عبر R3 ثم R2. نسير بعكس اتجاه التيار، ولذلك نحصل على ارتفاعين:

VBD = +V3 + V2 = 12 + 8 = 20 V

المساران أعطيا نفس النتيجة، وهي تساوي VB − VD = 20 − 0 من مخطط الجهود.

VBD = 20 V
مثال 6.12
في الفرع الذي في الرسم يمر تيار I = 2 A من النقطة A إلى النقطة B. معطى: R1 = 3 Ω ، R2 = 2 Ω و E = 4 V. نحسب الجهد VAB.
+−ABR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩE = 4 V+−+−I = 2 A
الحل:

نسير من B إلى A ، أي من اليمين إلى اليسار وبعكس اتجاه التيار. في R2 ارتفاع، في المصدر نعبر من (+) إلى (−) أي هبوط، وفي R1 ارتفاع:

VAB = +I·R2 − E + I·R1
VAB = 2 · 2 − 4 + 2 · 3 = 6 V

النتيجة موجبة، أي أن جهد النقطة A أعلى من جهد النقطة B.

VAB = 6 V
سؤال 6.5: في حلقة المثال 6.10:
أ. ما هو الجهد VAC؟
ب. ما هو الجهد VCA؟

نستعمل القانون دون حساب – שימוש איכותי בחוק:

قانون كيرخهوف للجهد يساعدنا على أن نفهم ماذا يحدث في الدائرة حتى قبل أن نحسب. في حلقة واحدة، جهد المصدر يتوزع بين المقاومات، ومجموع الحصص ثابت دائما ويساوي E. لذلك، إذا كبرت حصة مقاومة واحدة فلا بد أن تصغر حصص المقاومات الأخرى.

مثال 6.13
في حلقة المثال 6.8 (E = 12 V ، R1 = 2 Ω ، R2 = 4 Ω) نستبدل المقاومة R1 بمقاومة أكبر، 8 Ω.
أ. نشرح دون حساب كيف يتغير التيار والجهدان V1 و V2.
ب. نفحص بالحساب.
الحل:

أ. المقاومة في الحلقة كبرت، ولذلك يصغر التيار. المقاومة R2 لم تتغير والتيار فيها صغر، ولذلك يصغر V2 = I·R2. جهد المصدر ثابت، وحسب قانون كيرخهوف للجهد V1 = E − V2 ، ولذلك يكبر V1.

ب. قبل التغيير حسبنا: I = 2 A ، V1 = 4 V ، V2 = 8 V. بعد التغيير:

I = 128 + 4 = 1 A
V2 = 1 · 4 = 4 V
V1 = 12 − 4 = 8 V

كما توقعنا: التيار صغر، V2 صغر و V1 كبر، والمجموع بقي 12 V.

مثال 6.14
في الحلقة التي في الرسم E = 12 V ، والمفتاح S مفتوح. نحسب الجهد بين طرفي المفتاح.
+−E = 12 VR1R2S
الحل:

المسار مقطوع ولذلك I = 0. بدون تيار لا يوجد هبوط جهد على المقاومتين: V1 = 0 و V2 = 0. لكن قانون كيرخهوف للجهد يصحّ في كل حلقة، أيضا عندما لا يمر فيها تيار. نرمز للجهد على المفتاح بالحرف VS :

+E − V1 − V2 − VS = 0
12 − 0 − 0 − VS = 0
VS = 12 V

جهد المصدر كله يظهر بين طرفي المفتاح المفتوح. هكذا أيضا إذا انقطعت إحدى المقاومات: الجهد كله يظهر على مكان القطع.

VS = 12 V
سؤال 6.6: ثلاثة مصابيح متشابهة مربوطة واحدا بعد الآخر بمصدر جهده 12 V.
أ. ما هو الجهد على كل مصباح؟
ب. احترق فتيل المصباح الثاني وانقطع. ما هو الآن الجهد على كل مصباح؟

استعمال القانونين معا – שימוש בשני החוקים יחד:

في دائرة فيها أكثر من حلقة واحدة نحتاج إلى القانونين معا. طريقة العمل:

  1. نعطي اسما لكل عُقدة، ونعلّم على كل فرع تيارا واتجاها. الاتجاه الذي لا نعرفه نختاره كما نشاء.
  2. نعلّم القطبية على كل مقاومة حسب اتجاه التيار الذي اخترناه.
  3. نكتب قانون كيرخهوف للتيار للعُقد، وقانون كيرخهوف للجهد للحلقات، ونعوّض هبوط الجهد على كل مقاومة حسب قانون أوم.
  4. نحل المعادلات. نتيجة سالبة تعني أن الاتجاه الحقيقي معاكس للاتجاه الذي اخترناه.
  5. نفحص النتائج في حلقة أو في عُقدة لم نستعملها.
مثال 6.15
في الدائرة التي في الرسم E = 24 V ، R1 = 4 Ω ، R2 = 12 Ω ، وقيس التيار I1 = 3 A. نحسب:
أ. الجهد على R2 والتيار I2.
ب. التيار I3.
ج. قيمة المقاومة R3.
+−E = 24 VABR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = ?+−+−+−I1 = 3 AI2I312
الحل:

أ. قانون كيرخهوف للجهد في الحلقة 1، من القطب السالب للمصدر ومع اتجاه عقارب الساعة:

+E − I1·R1 − V2 = 0
V2 = 24 − 3 · 4 = 12 V
I2 = V2R2 = 1212 = 1 A

ب. قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A : يدخل إليها I1 ويخرج منها I2 و I3.

I1 = I2 + I3
I3 = 3 − 1 = 2 A

ج. قانون كيرخهوف للجهد في الحلقة 2. نبدأ من العُقدة B : نعبر R2 من الأسفل إلى الأعلى، أي بعكس اتجاه I2 ، ثم نعبر R3 مع اتجاه I3 :

+V2 − V3 = 0
V3 = V2 = 12 V
R3 = V3I3 = 122 = 6 Ω

المقاومتان R2 و R3 مربوطتان بين نفس العُقدتين، ولذلك عليهما نفس الجهد. سنعود إلى هذه النتيجة في الفصل 7.

R3 = 6 Ω
مثال 6.16
في الدائرة التي في الرسم E1 = 20 V ، R1 = 2 Ω ، R2 = 1 Ω ، R3 = 4 Ω ، وقيس التيار I1 = 2 A. نحسب:
أ. التيار I3.
ب. التيار I2.
ج. جهد المصدر E2.
+−+−E1 = 20 VE2ABR1 = 2 ΩR2 = 1 ΩR3 = 4 Ω+−+−+−I1 = 2 AI2I312
الحل:

أ. قانون كيرخهوف للجهد في الحلقة 1. نبدأ من القطب السالب للمصدر E1 : نعبر المصدر من (−) إلى (+) ، ثم R1 و R3 مع اتجاه التيار:

+E1 − I1·R1 − I3·R3 = 0
20 − 2 · 2 − I3 · 4 = 0
I3 = 164 = 4 A

ب. قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A : يدخل إليها I1 و I2 ويخرج منها I3.

I1 + I2 = I3
I2 = 4 − 2 = 2 A

ج. قانون كيرخهوف للجهد في الحلقة 2. نبدأ من العُقدة B وندور مع اتجاه عقارب الساعة: نعبر R3 من الأسفل إلى الأعلى، أي بعكس اتجاه I3 ؛ ثم نعبر R2 من اليسار إلى اليمين، أي بعكس اتجاه I2 ؛ ثم نعبر المصدر E2 من (+) إلى (−) :

+I3·R3 + I2·R2 − E2 = 0
4 · 4 + 2 · 1 − E2 = 0
E2 = 18 V

فحص في الحلقة الخارجية: +E1 − I1·R1 + I2·R2 − E2 = 20 − 4 + 2 − 18 = 0.

E2 = 18 V
سؤال 6.7: في دائرة المثال السابق:
أ. ما هو الجهد VAB بين العُقدتين؟
ب. ما هو هبوط الجهد على R1 وعلى R2؟
▶تجربة حية — قوانين كيرخهوفنغيّر جهود المصادر وقيم المقاومات، ونرى كيف تتوزع التيارات في العُقد والجهود حول الحلقات.
⚠
المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.
https://fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator
نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

ملخّص قوانين الفصل:

القانونالصيغة
قانون كيرخهوف للتيارΣ Iin = Σ Iout
قانون كيرخهوف للتيار، الصيغة الجبريةΣ I = 0
قانون كيرخهوف للجهدΣ V = 0
قانون كيرخهوف للجهد، صيغة أخرىΣ E = Σ I·R
هبوط الجهد على مقاومةV = I·R
الجهد بين نقطتينVAB = VA − VB

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربيةبالعبرية (كما تظهر في الامتحان)English
قوانين كيرخهوفחוקי קירכהוףKirchhoff's laws
قانون كيرخهوف للتيارחוק הזרמים של קירכהוףKCL
قانون كيرخهوف للجهدחוק המתחים של קירכהוףKVL
عُقدة – نقطة تفرّعצומתNode
فرعענףBranch
حلقةחוגLoop
تيار داخلזרם נכנסEntering current
تيار خارجזרם יוצאLeaving current
المجموع الجبريסכום אלגבריAlgebraic sum
حفظ الشحنةשימור המטעןConservation of charge
حفظ الطاقةשימור האנרגיהConservation of energy
هبوط الجهدמפל מתחVoltage drop
ارتفاع الجهدעליית מתחVoltage rise
القطبيةקוטביותPolarity
نقطة مرجعيةנקודת ייחוסReference point
مخطط الجهودדיאגרמת פוטנציאליםPotential diagram
مع اتجاه عقارب الساعةעם כיוון השעוןClockwise
حلقة مغلقةחוג סגורClosed loop

أسئلة للتمرين:

1.
إلى عُقدة تدخل التيارات I1 = 1.2 A و I2 = 0.8 A ، ويخرج منها التياران I3 = 0.5 A و I4. نحسب I4.
I1 = 1.2 AI2 = 0.8 AI3 = 0.5 AI4 = ?A
الإجابات: I4 = 1.5 A
2.
ننظر إلى العُقدة التي في الرسم. نحسب مقدار التيار I3 ونحدد اتجاهه الحقيقي.
I1 = 40 mAI2 = 80 mAI3 = ?I4 = 15 mAA
الإجابات: I3 = +25 mA ، أي أن اتجاهه الحقيقي كما هو مرسوم: داخل إلى العُقدة
3.
في الدائرة التي في الرسم يزوّد المصدر تيارا I = 2 A. قيس: I1 = 400 mA و I3 = 0.9 A. نحسب I2.
+−ER1I1 = 400 mAR2I2 = ?R3I3 = 0.9 AI = 2 AAB
الإجابات: I2 = 0.7 A
4.
في جزء الدائرة الذي في الرسم معطى: I = 5 A ، I1 = 1.2 A و I4 = 2.3 A. نحسب I2 و I3.
ABI = 5 AI2 = ?I4 = 2.3 AI1 = 1.2 AI3 = ?
الإجابات: I2 = 3.8 A ، I3 = 1.5 A
5.
مقاومتان R1 = 30 Ω و R2 = 20 Ω مربوطتان كلتاهما بين قطبي مصدر جهده E = 6 V ، كما في الرسم. نحسب التيار في كل مقاومة والتيار الذي يزوّده المصدر.
+−E = 6 VR1 = 30 ΩI1R2 = 20 ΩI2I = ?AB
الإجابات: I1 = 0.2 A ، I2 = 0.3 A ، I = 0.5 A
6.
في الحلقة التي في الرسم E = 30 V ، V1 = 12 V و V3 = 7.5 V. نحسب V2.
+−E = 30 VR1+−V1 = 12 VR2+−V2 = ?R3+−V3 = 7.5 VI
الإجابات: V2 = 10.5 V
7.
في الحلقة التي في الرسم E = 36 V ، R1 = 3 Ω ، R2 = 5 Ω و R3 = 4 Ω ، والنقطة D هي النقطة المرجعية.
أ. نحسب التيار في الحلقة.
ب. نحسب هبوط الجهد على كل مقاومة.
ج. نحسب جهد كل واحدة من النقاط A ، B و C.
د. نحسب VAC.
+−E = 36 VR1 = 3 Ω+−V1R2 = 5 Ω+−V2R3 = 4 Ω+−V3ABCDI
الإجابات: أ. I = 3 A. ب. V1 = 9 V ، V2 = 15 V ، V3 = 12 V. ج. VA = 36 V ، VB = 27 V ، VC = 12 V. د. VAC = 24 V
8.
في الحلقة التي في الرسم E1 = 9 V ، E2 = 15 V ، R1 = 5 Ω و R2 = 3 Ω. المصدران مربوطان في نفس الاتجاه. نحسب التيار في الحلقة.
+−E1 = 9 VR1 = 5 Ω+−V1R2 = 3 Ω+−V2+−E2 = 15 VI
الإجابات: +E1 − I·R1 − I·R2 + E2 = 0 ، I = 3 A
9.
في حلقة فيها مصدر E = 30 V ومقاومتان يمر تيار I = 2 A. معطى R1 = 5 Ω.
أ. نحسب هبوط الجهد على R1.
ب. نحسب هبوط الجهد على R2.
ج. نحسب R2.
+−E = 30 VR1 = 5 Ω+−V1R2 = ?+−V2I = 2 A
الإجابات: أ. V1 = 10 V. ب. V2 = 20 V. ج. R2 = 10 Ω
10.
في الحلقة التي في الرسم E1 = 24 V ، E2 = 6 V ، R1 = 4 Ω و R2 = 5 Ω.
أ. نحسب التيار في الحلقة.
ب. نحسب هبوط الجهد على كل مقاومة.
+−E1 = 24 VR1 = 4 Ω+−V1R2 = 5 Ω+−V2+−E2 = 6 VI
الإجابات: أ. I = 2 A. ب. V1 = 8 V ، V2 = 10 V
11.
في الفرع الذي في الرسم يمر تيار I = 1.5 A من A إلى B. معطى: R1 = 4 Ω ، R2 = 6 Ω و E = 9 V. نحسب الجهد VAB.
+−ABR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩE = 9 V+−+−I = 1.5 A
الإجابات: VAB = +I·R2 − E + I·R1 = 6 V
12.
في الدائرة التي في الرسم E = 18 V ، R1 = 3 Ω ، R2 = 6 Ω ، وقيس I1 = 4 A. نحسب:
أ. الجهد على R2 والتيار I2.
ب. التيار I3.
ج. المقاومة R3.
+−E = 18 VABR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = ?+−+−+−I1 = 4 AI2I312
الإجابات: أ. V2 = 6 V ، I2 = 1 A. ب. I3 = 3 A. ج. R3 = 2 Ω
13.
ننظر إلى الدائرة التي في الرسم.
أ. كم عُقدة، كم فرعا وكم حلقة في الدائرة؟
ب. نكتب قانون كيرخهوف للتيار للعُقدة A.
ج. نكتب قانون كيرخهوف للجهد للحلقة 1 وللحلقة 2.
د. معطى: E1 = 12 V ، R1 = 2 Ω ، R2 = 4 Ω ، R3 = 3 Ω ، وقيس I1 = 1.5 A. نحسب I3 ، I2 و E2.
+−+−E1E2ABR1R2R3+−+−+−I1I2I312
الإجابات: أ. عُقدتان، ثلاثة فروع، ثلاث حلقات. ب. I1 + I2 = I3. ج. الحلقة 1: +E1 − I1·R1 − I3·R3 = 0 ؛ الحلقة 2: +I3·R3 + I2·R2 − E2 = 0. د. I3 = 3 A ، I2 = 1.5 A ، E2 = 15 V
14.
في حلقة فيها مصدر ومقاومتان R1 و R2 نصغّر المقاومة R2. نشرح دون حساب كيف يتغير:
أ. التيار في الحلقة.
ب. الجهد V1.
ج. الجهد V2.
الإجابات: أ. يكبر، لأن المقاومة في الحلقة صغرت. ب. يكبر، لأن V1 = I·R1 والتيار كبر. ج. يصغر، لأن V2 = E − V1
الإجابات النهائية لأسئلة الفصل
6.1 I3 = 1.8 A
6.2 I4 = −2 A ، أي أن مقداره 2 A واتجاهه الحقيقي نحو العُقدة (داخل)
6.3 أ. 0.3 A · ب. لا. الشحنة محفوظة والتيار لا يُستهلك؛ المصباح يستهلك طاقة، لا تيارا
6.4 V3 = 2.5 V
6.5 أ. VAC = V1 + V2 = 12 V · ب. VCA = −12 V ، لأن جهد النقطة C أدنى
6.6 أ. 4 V على كل مصباح · ب. التيار صفر، ولذلك الجهد على المصباحين السليمين صفر، وعلى المصباح المحترق 12 V
6.7 أ. VAB = I3·R3 = 16 V · ب. V1 = 4 V ، V2 = 2 V

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 6

مادة هذا الفصل أساس لأسئلة البجروت في علم الكهرباء، ولا يظهر في الامتحان سؤال مستقل عنها. نتدرب على أسئلة البجروت في الفصول 7، 9 و 13.
لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 14 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)