الفصل 7

الدائرة الكهربائية على التوالي، على التوازي والمختلطة

מעגל חשמלי טורי, מקבילי ומעורב

الصف العاشر · 8 ساعات تعليمية

يمكن ربط المقاومات في الدائرة بطريقتين أساسيتين. في الربط على التوالي تُربط المقاومات الواحدة بعد الأخرى، مثل حلقات السلسلة، فيمر فيها جميعا نفس التيار. في الربط على التوازي تُربط المقاومات كلها بين نفس العُقدتين، فيقع عليها جميعا نفس الجهد. معظم الدوائر الحقيقية هي مزيج من الطريقتين، وتسمى دوائر مختلطة. في هذا الفصل نتعرف على خصائص كل ربط، ونتعلم كيف نحل دائرة مختلطة خطوة بعد خطوة. نعتمد على قانون أوم وعلى قانونَي كيرخهوف من الفصلين السابقين.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

في الدائرة على التوالي التيار متساوٍ، والجهد يتوزع بين المقاومات، و R_T = R₁ + R₂ + R₃.
نستخدم قاعدة مُجزِّء الجهد لحساب الجهد على كل مقاومة مباشرة.
لخط التغذية مقاومة، ويقع عليه هبوط جهد يُنقص الجهد الذي يصل إلى الحِمل.
في الدائرة على التوازي الجهد متساوٍ، والتيار يتوزع بين الفروع، و 1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃.
نستخدم قاعدة مُجزِّء التيار لحساب تيار كل فرع من التيار الكلي مباشرة.
نشرح متى نربط العناصر على التوالي ومتى نربطها على التوازي.
نبسّط دائرة مختلطة خطوة بعد خطوة، ونحسب التيار والجهد في كل مقاومة.

מעגל חשמלי טורי – الدائرة الكهربائية على التوالي (Series Circuit)

الربط على التوالي (חיבור בטור): مقاومتان مربوطتان على التوالي إذا كان طرف واحد من الأولى مربوطا بطرف واحد من الثانية، ولا يتفرع من نقطة الربط بينهما أي عنصر آخر. هكذا يكون أمام التيار مسار واحد فقط.

ثلاث مقاومات مربوطة على التوالي بمصدر جهد. الأسهم الخضراء تبيّن الجهد على كل مقاومة، ورأس السهم يشير إلى الطرف الأعلى جهدا

العلاقات بين الجهود والتيارات – יחסים בין מתחים וזרמים:

في الدائرة مسار واحد بدون تفرعات، ولذلك فإن كل الشحنة التي تخرج من المصدر تمر في المقاومة الأولى، ثم في الثانية، ثم في الثالثة. التيار لا «يُستهلك» في الطريق: شدته متساوية في كل نقطة من الدائرة.

هبوط الجهد (מפל מתח): هو الجهد الذي يقع على مقاومة عندما يمر فيها تيار. حسب قانون أوم يساوي حاصل ضرب التيار في المقاومة: V = I·R.

التيار متساوٍ في جميع المقاومات، ولذلك على المقاومة الأكبر يقع هبوط الجهد الأكبر. حسب قانون كيرخهوف للجهد، مجموع هبوطات الجهد في الحلقة يساوي جهد المصدر.

التيار والجهود على التوالي · זרם ומתחים בטור

I = I₁ = I₂ = I₃

E = V₁ + V₂ + V₃

V₁ = I·R₁

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I	تيار الدائرة (التيار الذي يزوّده المصدر)	[A]
E	جهد المصدر	[V]
V₁	هبوط الجهد على المقاومة R₁ (وهكذا لكل مقاومة)	[V]

المقاومة المكافئة على التوالي – התנגדות שקולה בטור:

المقاومة المكافئة (התנגדות שקולה): هي مقاومة واحدة يمكن أن تحل محل جميع مقاومات الدائرة بدون أن يتغير التيار الذي يزوّده المصدر. يرمز لها R_T ، وتسمى أيضا المقاومة الكلية.

نعوّض في قانون الجهود حسب قانون أوم. المصدر «يرى» مقاومة واحدة R_T يمر فيها التيار I ، ولذلك E = I·R_T:

I·R_T = I·R₁ + I·R₂ + I·R₃

R_T = R₁ + R₂ + R₃

المقاومة المكافئة على التوالي · התנגדות שקולה בטור

R_T = R₁ + R₂ + R₃ + …

I = ER_T

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R_T	المقاومة المكافئة (الكلية)	[Ω]
R_n	كل واحدة من المقاومات المربوطة على التوالي	[Ω]
I	تيار الدائرة	[A]
E	جهد المصدر	[V]

قاعدة للفحص: كل مقاومة نضيفها على التوالي تكبّر المقاومة الكلية وتصغّر التيار. لذلك المقاومة المكافئة على التوالي أكبر دائما من أكبر مقاومة في الربط. إذا كانت المقاومات متساوية، وعددها n وقيمة كل واحدة R ، فإن R_T = n·R ، وجهد المصدر يتوزع بينها بالتساوي.

مثال 7.1

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. تيار الدائرة.
ج. هبوط الجهد على كل مقاومة.

الحل:

أ. المقاومات على التوالي، لذلك نجمعها:

R_T = R₁ + R₂ + R₃ = 2 + 4 + 6 = 12 Ω

ب. نحسب التيار حسب قانون أوم للدائرة كلها:

I = ER_T = 2412 = 2 A

ج. نفس التيار يمر في جميع المقاومات:

V₁ = I·R₁ = 2·2 = 4 V

V₂ = I·R₂ = 2·4 = 8 V

V₃ = I·R₃ = 2·6 = 12 V

فحص حسب قانون كيرخهوف للجهد: V₁ + V₂ + V₃ = 4 + 8 + 12 = 24 V ، وهذا يساوي جهد المصدر.

I = 2 A

مثال 7.2

في الدائرة التي في المخطط القطب السالب للمصدر مربوط بالأرضي. نحسب:
أ. تيار الدائرة.
ب. جهد كل واحدة من النقاط A ، B ، C بالنسبة للأرضي.
ج. فرق الجهد V_AC.

الحل:

أ. نحسب بوحدة [kΩ] ، فنحصل على التيار بوحدة [mA]:

R_T = 2 + 3 + 1 = 6 kΩ

I = ER_T = 12 V6 kΩ = 2 mA

ب. هبوطات الجهد: V₁ = 2·2 = 4 V ، V₂ = 2·3 = 6 V ، V₃ = 2·1 = 2 V. جهد الأرضي صفر، والنقطة A مربوطة مباشرة بالقطب الموجب. كلما تقدمنا مع اتجاه التيار وعبرنا مقاومة، ينخفض الجهد بمقدار هبوط الجهد عليها:

V_A = E = 12 V

V_B = V_A − V₁ = 12 − 4 = 8 V

V_C = V_B − V₂ = 8 − 6 = 2 V

ج. فرق الجهد بين نقطتين هو الفرق بين جهديهما:

V_AC = V_A − V_C = 12 − 2 = 10 V

نلاحظ أن V_C يساوي هبوط الجهد على R₃ ، وأن V_AC = V₁ + V₂.

V_AC = 10 V

سؤال 7.1: ثلاث مقاومات R₁ = 5 Ω ، R₂ = 15 Ω ، R₃ = 20 Ω مربوطة على التوالي بمصدر جهده 20 V. نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. تيار الدائرة.
ج. هبوط الجهد على كل مقاومة.

قاعدة مُجزِّء الجهد – כלל מחלק המתח:

مُجزِّء الجهد (מחלק מתח): هو دائرة مكوّنة من مقاومتين على التوالي، نأخذ منها جزءا من الجهد الكلي: الجهد الواقع على إحدى المقاومتين.

يمكن حساب الجهد على كل مقاومة مباشرة، بدون حساب التيار. نكتب التيار بواسطة المقاومة الكلية، ثم نضربه في R₁:

I = VR₁ + R₂

V₁ = I·R₁ = V·R₁R₁ + R₂

قاعدة مُجزِّء الجهد · כלל מחלק המתח

V₁ = V·R₁R₁ + R₂

V₂ = V·R₂R₁ + R₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
V	الجهد الكلي على المقاومتين	[V]
V₁	الجهد على المقاومة R₁	[V]
V₂	الجهد على المقاومة R₂	[V]
R₁ , R₂	المقاومتان المربوطتان على التوالي	[Ω]

ننتبه: في البسط تظهر نفس المقاومة التي نحسب جهدها: على المقاومة الأكبر يقع الجهد الأكبر. الجهود تتناسب مع المقاومات: V₁V₂ = R₁R₂. إذا كان عدد المقاومات أكبر من اثنتين يظهر في المقام مجموعها كلها: V_n = E·R_nR_T.

مثال 7.3

في مُجزِّء الجهد الذي في المخطط نحسب الجهد على كل مقاومة.

الحل:

المقاومتان بالكيلو أوم، والنسبة بينهما لا تتعلق بالوحدة:

V₁ = V·R₁R₁ + R₂ = 12·44 + 8 = 4 V

V₂ = V·R₂R₁ + R₂ = 12·84 + 8 = 8 V

فحص: V₁ + V₂ = 4 + 8 = 12 V. المقاومة R₂ أكبر مرتين من R₁ ، وكذلك الجهد عليها.

V₂ = 8 V

ننتبه: قاعدة مُجزِّء الجهد صحيحة فقط إذا كان نفس التيار يمر في المقاومتين، أي عندما لا يُربط أي حِمل بنقطة الوسط A. إذا ربطنا حِملا على التوازي مع R₂ تصبح الدائرة مختلطة، ويصغر الجهد V₂ (البند 7.3).

سؤال 7.2: في مُجزِّء جهد V = 24 V ، R₁ = 3 kΩ ، R₂ = 9 kΩ. نحسب V₁ و V₂.

مقاومة الخط وهبوط الجهد عليه – התנגדות הקו ומפל המתח עליו:

حتى الآن اعتبرنا أن مقاومة الموصلات صفر. عندما يكون الحِمل (עומס / צרכן) قريبا من المصدر هذا تقريب جيد. لكن عندما يكون الحِمل بعيدا، يصل التيار إليه عبر خط (קו) طويل مكوّن من موصلين: موصل للذهاب وموصل للعودة. لكل موصل مقاومة، وهي مربوطة على التوالي مع الحِمل.

المصدر، الخط (موصلان) والحِمل

الدائرة المكافئة: مقاومة الخط R_k على التوالي مع الحِمل

في الفصل 4 تعلمنا أن مقاومة الموصل تتعلق بطوله، بمساحة مقطعه وبالمقاومة النوعية لمادته. إذا كان بُعد الحِمل عن المصدر ℓ ، فإن طول الموصلين معا هو 2·ℓ:

مقاومة الخط وهبوط الجهد عليه · התנגדות הקו ומפל המתח

R_k = ρ·2·ℓA

ΔV = I·R_k

V_L = E − ΔV

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R_k	مقاومة الخط (الموصلان معا)	[Ω]
ρ	المقاومة النوعية لمادة الموصل (للنحاس 0.0175)	[Ω·mm²/m]
ℓ	طول الخط (بُعد الحِمل عن المصدر)	[m]
A	مساحة مقطع الموصل	[mm²]
ΔV	هبوط الجهد على الخط	[V]
E	الجهد في بداية الخط (عند المصدر)	[V]
V_L	الجهد في نهاية الخط (على الحِمل)	[V]

ملاحظة: هبوط الجهد على الخط هو جهد «ضائع»: الحِمل يحصل على جهد أصغر من جهد المصدر. كلما كان الخط أطول، أو مقطعه أصغر، أو التيار أكبر، كان هبوط الجهد أكبر.

مثال 7.4

مضخة صغيرة تبعد 20 m عن مصدر جهده 24 V ، ومربوطة به بخط نحاسي مساحة مقطع موصله 1 mm². التيار في الخط 5 A. نحسب:
أ. مقاومة الخط.
ب. هبوط الجهد على الخط.
ج. الجهد على المضخة.

الحل:

أ. طول الموصلين معا هو 2·20 = 40 m:

R_k = ρ·2·ℓA = 0.0175·2·201 = 0.7 Ω

ب. نفس التيار يمر في الخط وفي المضخة:

ΔV = I·R_k = 5·0.7 = 3.5 V

ج. الجهد على المضخة هو ما تبقّى من جهد المصدر:

V_L = E − ΔV = 24 − 3.5 = 20.5 V

هبوط الجهد هنا هو 3.524·100 ≈ 14.6 % من جهد المصدر. لتصغيره نختار موصلا مساحة مقطعه أكبر.

V_L = 20.5 V

سؤال 7.3: مصباح مقاومته 5.6 Ω مربوط بمُركِّم جهده 12 V عبر خط مقاومته الكلية R_k = 0.4 Ω. نحسب:
أ. تيار الدائرة.
ب. هبوط الجهد على الخط.
ج. الجهد على المصباح.

لماذا نربط المقاومات على التوالي؟ – חיבור נגדים בטור והצורך בו:

لتحديد التيار وتخفيض الجهد: نربط مقاومة على التوالي مع حِمل مصنوع لجهد أصغر من جهد المصدر، فيقع عليها الجهد الزائد.
لتقسيم الجهد: نحصل من مصدر واحد على جهود مختلفة بواسطة مُجزِّء الجهد.
للتحكم في الدائرة وحمايتها: المفتاح والمُنصهِر يُربطان على التوالي مع الحِمل، لأن فتحهما يجب أن يقطع التيار عن الحِمل.
لقياس التيار: مقياس التيار (الأمبيرمتر) يُربط على التوالي، لكي يمر فيه نفس التيار الذي نريد قياسه.

مثال 7.5

ثنائي ضوئي (LED) يحتاج إلى جهد 2 V وتيار 20 mA. نريد تشغيله من بطارية جهدها 9 V. أي مقاومة R يجب أن نربط على التوالي معه؟

الحل:

المقاومة والثنائي الضوئي على التوالي، ولذلك يمر فيهما نفس التيار، 20 mA = 0.02 A. على المقاومة يجب أن يقع الجهد الزائد:

V_R = E − V_D = 9 − 2 = 7 V

R = V_RI = 70.02 = 350 Ω

R = 350 Ω

ننتبه: سيئة الربط على التوالي: إذا حدث قطع (נתק) في نقطة واحدة يتوقف التيار في جميع العناصر، ويظهر جهد المصدر كله بين طرفي القطع. أما القصر (קצר) على إحدى المقاومات فيصغّر المقاومة الكلية ويكبّر التيار: إذا قُصرت R₂ في المثال 7.1 يبقى R_T = 2 + 6 = 8 Ω ، ويكبر التيار من 2 A إلى 3 A.

▶تجربة حية — محاكي قوانين كيرخهوف — قانون الجهودفي تبويب قانون الجهود نغيّر المقاومات المربوطة على التوالي ونرى كيف يتوزع جهد المصدر بينها.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

מעגל חשמלי מקבילי – الدائرة الكهربائية على التوازي (Parallel Circuit)

الربط على التوازي (חיבור במקביל): مقاومتان أو أكثر مربوطة على التوازي إذا كان كل واحد من طرفيها مربوطا بنفس العُقدة: الأطراف الأولى كلها مربوطة بعُقدة واحدة، والأطراف الثانية كلها مربوطة بعُقدة ثانية.

ثلاث مقاومات مربوطة على التوازي بين العُقدتين A و B. كل مقاومة تشكّل فرعا (ענף) مستقلا

العلاقات بين التيارات والمقاومات – יחסים בין זרמים והתנגדויות:

جميع المقاومات مربوطة بين نفس العُقدتين، ولذلك فإن الجهد عليها هو نفس الجهد V_AB. إذا كانت مربوطة مباشرة بالمصدر فإن الجهد على كل واحدة منها يساوي جهد المصدر. التيار الكلي I_T يخرج من المصدر ويصل إلى العُقدة A ، وهناك يتوزع بين الفروع. في العُقدة B تتجمع تيارات الفروع من جديد. حسب قانون كيرخهوف للتيار:

الجهد والتيارات على التوازي · מתח וזרמים במקביל

E = V₁ = V₂ = V₃

I_T = I₁ + I₂ + I₃

I₁ = ER₁

الرمز	المعنى	وحدة القياس
E	جهد المصدر (الجهد المشترك على الفروع)	[V]
I_T	التيار الكلي الذي يزوّده المصدر	[A]
I₁	تيار الفرع الأول (وهكذا لكل فرع، حسب قانون أوم)	[A]
R₁	مقاومة الفرع	[Ω]

ملاحظة: الجهد متساوٍ على جميع الفروع، ولذلك في المقاومة الأصغر يمر التيار الأكبر، وفي المقاومة الأكبر يمر التيار الأصغر.

مثال 7.6

في الدائرة التي في المخطط نحسب تيار كل فرع والتيار الكلي.

الحل:

الجهد على كل مقاومة يساوي جهد المصدر، 12 V. نحسب تيار كل فرع حسب قانون أوم:

I₁ = ER₁ = 124 = 3 A

I₂ = ER₂ = 126 = 2 A

I₃ = ER₃ = 1212 = 1 A

التيار الكلي هو مجموع تيارات الفروع:

I_T = I₁ + I₂ + I₃ = 3 + 2 + 1 = 6 A

I_T = 6 A

المقاومة المكافئة على التوازي – התנגדות שקולה במקביל:

نجد قانون المقاومة المكافئة من قانون التيارات. نعوّض في كل تيار حسب قانون أوم، ثم نقسم الطرفين على E:

ER_T = ER₁ + ER₂ + ER₃

1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃

المقاومة المكافئة على التوازي · התנגדות שקולה במקביל

1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃ + …

G_T = G₁ + G₂ + G₃ + …

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R_T	المقاومة المكافئة (الكلية)	[Ω]
R_n	كل واحدة من المقاومات المربوطة على التوازي	[Ω]
G_T	المواصلة الكلية، G_T = 1R_T	[S]
G_n	مواصلة كل فرع، G_n = 1R_n	[S]

قاعدة للفحص: كل فرع نضيفه على التوازي يفتح أمام التيار مسارا إضافيا، فتكبر المواصلة الكلية وتصغر المقاومة الكلية. لذلك المقاومة المكافئة على التوازي أصغر دائما من أصغر مقاومة في الربط.

نحسب المقاومة المكافئة للدائرة في المثال السابق (4 Ω ، 6 Ω ، 12 Ω). نعوّض في القانون ونوحّد المقامات:

1R_T = 14 + 16 + 112 = 312 + 212 + 112 = 612

R_T = 126 = 2 Ω

النتيجة 2 Ω أصغر من أصغر مقاومة (4 Ω)، كما يجب. فحص بقانون أوم للدائرة كلها: التيار الكلي هو 12 V على 2 Ω ، أي 6 A ، وهو نفس التيار الذي حسبناه بجمع تيارات الفروع.

في حالتين شائعتين يمكن اختصار القانون العام إلى قانون أسهل: n مقاومات متساوية قيمة كل واحدة R ، ومقاومتان فقط. في الحالة الثانية نوحّد المقامات ثم نقلب الكسر:

حالتان خاصتان على التوازي · נגדים שווים · שני נגדים במקביל

R_T = Rn

R_T = R₁·R₂R₁ + R₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R_T	المقاومة المكافئة	[Ω]
R , n	قيمة كل واحدة من المقاومات المتساوية، وعددها	[Ω]
R₁ , R₂	مقاومتان على التوازي: حاصل الضرب على المجموع	[Ω]

ملاحظة: نرمز للربط على التوازي بخطين متوازيين: R₁ ∥ R₂. مثلا 6 Ω ∥ 3 Ω = 6·36 + 3 = 2 Ω. قانون حاصل الضرب على المجموع يصلح لمقاومتين فقط. عند وجود ثلاث مقاومات نستخدمه مرتين: 4 Ω ∥ 6 Ω = 2.4 Ω ، ثم 2.4 Ω ∥ 12 Ω = 2 Ω ، كما حصلنا بالقانون العام.

سؤال 7.4: ثلاث مقاومات R₁ = 10 Ω ، R₂ = 15 Ω ، R₃ = 30 Ω مربوطة على التوازي بمصدر جهده 30 V. نحسب:
أ. تيار كل فرع.
ب. التيار الكلي.
ج. المقاومة المكافئة.

سؤال 7.5: نحسب المقاومة المكافئة:
أ. 12 Ω ∥ 4 Ω.
ب. 1 kΩ ∥ 4 kΩ.
ج. خمس مقاومات على التوازي، قيمة كل واحدة 60 Ω.

قاعدة مُجزِّء التيار – כלל מחלק הזרם:

كثيرا ما نعرف التيار الكلي الداخل إلى مقاومتين على التوازي، ونريد أن نعرف كم منه يمر في كل مقاومة. يمكن حساب ذلك مباشرة، بدون حساب الجهد. نحسب الجهد المشترك بواسطة المقاومة المكافئة، ثم نقسمه على R₁:

V = I_T·R_T = I_T·R₁·R₂R₁ + R₂

I₁ = VR₁ = I_T·R₂R₁ + R₂

قاعدة مُجزِّء التيار · כלל מחלק הזרם

I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂

I₂ = I_T·R₁R₁ + R₂

الرمز	المعنى	وحدة القياس
I_T	التيار الكلي الداخل إلى المقاومتين	[A]
I₁	التيار في المقاومة R₁	[A]
I₂	التيار في المقاومة R₂	[A]
R₁ , R₂	المقاومتان المربوطتان على التوازي	[Ω]

ننتبه: في البسط تظهر المقاومة الأخرى، وليس المقاومة التي نحسب تيارها: كلما كانت المقاومة أكبر كان نصيبها من التيار أصغر. هذا عكس قاعدة مُجزِّء الجهد، حيث تظهر في البسط نفس المقاومة.

مثال 7.7

تيار شدته I_T = 5 A يدخل إلى مقاومتين مربوطتين على التوازي: R₁ = 20 Ω و R₂ = 30 Ω. نحسب التيار في كل مقاومة.

الحل:

I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂ = 5·3020 + 30 = 3 A

I₂ = I_T·R₁R₁ + R₂ = 5·2020 + 30 = 2 A

فحص: I₁ + I₂ = 3 + 2 = 5 A. وكذلك الجهد متساوٍ على المقاومتين: 3·20 = 2·30 = 60 V.

I₁ = 3 A

سؤال 7.6: تيار شدته 12 mA يدخل إلى مقاومتين على التوازي: R₁ = 1 kΩ و R₂ = 3 kΩ. نحسب التيار في كل مقاومة.

لماذا نربط المقاومات على التوازي؟ – חיבור נגדים במקביל והצורך בו:

في شبكة الكهرباء في البيت، في السيارة وفي الأجهزة الإلكترونية تُربط الأحمال على التوازي، وذلك لعدة أسباب:

كل حِمل يحصل على جهد المصدر كاملا. الأجهزة تُصنع لتعمل بجهد محدد، مثل 230 V في البيت أو 12 V في السيارة.
كل حِمل يعمل بشكل مستقل. يمكن تشغيل جهاز أو إطفاؤه بمفتاح خاص به، بدون أن تتأثر الأجهزة الأخرى.
عطل في حِمل واحد لا يوقف الأحمال الأخرى. إذا احترق مصباح واحد يصبح فرعه مفتوحا، وتستمر باقي الفروع في العمل.
للحصول على مقاومة أصغر من المقاومات المتوفرة، أو لتوزيع التيار بين عدة مقاومات.

مثال 7.8

في سيارة جهد المُركِّم 12 V. ثلاثة أحمال مربوطة به على التوازي عبر مُنصهِر واحد يتحمل تيارا حتى 8 A: مصباحان مقاومتاهما R₁ = 4 Ω و R₂ = 6 Ω ، وجهاز راديو مقاومته R₃ = 24 Ω.
أ. نحسب تيار كل حِمل والتيار الكلي. ب. ماذا يحدث إذا أضفنا على التوازي حِملا رابعا مقاومته 3 Ω؟

الحل:

أ. كل حِمل يحصل على 12 V:

I₁ = 124 = 3 A

I₂ = 126 = 2 A

I₃ = 1224 = 0.5 A

I_T = 3 + 2 + 0.5 = 5.5 A

التيار الكلي أصغر من 8 A ، ولذلك لا ينقطع المُنصهِر.

ب. الحِمل الرابع يضيف فرعا رابعا. تيارات الأحمال الأخرى لا تتغير:

I₄ = 123 = 4 A

I_T = 5.5 + 4 = 9.5 A

الآن التيار الكلي أكبر من 8 A ، ولذلك ينقطع المُنصهِر ويفصل الدائرة كلها.

I_T = 5.5 A

تحذير: كل حِمل نضيفه على التوازي يكبّر التيار الكلي الذي يمر في خط التغذية. ربط أحمال كثيرة بنفس الخط يسبب تحميلا زائدا (עומס יתר) وسخونة في الموصلات. المُنصهِر يحمي الخط من هذا الخطر.

مقارنة بين الربط على التوالي والربط على التوازي – השוואה בין חיבור טורי לחיבור מקבילי:

	على التوالي	على التوازي
التيار	متساوٍ في جميع المقاومات	يتوزع بين الفروع: I_T = I₁ + I₂
الجهد	يتوزع بين المقاومات: E = V₁ + V₂	متساوٍ على جميع الفروع
المقاومة المكافئة	R_T = R₁ + R₂ ، أكبر من أكبر مقاومة	R_T = R₁·R₂R₁ + R₂ ، أصغر من أصغر مقاومة
n مقاومات متساوية	R_T = n·R	R_T = Rn
قاعدة المُجزِّء	مُجزِّء الجهد: V₁ = V·R₁R₁ + R₂	مُجزِّء التيار: I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂
قطع في عنصر واحد	يتوقف التيار في الدائرة كلها	باقي الفروع تستمر في العمل

▶تجربة حية — محاكي قوانين كيرخهوف — قانون التياراتنغيّر قيم المقاومات ونرى كيف يتوزع التيار بين الفروع، ونتحقق من أن مجموع تيارات الفروع يساوي التيار الكلي.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/kirchhoff_simulator

מעגל מעורב – الدائرة المختلطة (Series-Parallel Circuit)

الدائرة المختلطة (מעגל מעורב): هي دائرة فيها مقاومات مربوطة على التوالي ومقاومات مربوطة على التوازي معا. نحلها بواسطة قوانين البندين السابقين، بعد أن نحدد شكل الربط بين كل مجموعة من المقاومات.

على التوالي: مقاومتان يمر فيهما نفس التيار بالضبط. بينهما نقطة ربط واحدة، ولا يتفرع من هذه النقطة أي عنصر آخر.
على التوازي: مقاومتان عليهما نفس الجهد بالضبط. طرفا الأولى وطرفا الثانية مربوطة بنفس العُقدتين.

طريقة الحل خطوة بعد خطوة – שיטת הפתרון שלב אחר שלב:

نبحث عن مجموعة مقاومات مربوطة بشكل واضح على التوالي أو على التوازي. غالبا نبدأ من الجهة البعيدة عن المصدر.
نحسب المقاومة المكافئة للمجموعة، ونرسم الدائرة من جديد وفيها مقاومة واحدة بدل المجموعة. نكرر ذلك حتى تبقى مقاومة واحدة، هي R_T.
نحسب التيار الكلي: I_T = ER_T.
نعود إلى الوراء، من رسم إلى رسم. في مجموعة على التوالي التيار متساوٍ، ونحسب الجهود حسب V = I·R. في مجموعة على التوازي الجهد متساوٍ، ونحسب التيارات حسب I = VR.
نفحص النتائج: قانون كيرخهوف للتيار في كل عُقدة، وقانون كيرخهوف للجهد في كل حلقة.

ملاحظة: نرمز للمقاومة المكافئة لمجموعة حسب أرقام مقاوماتها: R₂₃ هي مكافئة R₂ و R₃ ، و R₂₃₄ هي مكافئة R₂ ، R₃ و R₄.

مثال 7.9

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد على كل مقاومة.
د. التيار في كل مقاومة.

الحل:

أ. المقاومتان R₂ و R₃ مربوطتان بين نفس العُقدتين A و B ، ولذلك هما على التوازي. نستبدلهما بمقاومة مكافئة R₂₃:

R₂₃ = R₂·R₃R₂ + R₃ = 10·1510 + 15 = 6 Ω

في الرسم الجديد R₁ و R₂₃ على التوالي، لأن نفس التيار يمر فيهما:

الخطوة الأولى: R₂₃ بدل R₂ و R₃

الخطوة الثانية: المقاومة المكافئة

R_T = R₁ + R₂₃ = 3 + 6 = 9 Ω

ب. التيار الكلي:

I_T = ER_T = 189 = 2 A

ج. نعود إلى الرسم الأول. التيار I_T يمر في R₁ وفي R₂₃:

V₁ = I_T·R₁ = 2·3 = 6 V

V_AB = I_T·R₂₃ = 2·6 = 12 V

الجهد V_AB = 12 V هو الجهد على R₂ وعلى R₃ ، لأنهما على التوازي. فحص: V₁ + V_AB = 6 + 12 = 18 V.

د. نعود إلى الدائرة الأصلية. التيار في R₁ هو I_T ، ونحسب تياري الفرعين من الجهد V_AB:

I₂ = V_ABR₂ = 1210 = 1.2 A

I₃ = V_ABR₃ = 1215 = 0.8 A

فحص حسب قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A: I₂ + I₃ = 1.2 + 0.8 = 2 A ، وهذا يساوي I_T.

R_T = 9 Ω

مثال 7.10

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي وتيار كل فرع.
ج. الجهد على R₁ وعلى R₂.

الحل:

أ. في الفرع الأيسر R₁ و R₂ على التوالي. هذا الفرع كله على التوازي مع R₃:

R₁₂ = R₁ + R₂ = 2 + 4 = 6 Ω

R_T = R₁₂·R₃R₁₂ + R₃ = 6·36 + 3 = 2 Ω

ب. الفرعان مربوطان مباشرة بالمصدر، ولذلك الجهد على كل فرع 12 V:

I_T = ER_T = 122 = 6 A

I₁ = ER₁₂ = 126 = 2 A

I₃ = ER₃ = 123 = 4 A

ج. التيار I₁ يمر في R₁ وفي R₂:

V₁ = I₁·R₁ = 2·2 = 4 V

V₂ = I₁·R₂ = 2·4 = 8 V

فحص: I₁ + I₃ = 2 + 4 = 6 A ، و V₁ + V₂ = 4 + 8 = 12 V.

R_T = 2 Ω

سؤال 7.7: نحسب المقاومة المكافئة بين الطرفين A و B في المخطط. (إرشاد: نبدأ من الجهة اليمنى، البعيدة عن الطرفين.)

دائرة مختلطة فيها مفتاح – מעגל מעורב עם מפסק:

المفتاح يغيّر شكل الدائرة، ولذلك نحلها مرتين. مفتاح مفتوح هو قطع: لا يمر تيار في الفرع الذي فيه المفتاح، ونحذف هذا الفرع من الرسم. مفتاح مغلق هو موصل مقاومته صفر.

مثال 7.11

في الدائرة التي في المخطط المفتاح S مربوط على التوالي مع R₃. نحسب التيار الكلي والجهد على R₁ وعلى R₂:
أ. عندما يكون المفتاح مفتوحا.
ب. عندما يكون المفتاح مغلقا.

الحل:

أ. المفتاح مفتوح. لا يمر تيار في R₃ ، وتبقى R₁ و R₂ على التوالي:

R_T = R₁ + R₂ = 6 + 12 = 18 Ω

I_T = 3618 = 2 A

V₁ = 2·6 = 12 V

V₂ = 2·12 = 24 V

ب. المفتاح مغلق. الآن R₃ على التوازي مع R₂:

R₂₃ = 12·412 + 4 = 3 Ω

R_T = R₁ + R₂₃ = 6 + 3 = 9 Ω

I_T = 369 = 4 A

V₁ = 4·6 = 24 V

V₂ = V_AB = 36 − 24 = 12 V

إغلاق المفتاح أضاف فرعا على التوازي، فصغرت المقاومة الكلية وكبر التيار الكلي. الجهد على R₁ كبر، ولذلك صغر الجهد على R₂. هذا ما يحدث أيضا لمُجزِّء جهد عندما نربط حِملا بمخرجه.

V₂ = 12 V

سؤال 7.8: في دائرة مختلطة مقاومة R₁ = 1 kΩ مربوطة على التوالي مع مجموعة فيها R₂ = 6 kΩ و R₃ = 3 kΩ على التوازي. جهد المصدر 9 V. نرسم الدائرة ونحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد على R₁ وعلى المجموعة.
د. التيار في R₂ وفي R₃.

▶تجربة حية — محاكي الدائرة المختلطةنختار واحدة من ثماني دوائر مختلطة، نغيّر قيم المقاومات ونتابع الحل الكامل خطوة بعد خطوة. في وضع التمرين نحسب بأنفسنا ثم نفحص الإجابات.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/mixed_circuit_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/mixed_circuit_pro

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
التيار والجهود على التوالي	E = V₁ + V₂ + V₃
المقاومة المكافئة على التوالي	R_T = R₁ + R₂ + R₃
مُجزِّء الجهد	V₁ = V·R₁R₁ + R₂
مقاومة الخط	R_k = ρ·2·ℓA
هبوط الجهد على الخط	ΔV = I·R_k
الجهد على الحِمل	V_L = E − ΔV
الجهد والتيارات على التوازي	I_T = I₁ + I₂ + I₃
المقاومة المكافئة على التوازي	1R_T = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃
مقاومتان على التوازي	R_T = R₁·R₂R₁ + R₂
n مقاومات متساوية على التوازي	R_T = Rn
مُجزِّء التيار	I₁ = I_T·R₂R₁ + R₂

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الربط على التوالي	חיבור בטור	Series connection
الربط على التوازي	חיבור במקביל	Parallel connection
الدائرة المختلطة	מעגל מעורב	Series-parallel circuit
المقاومة المكافئة (الكلية)	התנגדות שקולה	Equivalent resistance
هبوط الجهد	מפל מתח	Voltage drop
مُجزِّء الجهد	מחלק מתח	Voltage divider
مُجزِّء التيار	מחלק זרם	Current divider
مقاومة الخط	התנגדות הקו	Line resistance
حِمل	עומס / צרכן	Load
عُقدة	צומת	Node
فرع	ענף	Branch
المواصلة	מוליכות	Conductance
قطع (دائرة مفتوحة)	נתק	Open circuit
دائرة قصر	קצר	Short circuit
تحميل زائد	עומס יתר	Overload
الأرضي	אדמה	Ground

أسئلة للتمرين:

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. تيار الدائرة.
ج. هبوط الجهد على كل مقاومة.
د. نفحص النتائج بقانون كيرخهوف للجهد.

الإجابات: أ. R_T = 60 Ω. ب. I = 0.2 A. ج. V₁ = 2 V ، V₂ = 6 V ، V₃ = 4 V. د. 2 + 6 + 4 = 12 V

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. تيار الدائرة بوحدة [mA].
ب. جهد كل واحدة من النقاط A ، B ، C بالنسبة للأرضي.
ج. فرق الجهد V_BC.

الإجابات: أ. I = 2 mA. ب. V_A = 20 V ، V_B = 18 V ، V_C = 10 V. ج. V_BC = 8 V

في مُجزِّء الجهد الذي في المخطط نحسب بقاعدة مُجزِّء الجهد:
أ. V₁.
ب. V₂.
ج. تيار المُجزِّء.

الإجابات: أ. V₁ = 6 V. ب. V₂ = 24 V. ج. I = 3 mA

نريد الحصول على جهد V₂ = 5 V من مصدر جهده V = 12 V بواسطة مُجزِّء جهد. المقاومة العليا هي R₁ = 1.4 kΩ. نحسب:
أ. تيار المُجزِّء.
ب. R₂.

الإجابات: أ. I = 5 mA. ب. R₂ = 1 kΩ

خط نحاسي طوله 40 m ومساحة مقطع موصله 2 mm² يغذّي حِملا يستهلك 10 A. الجهد في بداية الخط 48 V. نحسب:
أ. مقاومة الخط.
ب. هبوط الجهد على الخط.
ج. الجهد على الحِمل.

الإجابات: أ. R_k = 0.7 Ω. ب. ΔV = 7 V. ج. V_L = 41 V

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. تيار كل فرع.

الإجابات: أ. R_T = 2 Ω. ب. I_T = 12 A. ج. I₁ = 2 A ، I₂ = 4 A ، I₃ = 6 A

نحسب المقاومة المكافئة في كل حالة:
أ. 40 Ω ∥ 60 Ω.
ب. 9 Ω ∥ 18 Ω.
ج. 2.2 kΩ ∥ 2.2 kΩ.
د. 20 Ω ∥ 30 Ω ∥ 12 Ω.

الإجابات: أ. 24 Ω · ب. 6 Ω · ج. 1.1 kΩ · د. 6 Ω

في الدائرة التي في المخطط يقيس الأمبيرمتر تيارا كليا 5 A ، وجهد المصدر 36 V. نحسب:
أ. التيار في R₁.
ب. التيار في R₂.
ج. قيمة R₂.

الإجابات: أ. I₁ = 3 A. ب. I₂ = 2 A. ج. R₂ = 18 Ω

تيار كلي شدته 3 mA يدخل إلى مقاومتين على التوازي: 3 kΩ و 6 kΩ. نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. الجهد على المقاومتين.
ج. التيار في كل مقاومة بقاعدة مُجزِّء التيار.

الإجابات: أ. R_T = 2 kΩ. ب. V = 6 V. ج. 2 mA في المقاومة 3 kΩ و 1 mA في المقاومة 6 kΩ

10.

مقياس تيار مقاومته الداخلية R_m = 50 Ω يصل مؤشره إلى نهاية التدريج عند تيار 1 mA. نريد أن نقيس به تيارات حتى 51 mA ، ولذلك نربط على التوازي معه مقاومة يمر فيها باقي التيار. نحسب قيمة هذه المقاومة.

الإجابات: الجهد على المقياس 0.05 V ، والتيار في المقاومة 50 mA ، ولذلك R = 1 Ω

11.

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد V_AB.
د. التيارين I₂ و I₃.

الإجابات: أ. R_T = 8 Ω. ب. I_T = 3 A. ج. V_AB = 12 V. د. I₂ = 1 A ، I₃ = 2 A

12.

في الدائرة التي في المخطط أربع مقاومات. نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد V_AB.
د. التيارين I₂ و I₃.
هـ. الجهد على R₄.

الإجابات: أ. R_T = 8 Ω. ب. I_T = 3 A. ج. V_AB = 12 V. د. I₂ = 1 A ، I₃ = 2 A. هـ. V₄ = 8 V

13.

في الدائرة التي في المخطط نحسب التيار الكلي والجهد على R₂:
أ. عندما يكون المفتاح مفتوحا.
ب. عندما يكون المفتاح مغلقا.

الإجابات: أ. I_T = 2 A ، V₂ = 20 V. ب. I_T = 3 A ، V₂ = 15 V

14.

مُجزِّء جهد مكوّن من R₁ = 2 kΩ و R₂ = 6 kΩ مربوط بمصدر جهده 12 V.
أ. نحسب الجهد على R₂ بدون حِمل.
ب. نربط على التوازي مع R₂ حِملا مقاومته 3 kΩ. نحسب الجهد على R₂ الآن.
ج. لماذا صغر الجهد؟

الإجابات: أ. V₂ = 9 V. ب. R₂ ∥ R_L = 2 kΩ ، V₂ = 6 V. ج. الحِمل صغّر المقاومة بين نقطة الوسط والخط السفلي، فصغر نصيبها من الجهد

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

7.1 أ. R_T = 40 Ω. ب. I = 0.5 A. ج. V₁ = 2.5 V ، V₂ = 7.5 V ، V₃ = 10 V

7.2 V₁ = 6 V ، V₂ = 18 V

7.3 أ. I = 2 A. ب. ΔV = 0.8 V. ج. V_L = 11.2 V

7.4 أ. I₁ = 3 A ، I₂ = 2 A ، I₃ = 1 A. ب. I_T = 6 A. ج. R_T = 5 Ω

7.5 أ. 3 Ω · ب. 0.8 kΩ (أي 800 Ω) · ج. 12 Ω

7.6 I₁ = 9 mA ، I₂ = 3 mA

7.7 R₃₄ = 20 Ω ، R₂₃₄ = 12 Ω ، R_AB = 22 Ω

7.8 أ. R_T = 3 kΩ. ب. I_T = 3 mA. ج. V₁ = 3 V ، V₂₃ = 6 V. د. I₂ = 1 mA ، I₃ = 2 mA

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 7

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، في موضوع الإلكترونيات والحاسوب (אלקטרוניקה ומחשבים)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. في بعض الأسئلة يُرمز للجهد بالحرف U كما في نص الامتحان، وهو نفس الجهد الذي نرمز له في الكتاب بالحرف V. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2024 السؤال 1 — دائرة مع مفتاح وفرعين متوازيين ومصدر واحد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار الكلّيّ I_T (المفتاح مفتوح)	I_T = 1.8 A
البند ب	القدرة الكلّيّة (المفتاح مفتوح)	P = 32.4 W
البند ج	قيمة المقاوم R₁ (المفتاح مغلق، P = 36W)	R₁ = 6 Ω
البند د	القدرة الكلّيّة بعد فصل R₃ (المفتاح مغلق)	P ≈ 24.9 W (= 324/13 W)

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2024 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2023 السؤال 1 — دائرة توالٍ-توازٍ مع مصدر جهد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار الّذي يزوّده مصدر الجهد E	I(E) = 1.8 A
البند ب	التيّار عبر المقاوم R₃	I(R₃) = 1.35 A
البند ج	المقاومة المكافئة للدائرة و-R₅	في الحل الكامل
البند د	القدرة المتولّدة في المقاوم R₄	P(R₄) = 4.86 W

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2023 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2021 (موعد ب) السؤال 1 — مقاوم منفرد على التوازي مع فرع توالٍ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهد على R₃	U(R₃) = 14.4 V
البند ب	الجهد على R₄	U(R₄) = 3 V
البند ج	المقاومة المكافئة R_T	R_T = 3.75 kΩ
البند د	القدرة المتولّدة في المقاوم R₁	P(R₁) = 0.15 W = 150 mW

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021-b في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2021 السؤال 1 — شبكة مقاومات مع مصدر جهد وحيد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار عبر R₄	I(R₄) = 0.5 A
البند ب	التيّار الذي يزوّده المصدر E	I = 2.5 A
البند ج	المقاومة المكافئة للدائرة	R_eq = 9.6 Ω
البند د	جهد المصدر E	E = 24 V
البند هـ1	القدرة على كلّ واحد من المقاومات	P₁=12.5W · P₂=8W · P₃=1W · P₄=1W · P₅=37.5W
البند هـ2	مجموع القدرات يساوي قدرة المصدر	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2021 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2019 السؤال 1 — دائرة مقاومات مع مقياس جهد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار عبر R₄	I(R₄) = 1.6 mA
البند ب	الجهد على R₁	U(R₁) = 7.2 V
البند ج	جهد المصدر E	E = 23.2 V
البند د	القدرة على R₂	P(R₂) = 13.2 mW

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2019 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

بجروت 2018 السؤال 1 — دائرة مع أربعة مقاييس تيّار ومصدر جهد

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	المقاومة المكافئة R_T	R_T = 10 Ω
البند ب	التيّار عبر R₁	I(R₁) = 10 A
البند ج	مقاومة كلّ واحد من المقاومات	R₁ = 20 Ω ; R₂ = 40 Ω ; R₃ = 80 Ω ; R₄ = 80 Ω
البند د	ميزان القدرات	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية لامتحان 2018 في موقع المؤلف: fahed-lab.com/exams

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 14 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)