פרק 7

מעגל חשמלי מעורב

כיתה י׳ · 15 שעות לימוד

רוב המעגלים החשמליים אינם חיבור טורי בלבד ואינם חיבור מקבילי בלבד, אלא שילוב של השניים. בפרק הזה נלמד שיטה מסודרת לפתרון מעגלים כאלה: מצמצמים את המעגל שלב אחר שלב עד שמגיעים להתנגדות שקולה אחת, ואז חוזרים אחורה ומחשבים את כל הזרמים והמתחים. בסוף הפרק נכיר שני מעגלים מעורבים בעלי חשיבות מיוחדת: מעגל הנגד המשתנה וגשר ויטסטון.

בסוף הפרק הזה נדע:

נזהה במעגל מעורב אילו נגדים מחוברים בטור ואילו במקביל.
נצמצם את המעגל שלב אחר שלב ונחשב את ההתנגדות השקולה.
נחשב את הזרם ואת המתח בכל נגד, ונבדוק את התוצאות בחוקי קירכהוף.
ננתח מעגל שיש בו מפסק בשני מצביו: פתוח וסגור.
הנגד המשתנה פועל כנגד בטור או כמחלק מתח, והעומס מקטין את מתח המוצא של המחלק.
גשר ויטסטון מאוזן כאשר R₁R₂ = R₃R₄, ומשתמשים בו למציאת התנגדות לא ידועה.

חיבור נגדים במעורב, התנגדות שקולה, זרמים ומתחים (Series-Parallel Circuit)

מעגל מעורב: מעגל שיש בו גם נגדים המחוברים בטור וגם נגדים המחוברים במקביל. פותרים אותו בעזרת החוקים של שני הפרקים הקודמים, אחרי שקובעים את צורת החיבור בין כל קבוצת נגדים.

זיהוי צורת החיבור:

בטור: שני נגדים שזורם בהם בדיוק אותו זרם. ביניהם נקודת חיבור אחת, ומן הנקודה הזאת לא מסתעף שום רכיב אחר.
במקביל: שני נגדים שעליהם בדיוק אותו מתח. שני ההדקים של הראשון ושני ההדקים של השני מחוברים לאותם שני צמתים.
לפעמים קבוצה שלמה של נגדים מחוברת בטור או במקביל לנגד אחר. לכן מתחילים מן הקבוצה הברורה, מחליפים אותה בהתנגדות שקולה, ואז מסתכלים על המעגל מחדש.

שיטת הפתרון שלב אחר שלב:

מסמנים את הצמתים באותיות, ומחפשים קבוצת נגדים שמחוברת באופן ברור בטור או במקביל. בדרך כלל מתחילים מן הצד הרחוק מן המקור.
מחשבים את ההתנגדות השקולה של הקבוצה, ומסרטטים את המעגל מחדש כשבמקום הקבוצה יש נגד אחד.
חוזרים על שני השלבים הקודמים עד שנשאר נגד אחד, והוא ההתנגדות השקולה R_T.
מחשבים את הזרם הכללי: I_T = ER_T.
חוזרים אחורה, מסרטוט לסרטוט. בקבוצה טורית הזרם שווה, ומחשבים את המתחים לפי U = I·R. בקבוצה מקבילית המתח שווה, ומחשבים את הזרמים לפי I = UR.
בודקים את התוצאות: חוק הזרמים של קירכהוף בכל צומת, וחוק המתחים של קירכהוף בכל חוג.

הערה: את ההתנגדות השקולה של קבוצה מסמנים לפי מספרי הנגדים שבה: R₂₃ היא השקולה של R₂ ו-R₃, ו-R₂₃₄ היא השקולה של R₂, R₃ ו-R₄.

דוגמה 7.1

במעגל שבתרשים נחשב:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכללי.
ג. את המתח על כל נגד.
ד. את הזרם בכל נגד.

פתרון:

א. הנגדים R₂ ו-R₃ מחוברים בין אותם שני צמתים A ו-B, ולכן הם במקביל. נחליף אותם בהתנגדות שקולה R₂₃:

R₂₃ = R₂·R₃R₂ + R₃ = 10·1510 + 15 = 6 Ω

בסרטוט החדש R₁ ו-R₂₃ מחוברים בטור, כי אותו זרם זורם בשניהם:

השלב הראשון: R₂₃ במקום R₂ ו-R₃

השלב השני: ההתנגדות השקולה

R_T = R₁ + R₂₃ = 3 + 6 = 9 Ω

ב. הזרם הכללי:

I_T = ER_T = 189 = 2 A

ג. חוזרים לסרטוט הראשון. הזרם I_T זורם ב-R₁ וב-R₂₃:

U₁ = I_T·R₁ = 2·3 = 6 V

U_AB = I_T·R₂₃ = 2·6 = 12 V

המתח U_AB = 12 V הוא המתח על R₂ ועל R₃, כי הם במקביל. בדיקה: U₁ + U_AB = 6 + 12 = 18 V.

ד. חוזרים למעגל המקורי. הזרם ב-R₁ הוא I_T, ואת זרמי שני הענפים נחשב מן המתח U_AB:

I₂ = U_ABR₂ = 1210 = 1.2 A

I₃ = U_ABR₃ = 1215 = 0.8 A

בדיקה לפי חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A: I₂ + I₃ = 1.2 + 0.8 = 2 A, וזה שווה ל-I_T.

R_T = 9 Ω

דוגמה 7.2

במעגל שבתרשים נחשב:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכללי ואת זרם כל ענף.
ג. את המתח על כל נגד.

פתרון:

א. בענף השמאלי R₁ ו-R₂ מחוברים בטור. הענף הזה כולו מחובר במקביל ל-R₃:

R₁₂ = R₁ + R₂ = 2 + 4 = 6 Ω

R_T = R₁₂·R₃R₁₂ + R₃ = 6·36 + 3 = 2 Ω

ב. שני הענפים מחוברים ישירות למקור, ולכן המתח על כל ענף הוא 12 V:

I_T = ER_T = 122 = 6 A

I₁ = ER₁₂ = 126 = 2 A

I₃ = ER₃ = 123 = 4 A

ג. הזרם I₁ זורם ב-R₁ וב-R₂:

U₁ = I₁·R₁ = 2·2 = 4 V

U₂ = I₁·R₂ = 2·4 = 8 V

בדיקה: I₁ + I₃ = 2 + 4 = 6 A, וכן U₁ + U₂ = 4 + 8 = 12 V.

R_T = 2 Ω

שאלה 7.1: חשבו את ההתנגדות השקולה בין ההדקים A ו-B שבתרשים. (הדרכה: מתחילים מן הצד הימני, הרחוק מן ההדקים.)

דוגמה 7.3

במעגל שבתרשים ארבעה נגדים. נחשב את ההתנגדות השקולה, ואחר כך את הזרם ואת המתח בכל נגד.

פתרון:

הצמצום. מתחילים מימין: R₃ ו-R₄ מחוברים בטור. השקולה שלהם R₃₄ מחוברת במקביל ל-R₂, והתוצאה R₂₃₄ מחוברת בטור ל-R₁:

R₃₄ = R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂₃₄ = R₂·R₃₄R₂ + R₃₄ = 12·612 + 6 = 4 Ω

R_T = R₁ + R₂₃₄ = 4 + 4 = 8 Ω

שלב 1: R₃₄ במקום R₃ ו-R₄

שלב 2: R₂₃₄ במקום R₂ ו-R₃₄

הזרם הכללי:

I_T = ER_T = 248 = 3 A

החזרה אחורה. משלב 2: הזרם I_T זורם ב-R₁ וב-R₂₃₄:

U₁ = I_T·R₁ = 3·4 = 12 V

U_AB = I_T·R₂₃₄ = 3·4 = 12 V

משלב 1: המתח U_AB נופל על R₂ ועל R₃₄:

I₂ = U_ABR₂ = 1212 = 1 A

I₃ = U_ABR₃₄ = 126 = 2 A

מן המעגל המקורי: הזרם I₃ זורם ב-R₃ וב-R₄:

U₃ = I₃·R₃ = 2·2 = 4 V

U₄ = I₃·R₄ = 2·4 = 8 V

בדיקה. בצומת A: I₂ + I₃ = 1 + 2 = 3 A = I_T. בחוג הימני: U₃ + U₄ = 4 + 8 = 12 V = U_AB. בחוג השמאלי: U₁ + U_AB = 12 + 12 = 24 V = E.

R_T = 8 Ω

דוגמה 7.4

המעגל שבתרשים נקרא מעגל סולם. נחשב את ההתנגדות השקולה, את הזרם הכללי, ואחר כך את הזרם ואת המתח בכל נגד.

פתרון:

הצמצום, מימין לשמאל. בכל שלב כותבים את צורת החיבור:

R₅₆ = R₅ + R₆ = 2 + 4 = 6 Ω

R₄₅₆ = R₄·R₅₆R₄ + R₅₆ = 3·63 + 6 = 2 Ω

R₃₄₅₆ = R₃ + R₄₅₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂₃₄₅₆ = R₂·R₃₄₅₆R₂ + R₃₄₅₆ = 6·66 + 6 = 3 Ω

R_T = R₁ + R₂₃₄₅₆ = 3 + 3 = 6 Ω

הזרם הכללי:

I_T = ER_T = 366 = 6 A

החזרה אחורה, משמאל לימין. הזרם I_T זורם ב-R₁, ושאר המתח נופל בין הצומת A לקו התחתון:

U₁ = I_T·R₁ = 6·3 = 18 V

U_A = E − U₁ = 36 − 18 = 18 V

I₂ = U_AR₂ = 186 = 3 A

I₃ = I_T − I₂ = 6 − 3 = 3 A

מתקדמים אל הצומת B באותה דרך:

U₃ = I₃·R₃ = 3·4 = 12 V

U_B = U_A − U₃ = 18 − 12 = 6 V

I₄ = U_BR₄ = 63 = 2 A

I₅ = I₃ − I₄ = 3 − 2 = 1 A

הזרם I₅ זורם ב-R₅ וב-R₆. נרכז את התוצאות בטבלה:

הנגד	ערכו	המתח עליו	הזרם בו
R₁	3 Ω	18 V	6 A
R₂	6 Ω	18 V	3 A
R₃	4 Ω	12 V	3 A
R₄	3 Ω	6 V	2 A
R₅	2 Ω	2 V	1 A
R₆	4 Ω	4 V	1 A

בדיקה: U₅ + U₆ = 2 + 4 = 6 V = U_B.

R_T = 6 Ω

הערה: במעגל סולם הזרם קטן ככל שמתרחקים מן המקור, כי חלק ממנו מסתעף בכל צומת, וגם המתח קטן מצומת לצומת.

דוגמה 7.5

במעגל שבתרשים מד-הזרם מודד זרם שעוצמתו 0.4 A בענף שבו נמצא R₃. נחשב את מתח המקור E.

פתרון:

כאן ידוע זרם בתוך המעגל, ומתקדמים ממנו אל המקור. מתחילים מן המתח על R₃, שהוא גם המתח על R₂:

U_AB = I₃·R₃ = 0.4·30 = 12 V

I₂ = U_ABR₂ = 1220 = 0.6 A

לפי חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A:

I_T = I₂ + I₃ = 0.6 + 0.4 = 1 A

הזרם הכללי זורם ב-R₁ וב-R₄. לפי חוק המתחים של קירכהוף:

U₁ = I_T·R₁ = 1·4 = 4 V

U₄ = I_T·R₄ = 1·8 = 8 V

E = U₁ + U_AB + U₄ = 4 + 12 + 8 = 24 V

בדיקה: R_T = 4 + 20·3020 + 30 + 8 = 24 Ω, וכן 2424 = 1 A.

E = 24 V

שאלה 7.2: במעגל שבתרשים חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכללי.
ג. את הזרם I₁ ואת הזרם ב-R₂.
ד. את המתח על R₂ ועל R₃.

שאלה 7.3: במעגל מעורב הנגד R₁ = 1 kΩ מחובר בטור לקבוצה שבה R₂ = 6 kΩ ו-R₃ = 3 kΩ מחוברים במקביל. מתח המקור 9 V. סרטטו את המעגל וחשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכללי.
ג. את המתח על R₁ ועל הקבוצה.
ד. את הזרם ב-R₂ וב-R₃.

▶ניסוי חי — סימולטור המעגל המעורבבוחרים אחד משמונה מעגלים מעורבים, משנים את ערכי הנגדים ועוקבים אחר הפתרון המלא שלב אחר שלב. במצב התרגול מחשבים בעצמנו ואז בודקים את התשובות.

⚠

המעבדה אינה זמינה כרגע. החומר בפרק שלם גם בלעדיה — ממשיכים לקרוא, וחוזרים לניסוי מאוחר יותר או פותחים אותו ישירות בקישור שמתחת למסגרת.

https://fahed-lab.com/circuits/mixed_circuit_pro

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/mixed_circuit_pro

מעגלים מעורבים עם מפסק:

המפסק משנה את צורת המעגל, ולכן פותרים את המעגל פעמיים: פעם כשהמפסק פתוח ופעם כשהוא סגור. נזכור שני כללים:

מפסק פתוח הוא נתק: בענף שבו נמצא המפסק לא זורם זרם, ומוחקים את הענף הזה מן הסרטוט.
מפסק סגור הוא מוליך שהתנגדותו אפס. אם הוא מחובר במקביל לנגד, הוא מקצר אותו: המתח על הנגד אפס, לא זורם בו זרם, ומוחקים אותו מן הסרטוט.

דוגמה 7.6

במעגל שבתרשים המפסק S מחובר בטור ל-R₃. נחשב את הזרם הכללי ואת המתח על כל נגד:
א. כשהמפסק פתוח.
ב. כשהמפסק סגור.

פתרון:

א. המפסק פתוח. ב-R₃ לא זורם זרם, ונשארים R₁ ו-R₂ בטור:

R_T = R₁ + R₂ = 6 + 12 = 18 Ω

I_T = 3618 = 2 A

U₁ = 2·6 = 12 V

U₂ = 2·12 = 24 V

ב. המפסק סגור. עכשיו R₃ מחובר במקביל ל-R₂:

R₂₃ = 12·412 + 4 = 3 Ω

R_T = R₁ + R₂₃ = 6 + 3 = 9 Ω

I_T = 369 = 4 A

U₁ = 4·6 = 24 V

U_AB = 36 − 24 = 12 V

I₂ = 1212 = 1 A

I₃ = 124 = 3 A

הגודל	המפסק פתוח	המפסק סגור
ההתנגדות השקולה R_T	18 Ω	9 Ω
הזרם הכללי I_T	2 A	4 A
המתח על R₁	12 V	24 V
המתח על R₂	24 V	12 V
הזרם ב-R₃	0	3 A

סגירת המפסק הוסיפה ענף במקביל, ולכן ההתנגדות הכללית קטנה והזרם הכללי גדל. המתח על R₁ גדל, ולכן המתח על R₂ קטן.

דוגמה 7.7

במעגל שבתרשים המפסק S מחובר במקביל ל-R₂. נחשב את הזרם הכללי ואת הזרם ב-R₃:
א. כשהמפסק פתוח.
ב. כשהמפסק סגור.

פתרון:

בשני המצבים R₃ ו-R₄ שווים ומחוברים במקביל: R₃₄ = 82 = 4 Ω, והזרם מתחלק ביניהם שווה בשווה.

א. המפסק פתוח. הזרם זורם ב-R₂:

R_T = R₁ + R₂ + R₃₄ = 2 + 6 + 4 = 12 Ω

I_T = 2412 = 2 A

I₃ = I_T2 = 1 A

ב. המפסק סגור. המפסק מקצר את R₂, ולכן משמיטים אותו מן החישוב:

R_T = R₁ + R₃₄ = 2 + 4 = 6 Ω

I_T = 246 = 4 A

I₃ = I_T2 = 2 A

בסגירת המפסק הזרם הוכפל, כי ההתנגדות הכללית ירדה מ-12 Ω ל-6 Ω. המתח על R₂ נעשה אפס.

שאלה 7.4: במעגל שבתרשים חשבו את הזרם הכללי ואת המתח על R₂:
א. כשהמפסק פתוח.
ב. כשהמפסק סגור.

▶ניסוי חי — בונים את המעגל בעצמנולוח עבודה חופשי: גוררים נגדים, מקורות ומכשירי מדידה, מחווטים כרצוננו וקוראים את הזרמים והמתחים בכל רכיב.

⚠

https://fahed-lab.com/builder/circuit_lab_pro6

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/builder/circuit_lab_pro6

מעגלים מעורבים מיוחדים (Special Mixed Circuits)

א. מעגלים הכוללים נגד משתנה (פוטנציומטר):

נגד משתנה / פוטנציומטר: נגד שיש לו שלושה הדקים: שני הדקים קבועים בתחילת המסלול ההתנגדותי ובסופו, והדק שלישי נע שנקרא זחלן ומחליק על המסלול. ההתנגדות בין שני ההדקים הקבועים קבועה, והיא ההתנגדות הכללית R_P.

הזחלן מחלק את ההתנגדות הכללית לשני חלקים: R_a מעל הזחלן ו-R_b מתחתיו, וסכומם תמיד R_a + R_b = R_P. כשמזיזים את הזחלן, אחד החלקים גדל והאחר קטן. בנגד המשתנה משתמשים בשני חיבורים שונים.

החיבור הראשון — נגד משתנה בטור. משתמשים בשני הדקים בלבד: הדק קבוע והזחלן. כך מקבלים נגד שאפשר לשנות את התנגדותו מאפס עד R_P, ומחברים אותו בטור לעומס כדי לשלוט בזרם.

דוגמה 7.8

נגד משתנה R_V, שאפשר לשנות אותו מ-0 עד 36 Ω, מחובר בטור לעומס שהתנגדותו R_L = 12 Ω ולמקור שמתחו 24 V.
א. באיזה תחום משתנה זרם המעגל?
ב. באיזה תחום משתנה המתח על העומס?
ג. איזה ערך של R_V נותן זרם שעוצמתו 1 A?

פתרון:

א. הזרם הגדול ביותר מתקבל כאשר R_V = 0, והזרם הקטן ביותר כאשר R_V = 36 Ω:

I_max = ER_L = 2412 = 2 A

I_min = ER_L + R_V = 2412 + 36 = 0.5 A

ב. המתח על העומס הוא U_L = I·R_L:

U_max = 2·12 = 24 V

U_min = 0.5·12 = 6 V

ג. נחשב את ההתנגדות הכללית הדרושה, ואז נחסר ממנה את התנגדות העומס:

R_T = EI = 241 = 24 Ω

R_V = R_T − R_L = 24 − 12 = 12 Ω

R_V = 12 Ω

החיבור השני — פוטנציומטר כמחלק מתח. משתמשים בשלושת ההדקים: מחברים את המקור לשני ההדקים הקבועים, ולוקחים את מתח המוצא U_out בין הזחלן להדק התחתון. זה מחלק המתח מפרק 6, אלא שכאן משנים את היחס בין שתי ההתנגדויות בהזזת הזחלן, וכך שולטים במתח.

מחלק לא מועמס

מחלק מועמס בעומס R_L

מחלק מתח לא מועמס

U_out = U·R_bR_P

R_P = R_a + R_b

סימן	משמעות	יחידת מידה
U_out	מתח המוצא (בין הזחלן להדק התחתון)	[V]
U	מתח המקור	[V]
R_b	חלק ההתנגדות שמתחת לזחלן	[Ω]
R_a	חלק ההתנגדות שמעל הזחלן	[Ω]
R_P	ההתנגדות הכללית של הנגד המשתנה	[Ω]

הערה: כשהזחלן למטה R_b = 0 ו-U_out = 0. כשהוא למעלה R_b = R_P ו-U_out = U. בלי עומס מתח המוצא משתנה עם מיקום הזחלן באופן ליניארי: אם נסמן את מיקום הזחלן k = R_bR_P, אז U_out = k·U.

דוגמה 7.9

נגד משתנה שהתנגדותו הכללית R_P = 10 kΩ מחובר כמחלק מתח למקור שמתחו 12 V, בלי עומס.
א. נחשב את מתח המוצא כאשר R_b = 2.5 kΩ.
ב. איזה ערך של R_b נותן מתח מוצא של 9 V?

פתרון:

א. נציב בנוסחת המחלק:

U_out = U·R_bR_P = 12·2.510 = 3 V

ב. נחלץ את R_b מאותה נוסחה:

R_b = R_P·U_outU = 10·912 = 7.5 kΩ

במקרה השני הזחלן נמצא בשלושה רבעים מן המסלול, מלמטה.

U_out = 3 V

מחלק מועמס. כשמחברים עומס R_L למוצא, העומס מחובר במקביל לחלק התחתון R_b. ההתנגדות השקולה שלהם קטנה מ-R_b, ולכן נופל עליה חלק קטן יותר ממתח המקור: מתח המוצא יורד. עכשיו המעגל הוא מעגל מעורב:

מחלק מתח מועמס

R_bL = R_b·R_LR_b + R_L

U_out = U·R_bLR_a + R_bL

סימן	משמעות	יחידת מידה
R_bL	ההתנגדות השקולה של החלק התחתון והעומס במקביל	[Ω]
R_L	התנגדות העומס	[Ω]
U_out	מתח המוצא, שהוא המתח על העומס	[V]

דוגמה 7.10

במעגל שבתרשים הזחלן נמצא באמצע המסלול. נחשב:
א. את מתח המוצא בלי עומס.
ב. את מתח המוצא עם העומס R_L = 5 kΩ.
ג. את הזרם הכללי, את זרם העומס ואת הזרם בחלק התחתון R_b.

פתרון:

א. בלי עומס, מחלק מתח רגיל:

U_out = U·R_bR_P = 12·510 = 6 V

ב. עם העומס: R_L מחובר במקביל ל-R_b, והשקולה שלהם מחוברת בטור ל-R_a:

R_bL = R_b·R_LR_b + R_L = 5·55 + 5 = 2.5 kΩ

U_out = U·R_bLR_a + R_bL = 12·2.55 + 2.5 = 4 V

מתח המוצא ירד מ-6 V ל-4 V בגלל העומס.

ג. נחשב את הזרמים:

I_T = UR_a + R_bL = 12 V7.5 kΩ = 1.6 mA

I_L = U_outR_L = 4 V5 kΩ = 0.8 mA

I_b = U_outR_b = 4 V5 kΩ = 0.8 mA

בדיקה: I_L + I_b = 0.8 + 0.8 = 1.6 mA = I_T.

U_out = 4 V

איך משפיע ערך העומס? נחשב את מתח המוצא באותו מעגל לכמה ערכים של העומס (הזחלן באמצע, ובלי עומס U_out = 6 V):

R_L	R_LR_P	U_out	הירידה
5 kΩ	0.5	4 V	33.3 %
10 kΩ	1	4.8 V	20 %
20 kΩ	2	5.33 V	11.1 %
100 kΩ	10	5.85 V	2.4 %
1000 kΩ	100	5.99 V	0.2 %

מתח המוצא לפי מיקום הזחלן k, בלי עומס ועם עומס R_L = 5 kΩ

כלל מעשי: ככל שהתנגדות העומס גדולה יותר, השפעתו קטנה יותר. אם התנגדות העומס גדולה לפחות פי עשרה מ-R_P, מתח המוצא יורד רק בשיעור קטן, ואפשר לחשב בנוסחת המחלק הלא מועמס. לכן בוחרים נגד משתנה שהתנגדותו קטנה ביחס לעומס.

שאלה 7.5: נגד משתנה R_P = 1 kΩ מחובר כמחלק מתח למקור שמתחו 10 V. הזחלן מחלק אותו ל-R_a = 600 Ω ול-R_b = 400 Ω. חשבו את מתח המוצא:
א. בלי עומס.
ב. עם עומס R_L = 400 Ω.
ג. חשבו את הזרם הכללי במצב ב.

▶ניסוי חי — פוטנציומטר תחת עומסמזיזים את הזחלן ורואים כיצד יורד מתח המוצא כשמחברים עומס לנגד המשתנה.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/wheatstone_potentiometer

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/wheatstone_potentiometer

ב. גשר ויטסטון:

גשר ויטסטון: מעגל שבנוי מארבעה נגדים המסודרים בשני ענפים מקבילים, ובכל ענף שני נגדים בטור. בין שתי נקודות האמצע A ו-B מחברים מכשיר מדידה רגיש. בגשר משתמשים למדידה מדויקת של התנגדות לא ידועה, ובמעגלי חיישנים.

גשר ויטסטון בצורת מעוין

אותו מעגל מסורטט כשני מחלקי מתח במקביל

מכשיר המדידה G הוא גלוונומטר: מד-זרם רגיש מאוד, שהמחוג שלו נמצא באמצע, והוא מראה אם זורם זרם בין A ל-B ובאיזה כיוון. הענף השמאלי (R₁, R₂) והענף הימני (R₃, R₄) הם שני מחלקי מתח המחוברים לאותו מקור. כשהגלוונומטר מנותק, מחשבים את הפוטנציאל של כל נקודת אמצע ביחס להדק השלילי בכלל מחלק המתח:

מתח הגשר

U_A = U·R₂R₁ + R₂

U_B = U·R₄R₃ + R₄

U_AB = U_A − U_B

סימן	משמעות	יחידת מידה
U	מתח המקור	[V]
U_A	הפוטנציאל של הנקודה A (המתח על R₂)	[V]
U_B	הפוטנציאל של הנקודה B (המתח על R₄)	[V]
U_AB	מתח הגשר: הפרש הפוטנציאלים בין שתי נקודות האמצע	[V]

גשר מאוזן. אם U_A = U_B, אז U_AB = 0, ולא זורם זרם בגלוונומטר גם אם מחברים אותו. במצב כזה אומרים שהגשר מאוזן. נשווה בין שני המתחים ונצמצם ב-U:

R₂R₁ + R₂ = R₄R₃ + R₄

R₂·(R₃ + R₄) = R₄·(R₁ + R₂)

R₂·R₃ = R₁·R₄

תנאי האיזון של גשר ויטסטון

R₁R₂ = R₃R₄

R₁·R₄ = R₂·R₃

סימן	משמעות	יחידת מידה
R₁ , R₂	שני הנגדים של הענף השמאלי (R₁ העליון)	[Ω]
R₃ , R₄	שני הנגדים של הענף הימני (R₃ העליון)	[Ω]

תנאי האיזון אינו תלוי במתח המקור: גשר מאוזן נשאר מאוזן גם אם המתח משתנה או הסוללה נחלשת.
בנוסחה השנייה כופלים את ההתנגדויות של הנגדים הנגדיים במעוין: R₁ עם R₄, ו-R₂ עם R₃.
בגשר מאוזן לא זורם זרם בין A ל-B, ולכן אפשר למחוק את הגלוונומטר מן הסרטוט. נשאר מעגל מעורב פשוט: (R₁ + R₂) ∥ (R₃ + R₄).

דוגמה 7.11

בגשר שבתרשים:
א. נבדוק אם הגשר מאוזן.
ב. נחשב את זרם כל ענף ואת הזרם הכללי.
ג. נחשב את הפוטנציאל של הנקודות A ו-B.

פתרון:

א. נבדוק את תנאי האיזון:

R₁R₂ = 2040 = 0.5

R₃R₄ = 3060 = 0.5

שני היחסים שווים, ולכן הגשר מאוזן ולא זורם זרם בגלוונומטר.

ב. מוחקים את הגלוונומטר. בכל ענף שני נגדים בטור, והמתח על כל ענף הוא 18 V:

I₁ = UR₁ + R₂ = 1820 + 40 = 0.3 A

I₃ = UR₃ + R₄ = 1830 + 60 = 0.2 A

I_T = I₁ + I₃ = 0.3 + 0.2 = 0.5 A

ג. הפוטנציאל של כל נקודת אמצע הוא המתח על הנגד התחתון שבענף שלה:

U_A = I₁·R₂ = 0.3·40 = 12 V

U_B = I₃·R₄ = 0.2·60 = 12 V

שני הפוטנציאלים שווים, כנדרש בגשר מאוזן: U_AB = 0.

I_T = 0.5 A

מציאת התנגדות לא ידועה. שמים את הנגד הלא ידוע R_x באחת מזרועות הגשר, ובזרוע אחרת שמים נגד משתנה מדויק. משנים את הנגד המשתנה עד שמחוג הגלוונומטר נעמד על האפס, ואז מחשבים את R_x מתנאי האיזון. זו שיטת מדידה מדויקת מאוד, כי לא קוראים ערך על הסקלה אלא מחפשים רק את האפס, וכי התוצאה אינה תלויה במתח המקור.

דוגמה 7.12

בגשר שבתרשים R₁ = 200 Ω ו-R₂ = 500 Ω. שינינו את הנגד המשתנה R₃ עד שהגשר התאזן, וערכו היה אז 120 Ω. נחשב את ההתנגדות הלא ידועה R_x.

פתרון:

הגשר מאוזן, ולכן נכתוב את תנאי האיזון ונחלץ ממנו את R_x:

R₁R₂ = R₃R_x

R_x = R₂·R₃R₁ = 500·120200 = 300 Ω

בדיקה: 200500 = 0.4 וגם 120300 = 0.4.

R_x = 300 Ω

גשר לא מאוזן. אם תנאי האיזון אינו מתקיים, אז U_A ≠ U_B, ובין שתי נקודות האמצע מופיע מתח U_AB. מחשבים אותו בעזרת שני מחלקי המתח. סימן התוצאה מראה לאיזו משתי הנקודות יש פוטנציאל גבוה יותר.

דוגמה 7.13

בגשר שבתרשים מחובר בין הנקודות A ו-B מד-מתח, והתנגדותו גדולה מאוד כך שלא זורם בו זרם. נחשב את המתח שהוא מודד.

פתרון:

נבדוק תחילה: R₁R₂ = 24 = 0.5, אבל R₃R₄ = 33 = 1. הגשר אינו מאוזן. נחשב את הפוטנציאל של כל נקודת אמצע:

U_A = U·R₂R₁ + R₂ = 12·42 + 4 = 8 V

U_B = U·R₄R₃ + R₄ = 12·33 + 3 = 6 V

U_AB = U_A − U_B = 8 − 6 = 2 V

התוצאה חיובית: הפוטנציאל של הנקודה A גבוה מן הפוטנציאל של הנקודה B. אילו חיברנו גלוונומטר במקום מד-המתח, היה זורם בו זרם מ-A אל B.

U_AB = 2 V

דוגמה 7.14

בגשר יש ארבעה נגדים שווים, שהתנגדות כל אחד מהם 100 Ω, ומקור שמתחו 10 V. הנגד R₄ הוא חיישן טמפרטורה, שהתנגדותו עולה כשהטמפרטורה עולה.
א. מהו מתח הגשר U_AB כשכל ההתנגדויות הן 100 Ω?
ב. הטמפרטורה עלתה, ועכשיו R₄ = 150 Ω. נחשב את U_AB.

פתרון:

א. כל ההתנגדויות שוות, ולכן R₁R₂ = R₃R₄ = 1. הגשר מאוזן ו-U_AB = 0.

ב. הענף השמאלי לא השתנה. בענף הימני היחס השתנה:

U_A = 10·100100 + 100 = 5 V

U_B = 10·150100 + 150 = 6 V

U_AB = U_A − U_B = 5 − 6 = −1 V

התוצאה שלילית: הפוטנציאל של הנקודה B גבוה מן הפוטנציאל של הנקודה A. כך הגשר הופך שינוי בהתנגדות למתח שאפשר למדוד. על העיקרון הזה פועלים חיישני טמפרטורה, מאזניים אלקטרוניים וחיישני לחץ.

U_AB = −1 V

שימו לב: בגשר לא מאוזן שבין נקודות האמצע שלו מחובר גלוונומטר או נגד, זורם זרם בין A ל-B. במצב כזה אין במעגל נגדים בטור או במקביל, ואי אפשר לצמצם אותו בשיטות של הפרק הזה. מעגל כזה פותרים בשיטות שנלמד בפרק 9. הנוסחאות שבסעיף הזה נכונות כשלא זורם זרם בין A ל-B.

שאלה 7.6: בגשר ויטסטון מאוזן R₁ = 120 Ω, R₂ = 300 Ω, R₃ = 80 Ω. חשבו את R₄.

שאלה 7.7: בגשר ויטסטון U = 24 V, R₁ = 1 kΩ, R₂ = 3 kΩ, R₃ = 2 kΩ, R₄ = 2 kΩ, והגלוונומטר מנותק. חשבו את U_A, את U_B ואת U_AB.

▶ניסוי חי — גשר ויטסטון והנגד המשתנהמזיזים את הזחלן ורואים איך מתח המוצא יורד כשמחברים את העומס, ואחר כך משנים את זרועות הגשר עד שמחוג הגלוונומטר נעמד על האפס.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/wheatstone_potentiometer

פתיחת המעבדה בדף נפרד ↗ fahed-lab.com/circuits/wheatstone_potentiometer

סיכום נוסחאות הפרק:

החוק	הנוסחה
קבוצה טורית	R₁₂ = R₁ + R₂
קבוצה מקבילית	R₁₂ = R₁·R₂R₁ + R₂
הזרם הכללי	I_T = ER_T
מחלק מתח לא מועמס	U_out = U·R_bR_P
החלק התחתון עם העומס	R_bL = R_b·R_LR_b + R_L
מחלק מתח מועמס	U_out = U·R_bLR_a + R_bL
תנאי האיזון של גשר ויטסטון	R₁R₂ = R₃R₄
תנאי האיזון — מכפלת הנגדיים	R₁·R₄ = R₂·R₃
מתח הגשר הלא מאוזן	U_AB = U·R₂R₁ + R₂ − U·R₄R₃ + R₄

מילון מונחים:

עברית	English	العربية
מעגל מעורב	Series-parallel circuit	دائرة مختلطة
חיבור מעורב	Mixed connection	الربط المختلط
התנגדות שקולה	Equivalent resistance	المقاومة المكافئة (الكلية)
צמצום המעגל	Circuit reduction	تبسيط الدائرة
מעגל סולם	Ladder circuit	دائرة سلّمية
מפסק פתוח / סגור	Open / closed switch	مفتاح مفتوح / مغلق
נגד משתנה / פוטנציומטר	Variable resistor / potentiometer	المقاومة المتغيرة
זחלן	Wiper	المزالج
מחלק מתח לא מועמס	Unloaded divider	مُجزِّء جهد بدون حِمل
מחלק מתח מועמס	Loaded divider	مُجزِّء جهد مع حِمل
מתח המוצא	Output voltage	جهد الخرج
גשר ויטסטון	Wheatstone bridge	جسر ويتستون (قنطرة)
גשר מאוזן	Balanced bridge	جسر متوازن
תנאי האיזון	Balance condition	شرط التوازن
גלוונומטר	Galvanometer	غلفانومتر
חיישן	Sensor	مجسّ

שאלות לתרגול:

חשבו את ההתנגדות השקולה בין ההדקים A ו-B שבתרשים.

תשובות: R₂₃ = 3 Ω, R_AB = 9 Ω

במעגל שבתרשים חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכללי.
ג. את המתח על R₁ ואת המתח U_AB.
ד. את הזרמים I₂ ו-I₃.

תשובות: א. R_T = 20 Ω. ב. I_T = 1.5 A. ג. U₁ = 12 V, U_AB = 18 V. ד. I₂ = 0.9 A, I₃ = 0.6 A

במעגל שבתרשים חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את זרם כל ענף ואת הזרם הכללי.
ג. את המתח על R₁ ועל R₂.

תשובות: א. R_T = 4 Ω. ב. I₁ = 2 A, I₃ = 4 A, I_T = 6 A. ג. U₁ = 6 V, U₂ = 18 V

במעגל שבתרשים חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכללי.
ג. את המתח U_AB.
ד. את הזרמים I₂ ו-I₃.
ה. את המתח על R₃ ועל R₄.

תשובות: א. R_T = 15 Ω. ב. I_T = 3 A. ג. U_AB = 30 V. ד. I₂ = 1 A, I₃ = 2 A. ה. U₃ = 20 V, U₄ = 10 V

הנגד R₁ = 1 kΩ מחובר בטור לשני נגדים במקביל, R₂ = 4 kΩ ו-R₃ = 4 kΩ, ולמקור שמתחו 12 V. חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכללי.
ג. את המתח על R₂.
ד. את הזרם ב-R₂.

תשובות: א. R_T = 3 kΩ. ב. I_T = 4 mA. ג. U₂ = 8 V. ד. I₂ = 2 mA

במעגל שבתרשים מד-הזרם מודד זרם שעוצמתו 1.5 A בענף שבו נמצא R₂. חשבו:
א. את המתח U_AB.
ב. את הזרם ב-R₃.
ג. את הזרם הכללי.
ד. את מתח המקור.

תשובות: א. U_AB = 15 V. ב. I₃ = 1 A. ג. I_T = 2.5 A. ד. E = 27.5 V

במעגל שבתרשים חשבו את הזרם הכללי ואת המתח על R₂:
א. כשהמפסק S פתוח.
ב. כשהוא סגור.

תשובות: א. I_T = 1.5 A, U₂ = 18 V. ב. I_T = 3 A, U₂ = 12 V

במעגל שבתרשים המפסק S מחובר במקביל ל-R₁. חשבו את הזרם הכללי ואת המתח על R₂:
א. כשהמפסק פתוח.
ב. כשהוא סגור.

תשובות: א. I_T = 4 A, U₂ = 8 V. ב. I_T = 12 A, U₂ = 24 V

במעגל הסולם שבתרשים חשבו:
א. את ההתנגדות השקולה.
ב. את הזרם הכללי.
ג. את הפוטנציאל של הצמתים A ו-B ביחס לקו התחתון.
ד. את הזרם ב-R₆.

תשובות: א. R_T = 5 Ω. ב. I_T = 4 A. ג. U_A = 12 V, U_B = 6 V. ד. I₆ = 2 A

10.

נורה שהתנגדותה 6 Ω מחוברת בטור לנגד משתנה, שאפשר לשנות אותו מ-0 עד 18 Ω, ולמקור שמתחו 12 V. באיזה תחום משתנה:
א. זרם הנורה?
ב. המתח על הנורה?

תשובות: א. מ-0.5 A עד 2 A. ב. מ-3 V עד 12 V

11.

נגד משתנה R_P = 20 kΩ מחובר כמחלק מתח למקור שמתחו 24 V, בלי עומס.
א. חשבו את מתח המוצא כאשר R_b = 5 kΩ.
ב. איזה ערך של R_b נותן מתח מוצא של 18 V?

תשובות: א. U_out = 6 V. ב. R_b = 15 kΩ

12.

במחלק מן השאלה הקודמת העמדנו את הזחלן באמצע המסלול וחיברנו למוצא עומס שהתנגדותו R_L = 10 kΩ. חשבו:
א. את מתח המוצא בלי העומס.
ב. את מתח המוצא עם העומס.
ג. את הזרם הכללי עם העומס.

תשובות: א. U_out = 12 V. ב. U_out = 8 V. ג. I_T = 1.6 mA

13.

בגשר ויטסטון מאוזן R₁ = 150 Ω, R₂ = 450 Ω, R₃ = 200 Ω, ומתח המקור 12 V. חשבו:
א. את ההתנגדות R_x שבזרוע הרביעית.
ב. את זרם כל ענף.
ג. את הזרם הכללי.

תשובות: א. R_x = 600 Ω. ב. I₁ = 20 mA, I₃ = 15 mA. ג. I_T = 35 mA

14.

בגשר שבתרשים לא זורם זרם במד-המתח.
א. האם הגשר מאוזן?
ב. חשבו את U_A, את U_B ואת המתח U_AB שמד-המתח מודד.
ג. איזה ערך של R₄ מאזן את הגשר?

תשובות: א. לא, כי 23 ≠ 14. ב. U_A = 12 V, U_B = 16 V, U_AB = −4 V. ג. R₄ = 1.5 kΩ

תשובות סופיות לשאלות הפרק

7.1 R₃₄ = 20 Ω, R₂₃₄ = 12 Ω, R_AB = 22 Ω

7.2 א. R_T = 5 Ω. ב. I_T = 4 A. ג. I₁ = 2 A, I₂ = 2 A. ד. U₂ = 8 V, U₃ = 12 V

7.3 א. R_T = 3 kΩ. ב. I_T = 3 mA. ג. U₁ = 3 V, U₂₃ = 6 V. ד. I₂ = 1 mA, I₃ = 2 mA

7.4 א. I_T = 2 A, U₂ = 20 V. ב. I_T = 3 A, U₂ = 15 V

7.5 א. U_out = 4 V. ב. U_out = 2.5 V. ג. I_T = 12.5 mA

7.6 R₄ = 200 Ω

7.7 U_A = 18 V, U_B = 12 V, U_AB = 6 V

שאלות בגרות לפרק 7

השאלות שלהלן לקוחות כלשונן מבחינות הבגרות של משרד החינוך, שאלון 845381 (מערכות חשמל). מתחת לכל שאלה מופיעות התשובות הסופיות. הפתרון המלא, שלב אחר שלב, נמצא באתר המחבר: לוחצים על הקישור שמתחת לשאלה.

בגרות 2026 שאלה 3 — מעגל זרם ישר עם מפסק S

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	ההתנגדות השקולה (S פתוח)	R_eq = 90 Ω
סעיף ב	המתח על R₅ (S פתוח)	V(R₅) = 12 V
סעיף ג	הזרם דרך R₄ (S פתוח)	I(R₄) = 0.04 A
סעיף ד	ההתנגדות השקולה (S סגור)	בפתרון המלא

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

בגרות 2025 שאלה 3 — מעגל גשר עם מפסק

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	המתח על R₃ (S פתוח)	U(R₃) = 24 V
סעיף ב	ההספק שמספק המקור (S פתוח)	P = 5.76 W
סעיף ג	ההתנגדות השקולה (S סגור)	R_T = 176 Ω
סעיף ד	הזרם דרך R₄ (S סגור)	I(R₄) ≈ 0.164 A

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

בגרות 2024 שאלה 3 — מעגל מעורב טורי-מקבילי בזרם ישר

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	ההתנגדות השקולה של המעגל	R_T = 40 Ω
סעיף ב	מפלי המתח על הנגדים R₁ ו-R₃	U_R₁ = 6 V ; U_R₃ = 3 V
סעיף ג	ההספק המתפתח על הנגד R₅	P₅ = 0.15 W

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

בגרות 2023 שאלה 1 — מעגל משולב בזרם ישר

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	ההתנגדות השקולה של המעגל	R_T = 36 Ω
סעיף ב	קריאת הזרם דרך R₄ והמתח על R₁	I(R₄) = 0.267 A ; U(R₁) = 2 V
סעיף ג	ההספק המתפתח על R₃	P(R₃) = 10.67 W

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

בגרות 2022 שאלה 4 — מעגל עם מפסק

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	הזרם הכללי I_T (המפסק פתוח)	I_T = 0.5 A
סעיף ב1	חיבור מד-זרם ומד-מתח	בפתרון המלא
סעיף ב2	קריאות המכשירים	I_R2 ≈ 0.33 A ; U_R4 = 2 V
סעיף ג	ההספק המתפתח בנגד R₁ (המפסק סגור)	P_R1 = 7.2 W

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2022

בגרות 2022 שאלה 1 — מעגל זרם ישר עם נגדים בטור ובמקביל

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	המתח בין הנקודות A ו-B	U_AB = 21 V
סעיף ב	הזרם I₂	I₂ = 3 A
סעיף ג	הזרם הכללי I_T	I_T = 6 A
סעיף ד	מתח המקור E	E = 87 V

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2022

בגרות 2021 (מועד מיוחד) שאלה 1 — מעגל משולב בזרם ישר

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	מתח המקור E	E = 12 V
סעיף ב	הזרם דרך הנגד R₁	I₁ = 0.8 A
סעיף ג	ההספק על הנגד R₂	P₂ = 8.64 W

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2021-makeup

בגרות 2021 שאלה 1 — לולאה עם נגד בטור וצירוף מקבילי

סעיף	הנדרש	תשובה סופית
סעיף א	ההתנגדות השקולה של המעגל	R_T = 12 Ω
סעיף ב	הזרם דרך R₁	I₁ = 4 A
סעיף ג	המתח על R₄	U_R4 = 8 V

הפתרון המלא : fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2021

נוסחאון הספר: כל נוסחאות הפרק הזה מרוכזות, עם סרטוטיהן וטבלאות הסמלים שלהן, בפרק 20 — נוסחאון הספר.