الفصل 7

الدائرة الكهربائية المختلطة

מעגל חשמלי מעורב

الصف العاشر · 15 ساعات تعليمية

معظم الدوائر الكهربائية ليست ربطا على التوالي فقط ولا ربطا على التوازي فقط، بل هي مزيج من الاثنين. في هذا الفصل نتعلم طريقة منظّمة لحل هذه الدوائر: نبسّط الدائرة خطوة بعد خطوة حتى نصل إلى مقاومة مكافئة واحدة، ثم نعود إلى الوراء ونحسب جميع التيارات والجهود. في نهاية الفصل نتعرف على دائرتين مختلطتين لهما أهمية خاصة: دائرة المقاومة المتغيرة وجسر ويتستون.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

نميّز في دائرة مختلطة أي المقاومات مربوطة على التوالي وأيها على التوازي.
نبسّط الدائرة خطوة بعد خطوة ونحسب المقاومة المكافئة.
نحسب التيار والجهد في كل مقاومة، ونفحص النتائج بقوانين كيرخهوف.
نحلل دائرة فيها مفتاح في حالتيه: مفتوح ومغلق.
المقاومة المتغيرة تعمل كمقاومة على التوالي أو كمُجزِّء جهد، وأن الحِمل يُنقص جهد خرج المُجزِّء.
جسر ويتستون يكون متوازنا عندما R₁R₂ = R₃R₄ ، ونستخدمه لإيجاد مقاومة مجهولة.

חיבור נגדים במעורב, התנגדות שקולה, זרמים ומתחים – الربط المختلط: المقاومة المكافئة، التيارات والجهود (Series-Parallel Circuit)

الدائرة المختلطة (מעגל מעורב): هي دائرة فيها مقاومات مربوطة على التوالي ومقاومات مربوطة على التوازي معا. نحلها بواسطة قوانين الفصلين السابقين، بعد أن نحدد شكل الربط بين كل مجموعة من المقاومات.

كيف نميّز شكل الربط؟ – זיהוי צורת החיבור:

على التوالي: مقاومتان يمر فيهما نفس التيار بالضبط. بينهما نقطة ربط واحدة، ولا يتفرع من هذه النقطة أي عنصر آخر.
على التوازي: مقاومتان عليهما نفس الجهد بالضبط. طرفا الأولى وطرفا الثانية مربوطة بنفس العُقدتين.
قد تكون مجموعة كاملة من المقاومات على التوالي أو على التوازي مع مقاومة أخرى. لذلك نبدأ من المجموعة الواضحة، نستبدلها بمقاومة مكافئة، ثم ننظر إلى الدائرة من جديد.

طريقة الحل خطوة بعد خطوة – שיטת הפתרון שלב אחר שלב:

نعلّم العُقد بحروف، ونبحث عن مجموعة مقاومات مربوطة بشكل واضح على التوالي أو على التوازي. غالبا نبدأ من الجهة البعيدة عن المصدر.
نحسب المقاومة المكافئة للمجموعة، ونرسم الدائرة من جديد وفيها مقاومة واحدة بدل المجموعة.
نكرر الخطوتين السابقتين حتى تبقى مقاومة واحدة، هي المقاومة المكافئة R_T.
نحسب التيار الكلي: I_T = ER_T.
نعود إلى الوراء، من رسم إلى رسم. في مجموعة على التوالي التيار متساوٍ، ونحسب الجهود حسب U = I·R. في مجموعة على التوازي الجهد متساوٍ، ونحسب التيارات حسب I = UR.
نفحص النتائج: قانون كيرخهوف للتيار في كل عُقدة، وقانون كيرخهوف للجهد في كل حلقة.

ملاحظة: نرمز للمقاومة المكافئة لمجموعة حسب أرقام مقاوماتها: R₂₃ هي مكافئة R₂ و R₃ ، و R₂₃₄ هي مكافئة R₂ ، R₃ و R₄.

مثال 7.1

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد على كل مقاومة.
د. التيار في كل مقاومة.

الحل:

أ. المقاومتان R₂ و R₃ مربوطتان بين نفس العُقدتين A و B ، ولذلك هما على التوازي. نستبدلهما بمقاومة مكافئة R₂₃:

R₂₃ = R₂·R₃R₂ + R₃ = 10·1510 + 15 = 6 Ω

في الرسم الجديد R₁ و R₂₃ على التوالي، لأن نفس التيار يمر فيهما:

الخطوة الأولى: R₂₃ بدل R₂ و R₃

الخطوة الثانية: المقاومة المكافئة

R_T = R₁ + R₂₃ = 3 + 6 = 9 Ω

ب. التيار الكلي:

I_T = ER_T = 189 = 2 A

ج. نعود إلى الرسم الأول. التيار I_T يمر في R₁ وفي R₂₃:

U₁ = I_T·R₁ = 2·3 = 6 V

U_AB = I_T·R₂₃ = 2·6 = 12 V

الجهد U_AB = 12 V هو الجهد على R₂ وعلى R₃ ، لأنهما على التوازي. فحص: U₁ + U_AB = 6 + 12 = 18 V.

د. نعود إلى الدائرة الأصلية. التيار في R₁ هو I_T ، ونحسب تياري الفرعين من الجهد U_AB:

I₂ = U_ABR₂ = 1210 = 1.2 A

I₃ = U_ABR₃ = 1215 = 0.8 A

فحص حسب قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A: I₂ + I₃ = 1.2 + 0.8 = 2 A ، وهذا يساوي I_T.

R_T = 9 Ω

مثال 7.2

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي وتيار كل فرع.
ج. الجهد على كل مقاومة.

الحل:

أ. في الفرع الأيسر R₁ و R₂ على التوالي. هذا الفرع كله على التوازي مع R₃:

R₁₂ = R₁ + R₂ = 2 + 4 = 6 Ω

R_T = R₁₂·R₃R₁₂ + R₃ = 6·36 + 3 = 2 Ω

ب. الفرعان مربوطان مباشرة بالمصدر، ولذلك الجهد على كل فرع 12 V:

I_T = ER_T = 122 = 6 A

I₁ = ER₁₂ = 126 = 2 A

I₃ = ER₃ = 123 = 4 A

ج. التيار I₁ يمر في R₁ وفي R₂:

U₁ = I₁·R₁ = 2·2 = 4 V

U₂ = I₁·R₂ = 2·4 = 8 V

فحص: I₁ + I₃ = 2 + 4 = 6 A ، و U₁ + U₂ = 4 + 8 = 12 V.

R_T = 2 Ω

سؤال 7.1: نحسب المقاومة المكافئة بين الطرفين A و B في المخطط. (إرشاد: نبدأ من الجهة اليمنى، البعيدة عن الطرفين.)

مثال 7.3

في الدائرة التي في المخطط أربع مقاومات. نحسب المقاومة المكافئة، ثم التيار والجهد في كل مقاومة.

الحل:

التبسيط. نبدأ من اليمين: R₃ و R₄ على التوالي. مكافئتهما R₃₄ على التوازي مع R₂ ، والنتيجة R₂₃₄ على التوالي مع R₁:

R₃₄ = R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂₃₄ = R₂·R₃₄R₂ + R₃₄ = 12·612 + 6 = 4 Ω

R_T = R₁ + R₂₃₄ = 4 + 4 = 8 Ω

الخطوة 1: R₃₄ بدل R₃ و R₄

الخطوة 2: R₂₃₄ بدل R₂ و R₃₄

التيار الكلي:

I_T = ER_T = 248 = 3 A

العودة إلى الوراء. من الخطوة 2: التيار I_T يمر في R₁ وفي R₂₃₄:

U₁ = I_T·R₁ = 3·4 = 12 V

U_AB = I_T·R₂₃₄ = 3·4 = 12 V

من الخطوة 1: الجهد U_AB يقع على R₂ وعلى R₃₄:

I₂ = U_ABR₂ = 1212 = 1 A

I₃ = U_ABR₃₄ = 126 = 2 A

من الدائرة الأصلية: التيار I₃ يمر في R₃ وفي R₄:

U₃ = I₃·R₃ = 2·2 = 4 V

U₄ = I₃·R₄ = 2·4 = 8 V

فحص. في العُقدة A: I₂ + I₃ = 1 + 2 = 3 A = I_T. في الحلقة اليمنى: U₃ + U₄ = 4 + 8 = 12 V = U_AB. في الحلقة اليسرى: U₁ + U_AB = 12 + 12 = 24 V = E.

R_T = 8 Ω

مثال 7.4

الدائرة التي في المخطط تسمى دائرة سلّمية (מעגל סולם). نحسب المقاومة المكافئة، التيار الكلي، ثم التيار والجهد في كل مقاومة.

الحل:

التبسيط، من اليمين إلى اليسار. في كل خطوة نكتب شكل الربط:

R₅₆ = R₅ + R₆ = 2 + 4 = 6 Ω

R₄₅₆ = R₄·R₅₆R₄ + R₅₆ = 3·63 + 6 = 2 Ω

R₃₄₅₆ = R₃ + R₄₅₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂₃₄₅₆ = R₂·R₃₄₅₆R₂ + R₃₄₅₆ = 6·66 + 6 = 3 Ω

R_T = R₁ + R₂₃₄₅₆ = 3 + 3 = 6 Ω

التيار الكلي:

I_T = ER_T = 366 = 6 A

العودة إلى الوراء، من اليسار إلى اليمين. التيار I_T يمر في R₁ ، وما تبقّى من الجهد يقع بين العُقدة A والخط السفلي:

U₁ = I_T·R₁ = 6·3 = 18 V

U_A = E − U₁ = 36 − 18 = 18 V

I₂ = U_AR₂ = 186 = 3 A

I₃ = I_T − I₂ = 6 − 3 = 3 A

نتقدم إلى العُقدة B بنفس الطريقة:

U₃ = I₃·R₃ = 3·4 = 12 V

U_B = U_A − U₃ = 18 − 12 = 6 V

I₄ = U_BR₄ = 63 = 2 A

I₅ = I₃ − I₄ = 3 − 2 = 1 A

التيار I₅ يمر في R₅ وفي R₆. نجمع النتائج في جدول:

المقاومة	قيمتها	الجهد عليها	التيار فيها
R₁	3 Ω	18 V	6 A
R₂	6 Ω	18 V	3 A
R₃	4 Ω	12 V	3 A
R₄	3 Ω	6 V	2 A
R₅	2 Ω	2 V	1 A
R₆	4 Ω	4 V	1 A

فحص: U₅ + U₆ = 2 + 4 = 6 V = U_B.

R_T = 6 Ω

ملاحظة: في الدائرة السلّمية التيار يصغر كلما ابتعدنا عن المصدر، لأن جزءا منه يتفرع في كل عُقدة، وكذلك الجهد يصغر من عُقدة إلى عُقدة.

مثال 7.5

في الدائرة التي في المخطط يقيس الأمبيرمتر تيارا شدته 0.4 A في الفرع الذي فيه R₃. نحسب جهد المصدر E.

الحل:

هنا نعرف تيارا في داخل الدائرة، ونتقدم منه نحو المصدر. نبدأ من الجهد على R₃ ، وهو أيضا الجهد على R₂:

U_AB = I₃·R₃ = 0.4·30 = 12 V

I₂ = U_ABR₂ = 1220 = 0.6 A

حسب قانون كيرخهوف للتيار في العُقدة A:

I_T = I₂ + I₃ = 0.6 + 0.4 = 1 A

التيار الكلي يمر في R₁ وفي R₄. حسب قانون كيرخهوف للجهد:

U₁ = I_T·R₁ = 1·4 = 4 V

U₄ = I_T·R₄ = 1·8 = 8 V

E = U₁ + U_AB + U₄ = 4 + 12 + 8 = 24 V

فحص: R_T = 4 + 20·3020 + 30 + 8 = 24 Ω ، و 2424 = 1 A.

E = 24 V

سؤال 7.2: في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. التيار I₁ والتيار في R₂.
د. الجهد على R₂ وعلى R₃.

سؤال 7.3: في دائرة مختلطة مقاومة R₁ = 1 kΩ مربوطة على التوالي مع مجموعة فيها R₂ = 6 kΩ و R₃ = 3 kΩ على التوازي. جهد المصدر 9 V. نرسم الدائرة ونحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد على R₁ وعلى المجموعة.
د. التيار في R₂ وفي R₃.

▶تجربة حية — محاكي الدائرة المختلطةنختار واحدة من ثماني دوائر مختلطة، نغيّر قيم المقاومات ونتابع الحل الكامل خطوة بعد خطوة. في وضع التمرين نحسب بأنفسنا ثم نفحص الإجابات.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/circuits/mixed_circuit_pro

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/mixed_circuit_pro

دوائر مختلطة فيها مفتاح – מעגלים מעורבים עם מפסק:

المفتاح يغيّر شكل الدائرة، ولذلك نحل الدائرة مرتين: مرة والمفتاح مفتوح ومرة وهو مغلق. نتذكر قاعدتين:

مفتاح مفتوح هو قطع: لا يمر تيار في الفرع الذي فيه المفتاح، ونحذف هذا الفرع من الرسم.
مفتاح مغلق هو موصل مقاومته صفر. إذا كان مربوطا على التوازي مع مقاومة فهو يقصرها: الجهد عليها صفر، ولا يمر فيها تيار، ونحذفها من الرسم.

مثال 7.6

في الدائرة التي في المخطط المفتاح S مربوط على التوالي مع R₃. نحسب التيار الكلي والجهد على كل مقاومة:
أ. عندما يكون المفتاح مفتوحا.
ب. عندما يكون المفتاح مغلقا.

الحل:

أ. المفتاح مفتوح. لا يمر تيار في R₃ ، وتبقى R₁ و R₂ على التوالي:

R_T = R₁ + R₂ = 6 + 12 = 18 Ω

I_T = 3618 = 2 A

U₁ = 2·6 = 12 V

U₂ = 2·12 = 24 V

ب. المفتاح مغلق. الآن R₃ على التوازي مع R₂:

R₂₃ = 12·412 + 4 = 3 Ω

R_T = R₁ + R₂₃ = 6 + 3 = 9 Ω

I_T = 369 = 4 A

U₁ = 4·6 = 24 V

U_AB = 36 − 24 = 12 V

I₂ = 1212 = 1 A

I₃ = 124 = 3 A

المقدار	المفتاح مفتوح	المفتاح مغلق
المقاومة المكافئة R_T	18 Ω	9 Ω
التيار الكلي I_T	2 A	4 A
الجهد على R₁	12 V	24 V
الجهد على R₂	24 V	12 V
التيار في R₃	0	3 A

إغلاق المفتاح أضاف فرعا على التوازي، فصغرت المقاومة الكلية وكبر التيار الكلي. الجهد على R₁ كبر، ولذلك صغر الجهد على R₂.

مثال 7.7

في الدائرة التي في المخطط المفتاح S مربوط على التوازي مع R₂. نحسب التيار الكلي والتيار في R₃:
أ. عندما يكون المفتاح مفتوحا.
ب. عندما يكون المفتاح مغلقا.

الحل:

في الحالتين R₃ و R₄ متساويتان وعلى التوازي: R₃₄ = 82 = 4 Ω ، والتيار يتوزع بينهما بالتساوي.

أ. المفتاح مفتوح. التيار يمر في R₂:

R_T = R₁ + R₂ + R₃₄ = 2 + 6 + 4 = 12 Ω

I_T = 2412 = 2 A

I₃ = I_T2 = 1 A

ب. المفتاح مغلق. المفتاح يقصر R₂ ، فنحذفها من الحساب:

R_T = R₁ + R₃₄ = 2 + 4 = 6 Ω

I_T = 246 = 4 A

I₃ = I_T2 = 2 A

عند إغلاق المفتاح تضاعف التيار، لأن المقاومة الكلية هبطت من 12 Ω إلى 6 Ω. الجهد على R₂ أصبح صفرا.

سؤال 7.4: في الدائرة التي في المخطط نحسب التيار الكلي والجهد على R₂:
أ. عندما يكون المفتاح مفتوحا.
ب. عندما يكون المفتاح مغلقا.

▶تجربة حية — نبني الدائرة بأنفسنالوح عمل حرّ: نسحب مقاومات ومصادر ومقاييس، نوصلها كما نشاء ونقرأ التيارات والجهود في كل عنصر.

⚠

https://fahed-lab.com/builder/circuit_lab_pro6

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/builder/circuit_lab_pro6

מעגלים מעורבים מיוחדים – دوائر مختلطة خاصة (Special Mixed Circuits)

أ. دوائر تحتوي على مقاومة متغيرة – מעגלים הכוללים נגד משתנה (פוטנציומטר):

المقاومة المتغيرة (נגד משתנה / פוטנציומטר): هي مقاومة لها ثلاثة أطراف: طرفان ثابتان في بداية المسار المقاوِم ونهايته، وطرف ثالث متحرك يسمى المزالج (זחלן) ينزلق على المسار. المقاومة بين الطرفين الثابتين ثابتة، وهي المقاومة الكلية R_P.

المزالج يقسم المقاومة الكلية إلى جزأين: R_a فوق المزالج و R_b تحته، ومجموعهما دائما R_a + R_b = R_P. عند تحريك المزالج يكبر أحد الجزأين ويصغر الآخر. نستخدم المقاومة المتغيرة في ربطين مختلفين.

الربط الأول — مقاومة متغيرة على التوالي (נגד משתנה בטור). نستخدم طرفين فقط: طرفا ثابتا والمزالج. هكذا نحصل على مقاومة يمكن تغيير قيمتها من صفر حتى R_P ، ونربطها على التوالي مع الحِمل للتحكم في التيار.

مثال 7.8

مقاومة متغيرة R_V ، يمكن تغييرها من 0 حتى 36 Ω ، مربوطة على التوالي مع حِمل مقاومته R_L = 12 Ω ومصدر جهده 24 V.
أ. في أي مجال يتغير تيار الدائرة؟
ب. في أي مجال يتغير الجهد على الحِمل؟
ج. ما هي قيمة R_V التي تعطي تيارا شدته 1 A؟

الحل:

أ. أكبر تيار نحصل عليه عندما R_V = 0 ، وأصغر تيار عندما R_V = 36 Ω:

I_max = ER_L = 2412 = 2 A

I_min = ER_L + R_V = 2412 + 36 = 0.5 A

ب. الجهد على الحِمل هو U_L = I·R_L:

U_max = 2·12 = 24 V

U_min = 0.5·12 = 6 V

ج. نحسب المقاومة الكلية المطلوبة، ثم نطرح منها مقاومة الحِمل:

R_T = EI = 241 = 24 Ω

R_V = R_T − R_L = 24 − 12 = 12 Ω

R_V = 12 Ω

الربط الثاني — مُجزِّء جهد متغير (פוטנציומטר כמחלק מתח). نستخدم الأطراف الثلاثة: نربط المصدر بالطرفين الثابتين، ونأخذ جهد الخرج U_out بين المزالج والطرف السفلي. هذا مُجزِّء الجهد من الفصل 6، لكن هنا نغيّر النسبة بين المقاومتين بتحريك المزالج، ونتحكم هكذا في الجهد.

مُجزِّء بدون حِمل (מחלק לא מועמס)

مُجزِّء مع حِمل R_L (מחלק מועמס)

مُجزِّء الجهد المتغير بدون حِمل · מחלק מתח לא מועמס

U_out = U·R_bR_P

R_P = R_a + R_b

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U_out	جهد الخرج (بين المزالج والطرف السفلي)	[V]
U	جهد المصدر	[V]
R_b	جزء المقاومة الذي تحت المزالج	[Ω]
R_a	جزء المقاومة الذي فوق المزالج	[Ω]
R_P	المقاومة الكلية للمقاومة المتغيرة	[Ω]

ملاحظة: عندما يكون المزالج في الأسفل R_b = 0 و U_out = 0. عندما يكون في الأعلى R_b = R_P و U_out = U. بدون حِمل يتغير جهد الخرج مع موقع المزالج بشكل خطي: إذا رمزنا لموقع المزالج k = R_bR_P فإن U_out = k·U.

مثال 7.9

مقاومة متغيرة قيمتها الكلية R_P = 10 kΩ مربوطة كمُجزِّء جهد بمصدر جهده 12 V ، بدون حِمل.
أ. نحسب جهد الخرج عندما R_b = 2.5 kΩ.
ب. ما هي قيمة R_b التي تعطي جهد خرج 9 V؟

الحل:

أ. نعوّض في قانون المُجزِّء:

U_out = U·R_bR_P = 12·2.510 = 3 V

ب. نُخرج R_b من نفس القانون:

R_b = R_P·U_outU = 10·912 = 7.5 kΩ

في الحالة الثانية المزالج موجود على ثلاثة أرباع المسار من الأسفل.

U_out = 3 V

مُجزِّء مع حِمل. عندما نربط حِملا R_L بالخرج، يصبح الحِمل على التوازي مع الجزء السفلي R_b. المقاومة المكافئة لهما أصغر من R_b ، ولذلك يقع عليها جزء أصغر من جهد المصدر: جهد الخرج يهبط. الدائرة الآن دائرة مختلطة:

مُجزِّء الجهد مع حِمل · מחלק מתח מועמס

R_bL = R_b·R_LR_b + R_L

U_out = U·R_bLR_a + R_bL

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R_bL	المقاومة المكافئة للجزء السفلي والحِمل على التوازي	[Ω]
R_L	مقاومة الحِمل	[Ω]
U_out	جهد الخرج، وهو الجهد على الحِمل	[V]

مثال 7.10

في الدائرة التي في المخطط المزالج موجود في منتصف المسار. نحسب:
أ. جهد الخرج بدون حِمل.
ب. جهد الخرج مع الحِمل R_L = 5 kΩ.
ج. التيار الكلي، تيار الحِمل والتيار في الجزء السفلي R_b.

الحل:

أ. بدون حِمل، مُجزِّء جهد عادي:

U_out = U·R_bR_P = 12·510 = 6 V

ب. مع الحِمل: R_L على التوازي مع R_b ، ومكافئتهما على التوالي مع R_a:

R_bL = R_b·R_LR_b + R_L = 5·55 + 5 = 2.5 kΩ

U_out = U·R_bLR_a + R_bL = 12·2.55 + 2.5 = 4 V

جهد الخرج هبط من 6 V إلى 4 V بسبب الحِمل.

ج. نحسب التيارات:

I_T = UR_a + R_bL = 12 V7.5 kΩ = 1.6 mA

I_L = U_outR_L = 4 V5 kΩ = 0.8 mA

I_b = U_outR_b = 4 V5 kΩ = 0.8 mA

فحص: I_L + I_b = 0.8 + 0.8 = 1.6 mA = I_T.

U_out = 4 V

كيف تؤثر قيمة الحِمل؟ نحسب جهد الخرج في نفس الدائرة لعدة قيم للحِمل (المزالج في المنتصف، وبدون حِمل U_out = 6 V):

R_L	R_LR_P	U_out	الهبوط
5 kΩ	0.5	4 V	33.3 %
10 kΩ	1	4.8 V	20 %
20 kΩ	2	5.33 V	11.1 %
100 kΩ	10	5.85 V	2.4 %
1000 kΩ	100	5.99 V	0.2 %

جهد الخرج حسب موقع المزالج k ، بدون حِمل ومع حِمل R_L = 5 kΩ

قاعدة عملية: كلما كانت مقاومة الحِمل أكبر كان تأثيره أصغر. إذا كانت مقاومة الحِمل أكبر عشر مرات على الأقل من R_P فإن جهد الخرج يهبط بنسبة صغيرة فقط، ويمكن الحساب بقانون المُجزِّء بدون حِمل. لذلك نختار مقاومة متغيرة قيمتها صغيرة بالنسبة للحِمل.

سؤال 7.5: مقاومة متغيرة R_P = 1 kΩ مربوطة كمُجزِّء جهد بمصدر جهده 10 V. المزالج يقسمها إلى R_a = 600 Ω و R_b = 400 Ω. نحسب جهد الخرج:
أ. بدون حِمل.
ب. مع حِمل R_L = 400 Ω.
ج. نحسب التيار الكلي في الحالة ب.

▶تجربة حية — مقسّم الجهد تحت الحملنحرّك المنزلق ونرى كيف ينخفض جهد المخرج عندما نربط حملا بالمقاومة المتغيرة.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/wheatstone_potentiometer

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/wheatstone_potentiometer

ب. جسر ويتستون – גשר ויטסטון:

جسر ويتستون (גשר ויטסטון): هو دائرة مكوّنة من أربع مقاومات مرتبة في فرعين على التوازي، وفي كل فرع مقاومتان على التوالي. بين نقطتي الوسط A و B يُربط جهاز قياس حساس. نستخدم الجسر لقياس دقيق لمقاومة مجهولة، وفي دوائر المجسّات. في بعض الكتب يسمى الجسر «قنطرة ويتستون».

جسر ويتستون في شكل المعيّن

نفس الدائرة مرسومة كمُجزِّأَي جهد على التوازي

جهاز القياس G هو غلفانومتر (גלוונומטר): مقياس تيار حساس جدا، مؤشره في المنتصف، ويبيّن إذا كان يمر تيار بين A و B وفي أي اتجاه. الفرع الأيسر (R₁ ، R₂) والفرع الأيمن (R₃ ، R₄) هما مُجزِّءا جهد مربوطان بنفس المصدر. عندما يكون الغلفانومتر مفصولا، نحسب جهد كل نقطة وسط بالنسبة للقطب السالب بقاعدة مُجزِّء الجهد:

الجهد بين نقطتي الوسط في الجسر · מתח הגשר

U_A = U·R₂R₁ + R₂

U_B = U·R₄R₃ + R₄

U_AB = U_A − U_B

الرمز	المعنى	وحدة القياس
U	جهد المصدر	[V]
U_A	جهد النقطة A (الجهد على R₂)	[V]
U_B	جهد النقطة B (الجهد على R₄)	[V]
U_AB	جهد الجسر: فرق الجهد بين نقطتي الوسط	[V]

الجسر المتوازن (גשר מאוזן). إذا كان U_A = U_B فإن U_AB = 0 ، ولا يمر تيار في الغلفانومتر حتى لو ربطناه. نقول عندها إن الجسر متوازن. نساوي بين الجهدين ونختصر U:

R₂R₁ + R₂ = R₄R₃ + R₄

R₂·(R₃ + R₄) = R₄·(R₁ + R₂)

R₂·R₃ = R₁·R₄

شرط توازن جسر ويتستون · תנאי האיזון של גשר ויטסטון

R₁R₂ = R₃R₄

R₁·R₄ = R₂·R₃

الرمز	المعنى	وحدة القياس
R₁ , R₂	مقاومتا الفرع الأيسر (R₁ العليا)	[Ω]
R₃ , R₄	مقاومتا الفرع الأيمن (R₃ العليا)	[Ω]

شرط التوازن لا يتعلق بجهد المصدر: الجسر المتوازن يبقى متوازنا حتى لو تغيّر الجهد أو ضعفت البطارية.
في الصيغة الثانية نضرب المقاومات المتقابلة في المعيّن: R₁ مع R₄ ، و R₂ مع R₃.
في الجسر المتوازن لا يمر تيار بين A و B ، ولذلك يمكن حذف الغلفانومتر من الرسم. تبقى دائرة مختلطة بسيطة: (R₁ + R₂) ∥ (R₃ + R₄).

مثال 7.11

في الجسر الذي في المخطط:
أ. نفحص إذا كان الجسر متوازنا.
ب. نحسب تيار كل فرع والتيار الكلي.
ج. نحسب جهد النقطتين A و B.

الحل:

أ. نفحص شرط التوازن:

R₁R₂ = 2040 = 0.5

R₃R₄ = 3060 = 0.5

النسبتان متساويتان، ولذلك الجسر متوازن ولا يمر تيار في الغلفانومتر.

ب. نحذف الغلفانومتر. في كل فرع مقاومتان على التوالي، والجهد على كل فرع 18 V:

I₁ = UR₁ + R₂ = 1820 + 40 = 0.3 A

I₃ = UR₃ + R₄ = 1830 + 60 = 0.2 A

I_T = I₁ + I₃ = 0.3 + 0.2 = 0.5 A

ج. جهد كل نقطة وسط هو الجهد على المقاومة السفلى في فرعها:

U_A = I₁·R₂ = 0.3·40 = 12 V

U_B = I₃·R₄ = 0.2·60 = 12 V

الجهدان متساويان، كما يجب في جسر متوازن: U_AB = 0.

I_T = 0.5 A

إيجاد مقاومة مجهولة. نضع المقاومة المجهولة R_x في أحد أذرع الجسر، وفي ذراع آخر نضع مقاومة متغيرة دقيقة. نغيّر المقاومة المتغيرة حتى يقف مؤشر الغلفانومتر على الصفر، ثم نحسب R_x من شرط التوازن. هذه طريقة قياس دقيقة جدا، لأننا لا نقرأ قيمة على التدريج بل نبحث عن الصفر فقط، ولأن النتيجة لا تتعلق بجهد المصدر.

مثال 7.12

في الجسر الذي في المخطط R₁ = 200 Ω و R₂ = 500 Ω. غيّرنا المقاومة المتغيرة R₃ حتى توازن الجسر، وكانت قيمتها عندئذ 120 Ω. نحسب المقاومة المجهولة R_x.

الحل:

الجسر متوازن، ولذلك نكتب شرط التوازن ونُخرج منه R_x:

R₁R₂ = R₃R_x

R_x = R₂·R₃R₁ = 500·120200 = 300 Ω

فحص: 200500 = 0.4 وكذلك 120300 = 0.4.

R_x = 300 Ω

الجسر غير المتوازن (גשר לא מאוזן). إذا لم يتحقق شرط التوازن فإن U_A ≠ U_B ، ويظهر بين نقطتي الوسط جهد U_AB. نحسبه بواسطة مُجزِّأَي الجهد. إشارة النتيجة تبيّن أي النقطتين أعلى جهدا.

مثال 7.13

في الجسر الذي في المخطط مربوط بين النقطتين A و B فولتمتر، ومقاومته كبيرة جدا بحيث لا يمر فيه تيار. نحسب الجهد الذي يقيسه.

الحل:

نفحص أولا: R₁R₂ = 24 = 0.5 ، لكن R₃R₄ = 33 = 1. الجسر غير متوازن. نحسب جهد كل نقطة وسط:

U_A = U·R₂R₁ + R₂ = 12·42 + 4 = 8 V

U_B = U·R₄R₃ + R₄ = 12·33 + 3 = 6 V

U_AB = U_A − U_B = 8 − 6 = 2 V

النتيجة موجبة: جهد النقطة A أعلى من جهد النقطة B. لو ربطنا غلفانومترا بدل الفولتمتر لمرّ فيه تيار من A إلى B.

U_AB = 2 V

مثال 7.14

جسر فيه أربع مقاومات متساوية، قيمة كل واحدة 100 Ω ، ومصدر جهده 10 V. المقاومة R₄ هي مجسّ حرارة، ترتفع مقاومته مع ارتفاع درجة الحرارة.
أ. ما هو جهد الجسر U_AB عندما تكون جميع المقاومات 100 Ω؟
ب. ارتفعت درجة الحرارة وأصبحت R₄ = 150 Ω. نحسب U_AB.

الحل:

أ. جميع المقاومات متساوية، ولذلك R₁R₂ = R₃R₄ = 1. الجسر متوازن و U_AB = 0.

ب. الفرع الأيسر لم يتغير. في الفرع الأيمن تغيّرت النسبة:

U_A = 10·100100 + 100 = 5 V

U_B = 10·150100 + 150 = 6 V

U_AB = U_A − U_B = 5 − 6 = −1 V

النتيجة سالبة: جهد النقطة B أعلى من جهد النقطة A. هكذا يحوّل الجسر تغيّرا في المقاومة إلى جهد يمكن قياسه. على هذا المبدأ تعمل مجسّات الحرارة، الموازين الإلكترونية ومجسّات الضغط.

U_AB = −1 V

ننتبه: في جسر غير متوازن مربوط بين نقطتي وسطه غلفانومتر أو مقاومة، يمر تيار بين A و B. عندئذ لا توجد في الدائرة مقاومات على التوالي أو على التوازي، ولا يمكن تبسيطها بطرق هذا الفصل. نحل دائرة كهذه بالطرق التي سنتعلمها في الفصل 9. القوانين التي في هذا البند صحيحة عندما لا يمر تيار بين A و B.

سؤال 7.6: في جسر ويتستون متوازن R₁ = 120 Ω ، R₂ = 300 Ω ، R₃ = 80 Ω. نحسب R₄.

سؤال 7.7: في جسر ويتستون U = 24 V ، R₁ = 1 kΩ ، R₂ = 3 kΩ ، R₃ = 2 kΩ ، R₄ = 2 kΩ ، والغلفانومتر مفصول. نحسب U_A ، U_B و U_AB.

▶تجربة حية — جسر ويتستون والمقاومة المتغيرةنحرّك المزالج ونرى كيف يهبط جهد الخرج عند ربط الحِمل، ثم نغيّر أذرع الجسر حتى يقف مؤشر الغلفانومتر على الصفر.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/wheatstone_potentiometer

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/wheatstone_potentiometer

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
مجموعة على التوالي	R₁₂ = R₁ + R₂
مجموعة على التوازي	R₁₂ = R₁·R₂R₁ + R₂
التيار الكلي	I_T = ER_T
مُجزِّء الجهد المتغير بدون حِمل	U_out = U·R_bR_P
الجزء السفلي مع الحِمل	R_bL = R_b·R_LR_b + R_L
مُجزِّء الجهد مع حِمل	U_out = U·R_bLR_a + R_bL
شرط توازن جسر ويتستون	R₁R₂ = R₃R₄
شرط التوازن — حاصل ضرب المتقابلتين	R₁·R₄ = R₂·R₃
جهد الجسر غير المتوازن	U_AB = U·R₂R₁ + R₂ − U·R₄R₃ + R₄

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
دائرة مختلطة	מעגל מעורב	Series-parallel circuit
الربط المختلط	חיבור מעורב	Mixed connection
المقاومة المكافئة (الكلية)	התנגדות שקולה	Equivalent resistance
تبسيط الدائرة	צמצום המעגל	Circuit reduction
دائرة سلّمية	מעגל סולם	Ladder circuit
مفتاح مفتوح / مغلق	מפסק פתוח / סגור	Open / closed switch
المقاومة المتغيرة	נגד משתנה / פוטנציומטר	Variable resistor / potentiometer
المزالج	זחלן	Wiper
مُجزِّء جهد بدون حِمل	מחלק מתח לא מועמס	Unloaded divider
مُجزِّء جهد مع حِمل	מחלק מתח מועמס	Loaded divider
جهد الخرج	מתח המוצא	Output voltage
جسر ويتستون (قنطرة)	גשר ויטסטון	Wheatstone bridge
جسر متوازن	גשר מאוזן	Balanced bridge
شرط التوازن	תנאי האיזון	Balance condition
غلفانومتر	גלוונומטר	Galvanometer
مجسّ	חיישן	Sensor

أسئلة للتمرين:

نحسب المقاومة المكافئة بين الطرفين A و B في المخطط.

الإجابات: R₂₃ = 3 Ω ، R_AB = 9 Ω

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد على R₁ والجهد U_AB.
د. التيارين I₂ و I₃.

الإجابات: أ. R_T = 20 Ω. ب. I_T = 1.5 A. ج. U₁ = 12 V ، U_AB = 18 V. د. I₂ = 0.9 A ، I₃ = 0.6 A

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. تيار كل فرع والتيار الكلي.
ج. الجهد على R₁ وعلى R₂.

الإجابات: أ. R_T = 4 Ω. ب. I₁ = 2 A ، I₃ = 4 A ، I_T = 6 A. ج. U₁ = 6 V ، U₂ = 18 V

في الدائرة التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد U_AB.
د. التيارين I₂ و I₃.
ه. الجهد على R₃ وعلى R₄.

الإجابات: أ. R_T = 15 Ω. ب. I_T = 3 A. ج. U_AB = 30 V. د. I₂ = 1 A ، I₃ = 2 A. ه. U₃ = 20 V ، U₄ = 10 V

مقاومة R₁ = 1 kΩ مربوطة على التوالي مع مقاومتين على التوازي، R₂ = 4 kΩ و R₃ = 4 kΩ ، ومع مصدر جهده 12 V. نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. الجهد على R₂.
د. التيار في R₂.

الإجابات: أ. R_T = 3 kΩ. ب. I_T = 4 mA. ج. U₂ = 8 V. د. I₂ = 2 mA

في الدائرة التي في المخطط يقيس الأمبيرمتر تيارا شدته 1.5 A في الفرع الذي فيه R₂. نحسب:
أ. الجهد U_AB.
ب. التيار في R₃.
ج. التيار الكلي.
د. جهد المصدر.

الإجابات: أ. U_AB = 15 V. ب. I₃ = 1 A. ج. I_T = 2.5 A. د. E = 27.5 V

في الدائرة التي في المخطط نحسب التيار الكلي والجهد على R₂:
أ. عندما يكون المفتاح S مفتوحا.
ب. عندما يكون مغلقا.

الإجابات: أ. I_T = 1.5 A ، U₂ = 18 V. ب. I_T = 3 A ، U₂ = 12 V

في الدائرة التي في المخطط المفتاح S مربوط على التوازي مع R₁. نحسب التيار الكلي والجهد على R₂:
أ. عندما يكون المفتاح مفتوحا.
ب. عندما يكون مغلقا.

الإجابات: أ. I_T = 4 A ، U₂ = 8 V. ب. I_T = 12 A ، U₂ = 24 V

في الدائرة السلّمية التي في المخطط نحسب:
أ. المقاومة المكافئة.
ب. التيار الكلي.
ج. جهد العُقدتين A و B بالنسبة للخط السفلي.
د. التيار في R₆.

الإجابات: أ. R_T = 5 Ω. ب. I_T = 4 A. ج. U_A = 12 V ، U_B = 6 V. د. I₆ = 2 A

10.

مصباح مقاومته 6 Ω مربوط على التوالي مع مقاومة متغيرة، يمكن تغييرها من 0 حتى 18 Ω ، ومع مصدر جهده 12 V. في أي مجال يتغير:
أ. تيار المصباح؟
ب. الجهد على المصباح؟

الإجابات: أ. من 0.5 A حتى 2 A. ب. من 3 V حتى 12 V

11.

مقاومة متغيرة R_P = 20 kΩ مربوطة كمُجزِّء جهد بمصدر جهده 24 V ، بدون حِمل.
أ. نحسب جهد الخرج عندما R_b = 5 kΩ.
ب. ما هي قيمة R_b التي تعطي جهد خرج 18 V؟

الإجابات: أ. U_out = 6 V. ب. R_b = 15 kΩ

12.

في المُجزِّء من السؤال السابق وضعنا المزالج في منتصف المسار وربطنا بالخرج حِملا مقاومته R_L = 10 kΩ. نحسب:
أ. جهد الخرج بدون الحِمل.
ب. جهد الخرج مع الحِمل.
ج. التيار الكلي مع الحِمل.

الإجابات: أ. U_out = 12 V. ب. U_out = 8 V. ج. I_T = 1.6 mA

13.

في جسر ويتستون متوازن R₁ = 150 Ω ، R₂ = 450 Ω ، R₃ = 200 Ω ، وجهد المصدر 12 V. نحسب:
أ. المقاومة R_x الموجودة في الذراع الرابع.
ب. تيار كل فرع.
ج. التيار الكلي.

الإجابات: أ. R_x = 600 Ω. ب. I₁ = 20 mA ، I₃ = 15 mA. ج. I_T = 35 mA

14.

في الجسر الذي في المخطط الفولتمتر لا يمر فيه تيار.
أ. هل الجسر متوازن؟
ب. نحسب U_A ، U_B والجهد U_AB الذي يقيسه الفولتمتر.
ج. ما هي قيمة R₄ التي توازن الجسر؟

الإجابات: أ. لا، لأن 23 ≠ 14. ب. U_A = 12 V ، U_B = 16 V ، U_AB = −4 V. ج. R₄ = 1.5 kΩ

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

7.1 R₃₄ = 20 Ω ، R₂₃₄ = 12 Ω ، R_AB = 22 Ω

7.2 أ. R_T = 5 Ω. ب. I_T = 4 A. ج. I₁ = 2 A ، I₂ = 2 A. د. U₂ = 8 V ، U₃ = 12 V

7.3 أ. R_T = 3 kΩ. ب. I_T = 3 mA. ج. U₁ = 3 V ، U₂₃ = 6 V. د. I₂ = 1 mA ، I₃ = 2 mA

7.4 أ. I_T = 2 A ، U₂ = 20 V. ب. I_T = 3 A ، U₂ = 15 V

7.5 أ. U_out = 4 V. ب. U_out = 2.5 V. ج. I_T = 12.5 mA

7.6 R₄ = 200 Ω

7.7 U_A = 18 V ، U_B = 12 V ، U_AB = 6 V

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 7

الأسئلة التالية مأخوذة كما هي من امتحانات البجروت لوزارة التربية والتعليم، نموذج 845381 (מערכות חשמל)، وتظهر بالعبرية كما في الامتحان. تحت كل سؤال ترجمة البنود إلى العربية والإجابات النهائية. الحل الكامل، خطوة بعد خطوة وبالعربية، موجود في موقع المؤلف: نضغط على الرابط تحت السؤال.

بجروت 2026 السؤال 3 — دائرة تيّار مستمرّ مع مفتاح S

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	المقاومة المكافئة (S مفتوح)	R_eq = 90 Ω
البند ب	الجهد على R₅ (S مفتوح)	V(R₅) = 12 V
البند ج	التيّار عبر R₄ (S مفتوح)	I(R₄) = 0.04 A
البند د	المقاومة المكافئة (S مغلق)	في الحل الكامل

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2026

بجروت 2025 السؤال 3 — دائرة جسر مع مفتاح

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهد على R₃ (S مفتوح)	U(R₃) = 24 V
البند ب	القدرة الّتي يزوّدها المصدر (S مفتوح)	P = 5.76 W
البند ج	المقاومة المكافئة (S مغلق)	R_T = 176 Ω
البند د	التيّار عبر R₄ (S مغلق)	I(R₄) ≈ 0.164 A

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2025

بجروت 2024 السؤال 3 — دائرة مختلطة توالٍ-توازٍ في التيّار المستمرّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	المقاومة المكافئة للدائرة	R_T = 40 Ω
البند ب	هبوطا الجهد على المقاومين R₁ وR₃	U_R₁ = 6 V ; U_R₃ = 3 V
البند ج	القدرة المتولّدة على المقاوم R₅	P₅ = 0.15 W

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2024

بجروت 2023 السؤال 1 — دائرة مركّبة في التيّار المستمرّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	المقاومة المكافئة للدائرة	R_T = 36 Ω
البند ب	قراءة التيّار عبر R₄ والجهد على R₁	I(R₄) = 0.267 A ; U(R₁) = 2 V
البند ج	القدرة المتولّدة على R₃	P(R₃) = 10.67 W

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2023

بجروت 2022 السؤال 4 — دائرة مع مفتاح

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	التيّار الكلّيّ I_T (المفتاح مفتوح)	I_T = 0.5 A
البند ب1	توصيل مقياس تيّار ومقياس جهد	في الحل الكامل
البند ب2	قراءات الأجهزة	I_R2 ≈ 0.33 A ; U_R4 = 2 V
البند ج	القدرة المتولّدة في المقاوم R₁ (المفتاح مغلق)	P_R1 = 7.2 W

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2022

بجروت 2022 السؤال 1 — دائرة تيّار مستمرّ مع مقاومات على التوالي وعلى التوازي

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	الجهد بين النقطتين A وB	U_AB = 21 V
البند ب	التيّار I₂	I₂ = 3 A
البند ج	التيّار الكلّيّ I_T	I_T = 6 A
البند د	جهد المصدر E	E = 87 V

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2022

بجروت 2021 (موعد خاص) السؤال 1 — دائرة مركّبة في التيّار المستمرّ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	جهد المصدر E	E = 12 V
البند ب	التيّار عبر المقاوم R₁	I₁ = 0.8 A
البند ج	القدرة على المقاومة R₂	P₂ = 8.64 W

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2021-makeup

بجروت 2021 السؤال 1 — حلقة مع مقاوم على التوالي وتركيب متوازٍ

البند	المطلوب	الإجابة النهائية
البند أ	المقاومة المكافئة للدائرة	R_T = 12 Ω
البند ب	التيّار عبر R₁	I₁ = 4 A
البند ج	الجهد على R₄	U_R4 = 8 V

الحل الكامل بالعربية: fahed-lab.com/exams/electricity-845381/solutions/solution-2021

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 20 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)