الفصل 13

التيار والجهود في دائرة RL على التوالي

זרם ומתחים במעגל RL טורי

الصف الحادي عشر · 4 ساعات تعليمية

في الفصل السابق رأينا أن الجهد على المكثف لا يتغير في لحظة واحدة، بل يحتاج إلى زمن يحدده ثابت الزمن. في هذا الفصل نتعرف على عنصر يتصرف بصورة «معكوسة»: الملف الكهربائي. في الملف، التيار هو الذي لا يستطيع أن يتغير في لحظة واحدة. نقارن بين الدائرتين، نحسب ثابت الزمن في دائرة RL ، ونرسم التيار والجهود كدالة للزمن عند ربط الدائرة بمصدر جهد مستمر.

في نهاية هذا الفصل سنعرف أن:

الملف الكهربائي يعارض كل تغيير في التيار المار فيه، وأن مقدار هذه المعارضة يحدده الحث L.
نصف ما يحدث في دائرة RL على التوالي عند ربطها بمصدر جهد مستمر، ونقارنه بما يحدث في دائرة RC.
نحسب ثابت الزمن في دائرة RL على التوالي حسب τ = LR.
نرسم i ، u_R و u_L كدالة للزمن، ونحسب قيمها في لحظات مختلفة.

الملف الكهربائي والحث – הסליל וההשראות:

الملف الكهربائي (סליל – משרן): هو سلك موصل ملفوف لفّات كثيرة، غالبا حول قلب من الحديد. عندما يمر فيه تيار ينشأ حوله مجال مغناطيسي (שדה מגנטי)، وفي هذا المجال تُخزَّن طاقة.

رمز الملف الكهربائي

عندما يتغير التيار في الملف يتغير مجاله المغناطيسي، وينشأ بين طرفي الملف جهد يعارض هذا التغيير.
عندما يكون التيار ثابتا لا ينشأ هذا الجهد. ملف مثالي (بدون مقاومة) يمر فيه تيار مستمر ثابت يتصرف كسلك موصل.
لذلك التيار في الملف لا يستطيع أن يتغير بقفزة: يحتاج إلى زمن حتى يكبر أو يصغر.

الحث (השראות): هو المقدار الذي يبيّن شدة معارضة الملف لتغيير التيار. يرمز له بالحرف L ، ووحدة قياسه الهنري (הנרי) [H]. كلما كان عدد اللفّات أكبر كان الحث أكبر. نستخدم كثيرا الميلي هنري، 1 mH = 10⁻³ H.

▶تجربة حية — ما هو الملف؟نتعرّف إلى الملف والحث الذاتي: كيف يقاوم الملف كل تغيّر في التيار المارّ فيه.

⚠

المختبر غير متاح الآن. المادة في هذا الفصل كاملة من دونه — نواصل القراءة، ونعود إلى التجربة لاحقا أو نفتحها مباشرة من الرابط الذي تحت الإطار.

https://fahed-lab.com/circuits/coil

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/coil

▶تجربة حية — الكهرومغناطيسية والملفاتنمرّر تيارا في ملف ونرى المجال المغناطيسي الذي ينشأ حوله، وكيف يتعلّق بالتيار وبعدد اللفات.

⚠

https://fahed-lab.com/magnetism/unified

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/magnetism/unified

השוואה בין מעגל RC טורי למעגל RL טורי – مقارنة بين دائرة RC على التوالي ودائرة RL على التوالي (RC versus RL)

دائرة RC على التوالي

دائرة RL على التوالي

في دائرة RL على التوالي، مقاومة R وملف حثه L مربوطان على التوالي بمصدر جهد مستمر E عبر مفتاح. نغلق المفتاح في اللحظة t = 0. نكتب قانون كيرخهوف للجهد مع عقارب الساعة. في كل لحظة:

E − u_R − u_L = 0

E = u_R + u_L

في لحظة الإغلاق، t = 0 : التيار كان صفرا، ولا يستطيع أن يقفز، ولذلك i = 0 و u_R = i·R = 0. كل جهد المصدر يقع على الملف، u_L = E. في هذه اللحظة يتصرف الملف كدائرة مفتوحة.
أثناء الحالة العابرة: التيار يكبر بالتدريج، ومعه يكبر u_R. ما يبقى للملف يصغر، u_L = E − u_R. كلما صغر u_L تباطأ ارتفاع التيار: الارتفاع سريع في البداية ويتباطأ كلما اقترب التيار من قيمته النهائية.
في الحالة المستقرة: التيار ثابت، ولذلك u_L = 0 و u_R = E. التيار النهائي هو I = ER ، كأن الملف غير موجود. الملف يتصرف الآن كدائرة قصر.

إذا قارنّا هذا الوصف بشحن المكثف في الفصل 12 نجد أن الدائرتين تتصرفان بصورة معكوسة:

	دائرة RC على التوالي	دائرة RL على التوالي
المقدار الذي لا يستطيع أن يقفز	الجهد على المكثف u_C	التيار في الملف i
في لحظة الإغلاق، t = 0	u_C = 0 : المكثف كدائرة قصر	i = 0 : الملف كدائرة مفتوحة
التيار i أثناء الحالة العابرة	يهبط من ER إلى 0	يصعد من 0 إلى ER
الجهد على المقاومة u_R	يهبط من E إلى 0	يصعد من 0 إلى E
الجهد على المكثف / على الملف	u_C يصعد من 0 إلى E	u_L يهبط من E إلى 0
في الحالة المستقرة	i = 0 : المكثف كدائرة مفتوحة	u_L = 0 : الملف كدائرة قصر
أين تُخزَّن الطاقة	في المجال الكهربائي بين اللوحين	في المجال المغناطيسي للملف

ملاحظة: في الدائرتين المنحنيات أسّية، وفي الدائرتين تنتهي الحالة العابرة عمليا بعد 5τ. ما يتبدل هو الأدوار: ما يفعله الجهد في دائرة RC يفعله التيار في دائرة RL.

سؤال 13.1: في دائرة RL على التوالي E = 12 V و R = 60 Ω. بدون حساب ثابت الزمن نجيب:
أ. ما هو التيار وما هو الجهد على الملف في لحظة إغلاق المفتاح؟
ب. ما هو التيار وما هو الجهد على الملف في الحالة المستقرة؟

מציאת קבוע הזמן במעגל RL טורי – إيجاد ثابت الزمن في دائرة RL على التوالي (Time Constant)

ثابت الزمن في دائرة RL على التوالي · קבוע הזמן

τ = LR

الرمز	المعنى	وحدة القياس
τ	ثابت الزمن	[s]
L	حث الملف	[H]
R	المقاومة الكلية المربوطة على التوالي مع الملف	[Ω]

حث أكبر يعني معارضة أقوى لتغيير التيار، ولذلك يرتفع التيار ببطء أكبر: τ يكبر.
مقاومة أكبر تعني تيارا نهائيا أصغر، ER ، والتيار يصل إليه في وقت أقصر: τ يصغر.
حاصل قسمة هنري على أوم يعطي ثانية: 1 H1 Ω = 1 s.

انتبه: في دائرة RC تكبير المقاومة يكبّر ثابت الزمن، τ = R·C. في دائرة RL تكبير المقاومة يصغّر ثابت الزمن، τ = LR.

معنى ثابت الزمن هو نفسه كما في دائرة RC : بعد زمن τ واحد يصل التيار إلى 63% من قيمته النهائية، وبعد 5τ نعتبر أن الدائرة وصلت إلى الحالة المستقرة.

مثال 13.1

في دائرة RL على التوالي L = 2 H ، R = 100 Ω ، E = 24 V. نحسب:
أ. ثابت الزمن.
ب. الزمن حتى الحالة المستقرة.
ج. التيار في الحالة المستقرة.
د. التيار بعد τ واحد.

الحل:

أ. ثابت الزمن:

τ = LR

τ = 2100 = 0.02 s = 20 ms

ب. الحالة العابرة تنتهي عمليا بعد:

t = 5·τ = 5·20 = 100 ms

ج. في الحالة المستقرة الملف كدائرة قصر:

I = ER = 24100 = 0.24 A

د. بعد τ واحد يصل التيار إلى 63.2% من قيمته النهائية:

i = 0.632·I = 0.632·0.24 = 0.152 A

τ = 20 ms

سؤال 13.2: نريد أن يصل التيار في ملف إلى قيمته النهائية خلال 20 ms. المقاومة المربوطة على التوالي مع الملف R = 50 Ω. ما هو أكبر حث مسموح للملف؟

سؤال 13.3: في دائرة RL على التوالي L = 150 mH و R = 30 Ω.
أ. ما هو ثابت الزمن؟
ب. بعد كم من الوقت تصل الدائرة إلى الحالة المستقرة؟
ج. ماذا يحدث لثابت الزمن إذا ضاعفنا المقاومة مرتين؟

תיאור גרפי של תלות בזמן של הזרם והמתחים במעגל RL טורי – وصف بياني لتعلّق التيار والجهود بالزمن في دائرة RL على التوالي (Current and Voltages versus Time)

التيار في دائرة RL بعد إغلاق المفتاح، I = ER. الخط المتقطع المائل هو المماس عند t = 0

الجهدان u_R و u_L : مجموعهما في كل لحظة يساوي E

الجهد على الملف: يبدأ من E ويهبط إلى الصفر

منحنى التيار i يصعد من الصفر ويقترب من I = ER. شكله مثل شكل u_C في شحن المكثف.
منحنى u_R له نفس شكل منحنى التيار، لأن u_R = i·R.
منحنى u_L يهبط من E إلى الصفر: الملف يأخذ في كل لحظة ما يبقى من جهد المصدر، u_L = E − u_R.
المماس لمنحنى التيار عند t = 0 يقطع الخط I بعد زمن τ بالضبط.

الزمن t	i بالنسبة إلى I ، و u_R بالنسبة إلى E	u_L بالنسبة إلى E
0	0%	100%
τ	63.2%	36.8%
2τ	86.5%	13.5%
3τ	95%	5%
4τ	98.2%	1.8%
5τ	99.3%	0.7%

التيار والجهود في دائرة RL عند ربطها بمصدر جهد مستمر · זרם ומתחים במעגל RL

i = ER·(1 − e^−tτ)

u_R = E·(1 − e^−tτ)

u_L = E·e^−tτ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
i	التيار في الدائرة في اللحظة t	[A]
u_R	الجهد على المقاومة في اللحظة t	[V]
u_L	الجهد على الملف في اللحظة t	[V]
τ	ثابت الزمن، τ = LR	[s]

هذه القوانين أيضا حالات خاصة من القانون العام للحالة العابرة (משוואת הדפקים) الذي تعلمناه في الفصل 12: كل تيار أو جهد في الدائرة ينتقل بشكل أُسّي من قيمة ابتدائية إلى قيمة نهائية. في كل الحلول نعوّض في القانون العام.

القانون العام للحالة العابرة في دائرة RL · הנוסחה הכללית למצב המעבר במעגל RL

x(t) = X_∞ + (X₀ − X_∞)·e^−Δtτ

الرمز	المعنى	وحدة القياس
x(t)	التيار أو الجهد في اللحظة t	—
X₀	القيمة الابتدائية: مباشرة بعد تحريك المفتاح	—
X_∞	القيمة النهائية: في الحالة المستقرة	—
Δt	الزمن الذي مرّ منذ التغيّر الأخير (إغلاق مفتاح أو قفزة في الدخل)؛ في لحظة التغيّر Δt = 0 ، وفي كل مرحلة جديدة نقيسه من جديد	[s]
τ	ثابت الزمن، τ = LR	[s]

ملاحظة: التيار هو القانون العام مع X₀ = 0 و X_∞ = ER ، والجهد على الملف هو القانون العام مع X₀ = E و X_∞ = 0.

مثال 13.2

في دائرة RL على التوالي L = 2 H ، R = 40 Ω ، E = 12 V. نغلق المفتاح في اللحظة t = 0. نحسب بعد 25 ms :
أ. التيار.
ب. الجهد على المقاومة.
ج. الجهد على الملف.

الحل:

نحسب ثابت الزمن، التيار النهائي والنسبة بين الزمن وثابت الزمن:

τ = LR = 240 = 0.05 s = 50 ms

I = ER = 1240 = 0.3 A

tτ = 2550 = 0.5

نحسب بالآلة الحاسبة: e^−0.5 = 0.6065.

أ. التيار: الملف يمنع القفزة في التيار، ولذلك X₀ = 0 ، والقيمة النهائية X_∞ = I = 0.3 A. نعوّض في القانون العام:

i = X_∞ + (X₀ − X_∞)·e^−Δtτ

i = 0.3 + (0 − 0.3)·0.6065 = 0.118 A

ب. الجهد على المقاومة:

u_R = i·R = 0.118·40 = 4.72 V

ج. الجهد على الملف: في لحظة الإغلاق كل الجهد على الملف، X₀ = E = 12 V ، وفي الحالة المستقرة X_∞ = 0:

u_L = X_∞ + (X₀ − X_∞)·e^−Δtτ

u_L = 0 + (12 − 0)·0.6065 = 7.28 V

فحص حسب قانون كيرخهوف للجهد: u_R + u_L = 4.72 + 7.28 = 12 V.

i = 0.118 A

سؤال 13.4: في دائرة RL على التوالي L = 0.6 H ، R = 120 Ω ، E = 24 V.
أ. ما هو ثابت الزمن؟
ب. ما هو التيار في الحالة المستقرة؟
ج. ما هي قيم i ، u_R ، u_L بعد τ واحد؟

تحذير: عندما نفتح المفتاح في دائرة فيها ملف يمر فيه تيار، يحاول المفتاح أن يوقف التيار في لحظة واحدة، والملف يعارض ذلك: ينشأ بين طرفيه جهد مرتفع جدا قد يسبب شرارة بين تلامسات المفتاح ويتلف عناصر في الدائرة. لذلك لا نفصل دائرة فيها ملف كبير بدون وسيلة حماية ملائمة.

▶تجربة حية — مختبر الملف الكهربائينغيّر L و R وجهد المصدر، نغلق المفتاح، ونرى منحنى التيار ومنحنى الجهد على الملف يُرسمان في الزمن الحقيقي.

⚠

https://fahed-lab.com/circuits/coil

نفتح المختبر في صفحة مستقلة ↗ fahed-lab.com/circuits/coil

ملخّص قوانين الفصل:

القانون	الصيغة
قانون كيرخهوف للجهد في الدائرة	E = u_R + u_L
ثابت الزمن في دائرة RL	τ = LR
القانون العام للحالة العابرة	x(t) = X_∞ + (X₀ − X_∞)·e^−Δtτ
التيار في الحالة المستقرة	I = ER
الزمن حتى الحالة المستقرة	t = 5·τ
التيار كدالة للزمن (X₀ = 0 ، X_∞ = ER)	i = ER·(1 − e^−tτ)
الجهد على المقاومة	u_R = E·(1 − e^−tτ)
الجهد على الملف (X₀ = E ، X_∞ = 0)	u_L = E·e^−tτ

قاموس المصطلحات – מילון מונחים:

بالعربية	بالعبرية (كما تظهر في الامتحان)	English
الملف الكهربائي	סליל (משרן)	Coil, inductor
الحث	השראות	Inductance
هنري	הנרי	Henry
المجال المغناطيسي	שדה מגנטי	Magnetic field
دائرة RL على التوالي	מעגל RL טורי	Series RL circuit
دائرة RC على التوالي	מעגל RC טורי	Series RC circuit
ثابت الزمن	קבוע הזמן	Time constant
الحالة العابرة	מצב מעבר	Transient state
الحالة المستقرة	מצב מתמיד	Steady state
منحنى أسّي	עקומה מעריכית	Exponential curve
دائرة قصر	קצר	Short circuit
دائرة مفتوحة	נתק	Open circuit
المفتاح	מפסק	Switch

أسئلة للتمرين:

نجيب بدون حساب:
أ. كيف يتصرف الملف في لحظة ربط الدائرة بمصدر جهد مستمر؟
ب. كيف يتصرف في الحالة المستقرة؟
ج. أي مقدار في الملف لا يستطيع أن يتغير بقفزة، وأي مقدار في المكثف؟

الإجابات: أ. كدائرة مفتوحة. ب. كدائرة قصر. ج. في الملف التيار، وفي المكثف الجهد

في دائرة RL على التوالي L = 0.5 H و R = 250 Ω. نحسب:
أ. ثابت الزمن.
ب. الزمن حتى الحالة المستقرة.

الإجابات: أ. τ = 2 ms. ب. t = 10 ms

ملف حثه 100 mH. أي مقاومة يجب أن نربط على التوالي معه حتى يكون ثابت الزمن 5 ms؟

الإجابات: R = 20 Ω

في الدائرة التي في الرسم نغلق المفتاح في اللحظة t = 0. نحسب:
أ. ثابت الزمن.
ب. التيار والجهد على الملف في لحظة الإغلاق.
ج. التيار في الحالة المستقرة.
د. قيم i ، u_R ، u_L بعد τ واحد.

الإجابات: أ. τ = 5 ms. ب. i = 0 ، u_L = 36 V. ج. I = 0.2 A. د. i ≈ 0.126 A ، u_R ≈ 22.76 V ، u_L ≈ 13.24 V

في دائرة RL على التوالي L = 2 H ، R = 40 Ω ، E = 20 V. نحسب بعد 25 ms من إغلاق المفتاح:
أ. التيار.
ب. الجهد على المقاومة.
ج. الجهد على الملف.

الإجابات: τ = 50 ms. أ. i ≈ 0.197 A. ب. u_R ≈ 7.87 V. ج. u_L ≈ 12.13 V

في دائرة RL على التوالي E = 30 V ، L = 0.3 H ، R = 60 Ω. استبدلنا المقاومة بمقاومة 120 Ω. كيف يتغير:
أ. ثابت الزمن؟
ب. التيار في الحالة المستقرة؟
ج. الجهد على الملف في لحظة الإغلاق؟

الإجابات: أ. يصغر من 5 ms إلى 2.5 ms. ب. يصغر من 0.5 A إلى 0.25 A. ج. لا يتغير، u_L = 30 V

في دائرة RC على التوالي R = 1 kΩ و C = 1 µF.
أ. نحسب ثابت الزمن.
ب. أي حث يجب أن يكون لملف مربوط على التوالي مع نفس المقاومة حتى يكون لدائرة RL نفس ثابت الزمن؟

الإجابات: أ. τ = 1 ms. ب. L = 1 H

الرسم يبيّن التيار في دائرة RL على التوالي بعد إغلاق المفتاح. جهد المصدر E = 50 V. نجد من الرسم:
أ. التيار في الحالة المستقرة.
ب. ثابت الزمن (بمساعدة المماس). ثم نحسب:
ج. المقاومة R.
د. حث الملف L.

الإجابات: أ. I = 2 A. ب. τ = 10 ms. ج. R = 25 Ω. د. L = 0.25 H

لملف حقيقي يوجد حث L وكذلك مقاومة r لسلك اللفّات، ونرسمهما على التوالي. في الدائرة التي في الرسم نحسب:
أ. ثابت الزمن (ننتبه: المقاومة الكلية هي R + r).
ب. التيار في الحالة المستقرة.
ج. الجهد على المقاومة R في الحالة المستقرة.

الإجابات: أ. τ = 10 ms. ب. I = 0.5 A. ج. U_R = 15 V

10.

في دائرة RL على التوالي E = 10 V و R = 50 Ω.
أ. نحسب التيار في الحالة المستقرة.
ب. نكمل جدولا لقيم التيار في اللحظات τ ، 2τ ، 3τ ، 5τ.
ج. نرسم بشكل تقريبي منحنى i ومنحنى u_L كدالة للزمن.

الإجابات: أ. I = 0.2 A. ب. 0.126 A ، 0.173 A ، 0.19 A ، 0.199 A

الإجابات النهائية لأسئلة الفصل

13.1 أ. i = 0 ، u_L = 12 V. ب. I = 0.2 A ، u_L = 0

13.2 τ = 4 ms ، ولذلك L = 200 mH

13.3 أ. τ = 5 ms. ب. t = 25 ms. ج. يصغر مرتين، إلى 2.5 ms

13.4 أ. τ = 5 ms. ب. I = 0.2 A. ج. i ≈ 0.126 A ، u_R ≈ 15.17 V ، u_L ≈ 8.83 V

שאלות בגרות – أسئلة بجروت للفصل 13

في امتحانات البجروت 845381 للسنوات 2016–2026 لم يظهر سؤال مستقل عن دائرة RL في التيار المستمر. أسئلة ثابت الزمن تظهر في الفصل 12، والملف يظهر في أسئلة التيار المتناوب في الفصول 16–18.

لوحة القوانين: كل قوانين هذا الفصل مجموعة مع رسومها وجداول رموزها في الفصل 20 — لوحة القوانين الشاملة. (נוסחאון הספר)